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3．3　函数的应用(一)
内　容　标　准
学　科　素　养
初步体会分段函数、一次函数、二次函数等函数模型的广泛应用，能运用函数思想处理现实生活中的简单应用问题.
数学运算数学建模
授课提示：对应学生用书第57页
[教材提炼]
知识点一　一次函数模型
形如y＝kx＋b的函数为一次函数模型，其中k≠0.
知识点二　二次函数模型
1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
2．顶点式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
3．两点式：y＝a(x－m)(x－n)(a≠0)．
[自主检测]
1．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y＝5x＋4
000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为(　　)
A．200副　　　　　
B．400副
C．600副
D．800副
解析：由5x＋4
000≤10x，解得x≥800，即日产手套至少800副时才不亏本．
答案：D
2．拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费f(m)＝1.06(0.50×[m]＋1)，其中m>0，[m]是大于或等于m的最小整数(如[3]＝3，[3.7]＝4，[5.1]＝6)．则从甲到乙地通话时间为5.5分钟的通话费为(　　)
A．3.71
B．3.97
C．4.24
D．4.77
解析：f(5.5)＝1.06×(0.5×[5.5]＋1)＝1.06×(0.50×6＋1)＝1.06×4＝4.24.
答案：C
3．某广告公司要为客户设计一幅周长为l(单位：m)的矩形广告牌，当矩形的长为________，广告牌的面积最大．
答案：
授课提示：对应学生用书第57页
探究一　一次函数模型
[例1]　为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示．
(1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；
(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜．
[解析]　(1)由图像可设y1＝k1x＋29，y2＝k2x，把点B(30,35)，C(30,15)分别代入y1＝k1x＋29，y2＝k2x，得k1＝，k2＝.
∴y1＝x＋29(x≥0)，y2＝x(x≥0)．
(2)令y1＝y2，即x＋29＝x，则x＝96.
当x＝96时，y1＝y2，两种卡收费一致；
当x＜96时，y1＞y2，使用便民卡便宜；
当x＞96时，y1＜y2，使用如意卡便宜．
1.一次函数模型解决实际问题的原则
一次函数模型的应用层次要求不高，一般情况下按照“问什么，设什么，列什么”的原则来处理，求解过程也比较简单．
2．一次函数模型解决问题的注意点
用一次函数模型解决实际问题时，对于给出图像的应用题可先结合图像利用待定系数法求出解析式．对于一次函数y＝ax＋b(a≠0)，当a＞0时为增函数，当a＜0时为减函数．另外，要结合题目理解(0，b)或这些特殊点的意义.
江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称．甲、乙两家农贸商店，平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾，“龙虾节”期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，付款金额y甲，y乙(单位：元)与原价x(单位：元)之间的函数关系如图所示：
(1)直接写出y甲，y乙关于x的函数关系式．
(2)“龙虾节”期间，如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾更省钱？
解析：(1)设y甲＝kx，把(2
000,1
600)代入，得2
000k＝1
600，解得k＝0.8，所以y甲＝0.8x；当0＜x＜2
000时，设y乙＝ax，把(2
000,2
000)代入，得2
000a＝2
000，解得a＝1，所以y乙＝x；当x≥2
000时，设y乙＝mx＋n，把(2
000，2
000)，(4
000,3
400)代入，得
解得
所以y乙＝
(2)当0＜x＜2
000时，0.8x＜x，到甲商店购买更省钱；当x≥2
000时，若到甲商店购买更省钱，则0.8x＜0.7x＋600，解得x＜6
000；若到乙商店购买更省钱，则0.8x＞0.7x＋600，解得x＞6
000；若到甲、乙两商店购买一样省钱，则0.8x＝0.7x＋600，解得x＝6
000；故当购买金额按原价小于6
000元时，到甲商店购买更省钱；当购买金额按原价大于6
000元时，到乙商店购买更省钱；当购买金额按原价等于6
000元时，到甲、乙两商店购买花钱一样．
探究二　二次函数模型
[例2]　在经济学中，函数f(x)的边际函数定义为M(x)＝f(x＋1)－f(x)，利润函数P(x)的边际利润函数定义为M1(x)＝P(x＋1)－P(x)，某公司最多生产100台报警系统装置，生产x台的收入函数为R(x)＝3
000x－20x2(单位：元)其成本函数为C(x)＝500x＋4
000(单位：元)，利润是收入与成本之差．
(1)求利润函数P(x)及边际利润函数M1(x)；
(2)利润函数P(x)与边际利润函数M1(x)是否具有相等的最大值？
(3)你认为本题中边际利润函数M1(x)取最大值的实际意义是什么？
[解析]　(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝(3
000x－20x2)－(500x＋4
000)＝－20x2＋2
500x－4
000(1≤x≤100，x∈N)．
M1(x)＝P(x＋1)－P(x)＝2
480－40x(1≤x≤100，x∈N)．
(2)∵P(x)＝－20(x－)2＋74
125，
∴当x＝62或63时，P(x)min＝74
120.
又∵M1(x)是减函数，∴当x＝1时M1(x)max＝2
440，
故P(x)与M1(x)不具有相等的最大值．
(3)边际利润函数M1(x)当x＝1时取最大值，说明生产第2台与生产第1台的总利润差最大，即第2台报警系统利润最大，M1(x)是减函数，说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润相比较，利润在减少．
幂函数模型中最常见的是二次函数模型，这种函数模型在生产、生活中应用相当广泛．
利用二次函数求最值时，应特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符．根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题．
某工厂生产一种机器的固定成本为5
000元，且每生产100部，需要增加投入2
500元，对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年500部，已知销售收入的函数为H(x)＝500x－x2，其中x是产品销售出的数量(0≤x≤500)．
(1)若x为年产量，y表示利润，求y＝f(x)的解析式；
(2)当年产量为何值时，工厂的年利润最大？其最大值是多少？
(3)当年产量为何值时，工厂有盈利？(已知＝4.65)
解析：(1)当0≤x≤500时，产品全部售出，
∴y＝500x－x2－(5
000＋25x)，
即y＝－x2＋475x－5
000，
当x>500时，产品只能售出500台，
∴y＝500×500－×5002－(5
000＋25x)，
即y＝－25x＋120
000.
(2)当0≤x≤500时，y＝－(x－475)2＋107
812.5，
当x>500时，y＝120
000－25x<120
000－25×500＝107
500.故当年产量为475台时取得最大利润，且最大利润为107
812.5元，最佳生产计划475台．
(3)若工厂有利润，则应用f(x)>5
000，∴475x－x2>5
000，整理得x2－950x＋10
000<0，解得10∵市场需求量为每年500部，
∴10探究三　分段函数模型
[例3]　某公司生产某种电子仪器的固定成本为20
000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝
(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)
[解析]　(1)设月产量为x台，则总成本为(20
000＋100x)元，从而
f(x)＝
(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25
000，
∴当x＝300时，有最大值25
000；
当x>400时，f(x)＝60
000－100x是减函数，
f(x)<60
000－100×400<25
000.
∴当x＝300时，f(x)的最大值为25
000.
即每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25
000元．
构建分段函数模型的关键点
建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界点，即明确自变量的取值区间，写出每一对应取值区间内的解析式，在此区间内求最值，然后对所有区间求出的值比较，找出适合题意的答案．
某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．
(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
(2)设一次订购量为x个时，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式；
(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1
000个时，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)
解析：(1)设每个零件的实际出厂单价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则
x0＝100＋＝550.
因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价格恰好降为51元．
(2)当0＜x≤100时，P＝60.
当100＜x<550时，P＝60－0.02(x－100)＝62－.
当x≥550时，P＝51，
∴P＝f(x)＝
(3)设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则L＝(P－40)x
＝
当x＝500时，L＝6
000；当x＝1
000时，L＝11
000.
