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§1　函数的单调性与极值
1．1　导数与函数的单调性
授课提示：对应学生用书第25页
[自主梳理]
一、导函数符号与函数的单调性之间的关系
1．如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数________，则在这个区间上，函数y＝f(x)是增加的．
2．如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数________，则在这个区间上，函数y＝f(x)是减少的．
二、导函数绝对值大小对函数变化快慢的影响
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值变化较大，那么函数值在这个范围内变化的________，这时，函数的图像就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图像就______一些．
[双基自测]
1．当x>0时，f(x)＝＋x，则f(x)的递减区间是(　　)
A．(2，＋∞)　　　　　　
B．(0,2)
C．(，＋∞)
D．(0，)
2．函数y＝xcos
x－sin
x在下面哪个区间内是增函数(　　)
A.
B．(π，2π)
C.
D．(2π，3π)
3．f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图像如图所示，则f(x)的图像可能是(　　)
4．若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的范围是______．
[自主梳理]一、f′(x)>0　f′(x)<0　二、快　“平缓”[双基自测]1．D　f′(x)＝－＋1，x>0，由f′(x)<0，x>0，得00时，f(x)的递减区间是(0，)．2．B3．D　由图知f′(x)在区间[a，b]上先增大后减小，但始终大于等于0，则f(x)的图像上点的切线的斜率应先增大后减小，只有D符合．4．(－∞，－1]　因为f′(x)＝－x＋＜0，在x∈(－1，＋∞)上恒成立，所以b＜x(x＋2)在x∈(－1，＋∞)上恒成立．而x(x＋2)在(－1，＋∞)上大于－1，所以b≤－1.
授课提示：对应学生用书第26页
探究一　求函数的单调区间
[例1]　已知函数f(x)＝x2＋aln
x(a∈R，a≠0)，求f(x)的单调区间．
[解析]　函数f(x)＝x2＋aln
x的导数为
f′(x)＝x＋.
(1)当a>0时，函数的定义域是(0，＋∞)，
于是有f′(x)＝x＋>0，
所以函数只有单调递增区间，其增区间是(0，＋∞)．
(2)当a<0时，函数的定义域是(0，＋∞)，
于是由f′(x)＝x＋>0，得x>；
由f′(x)＝x＋<0，
得0所以当a<0时，函数的单调递增区间是(，＋∞)，单调递减区间是(0，)．
当函数解析式中含有参数时，求其单调区间问题往往要转化为解含参数的不等式问题，这时应对所含参数进行适当地分类讨论，做到不重不漏，最后要将各种情况分别进行表述．
1．试确定下列函数的单调递减区间：
(1)f(x)＝x＋(a>0)；
(2)f(x)＝x3－(a＋a2)x2＋a3x＋a2.
解析：(1)函数的定义域为{x|x≠0}．
f′(x)＝(x＋)′＝1－＝(x＋)(x－)．
要求f(x)的递减区间，故不妨令f′(x)<0，则(x＋)·(x－)<0，解得－∴函数的递减区间为(－，0)和(0，)．
(2)y′＝x2－(a＋a2)x＋a3＝(x－a)(x－a2)，
令y′<0，得(x－a)(x－a2)<0.
①当a<0时，不等式的解集为a②当0③当a>1时，不等式解集为a④a＝0，a＝1时，y′≥0，此时，无减区间．
综上所述：
当a<0或a>1时，函数f(x)的递减区间为(a，a2)；
当0当a＝0，a＝1时，无减区间．
探究二　判断或证明函数的单调性
[例2]　证明函数f(x)＝在区间(0,2)上是增加的．
[解析]　由于f(x)＝，
所以f′(x)＝＝，
由于0＜x＜2，所以ln
x＜ln
2＜1，
故f′(x)＝＞0，
即函数在区间(0,2)上是增加的．
利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式f′(x)＞0(f′(x)＜0)在给定区间上恒成立．一般步骤为：①求导f′(x)；②判断f′(x)的符号；③给出单调性结论．
2．判断y＝ax3－1(a∈R)在R上的单调性．
解析：∵y′＝3ax2，又x2≥0.
