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1.2.1直角三角形的性质与判定
一、选择题
1.如图,在△ABC中,AB⊥AC,DE∥BC,∠B=46°,则∠AED的度数是
(　　)
A.44°
B.46°
C.54°
D.56°
2.数学中有一些命题的特征是:原命题是真命题,但它的逆命题却是假命题.下列命题中,具有以上特征的是
(　　)
A.两直线平行,同位角相等
B.对应角相等的三角形是全等三角形
C.若a=1,则=a
D.如果x>y,那么mx>my
3.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,则下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是
(　　)
A.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶6
B.a∶b∶c=1∶∶2
C.∠C=∠A-∠B
D.b2=a2-c2
4.已知三角形的三边长分别为a,b,c,且满足|a-2|++(c-2)2=0,则对此三角形的形状描述最准确的是
(　　)
A.直角三角形
B.等腰直角三角形
C.等边三角形
D.钝角三角形
5.如图,将一根长为8
cm(AB=8
cm)的橡皮筋水平放置在桌面上,固定两端A和B,然后把中点C竖直向上拉升3
cm至点D处,则拉长后橡皮筋的长度为
(　　)
A.8
cm
B.10
cm
C.12
cm
D.15
cm
6.如图,一架梯子AB的长为2.5米,顶端A靠在墙AC上,这时梯子下端B与墙脚C的距离为1.5米,梯子滑动后停在DE的位置上,测得BD的长为0.9米,则梯子顶端A下降了
(　　)
A.0.9米
B.1.3米
C.1.5米
D.2米
7.在△ABC中,AB=10,AC=2,BC边上的高AD=6,则另一边BC的长为
(　　)
A.10
B.8
C.6或10
D.8或10
二、填空题
8.已知命题:“如果两个三角形全等,那么这两个三角形的周长相等”,写出它的逆命题:　　　　　　　　　　　　　　,该逆命题是　　　　(填“真”或“假”)命题.?
9.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,D是BC边延长线上一点,并且CD=AC=2
cm,∠ADC=
15°,则BC=　　　　cm.?
10.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,点D在BC边上,连接AD,若△ABD为直角三角形,则
∠ADC的度数为　　　　　　.?
11.如图是一个棱长为6的正方体木箱,点Q在上底面的棱上,AQ=2,一只蚂蚁从点P出发沿木箱表面爬行到点Q,则蚂蚁爬行的最短路程是　　　　.?
三、解答题
12.写出命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题,判断逆命题的真假,并说明理由.
13.如图,将长方形ABCD沿AE折叠,使点D落在BC边上的点F处.已知AB=8
cm,BC=
10
cm,求EC的长.
14.已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠ABC=90°,△BCD为等边三角形,且AD=2,求四边形ABCD的周长.
15.如图,已知某开发区有一块四边形空地ABCD,现计划在该空地上种植草皮,经测量
∠ADC=90°,CD=6
m,AD=8
m,BC=24
m,AB=26
m,若每平方米草皮需200元,则在该空地上种植草皮共需多少钱?
15.阅读下面的一段文字,然后回答问题.
已知在平面直角坐标系内有两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),这两点间的距离P1P2=,同时,当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴时,两点间距离公式可化简为|x2-x1|或|y2-y1|.
(1)已知A(2,4),B(-3,-8),则A,B两点间的距离为　　　　;?
(2)已知点M,N在平行于y轴的直线上,点M的纵坐标为4,点N的纵坐标为-1,则M,N两点间的距离为　　　　;?
(3)已知一个三角形各顶点的坐标分别为D(1,6),E(-2,2),F(4,2),请你判断此三角形的形状,并说明理由;
(4)在(3)的条件下,在平面直角坐标系内的x轴上找一点P,使PD+PF的长度最短,求出点P的坐标及PD+PF的最短长度.
答案
1.解析：
A　∵DE∥BC,∠B=46°,∴∠ADE=∠B=46°.∵AB⊥AC,∴∠A=90°,∴在△ADE中,∠AED=90°-∠ADE=44°.
故选A.
2.[答案]
C
3.[答案]
A
4.解析：
B　∵|a-2|++(c-2)2=0,又|a-2|≥0,≥0,(c-2)2≥0,
∴a=2,b=2,c=2,∴a=b.