因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6
000元；如果订购1
000个时，利润是11
000元．
授课提示：对应学生用书第59页
一、图表并用，数学建模——拟合函数的建立问题
定量分析和研究实际问题时，要深入调查，研究、了解对象信息，作出简化假设，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子(也就是数学模型)，然后计算得到模型的结果，并进行检验，最后解释实际问题，这个建立数学模型的全过程就称为数学建模．根据收集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型并求出函数解析式，再进行拟合、比较，选出最恰当的函数模型的过程，称为函数拟合(或数据拟合)．
建立拟合函数模型的步骤：
(1)收集数据．
(2)根据收集到的数据，在平面直角坐标系内画出散点图．
(3)根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型．
(4)选择其中的几组数据求出函数模型．
(5)将已知数据代入所求出的函数模型中进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，则返回步骤③；若符合实际，则进入下一步．
(6)用所得函数模型解释实际问题．
[典例]　为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x
cm与当年灌溉面积y
hm2.现有连续10年的实测资料，如下表所示．
年序
最大积雪深度x/cm
灌溉面积y/hm2
1
15.2
28.6
2
10.4
21.1
3
21.2
40.5
4
18.6
36.6
5
26.4
49.8
6
23.4
45.0
7
13.5
29.2
8
16.7
34.1
9
24.0
45.8
10
19.1
36.9
(1)描点画出灌溉面积y
hm2随积雪深度x
cm变化的图像；
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y＝f(x)，并画出图像；
(3)根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为25
cm，则可以灌溉土地多少公顷？
[解析]　(1)描点作图如图甲：
(2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型y＝ax＋b.
取其中的两组数据(10.4,21.1)(24.0,45.8)，
代入y＝ax＋b，得
用计算器可算得a≈1.8，b≈2.4.
这样，我们得到一个函数模型y＝1.8x＋2.4.作出函数图像如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系．
(3)由y＝1.8×25＋2.4，求得y＝47.4，即当最大积雪深度为25
cm时，可以灌溉土地47.4
hm2.
二、忽视实际意义的限制致错
[典例]　甲、乙两地相距s
km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c
km/h，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(km/h)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(km/h)的函数，并指出函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？
[解析]　(1)由关系式：运输总成本＝每小时运输成本×时间，得y＝(a＋bv2)，所以全程运输成本y(元)，表示为速度v(km/h)的函数关系式是y＝s，v∈(0，c]．
(2)整理函数，得y＝s＝bs，由函数y＝x＋(k＞0)的单调性，得当＜c时，则v＝时，y取最小值；当≥c时，则v＝c时，y取最小值．综上所述，为使全程成本y最小，当＜c时，行驶速度应为v＝；当≥c时，行驶速度应为v＝c.
纠错心得　此题易错解为
(1)由关系式：运输总成本＝每小时运输成本×时间，得y＝(a＋bv2)，所以全程运输成本y(元)关于速度v(km/h)的函数关系式为y＝s，v∈(0，c]．
(2)整理函数，得y＝s＝bs，由于v＋≥2，当且仅当v＝，即v＝时取最小值．
该解法中忽略了速度不得超过c
km/h这个限制条件．在解应用题时要注意定义域的限制，对问题的解要注意它是否具有实际意义.
PAGE第2课时　零点的存在性及其近似值的求法
内　容　标　准
学　科　素　养
1.理解函数零点存在定理．
直观想象数学运算
2.会用二分法求函数变号零点的近似值，并能对二分法的过程作出程式化的步骤.
授课提示：对应学生用书第55页
[教材提炼]
知识点一　函数零点存在定理
　如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且有f(a)f(b)<0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间[a，b]中至少有一个零点，即?x0∈[a，b]，f(x0)＝0.
知识点二　二分法
1．定义
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点的方法叫做二分法．
2．求函数零点的一般步骤
已知函数y＝f(x)定义在区间[a，b]上的图像连续不断，且f(a)f(b)<0，给定近似的精度
ε，用二分法求零点x0的近似值x1，使得|x1－x0|＜
ε的一般步骤见教材．
[自主检测]
1．下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是(　　)
答案：A
2．用二分法求函数f(x)＝log2x－的零点时，初始区间可选为(　　)
A．(0,1)　　　　　　　
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
答案：C
3．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,3)内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是________．
答案：(2,2.5)
4．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(a，b)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈________(填区间)．
答案：(2,3)
授课提示：对应学生用书第56页
探究一　用二分法求函数的零点近似值
[例1]　求函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数的零点．(误差不超过0.1)
[解析]　由于f(1)＝－2<0，f(2)＝6>0，可以取区间[1,2]作为计算的初始区间．
用二分法逐次计算，列表如下：
中点横坐标
计算中点的函数值
区间
|an－bn|
[1,2]
1
x0＝＝1.5
f(x0)＝0.625>0
[1,1.5]
0.5
x2＝＝1.375
f(x2)＝－0.260<0
[1.375,1.5]
0.125
x3＝＝1.437
5
由上表的计算可知，区间[1.375,1.5]的长度小于0.2，所以这个区间的中点x3＝1.437
5可作为所求函数误差不超过0.1的一个正实数零点的近似值．
函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的图像如图所示．
实际上还可用二分法继续算下去，进而得到这个零点的精确度更高的近似值．
1．用二分法求函数的近似零点，合理确定初始区间是关键，能够减少二分的次数．
2．二分法是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，并根据所要求的精确度，用此区间的所有值均可表示零点的近似值．
3．使用二分法所具备的条件：
“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图像在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点．
求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个正数零点(精确度为0.1)．
解析：由于f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0可取区间(1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点
中点函数值
(1,2)
1.5
－2.625
(1.5,2)
1.75
0.234
4
(1.5,1.75)
1.625
－1.302
7
(1.625,1.75)
1.687
5
－0.561
8
(1.687
5,1.75)
1.718
75
－0.170
7
由于|1.75－1.687
5|＝0.062
5<0.1，
∴可将1.687
5作为函数零点的近似值．实际上，[1.687
5,1.75]内的任何一个值都可作为函数零点的近似值．
探究二　利用二分法求方程的近似值
[例2]　(1)证明方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解．(精确度0.1)
[证明]　设函数f(x)＝2x＋3x－6，
∵f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，
又∵f(x)是增函数，
∴函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一的零点，
则方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解．
设该解为x0，则x0∈[1,2]，
取x0＝1.5，f(1.5)≈1.33>0，f(1)·f(1.5)<0，
∴x0∈(1,1.5)，
取x2＝1.25，f(1.25)≈0.128>0，
f(1)·f(1.25)<0，∴x0∈(1,1.25)，
取x3＝1.125，f(1.125)≈－0.444<0，
f(1.125)·f(1.25)<0，
∴x0∈(1.125,1.25)．
取x4＝1.187
5，f(1.187
5)≈－0.16<0，
f(1.187
5)·f(1.25)<0，
∴x0∈(1.187
5,1.25)．
∵|1.25－1.187
5|＝0.062
5<0.1，
∴1.187
5可作为这个方程的实数解．
(2)求方程x2＝2x＋1的一个近似解(精确度为0.1)．
[解析]　设f(x)＝x2－2x－1.
∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，
∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有一实数根，记为x0，取2与3的平均数2.5，∵f(2.5)＝0.25>0，
∴2再取2与2.5的平均数2.25，∵f(2.25)＝－0.437
5<0，
∴2.25如此继续下去，有
f(2.375)<0，f(2.5)>0?x0∈(2.375,2.5)；
f(2.375)<0，f(2.437
5)>0?x0∈(2.375,2.437
5)．
∵|2.375－2.437
5|＝0.062
5<0.1，
∴方程x2＝2x＋1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.437
5.
用二分法求方程的近似解时应注意事项
(1)先将方程形式转化为函数形式．
(2)准确计算区间中点的函数值，进而判断零点所在的区间．
(3)求近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同.
