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7.1 平面直角坐标系 高频易错题集
一．选择题（共10小题）
1．在平面直角坐标系中，位于第二象限的点（　　）
A．横坐标小于纵坐标
B．横坐标大于纵坐标
C．横坐标和纵坐标的和小于0
D．横坐标与纵坐标的积大于0
2．在平面直角坐标系中，点（﹣3，m2+1）一定在（　　）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
3．在平面直角坐标系中，点P（﹣5，4）位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．点P（2，﹣3）到x轴的距离等于（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
5．在平面直角坐标系中，若点（0，a）在y轴的负半轴上，则点（﹣2，a﹣1）的位置在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7……，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，……的等腰直角三角形，若A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2020的坐标为（　　）
A．（1010，0） B．（1012，0） C．（2，1012） D．（2，1010）
7．如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形OABC，边OA，OC分别在x轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB1为边作第三个正方形OB1B2C2，照此规律作下去，则点B2020的坐标为（　　）
A．（﹣21010，21010） B．（22020，﹣22020）
C．（﹣22020，﹣22020） D．（﹣21010，﹣21010）
8．如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2018秒时，点P的坐标是点（　　）
A．（2017，1） B．（2018，0） C．（2017，﹣1） D．（2019，0）
9．如图，一个粒子在x轴上及第一象限内运动，第1次从（0，0）运动到（1，0），第2次从（1，0）运动到（2，0），第3次从（2，0）运动到（1，1），它接着按图中箭头所示的方向运动．则第2019次时运动到达的点为（　　）
A．（59，6） B．（59，5） C．（62，3） D．（62，2）
10．已知点E（x0，y0），F（x2，y2），点M（x1，y1）是线段EF的中点，则x1＝，y1＝．在平面直角坐标系中有三个点A（1，﹣1），B（﹣1，﹣1），C（0，1），点P（0，2）关于A的对称点为P1（即P，A，P1三点共线，且PA＝P1A），P1关于B的对称点为P2，P2关于C的对称点为P3，按此规律继续以A，B，C为对称点重复前面的操作，依次得到P4，P5，P6，…，则点P2015的坐标是（　　）
A．（0，0） B．（0，2） C．（2，﹣4） D．（﹣4，2）
二．填空题（共5小题）
11．已知平面内有一点A的横坐标为﹣6，且到原点的距离等于10，则A点的坐标为　 　．
12．在平面直角坐标系中，点（﹣5，10）在第　 　象限．
13．在平面直角坐标系中，若点A的坐标为（8，4），则点A到y轴的距离为　 　．
14．如图，在平面直角坐标系内，∠OA0A1＝90°，∠A1OA0＝60°，以OA1为直角边向外作Rt△OA1A2，使∠A2A1O＝90°，∠A2OA1＝60°，按此方法进行下去，得到 Rt△OA2A3，Rt△OA3A4…，若点A0的坐标是（1，0），则点A13的横坐标是　 　．
15．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P′（﹣y+1，x+1）叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得点A1，A2，A3…，An，…若点A1的坐标为（3，1），则点A2019的坐标为　 　．
三．解答题（共5小题）
16．（1）点P的坐标为（x，y），若x＝y，则点P在坐标平面内的位置是　 　；若x+y＝0，则点P在坐标平面内的位置是　 　；
（2）已知点Q的坐标为（2﹣2a，a+8），且点Q到两坐标轴的距离相等，求点Q的坐标．
17．在图中，确定点A、B、C、D、E、F、G的坐标．请说明点B和点F有什么关系？（每格代表一个单位长度）
18．已知点A（1+2a，4a﹣5），且点A到两坐标轴的距离相等，求点A的坐标．
19．综合与实践
问题背景：
（1）已知A（1，2），B（3，2），C（1，﹣1），D（﹣3，﹣3）．在平面直角坐标系中描出这几个点，并分别找到线段AB和CD中点P1、P2，然后写出它们的坐标，则P1　 　，P2　 　．
探究发现：
（2）结合上述计算结果，你能发现若线段的两个端点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则线段的中点坐标为　 　．