(1)当a＞0时，y′≥0，函数在R上单调递增；
(2)当a＜0时，y′≤0，函数在R上单调递减；
(3)当a＝0时，y′＝0，函数在R上不具备单调性．
探究三　已知函数的单调性求参数的取值范围
[例3]　若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，求实数m的取值范围．
[解析]　f′(x)＝3x2＋2x＋m，由于f(x)是R上的单调函数，所以f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立．
由于导函数的二次项系数3＞0，所以只能有f′(x)≥0恒成立．
法一：由上述讨论可知要使f′(x)≥0恒成立，
只需使方程3x2＋2x＋m＝0的判别式Δ＝4－12m≤0，
故m≥.
经检验，当m＝时，只有个别点使f′(x)＝0，符合题意．
所以实数m的取值范围是m≥.
法二：3x2＋2x＋m≥0恒成立，即m≥－3x2－2x恒成立．
设g(x)＝－3x2－2x＝－32＋，易知函数g(x)在R上的最大值为，所以m≥.
经检验，当m＝时，只有个别点使f
′(x)＝0，符合题意．所以实数m的取值范围是m≥.
已知函数y＝f(x)，x∈[a，b]的单调性，求参数的取值范围的步骤：(1)求导数y＝f′(x)；(2)转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在x∈[a，b]上恒成立问题；(3)由不等式恒成立求参数范围；(4)验证等号是否成立．
3．若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)内为减少的，在区间(6，＋∞)内是增加的，试求实数a的取值范围．
解析：函数f(x)的导数f′(x)＝x2－ax＋a－1.
令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝a－1.
当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)内是增加的，不合题意；
当a－1>1，即a>2时，函数f(x)在(－∞，1)内是增加的，在(1，a－1)内是减少的，在(a－1，＋∞)内是增加的．
依题意应有当x∈(1,4)时，f′(x)<0；当x∈(6，＋∞)时，f′(x)>0.
所以4≤a－1≤6，解得5≤a≤7.
所以a的取值范围为[5,7]．
利用单调性证明方程有唯一解
[例4]　证明方程x－sin
x＝0有唯一解．
[证明]　设f(x)＝x－sin
x，显然x＝0是方程x－sin
x＝0的一个解．
因为f′(x)＝1－cos
x，当x∈R时，f′(x)＞0总成立，
所以函数f(x)在R上是递增的．
所以曲线f(x)＝x－sin
x与x轴只有一个交点，
所以方程x－sin
x＝0有唯一解．
[感悟提高]　证明此类问题有两个关键点：一是函数在定义域内有唯一解；二是函数在定义域内是递增的(或递减的)，二者缺一不可，推理证明要严密．
PAGE1．2　函数的极值
授课提示：对应学生用书第27页
[自主梳理]
一、函数的极值的有关概念
1．在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都小于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的________，其函数值f(x0)为函数的________．
在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都大于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的________，其函数值f(x0)为函数的________．
极大值与极小值统称为________，极大值点与极小值点统称为________．
2．结论：如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的，则________是极大值点，________是极大值．
如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的，则________是极小值点，________是极小值．
二、求函数y＝f(x)的极值点的步骤
1．求出导数f′(x)．
2．解方程f′(x)＝0.
3．对于方程f′(x)＝0的每一个解x0，分析f′(x)在x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性)，确定极值点：
(1)若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为________；
(2)若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为________；
(3)若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0________.
[双基自测]
1．关于函数的极值，下列说法正确的是(　　)
A．导数为零的点一定是函数的极值点
B．函数的极小值一定小于它的极大值
C．f(x)在定义域内最多只能有一个极大值和一个极小值
D．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数
2．函数f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的极值点的个数是(　　)
A．2　　　　　　　　
B．1
C．0
D．由a确定
3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是________．
[自主梳理]一、1.极大值点　极大值　极小值点　极小值　极值　极值点　2.x0　f(x0)　x0　f(x0)　二、3.极大值点　极小值点　不是极值点[双基自测]1．D　导数为零的点不一定是极值点，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．极小值不一定小于极大值．f(x)在定义域内可能有多个极值点．2．C　∵f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0恒成立，∴函数f(x)在R上单调递增，无极值点．3．{a|a＜－3或a＞6}　f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，若函数f(x)有极大值和极小值，则f′(x)有两个零点，令f′(x)＝0，则Δ＝(2a)2－4×3(a＋6)＞0，解得a＜－3或a＞6.
