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第18讲　等腰三角形、等边三角形、直角三角形
知识梳理
1.等腰三角形
（1）等腰三角形
定义
有两边
相等
的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，第三边为底．
性质
（1）它是轴对称图形，它有一条对称轴．
（2）等腰三角形的两个底角
相等
(简称“等边对等角”)；
（3）三线合一（等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）．
判定
（1）有两边相等的三角形是等腰三角形；（2）等角对等边．
特别提示：
（1）若题目中没明确边是底还是腰，角没有明确是顶角还底角，就需要进行分类讨论；
（2）在进行边的讨论是要注意任意两边之和大于第三边这个隐含条件．
（2）等边三角形
定义
三边相等的三角形是等边三角形
性质
（1）具有等腰三角形的一切性质；
（2）它是轴对称图形，它有三条对称轴．
（3）等边三角形的三个角都相等，并且每个有都等于60°．
判定
（1）三边都相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
2
直角三角形
定义
有一个角是直角的三角形叫做直角三角形
性质
（1）直角三角形的两锐角互余；
（2）在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半；
（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（4）勾股定理：两直角边、的平方和等于斜边的平方，即．
（5）设为直角边，为斜边，为内切圆半径，为外接圆半径，那么，．
判定
（1）有一角是直角的三角形的直角三角形；
（2）两锐角的和等于90°的三角形是直角三角形；
（3）勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
特
别
提示
（1）常见的勾股数：①3，4，5；②5，12，13，③6，8，10，④7，24，25；⑤8，15，17；⑥9，40，41；
（2）勾股数的倍数也是勾股数；
（3）勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据，这种方法在解决函数相关问题是应用较多．
3
线段的垂直平分线与角的平分线
线段的垂直平分线
性质
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
判定
到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
角的平分线
性质
角平分线上的点到角两边的距离相等．
判定
到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．
5年真题
命题点1
直角三角形
1．（7分）（2019?广东）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的三个顶点均在格点上，以点A为圆心的与BC相切于点D，分别交AB、AC于点E、F．
（1）求△ABC三边的长；
（2）求图中由线段EB、BC、CF及所围成的阴影部分的面积．
解：（1）AB2，AC2，BC4；
（2）由（1）得，AB2+AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，连接AD，AD2，
∴S阴＝S△ABC﹣S扇形AEFAB?ACπ?AD2＝20﹣5π．
2．（7分）（2016?广东）如图，Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，CD⊥AB交AB于D，以CD为较短的直角边向△CDB的同侧作Rt△DEC，满足∠E＝30°，∠DCE＝90°，再用同样的方法作Rt△FGC，∠FCG＝90°，继续用同样的方法作Rt△HIC，∠HCI＝90°．若AC＝a，求CI的长．
解：解法一：在Rt△ACB中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴∠A＝90°﹣30°＝60°，
∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝30°，
在Rt△ACD中，AC＝a，∴ADa，由勾股定理得：CD，
同理得：FC，CH，在Rt△HCI中，∠I＝30°，
∴HI＝2HC，由勾股定理得：CI，
解法二：∠DCA＝∠B＝30°，在Rt△DCA中，cos30°，∴CD＝AC?cos30°a，
在Rt△CDF中，cos30°，CFa，同理得：CH＝cos30°CFa，
在Rt△HCI中，∠HIC＝30°，tan30°，CIa；答：CI的长为．
3年模拟
1．（2020?东莞市一模）等腰三角形的一边长为5，周长为20．则这个等腰三角形的底边长为（　A　）
A．5
B．10
C．5或10
D．5或7.5
2．（2020?光明区一模）如图，AB∥CE，∠A＝40°，CE＝DE，则∠C＝（　C　）
A．40°
B．30°
C．20°
D．15°
3．（2020?龙华区二模）如图，直线a∥b∥c，等边三角形△ABC的顶点A、B、C分别在直线a、b、c上，边BC与直线c所夹的角∠1＝25°，则∠2的度数为（　C　）
A．25°
B．30°
C．35°
D．45°
4．（2019?福田区校级模拟）下列性质中，直角三角形具有而等腰三角形不一定具有的是（　C　）
A．两边之和大于第三边
B．内角和等于180°
C．有两个锐角的和等于90°
D．有一个角的平分线垂直于这个角的对边
4．（2020?顺德区模拟）判断下列几组数能作为直角三角形的三边长的是（　D　）
A．8，10，7
B．2，3，4
C．12，15，20
D．，1，2
5．（2020?英德市一模）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，点E、F分别为AC和AB的中点，AF＝5，AE＝4，则BC＝（　B　）
A．3
B．6
C．8
D．10
6．（2020?南海区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则△BDE的周长是（　C　）
A．3
B．4
C．5
D．6
7．（2019?新会区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于点D，DE恰好是AB的垂直平分线，垂足为E．若BC＝6，则AB的长为（　B　）
A．3
B．4
C．8
D．10
8．（2019?罗湖区一模）由三角函数定义，对于任意锐角A，有sinA＝cos（90°﹣A）及sin2A+cos2A＝1成立．如图，在△ABC中，∠A，∠B是锐角，BC＝a，AC＝b，AB＝c．CD⊥AB于D，DE∥AC交BC于E，设CD＝h，BE＝a'，DE＝b'，BD＝c'，则下列条件中能判定△ABC是直角三角形的个数是（　D　）
①a2+b2＝c2；②aa'+bb'＝cc'；③sin2A+sin2B＝1；④．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
D【解析】∵a2+b2＝c2，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故①正确，
∵DE∥AC，
∴△DEB∽△ACB，
∴，
∴，不妨设k，
则a′＝ak，b′＝bk，c′＝ck，
∵aa'+bb'＝cc'，
∴a2k+b2k＝c2k，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，故②正确，
∵sin2A+sin2B＝1，sin2A+cos2A＝1，
∴sin2B＝cos2A，
∴sinB＝cosA，
∵sinA＝cos（90°﹣A），
∴90°﹣∠B＝∠A，
∴∠A+∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故③正确，
∵，
∴1，
∴sin2B+sin2A＝1，
∴△ABC是直角三角形，故④正确．
故选：D．
9．（2019?天河区模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，点P是AC上的动点，连接BP，以BP为边作等边△BPQ，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是　　．
【解析】如图，取AB的中点E，连接CE，PE．
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠CBE＝60°，∵BE＝AE，
∴CE＝BE＝AE，
∴△BCE是等边三角形，∴BC＝BE，
∵∠PBQ＝∠CBE＝60°，
∴∠QBC＝∠PBE，∵QB＝PB，CB＝EB，
∴△QBC≌△PBE（SAS），∴QC＝PE，
∴当EP⊥AC时，QC的值最小，
在Rt△AEP中，∵AE，∠A＝30°，
∴PEAE，∴CQ的最小值为．
10．（2020?龙岗区模拟）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，M为AB边的中点，连结ME、MD、ED，设AB＝10，∠DBE＝30°，则△EDM的面积为　　．
【解析】∵在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E，
∴△ABE，△ADB是直角三角形，
∴EM，DM分别是它们斜边上的中线，
∴EM＝DMAB＝5，
∵MEAB＝MA，
∴∠MAE＝∠MEA，
∴∠BME＝2∠MAE，
同理，MDAB＝MA，
∴∠MAD＝∠MDA，
∴∠BMD＝2∠MAD，
∴∠EMD＝∠BME﹣∠BMD＝2∠MAE﹣2∠MAD＝2∠DAC＝60°，
∴△EDM是边长为5的等边三角形，
∴S△EDM52．
故答案为：．
11．（2020?宝安区校级一模）如图，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1＝90°，OA＝1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，…则OA8的长度为　16　．
16【解析】∵△OAA1为等腰直角三角形，OA＝1，∴AA1＝OA＝1，OA1OA；
∵△OA1A2为等腰直角三角形，
∴A1A2＝OA1，OA2OA1＝2；
∵△OA2A3为等腰直角三角形，
∴A2A3＝OA2＝2，OA3OA2＝2；
∵△OA3A4为等腰直角三角形，
∴A3A4＝OA3＝2，OA4OA3＝4．
∵△OA4A5为等腰直角三角形，
∴A4A5＝OA4＝4，OA5OA4＝4．
∵△OA5A6为等腰直角三角形，
∴A5A6＝OA5＝4，OA6OA5＝8．
∴OA8的长度为16．故答案为：16．
12．（2019?潮州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4．一动点P从点B出发，沿BC方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C即停止，在整个运动过程中，过点P作PD⊥BC与Rt△ABC的直角边相交于点D，延长PD至点Q，使得PD＝QD，以PQ为斜边在PQ左侧作等腰直角三角形PQE．设运动时间为t秒（t＞0）
（1）在整个运动过程中，判断PE与AB的位置关系是
（2）如图2，当点D在线段AB上时，连接AQ、AP，是否存在这样的b，使得AP＝PQ？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由；
（3）当t＝4时，点D经过点A：当t时，点E在边AB上．设△ABC与△PQE重叠部分的面积为S，请求出在整个运动过程中S与t之间的函数关系式，以及写出相应的自变量t的取值范围，并求出当4＜t时S的最大值．
解：（1）结论：PE与AB互相垂直．
理由：如图1中，设PE交AB于K．
∵△ABC，△PQE都是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠EPQ＝45°，∵PQ⊥BC，
∴∠BPQ＝90°，∴∠EPB＝90°，
∴∠B+∠EPB＝90°，∴∠PKB＝90°，
∴PE⊥AB．
（2）如图2中，过点A作AH⊥BC于点H．
∵Rt△ABC中，AB＝AC＝4
∴BC8，
∴AH＝BH＝CH＝4，
依题意得BP＝t．PH＝BH﹣BP＝4﹣t，
∴PA，
∵PD⊥BC，∠B＝45°，
∴PD＝BP＝t，PQ＝2PD＝2t，∵PQ＝AP，
∴2t，
解得：t或（舍弃），
∴t的值为．
（3）如图3﹣1中，△ABC与△PQE的重叠部分为△PFD．
由题意可得△PFD、△BPD为等腰直角三角形，∴BP＝PD＝t，
∴PF＝DF＝PD?cos45°t，
∴S?PF?DF（0＜t≤4）．
如图3﹣2中，△ABC与△PQE的重叠部分为四边形PDAF．
由题意可得△PFB、△PDC为等腰直角三角形，
∵BP＝t，PC＝BC﹣PB＝8﹣t，
∴BF＝PFt，DP＝PC＝8﹣t，
∴S＝S△ABC﹣S△PFB﹣S△PDC
44?（8﹣t）?（8﹣t）t2+8t﹣16（4＜t）
（t）2，
∵0，∴当t时，S有最大值．
如图3﹣3中，△ABC与△PQE的重叠部分为四边形FEPD．
∵CP＝PD＝8﹣t，∴QD＝PD＝8﹣t，PQ＝16﹣2t，由题意可得△QDF为等腰直角三角形,
∴QF（8﹣t），QE（16﹣2t），
∴S＝S△PQE﹣S△QDF
（16﹣2t）?（16﹣2t）（8﹣t）（8﹣t）
t2﹣12t+48（t≤8）．第10讲　一次函数
知识梳理
1.
一次函数的概念
一般地，如果（、是常数，），那么y叫做x的一次函数；特别的当时，一次函数变为即（是常数），这时y叫做x的正比例函数．
特别提示：正比例函数是一次函数，反之不一定成立，只有当b=0时，它才是正比例函数.
2.
一次函数的图象画法
一次函数y=kx+b（）的图象是经过点（0，b）和的一条直线；特别地，正比例函数y=
kx（）的图象是经过点（0，0）和点（1，k）的一条直线．
特别提示：因为一次函数的图象是一条直线，所以画一次函数的图象只需选取两个点，过这两个点画一条直线即可．
3.一次函数的图象与性质
函数
系数取值
大致
图象
经过的象限
函数性质
y=kx(k≠0)
k>0
一、三
y随x增大而增大
k<0
二、四
y随x增大而减小
y=kx+b(k≠0)
k>0，b>0
一、二、三
y随x增大而增大
k>0，b<0
一、三、四
k<0，b>0
一、二、四
y随x增大而减小
k<0，b<0
二、三、四
特别提示：
①确定直线的倾斜程度，当相等时，两直线平行；当不相等时，两直线相交．②确定直线与y轴交点的位置，当相同时，两直线交于y轴上同一点．
4.确定一次函数表达式
用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤:
(1)由题意设出函数的关系式；
(2)根据图象所过已知点或由函数与自变量的对应值列出关于待定系数的方程组；
(3)解关于待定系数的方程或方程组,求出待定系数的值；
(4)将求出的待定系数代回到原来设的函数关系式中即可求出.
5
.一次函数的平移
正比例函数是特殊的一次函数，一次函数y＝kx＋b的图象可以由正比例函数y＝kx的图象平移得到：当__b＞0__时，向上平移b个单位；当__b＜0__时，向下平移|b|个单位．
6.
一次函数与方程（组）、一元一次不等式的关系
(1)．一元一次方程kx＋b＝0与一次函数y＝kx＋b的关系：一元一次方程kx＋b＝0的解是一次函数y＝kx＋b在__y＝0__时所对应的x的值．
(2)一元一次不等式kx＋b＞0(或kx＋b＜0)与一次函数y＝kx＋b的关系：一元一次不等式kx＋b＞0(或kx＋b＜0)的解即为一次函数y＝kx＋b在__y＞0(或y＜0)__时所对应的x的取值范围．
7.
一次函数的类型及解答步骤
（1）一次函数应用的常见类型
①根据实际问题给出的数据列相应的函数解析式解决实际问题；
②利用一次函数对实际问题中方案进行比较；
③结合实际问题的函数图象解决实际问题；
④两个以上的一次函数拼接成一个分段函数，分段求函数解析式，标清自变量的取值范围，找准所求的问题在哪段．
（2）用一次函数解决实际问题的一般步骤：
①设定实际问题中的变量；②建立一次函数关系式；③确定自变量的取值范围；④利用函数的性质解决问题；⑤作答．
3年模拟
1．（2020?顺德区模拟）函数y＝kx与y＝﹣kx+k的大致图象是（　D　）
A．
B．
C．
D．
2．（2020?深圳模拟）直线y＝kx沿y轴向下平移4个单位长度后与x轴的交点坐标是（﹣3，0），以下各点在直线y＝kx上的是（　C　）
A．（﹣4，0）
B．（0，3）
C．（3，﹣4）
D．（﹣4，3）
故选：C．
3．（2020?龙岗区模拟）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（0，﹣1）与（﹣2，0），则不等式kx+b＞0的解集是（　A　）
A．x＜﹣2
B．x＞﹣2
C．x＜﹣1
D．x＞﹣1
4．（2020?顺德区校级模拟）如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解是（　B　）
A．
B．
C．
D．
5．（2020?大鹏新区一模）如图，直线l经过第二、三、四象限，其解析式为y＝（m﹣2）x﹣m，则m的取值范围为　0＜m＜2　．
6．（2020?梅州模拟）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝3x和y＝﹣x的图象分别是直线l1和l2，过点（1，0）作x轴的垂线交l1于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作y轴的垂线交l2于点A4，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去，点A2020的的坐标为　（31010，﹣31010）　．
（31010，﹣31010）
【解析】当x＝1时，y＝3，∴点A1的坐标为（1，3）；
当y＝﹣x＝3时，x＝﹣3，∴点A2的坐标为（﹣3，3）；
同理可得：A3（﹣3，﹣9），A4（9，﹣9），A5（9，27），A6（﹣27，27），A7（﹣27，﹣81），A8（81，﹣81），A9（81，243），…，
∴A4n+1（32n，32n+1），A4n+2（﹣32n+1，32n+1），
A4n+3（﹣32n+1，﹣32n+2），A4n+4（32n+2，﹣32n+2）（n为自然数）．
∵2020＝504×4+4，∴点A2020的坐标为（3504×2+2，﹣3504×2+2），即（31010，﹣31010）．
故答案为（31010，﹣31010）．
7．（2020?禅城区一模）已知直线y＝2x+2的图象如图所示；
（1）直线与y轴交点A的坐标是　（0，2）　，与x轴交点B的坐标　（﹣1，0）　；
（2）将直线AB沿x轴负半轴方向平移1个单位后得到直线CD，求直线与y轴的交点D的坐标．
解：（1）∵y＝2x+2，
∴当x＝0，y＝2，即点A的坐标为（0，2）；
当y＝0时，0＝2x+2，解得：x＝﹣1，即点B的坐标为（﹣1，0）．
故答案为：（0，2），（﹣1，0）；
（2）∵将直线AB沿x轴负半轴方向平移1个单位后得到直线CD，直线AB：y＝2x+2，
∴直线CD的解析式为y＝2（x+1）+2，即y＝2x+4，
∴当x＝0，y＝4，即点D的坐标为（0，4）．
8．（2020?金平区模拟）某服装店同时购进A、B两种款式的运动服共300套，进价和售价如表中所示，设购进A款运动服x套（x为正整数），该服装店售完全部A、B两款运动服获得的总利润为y元．
运动服款式
A款
B款
进价（元/套）
60
80
售价（元/套）
100
150
（1）求y与x的函数关系式；
（2）该服装店计划投入2万元购进A、B这两款运动服，则至少购进多少套A款运动服？若售完全部的A、B两款运动服，则服装店可获得的最大利润是多少元？
解：（1）由题意可得，y＝（100﹣60）x+（150﹣80）（300﹣x）＝﹣30x+21000，
即y＝﹣30x+21000；
（2）由题意得，60x+80（300﹣x）≤20000，
解得，x≥200，∴至少要购进A款运动服200套．
又∵y＝﹣30x+21000，﹣30＜0，∴y随x的增大而减小，
∴当x＝200时，y有最大值，此时y＝15000，
答：至少购进200套A款运动服，若售完全部A、B两款运动服，则服装店可获得的最大利润是15000元．
9．（2020?番禺区模拟）为更新果树品种，某果园计划新购进A、B两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种苗的单价为7元/棵，购买B种苗所需费用y（元）与购买数量x（棵）之间存在如图所示的函数关系．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若在购买计划中，B种苗的数量不少于22棵但不超过35棵，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用．
解：（1）当0≤x≤20时，设y与x的函数关系式为y＝k1x，20k1＝160，解得，k1＝8，
即当0≤x≤20时，y与x的函数关系式为y＝8x，当20＜x≤45时，设y与x的函数关系式是y＝k2x+b，，解得，即当20＜x≤45时，y与x的函数关系式是y＝6.4x+32，
综上可知：y与x的函数关系式为；
（2）设购买B种树苗x棵，
则22≤x≤35，设总费用为W元，
当20＜x≤35时，
W＝7（45﹣x）+（6.4x+32）＝﹣0.6x+347，
∵﹣0.6＜0，∴W随x的增大而减小，
故当x＝35时，W取得最小值，此时W＝326，45﹣x＝10，
答：当购买A种树苗10棵，B种树苗35棵时总费用最低，最低费用是326元．\
第1讲
实数
第1讲
实数
知识梳理
1.实数的分类
特别提示：
无理数的常见形式：(1)无限不循环的小数，如（两个1之间依次多一个0）．(2)最终结果含有的数，如：，等．(3)开方开不尽的而得到得的数，如：，等．
(4)某些三角函数值，如：，等．
2.数轴
规定了原点、
正方向和
单位长度的直线．
数轴上的点与实数是一一对应．
3.相反数
只有符号不同的两数互为相反数；0的相反数是0．
（1）a、b互为相反数
则；
（2）在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的两侧，且到原点的距离相等.
