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§1　函数的单调性与极值
1．1　导数与函数的单调性
授课提示：对应学生用书第41页
一、一般地，在区间(a，b)内，函数的单调性与导数有如下关系：
导数
函数的单调性
f′(x)＞0
单调递增
f′(x)＜0
单调递减
f′(x)＝0
常数函数
二、求函数f(x)的单调区间的步骤
1．确定f(x)的定义域(a，b)．
2．求f(x)的导数f′(x)．
3．令f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x的范围．当f′(x)>0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应区间上是减函数．
[疑难提示]
　利用导数讨论函数的单调区间时应注意的问题
(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；在解决问题的过程中，只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间；
(2)在划分单调区间时，除了确定使f′(x)＝0的点外，还要注意不连续点和不可导点；
(3)当求得单调区间有两个或两个以上时，不能把这些区间取并集．
[想一想]
1．在区间(a，b)内，若f′(x)＞0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？
提示：不一定成立，比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零．也就是说f′(x)＞0是y＝f(x)在某个区间上是递增的充分不必要条件．
[练一练]
2．f(x)＝3x2－x－1的单调递增区间是(　　)
A.　　　　　　
B.
C.
D.
解析：f′(x)＝6x－1，令f′(x)>0，得x>.
答案：A
3．函数f(x)＝xln
x(　　)
A．在(0,5)上是增函数
B．在(0,5)上是减函数
C．在上是减函数，在上是增函数
D．在上是增函数，在上是减函数
解析：由f(x)＝xln
x，可得f′(x)＝ln
x＋x·＝ln
x＋1.
由f′(x)>0，可得x>；由f′(x)<0，可得0所以函数f(x)在上是减函数，在上是增函数．
答案：C
授课提示：对应学生用书第41页
探究一　判断或证明函数的单调性
[典例1]　求证：函数f(x)＝ex－x－1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数．
[证明]　由f(x)＝ex－x－1，得f′(x)＝ex－1.
当x∈(0，＋∞)时，ex－1>0，即f′(x)>0，
∴f(x)在(0，＋∞)内为增函数．
当x∈(－∞，0)时，ex－1<0，即f′(x)<0，
∴f(x)在(－∞，0)内是减函数．
利用导数证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是证明不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0(但不恒等于零)在给定区间上恒成立，这时一般是先将函数的导数求出来，然后对其进行整理、化简、变形，根据不等式的相关知识，在给定区间上判断其取值范围，从而得证．
　　　　
　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．求下列函数的单调区间，指出其单调性．
(1)y＝－2x＋cos
x；
(2)y＝x3－x.
解析：(1)由题意得y′＝－2－sin
x，∵－1≤sin
x≤1，
∴y′<0，单调区间为(－∞，＋∞)，且函数y＝－2x＋cos
x在R上为减少的．
(2)函数的定义域为R，
令y′＝3x2－1>0，得x<－或x>；
令y′＝3x2－1<0，得－∴y＝x3－x有三个单调区间．
其中在和上分别是增加的，在上是减少的．
2．已知函数f(x)＝(k为常数，e为自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．
(1)求实数k的值；
(2)求f(x)的单调区间．
解析：(1)由f(x)＝，可得f′(x)＝.
∵曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，
∴f′(1)＝0，即＝0，解得k＝1.
(2)由(1)，知f′(x)＝(x>0)，
令f′(x)＝0，可得x＝1.
当00，f(x)在(0,1)上单调递增；
当x>1时，f′(x)＝<0，f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
综上，f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．
探究二　已知函数单调性求参数的取值范围
[典例2]　已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
[解析]　(1)由f(x)＝x3－ax－1知f′(x)＝3x2－a.
∵f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，
∴f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
即a≤3x2对x∈R上恒成立．
∵3x2≥0，∴只需a≤0.又a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，
f(x)＝x3－1在R上是增函数，∴a≤0.
(2)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，
得a≥3x2在x∈(－1,1)上恒成立．
∵－1当a≥3时，f′(x)＝3x2－a在x∈(－1,1)上恒有f′(x)<0，即f(x)在(－1,1)上为减函数．
故存在实数a≥3，使f(x)在(－1,1)上单调递减．
关于不等式的恒成立问题，可以转化为求函数的最值问题来研究，如a≥f(x)(x∈D)得a≥f(x)max(x∈D)；a≤f(x)(x∈D)得a≤f(x)min(x∈D)．这种转化思想很重要，要注意掌握．
　　　　
　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3．已知函数f(x)＝x3＋(x≠0，常数a∈R)．
(1)当a＝48时，求f(x)的单调递减区间；
(2)若函数f(x)在[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
解析：(1)当a＝48时，f(x)＝x3＋，
f′(x)＝3x2－＝＝
，
令f′(x)<0，得－2∴f(x)的单调递减区间为(－2,0)，(0,2)．
(2)要使f(x)在[2，＋∞)上是增函数，
需f′(x)＝3x2－＝≥0在[2，＋∞)上恒成立，
即a≤3x4在[2，＋∞)上恒成立．
令g(x)＝3x4，x∈[2，＋∞)，则a≤g(x)min.