授课提示：对应学生用书第28页
探究一　求函数的极值
[例1]　求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x4－4x3＋5；
(2)f(x)＝.
[解析]　(1)因为f(x)＝x4－4x3＋5，
所以f′(x)＝4x3－12x2
＝4x2(x－3)．
令f′(x)＝4x2(x－3)＝0，得x1＝0，x2＝3.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
－
0
－
0
＋
f(x)
?
不是极值
?
极小值
?
故当x＝3时函数取得极小值，且f(3)＝－22.
(2)函数f(x)＝的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝.
令f′(x)＝＝0，
得x＝e.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(0，e)
e
(e，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
?
极大值
?
故当x＝e时函数取得极大值，且f(e)＝.
求函数的极值必须严格按照求函数极值的方法步骤进行，其重点是列表考查导数为零的点的左右两侧的导数值是否异号，若异号，则有极值；否则，没有极值．例如本例(1)中虽有f′(0)＝0，但由于其两侧的导数值的符号相同，所以x＝0不是函数的极值点．另外，在求函数的极值前，一定要首先研究函数的定义域，在定义域的前提下研究极值．
1．求下列函数的极值：
(1)y＝x2－7x＋6；(2)y＝x3－27x.
解析：(1)y′＝2x－7，令y′＝0，得x＝.
当x变化时，y′，y的变化情况见下表：
x
(－∞，)
(，＋∞)
y′
－
0
＋
y
－
∴当x＝时，y有极小值，且y极小值＝－.
(2)y′＝3x2－27，令y′＝0，得x＝－3或x＝3.
当x变化时，y′，y的变化情况见下表：
x
(－∞，－3)
－3
(－3,3)
3
(3，＋∞)
y′
＋
0
－
0
＋
y
?
54
?
－54
?
∴当x＝－3时，y有极大值，且y极大值＝54；当x＝3时，y有极小值，且y极小值＝－54.
探究二　已知函数极值求参数的值
[例2]　已知函数f(x)＝ax3＋bx2，当x＝1时，有极大值3.
(1)求a，b的值；(2)求函数y＝f(x)的极小值．
[解析]　(1)∵当x＝1时，函数有极大值3，
f′(x)＝3ax2＋2bx，
∴∴
解得a＝－6，b＝9.
(2)f′(x)＝－18x2＋18x＝－18x(x－1)．
当f′(x)＝0时，x＝0或x＝1.
当f′(x)＞0时，0＜x＜1；
当f′(x)＜0时，x＜0或x＞1.
∴函数f(x)＝－6x3＋9x2的极小值为f(0)＝0.
解决这类问题的方法是根据求函数极值的步骤，利用极值点与导数的关系，建立字母系数的方程，通过解方程或方程组确定字母系数，从而解决问题．
2．已知函数f(x)＝ae2x－be－2x－cx(a，b，c∈R)的导函数f′(x)为偶函数，且曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为4－c.
(1)确定a，b的值；
(2)若c＝3，判断f(x)的单调性；
(3)若f(x)有极值，求c的取值范围．
解析：(1)对f(x)求导得f′(x)＝2ae2x＋2be－2x－c，
由f′(x)为偶函数，知f′(－x)＝f′(x)，
即2(a－b)(e2x－e－2x)＝0，所以a＝b.
又f′(0)＝2a＋2b－c＝4－c，故a＝1，b＝1.
(2)当c＝3时，f(x)＝e2x－e－2x－3x，那么f′(x)＝2e2x＋2e－2x－3≥2－3＝1＞0，故f(x)在R上为增函数．
(3)由(1)知f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c，而2e2x＋2e－2x≥2＝4，
当x＝0时等号成立．
下面分三种情况进行讨论．
当c＜4时，对任意x∈R，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c＞0，
此时f(x)无极值；
当c＝4时，对任意x≠0，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－4＞0，
此时f(x)无极值；
当c＞4时，令e2x＝t，注意到方程2t＋－c＝0有两根t1,2＝＞0，
即f′(x)＝0有两个根x1＝ln
t1或x2＝ln
t2.