4.绝对值
数轴上表示数的点到与原点的
距离，叫做数的绝对值，记作．
|a|是一个非负数，即|a|__≥0__．
从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与
原点
的距离.5.倒数
乘积为　
1
　的两个数互为倒数.
5．倒数
乘积为1的两个数互为倒数，非零实数a的倒数为．（1）a、b互为倒数；
（2）0没有倒数；（3）倒数等于本身的数是.
6.平方根、算术平方根、立方根
（1）平方根的概念
若，则是的平方根，记作.
平方根的性质:
一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.
（2）算术平方根
一个正数的正的平方根，叫做的算术平方根，记做；0的算术平方根是0.
（3）立方根的概念：
若，则x是a的立方根，记作
.
（4）立方根的性质:
正数有
一
个立方根，为正数；
负数有一个立方根，为
负
数
；
0有一个立方根，就是0本身；注意
.
7.实数的运算(混合运算顺序)
零指数幂和负整数指数幂
（1）零指数幂：；
（2）负整数次幂：．
（3）实数的运算律
①加法交换律
a+b＝b+a；②加法结合律
(a+b)+c=a+(b+c)；
③乘法交换律
ab＝ba；
④乘法结合律
(ab)c=a(bc)；⑤分配律a(b+c)=ab+ac．
（4）实数的运算顺序
实数的运算顺序是先算__乘方和开方__，再算__乘除__，最后算__加减__．如果有括号，一般先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算__大括号__里面的，同级运算应__从左到右__依次进行．7.实数的大小比较
①几何比较规则：数轴上表示的两个数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.
②
代数比较规则：正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小.
③差值比较法：对于实数a、b，若a-b>0a>b；a-b=0a=b；
a-b<0a④传递性：对于实数a，b，c，若a>b，b>c，则a>c.　　
⑤商值比较法：设、是两个正实数，则a＞b；
a=b；＜1.
⑥平方比较法：如果a>b>0，a2>b2a>b.
8.科学记数法
1.
定义：把一个数写成a×10n的形式(其中满足的条件是，n是整数)，这种记数法叫做科学记数法.
（2）当这个数的绝对值比1大时，为自然数，的值比这个数的整数位数小1，如:
407000=4.07×105
（3）当这个数的绝对值比1小时，为负整数，就是这个数中从左边起第一个非零数字前零的个数，如：0.000043=4.3×10－5.
9.近似数
一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个数精确到哪一位.
5年真题
命题点1
相反数与绝对值
1．（3分）（2019?广东）﹣2的绝对值是（　A　）
A．2
B．﹣2
C．
D．±2
2．（3分）（2017?广东）5的相反数是（　D　）
A．
B．5
C．
D．﹣5
3．（3分）（2016?广东）﹣2的相反数是（　A　）
A．2
B．﹣2
C．
D．
命题点2科学计数法
4．（3分）（2019?广东）某网店2019年母亲节这天的营业额为221000元，将数221000用科学记数法表示为（　B　）
A．2.21×106
B．2.21×105
C．221×103
D．0.221×106
5．（3分）（2018?广东）据有关部门统计，2018年“五一小长假”期间，广东各大景点共接待游客约14420000人次，将数14420000用科学记数法表示为（　A　）
A．1.442×107
B．0.1442×107
C．1.442×108
D．0.1442×108
6．（3分）（2017?广东）“一带一路”倡议提出三年以来，广东企业到“一带一路”国家投资越来越活跃，据商务部门发布的数据显示，2016年广东省对沿线国家的实际投资额超过4000000000美元，将4
000
000
000用科学记数法表示为（　C　）
A．0.4×109
B．0.4×1010
C．4×109
D．4×1010
7．（3分）（2016?广东）据广东省旅游局统计显示，2016年4月全省旅游住宿设施接待过夜游客约27700000人，将27700000用科学记数法表示为（　C　）
A．0.277×107
B．0.277×108
C．2.77×107
D．2.77×108
命题点3
实数的大小比较
8．（3分）（2019?广东）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（　D　）
A．a＞b
B．|a|＜|b|
C．a+b＞0
D．0
9．（3分）（2018?广东）四个实数0、、﹣3.14、2中，最小的数是（　C　）
A．0
B．
C．﹣3.14
D．2
10．（4分）（2017?广东）已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则a+b　＞　0．（填“＞”，“＜”或“＝”）
11．（3分）（2016?广东）如图所示，a与b的大小关系是（　A　）
A．a＜b
B．a＞b
C．a＝b
D．b＝2a
命题点4
非负数的性质
12．（4分）（2018?广东）已知|b﹣1|＝0，则a+1＝　2　．
命题点5平方根、算术平方根及立方根
13．（3分）（2019?广东）化简的结果是（　B　）
A．﹣4
B．4
C．±4
D．2
14．（4分）（2018?广东）一个正数的平方根分别是x+1和x﹣5，则x＝　2　．
15．（4分）（2016?广东）9的算术平方根是　3　．
命题点6实数的运算
16．（4分）（2019?广东）计算：20190+（）﹣1＝　4　．
17．（6分）（2018?广东）计算：|﹣2|﹣20180+（）﹣1
解：原式＝2﹣1+2＝3．
18．（6分）（2017?广东）计算：|﹣7|﹣（1﹣π）0+（）﹣1．
解：原式＝7﹣1+3
＝9．
19．（6分）（2016?广东）计算：|﹣3|﹣（2016+sin30°）0﹣（）﹣1．
解：|﹣3|﹣（2016+sin30°）0﹣（）﹣1
＝3﹣1+2
＝2+2
＝4．
3年模拟
1．（2020?广州模拟）规定向北为正，某人走了+5米，又继续走了﹣10米，那么，他实际上（　D　）
2．（2020?东莞市一模）如图，数轴上顺次有A，B，C三个整数点（即各点均表示整数）且BC＝2AB．若A，C两点所表示的数分别是﹣3和3，则点B所表示的数是（　D　）
A．2
B．1
C．0
D．﹣1
3．（2020?深圳模拟）如果a与互为相反数，则a等于（　B　）
A．
B．
C．2
D．﹣2
4．（2020?东莞市一模）计算|﹣2|的结果是（　A　）
A．2
B．
C．
D．﹣2
5．（2020?光明区一模）下列四个数中，最大的负数是（　A　）
A．﹣1
B．﹣2020
C．0
D．2020
6．（2019?深圳模拟）在0、、﹣2、﹣1四个数中，最小的数是（　B　）
A．﹣2
B．﹣1
C．0
D．
7．（2020?东莞市一模）某种病毒的直径在0.00000005米至0.0000002米之间，把0.0000002用科学记数法表示为（　B　）
A．0.2×10﹣6
B．2×10﹣7
C．2×10﹣8
D．2×107
8．（2020?广州模拟）用科学记数法表示的数3.61×105，它的原数是（　C　）
A．36100000
B．3610000
C．361000
D．36100
9．（2020?龙岗区模拟）的立方根是（　D　）
A．﹣4
B．±4
C．±2
D．﹣2
10．（2020?长沙模拟）如果1＜x＜2，化简|x﹣1|+|x﹣2|＝　1　．
11．（2020?黄冈模拟）的倒数是　　．
12．（2020?金平区模拟）若a，b为实数，且|a﹣1|0，则（a+b）2020的值为　1　．
13．（2019?碑林区校级模拟）比较大小：﹣2　＞　﹣3（填“＜”或“＝”或“＞”）
14．（2020?禅城区二模）计算：|1|+（2020+π）0﹣2sin60°+2﹣2．
解：原式1+1﹣2
1+1
．
15．（2020?金平区模拟）计算：（）﹣1+2sin45°+|3|﹣（2020+π）0．
解：原式
＝231
＝4．第30讲　统　计
知识梳理
1调查的方式
调查方式
定义
全面调查
为了某一特定的目的对所有考察对象所作的调查叫做全面调查．
抽样调查
为了一特定目的而对部分考察对象所作的调查叫做抽样调查．
2总体、个体、样本及样本容量
总体
所要考察对象的全体叫做总体．
个体
组成总体的每一个考察对象叫做个体．
样本
从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本．
样本容量
样本中包含的个体的数目叫做样本容量；样本容量没有单位．
3频数与频率
频数
定义
在统计时，每个对象出现的次数叫做频数．
规律
频数之和等于总数．
频率
定义
每个对象出现的次数与总次数的比值叫做频率．
规律
频率之和等于1．
4几种常见的统计图
名称
特点
条形统计图
能清楚地表示出每个项目的具体数目．
扇形统计图
能清楚表示出各部分在总体中的百分比．
折线统计图
可以反映数据的变化趋势．
频数分布直方图
能直观反映数据的分布状态．
5反映数据集中趋势的特征数
平均数
算术平均数
一组数据，它的平均数
．
加权平均数
如果n个数据中，出现次，出现次，……，出现次（这里），则．
中位数
将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的那个数据或最中间两个数据的平均数叫做这组数据的中位数．
众数
在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.一组数据的众数可能不止一个，也可能没有众数．
特别提示
（1）确定中位数时，一定要注意先把整组数据按照大小顺序排列，再确定；
（2）一组数据中众数不一定只有一个，也可能没有众数；
（3）当一组数据出现中出现异常值时，其平均数往往不能正确反映这组数据的集中趋势，就应考虑用中位数或众数来考查
6反映数据波动大小的特征数
方差
设有个数据，它们的平均数是，则它们的方差为：
．
意义
方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小．
7平均数、方差的变化规律
样本
平均数
方差
（为常数）
（为常数）
（、为常数）
8用样本估计总体
1.统计的基本本思想：用样本特征估计总体特征.
2.统计的决策依据：利用数据进行决策时，要全面、多角度地分析已有数据，从数据变化中发现它们的规律和变化趋势，减少人为因素的影响.
5年真题
命题点1
平均数、中位数与众数
1．（3分）（2019?广东）数据3，3，5，8，11的中位数是（　C　）
A．3
B．4
C．5
D．6
2．（3分）（2018?广东）数据1、5、7、4、8的中位数是（　B　）
A．4
B．5
C．6
D．7
3．（3分）（2017?广东）在学校举行“阳光少年，励志青春”的演讲比赛中，五位评委给选手小明的评分分别为：90，85，90，80，95，则这组数据的众数是（　B　）
A．95
B．90
C．85
D．80
4．（3分）（2016?广东）某公司的拓展部有五个员工，他们每月的工资分别是3000元，4000元，5000元，7000元和10000元，那么他们工资的中位数是（　B　）
A．4000元
B．5000元
C．7000元
D．10000元
命题点2
统计图表
5．（7分）（2019?广东）为了解某校九年级全体男生1000米跑步的成绩，随机抽取了部分男生进行测试，并将测试成绩分为A、B、C、D四个等级，绘制如下不完整的统计图表，如图表所示，根据图表信息解答下列问题：
成绩等级频数分布表
成绩等级
频数
A
24
B
10
C
x
D
2
合计
y
（1）x＝　4　，y＝　40　，扇形图中表示C的圆心角的度数为　36　度；
（2）甲、乙、丙是A等级中的三名学生，学校决定从这三名学生中随机抽取两名介绍体育锻炼经验，用列表法或画树状图法，求同时抽到甲，乙两名学生的概率．
（1）随机抽男生人数：10÷25%＝40（名），即y＝40；
C等级人数：40﹣24﹣10﹣2＝4（名），即x＝4；
扇形图中表示C的圆心角的度数360°36°．故答案为4，40，36；
（2）画树状图如下：
P（同时抽到甲，乙两名学生）．
6．（7分）（2018?广东）某企业工会开展“一周工作量完成情况”调查活动，随机调查了部分员工一周的工作量剩余情况，并将调查结果统计后绘制成如图1和图2所示的不完整统计图．
（1）被调查员工的人数为　800　人：
（2）把条形统计图补充完整；
（3）若该企业有员工10000人，请估计该企业某周的工作量完成情况为“剩少量”的员工有多少人？
解：（1）被调查员工人数为400÷50%＝800人，故答案为：800；
（2）“剩少量”的人数为800﹣（400+80+40）＝280人，
补全条形图如下：
（3）估计该企业某周的工作量完成情况为“剩少量”的员工有100003500人．
7．（7分）（2017?广东）某校为了解九年级学生的体重情况，随机抽取了九年级部分学生进行调查，将抽取学生的体重情况绘制如下不完整的统计图表，如图表所示，请根据图表信息回答下列问题：
体重频数分布表
组边
体重（千克）
人数
A
45≤x＜50
12
B
50≤x＜55
m
C
55≤x＜60
80
D
60≤x＜65
40
E
65≤x＜70
16
（1）填空：①m＝　52　（直接写出结果）；
②在扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数等于　144　度；
（2）如果该校九年级有1000名学生，请估算九年级体重低于60千克的学生大约有多少人？
解：（1）①调查的人数为：40÷20%＝200（人），∴m＝200﹣12﹣80﹣40﹣16＝52；
②C组所在扇形的圆心角的度数为360°＝144°；故答案为：52，144；
（2）九年级体重低于60千克的学生大约有1000＝720（人）．
8．（7分）（2016?广东）某学校准备开展“阳光体育活动”，决定开设以下体育活动项目：足球、乒乓球、篮球和羽毛球，要求每位学生必须且只能选择一项，为了解选择各种体育活动项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，并将通过调查获得的数据进行整理，绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答问题：
（1）这次活动一共调查了　250　名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，选择篮球项目的人数所在扇形的圆心角等于　108　度；
（4）若该学校有1500人，请你估计该学校选择足球项目的学生人数约是　480　人．
解：（1）这次活动一共调查学生：80÷32%＝250（人）；
（2）选择“篮球”的人数为：250﹣80﹣40﹣55＝75（人），
补全条形图如图：
（3）选择篮球项目的人数所在扇形的圆心角为：360°＝108°；
（4）估计该学校选择足球项目的学生人数约是：1500×32%＝480（人）；
故答案为：（1）250；（3）108；（4）480．
3年模拟
1．（2020?龙岗区校级模拟）下列调查中，最适宜采用普查方式的是（　C　）
A．对全国初中学生视力状况的调査
B．对“十一国庆”期间全国居民旅游出行方式的调查
C．旅客上飞机前的安全检查
D．了解某种品牌手机电池的使用寿命
2．（2019?港南区四模）为了了解某校300名初三学生的睡眠时间，从中抽取30名学生进行调查，在这个问题中，下列说法正确的是（　D　）
A．300名学生是总体
B．300是众数
C．30名学生是抽取的一个样本
D．30是样本的容量
3．（2020?金平区模拟）有一组数据：4，5，6，6，8，9，12，13，这组数据的中位数为（　B　）
A．6
B．7
C．8
D．9
4．（2020?东莞市一模）某班数学兴趣小组10名同学的年龄情况如表：则这10名同学年龄的平均数和中位数分别是（　A　）
年龄（岁）
12
13
14
15
人数
1
4
4
1
A．13.5，13.5
B．13.5，13
C．13，13.5
D．13，14
5．（2020?梅州模拟）某班学习小组的6名同学在一次数学测试中的成绩分别是：95，97，90，95，85，74，则这组数据的众数是（　B　）
A．90
B．95
C．97
D．85
6．（2020?福田区模拟）如图为某队员射击10次的成绩统计图，该队员射击成绩的众数与中位数分别是（　D　）
A．7，7
B．7，7.5
C．8，7
D．8，7.5
7．（2020?龙华区二模）某小组在一次“在线测试”中做对的题数分别是10，8，6，9，8，7，8，对于这组数据，下列判断中错误的是（　D　）
A．众数是8
B．中位数是8
C．平均数是8
D．方差是8
8．（2019?福田区校级模拟）在一个不透明的布袋中，红色、黑色的玻璃球共有20个，这些球除颜色外其它完全相同．将袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断地重复这个过程，摸了200次后，发现有60次摸到黑球，请你估计这个袋中红球约有　14　个．
9．（2020?福田区模拟）已知一组数据x1，x2，x3，x4的方差是0.2，则数据x1+5，x2+5，x3+5，x4+5的方差是　0.2　．
10．（2019?南海区二模）为了丰富校园文化生活，某校计划在午间校园广播台播放“百家讲坛”的部分内容为了了解学生的喜好，抽取若干名学生进行问卷调查（每人只选一项内容），整理调查结果，绘制统计图如下：
请根据统计图提供的信息回答以下问题：
（1）这一调查属于　抽样调查　（选填“抽样调查”或“普查”），抽取的学生数为　300　名；
（2）估计喜欢收听易中天《品三国》的学生约占全校学生的　35.3　%（精确到小数点后一位）；
（3）已知该校女学生共有1800名，则该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生大约有多少名？
解：（1）这一调查属于抽样调查，
抽查的人数为：20+10+30+15+30+38+64+42+6+45＝300人；
故答案为：抽样调查，300；
（2）（64+42）÷300≈35.3%；
故答案为：35.3；
（3）1800＝540人
该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生大约有540名．
12．（2020?深圳模拟）“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某兴趣小组随机调查了某市50名教师某日微信运动中的步数情况，并进行统计整理，绘制了如下的统计图表（不完整），请根据以上信息，解答下列问题：
步数（万步）
频数
频率
0≤x＜0.4
8
a
0.4≤x＜0.8
15
0.30
0.8≤x＜1.2
12
0.24
1.2≤x＜1.6
10
0.20
1.6≤x＜2
3
0.06
2≤x＜2.4
b
0.04
（1）求出a＝　0.16　，b＝　2　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若该市约有40000名教师，估计日行走步数超过1.2万步（包含1.2万步）的教师约有多少名？
解：（1）b＝50﹣8﹣15﹣12﹣10﹣3＝2（人），a＝1﹣0.30﹣0.24﹣0.20﹣0.06﹣0.04＝0.16；
故答案为：0.16，2；
（2）补全频数分布直方图如图所示：
（3）40000×（0.20+0.06+0.04）＝40000×0.3＝12000（人），
答：该市40000名教师中日行走步数超过1.2万步（包含1.2万步）的有12000人．
13．（2020?大鹏新区一模）2019年是新中国成立70周年，在“庆祝新中国成立70年华诞”主题教育活动月，深圳某学校组织开展了丰富多彩的活动，活动设置了“A：诗歌朗诵展演，B：歌舞表演，C：书画作品展览，D：手工作品展览”四个专项活动，每个学生限选一个专项活动参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图：
（1）本次随机调查的学生人数是　60　人；
（2）请你补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“B”所在扇形的圆心角为　108　度．
（4）小涛和小华各自随机参与其中的一个专项活动，请你用画树状图或列表的方式求他们恰好选中同一个专项活动的概率．
解：（1）15÷25%＝60人，
答：本次随机调查的学生人数是60人；
故答案为：60；
（2）C组：60﹣15﹣18﹣9＝18人，补全条形统计图如图所示：
（3）B”所在扇形的圆心角为：360°108°
故答案为：108；
（4）画树状图如图2所示：
