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华师大版
八下数学
18.1.2平行四边形的性质
复习旧知
问题：上节课我们学行四边形的哪些性质？
平行四边形的对边相等.
平行四边形的对角相等.
思考：平行四边形除了以上边和角的特征，其对角线有什么特征呢？这节课我们一起探讨一下吧.
平行四边形的邻角互补.
问题：如图,在□ABCD中,当连结对角线AC、BD相交于点O时,除平行四边形中对边平行且相等、对角相等外,图中还有相等的线段吗？并说明理由。
A
B
C
D
O
O
发现
AO=CO，BO=DO
思考
（1）请你用演绎推理证明这个结论？
（2）你能归纳你得到的平行四边形的性质吗？
探究新知
说明
已知：如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O.
求证：OA=OC，OB=OD.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
AB=DC
，
∴∠ABD=∠CDB，
∠BAO=∠DCO.
∴△ABO
≌△CDO.
∴
OA=OC，OB=OD.
A
B
C
D
O
平行四边形的性质3：平行四边形的对角线互相平分.
A
B
C
D
O
几何语言
∴AO=CO，BO=DO
∵四边形ABCD是□
归纳总结
例题解析
例1
如图，?ABCD的对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB＝6，那么对角线AC与BD的和是多少？
解：在?ABCD中，
∵AB=6,AO+BO+AB=15,
∴AO+BO=15-6=9.
又∵AO=OC,BO=OD(平行四边形的对角线互相平分），
∴AC+BD=2AO+2BO=2(AO+BO)=2×9=18
练一练
1、如图，在□ABCD中，BC=10cm,
AC=8cm,BD=14cm,
（1）△BOC的周长是多少？说明理由？
（2）△ABC与△DBC的周长哪个长，长多少？
解：(1)10+4+7=21（cm）
理由：
(2)△DBC的周长较长，
=(BC+CD+BD)-(BC+CD+AC)
=BD-AC=14-8=6（cm）
A
B
C
D
O
例题解析
例2
如图，□ABCD的对角线AC和BD相交于点O,EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E和点F.求证：OE=OF.
A
B
C
D
F
E
O
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ODF=∠OBE,
∠DFO=∠BEO,
∴△DOF≌△BOE（AAS）,
∴AB∥CD,
OD=OB,
∴OE=OF.
思考
改变直线EF的位置，OE=OF还成立吗?
练一练
如图，在□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F.求证：OE=OF.
A
B
C
D
E
F
O
证明：∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于一点O，
∴OD=OB
∵BE⊥AC，DF⊥AC
∴∠AFD=∠CEB=90°
又∵∠DOF=∠BOE
∴△ODF≌△OBE
∴OF=OE
例题解析
例3
如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,其周长为16，且三角形AOB的周长比三角形BOC的周长小2.求边AB和BC的长.
解：
∴AB=3，BC=5.
又∵△AOB的周长+2=△BOC的周长，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC
又∵平行四边形ABCD的周长为16，
∴AB+OA+OB+2=BC+OB+OC，即AB+2=BC.
∴2(AB+BC)=16，
即4AB+4=16.
练一练
如图，在□ABCD中，EF过对角线的交点O，且与边AB、CD分别相交于点E、F，AB=4，AD=3,OF=1.3.求四边形BCFE的周长.
A
B
C
D
E
F
O
解：∵平行四边形ABCD的对角线交于点O，
∴BO=OD，AB//DC
∴∠EBO=∠FDO
又∠EOB=∠FOD
∴△BOE≌△DOF
∴BE=DF
∴四边形BCFE的周长=CD+BC+2OF=9.6
例4
如图,在平行四边形ABCD中，对角线AC=21cm,BE⊥AC,垂足为点E,且
BE=5cm，AD=7cm.求AD和BC之间的距离.
解：设AD和BC之间的距离为x,
则平行四边形ABCD的面积等于AD?x.
∵平行四边形ABCD的面积=三角形ABC面积的2倍=AC?BE
∴AD?x=AC?BE,
即7x=21×5
∴x=15
即AD和BC之间的距离为15cm.
例题解析
课堂练习
1.如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，AD=6，则△BOC的周长是（
）
A、10
B、14
C、20
D、22
D
A
B
C
O
2.若平行四边形的对角线长分别为x和y，一边长为12，则x和y的值可能是（
）
A、8和14
B、10和14
C、18和20
D、10和36
B
C
课堂练习
3.□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6，AD=a,则a的取值范围是
；
1＜a＜7
4.如图,在
ABCD中,
对角线AC﹑BD相交于点O,AC+BD=20,
△AOB的周长等于15,则CD=______.