当x1＜x＜x2时f′(x)＜0；又当x＞x2时，f′(x)＞0，
从而f(x)在x＝x2处取得极小值．
综上，若f(x)有极值，则c的取值范围为(4，＋∞)．
探究三　极值的综合问题
[例3]　设函数f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中a≥1.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)讨论f(x)的极值．
[解析]　由已知得f′(x)＝6x[x－(a－1)]，
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝a－1.
(1)当a＝1时，f′(x)＝6x2≥0，
故f(x)在(－∞，＋∞)上是增加的．
当a>1时，f′(x)＝6x[x－(a－1)]．
f′(x)、f(x)随x的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0，a－1)
a－1
(a－1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
从上表可知函数f(x)在(－∞，0)上是增加的，在(0，a－1)上是减少的，在(a－1，＋∞)上是增加的．
(2)由(1)知，当a＝1时，函数f(x)没有极值．
当a>1时，函数f(x)在x＝0处取得极大值1，在x＝a－1处取得极小值1－(a－1)3.
极值问题的综合应用主要是利用函数的单调性和极值确定函数图像的大致形状和位置．题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想、数形结合思想在解题中的应用，熟练掌握单调性问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键．
3．设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同实根，求实数a的取值范围；
(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围．
解析：(1)∵f′(x)＝3x2－6，
令f′(x)＝0，解得x1＝－，x2＝，
∴当x<－或x>时，f′(x)>0，
当－∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)；
f(x)的单调递减区间为(－，)．
当x＝－时，f(x)有极大值5＋4；
当x＝时，f(x)有极小值5－4.
(2)由(1)得函数y＝f(x)的图像大致形状如图所示，
当5－4直线y＝a与y＝f(x)的图像有三个不同交点，
即方程f(x)＝a有三个不同的解．
(3)f(x)≥k(x－1)，
即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)．
∵x>1，
∴k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立．
令g(x)＝x2＋x－5，g(x)在(1，＋∞)上是增函数，
∴g(x)>g(1)＝－3.
∴k的取值范围是k≤－3.
分类讨论思想在求函数极值中的应用
[例4]　已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx－2的图像过点(－1，－6)，且函数g(x)＝f′(x)＋6x的图像关于y轴对称．
(1)求m，n的值及函数y＝f(x)的单调区间；
(2)若a＞0，求函数y＝f(x)在区间(a－1，a＋1)内的极值．
[解析]　(1)由函数f(x)的图像过点(－1，－6)，
得m－n＝－3.①
由f(x)＝x3＋mx2＋nx－2，
得f′(x)＝3x2＋2mx＋n，
所以g(x)＝f′(x)＋6x＝3x2＋(2m＋6)x＋n.
因为g(x)的图像关于y轴对称，所以－＝0，
所以m＝－3，代入①得n＝0，
所以f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．
由f′(x)＞0，得x＞2或x＜0，
所以f(x)的递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)；
由f′(x)＜0，得0＜x＜2，
所以f(x)的递减区间是(0,2)．
(2)由(1)得f(x)＝x3－3x2－2，f′(x)＝3x(x－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
由此可得：
当0＜a＜1时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值f(0)＝－2，无极小值；
当a＝1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值；
当1＜a＜3时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极小值f(2)＝－6，无极大值；
当a≥3时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值．
综上可得，当0＜a＜1时，f(x)有极大值－2，无极小值；
当1＜a＜3时，f(x)有极小值－6，无极大值；
当a＝1或a≥3时，f(x)无极值．
[感悟提高]　在求函数极值时，若极值点与区间的关系不能确定，应分类讨论极值点是否在区间内，从而确定极值情况，如本题第(2)小题中区间(a－1，a＋1)就不确定，因此先求函数f(x)在R上的极值，再根据区间(a－1，a＋1)内是否含有极值点讨论a的值，确定区间(a－1，a＋1)的极值情况．
PAGE§2　导数在实际问题中的应用
2．1　实际问题中导数的意义
授课提示：对应学生用书第30页
[自主梳理]
　生活中的变化率问题
1．在物理学中，通常称力在单位时间内做的功为______，它的单位是________．
2．在气象学中，通常把在单位时间(如1时、1天等)内的降雨量称作________，它是反映一次________的一个重要指标．
3．在经济学中，通常把生产成本y关于产量x的函数y＝f(x)的导函数称为________，f′(x0)指的是当产量为x0时，生产成本的增加速度，也就是当产量为x0时，每增加一个单位的产量，需要增加f′(x0)个单位的成本．
[双基自测]
1．如果物体做直线运动的方程为s(t)＝2(1－t)2，则其在t＝4
s时的瞬时速度为(　　)
A．12　　　
B．－12　　　
C．4　　　
D．－4
2．某河流在一段时间x
min内流过的水量为y
m3，y是x的函数，y＝f(x)＝，当x从1变到8时，y关于x的平均变化率为(单位：m3/min)(　　)
A.