∵g′(x)＝12x3，x∈[2，＋∞)，
∴g′(x)>0，即g(x)在[2，＋∞)上是增函数，
∴g(x)min＝g(2)＝48，从而a≤48，
∴实数a的取值范围是(－∞，48]．
4．已知函数f(x)＝x3－ax＋6.
(1)若函数f(x)的单调递减区间为(－1,1)，求a的值和函数的单调递增区间；
(2)若函数f(x)在(1，＋∞)上是增加的，求a的取值范围．
解析：(1)由题意得f′(x)＝3x2－a.
∵函数f(x)的一个单调递减区间为(－1,1)．
∴3x2－a<0的解集为(－1,1)，
即3×(±1)2－a＝0.∴a＝3.
当a＝3时，f′(x)＝3(x2－1)，令f′(x)>0，
则x>1或x<－1.
∴函数f(x)的单调增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)．
(2)∵函数f(x)在(1，＋∞)上是增加的，
∴f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，
即3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立．
∴a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立．
令g(x)＝3x2，当x∈(1，＋∞)时，g(x)>g(1)＝3.
∴a≤3.
当a＝3时，f′(x)＝3(x2－1)，此时函数f(x)在(1，＋∞)上增加，
∴a的取值范围是(－∞，3]．
探究三　导数研究函数单调性的应用
—
5．求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x3－2x2＋x；
(2)f(x)＝x＋(b>0)．
解析：(1)f′(x)＝3x2－4x＋1，令f′(x)＝3x2－4x＋1>0，得x<或x>1，因此函数f(x)＝x3－2x2＋x的单调递增区间为和(1，＋∞)，令f′(x)<0，解得(2)函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
f′(x)＝′＝1－＝(x＋)(x－)．
令f′(x)>0，即(x＋)(x－)>0，得x>或x<－，∴函数的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)．
令f′(x)<0，即(x＋)(x－)<0，得－∴函数的单调递减区间为(－，0)和(0，)．
6．已知x∈R，求证：ex≥x＋1.
证明：令f(x)＝ex－x－1，∴f′(x)＝ex－1.
∵x∈[0，＋∞)时，ex－1≥0恒成立，即f′(x)≥0，
∴f(x)在[0，＋∞)上是递增的．
当x∈(－∞，0)时，f′(x)＝ex－1<0恒成立，
∴f(x)在(－∞，0)上是递减的．
又∵f(0)＝0，∴当x∈R时f(x)≥f(0)．
即ex－x－1≥0，∴ex≥x＋1.
分类讨论思想在判断含参数函数单调性中的应用
[典例]　设函数f(x)＝aln
x＋，其中a为常数，求函数f(x)的单调性．
[解析]　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝＋＝.
当a≥0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上是增加的．
当a<0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，
由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)，
①当a＝－时，Δ＝0，f′(x)＝≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上是减少的．
②当a<－时，Δ<0，g(x)<0，
f′(x)<0，函数f(x)在(0，＋∞)上是减少的．
③当－0.
设x1，x2(x1则x1＝，
x2＝.
由x1＝＝>0，
所以x∈(0，x1)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)是减少的；
x∈(x1，x2)时，g(x)>0，f′(x)>0，函数f(x)是增加的；
x∈(x2，＋∞)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)是减少的．
综上可得：
当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上是增加的；
当a≤－时，函数f(x)在(0，＋∞)上是减少的；
当－上是减少的，在上是增加的．
[感悟提高]　(1)若参数对导函数的正负有影响，需对参数分类讨论，否则不需讨论参数．
(2)当含多个参数或引起讨论的因素较多时，注意分级讨论.
PAGE1．2　函数的极值
授课提示：对应学生用书第43页
一、函数极值的定义
1．极大值点与极大值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都不大于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值．
2．极小值点与极小值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都不小于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．
3．极值与极值点：极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．
二、求极值点的一般步骤
1．求出导数f′(x)；
2．解方程f′(x)＝0；
3．对于方程f′(x)＝0的每一个解x0，分析f′(x)在x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性)，确定极值点：
(1)若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点；
(2)若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点；
(3)若f′(x)在x0两侧的符号“相同”，则x0不是极值点．
[想一想]
1．同一函数的极大值一定大于它的极小值吗？
提示：不一定，极值是一个局部概念．例如函数y＝2x＋在x＝－2时，取y极大值＝－8；而当x＝2时，取y极小值＝8.
2．导数为0的点一定是极值点吗？导数为0是该点为极值点的什么条件？
提示：只有当这点左右两侧导数异号时为极值点，否则不是，如f(x)＝x3，在x＝0处导数为0，但不是极值点，由此可得导数为0不是该点为极值点的充分条件；又如f(x)＝|x|，x＝0为其极值点，但f(x)在x＝0处不可导，由此可得，某点为极值点也不是该点导数为0的充分条件．综上，导数为0是该点为极值点的既不充分也不必要条件．
[练一练]
3．函数f(x)＝x2－ln
x的极值点为(　　)
A．0,1，－1　　　　　　　
B.