拓展应用：
（3）利用上述规律解决下列问题：已知三点E（﹣1，2），F（3，1），G（1，4），第四个点H（x，y）与点E、点F、点G中的一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，求点H的坐标．
20．如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将OA2B2变换成△OA3B3；已知变换过程中各点坐标分别为A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3），B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．
（1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标为　 　，B4的坐标为　 　．
（2）按以上规律将△OAB进行n次变换得到△OAnBn，则An的坐标为　 　，Bn的坐标为　 　；
（3）△OAnBn的面积为　 　．
7.1 平面直角坐标系 高频易错题集
试题解析
一．选择题（共10小题）
1．在平面直角坐标系中，位于第二象限的点（　　）
A．横坐标小于纵坐标
B．横坐标大于纵坐标
C．横坐标和纵坐标的和小于0
D．横坐标与纵坐标的积大于0
解：根据第二象限的点的坐标的特征：横坐标符号为负，纵坐标符号为正，所以位于第二象限的点的横坐标小于纵坐标．
故选：A．
2．在平面直角坐标系中，点（﹣3，m2+1）一定在（　　）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
解：∵m2≥0，
∴m2+1≥1，
∴点（﹣3，m2+1）一定在第二象限．
故选：C．
3．在平面直角坐标系中，点P（﹣5，4）位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：点P（﹣5，4）位于第二象限．
故选：B．
4．点P（2，﹣3）到x轴的距离等于（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
解：点P（﹣2，﹣3）到x轴的距离是：3．
故选：D．
5．在平面直角坐标系中，若点（0，a）在y轴的负半轴上，则点（﹣2，a﹣1）的位置在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：∵点P（0，a）在y轴的负半轴上，
∴a＜0，
∴a﹣1＜0，
∴点（﹣2，a﹣1）在第三象限．
故选：C．
6．如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7……，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，……的等腰直角三角形，若A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2020的坐标为（　　）
A．（1010，0） B．（1012，0） C．（2，1012） D．（2，1010）
解：观察点的坐标变化发现：
当脚码为偶数时的点的坐标，得到规律：
当脚码是2、6、10…时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半的相反数，
当脚码是4、8、12．…时，横坐标是2，纵坐标为脚码的一半，
因为2020能被4整除，
所以横坐标为2，纵坐标为1010，
故选：D．
7．如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形OABC，边OA，OC分别在x轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB1为边作第三个正方形OB1B2C2，照此规律作下去，则点B2020的坐标为（　　）
A．（﹣21010，21010） B．（22020，﹣22020）
C．（﹣22020，﹣22020） D．（﹣21010，﹣21010）
解：∵正方形OABC边长为1，
∴OB＝，
∵正方形OBB1C1是正方形OABC的对角线OB为边，
∴OB1＝2，
∴B1点坐标为（0，2），
同理可知OB2＝2，
∴B2点坐标为（﹣2，2），
同理可知OB3＝4，B3点坐标为（﹣4，0），
B4点坐标为（﹣4，﹣4），B5点坐标为（0，﹣8），
B6（8，﹣8），B7（16，0）
B8（16，16），B9（0，32），
由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，
∵2020÷8＝252…4，
∴B2020的横纵坐标符号与点B4相同，横纵坐标相同，且都在第三象限，
∴B2020的坐标为（﹣21010，﹣21010）．
故选：D．
8．如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2018秒时，点P的坐标是点（　　）
A．（2017，1） B．（2018，0） C．（2017，﹣1） D．（2019，0）