B.
C.
D.
3．某吊装设备在工作时做的功W(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，设这个函数可表示为W(t)＝t3－2t＋6，则在t＝2时此设备的功率为________
W.
4．网球运动员用球拍击打网球后，在开始的一段时间内网球的运动路程s(m)与时间t(s)的函数关系为s＝－t2＋50t，则在击球后5
s，网球的速度为________
m/s.
[自主梳理]1．功率　瓦特　2.降雨强度　降雨大小　3.边际成本[双基自测]1．A　s′(t)＝－4(1－t)．t＝4
s时，s′(4)＝12.所以瞬时速度为12.2．C　当x从1变到8时，y关于x的平均变化率为＝＝(m3/min)，它表示时间从1
min增加到8
min的过程中，每增加1
min水流量平均增加m3.3．10　W′(t)|t＝2＝(3t2－2)|t＝2＝10.4．40　s′|t＝5＝(－2t＋50)|t＝5＝40.
授课提示：对应学生用书第31页
探究一　导数在物理学中的应用
[例1]　自由落体运动的运动方程为s＝gt2.
(1)求t从3
s变到3.1
s时，s关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义；
(2)求s′(3)(s的单位为m，t的单位为s)．
[解析]　(1)Δs＝s(3.1)－s(3)
＝g×3.12－g×32＝0.305g(m)，
Δt＝3.1－3＝0.1(s)，
∴＝＝3.05g(m/s)．
它表示在t＝3
s到t＝3.1
s这段时间内，自由落体运动的物体的平均速度为3.05g(m/s)．
(2)s′＝gt，∴s′(3)＝3g(m/s)．它表示自由落体运动的物体在t＝3
s时的瞬时速度为3g(m/s)．
路程对时间的导数是速度，速度对时间的导数是加速度．
1．如果一个质点从固定点A开始运动，在时间t的位移函数是y＝s(t)＝3＋t3.求：
(1)t＝4时，物体的位移s(4)；
(2)t＝3到t＝4的平均速度\s\up6(－(－)；
(3)t＝4时，物体的速度v(4)；
(4)t＝4时，物体的加速度a(4)．
解析：(1)s(4)＝3＋43＝67.
(2)s(3)＝3＋33＝30，\s\up6(－(－)＝＝37.
(3)s′(t)＝3t2，v(4)＝s′(4)＝48.
(4)v(t)＝3t2，则a(t)＝v′(t)＝6t，∴a(4)＝24.
探究二　导数在日常生活中的应用
[例2]　一底半径为r
cm，高为h
cm的倒立圆锥容器，若以n
cm3/s的速率向容器内注水，求液面高度的瞬时变化率．
[解析]　如图，设注水t
s时，水面的高度为y，水面半径为x，则＝，
∴x＝y，∴tn＝x2y，
∴体积tn＝·y3，∴y＝
＝
·.
∴液面高度的瞬时变化率为v＝y′t＝
·t－.
实际生活中的一些问题，如在生活和生产及科研中经常遇到的成本、用料、效率和利润等问题，在讨论其改变量时常用导数解决．
2．某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件，假设日产品的总成本C(元)与日产量x(件)的函数关系式为C(x)＝x2＋60x＋2
050.求：
(1)日产量为75件时的总成本和平均成本；
(2)当日产量由75件提高到90件时，总成本的平均改变量；
(3)当日产量为75件时的边际成本．
解析：(1)日产量为75件时的总成本和平均成本分别为C(75)＝7
956.25(元)，≈106.08(元/件)．
(2)当日产量由75件提高到90件时，总成本的平均改变量＝＝101.25(元/件)．
(3)∵C′(x)＝x＋60，
∴当日产量为75件时的边际成本C′(75)＝97.5(元/件)．
瞬时速度、平均速度概念混淆致误
[例3]　一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2.