C．－
D.，－
解析：由已知，得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝3x－＝，令f′(x)＝0，得x＝.当x>时，f′(x)>0；当0答案：B
4．函数y＝2x3－15x2＋36x－24的极大值为________，极小值为________．
解析：y′＝6x2－30x＋36，即y′＝6(x－2)(x－3)，令y′＝0，得x＝2或x＝3，经判断极大值为f(2)＝4，极小值为f(3)＝3.
答案：4　3
授课提示：对应学生用书第44页
探究一　求函数的极值
[典例1]　求下列函数的极值点和极值：
(1)f(x)＝x3－x2－3x＋4；
(2)f(x)＝x2ex.
[解析]　(1)∵f(x)＝x3－x2－3x＋4，
∴f′(x)＝x2－2x－3.
令f′(x)＝0，得x1＝3，x2＝－1，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化如表所示：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
∴x＝－1是f(x)的极大值点，x＝3是f(x)的极小值点．
∴f(x)极大值＝f(－1)＝，f(x)极小值＝f(3)＝－5.
(2)∵f(x)＝x2ex，
∴f′(x)＝2xex＋x2ex＝ex(x2＋2x)．
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化如表所示：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,0)
0
(0，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
由表可知：x＝－2是f(x)的极大值点，x＝0是f(x)的极小值点．
f(x)极大值＝f(－2)＝4e－2，f(x)极小值＝f(0)＝0.
1．求可导函数f(x)极值的步骤
(1)确定函数的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)求方程f′(x)＝0的全部实根；
(4)检验f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近f′(x)>0，右侧附近f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近f′(x)<0，右侧附近f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极小值．
2．在f(x0)存在时，f′(x0)＝0只是函数f(x)在x0处有极值的必要不充分条件，必须再加上在x0左右两侧导数的符号相反，才能断定函数在x0处取得极值，反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是经常出现的错误．
　　　　
　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.已知f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数f′(x)的图像如图所示，则函数f(x)的极大值是(　　)
A．－2a＋c　　　　　
B．－4a＋c
C．－3a
D．c
解析：由导函数f′(x)的图像知，当00；当x>2时，f′(x)<0；当x＝2时，f′(x)＝0.又f′(x)＝3ax2＋2bx，所以b＝－3a，f(x)＝ax3－3ax2＋c，所以函数f(x)的极大值为f(2)＝－4a＋c.
答案：B
2．求下列函数的极值：
(1)f(x)＝－x3＋12x＋6；
(2)f(x)＝－2.
解析：(1)f′(x)＝－3x2＋12＝－3(x＋2)(x－2)．
令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
－10
?
22
?
由上表看出，当x＝－2时，f(x)取得极小值，f(x)极小值＝f(－2)＝－10；当x＝2时，f(x)取得极大值，f(x)极大值＝f(2)＝22.
(2)f′(x)＝＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
－3
?
－1
?
由上表看出，当x＝－1时，f(x)取得极小值，f(x)极小值＝f(－1)＝－3；
当x＝1时，f(x)取得极大值，f(x)极大值＝f(1)＝－1.
探究二　求含参数的函数的极值
[典例2]　设函数f(x)＝ax2＋2ln
x，其中a≠0，试讨论f(x)的极值．
[解析]　由已知得f(x)的定义域为{x|x>0}，
f′(x)＝2ax＋＝.
①当a>0时，f′(x)>0，
∴y＝f(x)为(0，＋∞)上的增函数，
此时f(x)无极值．
②当a<0时，
令f′(x)＝0可得：＝0，
即ax2＋1＝0，
∴x2＝－，
∴x＝
或－
.
又∵－
?(0，＋∞)，
∴x＝
.
又∵f′(x)＝，
∴当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如表所示：
f′(x)
＋
0
－
f(x)
?
极大值
?
由表可知，函数f(x)有且只有一个极大值点，
极大值为f(x)极大值＝f＝ln－1.
综上可知：
当a>0时，函数f(x)无极值．
当a<0时，函数f(x)有且只有一个极大值点x＝
，且极大值为ln－1.
对于含参数函数的极值，若参数对函数的单调性(即导数的正负)有影响，需对参数分类讨论．
　　　　
　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3．已知函数f(x)＝x－＋a(2－ln
x)(a>0)，求函数f(x)的单调区间与极值点．
解析：f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝1＋－＝.
设g(x)＝x2－ax＋2，对于二次方程g(x)＝0,
判别式Δ＝a2－8.
①当Δ＝a2－8<0，即00都有f′(x)>0，此时f(x)在(0，＋∞)上是增函数，无极值点．
②当Δ＝a2－8＝0，即a＝2时，仅对x＝有f′(x)＝0，对其余的x>0都有f′(x)>0，此时f(x)在(0，＋∞)上也是增函数，无极值点．
③当Δ＝a2－8>0，即a>2时，方程g(x)＝0有两个不同的实数根x1＝，x2＝，0当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，x1)
x1
(x1，x2)
x2
(x2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
f(x1)
?
f(x2)
?
此时f(x)在(0，)上是增加的，在(，)上是减少的，在(，＋∞)上是增加的．x1＝是函数的极大值点，x2＝是函数的极小值点．
4．设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，求a，b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．
解析：(1)f′(x)＝3x2－3a，因为曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，所以，即，解得a＝4，b＝24.
