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§1　数系的扩充与复数的引入
授课提示：对应学生用书第46页
[自主梳理]
一、复数的概念及代数表示
1．定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫作复数，其中i叫作虚数单位，满足i2＝________.
2．表示：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫作复数的代数形式，a与b分别叫作复数z的______与________．
二、复数的分类
复数a＋bi(a，b∈R)
三、复数相等的充要条件
设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di?________.
四、复平面
当直角坐标平面用来表示复数时，我们称之为复平面，x轴为________，y轴为________．
五、复数的几何意义
1．复数z＝a＋bi(a，b∈Z)一一对应,
有序实数对(a，b)．
2．复数z＝a＋bi(a，b∈Z)一一对应,
向量＝(a，b)．
六、复数的模
复数z＝a＋bi(a，b∈Z)的模|z|＝
________.
[双基自测]
1．设全集I＝{复数}，R＝{实数}，M＝{纯虚数}，则(　　)
A．M∪R＝I　　　　　　
B．?IM∪R＝I
C．?IM∩R＝R
D．M∩?IR＝I
2．复数z＝3－4i在复平面内的对应点关于虚轴的对称点对应的复数为(　　)
A．z′＝3＋4i
B．z′＝－3＋4i
C．z′＝－3－4i
D．z′＝3－4i
3．若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为(　　)
A．1
B．1或－4
C．－4
D．0或－4
4．复数z＝3a－6i的模为2，则实数a的值为(　　)
A.
B．－
C．±
D.
[自主梳理]一、1.－1　2.实部　虚部　三、a＝c，且b＝d　四、实轴　虚轴　六、
[双基自测]1．C　弄清数集的分类和集合之间的包含关系以及集合之间的交、并、补的运算．2．C　z＝3－4i对应的点为(3，－4)，关于虚轴对称点为(－3，－4)．3．C　易知解得a＝－4.4．C　因为(3a)2＋(－6)2＝40，所以a＝±.
授课提示：对应学生用书第47页
探究一　复数的有关概念
[例1]　实数m取什么值时，复数(m2－5m＋6)＋(m2－3m)i是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零．
[解析]　设z＝(m2－5m＋6)＋(m2－3m)i.
(1)要使z为实数，必须有m2－3m＝0，
得m＝0或m＝3，即m＝0或m＝3时，z为实数．
(2)要使z为虚数，必须有m2－3m≠0，
即m≠0且m≠3.故m≠0且m≠3时，z为虚数．
(3)要使z为纯虚数，必须有
∴
∴m＝2时，z为纯虚数．
(4)要使z＝0时，依复数相等的充要条件有：
??m＝3，
∴当m＝3时，复数z为零．
复数z＝a＋bi(a，b∈R)为实数?b＝0，复数z＝a＋bi(a，b∈R)为虚数?b≠0，复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数?复数z＝a＋bi(a，b∈R)为零?
1．已知复数z＝＋(n2＋3n－4)i.
(1)m、n取什么实数值时，z是纯虚数；
(2)m、n取什么实数值时，z是实数．
解析：(1)z是纯虚数．
由知时为纯虚数．
(2)z是实数．
由知时为实数．
探究二　复数相等
[例2]　已知2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i，求实数x、y的值．
[解析]　∵x、y为实数，∴2x－1，y＋1，x－y，－x－y均为实数，由复数相等的定义知∴
1．两个复数相等时，应分清楚两复数的实部和虚数，然后让其实部和虚部分别相等，列出相应的方程组求解．本题就是利用复数相等实现了复数问题向实数问题的转化，体现了转化思想．2．注意题目条件x，y∈R，若x，y未说明是实数，则不能这样解，比如若x为纯虚数，则可设x＝bi(b∈R且b≠0)，然后再根据复数相等求相应的x，y.
2．已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．
解析：因为M∪P＝P，所以M?P.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，
得
解得m＝1；
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，
得
解得m＝2.综上可知m＝1或m＝2.
探究三　复数的几何意义
[例3]　当实数m为何值时，复数(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面中所对应的点：(1)位于第四象限；(2)位于x轴的负半轴上．
[解析]　(1)由已知得
解得所以－7(2)由已知得
由②得m＝－7或m＝4.
因为m＝－7不适合①，m＝4适合①，所以m＝4.