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；
(3)求t＝0到t＝2时的平均速度．
[解析]　(1)s′＝(3t)′－(t2)′＝3－2t，
t＝0时，v0＝s′(0)＝3－2×0＝3.
(2)t＝2时，v2＝s′(2)＝3－2×2＝－1.
(3)＝＝＝1.
[错因与防范]　本题易错把初速度当做t＝0时的位移；同时易把(2)(3)题瞬时速度，平均速度的概念混淆．解决本题时，关键是要弄清初速度，瞬时速度及平均速度的概念，要知道初速度，瞬时速度是通过求导得到的．
PAGE2．2　最大值、最小值问题
授课提示：对应学生用书第32页
[自主梳理]
　函数的最大值与最小值
1．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0)．
2.
最大值或者在__________取得，或者在________取得．
3．要想求函数的最大值，应首先求出函数的极大值点，然后将所有极大值点与区间端点的函数值进行比较，其中________即为函数的最大值．
4．函数的最小值点也具有类似的意义和求法．函数的________和________统称为最值．
[双基自测]
1．函数f(x)＝2x－cos
x在(－∞，＋∞)上(　　)
A．是增函数，无最值　　　　
B．是减函数，无最值
C．有最大值
D．有最小值
2．将8分为两数之和，使其立方之和为最小，则分法为(　　)
A．2和6
B．4和4
C．3和5
D．以上都不对
3．用边长为48
cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，当所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为(　　)
A．6
cm
B．8
cm
C．10
cm
D．12
cm
4．若函数f(x)在[a，b]上满足f′(x)>0，则f(a)是函数的最________值，f(b)是函数的最________值．
[自主梳理]2．极大值点　区间的端点　3.最大的值　4.最大值　最小值[双基自测]1．A　f′(x)＝2＋sin
x>0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．2．B　设其中一个数为x，则另一个数为8－x，y＝x3＋(8－x)3,0≤x≤8，y′＝3x2－3(8－x)2，令y′＝0，即3x2－3(8－x)2＝0，得x＝4.当0≤x≤4时，y′＜0；当4＜x≤8时，y′＞0.所以当x＝4时，y最小．3．B　设截去的小正方形的边长为x
cm，铁盒的容积为V
cm3，由题意，得V＝x(48－2x)2(0＜x＜24)，V′＝12(24－x)(8－x)．令V′＝0，则在(0,24)内有解x＝8，故当x＝8时，V有最大值．4．小　大　f′(x)>0，所以f(x)在[a，b]上是增加的，f(b)为最大值，f(a)为最小值．
授课提示：对应学生用书第33页
探究一　求函数的最值
[例1]　求下列函数在给定区间上的最值：
(1)f(x)＝2x3－3x2－12x＋5，x∈[－2,3]；
(2)f(x)＝sin
2x＋x，x∈[－，]．
[解析]　(1)f′(x)＝6x2－6x－12，
令f′(x)＝0，则6x2－6x－12＝0，
即x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2.
∵f(－1)＝12，f(2)＝－15，f(－2)＝1，f(3)＝－4，
∴函数f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在x∈[－2,3]上的最大值为12，最小值为－15.
(2)f′(x)＝2cos
2x＋1，
令f′(x)＝0，又x∈[－，]，得x＝或x＝－.
∵f()＝＋，f(－)＝－－，
又f()＝，f(－)＝－，
∴f(x)max＝＋，f(x)min＝－－.
求函数在闭区间上的最值时，一般是先找出该区间上使导数为零的点，无需判断出是极大值还是极小值，只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值．
1．设函数f(x)＝ln(2x＋3)＋x2.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)求f(x)在区间[－，]上的最大值和最小值．
解析：f(x)的定义域为(－，＋∞)．
(1)f′(x)＝＋2x＝＝.
当－0；
当－1当x>－时，f′(x)>0.
