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正方形
【总结解题方法
提升解题能力】
【知识汇总】
1.正方形：既是特殊的矩形，也是特殊的菱形，所以它既具有矩形的性质，又有菱形的性质.
2.正方形的性质:
①正方形四个角都是90°，四条边相等；
②对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.
3.正方形的判定：①一组邻边相等的矩形是正方形；
②对角线互相垂直的矩形是正方形；
③有一个角是直角的菱形是正方形；
④对角线相等的菱形是正方形.
考点一：正方形的性质
【基础夯实】
1.下列四边形：①正方形、②矩形、③菱形，对角线一定相等的是（
）
A．①②③
B．①②
C．①③
D．②③
2.平行四边形，菱形，矩形，正方形都具有的性质是（
）
A．对角线相等且互相平分
B．对角线相等且互相垂直平分
C．对角线互相平分
D．四条边相等，四个角相等
3.正方形面积为36，则对角线的长为（
）
A．6
B．
C．9
D．
4.正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是（
）
A．8
B．4
C．8
D．16
5.如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠ACP度数是（
）
A．45°
B．22.5°
C．67.5°
D．75°
6.如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，
则∠BFC为（
）
A．75°
B．60°
C．55°
D．45°
7.如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，
使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（
）
A．
B．
C．
D．
8.如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，
折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
9.如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是（　　）
A．
B．
C．
D．
10.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，
F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为（　　）
A．3
B．4
C．
D．
11.如图，在正方形ABCD中，AB＝2，延长AB至点E，使得BE＝1，EF⊥AE，EF＝AE．
分别连接AF，CF，M为CF的中点，则AM的长为（　　）
A．2
B．3
C．
D．
12.如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），
则点C的坐标为　
　．
13.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3，P是AC上一动点，
则PB+PE的最小值是　
　．
14.有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2=　
　．
15.如图，将边长都为2cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、An分别
是正方形的中心，则2019个这样的正方形重叠部分的面积和为　
　．
考点二：正方形的判定
16.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了题目，从下列四个条件：
①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD
中选两个作为补充条件，使□ABCD为正方形（如图所示），
现有如下四种选法，你认为其中错误的是（　　）
A．①②
B．①③
C．②③
D．②④
17.（2015?黑龙江）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，不添加任何辅助线，
请添加一个条件　
　，使四边形ABCD是正方形（填一个即可）．
考点三：正方形的性质与判定
18.如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF=3，△EFC的周长为12，则EC的长为
．
19.如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是　
　．
20.（2018?湘潭）如图，在正方形ABCD中，AF＝BE，AE与DF相交于点O．
（1）求证：△DAF≌△ABE；
（2）求∠AOD的度数．
21.（2018?遵义）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．
（1）求证：OM＝ON．
（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．
22.如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．
（1）如图1，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系；并加以证明；
（2）如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想．
23.如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE．交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
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