授课提示：对应学生用书第56页
一、猜中有技巧，二分起作用——生活中的二分法的应用
1．现实生活中，有很多问题可以用二分法来求解，例如线路断路、地下管道的堵塞、水管的泄露等故障的查找，实验设计，资料查询等．
2．通过实际情景抽象出函数，将实际问题转化为用二分法求函数的最值．
[典例]　中央电视台有一档娱乐节目，主持人会给选手在限定的时间内猜某一物品的售价机会．如果猜中，就把物品奖励给选手，同时获得一枚商标．某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1
000元之间，选手开始报价：1
000元，主持人回答：高了；紧接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，你猜中了．表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？
[解析]　取价格区间[500,1
000]的中点750，如果主持人说低了，就再取[750,1
000]的中点875；否则取另一个区间[500,750]的中点625；若遇到小数取整数．照这样的方案游戏过程猜价如下：750,875,812,843,859,851，经过6次即可猜中价格．
二、用二分法求方程的近似解因区间分的不够而致误
[典例]　用二分法求方程x2－5＝0的一个近似正解(精确度0.1)为________．
[解析]　令f(x)＝x2－5，
因为f(2.2)＝－0.16＜0，f(2.4)＝0.76＞0，
所以f(2.2)·f(2.4)＜0，说明这个函数在区间(2.2，2.4)内有零点x0.
取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，f(2.3)＝0.29，
因为f(2.2)·f(2.3)＜0，所以x0∈(2.2,2.3)．
再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，
f(2.25)＝0.062
5，
因为f(2.2)·f(2.25)＜0，所以x0∈(2.2,2.25)．
由于|2.25－2.2|＝0.05＜0.1，
所以原方程的近似正解可取为2.25.
[答案]　2.25
纠错心得　解决本题易对精确度的理解不正确，错误地认为精确度ε满足的关系式为|f(a)－f(b)|＜ε，要明确精确度ε应满足的关系式是|a－b|＜ε.
PAGE3．2　函数与方程、不等式之间的关系
第1课时　函数的零点、二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
内　容　标　准
学　科　素　养
1.体会函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．
数学抽象数学运算直观想象
2.通过一元二次函数的零点问题解一元二次不等式．
3.了解高次不等式的解法.
授课提示：对应学生用书第53页
[教材提炼]
知识点一　函数零点的概念
一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点．
知识点二　二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
　
函数
y＝x2－2x－3
y＝x2－2x＋1
y＝x2－2x＋3
函数的图像
方程的实数根
x1＝－1，x2＝3
x1＝x2＝1
无实数根
不等式的解集
y＞0的解集(－∞，－1)
∪(3，＋∞)
y＞0的解集(－∞，1)
∪(1，＋∞)
y＞0的解集R
y＜0的解集(－1,3)
y<0的解集?
y<0的解集?
[自主检测]
1．函数f(x)＝2
020x－2
019的零点是(　　)
A.　
B．2
020　　C．－2
019　　D.
答案：D
2．不等式x2－4x＋3＜0的解集为(　　)
A．(1,3)
B．(－∞，1]∪[3，＋∞)
C．(－3，－1)
D．(－∞，－3]∪[－1，＋∞)
解析：作出函数y＝x2－4x＋3的图像，由图可知选A.
答案：A
3．已知某函数f(x)的图像如图所示，则函数y＝f(x)的最大零点所在的区间是________(取整数区间，区间长度为1)．
解析：在函数f(x)与x轴所有的交点中，最右边的那个交点所对应的横坐标就是函数的最大零点，故此函数的最大零点所在的区间为(6,7)．
答案：(6,7)
授课提示：对应学生用书第53页
探究一　函数的零点
[例1]　求函数f(x)＝x3－7x＋6的零点．
[解析]　令f(x)＝0，即x3－7x＋6＝0，
∴x3－x－(6x－6)＝0，
∴x(x－1)(x＋1)－6(x－1)＝0，
∴(x－1)(x－2)(x＋3)＝0，
解得x1＝1，x2＝2，x3＝－3，
∴函数f(x)＝x3－7x＋6的零点是1,2，－3.
函数零点的求法
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
(2)几何法：与函数y＝f(x)的图像联系起来，图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
若函数f(x)＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数f(x)其余的零点．
解析：由题意知f(－3)＝0，即(－3)2－3－a＝0，a＝6，
∴f(x)＝x2＋x－6.
解方程x2＋x－6＝0，
得x＝－3或2.
∴函数f(x)其余的零点是2.
探究二　二次函数的零点及其与对应方程、
不等式解集之间的关系
[例2]　解下列不等式：
(1)4x2－4x＋1>0；
(2)－x2＋6x－10>0.
[解析]　(1)∵方程4x2－4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝.作出函数y＝4x2－4x＋1的图像如图．由图可得原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为x2－6x＋10<0，
∵Δ＝36－40＝－4<0，
∴方程x2－6x＋10＝0无实根，
∴原不等式的解集为?.
解一元二次不等式的一般步骤
第一步：求函数的零点；
第二步：作出函数的图像；
第三步：求对应不等式的解集．
解下列不等式：
(1)－x2＋5x－6>0；
(2)3x2＋5x－2≥0.
解析：(1)设f(x)＝－x2＋5x－6，令f(x)＝0，
得－x2＋5x－6＝0，
即(x－2)(x－3)＝0，
从而x＝2或x＝3，
因此2和3都是函数f(x)的零点，从而f(x)的图像与x轴相交于(2,0)和(3,0)，
又因为函数的图像是开口向下的抛物线，
所以可以作出函数图像，如图①所示，
由图可知：不等式的解集为(2,3)．
(2)设f(x)＝3x2＋5x－2，令f(x)＝0，
得3x2＋5x－2＝0，
即(x＋2)＝0，
从而x＝－2或x＝，
因此－2和都是函数f(x)的零点，从而f(x)的图像与x轴相交于(－2,0)和，
又因为函数的图像是开口向上的抛物线，
所以可以作出函数图像，如图②所示．
由图可知：
不等式的解集为(－∞，－2]∪.
探究三　高次不等式的解法
[例3]　求函数f(x)＝(2x＋1)(x－1)(x－3)的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f(x)＞0和f(x)≤0的解集．
[解析]　函数零点依次为－，1,3.
函数的定义域被这三个点分成了四部分，每一部分函数值的符号如下表所示.
x
(1,3)
(3，＋∞)
f(x)
－
＋
－
＋
由此可以画出函数图像的示意图如图所示．
由图可知f(x)＞0的解集为∪(3，＋∞)；
f(x)≤0的解集为∪[1,3]．
数轴穿根法解高次不等式的步骤
第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0(注意：一定要保证x前的系数为正数)；
第二步：将不等号换成等号解出所有根；
第三步：在数轴上从左到右依次标出各根；
第四步：画穿根线：以数轴为标准，从最右根的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过第二个根，一上一下依次穿过各根；?第五步：观察不等号，如果不等号为＞，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为＜，则取数轴下方，穿根线以内的范围.
求函数f(x)＝(x＋1)(x＋2)(2x－3)的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f(x)≤0的解集．
解析：函数零点依次为－2，－1，.
函数的定义域被这三个点分成了四部分，每一部分函数值的符号如下表所示.
x
(－∞，－2)
(－2，－1)
f(x)
－
＋
－
＋
由此可以画出函数图像的示意图如图所示．
f(x)≤0的解集为(－∞，－2]∪.