所以f(x)在区间(－，－1)，(－，＋∞)上是增加的，在区间(－1，－)上是减少的．
(2)由(1)知f(x)在区间[－，]上的最小值为
f(－)＝ln
2＋.
又因为f(－)－f()＝ln＋－ln－
＝ln＋＝(1－ln)<0，
所以f(x)在区间[－，]上的最大值为
f()＝＋ln.
探究二　求含参数的函数的最值
[例2]　已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．
(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值．
[解析]　(1)f′(x)＝3x2－2ax，
因为f′(1)＝3－2a＝3，所以a＝0.
又当a＝0时，f(1)＝1，f′(1)＝3，
所以曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为3x－y－2＝0.
(2)令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝.
当≤0，即a≤0时，f(x)在[0,2]上是增加的，从而f(x)max＝f(2)＝8－4a；
当≥2，即a≥3时，f(x)在[0,2]上是减少的，从而f(x)max＝f(0)＝0；
当0<<2，即0综上所述，f(x)max＝
含参数时，应分类讨论，应分清讨论的原因，如本题要比较两根在不在区间[0,2)内或根之间要分出大小．
2．已知函数f(x)＝(x－k)ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．
解析：(1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.
令f′(x)＝0，得x＝k－1.
x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：
x
(－∞，k－1)
k－1
(k－1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
－ek－1
?
所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．
(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上是增加的，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；
当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时，由(1)知f(x)在[0，k－1]上是减少的，在(k－1,1]上是增加的，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；
当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上是减少的．
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.
探究三　生活中的优化问题
[例3]　某种商品每件的成本为9元，当售价为30元时，每星期可卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期可多卖出24件．
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
[解析]　(1)设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期里的获利为f(x)，则有f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)，
又由已知条件，24＝k×22，于是有k＝6.
所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9
072，x∈[0,21]．
(2)根据(1)，f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12)．
令f′(x)＝0，即－18(x－2)(x－12)＝0，得x1＝2，x2＝12.
当x变化时，f′(x)，f(x)如下表：
x
0
(0,2)
2
(2,12)
12
(12,21)
21
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
9
072
?
极小值
?
极大值
?
0
因为f(0)＝9
072＜f(12)＝11
664，所以x＝12时，f(x)取得最大值；
即当定价为30－12＝18元时，能使一个星期的商品销售利润最大．
利用导数解决优化问题的一般步骤(1)抽象出实际问题的数学模型，列出函数关系式y＝f(x)；(2)求函数f(x)的导数f′(x)，并解方程f′(x)＝0，即求函数可能的极值点；(3)比较函数f(x)在区间端点的函数值和可能极值点的函数值的大小，得出函数f(x)的最大值或最小值；(4)根据实际问题的意义给出答案．
3．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
解析：(1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，所以a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x－3)[＋10(x－6)2]＝2＋10(x－3)(x－6)2，3＜x＜6.
从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)(x－6)．
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(3,4)
4
(4,6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
?
极大值42
?
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
导数在解决实际问题中的应用
[例4]　(本题满分12分)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为(12－x)2万件．
(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；
(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)．
[解析]　(1)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为：
L＝(x－3－a)(12－x)2，x∈[9,11].2分
(2)L′＝(12－x)(18＋2a－3x)，令L′＝0，得x＝6＋a或x＝12?(不合题意，舍去)．因为3≤a≤5，所以8≤6＋a≤.在x＝6＋a两侧，由左向右L′的值由正变负，4分
所以当8≤6＋a＜9，?即3≤a＜时，Lmax＝L(9)＝9(6－a)，?
当9≤6＋a≤，?即≤a≤5时，
Lmax＝L＝43.?9分
Q(a)＝10分
即若3≤a＜时，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)＝9(6－a)(万元)；若≤a≤5时，则当每件售价为元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)＝43(万元).12分
[规范与警示]　?L′＝0的点求解要正确，关键点．
?分类讨论要准确，易错点．
?正确确定函数取得最大值的点，可结合图像单调性求解．
在解含有参数的问题时，一定要注意分类讨论，解决此类实际应用题时，要注意解答过程的规范性，对于分类讨论得到的结果，如本例最大利润的结果表达式，要写成分段的形式，最后一定要进行总结．
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