(2)f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)，当a＜0时，f′(x)＞0恒成立，即函数在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数没有极值点．
当a＞0时，令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝－.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－)
－
(－，)
(，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
因此，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)，单调递减区间为(－，)，此时x＝－是f(x)的极大值点，x＝是f(x)的极小值点．
探究三　函数极值的应用
—
5．设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若函数f(x)有极大值13，求c的值．
解析：(1)f′(x)＝6x2＋6ax＋3b.
因为函数f(x)在x＝1及x＝2时取得极值，故有f′(1)＝0，f′(2)＝0，
即
解得a＝－3，b＝4，经检验符合题意．
(2)由(1)可知f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c.
f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．
当x＝1或2时，f′(x)＝0；
当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；
当x∈(1,2)时，f′(x)<0；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.
所以当x＝1时，f(x)取得极大值f(1)＝5＋8c.
故由题意得5＋8c＝13，即c＝1.
6．设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．
解析：(1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，
解得x1＝－，x2＝.
因为当x>或x<－时，f′(x)>0；
当－所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)；单调递减区间为(－，)．
当x＝－时，f(x)有极大值5＋4；
当x＝时，f(x)有极小值5－4.
(2)由(1)的分析知y＝f(x)的图像的大致形状及走向如图所示．所以，当5－47．已知函数f(x)＝＋a(x－ln
x)，e为自然对数的底数．
(1)当a>0时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在上有三个不同的极值点，求实数a的取值范围．
解析：(1)由题意，知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋a＝＝.
当a>0时，对于任意的x∈(0，＋∞)，ex＋ax>0恒成立，
∴若x>1，则f′(x)>0，若0∴当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．
(2)由题目条件，可知f′(x)＝0在x∈上有三个不同的实根，即ex＋ax＝0在x∈上有两个不同的实根，且a≠－e.
令g(x)＝－，
则g′(x)＝－.
∵当0，当1∴当g(x)单调递减．
∴g(x)的最大值为g(1)＝－e.
又g＝－2，g(2)＝－e2，
而－2－＝e2－2>0，
∴实数a的取值范围为(－2，－e)．
数形结合思想在求解有关极值问题中的综合应用
[典例]　设a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.
(1)求f(x)的极值；
(2)是否存在实数a，使得方程f(x)＝0恰好有两个实数根．若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
[解析]　(1)令f′(x)＝－3x2＋3＝0，
得x1＝－1，x2＝1.
又因为当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0；当x∈(－1,1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.
所以f(x)的极小值为f(－1)＝a－2，f(x)的极大值为f(1)＝a＋2.
(2)因为f(x)在(－∞，－1)上是减少的，且当x趋于－∞时，f(x)趋于＋∞；又f(x)在(1，＋∞)上是减少的，且当x趋于＋∞时，f(x)趋于－∞；而a＋2>a－2，即函数的极大值大于极小值，所以当极大值等于0时，有极小值小于0，如图(1)，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a＋2＝0，a＝－2.
如图(2)，当极小值等于0时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a－2＝0，a＝2.
综上，当a＝2或a＝－2时方程恰有两个实数根．
[感悟提高]　此类问题一般运用导数转化为函数性质的问题解决，画出函数的示意图，利用数形结合思想是解决该类问题的常用手段．
PAGE§2　导数在实际问题中的应用
2．1　实际问题中导数的意义
授课提示：对应学生用书第1页
实际问题中导数的意义
自变量x
原函数f(x)
导函数f′(x)
时间
路程
速度
长度
质量
线密度
时间
功
功率
时间
降雨量
降雨强度
产量
生产成本
边际成本
[疑难提示]
　利用导数求实际问题的最大(小)值时，应注意的问题
(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的值应舍去．
(2)在实际问题中，由f′(x)＝0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值．
[练一练]
1．若一物体运动的路程s与时间t之间的关系为s＝s(t)，当s′(t)＝0时，则(　　)
A．物体做匀加速运动　　　　
B．物体做匀减速运动
C．物体做变速运动
D．物体处于静止状态
解析：∵v＝s′(t)＝0，∴物体处于静止状态．故选D.
答案：D
2．某收音机制造厂管理者通过对上午班工人工作效率的研究表明：一个中等技术水平的工人，从8：00开始工作，t小时后可装配晶体管收音机的台数为Q(t)＝－t3＋9t2＋12t，则Q′(2)＝________，它的实际意义为________________．
解析：∵Q′(t)＝－3t2＋18t＋12，∴Q′(2)＝36.
答案：36台/小时　10：00时，工人装配晶体管收音机的速度为36台/小时
授课提示：对应学生用书第4页
探究一　导数在物理学中的应用
[典例1]　一个电路中，流过的电荷量Q(单位：C)关于时间t(单位：s)的函数为Q(t)＝3t2－ln
t.
(1)求当t从1变到2时，电荷量Q关于t的平均变化率，并解释它的实际意义；
(2)求Q′(2)，并解释它的实际意义．
[解析]　(1)当t从1变到2时，电荷量从Q(1)变到Q(2)，此时电荷量关于时间t的平均变化率为＝≈8.31，它表示从t＝1
s到t＝2
s这段时间内，平均每秒经过该电路的电量为8.31
C，也就是这段时间内电路的平均电流为8.31
A.