共有16个等可能的结果，
小涛和小华恰好选中同一个主题活动的结果有4个，∴小涛和小华恰好选中同一个主题活动的概率．
14．（2020?顺德区四模）某学校开展“垃圾分类知识”竞赛，七年级随机抽取的10名学生的竞赛成绩按照从低到高排列为：80，82，85，90，90，96，99，99，99，100；八年级随机抽取的10名学生的竞赛成绩中，有3人的成绩低于90分，有4人的成绩高于95分，还有3人的成绩是：94，90，94．
根据以上信息，结合七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表，解答下列问题：
年轻
七年级
八年级
平均数
92
92
中位数
93
a
众数
b
98
方差
52
50.4
（1）直接写出表中a，b的值为：a＝　94　，b＝　99　；
（2）该校七、八年级共200人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩不低于90分的学生人数是　140　；
（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由（一条理由即可）．
解：（1）∵八年级随机抽取的10名学生的竞赛成绩中，有3人的成绩低于90分，有4人的成绩高于95分，还有3人的成绩是：94，90，94．
∴从低到高排，排在第5和第6位的是94，94，∴中位数a＝94．
∵七年级随机抽取的10名学生的竞赛成绩为：80，82，85，90，90，96，99，99，99，100；∴众数为99，则b＝99．
故答案为：94，99；
（2）∵七、八年级抽取的10名学生竞赛成绩中，不低于90分的学生人数均是7人，
∴200人中，估计参加此次竞赛活动成绩不低于90分的学生人数是：200140（人）．故答案为：140；
（3）该校七、八年级中八年级学生掌握垃圾分类知识较好．理由是八年级的成绩中位数是94，大于七年级的成绩中位数93．第19讲　锐角三角函数
知识梳理
1锐角三角函数的定义
正弦
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b．
余弦
正切
注意：
①
正弦、余弦、正切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意三角形随便套用定义．②
、、分别是正弦、余弦、正切的数学表达符号，不能理解为与、与、与的乘积．
2特殊角三角函数值
三角函数
5年真题
命题点1
锐角三角函数的概念
1．（3分）（2016?广东）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（　D　）
A．
B．
C．
D．
3年模拟
1．（2020?惠来县模拟）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC，AB＝4，则cosB的值是（　C　）
A．
B．
C．
D．
2．（2020?白云区模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝40，sin∠ABC．则AB＝（　D　）
A．20
B．30
C．40
D．60
3．（2019?南关区二模）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanC的值是（　B　）
A．2
B．
C．1
D．
4．（2020?龙岗区二模）若锐角A满足cosA，则∠A的度数是（　A　）
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
5．（2020?番禺区一模）计算：　3　．
6．（2019?潘集区四模）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，则tanB的值为　　．
7．（2020?禅城区二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，若cosA，则BC的长为　8　．
8．（2020?顺德区模拟）计算：3tan30°﹣2sin60°+cos245°．
解：3tan30°﹣2sin60°+cos245°
＝32（）2
．
9．（2020?江阴市模拟）如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠A＝30°）绕其直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到Rt△A′B′C，A′C与AB交于点D，过点D作DE∥A′B′交CB′于点E，连接BE．易知，在旋转过程中，△BDE为直角三角形．设BC＝1，AD＝x，△BDE的面积为S．
（1）当α＝30°时，求x的值．
（2）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
解：（1）∵∠A＝a＝30°，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝∠BCD＝60°．
∴AD＝BD＝BC＝1．
∴x＝1；
（2）∵∠DBE＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠A＝∠CBE＝30°．
∴ACBC，AB＝2BC＝2．
由旋转性质可知：AC＝A′C，BC＝B′C，
∠ACD＝∠BCE，
∴△ADC∽△BEC，
∴，
∴BEx．
∵BD＝2﹣x，
∴sx（2﹣x）x2x．（0＜x＜2）.第17讲　相似三角形
知识梳理
1
线段的比与成比例线段
线段的比
两条线段长度的比叫做两条线段的比.注意：求两条线段的比时必须统一单位）．
成比例线段
四条线段、、、中，如果，那么这四条线段、、、叫做成比例线段，简称比例线段．
黄金分割
若线段AB上一点C把线段AB分成两条线段AC与BC（AC>BC），如果，这时称点C是AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比，它的值为．
2
比例的性质
基本性质
合比的性质
等比性质
3平行线分线段成比例定理
图形
几何语言
定理
∵l1∥l2∥l3，
∴，，
推论
∵DE∥BC，∴，
，
4相似三角形的判定
预备定理
平行于三角形的一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．
判定1
有两个角对应相等的两个三角形相似．
判定2
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
判定3
三边对应成比例的两个三角形相似
直角三角形的特殊判定
若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
5相似三角形的性质
性质1
相似三角形的对应边成比例，对应角相等．
性质2
相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线之比等于相似比．
性质3
相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方．
6位似图形
定义
两个相似图形，如果对应点的连线交于同一点，对应边平行或在同一直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．
性质
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于相似比．
画位似图形的步骤
（1）确定位似中心；（2）连结原图形中关键点与位似中心的线段（或延长线）；（3）按相似比进行取点；（3）顺次连接各点，所得的图形就是所求的图形．
5年真题
命题点1
相似三角形的性质
1．（3分）（2018?广东）在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积之比为（　C　）
A．
B．
C．
D．
3年模拟
1．（2020?顺德区模拟）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝8，DB＝4，AE＝6，则EC的长为（　C　）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．（2020?江城区一模）若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（　B　）
A．1：4
B．1：2
C．2：1
D．1：16
8．（2019?罗湖区模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，4），B（﹣6，﹣2），以原点O为位似中心，位似比为把△ABC缩小，则点B的对应点B′的坐标是（　D　）
A．（﹣3，﹣1）
B．（﹣1，2）
C．（﹣1，2）或（1，﹣2）
D．（﹣3，﹣1）或（3，1）
4．（2020?新都区模拟）如图，路灯OP距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B处时，人影的长度（　D　）
A．变长了1.5米
B．变短了2.5米
C．变长了3.5米
D．变短了3.5米
5．（2020?高州市模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠DAB＝60°，AE分别交BC、BD于点E、F，CE＝2，连结CF，以下结论：
①△ABF≌△CBF；
②点E到AB的距离是；
③△ADF与△EBF的面积比为3：2；
④△ABF的面积为，其中一定成立的个数为（　B　）
A．1
B．2
C．3
D．4
B【解析】∵四边形ABCD是菱形，AB＝6，∴BC＝AB＝6，
∵∠DAB＝60°，∴AB＝AD＝DB＝6，∠ABD＝∠DBC＝60°，
在△ABF与△CBF中，，∴△ABF≌△CBF（SAS），故①成立；
如图，过点E作EG⊥AB延长线于点G；过点F作MH⊥AB交AB，CD于点H，M，
则由菱形的对边平行可得MH⊥CD，
∵CE＝2，BC＝6，∠ABC＝120°，
∴BE＝6﹣2＝4，∠EBG＝60°∵EG⊥AB，
∴EG＝4sin60°＝42，故②不成立；
∵AD∥BE，∴△ADF∽△EBF，
∴，故③不成立；
∵△ADF∽△EBF，∴，
∵DB＝6，∴BF，∴FH＝BF?sin∠FBHsin60°，
∴S△ABFAB?FH，故④成立．综上一定成立的有①和④．故选：B．
6．（2020?潮南区模拟）△ABC与△DEF相似，其面积比为1：4，则它们的相似比为　1：2　．
7．（2020?梅州模拟）如图，距离不远的两条电线杆高度均为3.2m．在阳光照射下，第一条电线杆在平坦广场上的影长AB＝4.8m，第二条电线杆离墙的距离CD＝3m，且第二条电线杆的部分影子投射到墙上，则投射在墙上的影子DE长度为　1.2　m．
8．（2020?海珠区一模）如图，已知△ABC中，AB＝BC＝10，tan∠ABC．（1）求边AC的长；（2）设边BC的垂直平分线EF与边AB、BC的交点分别为E，F，求的值．
解：（1）作A作AE⊥BC，如图1，
在Rt△ABD中，tan∠ABC，AB＝10，
∴AD＝6，BD＝8，
∴CD＝BC﹣BD＝10﹣8＝2，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得：AC；
（2）如图2，连接CE，
∵EF垂直平分BC，∴BE＝CE，BF＝CF＝5，
∵tan∠EBF，∴EF，
在Rt△BEF中，根据勾股定理得：BE，
∴AE＝10，则．
9．（2020?三明模拟）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（20，0）和（0，15），动点P从点A出发在线段AO上以每秒2cm的速度向原点O运动，动直线EF从x轴开始以每秒lcm的速度向上平行移动（即EF∥x轴），分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．
（1）求t＝9时，△PEF的面积；
（2）直线EF、点P在运动过程中，是否存在这样的t使得△PEF的面积等于40cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
（3）当t为何值时，△EOP与△BOA相似．
解：（1）∵EF∥OA，∴∠BEF＝∠BOA
又∵∠B＝∠B，∴△BEF∽△BOA，
∴，当t＝9时，OE＝9，OA＝20，OB＝15，∴EF8，
∴S△PEFEF?OE8×9＝36（cm2）；
（2）∵△BEF∽△BOA，
∴EF（15﹣t），
∴（15﹣t）×t＝40，
整理，得t2﹣15t+60＝0，
∵△＝152﹣4×1×60＜0，
∴方程没有实数根．
∴不存在使得△PEF的面积等于40cm2的t值；
（3）当∠EPO＝∠BAO时，△EOP∽△BOA，
∴，即，
解得t＝6；
当∠EPO＝∠ABO时，△EOP∽△AOB，
∴，即，
解得t．∴当t＝6或t时，△EOP与△BOA相似．第26讲　与圆有关的计算
知识梳理
1正多边形与圆
正多边形的相关概念
外接圆
把圆分成等份，依次连接各分点所得的多边形是圆的内接正边形，这个圆是正边形的外接圆
内切圆
把圆分成等份，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正边形，这个圆是正边形的的内切圆；
中心
正多边形外接圆的圆心
半径
正多边形外接圆的半径
中心角
正多边形每一边所对的圆心角，正边形的中心角
边心距
正多边形内切圆的半径
结论
（1）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆；
（2）正n边形的半径、与边长的一半构成一个直角三角形；
（3）.
2.弧长与扇形的面积
如图，扇形OAB所对应的圆心角为，半径为，是弧长，则有下列计算公式：
弧长
=
周长
C=
面积
==（第2个结论可结合三角形的面积公式，相当于三角形的底，看作是高）
3.圆柱、圆锥的有关计算
图形
侧面展开图
圆柱的侧面展开图是一个矩形，这个矩形的长是底面圆的周长，宽是圆柱的母线长
扇形的侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于底面圆的周长，扇形的半径就是母线长
侧面积
全面积
结论
；
4不规则图形的面积
采用“转化”的数学思想方法，把不规则图表的面积采用“割补法”、“等积变形法”、“平移”或“旋转”等转化为规则图形的面积.
5年真题
命题点1
弧长与扇形面积
1．（4分）（2016?广东）如图，把一个圆锥沿母线OA剪开，展开后得到扇形AOC，已知圆锥的高h为12cm，OA＝13cm，则扇形AOC中的长是　10π　cm（计算结果保留π）．
命题点2
阴影面积的计算
2．（4分）（2018?广东）如图，矩形ABCD中，BC＝4，CD＝2，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为　π　．（结果保留π）
π【解析】连接OE，如图，∵以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，
∴OD＝2，OE⊥BC，易得四边形OECD为正方形，
∴由弧DE、线段EC、CD所围成的面积＝S正方形OECD﹣S扇形EOD＝224﹣π，
∴阴影部分的面积2×4﹣（4﹣π）＝π．故答案为：π．
3年模拟
1．（2020?番禺区模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是上不同于点C的任意一点，则∠BPC的大小是（　B　）
A．22.5°
B．45°
C．30°
D．50°
2．（2020?东莞市一模）如图，⊙O的半径为1，点A、B、C都在⊙O上，∠B＝45°，则的长为（　C　）
A．π
B．π
C．π
D．π
3．（2020?开福区模拟）如果圆锥的母线长为10cm，高为8cm，那么它的侧面积等于（　B　）
A．80πcm2
B．60πcm2
C．40πcm2
D．30πcm2
4．（2020?高州市模拟）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若AB＝2，则⊙O的半径为　2　．
5．（2020?南沙区一模）如图，用一个半径为30cm，面积为150πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计耗损），则圆锥的底面半径r为　5cm　．
6．（2019?中山市三模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接BD，∠ABD＝60°，CD＝2，则的长为　　．
7．（2020?梅州模拟）如图，圆锥底面半径为rcm，圆锥侧面展开图扇形的半径为cm，扇形的圆心角为216°，则r的值为　5　cm．
5【解析】∵圆锥底面半径为rcm，侧面展开图扇形的半径为cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，
∴2πrπ，
解得r＝5．
故答案为：5．
8．（2020?中山市一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，∠CAB＝30°，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为　52π　．
52π【解析】连接OD，作DE⊥AB于点E，∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠CAB＝30°，AB＝4，
∴∠DOB＝60°，BC＝4，∴OB＝OD＝2，
∴DE＝OD?sin60°＝23，
∴图中阴影部分的面积为：S△ABC﹣S△AOD﹣S扇形BOD4452π
故答案为52π．
9．（2020?禅城区二模）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝2．将扇形OAB沿过点B的直线折叠．点O恰好落在弧AB上点D处，折痕交OA于点C，则整个阴影部分的面积为　π　．
π【解析】连接OD交BC于点E．
∴扇形的面积22π＝π，
∵点O与点D关于BC对称，
∴OE＝ED＝1，OD⊥BC．
在Rt△OBE中，sin∠OBE，
∴∠OBC＝30°．
在Rt△COB中，tan30°，
∴．∴CO．
∴△COB的面积．
阴影部分的面积＝扇形面积﹣2倍的△COB的面积＝π．故答案为：π．
10．（2020?惠来县模拟）如图，在扇形ABO中，∠AOB＝90°，C是弧AB的中点，若OD：OB＝1：3，OA＝3，则图中阴影部分的面积为　π　．
π【解析】连接OC，过C作CE⊥OB于E，∵∠AOB＝90°，C是弧AB的中点，
∴∠AOC＝∠BOC＝45°，
∴△OCE是等腰直角三角形，
∵OD：OB＝1：3，OA＝3，
∴CE3，OD＝1，
∴图中阴影部分的面积＝S扇形COB﹣S△CODπ，
故答案为：π．
12．（2020?顺德区四模）如图，四边形ABEC是平行四边形，过A、B、C三点的⊙O与CE相交于点D．连接AD、OD，DB是∠ADE的角平分线．（1）判断△BDE的形状，并说明理由；（2）求证：BE是⊙O的切线；
（3）如果AB＝4，DE＝2，求⊙O的面积．
解：（1）△BDE是等腰三角形；
理由：∵四边形ABEC是平行四边形，
∴∠CAB＝∠E，∵∠EDB＝∠CAB，
∴∠E＝∠EDB，∴BD＝BE，
∴△BDE是等腰三角形；
（2）连接OB，
∵DB是∠ADE的角平分线，
∴∠ADB＝∠BDE，∵CE∥AB，
∴∠BDE＝∠ABD，∴∠ADB＝∠ABD，
∴∠ADB＝∠ABD＝∠BDE＝∠E，
∴∠BAD＝∠DBE，∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
延长DO交⊙O于G，∴∠DBG＝90°，
∴∠G+∠BDG＝90°，∵∠DAB＝∠G，
∴∠DBE＝∠G，∴∠DBO+∠DBE＝90°，
∴∠DBG＝90°，∴BE是⊙O的切线；
（3）过C作CM⊥AB于M，DN⊥AB于N，
∵四边形ABEC是平行四边形，
∴AC＝BE，AB＝CE，∴AC＝BD，
∵CM∥DN，CD∥MN，
∴四边形CMND是矩形，
∴CM＝DN，MN＝CD，
∴Rt△ACM≌Rt△BDN（HL），∴AM＝BN，
∵AB＝CD＝AD＝4，DE＝2，
∴CD＝MN＝2，∴AM＝BN＝1，
∴AN＝3，
∴DN，
∴BD2，
∵∠BAD＝∠G，∠AND＝∠DBG＝90°，
∴△ADN∽△GGB，∴，
∴，∴DG，
∴OD，
∴⊙O的面积＝OD2π＝（）2ππ．第6讲　分式方程
知识梳理
1.分式方程
分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2.分式方程的解法
(1)解分式方程的基本思路:将分式方程化为整式方程.