授课提示：对应学生用书第54页
一、研究函数零点的个数及参数范围
将函数零点转化为两个函数图像的交点的横坐标．从而利用图像直观想象函数的变化特征，得出交点个数进而得出参数的范围．
[典例]　1.函数f(x)＝|x－2|－ln
x在定义域内零点的个数为(　　)
A．0　　　　　　　
B．1
C．2
D．3
[解析]　由题意及函数零点的定义，知f(x)在(0，＋∞)内的零点即方程|x－2|－ln
x＝0的根．令y1＝|x－2|，y2＝ln
x(x＞0)，如图，在同一个直角坐标系中分别作出两个函数的图像．由图像可得，两个函数图像有两个交点，故方程有两个根，即对应函数有两个零点．
[答案]　C
2．规定[x]表示不超过x的最大整数，f(x)＝
若方程f(x)＝ax＋1有且仅有四个实数根，则实数a的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
[解析]　将“方程f(x)＝ax＋1有且仅有四个实数根”的问题，转化为分析函数y＝f(x)与y＝ax＋1的图像交点问题．当x∈[0，＋∞)时，且f(x)＝x－k，x∈[k，k＋1)(k∈N)；当x∈(－∞，0)时，f(x)是指数型函数，将y＝x的图像向下平移2个单位，则过点(0，－1)，如图所示．而直线y＝ax＋1恒过定点(0,1)．
显然直线l1与函数图像的交点个数为4，直线l2与函数图像的交点个数为5，则当直线介于图中两条直线l1，l2之间时满足题意．
又l1的函数解析式为y＝－x＋1，
l2的函数解析式为y＝－x＋1.
故由图像直观想象，
a的取值范围为.
[答案]　B
二、忽略限制条件致错
[典例]　若函数f(x)＝x2－2ax＋2在区间[0,4]上至少有一个零点，则实数a的取值范围为________．
[解析]　因为函数f(x)＝x2－2ax＋2在区间[0,4]上至少有一个零点，且f(0)＝2＞0，
所以或
解得≤a≤4或a＞4，
即a≥.
所以实数a的取值范围为[，＋∞)．
[答案]　[，＋∞)
纠错心得　函数y＝f(x)的零点可转化为方程f(x)＝0的实数根或函数y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标，解答零点个数问题时，应注意灵活应用．如本例中，将原问题转化为函数f(x)的图像与x轴在[0,4]上至少有一个公共点．
PAGE3．1.3　函数的奇偶性
内　容　标　准
学　科　素　养
1.结合具体函数，了解奇偶性的含义．
数学抽象直观想象逻辑推理
2.学会运用函数的图像理解函数性质．
3.会利用函数奇偶性解决一些问题.
授课提示：对应学生用书第50页
[教材提炼]
知识点　函数的奇偶性
1．偶函数
设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，则这个函数叫做偶函数．偶函数图像关于y轴对称．
2．奇函数
设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数．奇函数图像关于原点对称．
[自主检测]
1．下列函数为奇函数的是(　　)
A．y＝|x|　　　　　　　　
B．y＝3－x
C．y＝
D．y＝－x2＋14
答案：C
2．若函数y＝f(x)，x∈[－2，a]是偶函数，则a的值为(　　)
A．－2
B．2
C．0
D．不能确定
答案：B
3．若点(－1,3)在奇函数y＝f(x)的图像上，则f(1)等于(　　)
A．0
B．－1
C．3
D．－3
答案：D
4．已知f(x)是偶函数，且f(2)＝2，则f(2)＋f(－2)＝________.
答案：4
授课提示：对应学生用书第50页
探究一　函数奇偶性的判断
[例1]　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x4＋2x2；
(2)f(x)＝x3＋；
(3)f(x)＝＋；
(4)f(x)＝
(5)f(x)＝.
[解析]　(1)∵f(x)的定义域为R，关于原点对称，
又f(－x)＝(－x)4＋2(－x)2＝x4＋2x2＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(2)∵f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，它关于原点对称，
又f(－x)＝(－x)3＋＝－＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(3)∵f(x)的定义域为{－1,1}，
是两个具体数，但它关于原点对称，
又f(－1)＝f(1)＝0，
f(－1)＝－f(1)＝0，
∴f(x)＝＋既是奇函数，又是偶函数．
(4)函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
①当x＞0时，－x＜0，
则f(－x)＝(－x)3＋3(－x)2－1＝－x3＋3x2－1
＝－(x3－3x2＋1)＝－f(x)．
②当x＜0时，－x＞0，
则f(－x)＝(－x)3－3(－x)2＋1＝－x3－3x2＋1
＝－(x3＋3x2－1)＝－f(x)．
由①②知，当x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，
都有f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
(5)由题设得：∴函数f(x)定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，且x＋2>0，
∴|x＋2|＝x＋2，
∴f(x)＝＝＝，
∴f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
函数奇偶性的判定方法
(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的对称区域，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的对称区域，再判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(x)±f(－x)是否等于零，或判断是否等于±1等．
用定义判断函数奇偶性的一般步骤：
①求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称．
②用－x代x，验证是否有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，
若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；
若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；
若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；
若f(－x)≠f(x)，且f(－x)≠－f(x)，则f(x)为非奇非偶函数．
(2)图像法：奇(偶)函数的等价条件是它的图像关于原点(y轴)对称．
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x5；
(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；
(3)f(x)＝.
解析：(1)函数的定义域为R.∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(2)f(x)的定义域是R.∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．
探究二　已知函数奇偶性求函数解析式
[例2]　(1)已知y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，求f(x)在R上的解析式．
[解析]　设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x.
又y＝f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝x2＋2x(x<0)．
∴f(x)＝
(2)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝x(2－x)，求函数f(x)的解析式．
[解析]　∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0.
当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝－x(2＋x)＝－f(x)，
∴f(x)＝x(x＋2)．
故f(x)＝
(3)设函数y＝F(x)的定义域为[－m，m](m＞0)．
试探究y＝F(x)可否写为奇函数f(x)，与偶函数g(x)的和的形式，若能，求出f(x)与g(x)．
[解析]　设f(x)＋g(x)＝F(x)，　　①
x∈[－m，m]．
∴f(－x)＋g(－x)＝F(－x)．
又∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，
∴－f(x)＋g(x)＝F(－x)．　　②
①＋②得，
2g(x)＝F(x)＋F(－x)，
∴g(x)＝[F(x)＋F(－x)]．
①－②得，
2f(x)＝F(x)－F(－x)，
∴f(x)＝[F(x)－F(－x)]．
故F(x)可写为f(x)＋g(x)的形式．
f(x)＝[F(x)－F(－x)]，
g(x)＝[F(x)＋F(－x)]．
利用函数奇偶性求函数解析式的步骤
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设；
(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式；
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
探究三　已知奇偶性求值或参数
[例3]　(1)若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.
(2)已知函数f(x)＝为奇函数，则a＋b＝________.
(3)设f(x)是定义在R上的奇函数，且x≥0时，f(x)＝x2＋2x＋b，则f(－1)＝________.
(4)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于________．
[解析]　(1)∵f(x)为偶函数，
∴f(x)＝f(－x)，
即(x＋a)(x－4)＝(－x＋a)(－x－4)，
整理得，2a＝8，∴a＝4.
(2)由题意知
则
∴
当a＝－1，b＝1时，经检验知f(x)为奇函数，故a＋b＝0.
(3)∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝b＝0，
∴f(x)＝x2＋2x(x≥0)，∴f(－1)＝－f(1)＝－(1＋2)＝－3.
(4)两式相加得g(1)＝3.
[答案]　(1)4　(2)0　(3)－3　(4)3
利用函数奇偶性求参数值的方法
(1)此类问题应充分运用奇(偶)函数的定义，构造函数，从而使问题得到快速解决．
(2)在定义域关于原点对称的前提下，若解析式中仅含有x的奇次项，则函数为奇函数；若解析式中仅含有x的偶次项，则函数为偶函数，常利用此结论构造函数．
(3)利用奇偶性求参数值时，应根据x∈R等式恒成立的特征求参数.
1．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，若f(－3)＝10，则f(3)＝(　　)
A．26　　　　　　　　
B．18
C．10
D．－26
解析：法一：由f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，
得f(x)＋8＝x5＋ax3＋bx.
令G(x)＝x5＋ax3＋bx＝f(x)＋8，
∵G(－x)＝(－x)5＋a(－x)3＋b(－x)＝－(x5＋ax3＋bx)＝－G(x)，
∴G(x)是奇函数，∴G(－3)＝－G(3)，
即f(－3)＋8＝－f(3)－8.又f(－3)＝10，
∴f(3)＝－f(－3)－16＝－10－16＝－26.