(2)Q′(t)＝6t－，Q′(2)＝11.5，它的实际意义是，在t＝2
s这一时刻，每秒经过该电路的电量为11.5
C，也就是这一时刻内电路的电流为11.5
A.
弄清平均变化率及导数的实际意义，记准基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则是解决该类问题的关键．
　　　　
　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．某质点的运动方程为s＝s(t)＝2t2＋3t，其中s是位移(单位：m)，t是时间(单位：s)．
(1)求t从1
s变到3
s时，位移s关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义；
(2)求s′(1)，s′(2)，并解释它们的实际意义．
解析：(1)t从1
s变到3
s时，s关于t的平均变化率为＝＝＝11(m/s)．
它表示从t＝1
s到t＝3
s这段时间内，该质点平均每秒的位移是11
m.
(2)根据导数公式表和导数的运算法则，可得s′(t)＝4t＋3，
则s′(1)＝4＋3＝7(m/s)，s′(2)＝4×2＋3＝11(m/s)．
s′(1)和s′(2)分别表示t＝1
s和t＝2
s时，位移s关于时间t的瞬时变化率，即t＝1
s和t＝2
s时的瞬时速度．
探究二　工作效率问题
[典例2]　一名工人上班后开始连续工作，生产的产品数量y(单位：g)是工作时间x(单位：h)的函数，设这个函数表示为y＝f(x)＝＋4.
(1)求x从1
h变到4
h时，y关于时间x的平均变化率，并解释它的实际意义；
(2)求f′(1)，f′(4)，解释它的意义．
[解析]　(1)当x从1
h变到4
h时，
产量y从f(1)＝
g变到f(4)＝
g，
此时平均变化率为＝＝(g/h)，
它表示从x＝1
h到x＝4
h这段时间这个人平均每小时生产
g产品．
(2)f′(x)＝＋，于是f′(1)＝
g/h，
f′(4)＝
g/h，f′(1)和f′(4)分别表示在第1
h和第4
h时刻这个人每小时生产产品
g和
g.
1．工作效率即产量对时间t的导数．解决该类问题时要正确表示出工作时间与产品数量之间的函数关系式，然后利用相应的求导公式及法则解决．
2．由平均变化率和瞬时变化率的计算公式可知它们有时为负值或零，这时表示函数值减小或不变，解释导数的实际意义时要注意用词的不同．
　　　　
　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．某考生在参加2015年高考数学考试时，其解答完的题目数量y(单位：道)与所用时间x(单位：分钟)近似地满足函数关系y＝2.
(1)求x从0分钟变化到36分钟时，y关于x的平均变化率；
(2)求f′(64)，f′(100)，并解释它的实际意义．
解析：(1)x从0分钟变化到36分钟，y关于x的平均变化率为：
＝＝.
它表示该考生前36分钟平均每分钟解答完道题．
(2)∵f′(x)＝，
∴f′(64)＝，f′(100)＝.
它们分别表示该考生在第64分钟和第100分钟时每分钟可解答和道题．
3．东方机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润c元与生产量x台之间的关系式为c(x)＝－2x2＋7
000x＋600.
(1)求产量为1
000台的总利润与平均利润；
(2)求产量由1
000台提高到1
500台时，总利润的平均改变量；
(3)求c′(1
000)与c′(1
500)，并说明它们的实际意义．
解析：(1)产量为1
000台时的总利润为
c(1
000)＝－2×1
0002＋7
000×1
000＋600＝5
000
600(元)，
平均利润为＝5000.6(元)．
(2)当产量由1
000台提高到1
500台时，总利润的平均改变量为＝＝2
000(元)．
(3)∵c′(x)＝(－2x2＋7
000x＋600)′＝－4x＋7
000，
∴c′(1
000)＝－4×1
000＋7
000＝3
000(元)，
c′(1
500)＝－4×1
500＋7
000＝1
000(元)，
它指的是当产量为1
000台时，每多生产一台机械可多获利3
000元．
而当产量为1
500台时，每多生产一台机械可多获利1
000元．
探究三　导数在经济生活中的应用
[典例3]　某机械厂，生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件，假设日产品的总成本C(元)与日产量x(件)的函数为C(x)＝x2＋60x＋2
050.
(1)求日产量75件时的总成本和平均成本；
(2)当日产量由75件提高到90件时，求总成本的平均改变量；
(3)求C′(75)，并解释它的意义．
[解析]　(1)日产量75件时的总成本为
C(75)＝7
956.25(元)，
平均成本为C(75)/75≈106.08(元/件)．
(2)当日产量由75件提高到90件时，总成本的平均改变量＝＝101.25(元/件)．
(3)C′(x)＝x＋60，∴当x＝75时，C′(75)＝97.5(元)．
实际意义为：当日产量为75件时，再多生产1件产品，成本增加97.5元，也就是日产量为75件时，成本增加的速度为97.5元/件．
4．某食品厂生产某种食品的总成本C(单位：元)和总收入R(单位：元)都是日产量x(单位：kg)的函数，分别为C(x)＝100＋2x＋0.02x2，R(x)＝7x＋0.01x2，试求边际利润函数以及当日产量分别为200
kg,250
kg,300
kg时的边际利润，并说明其经济意义．
解析：(1)根据定义知，总利润函数为
L(x)＝R(x)－C(x)＝5x－100－0.01x2，
所以边际利润函数为L′(x)＝5－0.02x.