(2)常用方法:①去分母；②换元法.
3.
解分式方程的一般步骤.
去分母
方程两边同乘以各分母的最简公分母，约去分母，化分式方程为整式方程．
解整式方程
解这个整式方程．
检验
把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母为0的根是增根，必须舍去；使最简公分母的值不等于0的根是原方程的根．
4.
分式方程增根
（1）使最简公分母为0；
（2）是所化成的整式方程的根.
5.分式方程的应用
解分式方程应用题的关键是把握题意,找准等量关系,列出分式方程,最后进行两次检验：一是检验所求的解是否是所列分式方程的解；二是检验所求的解是否__符合实际意义__．
5年真题
命题点1
分式方程的应用
1．（7分）（2018?广东）某公司购买了一批A、B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等．
（1）求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？
（2）若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，求购买了多少条A型芯片？
解：（1）设B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为（x﹣9）元/条，
根据题意得：，
解得：x＝35，
经检验，x＝35是原方程的解，且符合题意，
∴x﹣9＝26．
答：A型芯片的单价为26元/条，B型芯片的单价为35元/条．
（2）设购买a条A型芯片，则购买（200﹣a）条B型芯片，
根据题意得：26a+35（200﹣a）＝6280，
解得：a＝80．
答：购买了80条A型芯片．
2．（7分）（2016?广东）某工程队修建一条长1200m的道路，采用新的施工方式，工效提升了50%，结果提前4天完成任务．
（1）求这个工程队原计划每天修建道路多少米？
（2）在这项工程中，如果要求工程队提前2天完成任务，那么实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之几？
解：（1）设原计划每天修建道路x米，
可得：，解得：x＝100，
经检验x＝100是原方程的解，
答：原计划每天修建道路100米；
（2）设实际平均每天修建道路的工效比原计划增加y%，
可得：，解得：y＝20，
经检验y＝20是原方程的解，
答：实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之二十．
3年模拟
1．（2020?广东模拟）分式方程1的解为（　B　）
A．x＝1
B．x＝2
C．x＝3
D．无解
2．（2020?南海区二模）关于x的分式方程0的解为x＝2，则常数a的值为（　A　）
A．a＝﹣1
B．a＝1
C．a＝2
D．a＝5
3．（2020?龙岗区校级模拟）某车间加工12个零件后，采用新工艺，工效比原来提高了50%，这样加工同样多的零件就少用1小时，那么采用新工艺前每小时加工的零件数为（　B　）
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
4．（2020?营口模拟）若方程的根为正数，则k的取值范围是（　A　）
A．k＜2
B．﹣3＜k＜2
C．k≠﹣3
D．k＜2且
k≠﹣3
A【解析】方程两边都乘以（x+3）（x+k）得：3（x+k）＝2（x+3），
3x+3k＝2x+6，
3x﹣2x＝6﹣3k，
x＝6﹣3k，
∵方程的根为正数，
∴6﹣3k＞0，
解得：k＜2，
∵分式方程的解为正数，
x+3≠0，x+k≠0，
x≠﹣3，k≠3，
即k的范围是k＜2，
故选：A．
5．（2019?荔湾区校级模拟）使分式方程产生增根的m＝　3　．
3【解析】方程两边都乘（x﹣3），
得x﹣2（x﹣3）＝m
∵原方程有增根，
∴最简公分母（x﹣3）＝0，
解得x＝3，
当x＝3时，m＝3，故a的值可能是3．
故答案为：3．
6．（2020?梅州模拟）随着“和谐号”列车缓缓停靠在梅州西站，我市正式进入了高铁时代．与普通列车相比，“和谐号”列车时速更快，安全性更好．已知“梅州西﹣广州南”全程大约480千米，“和谐号”D7315次列车平均每小时比普通列车多行驶40千米，其行驶时间是普通列车行驶时间的（两列车中途停留时间均除外）．
（1）经查询，“和谐号”D7315次列车从梅州西到广州南，中途合计停站时间为20分钟，求乘坐“和谐号”D7315次列车从梅州西到广州南需要多长时间；
（2）据了解，梅州西站后期还会引进更快的“复兴号”高铁，届时跑完480千米的路程最多只需要2.5小时，请问“复兴号”高铁的速度每小时至少比“和谐号”列车快了多少千米？
解：（1）设“和谐号”列车的速度为x千米/小时，则普通列车的速度为（x﹣40）千米/小时，依题意，得：?，解得：x＝160，经检验，x＝160是原方程的解，且符合题意，∴3．答：乘坐“和谐号”D7315次列车从梅州西到广州南需要3小时．
（2）设“复兴号”高铁的速度每小时比“和谐号”列车快了y千米，
依题意，得：2.5（160+y）≥480，解得：y≥32．
答：“复兴号”高铁的速度每小时至少比“和谐号”列车快了32千米．
7．（2020?潮州模拟）某商场第一次用11000元购进某款拼装机器人进行销售，很快销售一空，商家又用24000元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．（1）求该商家第一次购进机器人多少个？
（2）若在这两次机器人的销售中，该商场全部售完，而且售价都是130元，问该商场总共获利多少元？
解：（1）该商家第一次购进机器人x个，
根据题意得：，解得：x＝100，
经检验，x＝100是原方程的解，
答：该商家第一次购进机器人100个；
（2）第一次购进机器人单价为＝11000÷100＝110元，
第二次购进机器人单价＝110+10＝120元，
∴100×（130﹣110）+100×2×（130﹣120）＝4000元
答：该商场总共获利4000元．
8．（2020?濠江区一模）某儿童品牌专卖店购进了A、B两种童装，其中A种童装的进价比B童装的进价每个多10元，经调查：用1000元购进A种童装的数量与用800元购进B童装的数量相同．
（1）求A、B两种童装的进价分别是每个多少元？
（2）该专卖店共购进了A、B两种童装共100套，若该店将每个A种童装定价为70元出售，每个B种童装定价为55元出售，且全部售出后所获得利润不少于1750元，则专卖店至少购进A种童装多少套？
解：（1）设A种童装的进价是x元/个，则B种童装的进价是（x﹣10）元，
由题意可列方程，，解得，x＝50．
经检验：x＝50是原分式方程的根．
∴x﹣10＝40．
答：A、B两种童装的进价分别是每个50元和40元；
（2）设专卖店购进A种童装a套，则购进B种童装（100﹣a）套，
由题可知，20a+15（100﹣a）≥1750，
解得，a≥50．
答：专卖店至少购进A种童装50套．第12讲　二次函数
知识梳理
1.
二次函数的概念：二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数．.?
2.二次函数
(a≠0)的图象和性质
二次函数y＝ax2＋bx＋c
(a，b，c是常数，a≠0)
a
a＞0
a＜0
图象
开口
开口向上
开口向下
对称轴
直线x＝－
直线x＝－
顶点坐标
(－，)
(－，)
增减性
当x＜－时，y随x的增大而减小；当x＞－时，y随x的增大而增大
当x＜－时，y随x的增大而增大；当x＞－时，y随x的增大而减小
最值
当x＝－时，y有最小值
当x＝－时，y有最大值
3.
二次函数解析式的确定
1.
一般式：（，，为常数，）；
2.
顶点式：（，，为常数，）；
3.
两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
4.二次函数与一元二次方程、不等式的关系
一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.
图象与轴的交点个数：
①
当时，图象与轴交于两点，这两点间的距离.
②
当时，图象与轴只有一个交点；
③
当时，图象与轴没有交点.
注意：当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．
5.
二次函数图象的平移
1.
平移步骤及规律：
将抛物线解析式转化成顶点，确定其顶点坐标；在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．
3年模拟
1．（2020?龙岗区二模）二次函数y＝3（x+4）2﹣5的图象的顶点坐标为（　D　）
A．（4，5）
B．（﹣4，5）
C．（4，﹣5）
D．（﹣4，﹣5）
2．（2020?福田区模拟）将抛物线y＝x2﹣4x+3平移，使它平移后图象的顶点为（﹣2，4），则需将该抛物线（　C　）
A．先向右平移4个单位，再向上平移5个单位
B．先向右平移4个单位，再向下平移5个单位
C．先向左平移4个单位，再向上平移5个单位
D．先向左平移4个单位，再向下平移5个单位
3．（2020?花都区一模）若点A（2，y1），B（﹣1，y2）在抛物线y＝（x﹣2）2+1的图象上，则y1、y2的大小关系是（　A　）
A．y1＜y2
B．y1＝y2
C．y1＞y2
D．无法确定
4．（2020?罗湖区一模）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x＝1，下列结论正确的是（　C　）
A．b2＜4ac
B．ac＞0
C．a﹣b+c＝0
D．2a﹣b＝0
C【解析】A．∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以A选项错误；B．∵抛物线开口向上，∴a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴ac＜0，所以B选项错误；
C．∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，所以C选项正确；D．∵二次函数图象的对称轴是直线x＝1，∴1，∴2a+b＝0，所以D选项错误；故选：C．
5．（2020?龙华区二模）定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的周长值与面积值相等，则这个点叫做和谐点，这个矩形叫做和谐矩形．已知点P（m，n）是抛物线y＝x2+k上的和谐点，对应的和谐矩形的面积为16，则k的值为（　　）
A．﹣12
B．0
C．4
D．16
A【解析】∵点P（m，n）是抛物线y＝x2+k上的点，∴n＝m2+k，∴k＝n﹣m2，
∴点P（m，n）是和谐点，对应的和谐矩形的面积为16，
∴2|m|+2|n|＝|mn|＝16，∴|m|＝4，|n|＝4，当n≥0时，k＝n﹣m2＝4﹣16＝﹣12；
当n＜0时，k＝n﹣m2＝﹣4﹣16＝﹣20．故选：A．
6．（2020?天河区模拟）当二次函数y＝﹣x2+4x﹣6有最大值时，x＝　2　．
7．（2020?禅城区二模）在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，sinB．动点M从点B出发，沿BO以1单位/秒的速度向点O运动；动点P从点B出发，沿BA以1单位/秒的速度向点A运动；P、M两点同时出发，任意一点先到达终点时，两点停止运动．设运动的时间为t．△PMO的面积为S，则s的最大值是　　．
【解析】如图，∵在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，sinB．∴AB＝5，∴OB4，过点P作PD⊥OB，在Rt△PDB中，PB＝t，sinB，∴PDt，OM＝4﹣t，∴S（t﹣2）2，∵0≤t≤4，∴当t＝2时，S最大值，故答案为．
7．（2020?揭阳二模）已知：如图，抛物线y＝ax2+4x+c经过原点O（0，0）和点A
（3，3），P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为B（m，0），并与直线OA交于点C．（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值．
解：（1）把O（0，0），A（3，3）代入得：，解得：，则抛物线解析式为y＝﹣x2+4x；
（2）设直线OA解析式为y＝kx，
把A（3，3）代入得：k＝1，即直线OA解析式为y＝x，∵PB⊥x轴，∴P，C，B三点纵坐标相等，∵B（m，0），
∴把x＝m代入y＝x中得：y＝m，即C（m，m），把x＝m代入y＝﹣x2+4x中得：y＝﹣m2+4m，即P（m，﹣m2+4m），
∵P在直线OA上方，∴PC＝﹣m2+4m﹣m＝﹣m2+3m（0＜m＜3），
当m时，PC取得最大值，最大值为．第25讲　点、线与圆的位置关系
知识梳理
1点和圆的位置关系
设圆的半径为，点A到圆心的距离为．
位置关系
几何图形
与的大小比较
点在圆内
＜
点在圆上
＝
点在圆外
＞
2
直线与圆的位置关系
设圆的半径为，圆心到直线的距离为．
位置关系
几何图形
交点个数
与的大小比较
相交
2
＜
相切
1
＝
相离
0
＞
3
圆的切线
切线的判定
（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
（3）过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
证圆切线的技巧
（1）如果直线与圆有交点，连接圆心与交点的半径，证明直线与半径垂直，即“有交点，作半径，证垂直”；（2）如果直线与圆没有明确的交点，则过圆心作该直线的垂线，证明垂线段等于半径，即“无交点，作垂直，证相等”
．
切线的性质
（1）切线与圆只有一个公共点；
（2）切线到圆心的距离等于圆的半径；
（3）切线垂直于经过切点的半径；
（4）经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；
（5）经过切点且垂直于切线的直线必过圆心．
切线长
在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间
线段的长叫做这点到圆的切线长
切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
4三角形与圆
确定圆的条件
不在同一直线上的三点确定一个圆
三角形的外接圆
（1）经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形；（2）外心是三角形三条边垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等．
三角形的内切圆
（1）与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
（2）内心是三角形三内角平分线的交点，到三角形各边的距离相等．
5年真题
命题点1
切线的性质与判定
1．（9分）（2019?广东）如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．（1）求证：ED＝EC；（2）求证：AF是⊙O的切线；
（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC?BE＝25，求BG的长．
解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
又∵∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，∴∠BCD＝∠ADC，∴ED＝EC；
（2）如图1，连接OA，
∵AB＝AC，∴，∴OA⊥BC，∵CA＝CF，∴∠CAF＝∠CFA，
∴∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF，∵∠ACB＝∠BCD，∴∠ACD＝2∠ACB，
∴∠CAF＝∠ACB，∴AF∥BC，∴OA⊥AF，∴AF为⊙O的切线；
（3）∵∠ABE＝∠CBA，∠BAD＝∠BCD＝∠ACB，
∴△ABE∽△CBA，∴，∴AB2＝BC?BE，
∵BC?BE＝25，∴AB＝5，如图2，连接AG，
∴∠BAG＝∠BAD+∠DAG，∠BGA＝∠GAC+∠ACB，∵点G为内心，∴∠DAG＝∠GAC，
又∵∠BAD+∠DAG＝∠GAC+∠ACB，∴∠BAG＝∠BGA，∴BG＝AB＝5．
2．（9分）（2018?广东）如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC、OD交于点E．
（1）证明：OD∥BC；（2）若tan∠ABC＝2，证明：DA与⊙O相切；
（3）在（2）条件下，连接BD交⊙O于点F，连接EF，若BC＝1，求EF的长．
解：（1）连接OC，在△OAD和△OCD中，∵，∴△OAD≌△OCD（SSS），
∴∠ADO＝∠CDO，又AD＝CD，∴DE⊥AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，∴OD∥BC；
（2）∵tan∠ABC2，∴设BC＝a、则AC＝2a，
∴AD＝AB，∵OE∥BC，且AO＝BO，
∴OEBCa，AE＝CEAC＝a，在△AED中，DE2a，
在△AOD中，AO2+AD2＝（）2+（a）2a2，OD2＝（OE+DE）2＝（a+2a）2a2，
∴AO2+AD2＝OD2，∴∠OAD＝90°，则DA与⊙O相切；
（3）连接AF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFD＝∠BAD＝90°，
∵∠ADF＝∠BDA，∴△AFD∽△BAD，∴，即DF?BD＝AD2①，
又∵∠AED＝∠OAD＝90°，∠ADE＝∠ODA，
∴△AED∽△OAD，∴，即OD?DE＝AD2②，
由①②可得DF?BD＝OD?DE，即，
又∵∠EDF＝∠BDO，∴△EDF∽△BDO，∵BC＝1，
∴AB＝AD、OD、ED＝2、BD、OB，
∴，即，解得：EF．
3．（9分）（2017?广东）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AF⊥PC于点F，连接CB．
（1）求证：CB是∠ECP的平分线；（2）求证：CF＝CE；
（3）当时，求劣弧的长度（结果保留π）
（1）证明：∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，
∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，∴∠OCP＝∠CEB＝90°，
∴∠PCB+∠OCB＝90°，∠BCE+∠OBC＝90°，
∴∠BCE＝∠BCP，∴BC平分∠PCE．
（2）证明：连接AC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠BCP+∠ACF＝90°，∠ACE+∠BCE＝90°，
∵∠BCP＝∠BCE，∴∠ACF＝∠ACE，
∵∠F＝∠AEC＝90°，AC＝AC，∴△ACF≌△ACE，∴CF＝CE．
解法二：证明：连接AC．∵OA＝OC∴∠BAC＝∠ACO，
∵CD平行AF，∴∠FAC＝∠ACD，
∴∠FAC＝∠CAO，∵CF⊥AF，CE⊥AB，∴CF＝CE．
（3）解：作BM⊥PF于M．则CE＝CM＝CF，设CE＝CM＝CF＝3a，PC＝4a，PM＝a，
∵∠MCB+∠P＝90°，∠P+∠PBM＝90°，∴∠MCB＝∠PBM，
∵CD是直径，BM⊥PC，∴∠CMB＝∠BMP＝90°，
∴△BMC∽△PMB，∴，∴BM2＝CM?PM＝3a2，
∴BMa，∴tan∠BCM，∴∠BCM＝30°，
∴∠OCB＝∠OBC＝∠BOC＝60°，∴的长π．
4．（9分）（2016?广东）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，过点B作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E，过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F．（1）求证：△ACF∽△DAE；
（2）若S△AOC，求DE的长；（3）连接EF，求证：EF是⊙O的切线．
（1）证明：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵∠ABC＝30°，∴∠ACB＝60°
∵OA＝OC，∴∠AOC＝60°，∵AF是⊙O的切线，∴∠OAF＝90°，∴∠AFC＝30°，
∵DE是⊙O的切线，∴∠DBC＝90°，∴∠D＝∠AFC＝30°∴∠DAE＝∠ACF＝120°，
∴△ACF∽△DAE；
（2）∵∠ACO＝∠AFC+∠CAF＝30°+∠CAF＝60°，∴∠CAF＝30°，∴∠CAF＝∠AFC，
∴AC＝CF∴OC＝CF，∵S△AOC，∴S△ACF，∵∠ABC＝∠AFC＝30°，∴AB＝AF，
∵ABBD，∴AFBD，∴∠BAE＝∠BEA＝30°，∴AB＝BE＝AF，∴，