解：∵圆的半径都为1，
∴半圆的周长＝π，
以时间为点P的下标．
观察发现规律：P0（0，0），P1（1，1），P2（2，0），P3（3，﹣1），P4（4，0），P5（5，1），…，
∴P4n（4n，0），P4n+1（4n+1，1），P4n+2（4n+2，0），P4n+3（4n+3，﹣1）．
∵2018＝504×4+2，
∴第2018秒时，点P的坐标为（2018，0），
故选：B．
9．如图，一个粒子在x轴上及第一象限内运动，第1次从（0，0）运动到（1，0），第2次从（1，0）运动到（2，0），第3次从（2，0）运动到（1，1），它接着按图中箭头所示的方向运动．则第2019次时运动到达的点为（　　）
A．（59，6） B．（59，5） C．（62，3） D．（62，2）
解：由图形可知：每条斜线上有点的个数与这条线段在x轴的交点的数一样，如图，
例如：线段AB上有两个点，线段CD上有5个点，
且发现x轴上奇数的点箭头方向向右，偶数的点箭头方向向左上线段上，
设x轴上的点（n，0），
1+2+3+4+…+n＝，
当n＝63时，＝2016，
当n＝64时，＝2080，
∵2016＜2019＜2080，
∴第2016次时运动到达的点是（63，0），
∴则第2019次时运动到达的点为（62，2），
故选：D．
10．已知点E（x0，y0），F（x2，y2），点M（x1，y1）是线段EF的中点，则x1＝，y1＝．在平面直角坐标系中有三个点A（1，﹣1），B（﹣1，﹣1），C（0，1），点P（0，2）关于A的对称点为P1（即P，A，P1三点共线，且PA＝P1A），P1关于B的对称点为P2，P2关于C的对称点为P3，按此规律继续以A，B，C为对称点重复前面的操作，依次得到P4，P5，P6，…，则点P2015的坐标是（　　）
A．（0，0） B．（0，2） C．（2，﹣4） D．（﹣4，2）
解：设P1（x，y），
∵点P（0，2）关于A的对称点为P1，即A是线段PP1的中点，
∵点A（1，﹣1），
∴＝1，＝﹣1，解得x＝2，y＝﹣4，
∴P1（2，﹣4）．
同理可得，P1（2，﹣4），P2（﹣4，2），P3（4，0），P4（﹣2，﹣2），P5（0，0），P6（0，2），P7（2，﹣4），…，…，
∴每6个坐标循环一次．
∵＝335…5，
∴点P2015的坐标是（0，0）．
故选：A．
二．填空题（共5小题）
11．已知平面内有一点A的横坐标为﹣6，且到原点的距离等于10，则A点的坐标为　（﹣6，8）或（﹣6，﹣8）　．
解：∵点A的横坐标为﹣6，到原点的距离是10，
∴点A到x轴的距离为＝8，
∴点A的纵坐标为8或﹣8，
∴点A的坐标为（﹣6，8）或（﹣6，﹣8）．
故答案为：（﹣6，8）或（﹣6，﹣8）．
12．在平面直角坐标系中，点（﹣5，10）在第　二　象限．
解：点P（﹣5，10）在第二象限，
故答案为：二．
13．在平面直角坐标系中，若点A的坐标为（8，4），则点A到y轴的距离为　8　．
解：∵点A的坐标为（8，4），
∴点A到y轴的距离为8．
故答案为：8．
14．如图，在平面直角坐标系内，∠OA0A1＝90°，∠A1OA0＝60°，以OA1为直角边向外作Rt△OA1A2，使∠A2A1O＝90°，∠A2OA1＝60°，按此方法进行下去，得到 Rt△OA2A3，Rt△OA3A4…，若点A0的坐标是（1，0），则点A13的横坐标是　212　．
解：∵∠OA0A1＝90°，∠A1OA0＝60°，点A0的坐标是（1，0），
∴OA0＝1，
∴点A1 的横坐标是 1＝20，
∴OA1＝2OA0＝2，
∵∠A2A1O＝90°，∠A2OA1＝60°，
∴OA2＝2OA1＝4，
∴点A2 的横坐标是﹣OA2＝﹣2＝﹣21，
依次进行下去，Rt△OA2A3，Rt△OA3A4…，
同理可得：
点A3 的横坐标是﹣2OA2＝﹣8＝﹣23，
点A4 的横坐标是﹣8＝﹣23，
点A5 的横坐标是 OA5＝×2OA4＝2OA3＝4OA2＝16＝24，
点A6 的横坐标是2OA5＝2×2OA4＝23OA3＝64＝26，
点A7 的横坐标是64＝26，
…
发现规律，
点A12 的横坐标是212，
则点A13的横坐标是 212．
故答案为212．
15．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P′（﹣y+1，x+1）叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得点A1，A2，A3…，An，…若点A1的坐标为（3，1），则点A2019的坐标为　（﹣3，1）　．
解：∵A1的坐标为（3，1），
∴A2（0，4），A3（﹣3，1），A4（0，﹣2），A5（3，1），
…，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
∵2019÷4＝504…3，
∴点A2019的坐标与A3的坐标相同，为（﹣3，1）．
故答案为：（﹣3，1）．
三．解答题（共5小题）
16．（1）点P的坐标为（x，y），若x＝y，则点P在坐标平面内的位置是　在一、三象限内两坐标轴夹角的平分线上　；若x+y＝0，则点P在坐标平面内的位置是　在二、四象限内两坐标轴夹角的平分线上　；