(2)当日产量分别为200
kg,250
kg,300
kg时，边际利润分别为L′(200)＝1，
L′(250)＝0，L′(300)＝－1.
其经济意义是：当日产量为200
kg时，每增加1
kg，则总利润可增加1元；当日产量为250
kg时，每增加1
kg，则总利润无变化；当日产量为300
kg时，每增加1
kg，则总利润减少1元．由此可得：当企业的某一产品的生产量超过了边际利润的零点时，反而会使企业“无利可图”．
5．日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为x
%时所需费用(单位：元)为c(x)＝(80(1)求c′(x)；
(2)求c′(90)，c′(98)，并解释它们的实际意义．
解析：(1)c′(x)＝′
＝
＝＝.
(2)c′(90)＝＝52.84(元/吨)，
c′(98)＝＝1
321(元/吨)．
因为函数的导数是净化费用的瞬时变化率，所以纯净度为90
%时，纯净度每提高1个百分点，每吨水的费用就要增加52.84元．
纯净度为98
%时，纯净度每提高1个百分点，每吨水的费用就要提高1
321元．
因物理意义理解不清致误
[典例]　在高台跳水运动中，t
s时运动员相对于水面的高度是h(t)＝－4.9
t2＋6.5
t＋10(单位：m)，求高台跳水运动中运动员在t＝1
s时的瞬时速度，并解释此时的运动状况．
[解析]　h′(t)＝－9.8
t＋6.5，所以h′(1)＝－3.3.
故运动员在t＝1
s时的瞬时速度是－3.3
m/s，此时运动员向下以3.3
米/秒的速度运动．
[错因与防范]　(1)对该问题求得当t＝1
s时的瞬时速度为－3.3
m/s，由于对其中“负”号的物理意义理解不明，易回答为正值而出错．
(2)瞬时速度既有大小也有方向，如果是负值，不能回答为正值，它表明了运动速度的大小和方向．
(3)利用导数解决物理问题，关键是要熟悉相关的物理概念、公式，并联系导数的物理意义进行求解．
PAGE2.2　最大值、最小值问题
授课提示：对应学生用书第48页
一、最值点的概念
1．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0)．
2．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不小于f(x0)．
二、最值的概念
函数的最大值和最小值统称最值．
三、最值点的可能位置
函数的最值可能在极值点取得，也可能在区间的端点取得．
四、求函数最大(小)值的步骤
设y＝f(x)是定义在[a，b]上的函数，y＝f(x)在(a，b)内可导，求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值，可分两步进行：
(1)求y＝f(x)在(a，b)内的极大(小)值；
(2)将y＝f(x)的各极大(小)值与f(a)，f(b)比较，其中最大(小)的一个为最大(小)值．
[疑难提示]
　函数的极值和最值的区别和联系
(1)区别：①函数的极值是函数在局部区间上函数值的比较；函数的最值是函数在整个区间上函数值的比较，即最大(小)值必须是整个区间上所有函数值的最大(小)者．②函数的极
值可以有多个，但最值至多有一个，极值只能在区间内取得，最值可以在区间端点处取得．
(2)联系：如果在区间(a，b)上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线且只有一个极值点，那么该极值点就是最值点，这里区间(a，b)可以是无穷区间．
[练一练]
1．函数y＝f(x)在[a，b]上(　　)
A．极大值一定比极小值大
B．极大值一定是最大值
C．最大值一定是极大值
D．最大值一定大于极小值
解析：由函数最值和极值的概念可知，y＝f(x)在[a，b]上的最大值一定大于极小值．
答案：D
2．函数f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为(　　)
A.　　　　　　　
B.
C.
D.
解析：f(x)＝x－x3，f′(x)＝1－3x2，令f′(x)＝0，得x＝(x＝－舍去)．计算比较得最大值为f＝.
答案：A
授课提示：对应学生用书第49页
探究一　求函数的最值
[典例1]　求下列各函数的最大值与最小值．
(1)f(x)＝x3－2x2＋1，x∈[－1,2]；
(2)f(x)＝＋，x∈(0,1)(b>a>0)．
[解析]　(1)f′(x)＝3x2－4x，令f′(x)＝0，
得x1＝0，x2＝.因此x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1,0)
0
2
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
－2
?
1
?
－
?
1
∴f(x)max＝1，f(x)min＝－2.
(2)f′(x)＝－＋
＝.
令f′(x)＝0，即b2x2－a2(1－x)2＝0，
解得x＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
极小值
?