∵a2+b2=8,c2=8,∴a2+b2=c2,∴这个三角形是等腰直角三角形.故选B.
5.解析：
B　在Rt△ACD中,AC=AB=4
cm,CD=3
cm.根据勾股定理,得AD==
5
cm.同理可得BD=5
cm,∴AD+BD=10
cm.故拉长后橡皮筋的长度为10
cm.故选B.
6.[答案]
B
7.解析：
C　根据题意画出图形,如图所示.
如图①所示,若AD在△ABC内部,
在Rt△ABD和Rt△ACD中,
根据勾股定理,得BD==8,CD==2,此时BC=BD+CD=8+2=10;
如图②所示,若AD在△ABC外部,
在Rt△ABD和Rt△ACD中,
根据勾股定理,得BD==8,CD==2,此时BC=BD-CD=8-2=6.
则BC的长为6或10.故选C.
8.[答案]
如果两个三角形的周长相等,那么这两个三角形全等　假
9.[答案]
解析：
∵AC=CD,
∴∠CAD=∠ADC=15°,∴∠ACB=∠CAD+∠ADC=30°.
∵∠ABC=90°,AC=2
cm,
∴AB=AC=1
cm,
∴BC===(cm).
故答案为.
10.[答案]
130°或90°　
解析：
∵在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,∴∠B=∠C=40°.
∵点D在BC边上,△ABD为直角三角形,
∴当∠BAD=90°时,∠ADB=50°,
∴∠ADC=130°;
当∠ADB=90°时,∠ADC=90°.
故答案为130°或90°.
11.[答案]
10　
12.解:命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是“两边上的高相等的三角形为等腰三角形”,此逆命题为真命题.理由如下:
如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,且CD=BE.
∵CD⊥AB,BE⊥AC,
∴∠CDA=∠BEA=90°.
在△ACD和△ABE中,
∵∠A=∠A,∠CDA=∠BEA,CD=BE,
∴△ACD≌△ABE,∴AC=AB,
即△ABC为等腰三角形.
13.解:根据折叠的性质,得△ADE≌△AFE,
所以DE=FE,AF=AD.
在Rt△ABF中,AB=8
cm,AF=AD=BC=10
cm,
根据勾股定理,得BF==6(cm),
所以CF=10-6=4(cm).
设FE=x
cm,则DE=x
cm,EC=(8―x)cm.
在Rt△EFC中,根据勾股定理,得x2=42+(8-x)2,解得x=5,
则8-x=3,即EC=3
cm.
14.解:∵△BCD为等边三角形,
∴∠DBC=60°,DB=BC=CD.
∵∠ABC=90°,∴∠ABD=30°.
在Rt△ABD中,∵∠ABD=30°,AD=2,
∴DB=4,
∴BC=CD=DB=4,AB===2,
∴C四边形ABCD=AB+BC+CD+AD=2+4+4+2=2+10.
15.解:如图,连接AC.
在Rt△ACD中,AC2=CD2+AD2=62+82=102,∴AC=10.
在△ABC中,AB2=262,BC2=242,而102+242=262,即AC2+BC2=AB2,
∴∠ACB=90°.
∵S四边形ABCD=S△ABC-S△ACD=·AC·BC-AD·CD=×10×24-×8×6=96.
∴在该空地上种植草皮共需96×200=19200(元).
15.解:(1)AB==13.故答案为13.
(2)MN=4-(-1)=5.故答案为5.
(3)△DEF为等腰三角形.理由如下:
∵DE==5,EF=4-(-2)=6,DF==5,
∴DE=DF,∴△DEF为等腰三角形.
(4)如图,作点F关于x轴的对称点F',连接DF'交x轴于点P,则此时PD+PF的长度最短.
∵F(4,2),∴F'(4,-2).
设直线DF'的表达式为y=kx+b,
则解得
∴直线DF'的表达式为y=-x+.
当y=0时,x=,∴P,0.
∵PF=PF',
∴PD+PF=PD+PF'=DF'==.
综上,当PD+PF的长度最短时,点P的坐标为,PD+PF的最短长度为.

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