按照复数集和复平面内所有的点的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置确定复数的实部、虚部满足的条件．
3．(2016·高考全国甲卷)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－3,1)　　　　　
B．(－1,3)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，－3)
解析：根据复数对应的点在第四象限，列出实数m满足的条件，化简得到实数m的取值范围．
由题意知，即－3＜m＜1.故实数m的取值范围为(－3,1)．
答案：A
求两复数对应向量的夹角
[例4]　(本题满分12分)已知两个向量a，b对应的复数分别是z1＝3，z2＝－5＋5i，求向量a与b的夹角．
[解析]　因为a，b对应的复数分别是z1＝3，
z2＝－5＋5i，
所以a＝(3,0)，b＝(－5,5)．
?4分
所以a·b＝－15，|a|＝3，|b|＝5，
设a与b的夹角为θ，
所以cos
θ＝＝＝－.
10分
因为0≤θ≤π，
所以θ＝.
12分
[规范与警示]将复数的代数形式转化为向量的表示形式，转化要正确．(易失分点)
?熟记向量的夹角公式．(关键点)
?向量夹角的取值范围勿忽视．(易漏点)
复数与复平面上的点与向量的对应
这种对应关系使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径．
PAGE2　复数的四则运算
授课提示：对应学生用书第48页
[自主梳理]
一、复数的加法与减法
设a＋bi和c＋di是任意两个复数，我们定义复数加法、减法如下：(a＋bi)±(c＋di)＝________________.也就是说，两个复数的和(或差)仍然是一个________．它的实部是原来两个复数的实部的________，它的虚部是原来两个复数的虚部的________．
二、复数的乘法
设a＋bi与c＋di分别是任意两个复数，我们定义复数的乘法：(a＋bi)(c＋di)＝______________.也就是说，两个复数的积仍然是一个复数．复数的乘法与________的乘法是类似的，但在运算过程中，用i2＝－1进行化简，然后把实部与虚部分别合并．
三、共轭复数
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这样的两个复数叫作________．复数z的共轭复数用________来表示，也就是当z＝a＋bi时，＝________.于是z＝a2＋b2＝________.
四、复数乘法运算律
对任何z1，z2，z3∈C，有
1．z1·z2＝________；
2．(z1·z2)·z3＝________；
3．z1(z2＋z3)＝________；
4．zmzn＝________；
5．(zm)n＝________；
6．(z1z2)n＝________，其中m，n为正整数．
五、复数的除法
给出两个复数a＋bi，c＋di(c＋di≠0)，我们把满足等式(a＋di)·(x＋yi)＝a＋bi的复数x＋yi叫作复数a＋bi除以c＋di所得的________，记作________或者________，＝＝______________.
[双基自测]
1．设a，b∈R，(5＋bi)＋(b－3i)－(2＋ai)＝0，那么复数a＋bi
的模为(　　)
A．0　　　　　　　　　　
B．6
C．3
D．2
2．已知z1＝2＋i，z2＝1＋2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[自主梳理]一、(a±c)＋(b±d)i　复数　和(或差)　和(或差)　二、(ac－bd)＋(ad＋bc)i　多项式　三、互为共轭复数　　a－bi　|z|2　四、1.z2·z1　2.z1(z2·z3)　3.z1z2＋z1z3　4.zm＋n　5.zmn　6.z·z　五、商　(a＋bi)÷(c＋di)　　[双基自测]1．C　∵a，b∈R，且(5＋bi)＋(b－3i)－(2＋ai)＝(5＋b－2)＋(b－3－a)i＝0，∴∴a＝－6，b＝－3.∴|a＋bi|＝
＝3.2．B　z＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i.
授课提示：对应学生用书第49页
探究一　复数的加减法运算
[例1]　设m∈R，复数z1＝(3m＋2)＋(m－2)i，z2＝＋(m2－4m－2)i，若z1＋z2为虚数，求m的取值范围．
[解析]　z1＋z2＝(3m＋2)＋(m－2)i＋＋(m2－4m－2)i
＝(3m＋2＋)＋(m2－3m－4)i
＝＋(m2－3m－4)i.
因为z1＋z2为虚数，则
解得m≠4，且m≠－1，且m≠－2.