∵△ACF∽△DAE，∴（）2，∴S△DAE，
过A作AH⊥DE于H，∴AHDHDE，∴S△ADEDE?AH?DE2，
∴DE；
（3）∵∠EOF＝∠AOB＝120°，在△AOF与△BOE中，，
∴△AOF≌△BEO，∴OE＝OF，∴∠OFG（180°﹣∠EOF）＝30°，
∴∠AFO＝∠GFO，过O作OG⊥EF于G，∴∠OAF＝∠OGF＝90°，
在△AOF与△OGF中，，∴△AOF≌△GOF，∴OG＝OA，∴EF是⊙O的切线．
命题点2
三角形的内接圆与外切圆
5．（4分）（2016?广东）如图，点P是四边形ABCD外接圆上任意一点，且不与四边形顶点重合，若AD是⊙O的直径，AB＝BC＝CD．连接PA、PB、PC，若PA＝a，则点A到PB和PC的距离之和AE+AF＝　a　．
a【解析】如图，连接OB、OC．
∵AD是直径，AB＝BC＝CD，∴，∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝60°，
∴∠APB∠AOB＝30°，∠APC∠AOC＝60°，
在Rt△APE中，∵∠AEP＝90°（AE是A到PB的距离，AE⊥PB），∴AE＝AP?sin30°a，
在Rt△APF中，∵∠AFP＝90°，∴AF＝AP?sin60°a，∴AE+AFa．故答案为a．
3年模拟
1．（2020?天河区模拟）⊙O是△ABC的外接圆，则点O是△ABC的（　A　）
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点
2．（2020?南沙区一模）如图，圆O是△ABC的外接圆，连接OA、OC，∠OAC＝20°，则∠ABC的度数为（B　　）
A．140°
B．110°
C．70°
D．40°
3．（2019?潮阳区一模）如图，∠ACB＝60°，半径为3的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（　B　）
A．3
B．3
C．6π
D．
4．（2019?深圳模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA、CD是⊙O的切线，A、D为切点，连接BD、AD．若∠ACD＝48°，则∠DBA的大小是（　D　）
A．32°
B．48°
C．60°
D．66°
5．（2020?龙岗区模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径r＝2，sinB，则弦AC的长为（　B　）
A．4
B．3
C．2
D．
B【解析】如图，连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD，
∵∠B与∠D是同弧所对的圆周角，AD是⊙O的直径，∴∠B＝∠D，∠ACD＝90°．∵⊙O的半径r＝2，∴AD＝4．∵sinB，∴，即，∴AC＝3．故选：B．
6．（2020?福田区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作△ABC外接圆⊙O的切线交AB的垂直平分线于点D，AB的垂直平分线交AC于点E．若OE＝2，AB＝8，则CD＝　3　．
3【解析】连接OC，
∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°，
∵∠ACB＝90°，∴∠DCE＝∠COB，
∵OD⊥AB，∴∠AOE＝90°，
∴∠A+∠B＝∠A+∠AEO＝90°，
∴∠AEO＝∠B，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，
∵∠DEC＝∠AEO，∴∠DEC＝∠DCE，
∴DE＝DC，设DE＝DC＝x，
∴OD＝2+x，∵OD2＝OC2+CD2，
∴（2+x）2＝42+x2，解得：x＝3，
∴CD＝3，故答案为：3．
7．（2020?天河区模拟）如图，E为圆O上的一点，C为劣弧EB的中点．CD切⊙O于点C，交⊙O的直径AB的延长线于点D．延长线段AE和线段BC，使之交于点F．
（1）求证：△AFB和△CEF都是等腰三角形；
（2）若BD＝1，CD＝2，求EF的长．
（1）证明：连接OC，如图，
∵C为劣弧EB的中点．∴∠EAC＝∠BAC，
∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，
∵∠FAC＝∠BAC，AC＝AC，∠ACF＝∠ACB，
∴△ACF≌△ACB，∴∠F＝∠ABC，BC＝CF，
∴△ABF为等腰三角形，∴，
∴CE＝CB，∴CE＝CF，
∴△CEF为等腰三角形；
（2）解：连接BE交OC于H，如图，
∵CD切⊙O于点C,∴OC⊥CD，
设⊙O的半径为r，则OC＝OB＝r，
在Rt△OCD中，r2+22＝（r+1）2，解得r，
∵C为劣弧EB的中点，∴OC⊥BE，
∴BH＝EH，∵BH∥CD，
∴，即，解得CF，
∵CF＝CB，HE＝HB，
∴CH为△BEF的中位线，∴EF＝2CH．
8．（2020?龙湖区一模）如图，在ABC中，AB＝BC，以BC为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，①求证：ED是⊙O的切线；
②求证：DE2＝BF?AE；
③若DF＝3，cosA，求⊙O的直径．
（1）证明：∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，即BD⊥AC，∵BA＝BC，
∴AD＝CD，即D点为AC的中点，
∵点O为BC的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AB，而DE⊥AB，
∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线；
（2）证明：∵BA＝BC，BD⊥AC，
∴BD平分∠ABC，∴DE＝DF，
∵∠ADE+∠BDE＝90°，∠BDE+∠BDO＝90°，∴∠ADE＝∠BDO，
而OB＝OD，∴∠BDO＝∠OBD，
∴∠ADE＝∠OBD，∴Rt△AED∽Rt△DFB，
∴DE：BF＝AE：DF，∴DE：BF＝AE：DE，
∴DE2＝BF?AE；
（3）解：∵∠A＝∠C，∴cosA＝cosC，
在Rt△CDF中，cosC，
设CF＝2x，则DC＝3x，
∴DFx，
而DF＝3，
∴x＝3，解得x＝3，
∴DC＝9，
在Rt△CBD中，cosC，
∴BC9，
即⊙O的直径为．
9．（2020?高州市模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC＝BC，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF＝CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB＝2，求BD的长；
（3）在（2）的条件下，连接AC，求cos∠ACF的值．
（1）证明：连接OC，如图1所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝BC，OA＝OB，
∴OC⊥AB，
∴∠BOC＝90°，
∵E是OB的中点，
∴OE＝BE，
在△OCE和△BFE中，，
∴△OCE≌△BFE（SAS），
∴∠OBF＝∠COE＝90°，
∴直线BF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝2，
∴OB＝OC＝1，
由（1）得：△OCE≌△BFE（SAS），
∴BF＝OC＝1，
∴AF，
∴S△ABFAB×BFAF×BD，
∴2×1?BD，
∴BD．
（3）解：作AG⊥CE于G，如图2所示：
∵AB＝2，
∴OA＝OC＝OB＝1，
由（1）得：△OCE≌△BFE（SAS），
∴OE＝BEOB，
∴AE＝OA+OE，
∵∠ACB＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BCAB，
∵OC⊥AB，
∴CE，
∵△ACE的面积CE×AGAE×OC，
∴AG，
∴CG，
∴cos∠ACF．第24讲　圆的基本性质
知识梳理
1圆的有关概念
形成性定义
定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆，固定的端点O叫圆心，线段OA叫半径．
描述性定义
平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.定点称为圆心，定长称为半径．
弦
连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径；直径是圆中最长的弦．
弧
圆的任意两点间的部分叫做弧；弧分为半圆、优弧、劣弧（一条直径将圆分成相等的两部分，每一部分就是一个半圆，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧）．
同心圆
圆心相同，半径不相等．
等圆
圆心不同，半径相等的两个圆．
等弧
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧．
圆心角
顶点在圆心的角叫做圆心角．
圆周角
顶点在圆上并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
2圆的对称性
对称性
圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；圆又是中心对称图形，对称中心是圆心．
旋转不变性
圆具有旋转不变性，即圆旋转任意角度后都能与自身重合．
圆心角、弧、弦之间的关系
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦、两条弧中有一组量相等，那么它们所对应的其他各组量都分别相等．简称“知一得二”
．
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．
垂径定理的推论
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分这条弦所对的两条弧；（2）平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦．
3圆周角定理及推论
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
推论1
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等．
推论2
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
推论3
圆的内接四形的对角互补．
5年真题
命题点1
圆周角定理及推论
1．（4分）（2018?广东）同圆中，已知所对的圆心角是100°，则所对的圆周角是　50°　．
命题点2
圆内接四边形性质
2．（3分）（2017?广东）如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，则∠DAC的大小为（　C　）
A．130°
B．100°
C．65°
D．50°
3年模拟
1．（2019?福田区模拟）下列语句中，正确的是（　D　）
A．长度相等的弧是等弧
B．在同一平面上的三点确定一个圆
C．三角形的内心是三角形三边垂直平分线的交点
D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等
2．（2020?东莞市一模）如图，在⊙O中，半径为5，弦AB＝6，点C在AB上移动，连接OC，则OC的最小值为（　B　）
A．3
B．4
C．5
D．6
3．（2020?龙岩模拟）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝16cm，则球的半径为（　B　）
A．10cm
B．10cm
C．10cm
D．8cm
4．（2020?英德市模拟）如图，点A，B，C均在圆O上，当∠BOC＝120°时，∠BAC的度数是（　B　）
A．65°
B．60°
C．55°
D．50°
5．（2020?新会区一模）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠BCD＝36°，则∠ABD的度数为（　C　）
A．36°
B．44°
C．54°
D．72°
6．（2020?顺德区三模）如图，AB是半圆O的直径，AC，BC是弦，OD⊥AC于点D，若OD＝1.5，则BC等于（　C　）
A．1.5
B．2
C．3
D．4.5
7．（2020?金平区一模）如图，在△ABC中，以BC为直径的半圆O，分别交AB，AC于点D，E，连接OD，OE．若∠A＝α，则∠DOE的度数为（　A　）
A．180﹣2α
B．180﹣α
C．90﹣α
D．2α
8．（2020?湛江模拟）如图，已知⊙O的直径为4，∠ACB＝45°，则AB的长为（　D　）
A．4
B．2
C．4
D．2
9．（2020?南山区一模）如图，四边形ABCD内接于圆O，AD∥BC，∠DAB＝48°，则∠AOC的度数是（B　　）
A．48°
B．96°
C．114°
D．132°
10．（2020?东莞市一模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，∠D＝67°，则∠ABC等于　23　度．
11．（2020?禅城区二模）如图，A，B，C，D是圆O上的四个点，点B是弧AC的中点，如果∠ABC＝72°，那么∠ADB＝　54°　．
12．（2020?白云区一模）四边形ABCD内接于⊙O．若∠BAD＝83°，则∠BCD的度数是　97°　．
13．（2020?会昌县模拟）如图，五边形ABCD内接于⊙O，若AC＝AD，∠B+∠E＝230°，则∠ACD的度数是　65°　．
65°【解析】连接OC，OD，CE，DB．
在圆内接四边形ABCE中，有∠ABC+∠AEC＝180°；
由圆周角定理知，∠AOC＝2∠AEC，
∴∠ABC∠AOC＝180°，
同理∠AED∠AOD＝180°
两式相加有：230°∠AOC∠AOD＝360°，即∠AOC+∠AOD＝260°，
∴∠COD＝360°﹣（∠AOC+∠AOD）＝100°＝2∠CAD，
∴∠CAD＝50°．
∵AC＝AD，
∴∠ACD，
故答案为：65°.第16讲　全等三角形
知识梳理
1
全等三角形
定义
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
性质
（1）对应边相等，对应角相等；
（2）对应角的角平分线、对应边上的中线、对应边上的高相等．
判定
（1）三边分别相等的两个三角形全等，简记为SSS；
（2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简记为SAS；
（3）两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简记为ASA；
（4）两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等，简记为AAS；
（5）斜边和一条直角分别相等的两个直角三角形全等，简记为HL．
提示
（1）判定三角形全等必须有一组对应边相等；（2）判定三角形全等时不能错用“SSA”、“AAA”来判定．
5年真题
命题点1
全等三角形的判定与性质
1．（7分）（2018?广东）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．
（1）求证：△ADE≌△CED；
（2）求证：△DEF是等腰三角形．
证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD．
由折叠的性质可得：BC＝CE，AB＝AE，∴AD＝CE，AE＝CD．
在△ADE和△CED中，，∴△ADE≌△CED（SSS）．
（2）由（1）得△ADE≌△CED，∴∠DEA＝∠EDC，即∠DEF＝∠EDF，
∴EF＝DF，∴△DEF是等腰三角形．
3年模拟
1．（2019?海珠区模拟）下列判断一定正确的是（　A　）
A．有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
B．有一个角和一边对应相等的两个直角三角形全等
C．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
D．有两边对应相等，且有一个角为30°的两个等腰三角形全等
2．（2020?潮南区模拟）如图，已知D、E、F分别是等边△ABC的边AB、BC、AC上的点，且DE⊥BC、EF⊥AC、FD⊥AB，则下列结论不成立的是（　C　）
A．△DEF是等边三角形
B．△ADF≌△BED≌△CFE
C．DEAB
D．S△ABC＝3S△DEF
3．（2020?顺德区模拟）如图，在正方形网格中，∠1+∠2+∠3＝　135°　．
4．（2019?深圳模拟）如图，△ABC的顶点均在坐标轴上AE⊥BC于点E，交y轴于点D，已知点B，C的坐标分别为B（0，6），C（2，0）．若AD＝BC，则△AOD的面积为　6　．
6【解析】∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，
∵∠EAC+∠ACE＝90°，∠DAO+∠ADO＝90°，
∴∠ADO＝∠ACE，
在△ADO和△BCO中，
∴△ADO≌△BCO（AAS），
∴OD＝OC＝2，OA＝OB＝6，
∴△AOD的面积2×6＝6．故答案为6．
5．（2020?梅州模拟）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，DE＝EC，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE．（1）求证：AE＝EF；
（2）若BE⊥AF，求证：BC＝AB﹣AD．
证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠F，∠ADE＝∠FCE，
又∵DE＝CE，
∴△ADE≌△FCE（AAS），∴AE＝EF；
（2）∵AE＝EF，BE⊥AF，∴AB＝BF，
∵△ADE≌△FCE，∴AD＝CF，
∴AB＝BC+CF＝BC+AD，
∴BC＝AB﹣AD．
6．（2020?禅城区二模）如图所示，在四边形ABCD中，AC与BD交于O，AB＝AD，CB＝CD．BE⊥CD于E，BE与AC交于F．CF＝2BO．
（1）求证：△BEC是等腰直角三角形；
（2）求tan∠ACD的值．
证明：（1）∵AB＝AD，CB＝CD，
∴AC垂直平分BD，
∴BD＝2BO，
∵CF＝2BO，
∴CF＝BD，
∵∠DBE+∠BDE＝90°，∠BDE+∠DCO＝90°，
∴∠DBE＝∠FCE，
又∵∠BED＝∠CEF，
∴△BDE≌△CFE（AAS），
∴BE＝CE，
又∵BE⊥CD，
∴△BEC是等腰直角三角形；
（2）如图，连接DF，
∵△BDE≌△CFE，∴DE＝EF，
∴DFEF，
∵AC垂直平分BD，
∴BF＝DFEF，
∴BE＝BF+EF＝（1）EF，
∴CE＝（1）EF，
∴tan∠ACD1．第7讲　一元二次方程及应用
知识梳理
1.一元二次方程
(1)概念:
只含有__一__个未知数，并且未知数的最高次数是__2__，这样的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式是__ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__.
(2)一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项，a是二次项的系数，b是一次项的系数，注意a≠0.
2.一元二次方程的解法
(1)基本思路:降次.
(2)方法:
①直接开平方法：对于形如或（，）型的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平法求解，如（）的解为，即，；如（）转化为，即转化为或进行求解．
②因式分解法：若a·b＝0，则a＝0或__b＝0__．
③配方法：能通过配方把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)变形为(x＋)2＝____的形式，再利用直接开平方法求解．
④公式法：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，x=．
3.一元二次方程根的判别式
设一元二次方程为，其根的判别式为：则：
①方程有两个不相等的实数根．
②方程有两个相等的实数根．
③方程没有实数根．
4.一元二次方程的根与系数的关系
若是一元二次方程的两个根，那么：，．【注意】利用根与系数时要注意两个隐含条件：（1）；（2）．
5.一元二次方程的类型及应用
（1）数字问题；（2）增长率问题；
（3）形积问题；（4）动点问题．
解应用题的关键是把握题意,找准等量关系,列出方程,最后还要注意检验求出的未知数的值是否符合实际意义.