5
课堂练习
5.如图，□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，其周长为16，且△AOB的周长比△BOC的周长小2.求边AB和BC的长.
B
C
D
A
O
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=OC
∵△AOB比△BOC周长小2
∴AB+2=BC
∵四边形ABCD周长为16，
∴AB=3,BC=5
6.
如图，已知?ABCD与?EBFD的顶点A，E，F，C在一条直线上，求证：AE＝CF.
证明：如图，连结BD交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)．
∵四边形EBFD是平行四边形，
∴OE＝OF(平行四边形的对角线互相平分)，
∴OA－OE＝OC－OF，即AE＝CF(等式的性质)．
课堂练习
课堂小结
平行四
边形对角线的
性质
平行四边形对角线互相平分
过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等.
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华师大版数学八年级下册18.1.2平行四边形的性质导学案
课题
平行四边形的性质
单元
18
学科
数学
年级
八年级
知识目标
1、在掌握平行四边形部分性质的基础上进一步研究平行四边形的其他性质：平行四边形的对角线互相平分.
2、会运用平行四边形的性质解决一些简单的问题，并在应用中探索平行线的性质.
重点难点
重点：平行四边形的对角线互相平分及其应用.
难点：平行四边形性质的应用.
教学过程
知识链接
1、平行四边形的定义是怎样的？平行四边形具有哪些性质？
合作探究
一、教材第77页
如图
，在□ABCD中，当连结对角线AC、BD相交于点O时，除平行四边形中对边平行且相等、对角相等外，图中还有相等的线段吗？并说明理由。
归纳：平行四边形的性质
。
证明性质：
二、教材第77页
例5
如图，?ABCD的对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB＝6，那么对角线AC与BD的和是多少？
三、教材第78页
例6
如图，□ABCD的对角线AC,BD交于点O.点O作直线EF,分别交AB,CD于点E，F.求证：OE=OF.
四、教材第79页
例7
如图，平行四边形ABCD的周长为16，三角形AOB的周长比三角形BOC的周长小2.求AB和BC的长.
五、教材第79页
例8
如图,在平行四边形ABCD中，AC=21,BE⊥AC,BE=5，AD=7.求AD和BC之间的距离.
自主尝试
1.如图，在□中，已知对角线、相交于点，，，求的周长。
2.在□中，对角线、相交于点，且，，求、及边的取值范围。
3.□的周长为，对角线、相交于点，的周长比的周长少，求□的各边长。
【方法宝典】
根据平行四边形的性质解题即可.
当堂检测
1.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,则下列说法一定正确的是(　　)
A.AO=OD
B.AO⊥OD
C.AO=OC
D.AO⊥AB
2.如图,在平行四边形ABCD中,BC=10,AC=14,BD=8,则△BOC的周长是(　　)
A.21
B.22
C.25
D.32
3.如图,EF过平行四边形ABCD对角线的交点O,交AD于点E,交BC于点F.若平行四边形ABCD的周长为18,OE=1.5,则四边形EFCD的周长为(　　)
A.14
B.13
C.12
D.10
4.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠ODA=90°,AC=10
cm,
BD=6
cm,则AD的长为(　　)
A.4
cm
B.5
cm
C.6
cm
D.8
cm
5.如图,在平行四边形ABCD中,O是AC,BD的交点,过点O作OE⊥AC交AD于点E.若平行四边形ABCD的周长为22
cm,则△CDE的周长为
(　　)
A.8
cm
B.10
cm
C.11
cm
D.12
cm
如图,已知平行四边形ABCD的周长为22
cm,O为对角线AC与BD的交点.若
AD=4
cm,则△AOD的周长比△AOB的周长小　　　　cm.?
7.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.如果AC=14,BD=8,AB=x,那么x的取值范围是　　　　.?
8.如图,在平行四边形ABCD中,AB=10,AD=6,AC⊥BC,则BD=　　　　.
?
9.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,经过点O的直线交AB于点E,交CD于点F.求证:OE=OF.
10.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,BD=2AB,E是OA的中点.求证:BE⊥AC.
小结反思
通过本节课的学习，你们有什么收获？
参考答案：
当堂检测：
1.C
2.A　
3.C　
4.
A　
5.C
6.
3
7.
38.
9.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,AB∥CD,
∴∠OAE=∠OCF.
又∵∠AOE=∠COF,
∴△OAE≌△OCF(A.S.A.),
∴OE=OF.
10.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=OD.
∵BD=2AB,∴AB=OB.
∵E是OA的中点,
∴BE⊥AC.
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精品试卷·第
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