从上表看出，函数在x＝处取得极小值，且f＝(a＋b)2.所以函数f(x)在区间(0,1)内的极小值也就是最小值，即函数f(x)＝＋在区间(0,1)上的最小值是(a＋b)2，f(x)在(0,1)上不存在最大值．
对于函数f(x)在[a，b]上图像连续不断，在(a，b)内存在导数，函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值只能在各极值点或区间端点处取得．故可以先求出f(x)在(a，b)内所有的极值，再求出端点处的函数值f(a)、f(b)，比较各极值与端点处的函数值就可以得到f(x)在[a，b]上的最大值和最小值．
　　　　
　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．求下列各函数的最值．
(1)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]；
(2)f(x)＝，x∈[－2,2]；
(3)f(x)＝＋ln
x，x∈.
解析：(1)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，x∈[－1,1]．
∵f′(x)在[－1,1]上恒大于0，
∴f(x)在[－1,1]上为增函数．
∴当x＝－1时，f(x)取得最小值－12，
当x＝1时，f(x)取得最大值2.
∴f(x)的最小值为－12，最大值为2.
(2)f′(x)＝＝，
令f′(x)＝0，得x＝1或－1.
又f(1)＝2，f(－1)＝－2，f(2)＝，f(－2)＝－，
∴f(x)的最大值为2，最小值为－2.
(3)∵f(x)＝＋ln
x＝－1＋ln
x，
∴f′(x)＝－＝.
令f′(x)＝0，得x＝1.
在上，当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
1
(1,2]
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
极小值
?
∵在上，当x＝1时，f(x)取得极小值，也是最小值，且f(1)＝0.
又f＝1＋ln＝1－ln
2，f(2)＝－＋ln
2，
∴f－f(2)＝－2ln
2＝(3－4ln
2)＝ln>0，
∴f>f(2)，
∴f(x)在上的最大值为f＝1－ln
2，最小值为f(1)＝0.
2．求下列函数的最大值与最小值：
(1)f(x)＝2sin
x－x(x∈[－，])；
(2)f(x)＝x3－3x＋3(x∈[0，t])．
解析：(1)∵f′(x)＝2cos
x－1，
令f′(x)＝0，有2cos
x－1＝0，
解之得x1＝，x2＝－.
根据x1，x2列表，分析导函数的符号得到函数的单调性与极值点.
x
－
(－，－)
－
(－，)
f′(x)
－1
－
0
＋
0
－
－1
f(x)
－2
?
极小值
?
极大值
?
2－
由上表可知，最大值为，最小值为.
(2)∵f(x)＝x3－3x＋3，∴f′(x)＝3x2－3.
令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝－1.
由0≤x≤t，
①当0∴当x＝t时，f(x)取最小值为f(t)＝t3－3t＋3；
当x＝0时，f(x)取最大值为f(0)＝3.
②当t>1，x变化时，根据x1，x2列表
x
0
(0,1)
1
(1，t)
t
f′(x)
0
－
0
＋
3t2－3
f(x)
3
?
极小值1
?
t3－3t＋3
从上表知：
当x＝1时，f(x)取最小值为f(1)＝1；
f(x)的最大值是f(0)与f(t)中较大的一个．
∴当1时，
f(x)最大值为f(t)＝t3－3t＋3.
综上，得当0当1当t>时，f(x)的最大值为t3－3t＋3，最小值为1.
探究二　已知函数最值求参数
[典例2]　设[解析]　令f′(x)＝3x2－3ax＝3x(x－a)＝0，
得x1＝0，x2＝a
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0，a)
a
(a,1)
1
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
－1－a＋b
?
b
?
－＋b
?
1－a＋b
从上表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，而f(0)>f(a)，f(1)>f(－1)，故需比较f(0)与f(1)的大小，
因为f(0)－f(1)＝a－1>0，
所以f(x)的最大值为f(0)＝b，
所以b＝1.
又f(－1)－f(a)＝(a＋1)2(a－2)<0，
所以f(x)的最小值为f(－1)＝－1－a＋b＝－a，
所以－a＝－，所以a＝.
已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．
　　　　
　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37，求a的值及f(x)在[－2,2]上的最大值．
解析：f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2，
当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：
x
－2
(－2,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
＋
0
－
0
f(x)
－40＋a
?
极大值a
?
－8＋a
∴当x＝－2时，f(x)min＝－40＋a＝－37，
得a＝3.
当x＝0时，f(x)的最大值为3.
4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1处都取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若对任意x∈[－1,2]，不等式f(x)解析：(1)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
由f′＝－a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，
得a＝－，b＝－2.
(2)由(1)知f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，x∈[－1,2]，
f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
x
－
1
(1,2]
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
∴f(x)在上单调递增，在上单调递减，在(1,2]上单调递增，
∴当x＝－时，f＝＋c为极大值，而f(2)＝2＋c，则f(2)＝2＋c为最大值，
要使f(x)则只需c2>f(2)＝2＋c，
解得c<－1或c>2.