5年真题
命题点1一元二次方程的相关概念及解法
1．（3分）（2017?广东）如果2是方程x2﹣3x+k＝0的一个根，则常数k的值为（　B　）
A．1
B．2
C．﹣1
D．﹣2
命题点2
一元二次方程根的判别式
2．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　A　）
A．m
B．m
C．m
D．m
命题点3
一元二次方程根与系数的关系
3．（3分）（2019?广东）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，下列结论错误的是（　D　）
A．x1≠x2
B．x12﹣2x1＝0
C．x1+x2＝2
D．x1?x2＝2
3年模拟
1．（2020?凉山州一模）下列方程是关于x的一元二次方程的是（　D　）
A．ax2+bx+c＝0
B．2
C．x2+2x＝x2﹣1
D．3（x+1）2＝2（x+1）
2．（2020?江岸区模拟）将一元二次方程2x2+7＝9x化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（　C　）
3．（2020?中山市一模）a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式﹣2a2﹣2a+2020的值是（　A　）
A．2018
B．2019
C．2020
D．2021
4．（2020?兰州模拟）用配方法解方程x2+2x﹣3＝0，下列配方结果正确的是（　D　）
A．（x﹣1）2＝2
B．（x﹣1）2＝4
C．（x+1）2＝2
D．（x+1）2＝4
5．（2020?揭西县模拟）一个三角形的三边长都是方程x2﹣7x+10＝0的根，则这个三角形的周长不可能是（　B　）
A．6
B．9
C．12
D．15
6．（2020?金平区模拟）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k＝0的根的情况是（　D　）
A．无法确定
B．没有实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
7．（2020?潮阳区一模）已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两个根，则x1?x2等于（　C　）
A．4
B．1
C．﹣1
D．﹣4
8．（2020?惠来县模拟）已知关于x的一元二次方程x2+mx+3＝0有两个实数根x1＝1，x2＝n，则代数式（m+n）2020的值为（　A　）
A．1
B．0
C．32020
D．72020
9．（2020?龙岗区校级模拟）关于x的方程mx2+2（m+1）x+m＝0有实根，则m的取值范围是　m　．
10．（2020?广东模拟）为抑制高房价，照顾低收入家庭，国家决定加大经济保障房建设力度，若某市2017年完成了500万套，计划2019年完成2000万套．则2017年至2019年经济保障房平均每年的增长率为　100%　．
11．（2020?樊城区模拟）如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为　2　m．
12．（2020?海丰县一模）某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有81个人被感染．
（1）请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一个人会感染几个人？
（2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过700人？
解：（1）设每轮感染中平均一个人会感染x个人，
依题意，得：1+x+x（1+x）＝81，
解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．
答：每轮感染中平均一个人会感染8个人．
（2）81×（1+8）＝729（人），729＞700．
答：若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会超过700人．第20讲　解直角三角形
知识梳理
1.解直角三角形
(1)解直角三角形的概念
在直角三角形中,除直角外,一共有5个元素,即3条边和2个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形.
(2)直角三角形的边角关系
如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳：
（1）三边之间的关系：
(勾股定理)；
（2）锐角之间的关系：；
（3）边角之间的关系：.
2.与解直角三角形有关的名词、术语
仰角与俯角
它们都是同一铅垂面内视线与水平线间的夹角；视线与水平面上方的角叫做仰角；在水平面下方的角叫做俯角．（如图1）
坡角与坡度
坡面的铅垂高度（）和水平长度（）的比叫做坡面的坡度（或坡比）记作，坡度通常写成．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作，有．（如图2）
方向角
一般以观测者的位置为中心，将正北或正南的方向和为起始方向，旋转到目标的方向所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）多少度．
（图1）
（图2）
5年真题
命题点1
仰角与俯角问题
1．（4分）（2019?广东）如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是　（15+15）　米（结果保留根号）．
（15）【解析】过点B作BE⊥AB于点E，
在Rt△BEC中，∠CBE＝45°，BE＝15；可得CE＝BE×tan45°＝15米．
在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，BE＝15，可得AE＝BE×tan30°＝15米．
故教学楼AC的高度是AC＝15米．答：教学楼AC的高度是（15）米．
三年模拟
1．（2020?中山市一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，cosB，点M是AB的中点，则CM的长为（　C　）
A．2
B．3
C．4
D．6
2．（2020?福田区一模）如图，一棵珍贵的树倾斜程度越来越厉害了．出于对它的保护，需要测量它的高度，现采取以下措施：在地面上选取一点C，测得∠BCA＝37°，AC＝28米，∠BAC＝45°，则这棵树的高AB约为（　C　）（参考数据：sin37°，tan37°，1.4）
A．14米
B．15米
C．17米
D．18米
C【解析】如图，作BH⊥AC于H．
∵∠BCH＝37°，∠BHC＝90°，
设BH＝xm，∴CH，
∵∠A＝45°，∴AH＝BH＝x，
∴xx＝28，∴x＝12，
∴ABAH12≈17（m）故选：C．
3．（2020?高州市模拟）如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，如果顾客乘地铁从点B到点C上升的高度为5m，则电梯BC的长是（　C　）
A．5cm
B．5cm
C．10m
D．m
C【解析】如图所示：过点C作CE⊥AB延长线于点E，∵∠ABC＝150°，∴∠CBE＝30°，
∵从点B到点C上升的高度为5m，
∴电梯BC的长是10m．故选：C．
4．（2020?深圳模拟）如图，已知灯塔M方圆一定范围内有镭射辅助信号，一艘轮船在海上从南向北方向以一定的速度匀速航行，轮船在A处测得灯塔M在北偏东30°方向，行驶1小时后到达B处，此时刚好进入灯塔M的镭射信号区，测得灯塔M在北偏东45°方向，则轮船通过灯塔M的镭射信号区的时间为（　　）
A．（1）小时
B．（1）小时
C．2小时
D．小时
B【解析】连接MC，过M点作MD⊥AC于D．
在Rt△ADM中，∵∠MAD＝30°，∴ADMD，在Rt△BDM中，∵∠MBD＝45°，∴BD＝MD，∴BC＝2MD，∴BC：AB＝2MD：（1）MD＝2：1．故轮船通过灯塔M的镭射信号区的时间为（1）小时．故选：B．
5．（2020?佛山模拟）如图，某景区门口的柱子上方挂着一块景点宣传牌CD，宣传牌的一侧用绳子AD和BC牵引着两排小风车，经过测量得到如下数据：AM＝2米，AB＝4米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则CD的长度约为　1.5　米．（1.73，结果精确到0.1米）
1.5【解析】在Rt△AMD中，∠MAD＝45°，
∴DM＝AM?tan45°＝2（m），在Rt△BMC中，∠MBC＝30°，∴CM＝BM?tan30°，∵BM＝AM+AB＝2+4＝6（m），∴CM＝63.46（m），∴CD＝CM﹣DM＝3.46﹣2≈1.5（米），答：警示牌的高CD为1.5米．
6．（2020?广东二模）如图所示，某施工队要测量隧道长度BC，AD＝600米，AD⊥BC，施工队站在点D处看向B，测得∠ADB＝45°，再由D走到E处测量，DE∥AC，ED＝500米，作EM⊥AC与M，测得∠MEC＝53°，求隧道BC长．（sin53°，cos53°，tan53°）
700【解析】∵在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ADB＝45°，∴AB＝AD＝600，∵AD⊥BC，EM⊥AC，∴AD∥ME，又∵DE∥AC，∴四边形ADEM是平行四边形，∴AD＝ME＝600，AM＝DE＝500，∴BM＝AB﹣AM＝600﹣500＝100，在Rt△CEM中，tan53°，∴CM＝800，∴BC＝CM﹣BM＝800﹣100＝700（米）．答：隧道BC长为700米．
7．（2020?龙华区二模）在“停课不停学”期间，小明用电脑在线上课，图1是他的电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度．研究表明：当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个18°俯角（即望向屏幕中心P的的视线EP与水平线EA的夹角∠AEP）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时（如图2）时，观看屏幕最舒适，此时测得∠BCD＝30°，∠APE＝90°，液晶显示屏的宽AB为32cm．
（1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到1cm）
（2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC．（结果精确到1cm）
（参考数据：sin18°≈0.3，cos18°≈0.9，1.4，1.7）
解：（1）由已知得AP＝BPAB＝16cm，
在Rt△APE中，∵sin∠AEP，
∴AE53，
答：眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE约为53km；
（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F，
∵∠EAB+∠BAF＝90°，∠EAB+∠AEP＝90°，∴∠BAF＝∠AEP＝18°，
在Rt△ABF中，
AF＝AB?cos∠BAF＝32×cos18°≈32×0.9≈28.8，
BF＝AB?sin∠BAF＝32×sin18°≈32×0.3≈9.6，
∵BF∥CD，
∴∠CBF＝∠BCD＝30°，
∴CF＝BF?tan∠CBF＝9.6×tan30°＝9.65.44，
∴AC＝AF+CF＝28.8+5.44≈34（cm）．
答：显示屏顶端A与底座C的距离AC约为34cm．第27讲　尺规作图
知识梳理
与尺规作图有关的证明与计算
5种尺规作图
图示
作
∠AOB的平分线OP
作线段AB的垂直平分线MN
作一个角∠A′O′B′等于∠α
过直线上一点O作直线l的垂线MN
过直线l外一点P作直线l的垂线PN
5年真题
命题点1
基本作图
1．（6分）（2019?广东）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点．
（1）请用尺规作图法，在△ABC内，求作∠ADE，使∠ADE＝∠B，DE交AC于E；（不要求写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，若2，求的值．
解：（1）如图，∠ADE为所作；
（2）∵∠ADE＝∠B，∴DE∥BC，∴2．
2．（6分）（2018?广东）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝75°，
（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．
解：（1）如图所示，直线EF即为所求；
（2）∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD＝∠DBC∠ABC＝75°，DC∥AB，∠A＝∠C．
∴∠ABC＝150°，∠ABC+∠C＝180°，∴∠C＝∠A＝30°，
∵EF垂直平分线段AB，∴AF＝FB，∴∠A＝∠FBA＝30°，∴∠DBF＝∠ABD﹣∠FBE＝45°．
3．（7分）（2017?广东）如图，在△ABC中，∠A＞∠B．
（1）作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相交于点D，E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接AE，若∠B＝50°，求∠AEC的度数．
解：（1）如图所示；（2）∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，∴∠EAB＝∠B＝50°，∴∠AEC＝∠EAB+∠B＝100°．
4．（6分）（2016?广东）如图，已知△ABC中，D为AB的中点．
（1）请用尺规作图法作边AC的中点E，并连接DE（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，若DE＝4，求BC的长．
解：（1）作线段AC的垂直平分线MN交AC于E，点E就是所求的点．
（2）∵AD＝DB，AE＝EC，∴DE∥BC，DEBC，∵DE＝4，∴BC＝8．
3年模拟
1．（2020?罗湖区一模）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，连接AP，交CD于点M，若∠ACD＝110°，则∠CMA的度数为（　B　）
A．30°
B．35°
C．70°
D．45°
2．（2020?大鹏新区一模）如图，在△ABC中，∠B＝70°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（　C　）
A．40°
B．45°
C．50°
D．60°
3．（2020?恩平市模拟）已知线段a，h，小明用如图所示的方法作△ABC，他的具体作法是：
①作射线AM，以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线AM于点B；②分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于D，E两点；③作直线DE，交AB于点F；④以点F为圆心，线段h的长为半径画弧，交直线DE于点C，连接AC，BC．
下列关于小明作的△ABC的说法，错误的是（　D　）
A．AF＝BF
B．∠CAB＝∠CBA
C．∠ACF＝∠BCF
D．AB＝BC
D【解析】由作图可知，DE垂直平分线段AB，
∴AF＝BF，DE⊥AB，∴CA＝CB，
∴∠CAB＝∠CBA，∠ACF＝∠BCF，
故A，B，C正确，故选：D．
4．（2020?龙华区二模）如图，矩形ABCD中，AD＝2，以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AD于M、N两点，分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P，连接AP并延长交CD于点E，以A为圆心，AE为半径作弧，此弧刚好过点B，则CE的长为　22　．
22【解析】如图，连接BE，
根据作图过程可知：AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠EAB，∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，∠D＝90°，∴∠DAE＝∠EAB，
∴∠EAB＝∠AED，∴∠DAE＝∠AED，
∴DE＝AD＝2，∴DE2，
∴DC＝AB＝AE＝2，
∴CE＝DC﹣DE＝22．
故答案为：22．
5．（2020?禅城区二模）如图，点A是∠MON边OM上一点，AE∥ON．
（1）尺规作图：作∠MON的角平分线OB，交AE于点B（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若∠MAE＝48°，直接写出∠OBE的大小．
解：（1）如图，OB为所作；
（2）∵AE∥ON，∴∠MON＝∠MAE＝48°，
∵OB平分∠MON，
∴∠NOB∠MON＝24°，∵AB∥ON，
∴∠OBA＝∠NOB＝24°，
∴∠OBE＝180°﹣∠OBA＝180°﹣24°＝156°．
6．（2020?惠来县模拟）如图，已知锐角△ABC，AB＞BC．
（1）只规作图：求作△ABC的角平分线BD；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）点E在AB边上且BC＝BE，请连接DE，求证：∠BED＝∠C．
（1）解：如图，线段BD即为所求；
（2）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠CBD，
∵BE＝BC，BD＝BD，
∴△BDE≌△BDC（SAS），∴∠BED＝∠C．
7．（2020?梅州模拟）如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．
（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于点E和点F（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接BE、DF，若AB＝4，AD＝8，求四边形BEDF的周长．
解：（1）如图，直线EF即为所求．
（2）∵EF垂直平分线段BD，
∴BE＝ED，BF＝DF，∠BEF＝∠DEF，
∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE，
∴∠BEF＝∠BFE，∴BE＝BF，
∴BE＝DE＝DF＝BF，设BE＝x，
在Rt△BAE中，AB＝4，AE＝8﹣x，
可得42+（8﹣x）2＝x2，∴x＝5，
∴BE+DE+DF+BF＝20，
∴四边形BEDF的周长为20．
8．（2020?南沙区一模）如图，AB为⊙O的直径，点C为弧AB中点，连接AC、BC．
（1）利用尺规作图，作出∠BAC的角平分线，分别交BC、⊙O于点D、E，连接BE．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若BE＝2，求AD的长度．
解：（1）如图，AE即为所求；
（2）∵点C为弧AB中点，∴，
∴AC＝BC，∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，延长BE、AC交于点F，
由（1）作图可知：
∠BAE＝∠CAE，∠AEB＝90°，
∴AE垂直平分BF，∴BF＝2BE＝4，
又∵∠DAC＝∠FBC，∠ACD＝∠BCF＝90°，AC＝BC，∴△ACD≌△BCF（ASA），
∴AD＝BF＝4．
9．（2020?澄海区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点M在BA的延长线上．
（1）按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；
①作∠MAC的平分线AN；
②在AN上截取AD＝BC，连结CD．
（2）在（1）的条件下，判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论．
解：（1）①如图，AN为所求的图形；
②如图，AD为所作；
（2）四边形ABCD是平行四边形．
理由如下：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，∵AN平分∠MAC，
∴∠CAD＝∠MAD，
∵∠CAD+∠MAD＝∠ABC+∠ACB，
∴∠MAD＝∠ABC，∴AD∥BC，∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
10．（2020?顺德区四模）如图，点E是?ABCD对角线BD上的一点．
（1）请用尺规作图法，过点E作EG∥CD；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，在直线EG上截取EF＝CD且点F在点E的下方，连接AE、BF、CF，若∠ABE+∠BFC＝180°，求证：四边形ABFE是菱形
（1）解：如图，直线EG即为所求．
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵EF∥CD，EF＝CD，
∴EF＝AB，EF∥AB，
∴四边形EFCD，四边形ABFE是平行四边形，
∴BD∥CF，
∴∠DBF+∠BFC＝180°，
∵∠ABE+∠BFC＝180°，
∴∠ABE＝∠DBF，
∵AB∥EF，
∴∠ABE＝∠BEF，
∴∠BEF＝∠EBF，
∴FE＝FB，
∴四边形ABFE是菱形．第11讲　反比例函数
知识梳理
1.
反比例函数的概念
形如（是常数，）的函数叫反比例函数．
特别提示：（1）自变量x的取值范围是；（2）也可以看成或的形式；（3）通常表示以原点及点为对角线的顶点的矩形的面积.
2.反比例函数的图象和性质
(1)图象的特征:反比例函数y=的图象是一条双曲线,它关于坐标原点成中心对称,两个分支在第一、三象限或第二、四象限.
(2)反比例函数y=(k≠0,k为常数)的图象和性质:
函数
图象
所在象限
性质
y=
(k≠0,k为常数)
k>0
三象限
(x,y同号)
在每个象限内,y随x增大而减小
k<0
四象限
(x,y异号)
在每个象限内,y随x增大而增大
3.
反比例函数k的几何意义
过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|；过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴与向坐标轴所作垂线所围成的直角三角形的面积S＝|k|.
4.反比例函数的解析式的确定
1、常用方法：待定系数法．
．
5.
解决反比例函数的实际问题:先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，这里要特别注意自变量的取值范围要使实际问题有意义.