法二：由已知条件，得
①＋②得f(3)＋f(－3)＝－16，
又f(－3)＝10，∴f(3)＝－26.
答案：D
2．已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f＝，求函数f(x)的解析式．
解析：∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，
∴f(0)＝0，即＝0，
∴b＝0，∴f(x)＝.
又∵f＝＝a＝，∴a＝1，
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝.
授课提示：对应学生用书第52页
一、单调性与奇偶性珠联璧合的妙用
(1)将函数的奇偶性与单调性相结合，可知：
①奇函数在(－b，－a)和(a，b)上有相同的单调性．
②偶函数在(－b，－a)和(a，b)上有相反的单调性．
这里，区间(－b，－a)和(a，b)都在函数定义域内．
因此，若函数具有奇偶性，研究单调性或最值或作图像等问题，只需在非负值范围内研究即可，在负值范围内由对称性可得．
(2)研究函数的单调性、奇偶性必须在定义域上进行，如果没有给出定义域，则需先求出．
[典例]　设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－m)＜f(m)，求实数m的取值范围．
[解析]　因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是减函数，
所以f(x)在[－2,2]上是减函数．
所以不等式f(1－m)＜f(m)等价于
解得－1≤m＜.
二、由奇偶性的对称特点拓展的图像对称性
1．函数图像的轴对称
f(x)在定义域内恒满足的条件
y＝f(x)的图像的对称轴
f(a＋x)＝f(a－x)
直线x＝a
f(x)＝f(a－x)
直线x＝
f(a＋x)＝f(b－x)
直线x＝
2.函数图像的中心对称
y＝f(x)在定义域内恒满足的条件
y＝f(x)的图像的对称中心
f(a－x)＋f(a＋x)＝2b
(a，b)
f(x)＋f(a－x)＝b
f(a＋x)＋f(b－x)＝c
[典例]　若函数y＝f(x)在(0,2)上是增函数，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则下列结论正确的是(　　)
A．f(1)＜f＜f
B．f＜f(1)＜f
C．f＜f＜f(1)
D．f＜f(1)＜f
[解析]　∵y＝f(x＋2)是偶函数，
∴y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，∴f(1)＝f(3)．
又f(x)在(0,2)上为增函数，∴f(x)在(2,4)上为减函数，
∴f＜f(1)＜f.
[答案]　B
PAGE第2课时　函数的最大(小)值
内　容　标　准
学　科　素　养
1.理解函数的最大(最小)值及几何意义．
直观想象逻辑推理、数学运算
2.利用单调性求最值、比较大小、解不等式.
授课提示：对应学生用书第47页
[教材提炼]
知识点　函数的最大(小)值
一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：
(1)如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点；
(2)如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点．
[自主检测]
1．函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])的最小、最大值分别为(　　)
A．3、5　　　　　
B．－3、5
C．1、5
D．－5、3
答案：B
2．函数f(x)在[－2，＋∞)上的图像如图所示，则此函数的最大、最小值分别为(　　)
A．3、0
B．3、1
C．3、无最小值
D．3、－2
答案：C
3．函数y＝2x2＋2，x∈N
的最小值是________．
答案：4
授课提示：对应学生用书第47页
探究一　利用图像法求函数的最值
[例1]　已知函数f(x)＝求函数f(x)的最大值、最小值．
[解析]　作出f(x)的图像如图：
由图像可知，当x＝2时，f(x)取最大值为2；当x＝时，f(x)取最小值为－.
所以f(x)的最大值为2，最小值为－.
用图像法求最值的三个步骤
已知函数f(x)＝(x∈[2,6])，求函数的最大值和最小值．
解析：由函数f(x)＝(x∈[2,6])的图像(如图所示)可知，函数f(x)＝在区间[2,6]上单调递减．所以，函数f(x)＝在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值和最小值．ymax＝f(2)＝2，ymin＝f(6)＝.
探究二　利用单调性求最值
[例2]　求函数f(x)＝－x，x∈[－4,0]的最大值和最小值．
[解析]　设x1，x2是[－4,0]上的任意两个实数，且x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝－x1－＋x2
＝＋x2－x1.
∵－4≤x1＜x2≤0，
∴x1－x2＜0，x1＋x2＜0，x2－x1＞0，
∴f(x1)－f(x2)＞0，
即f(x1)＞f(x2)，
∴f(x)在[－4,0]上是减函数．
∴f(x)min＝f(0)＝3，f(x)max＝f(－4)＝9.
利用单调性求最值的一般步骤
(1)判断函数的单调性．
(2)利用单调性写出最值．
已知函数f(x)＝，x∈[－3，－2]，求f(x)的最大值和最小值．
解析：法一：设x1，x2是区间[－3，－2]上的任意两个实数，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝.
由于－3≤x1＜x2≤－2，
则x1－x2＜0，x1＋1＜0，x2＋1＜0.
所以f(x1)－f(x2)＜0，f(x1)＜f(x2)．
所以函数y＝，x∈[－3，－2]是增函数．
又因为f(－2)＝4，f(－3)＝3，
所以函数的最大值是4，最小值是3.
法二：f(x)＝＝＝2＋，所以f(x)图像的对称中心是(－1,2)，在(－∞，－1)，(－1，＋∞)是增函数，图像如图：
由图像可知f(x)在[－3，－2]的值域为[3,4]，最小值为f(－3)＝3，最大值为f(－2)＝4.
探究三　二次函数的最值问题
[例3]　(1)已知二次函数f(x)＝x2－2x＋3.
①当x∈[－2,0]时，求f(x)的最值；
②当x∈[－2,3]时，求f(x)的最值；
③当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t)．
[解析]　f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，其对称轴为x＝1，开口向上．
①当x∈[－2,0]时，f(x)在[－2,0]上是单调递减的，
故当x＝－2时，f(x)有最大值f(－2)＝11；
当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝3.
②当x∈[－2,3]时，f(x)在[－2,3]上先递减后递增，
故当x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝2.
又|－2－1|＞|3－1|，
所以f(x)的最大值为f(－2)＝11.
③a.当t＞1时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，
所以当x＝t时，f(x)取得最小值，
此时g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3.
b．当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，
f(x)在区间[t，t＋1]上先递减后递增，
故当x＝1时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(1)＝2.
c．当t＋1＜1，即t＜0时，f(t)在[t，t＋1]上单调递减，
所以当x＝t＋1时，f(x)取得最小值，
此时g(t)＝f(t＋1)＝t2＋2，
综上得，g(t)＝
(2)求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值．
[解析]　f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a.
①当a<0时，由图可知，
f(x)min＝f(0)＝－1，
f(x)max＝f(2)＝3－4a.
②当0≤a＜1时，由图可知，
f(x)min＝f(a)＝－1－a2，
f(x)max＝f(2)＝3－4a.
③当1≤a≤2时，由图可知，
f(x)min＝f(a)＝－1－a2，
f(x)max＝f(0)＝－1.
④当a>2时，由图可知，
f(x)min＝f(2)＝3－4a，
f(x)max＝f(0)＝－1.
(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．
(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图像的对称轴进行分类讨论求解.
探究四　利用单调性比较大小、解不等式
[例4]　(1)如果函数f(x)＝x2＋bx＋c，对任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x)．试比较f(1)，f(2)，f(4)的大小．
[解析]　由题意知，f(x)的对称轴为x＝2，
故f(1)＝f(3)．
∵f(x)＝x2＋bx＋c，
∴f(x)在[2，＋∞)上为增函数．
∴f(2)＜f(3)＜f(4)，
即f(2)＜f(1)＜f(4)．
(2)已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)＜f(2a－1)，求a的取值范围．
[解析]　由题意可得解得0＜a＜1.①
又f(x)在(－1,1)上是减函数，且f(1－a)＜f(2a－1)，
∴1－a＞2a－1，即a＜.②
由①②可知，0＜a＜，
即所求a的取值范围是.