所以m的取值范围是{m|m∈R，且m≠4，且m≠－2，且m≠－1}．
复数的加、减法运算，就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加减，实部与实部相加减作实部，虚部与虚部相加减作虚部．同时，还要弄清复数的有关概念．
1．计算：
(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．
解析：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)
＝(1＋3－5)＋(2－4－6)i＝－1－8i.
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i.
探究二　复数的乘、除法运算
[例2]　计算下列各式：
(1)(1＋2i)(1＋3i)；(2)(1＋i)(1－2i)(3i＋2)；
(3)；(4).
[解析]　(1)(1＋2i)(1＋3i)＝1＋3i＋2i＋6i2＝－5＋5i.
(2)(1＋i)(1－2i)(3i＋2)
＝(1－2i＋i－2i2)(3i＋2)
＝(3－i)(2＋3i)
＝6＋9i－2i－3i2
＝9＋7i.
(3)＝＝＝1＋i.
(4)＝＝＝＝－i.
1．复数的乘法运算法则的应用(1)复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．(2)对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便．例如，平方差公式、完全平方公式等．2．复数除法运算法则的应用复数除法一般先写成分式形式，再把分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数，若分母为纯虚数，则只需同乘以i.
2．设x，y为实数，且＋＝，求x＋y的值．
解析：＋＝，
＋＝，
即x(1＋i)＋y(1＋2i)＝(1＋3i)，
所以
解得所以x＋y＝4.
探究三　共轭复数
[例3]　已知复数z的共轭复数为，且z·－3iz＝，求z.
[解析]　设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则＝a－bi.
又z·－3iz＝，
所以a2＋b2－3i(a＋bi)
＝，
所以a2＋b2＋3b－3ai＝1＋3i，
所以
所以或
所以z＝－1或z＝－1－3i.
共轭复数的求解与应用(1)若复数z的代数形式已知，则根据共轭复数的定义可以写出，再进行复数的四则运算．必要时，需通过复数的运算先确定出复数z的代数形式，再根据共轭复数的定义求.(2)共轭复数应用的另一种常见题型是：已知关于z和的方程，而复数z的代数形式未知，求z，解此类题的常规思路为设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解．
3．(2016·高考全国丙卷)若z＝1＋2i，则＝(　　)
A．1　　　　　　
B．－1
C．i
D．－i
解析：利用共轭复数的概率及复数的运算法则求解．
因为z＝1＋2i，则＝1－2i，所以z＝(1＋2i)(1－2i)＝5，
则＝＝i.故选C.
答案：C
探究四　复数的乘方及综合运算
[例4]　计算：(1)i2
016＋(＋i)8－50；
(2)i＋i2＋i3＋…＋i2
015.
[解析]　(1)原式＝i4×504＋[2(1＋i)2]4－25
＝1＋(4i)4－i25＝257－i.
(2)因为i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0，
所以in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N＋)，
所以原式＝i＋i2＋i3＋(i4＋i5＋i6＋i7)＋(i8＋i9＋i10＋i11)＋…＋＝i－1－i＋0＋…＋0＝－1.
(1)复数的运算顺序与实数的运算顺序相同，是先进行高级运算(乘方、开方)，再进行次级运算(乘、除)，最后进行低级运算(加、减)，如有i的幂运算，先利用i的幂的周期性，将其次数降低，然后再进行四则运算．(2)虚数单位i的周期性①i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1(n∈N)；②in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N＋)．
4．若z＝，试求z100＋z50＋1的值．
解析：因为z＝＝＝＝，
所以z2＝＝i.所以z4＝－1.又i4＝1，所以z100＋z50＋1＝(z4)25＋(z2)25＋1＝(－1)25＋i25＋1＝i.
数形结合思想在复数中的应用
[例5]　复平面内点A，B，C对应的复数分别为i,1,4＋2i，由A→B→C→D按逆时针顺序作?ABCD，求||.
[解析]　如图，设D(x，y)，F为?ABCD的对角线的交点，则点F的坐标为，
所以即
所以点D对应的复数为z＝3＋3i，所以＝－＝3＋3i－1＝2＋3i
，所以||＝.
[感悟提高]　(1)解决此类问题的关键是由题意正确地画出图形，然后借助复数相等即可求解．
(2)复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．
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