5年真题
命题点1
反比例函数的图像与性质
1．（4分）（2018?广东）如图，已知等边△OA1B1，顶点A1在双曲线y（x＞0）上，点B1的坐标为（2，0）．过B1作B1A2∥OA1交双曲线于点A2，过A2作A2B2∥A1B1交x轴于点B2，得到第二个等边△B1A2B2；过B2作B2A3∥B1A2交双曲线于点A3，过A3作A3B3∥A2B2交x轴于点B3，得到第三个等边△B2A3B3；以此类推，…，则点B6的坐标为　（2，0）　．
（2，0）【解析】如图，作A2C⊥x轴于点C，设B1C＝a，则A2Ca，
OC＝OB1+B1C＝2+a，A2（2+a，a）．
∵点A2在双曲线y（x＞0）上，∴（2+a）?，
解得a1，或a1（舍去），
∴OB2＝OB1+2B1C＝2+22＝2，∴点B2的坐标为（2，0）；
作A3D⊥x轴于点D，设B2D＝b，则A3Db，
OD＝OB2+B2D＝2b，A3（2b，b）．
∵点A3在双曲线y（x＞0）上，∴（2b）?，
解得b，或b（舍去），
∴OB3＝OB2+2B2D＝2222，∴点B3的坐标为（2，0）；
同理可得点B4的坐标为（2，0）即（4，0）；以此类推…，
∴点Bn的坐标为（2，0），∴点B6的坐标为（2，0）．故答案为（2，0）．
2．（3分）（2017?广东）如图，在同一平面直角坐标系中，直线y＝k1x（k1≠0）与双曲线y（k2≠0）相交于A，B两点，已知点A的坐标为（1，2），则点B的坐标为（　A　）
A．（﹣1，﹣2）
B．（﹣2，﹣1）
C．（﹣1，﹣1）
D．（﹣2，﹣2）
命题点2
一次函数与反比例函数的综合
3．（9分）（2019?广东）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）．
（1）根据图象，直接写出满足k1x+b的x的取值范围；
（2）求这两个函数的表达式；
（3）点P在线段AB上，且S△AOP：S△BOP＝1：2，求点P的坐标．
解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）．
由图象可得：k1x+b的x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜4；
（2）∵反比例函数y的图象过点A（﹣1，4），B（4，n）
∴k2＝﹣1×4＝﹣4，k2＝4n，∴n＝﹣1，∴B（4，﹣1），
∵一次函数y＝k1x+b的图象过点A，点B，∴，
解得：k1＝﹣1，b＝3，∴直线解析式y＝﹣x+3，反比例函数的解析式为y；
（3）设直线AB与y轴的交点为C，∴C（0，3），∵S△AOC3×1，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC3×14，
∵S△AOP：S△BOP＝1：2，∴S△AOP，
∴S△COP1，∴3?xP＝1，∴xP，
∵点P在线段AB上，∴y3，∴P（，）．
4．（9分）（2016?广东）如图，在直角坐标系中，直线y＝kx+1（k≠0）与双曲线y（x＞0）相交于点P（1，m
）．（1）求k的值；
（2）若点Q与点P关于直线y＝x成轴对称，则点Q的坐标是Q（　2，1　）；
（3）若过P、Q二点的抛物线与y轴的交点为N（0，），求该抛物线的函数解析式，并求出抛物线的对称轴方程．
解：（1）∵直线y＝kx+1与双曲线y（x＞0）交于点P（1，m），∴m＝2，
把P（1，2）代入y＝kx+1得：k+1＝2，解得：k＝1；
（2）连接PO，QO，PQ，作PA⊥y轴于A，QB⊥x轴于B，则PA＝1，OA＝2，
∵点Q与点P关于直线y＝x成轴对称，∴直线y＝x垂直平分PQ，∴OP＝OQ，
∴∠POA＝∠QOB，在△OPA与△OQB中，，∴△POA≌△QOB，
∴QB＝PA＝1，OB＝OA＝2，∴Q（2，1）；故答案为：2，1；
（3）设抛物线的函数解析式为y＝ax2+bx+c，
∵过P、Q二点的抛物线与y轴的交点为N（0，），∴，
解得：，∴抛物线的函数解析式为yx2+x，∴对称轴方程x．
3年模拟
1．（2020?新会区一模）若函数y（k≠0）的图象过点（4，﹣7），那么它一定还经过点（　C　）
A．（4，7）
B．（﹣4，﹣7）
C．（﹣4，7）
D．（3，﹣7）
2．（2020?增城区一模）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y（k＜0）的图象上．则y1、y2、y3的大小关系是（　D　）
A．y1＞y2＞y3
B．y3＞y2＞y1
C．y2＞y3＞y1
D．y1＞y3＞y2
3．（2020?广州模拟）如图，正比例函数y＝ax的图象与反比例函数y的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，则不等式ax的解集为（　　B）
A．x＜﹣2或x＞2
B．x＜﹣2或0＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2
D．﹣2＜x＜0或x＞2
4．（2020?深圳模拟）已知双曲线y的图象如图所示，则函数y＝ax2与y＝ax+b的图象大致是（　A　）
A．
B．
C．
D．
5．（2020?揭西县模拟）反比例函数y的图象在每个象限内y的值随着x的逐渐增大而增大，那么k的取值范围是　k＞1　．
6．（2020?顺德区模拟）平行四边形ABCD的三个顶点坐标是A（﹣9，0）、B（﹣3，0）、C（0，4）．若某反比例函数的图象经过线段CD的中点，则其解析式为　y　．
7．（2020?东莞市一模）如图，两个全等的等腰直角三角形按如图方式放置在平面直角坐标系中，OA在x轴上，已知∠COD＝∠OAB＝90°，OC，反比例函数y的图象经过点B．（1）求反比例函数的解析式；
（2）把△OCD沿射线OB移动，当点D落在y图象上的D'时，求点D'的坐标．
解：（1）∵△AOB和△COD为全等三的等腰直角三角形，OC，
∴AB＝OA＝OC＝OD，∴点B坐标为（，），代入y得k＝2；
（2）由平移性质可知DD′∥OB，过D′作D′E⊥x轴于点E，交DC于点F，设CD交y轴于点M，如图，
∵OC＝OD，∠AOB＝∠COM＝45°，∴OM＝MC＝MD＝1，
∴D坐标为（﹣1，1），设D′横坐标为t，则OE＝MF＝t，
∴D′F＝DF＝t+1，∴D′E＝D′F+EF＝t+2，∴D′（t，t+2），
∵D′在反比例函数图象上，∴t（t+2）＝2，解得t1或t1（舍去），
∴D′（1，1）．
8．（2020?天河区模拟）反比例函数（k为常数．且k≠0）的图象经过点A（1，3），B（3，m）．（1）求反比例函数的解析式及B点的坐标；
（2）在x轴上找一点P．使PA+PB的值最小，
①求满足条件的点P的坐标；②求△PAB的面积．
解：（1）把A（1，3）代入y得，k＝3，∴反比例函数的关系式为：y；
把B（3，m）代入y得，m＝1，∴点B的坐标为（3，1）；
（2）①如图所示，作点B关于x轴的对称点B′，则B′（3，﹣1），连接AB′交x轴于点P点，此时PA+PB最小．
设直线AB′的关系式为y＝kx+b，把A（1，3），B′（3，﹣1）代入得，
，解得，，
∴直线AB′的关系式为y＝﹣2x+5，
当y＝0时，x，即：P（，0），得OP;②S△PAB＝S梯形ABNM﹣S△AMP﹣S△BPN（1+3）×2（1）×3（3）×1．
9．（2020?顺德区模拟）如图，已知点D在反比例函数y的图象上，过点D作DB⊥y轴，垂足为B（0，3），直线y＝kx+b经过点A（5，0），与y轴交于点C，且BD＝OC，OC：OA＝2：5．（1）求反比例函数y和一次函数y＝kx+b的表达式；（2）连结AD，求∠DAC的正弦值．
解：（1）∵BD＝OC，OC：OA＝2：5，点A（5，0），点B（0，3），
∴OA＝5，OC＝BD＝2，OB＝3，
又∵点C在y轴负半轴，点D在第二象限，
∴点C的坐标为（0，﹣2），点D的坐标为（﹣2，3）．
∵点D（﹣2，3）在反比例函数的图象上，
∴a＝﹣2×3＝﹣6，∴反比例函数的表达式为．
将A（5，0）、C（0，﹣2）代入y＝kx+b，得，解得：，
∴一次函数的表达式为．
（2）∵OA＝BC＝5，OC＝BD＝2，∠DBC＝∠AOC＝90°，∴△BDC≌△OCA（SAS），∴∠DCB＝∠OAC，DC＝CA，
∴∠DCA＝90°，∴△DCA是等腰直角三角形，∴∠DAC＝45°，∴．
10．（2020?潮州模拟）如图，直线y＝﹣x+3与双曲线y（k＜0）的图象相交于点A和点C，点A的坐标为（﹣1，a），点C的坐标为（b，﹣1）．
（1）求a的值和反比例函数的解析式；
（2）求b的值，并写出在y轴右侧，使得反比例函数大于一次函数的值的x的取值范围；
（3）如图，直线y＝﹣x+3与x轴相交于点B，在x轴上存在点D，使得△BCD是以BC为腰的等腰三角形，求点D的坐标．
解：（1）把（﹣1，a）代入y＝﹣x+3得a＝4，∴A（﹣1，4），
把A（﹣1，4）代入得，
解得：k＝﹣4，∴反比例函数的解析式为；
（2）把（b，﹣1）代入得，∴b＝4，∴C（4，﹣1）；
在y轴右侧，使得反比例函数大于一次函数的值的x的取值范围为：x＞4；
（3）如图：过点C作CH⊥x轴于点H，
把y＝0代入y＝﹣x+3得x＝3，∴B（3，0），
∵C（4，﹣1），∴CH＝1，BH＝4﹣3＝1，
∴在Rt△BCH中，，
当BC＝BD时，或，
当BC＝DC时，如图，∵CH⊥BD，∴BH＝HD＝1，
∴OD＝OH+HD＝4+1＝5，∴D（5，0），
综上所述，D（3，0）或（3，0）或（5，0）．
11．（2020?天河区一模）如图，直线AD与x轴交于点C，与双曲线y交于点A，AB⊥x轴于点B（4，0），点D的坐标为（0，﹣2）．
（1）求直线AD的解析式；
（2）若x轴上存在点M（不与点C重合），使得△AOC和△AOM相似，求点M的坐标．
解：（1）把x＝4代入y得到y＝2，∴A（4，2），
设直线AD的解析式为y＝kx+b，则有，解得．
∴直线AD的解析式为y＝x﹣2．
（2）对于直线y＝x﹣2，令y＝0，得到x＝2，∴C（2，0），
∴OC＝2，∵A（4，2），∴OA2，
在△AOC中，∠ACO是钝角，若M在x轴的负半轴上时，∠AOM＞∠ACO，
因此两三角形不可能相似，所以点M只能在x轴的正半轴上，设OM＝m，
∵M与C不重合，∴△AOC∽△AOM不合题意舍弃，
∴当，即时，△AOC∽△MOA，解得m＝10，
∴点M的坐标为（10，0），
当M′在x轴的负半轴上时，同法可得M′（﹣2，0）．
综上所述，满足条件的M的坐标为（10，0）或（﹣2，0）．第3讲　代数式、整式与因式分解
知识梳理
1.代数式的概念
代数式的有关概念：
用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．
2.代数式的值
用具体数代替代数式中的字母,按运算顺序计算出的结果叫做代数式的值.
求代数式的值的方法：①化简求值，②整体代入.
3.单项式与多项式
(1)
单项式：只含有数字与字母的积的运算的代数式叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，单项式中的数字因数叫单项式的系数，单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.
(2)
多项式：几个单项式的和叫做多项式，组成这个多项式的每一个单项式都叫多项式的项，多项式中次数最高项的次数就叫做多项式的次数．
注意：(1)多项式的每一项都包括它前面的符号.(2)多项式的次数不是所有项的次数之和.
4.整式分类
整式：单项式和多项式统称为整式．
5.同类项
所含__字母__相同，并且__相同字母的指数__也相同的项，叫做同类项．
注意：同类项与系数大小无关，与字母的排列顺序无关.
6.整式加减
(1)合并同类项：①字母和字母的指数不变；②__同类项的系数__相加减作为新的系数．
(2)添(去)括号，括号前面是“＋”，把括号去掉，括号里各项运算__不变__；括号前面是“－”，把括号去掉，括号里各项加号变__减号__，减号变__加号__．
7.幂的运算性质
(1)同底数幂相乘：am·an＝__am＋n__(m，n都是整数，a≠0)．
(2)幂的乘方：(am)n＝__amn__(m，n都是整数，a≠0)．
(3)积的乘方：(ab)n＝__an·bn__(n是整数，a≠0，b≠0)．
(4)同底数幂相除：am÷an＝__am－n__(m，n都是整数，a≠0)．
8.整式的乘除
(1)单项式乘单项式:ac·bc2=abc3;
(2)单项式乘多项式:p(a+b+c)=pa+pb+pc;
(3)多项式乘多项式:(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq;
(4)单项式除以单项式:abc3÷ac2=bc;
(5)多项式除以单项式:(am+bm)÷m=a+b.
9.乘法公式
(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝__a2－b2__．
(2)完全平方公式：(a±b)2＝__a2±2ab＋b2__．
10.分解因式概念及基本方法
把一个多项式化成几个__整式的积__的形式，叫做因式分解．因式分解与__整式乘法__是互逆变形．
因式分解的基本方法
(1)提公因式法：ma＋mb＋mc＝__m(a＋b＋c)__．
(2)公式法：
运用平方差公式：a2－b2＝__(a＋b)(a－b)__．
运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝__(a±b)2__．
11.分解因式的基本步骤
(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提公因式;
(2)
如果各项没有公因式，考虑运用公式法;
(3)分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止,简记为一“提”、二“套”、三“检查”.
5年真题
命题点1
代数式及求值
1．（4分）（2019?广东）如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是　a+8b　（结果用含a，b代数式表示）．
2．（4分）（2019?广东）已知x＝2y+3，则代数式4x﹣8y+9的值是　21　．
3．（4分）（2017?广东）已知4a+3b＝1，则整式8a+6b﹣3的值为　﹣1　．
4．（3分）（2016?广东）已知方程x﹣2y+3＝8，则整式x﹣2y的值为（　A　）
A．5
B．10
C．12
D．15
命题点2
整式的运算
5．（3分）（2019?广东）下列计算正确的是（　C　）
A．b6÷b3＝b2
B．b3?b3＝b9
C．a2+a2＝2a2
D．（a3）3＝a6
6．（3分）（2017?广东）下列运算正确的是（　B　）
A．a+2a＝3a2
B．a3?a2＝a5
C．（a4）2＝a6
D．a4+a2＝a4
命题点3
因式分解
7．（4分）（2018?广东）分解因式：x2﹣2x+1＝　（x﹣1）2　．
8．（4分）（2017?广东）分解因式：a2+a＝　a（a+1）　
9．（4分）（2016?广东）分解因式：m2﹣4＝　（m+2）（m﹣2）　．
3年模拟
1．（2020?罗湖区一模）若单项式am﹣1b2与a2bn的和仍是单项式，则2m﹣n的值是（　B　）
A．3
B．4
C．6
D．8
2．（2020?广州模拟）多项式3xy2﹣2y+1的次数及一次项的系数分别是（　B　）
A．3，2
B．3，﹣2
C．2，﹣2
D．4，﹣2
3．（2020?花都区一模）下列运算正确的是（　D　）
A．a3+a3＝a6
B．a2?a3＝a6
C．（ab2）2＝ab4
D．5a4b÷ab＝5a3
4．（2020?白云区一模）下列运算正确的是（　B　）
A．4a﹣a＝4
B．a2?a3＝a5
C．（a3）3＝a6
D．a15+a3＝a5（a≠0）
5．（2019?东莞市模拟）已知x+y﹣3＝0，则2x?2y的值是（　D　）
A．6
B．﹣6
C．
D．8
6．（2020?东莞市一模）因式分解x2y﹣2xy+y的结果为（　
B　）
A．（xy﹣1）2
B．y（x﹣1）2
C．y（x2﹣2x+1）
D．y（x﹣1）
7．（2020?白云区模拟）观察下面三行数：
﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，……；
1，7，﹣5，19，﹣29，67，……；
﹣1，2，﹣4，8，﹣16，32，……．
分别取每行的第10个数，这三个数的和是（　A　）
A．2563
B．2365
C．2167
D．2069
8．（2019?鄞州区模拟）如图，4张如图1的长为a，宽为b（a＞b）长方形纸片，按图2的方式放置，阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，若S2＝2S1，则a，b满足（　B　）
A．a
B．a＝2b
C．ab
D．a＝3b
9．（2019?荔湾区模拟）苹果的零售价格是每千克5元，一次购买10千克以上按批发价，批发价格是零售价格的8折，买15千克苹果应该付　60　元．
16．（2020?东莞市一模）已知x2+x﹣3＝0，则代数式15﹣2x2﹣2x的值为　9　．
10．（2020?潮州模拟）已知a2+b2＝13，ab＝6，则（a+b）2＝　25　．
11．（2020?龙岗区模拟）如果a2+b2+2c2+2ac﹣2bc＝0，那么2a+b﹣1的值为　　．
【解析】a2+b2+2c2+2ac﹣2bc＝a2+2ac+c2+b2﹣2bc+c2＝（a+c）2+（b﹣c）2＝0，
∴a+c＝0，b﹣c＝0，解得a＝﹣c，b＝c，∴2a+b﹣1＝2﹣c+c﹣1＝2﹣1．故答案为：．
12．（2020?高州市模拟）用边长为1的小正方形摆成如图所示的塔状图形，按此规律，第2020次所摆图形的周长是　8080　．
8000【解析】∵第一次所摆图形周长是1×4＝4；
第二次所摆图形的周长是2×4＝8；
第三次所摆图形的周长是3×4＝12；
…
∴第n次所摆图形的周长是n×4＝4n．
第2020次所摆图形的周长是2020×4＝8080．
故答案为：
8080．
13．（2019?黔东南州一模）分解因式x2﹣2xy+y2﹣1＝　（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）　．
14．（2020?花都区一模）已知A＝（x+2）2+（x+1）（x﹣1）﹣3．
（1）化简A；（2）若x2＝（）﹣1，求A的值．
解：（1）A＝（x+2）2+（x+1）（x﹣1）﹣3＝x2+4x+4+x2﹣1﹣3＝2x2+4x；
（2）∵x2＝（）﹣1＝4，∴x＝±2，∴A＝2x2+4x＝2×4+4×2＝8+8＝16，或A＝2x2+4x＝2×4+4×（﹣2）＝8﹣8＝0，即A的值是0或16．第14讲　线、角、相交线与平行线
知识梳理
1.
线段和直线
(1)
直线公理：
经过两点有且只有一条直线.
(2)
线段公理：
两点之间，线段最短．连接两点的__线段的长度__叫做这两点间的距离．
(3)
直线、射线、线段的主要区别：
类型
端点
延长线及反向延长线
用两个大写字母表示
直线
个
无
无顺序
射线
个
有反向延长线
第一个表示端点
线段
个
两者都有
无顺序
(4)
线段的中点：若点C是线段AB的中点，则；AB=2AC=2BC．
2.对顶角
一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线,则称这两个角是对顶角,对顶角相等.
3.
角及其平分线
(1)
定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．角的分类：
①角按大小可以分为周角、平角、钝角、直角、锐角．
②1周角=2平角=4直角；1°=60′；1′=60″．
(2)
角的平分线：若OC平分∠AOB，则；∠AOB=2∠AOC=2∠BOC．
4.