1.利用单调性比较大小的方法
(1)利用函数单调性可以比较函数自变量(函数值)的大小，即已知f(x)在区间D上为增函数，则对x1，x2∈D，x1＜x2?f(x1)＜f(x2)．
(2)利用单调性比较函数值的大小，务必将自变量x的值转化到同一单调区间上才能进行比较，最后写结果时再还原回去.
2．利用函数单调性解不等式
与函数单调性有关的结论
(1)正向结论：若y＝f(x)在给定区间上是增函数，则当x1＜x2时，f(x1)＜f(x2)；当x1＞x2时，f(x1)＞f(x2)；
(2)逆向结论：若y＝f(x)在给定区间上是增函数，则当f(x1)＜f(x2)时，x1＜x2；当f(x1)＞f(x2)时，x1＞x2.
当y＝f(x)在给定区间上是减函数时，也有相应的结论．
已知函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且f(x)解析：∵f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，且f(x)∴解得授课提示：对应学生用书第49页
一、抽象函数单调性及最值的求解
抽象函数一般由方程(不等式)确定，这类函数的单调性问题一般用单调性的定义来处理，但要注意运用好所给条件，判断出函数值之间的关系，常见思路是：先在所证区间上设出任意x1，x2(x1＜x2)，然后利用题设条件向已知区间上转化，最后运用函数单调性的定义解决问题．
注意：若给出的是和型[f(x＋y)＝…]抽象函数，判定符号时的变形为f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)，f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f[(x1－x2)＋x2]；
若给出的是积型[f(xy)＝…]抽象函数，判定符号时的变形为f(x2)－f(x1)＝f－f(x1)．
[典例]　已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－.
(1)求证：f(x)在R上是减函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值与最小值．
[解析]　(1)证明：令x＝y＝0，得f(0)＋f(0)＝f(0)，
∴f(0)＝0.
又令y＝－x，得f(x)＋f(－x)＝f(x－x)＝f(0)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)．
任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
则x2－x1＞0，f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)．
∵x2－x1＞0，依题设x＞0时，有f(x)＜0，
∴f(x2－x1)＜0，即f(x2)－f(x1)＜0，
∴f(x2)＜f(x1)．
∴y＝f(x)在R上是减函数．
(2)∵[－3,3]?R，
故f(x)max＝f(－3)，f(x)min＝f(3)．
由(1)可知f(－3)＝－f(3)，
又∵f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＝f(1＋1)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝3f(1)＝3×＝－2，
∴f(－3)＝－f(3)＝2，
∴f(x)max＝f(－3)＝2，f(x)min＝f(3)＝－2.
二、忽视参数对最值的影响
[典例]　函数y＝ax＋1在区间[－1,3]上的最大值为4，求a的值．
[解析]　当a＞0时，y＝ax＋1为增函数．
∴当x＝3时，∴ymax＝3a＋1＝4.∴a＝1.
当a＜0时，y＝ax＋1为减函数．
∴当x＝－1时，ymax＝－a＋1＝4.∴a＝－3.
综上，a＝1或a＝－3.
纠错心得　忽视对a，即对函数单调性的讨论，直接认为y＝ax＋b为增函数，只有一个解，当函数的单调性受参数影响时，要根据题意进行讨论．
PAGE3．1.2　函数的单调性
第1课时　函数的单调性与证明
内　容　标　准
学　科　素　养
1.利用函数图像，直观地观察函数的单调性．
直观想象数学抽象逻辑推理
2.利用特殊函数，理解函数单调性及几何意义．
3.会根据函数的单调性定义，判断、证明单调性.
授课提示：对应学生用书第45页
[教材提炼]
知识点一　增函数与减函数的定义
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且I?D.
(1)如果对任意x1，x2∈I，当x1＞x2，都有f(x1)＞f(x2)，则称y＝f(x)在I上是增函数(也称在I上单调递增)．
(2)如果对任意x1，x2∈I，当x1＞x2，都有f(x1)＜f(x2)，则称y＝f(x)在I上是减函数(也称在I上单调递减)．
知识点二　函数的单调区间
当I为区间时，称I为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间．
知识点三　函数的平均变化率
1．一般地，若I是函数y＝f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，＝，则：
(1)y＝f(x)在I上是增函数的充要条件是＞0在I上恒成立；
(2)y＝f(x)在I上是减函数的充要条件是＜0在I上恒成立．
2．一般地，当x1≠x2时，称＝为函数
y＝f(x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x1＞x2时)上的平均变化率．
[自主检测]
1．如图所示的函数中在其定义域上是增函数的个数是(　　)
A．0　　　　　　　　　　
B．1
C．2
D．4
解析：只有①是增函数．
答案：B
2．对于函数y＝f(x)，在给定区间上有两个数x1，x2，且x1＜x2，使f(x1)＜f(x2)成立，则y＝f(x)(　　)
A．一定是增函数
B．一定是减函数
C．可能是常数函数
D．单调性不能确定
解析：根据函数单调性概念可知，y＝f(x)的单调性不确定．
答案：D
3．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是(　　)
A．y＝3－x
B．y＝x2＋1
C．y＝
D．y＝－|x|
答案：B
4．函数y＝|x－1|的增区间为________．
答案：[1，＋∞)
授课提示：对应学生用书第45页
探究一　由函数图像求函数的单调区间
[例1]　作出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图像并指出它的单调区间．
[解析]　根据绝对值的意义，y＝－x2＋2|x|＋3
＝＝.
作出函数图像如图所示，
根据图像可知，函数在区间(－∞，－1]，[0,1]上是增函数；函数在区间(－1,0)，(1，＋∞)上是减函数．
一般来说，求函数单调区间可以根据函数的图像．在某区间内，由左至右图像是上升的，该区间就是函数的单调增区间；某区间内，由左到右图像是下降的，该区间就是函数的单调减区间．
将本例函数改为f(x)＝|x2＋2x－3|，求f(x)的单调区间．
解析：令g(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4.
先作出g(x)的图像，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图像翻到x轴上方就得到f(x)＝|x2＋2x－3|的图像，如图所示．
由图像易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1,1]．
探究二　函数单调性的证明或判断
[例2]　根据定义证明y＝x＋在(0,1)上是单调递减．
[证明]　?x1，x2∈(0,1)，且x1＜x2，有
y1－y2＝－＝(x1－x2)＋
＝(x1－x2)＋＝(x1x2－1)．
由于0＜x1＜1,0＜x2＜1.
∴0＜x1x2＜1.
∴x1x2－1＜0.
又由x1＜x2，
∴x1－x2＜0，
∴(x1x2－1)＞0，
∴y1＞y2，
∴函数y＝x＋在(0,1)上是减函数．
证明或判断函数单调性的方法主要是定义法(在解决选择或填空题时有时可用图像法)，利用定义法证明或判断函数单调性的步骤是：
探究三　利用单调性求参数
[例3]　已知函数f(x)＝ax2－x＋1在(－∞，2)上单调递减，求a的取值范围．
[解析]　当a＝0时，f(x)＝－x＋1在(－∞，2)上单调递减，符合题意；
当a≠0时，要使f(x)在(－∞，2)上单调递减，则解得0＜a≤.
综上，a的取值范围为.