∴实数c的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
探究三　导数的实际应用
—
5．将一张2×6米的硬钢板按图纸的要求进行操作：沿线裁去阴影部分，把剩余的部分按要求焊接成一个有盖的长方体水箱(⑦为底，①②③④为侧面，⑤⑥为水箱盖，其中①与③、②与④分别是全等的矩形，且⑤＋⑥＝⑦)．设水箱的高为x米，容积为y立方米．
(1)写出y关于x的函数关系式；
(2)如何设计x的大小，使得水箱的容积最大？
解析：(1)依题意，水箱底的宽为(2－2x)米，长为＝(3－x)米，则水箱的容积y＝(2－2x)(3－x)x(0(2)∵y＝(2－2x)(3－x)x＝2x3－8x2＋6x(0∴y′＝6x2－16x＋6.
令y′＝6x2－16x＋6＝0，得x＝(x＝舍去)，
当00，函数是递增的，
当∴当x＝时，函数y＝(2－2x)(3－x)x(0∴设计x＝米，水箱容积最大．
6．几名大学毕业生合作开设3D打印店，生产并销售某种3D产品．已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其他固定支出20
000元．假设该产品的月销售量t(件)与销售价格x(元/件)(x∈N＋)之间满足如下关系：①当34≤x≤60时，t(x)＝－a(x＋5)2＋10
050；②当60≤x≤76时，t(x)＝－100x＋7
600.记该店月利润为M(元)，月利润＝月销售总额－月总成本．
(1)求M关于销售价格x的函数关系式；
(2)求该打印店的最大月利润及此时产品的销售价格．
解析：(1)当x＝60时，－a(60＋5)2＋10
050＝－100×60＋7
600，解得a＝2.
∴M(x)＝
，
即M(x)＝
.
(2)当34≤x≤60，x∈R时，设g(x)＝－2x3＋48x2＋10
680x－360
000，则g′(x)＝－6(x2－16x－1
780)．
令g′(x)＝0，解得x1＝8－2(舍去)，x2＝8＋2∈(50,51)．
当34≤x≤50时，g′(x)>0，g(x)单调递增；
当51≤x≤60时，g′(x)<0，g(x)单调递减．
∵x∈N＋，M(50)＝44
000，M(51)＝44
226，
∴M(x)的最大值为44
226.
当60≤x≤76时，M(x)＝100(－x2＋110x－2
784)单调递减，
故此时M(x)的最大值为M(60)＝21
600.
综上所述，当x＝51时，M(x)有最大值44
226.
∴该打印店的最大月利润为44
226元，此时产品的销售价格为51元/件．
7.某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8
m2，问x、y分别为多少时，用料最省(精确到0.001
m)?
解析：依题意，有xy＋·x·＝8，
所以y＝＝－(0于是框架用料长度为
l＝2x＋2y＋2×＝x＋.
l′＝＋－.
令l′＝0，即＋－＝0，
解得x1＝8－4，x2＝4－8(舍去)．
当0当8－40；
所以当x＝8－4时，l取得极小值，也即为l的最小值．
此时，x＝8－4≈2.343
m，y≈2.828
m.
即当x为2.343
m，y为2.828
m时，用料最省．
8．如图，某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为200
m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16
m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)．
(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域．
(2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价．
解析：(1)设长为x
m，则宽为
m.
据题意，
解得≤x≤16，
y＝(2x＋2·)×400＋×248＋16
000
＝800x＋＋16
000(≤x≤16)，
(2)y′＝800－＝0，
解得x＝18.
当x∈(0,18)时，函数y为减函数；
当x∈(18，＋∞)时，函数y为增函数．
又∵≤x≤16，
∴当x＝16时，ymin＝45
000.
∴当且仅当长为16
m、宽为12.5
m时，总造价y最低为45
000元．
利用导数讨论函数的零点
[典例]　(本题满分12分)设函数f(x)＝ln
x＋，m∈R.
(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；
(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数；
(3)若对任意b>a>0，<1恒成立，求m的取值范围．
[解析]　(1)由题设，当m＝e时，f(x)＝ln
x＋，
则f′(x)＝，2分
所以当x∈(0，e)，f′(x)<0，f(x)在(0，e)上是递减的，
当x∈(e，＋∞)，f′(x)>0，f(x)在(e，＋∞)上是递增的，
所以当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝ln
e＋＝2，
所以f(x)的极小值为2.4分
(2)由题设g(x)＝f′(x)－＝－－(x>0)，
令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x>0)．
设φ(x)＝－x3＋x(x>0)，
则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，
当x∈(0,1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0,1)上是递增的．
当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)在(1，＋∞)上是递减的.6分
所以x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)的最大值点.7分
所以φ(x)的最大值为φ(1)＝.①
又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图像(如图)，可知
①当m>时，函数g(x)无零点；
②当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点；
③当0④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点．
综上所述，当m>时，函数g(x)无零点；
当m＝或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；
当0(3)对任意的b>a>0，<1恒成立，
等价于f(b)－b)
设h(x)＝f(x)－x＝ln
x＋－x(x>0)，
所以(
)等价于h(x)在(0，＋∞)上是递减的．
由h′(x)＝－－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，
得m≥－x2＋x＝－2＋(x>0)恒成立，
所以m≥，
所以m的取值范围是12分
[规范与警示]　(1)①分离参数后，构建新函数φ(x)，利用导数求其最大值是正确解答本题的关键．
②对参数m进行正确的分类讨论是解答本题的难点．
(2)考查了运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，同时考查了函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想．
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