（2）已知点Q的坐标为（2﹣2a，a+8），且点Q到两坐标轴的距离相等，求点Q的坐标．
解：（1）∵点P的坐标为（x，y），若x＝y，
∴点P在一、三象限内两坐标轴夹角的平分线上．
∵x+y＝0，
∴x、y互为相反数，
∴P点在二、四象限内两坐标轴夹角的平分线上．
故答案为：在一、三象限内两坐标轴夹角的平分线上．在二、四象限内两坐标轴夹角的平分线上．
（2）∵点Q到两坐标轴的距离相等，
∴|2﹣2a|＝|8+a|，
∴2﹣2a＝8+a或2﹣2a＝﹣8﹣a，
解得a＝﹣2或a＝10，
当a＝﹣2时，2﹣2a＝2﹣2×（﹣2）＝6，8+a＝8﹣2＝6，
当a＝10时，2﹣2a＝2﹣20＝﹣18，8+a＝8+10＝18，
所以，点Q的坐标为（6，6）或（﹣18，18）．
17．在图中，确定点A、B、C、D、E、F、G的坐标．请说明点B和点F有什么关系？（每格代表一个单位长度）
解：如图所示，A（﹣5，4），B（﹣3，0），C（﹣2，﹣2），D（1，﹣4），E（1，﹣1），F（3，0），G（2，3），
其中点B与点F关于y轴对称．
18．已知点A（1+2a，4a﹣5），且点A到两坐标轴的距离相等，求点A的坐标．
解：根据题意，分两种情况讨论：
①1+2a＝4a﹣5，解得：a＝3，
∴1+2a＝4a﹣5＝7，
∴点A的坐标为（7，7）；
②1+2a+4a﹣5＝0，解得：a＝，
∴1+2a＝，4a﹣5＝﹣，
∴点A的坐标为（）．
19．综合与实践
问题背景：
（1）已知A（1，2），B（3，2），C（1，﹣1），D（﹣3，﹣3）．在平面直角坐标系中描出这几个点，并分别找到线段AB和CD中点P1、P2，然后写出它们的坐标，则P1　（2，2）　，P2　（﹣1，﹣2）　．
探究发现：
（2）结合上述计算结果，你能发现若线段的两个端点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则线段的中点坐标为　　．
拓展应用：
（3）利用上述规律解决下列问题：已知三点E（﹣1，2），F（3，1），G（1，4），第四个点H（x，y）与点E、点F、点G中的一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，求点H的坐标．
解：（1）如图：A（1，2），B（3，2），C（1，﹣1），D（﹣3，﹣3）．在平面直角坐标系中描出它们如下：
线段AB和CD中点P1、P2的坐标分别为（2，2）、（﹣1，﹣2）
故答案为：（2，2）、（﹣1，﹣2）．
（2）若线段的两个端点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则线段的中点坐标为．
故答案为：．
（3）∵E（﹣1，2），F（3，1），G（1，4），
∴EF、FG、EG的中点分别为：（1，）、（2，）、（0，3）
∴①HG过EF中点（1，）时，＝1，＝
解得：x＝1，y＝﹣1，故H（1，﹣1）；
②EH过FG中点（2，）时，＝2，＝
解得：x＝5，y＝3，故H（5，3）；
③FH过EG的中点（0，3）时，＝0，＝3
解得：x＝﹣3，y＝5，故H（﹣3，5）．
∴点H的坐标为：（1，﹣1），（5，3），（﹣3，5）．
20．如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将OA2B2变换成△OA3B3；已知变换过程中各点坐标分别为A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3），B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．
（1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标为　（16，3）　，B4的坐标为　（32，0）　．
（2）按以上规律将△OAB进行n次变换得到△OAnBn，则An的坐标为　（2n，3）　，Bn的坐标为　（2n+1，0）　；
（3）△OAnBn的面积为　3×2n　．
解：（1）∵A1（2，3）、A2（4，3）、A3（8，3）．
∴A4的横坐标为：24＝16，纵坐标为：3．
故点A4的坐标为：（16，3）．
又∵B1（4，0）、B2（8，0）、B3（16，0）．
∴B4的横坐标为：25＝32，纵坐标为：0．
故点B4的坐标为：（32，0）．
故答案为：（16，3），（32，0）．
（2）由A1（2，3）、A2（4，3）、A3（8，3），可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n，纵坐标都是3．
故An的坐标为：（2n，3）．
由B1（4，0）、B2（8，0）、B3（16，0），可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n+1，纵坐标都是0．
故Bn的坐标为：（2n+1，0）；
故答案为：（2n，3），（2n+1，0）；
（3）∵An的坐标为：（2n，3），Bn的坐标为：（2n+1，0），
∴△OAnBn的面积为×2n+1×3＝3×2n．
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