根据函数的单调性求参数取值范围的方法
(1)利用单调性的定义：设单调区间内x1＜x2，由f(x1)－f(x2)＜0(或f(x1)－f(x2)＞0)恒成立求参数范围．
(2)利用具体函数本身所具有的特征：如二次函数单调区间被对称轴一分为二，根据对称轴相对于所给单调区间的位置求参数．
需注意：若一函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
若函数f(x)＝在R上为增函数，则实数b的取值范围是________．
解析：要使此分段函数为R上的增函数，必须使函数g(x)＝(2b－1)x＋b－1在(0，＋∞)上是增函数；函数h(x)＝－x2＋(2－b)x在(－∞，0]上是增函数，且满足h(0)≤g(0)，根据一次函数和二次函数的单调性可得∴1≤b≤2，即实数b的取值范围是[1,2]．
答案：[1,2]
授课提示：对应学生用书第46页
一、单调性定义的拓展及规律
1.＞0?(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0?f(x)是增函数．
2.＜0?(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0?f(x)是减函数．
3．f(x)在区间A上是单调函数，则k＞0时，kf(x)的单调性不变；k＜0时，则相反．
4．f(x)，g(x)在区间A上同单调，则f(x)＋g(x)的单调性不变．
5．若f(x)在区间A上是单调函数，则的单调性相反，(f(x)＞0)、(n∈N
)的单调性相同．
6．图像关于轴(与x轴垂直)对称的函数在它们的对称区间上的单调性相反，图像关于中心对称的函数在它们的对称区间上的单调性相同．
[典例]　1.判定函数y＝x2－2x＋的单调性，并求单调区间．
[解析]　定义域为x≥1，函数y1＝x2－2x，y2＝均为增函数，则y＝x2－2x＋也为增函数，则y＝x2－2x＋的增区间为[1，＋∞)．
2．定义在R上的函数f(x)，对任意的x1，x2∈R，(x1≠x2)有＜0，若a＋b≤0，则有(　　)
A．f(a)＋f(b)≤－f(a)－f(b)
B．f(a)＋f(b)≥－f(a)－f(b)
C．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)
D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)
[解析]　由题意知，f(x)在R上为减函数．
由题意知，a≤－b，b≤－a，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，故选D.
[答案]　D
二、对“单调区间”和“在区间上单调”两个概念理解错误而致误
[典例]　若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调递减区间是(－∞，4]，求实数a的取值范围．
[解析]　函数f(x)的图像的对称轴为直线x＝1－a.
因为函数的单调递减区间是(－∞，4]，
所以1－a＝4，解得a＝－3.
故实数a的取值范围是{－3}．
纠错心得　单调区间是一个整体概念，例如函数的单调减区间是I，指的是函数递减的最大范围是区间I，而函数在某一区间上的单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．
PAGE第3课时　分段函数
内　容　标　准
学　科　素　养
1.通过具体实例，了解分段函数的概念．
数学抽象直观想象
2.能画出简单分段函数的图像.
授课提示：对应学生用书第43页
[教材提炼]
知识点　分段函数
如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．
[自主检测]
1．已知函数f(x)＝则f(2)等于(　　)
A．0　　　B.　　　C．1　　　D．2
答案：C
2．若f(x)＝且f(x)＝1，则x＝(　　)
A．1
B．－1
C．±1
D．0
答案：C
3．函数D(x)＝则其定义域为________，值域为________．
答案：R　{0,1}
4．函数y＝|x－1|的图像关于直线________对称．
答案：x＝1
授课提示：对应学生用书第43页
探究一　分段函数的定义域、值域及求值问题
[例1]　(1)若已知函数M(x)＝
求①M(－3)，②M(2)，③M[M(0)]，④f[M(－3)]，⑤F[M(a)]．
[解析]　①当x＝－3时，M(－3)＝(－3＋1)2＝4.
②当x＝2时，M(2)＝(2＋1)2＝9.
③∵M(0)＝1，
∴M[M(0)]＝M(1)＝(1＋1)2＝4.
④∵f(x)＝x＋1，
∴f[M(－3)]＝f(4)＝4＋1＝5.
⑤当a≤－1时，M(a)＝(a＋1)2，
∴f[M(a)]＝(a＋1)2＋1.
当－1＜a≤0时，M(a)＝a＋1，
∴f[M(a)]＝(a＋1)＋1＝a＋2.
当a＞0时，M(a)＝(a＋1)2，
∴f[M(a)]＝(a＋1)2＋1.
综上，f[M(a)]＝
(2)?x∈R，用m(x)表示f(x)、g(x)中的较小者，记为m(x)＝min.求m(x)的解析式，并求m(x)的值域．
[解析]　由(x＋1)2＝x＋1得x＝－1或x＝0，
即函数y＝f(x)与y＝g(x)的图像相交于两点(－1,0)和(0,1)．
结合f(x)与g(x)的图像得出
m(x)的解析式为m(x)＝
如图，值域为R.
1.分段函数定义域、值域的求法
(1)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集．
(2)分段函数的值域是各段函数值域的并集．
2．绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决．
3．分段函数求函数值的方法
(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．
(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值.
探究二　求分段函数解析式
[例2]　如图，在边长为6的正方形ABCD的边上有一点P，沿着折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动．设点P运动的路程为x，△APB的面积为y.求：(1)y与x之间的函数关系式；(2)画出y＝f(x)的图像．
[解析]　(1)按照题意，根据x的变化，写出分段函数的解析式．
当点P在线段BC上移动时，即0＜x≤6，BP＝x，
于是S△APB＝AB·BP＝×6×x＝3x；
当点P在线段CD上移动时，即6＜x≤12，S△APB＝AB·BC＝×6×6＝18；
当点P在线段DA上移动时，即12＜x＜18，S△APB＝AB·PA＝×6×(18－x)＝54－3x.
于是y＝
(2)画出y＝f(x)的图像，如图所示．
求分段函数解析式的关键点
(1)明确自变量x的分段区间及分段点．
(2)明确每一段上的函数类型用待定系数法求.
若函数y＝f(x)的图像如图所示，则其表达式f(x)为________．
解析：此函数在三个区间上的图像各不相同，故分别写出其在各区间内的函数表达式．
答案：f(x)＝
探究三　分段函数与方程、不等式
[例3]　(1)函数f(x)＝若f(x0)＝8，则x0＝________.
[解析]　当x0≤2时，f(x0)＝x＋2＝8，即x＝6，
∴x0＝－或x0＝(舍去)．
当x0＞2时，f(x0)＝2x0＝8，
∴x0＝4.
综上，x0＝－或x0＝4.
[答案]　－或4
(2)已知函数f(x)＝，若f(a)＜－3，则a的取值范围是________．
[解析]　当a≤－2时，f(a)＝a＜－3，此时不等式的解集是(－∞，－3)；
当－2＜a＜4时，f(a)＝a＋1＜－3，此时不等式无解；
当a≥4时，f(a)＝3a＜－3，此时不等式无解．
所以a的取值范围是(－∞，－3)．
[答案]　(－∞，－3)
由分段函数的函数值求自变量的方法
已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．
将本例(1)改为：若f(x)＞8，求x的范围．
解析：当
得
∴x＜－.
当
∴x＞4.
∴x的范围为(－∞，－)∪(4，＋∞)．
授课提示：对应学生用书第44页
一、形分而神不分——分段函数问题的求解方法
分段函数只是在自变量不同的范围下，有不同的解析式，但在定义域内，它还是一个函数，而不是多个函数，解决问题时，要“分段处理”，然后结果要合为一体．
[典例]　已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
[解析]　当a＜0时，1－a＞1,1＋a＜1，
所以f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－a－1，
f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝3a＋2.
因为f(1－a)＝f(1＋a)，
所以－1－a＝3a＋2，所以a＝－.
当a＞0时，1－a＜1,1＋a＞1，
所以f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，
f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－3a－1.
因为f(1－a)＝f(1＋a)，所以2－a＝－3a－1
所以a＝－(舍去)．综上所述，a＝－.
[答案]　－
二、不分类讨论致错
[典例]　若函数f(x)＝则方程f(x)＝1的解是(　　)
A.或2　　
B.或3
C.或4
D．±或4
[解析]　当－1≤x≤2时，
由f(x)＝1得，3－x2＝1，
所以x＝或x＝－(舍去)．
当2＜x≤5时，
由f(x)＝1得，x－3＝1，所以x＝4.
综上，f(x)＝1的解是x＝或x＝4.
[答案]　C
纠错心得　解决分段函数求值问题，要紧扣“分段”的特征，即函数在定义域的不同部分，有不同的对应关系，它不是几个函数，而是一个函数，应看成一个整体才有意义，它的定义域应是各部分x范围的并集，求值时要重视x的取值范围．如本例当－1≤x≤2时，求出x＝或x＝－，通过检验应舍去x＝－.
PAGE第2课时　函数的表示方法
内　容　标　准
学　科　素　养
1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图像法、列表法．
直观想象、逻辑推理数学抽象
2.会根据不同的需要选择恰当方法表示函数.
授课提示：对应学生用书第40页
[教材提炼]
知识点　函数的表示方法
　
[自主检测]
1.函数y＝f(x)的图像如图，则f(x)的定义域是(　　)
A．R
B．(－∞，1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，0)∪(0，＋∞)
D．(－1,0)
答案：C
2．已知y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为(　　)
A．y＝　　　　　　
B．y＝－x
C．y＝
D．y＝
答案：C
3．若f(x)＝，且f(x)＝1，则x＝(　　)
A．1　　　　　　
B．－1
C．±1
D．0
答案：C
4．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))＝________.
x
1
2
3
4
f(x)
3
2
4
1
答案：1
授课提示：对应学生用书第40页
探究一　列表法表示函数
[例1]　(1)某路公共汽车，行进的站数与票价关系如下表：
行进的站数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
票价(元)
0.5
0.5
0.5
1
1
1
1.5
1.5
1.5
若某人乘坐此公共汽车7站后下车，票价应为________元．
(2)下表表示函数y＝f(x)，则f(x)＞x的整数解的集合是________.
x
0＜x＜5
5≤x＜10
10≤x＜15
15≤x＜20
y＝f(x)
4
6
8
10
(3)已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其函数对应关系如表：
x
1
2
3
f(x)
2
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则方程g(f(x))＝x的解集为________．
[解析]　(1)观察表格可知，自变量(行进的站数)为7时函数的值为1.5，所以此人乘车的票价应为1.5元．
(2)当0＜x＜5时，f(x)＞x的整数解为{1,2,3}．
当5≤x＜10时，f(x)＞x的整数解为{5}．
当10≤x＜15时，f(x)＞x的整数解为?.
当15≤x＜20时，f(x)＞x的整数解为?.
综上所述，f(x)＞x的整数解的集合是{1,2,3,5}．
(3)当x＝1时，f(x)＝2，g(f(x))＝2，不符合题意；
当x＝2时，f(x)＝3，g(f(x))＝1，不符合题意；
当x＝3时，f(x)＝1，g(f(x))＝3，符合题意，
综上，方程g(f(x))＝x的解集为{3}．
[答案]　(1)1.5　(2){1,2,3,5}　(3){3}
列表法表示函数的相关问题的解法
解决此类问题关键在于弄清每个表格表示的函数，对于f(g(x))这类函数值的求解，应从内到外逐层求解，而求解不等式，则可分类讨论或列表解决．
1．在本例(3)条件下，求不等式f(g(x))＞g(f(x))的解集．
解析：f(g(x))与g(f(x))与x相对应的值如表所示：
x
1
2
3
f(g(x))
1
3
2
g(f(x))
2
1
3
不等式f(g(x))＞g(f(x))的解集为{2}．
2．若例题(3)改为：表格所表示的y是x的函数.
x
1
2
3
4
y
4
3
2
1
定义域为________，值域为________．
答案：{1,2,3,4}　{4,3,2,1}
探究二　函数的图像及应用
[例2]　(1)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是(　　)
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
[解析]　2016年8月到9月，10月到11月等是逐月下降的，故A错．
[答案]　A
(2)已知二次函数y＝－x2＋4x－3.
①指出该函数图像的开口方向、对称轴方程、顶点坐标、与坐标轴的交点的坐标，并画出函数图像的草图．
②说明其图像由y＝－x2的图像经过怎样平移得来的．
③当定义域为[0,3]时，结合该二次函数图像求该函数的值域．
[解析]　①y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，图像的开口向下，对称轴方程为x＝2，顶点坐标为(2,1)．令y＝0解得，x＝1或x＝3，所以此函数图像与x轴相交于点(1,0)和(3,0)，令x＝0解得，y＝－3，所以此函数图像与y轴相交于点(0，－3)，
画出此函数的图像，如图所示：
②由y＝－x2的图像向右平移2个单位长度，得函数y＝－(x－2)2的图像，再向上平移1个单位长度，得函数y＝－(x－2)2＋1的图像．
③画出函数y＝－x2＋4x－3，x∈[0,3]的图像，如图所示，观察图像可知该函数的值域为[－3,1]．
作函数图像的基本步骤
利用图像认识函数
左右看范围→函数的定义域
上下看范围→函数的值域
左右看变化→函数值随x的变化情况
1.某地一年内的气温Q(t)(单位：℃)与时间t(月份)之间的关系如图所示，已知该年的平均气温为10
℃.令C(t)表示时间段[0，t]的平均气温，C(t)与t之间的函数关系用下列图像表示，则正确的应该是(　　)
解析：依题设当t＝12时，C(t)＝10，排除D；由年平均气温为10
℃知C(t)不会都在10
℃以下，排除B；依题图知在t∈[0,6]内，Q(t)的图像关于(3,0)中心对称，因此C(6)＝0，排除C，故选A.
答案：A
2．已知函数为y＝x2－2x，x∈[－1,2)，试画出此函数的图像．
解析：y＝x2－2x
＝(x－1)2－1.
当x＝－1时，y＝3；
当x＝0时，y＝0；
当x＝1时，y＝－1；
当x＝2时，y＝0.
如图开口向上的部分抛物线段．
探究三　求函数解析式
[例3]　(1)(待定系数法)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝16x－25，求f(x)．
[解析]　设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b，
∴k2x＋kb＋b＝16x－25.
∴
∴或
∴f(x)＝4x－5或f(x)＝－4x＋.
(2)换元法(或配凑法)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式．
[解析]　法一(换元法)：令t＝＋1，则x＝(t－1)2，t≥1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，
所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．
法二(配凑法)：f(＋1)＝x＋2＝x＋2＋1－1＝(＋1)2－1.
因为＋1≥1，所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．
(3)(方程组法)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)．
[解析]　∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，①
∴将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.②
∴由①②得3f(x)＝x2－6x，∴f(x)＝x2－2x.
求函数解析式的方法
提醒：换元法要注意新元“t”的取值范围，否则易弄错函数定义域.
1．设函数f＝x，则f(x)的表达式为(　　)
A.　　　
B.
C.
D.
解析：令t＝，解得x＝，
代入f＝x，可得f(t)＝，
∴f(x)＝.
答案：C
2．已知f(x)满足2f(x)＋f＝3x，则f(x)＝________.
解析：
∴①×2－②得
3f(x)＝6x－，
∴f(x)＝2x－.
答案：2x－
授课提示：对应学生用书第42页
一、一“图”胜万言——函数图像的应用
[典例]　已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图像如图所示，则b的取值范围是(　　)
A．(－∞，0)　　　　　
B．(0,1)
C．(1,2)
D．(2，＋∞)
[解析]　法一：由f(x)的图像知点(0,0)，(1,0)，(2,0)在图像上，得
?
∴f(x)＝ax3－3ax2＋2ax.
又由图像知f(－1)＜0，
∴－a－3a－2a＜0?a＞0，
则b＝－3a＜0.
故选A.
法二：由三次函数f(x)的图像过(0,0)，(1,0)，(2,0)点，可设f(x)＝ax(x－1)(x－2)＝ax3－3ax2＋2ax.
又∵f(3)＞0，得6a＞0?a＞0，
∴b＝－3a＜0.故选A.
[答案]　A
二、忽视新元的范围
[典例]　已知f(x2＋1)＝x2＋，求f(x)的解析式．
[解析]　设t＝x2＋1，
∴t≥1，
∴x2＝t－1，
∴f(t)＝t－1＋，
∴f(x)＝x＋－1(x≥1)．
纠错心得　此题用换元法或配凑法求出f(x)后，易丢定义域的证明(x≥1)．
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