余角、补角及性质：
余角
定义
如果两个角的和等于90°，称这两个角互为余角．
性质
同角或等角的余角相等．
补角
定义
如果两个角的和等于180°，称这两个角互为补角．
性质
同角或等角的补角相等．
5.
相交线
①．对顶角与邻补角：
对顶角
定义
顶点相同，两边互为反向延长线的的两个角叫做对顶角．
性质
对顶角相等．
邻补角
定义
顶点相同，有一条公共边，另一边互为反延长线的两个角叫做邻补角．
性质
邻补角互补．
②.
垂线及性质：
定义
两条直线相交，如果有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直．
性质
①过平面内一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②过直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
点到直线的距离
从直线外一点到这直线的垂线段的长度叫做点到这条直线的距离．
6.
平行线
定义
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．
平行公理
经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
平行公理的推论
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
平行线的性质
两直线平行，同位角相等．
两直线平行，内错角相等．
两直线平行，同旁内角互补．
平行线的判定
同位角相等，两直线平行．
内错角相等，两直线平行．
同旁内角互补，两直线平行．
两平行线间的距离
定义
过平行线上一点，作另一条平行线的垂线，垂线段的长度叫做两平行线的距离．
性质
两平行线间的距离处处相等．
7.命题、定理
命题
定义
判断一件事情的句子叫做命题．
组成
命题是由条件和结论两个部分组成，通常可以写成“如果…，那么…的形式”，其中如果部分是条件，那么部分是结论．
分类
（1）命题分为真命题和假命题；
（2）判定一个命题是假命题的常用方法是举反例，证明一个命题是真命题必须要经过严格的推理论证．
互逆命题
如果两个命题的条件和结论正好相反，那么这两个命题称为互逆命题；我们把其中的一个叫做原命题，另一外叫做它的逆命题．
互逆定理
如果一个定理的逆命题也是一个定理，这两个定理称为互逆定理．
5年真题
命题点1
余角与补角
1．（3分）（2017?广东）已知∠A＝70°，则∠A的补角为（　A　）
A．110°
B．70°
C．30°
D．20°
命题点2平行线的性质及判定
2．（4分）（2019?广东）如图，已知a∥b，∠1＝75°，则∠2＝　105°　．
3．（3分）（2018?广东）如图，AB∥CD，则∠DEC＝100°，∠C＝40°，则∠B的大小是（　B　）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
3年模拟
1．（2020?禅城区一模）如图，经过刨平的木板上的A，B两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（　B　）
A．点动成线
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．两点之间，线段最短
2．（2020?白云区一模）一个角是60°，则它的余角度数为（　A　）
A．30°
B．40°
C．90°
D．120°
3．（2019?金平区一模）已知∠A与∠B的和是90°，∠C与∠B互为补角，则∠C比∠A大（　C　）
A．180°
B．135°
C．90°
D．45°
4．（2020?福田区模拟）如图，下列条件中，能判定DE∥AC的是（　C　）
A．∠EDC＝∠EFC
B．∠AFE＝∠ACD
C．∠3＝∠4
D．∠1＝∠2
5．（2020?英德市一模）如图，∠1＝∠2，∠D＝50°，则∠B的度数为（　D　）
A．50°
B．40°
C．100°
D．130°
6．（2019?花都区一模）如图，直线a∥b，点A、B分别在直线a、b上，∠1＝45°，若点C在直线b上，∠BAC＝105°，且直线a和b的距离为3，则线段AC的长度为（　D　）
A．
B．
C．3
D．6
7．（2020?深圳模拟）下列命题正确的是（　C　）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是正方形
C．16的平方根是±4
D．有两条边对应相等的两个直角三角形全等
8．（2019?顺德区三模）计算：18°30′＝　18.5　°．
9．（2020?金平区模拟）如图，现将一块含有60°角的三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝∠2，那么∠1的度数为　60°　．
10．（2020?靖江市一模）命题“对顶角相等”的逆命题是　假　命题（填“真”或“假”）．第2讲
二次根式
知识梳理
1.二次根式的有关概念
(1)一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．特别注意：二次根式的意义的条件是：被开方数是
非负数
．
(2)最简二次根式必须同时满足以下两个条件:
①被开方数中不含分母；
②被开方数中不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做简二次根式．
2.二次根式的性质
(1)()2=a(　
a≥0
　).?
(2)=|a|=（双重非负性）
(3)=?　(a≥0,b≥0).
(4)=
(a≥0,b>0).
3.二次根式的运算
(1)二次根式的加减法:一般先将二次根式化为最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式合并.
(2)二次根式的乘法法则:
(a≥0,b≥0).?
(3)二次根式的除法法则:(a≥0,b>0).
4.
分母有理化
把分母中的根号化去叫做分母有理化．
互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，说这两个代数式互为有理化因式．与互为有理化因式，原理是平方差公式；分式有理化时，一定要保证有理化因式不为0．
5.
二次根式的混合运算法则
（1）
；（2）；
（3）
；（4）
．
3年模拟
1．（2020?潮南区模拟）计算的结果是（　C　）
A．
B．
C．
D．1
2．（2020?广州模拟）使代数式有意义的正整数x有（B　　）
A．3个
B．4个
C．5个
D．无数个
3．（2019?中山市模拟）把a?的根号外的a移到根号内得（　C　）
A．
B．
C．
D．
4．（2020?天河区一模）下列计算正确的是（C　　）
A．（4a）2＝4a2
B．2a+2b＝4ab
C．2
D．321
5．（2020?惠州一模）下列二次根式是最简二次根式的是（　D　）
A．
B．
C．
D．
6．（2020?广州一模）下列运算正确的是（　C　）
A．
B．（﹣p2q）3＝﹣p5q3
C．
D．（a+b）2＝a2+b2
7．（2020?龙岗区模拟）按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（　C　）
A．14
B．16
C．8+5
D．14
8．（2019?石家庄二模）如图，从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48cm2的两个小正方形，则余下部分的面积为（　D　）
A．78
cm2
B．cm2
C．cm2
D．cm2
9．（2020?顺德区三模）“分母有理化”是根式运算的一种化简方法，如：7+4；除此之外，还可以用先平方再开方的方法化简一些有特点的无理数，如要化简，可以先设x，再两边平方得x2＝（）2＝4422，又因为，故x＞0，解得x，，根据以上方法，化简的结果是（　D　）
A．3﹣2
B．3+2
C．4
D．3
10．（2020?虹口区二模）化简：　　．
11．（2019?阳江一模）将化简得　　．
12．（2019?香坊区模拟）计算　1　．
13．（2020?越秀区一模）计算：．
解：原式＝2×1＝2．
14．（2020?龙岗区模拟）计算：（2）0+（﹣1）2020sin45°．
解：原式＝1+1＝0．第21讲　多边形与平行四边形
知识梳理
1多边形
内角和定理
n边形的内角和为．
外角和定理
任意多边形的外角和为360°．
对角线
过n边形一个顶点可以引条对角线，边形一共有条对角线．
2平面图形的镶嵌
用同一种正多边形密铺
正三角形、正方形和正六边形．
用两种正多边形密铺
①正三角形和正方形；②正三角形和正六边形；③正三角形和正十二边形；④正方形和正八边形．
能否实现密铺的关键：看每一个顶点处的各个角之和是否等于360°．
3平行四边形
定义
两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
性质
对称性
是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点．
边
两组对边分别平行且相等．
角
两组对角相等，邻角互补．
对角线互相平分．
判定
边
两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
角
两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
对角线
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
面积
平行四边形的面积=底×高．
5年真题
命题点1
多边形的内角和及对角线
1．（4分）（2019?广东）一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是　8　．
2．（4分）（2017?广东）一个n边形的内角和是720°，则n＝　6　．
3年模拟
1．（2020?广东模拟）一个正多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形的边数是（　D　）
A．6
B．8
C．9
D．12
2．（2020?禅城区模拟）如果一个多边形的内角和是其外角和的两倍，那么这个多边形是（　A　）
A．六边形
B．五边形
C．四边形
D．三角形
3．（2020?惠州一模）如图，已知△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2＝（　C　）
A．90°
B．135°
C．270°
D．315°
4．（2020?白云区模拟）如图，在?ABCD中，∠BAC＝90°，AB＝8，BD＝20，则BC的长为（　B　）
A．10
B．4
C．12
D．2
5．（2020?三明模拟）如图，平行四边形ABCD中，M是BC的中点，且AM＝9，BD＝12，AD＝10，则ABCD的面积是（　D　）
A．30
B．36
C．54
D．72
6．（2020?东莞市一模）能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（　C　）
A．AB∥CD，AD＝BC
B．∠A＝∠B，∠C＝∠D
C．AB＝CD，AD＝BC
D．AB＝AD，CB＝CD
7．（2020?广东二模）如图，已知?ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，交AC于点F，且∠BCD＝60°，BC＝2CD，连结OE．下列结论：
①OE∥AB；
②S平行四边形ABCD＝BD?CD；
③AO＝2BO；
④S△DOF＝2S△EOF．
其中成立的个数有（　C　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
C【解析】①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∵∠BCD＝60°，∴∠ADC＝120°，
∵DE平分∠ADC，∴∠CDE＝60°＝∠BCD，
∴△CDE是等边三角形，∴CE＝CD，
∵BC＝2CD，∴BE＝CE，
∵OA＝OC，∴OE∥AB；故①正确；
②∵△DEC是等边三角形，∴∠DEC＝60°＝∠DBC+∠BDE，
∵BE＝EC＝DE，∴∠DBC＝∠BDE＝30°，
∴∠BDC＝30°+60°＝90°，∴BD⊥CD，
∴S平行四边形ABCD＝BD?CD；故②正确；
③设AB＝x，则AD＝2x，则BDx，∴OB，由勾股定理得：AOx，故③不正确；④∵AD∥EC，∴，∴DF＝2EF，∴S△DOF＝2S△EOF．故④正确；故选：C．
8．（2020?封开县一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD．若AC＝2，CE＝4；（1）求证：四边形ACED是平行四边形．（2）求BC的长．
解：（1）证明：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，
∴AC∥DE,又∵CE∥AD,
∴四边形ACED是平行四边形．
（2）∵四边形ACED是平行四边形．
∴DE＝AC＝2．
在Rt△CDE中，由勾股定理得CD2．
∵D是BC的中点，∴BC＝2CD＝4．
9．（2020?广东模拟）如图，已知△ABC是等边三角形，E为AC上一点，连接BE．将AC绕点E旋转，使点C落在BC上的点D处，点A落在BC上方的点F处，连接AF．
求证：四边形ABDF是平行四边形．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝AB，∠ACB＝60°；
∵将AC绕点E旋转,∴ED＝CE，EF＝AE,
∴△EDC是等边三角形，
∴DE＝CD＝CE，∠DCE＝∠EDC＝60°，
∴FD＝AC＝BC，
∴△ABC、△AEF、△DCE均为等边三角形，
∴∠CDE＝∠ABC＝∠EFA＝60°，
∴AB∥FD，BD∥AF，
∴四边形ABDF是平行四边形．第15讲　三角形的基本概念和性质
知识梳理
1.三角形的分类
(1)按边的大小分
(2)按角的大小分
三角形
2.
三角形的性质
稳定性
三角形具有稳定性，四边形没有稳定性．
三边关系
三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
在三角形中，已知两边为，则第三边的取值范围是．
内角和定理及推论
三角形的内角和等于180°
三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和．
三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角．
3.
三角形中的重要线段
定义
结论
高
从三角形的一个顶点向它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边的高．
锐角三角形的三条高都在三角形的内部，直角三角形有一条高在三角形内部，另两条高就是两直角边，钝角三角形有一条高在三角形内部，两条高在三角形外部，三条高所在的直线交于一点．
中线
三角形中，连结一个顶点和它所对边中点的线段叫做三角形的中线．
（1）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；
（2）三角形的三边上的中线交于一点，这个点叫做三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的．
角平分线
三角形的一个角的平分线与这个角对边的相交，连结这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的中线．
三角形的三条角平分线相交于一点，这个点是三角形的内心，它到三边的距离相等．
中位线
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
3年模拟
1．（2020?广东模拟）三角形的两边分别为5，10，则第三边的长可能等于（　C　）
A．3
B．5
C．9
D．15
2．（2020?白云区模拟）如图，点D在线段BC上，AC⊥BC，AB＝8cm，AD＝6cm，AC＝4cm，则在△ABD中，BD边上的高是　4　cm．
3．（2020?东莞市一模）如图，在△ABC中，已知D，E，F分别为BC，AD，BE的中点，且S△ABC＝32cm2，则图中阴影部分△DEF的面积为　4　cm2．
4．（2020?龙岗区模拟）如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE．设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S△ABC＝6，则S1﹣S2＝　1　．
5．（2020?顺德区模拟）如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点P．若∠BPC＝130°，则∠A＝　80　°．
6．（2020?顺德区模拟）已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AD平分外角∠EAC．求证：AD∥BC．
证明：由三角形的外角性质得，∠EAC＝∠B+∠C，∵∠B＝∠C，
∴∠EAC＝2∠B，
∵AD平分外角∠EAC，
∴∠EAC＝2∠EAD，
∴∠B＝∠EAD，
∴AD∥BC．第31讲　概　率
知识梳理
1
事件的分类
必然事件
必然会发生的事件；
不可能事件
不可能发生的事件；
随机事件
可能发生也可能不发生的事件.
2
概率的定义计算
定义
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P（A）．
计算
一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的种结果，那么事件A发生的概率是．
方法
（1）列举法；（2）列表法；（3）画树状图法；（4）用频率估计计概率：为了求出一个事件的概率，可以通过多次重复试验，用所得的频率来估计该事件的概率．
3游戏公平性
概率的应用主要用来评判“游戏是否公平”、“某项活动是否合算，解答这类题目，通常是先计算事件发生的概率，利用概率的大小作为评判的依据．
（1）评判游戏是否公平：游戏的双方如果获胜的概率相等，则游戏公平，否则游戏不公平；
（2）游戏规则的修改：对于任何一个游戏，修改它的规则方法不唯一，修改的原则是使游戏双方获胜的概率相等．
5年真题
命题点1
概率公式
1．（4分）（2017?广东）在一个不透明的盒子中，有五个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，随机摸出一个小球，摸出的小球标号为偶数的概率是　　．
命题点2
列表法或画树状图法求概率
3年模拟
1．（2020?金平区一模）下列成语所描述的是随机事件的是（　D　）
A．竹篮打水
B．瓜熟蒂落
C．海枯石烂
D．不期而遇
2．（2020?新宾县三模）下列事件中，属于必然事件的是（　C　）
A．三角形的外心到三边的距离相等
B．某射击运动员射击一次，命中靶心
C．任意画一个三角形，其内角和是180°D．抛一枚硬币，落地后正面朝上
3．（2020?江城区二模）袋子中装有10个黑球、1个白球，它们除颜色外无其他差别，随机从袋子中摸出一个球，则（　C　）
A．这个球一定是黑球
B．摸到黑球、白球的可能性的大小一样
C．这个球可能是白球
D．事先能确定摸到什么颜色的球
4．不透明袋子中装有红球3个、黄球5个，除颜色外无其它差别，随机摸出一个小球是黄球的概率为（　D　）
A．
B．
C．
D．
5．（2020?东莞市一模）不透明袋子中有红球10个，黄球20个，还有一些蓝球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子里随机摸出一个恰好是黄球的概率为，则蓝球有（　A　）
A．30个
B．60个
C．40个
D．20个
6．（2020?天河区一模）某班级开展一种游戏互动，规则是：在20个商标中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖金额，其余商标的背面是一张苦脸，若翻到它就不得奖，每人有三次翻牌机会．小明同学前两次翻牌均得若干奖金，如果翻过的牌不能再翻，那么他第三次翻牌获奖的概率是（　B　）
A．
B．
C．
D．
7．（2020?番禺区模拟）有五张质地、大小、反面都相同的不透明卡片，正面分别写着数字1，2，3，4，5，现把它们的正面向下，随机摆放在桌面后任意抽取一张，则抽出的数字是奇数的概率是（　A　）
14．（2019?南海区三模）汉代数学家赵爽在注解（周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边分别是2和3．现随机向该图形内掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内（非阴影区域）的概率为（　　）
A．1
B．
C．
D．
8．（2020?深圳模拟）不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其余差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（　A　）
A．
B．
C．
D．
9．（2020?大鹏新区一模）分别写有数字、π、﹣1、0、的五张大小和质地均相同的卡片，从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是　　．
10．（2020?宝安区二模）一个正方体的骰子六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，则扔一次骰子朝上的数字满足不等式x≤4的概率是　　．
11．（2020?高新区二模）如图，在平行四边形纸片上作随机扎针实验，针头扎在阴影区域的概率为　　．
12．（2020?福田区一模）袋中装有6个黑球和若干个白球，每个球除颜色外都相同．现进行摸球试验，每次随机摸出一个球记下颜色后放回．经过大量的试验，发现摸到黑球的频率稳定在0.75附近，则袋中白球约有　2　个．
13．（2020?金平区模拟）某中学为了解学生对新闻，体育，娱乐，动画四类电视节目的喜爱情况，进行了统计调查，随机调查了某班所有同学最喜欢的节目（每名学生必选且只能选择四类节目中的一类），并将调查结果绘成如图不完整的统计图．
根据两图提供的信息，回答下列问题：
（1）本次调查了多少人？
（2）请补全条形统计图；
（3）在全班同学中，甲，乙，丙，丁等同学最喜欢体育类节目，班主任打算从甲，乙，丙，丁4名同学中选取2人参加学校组织的体育知识竞赛，请用列表法或树状图求同时选中甲，乙两同学的概率．
解：（1）被调查的总人数为：9÷18%＝50（人），
即本次调查了50人；
（2）喜欢娱乐的学生有50﹣6﹣15﹣9＝20（人），
补全的条形统计图如右图所示；
（3）树状图如下图所示，
故恰好同时选中甲、乙两位同学的概率为．第9讲　平面直角坐标系和函数的概念
知识梳理
1.平面直角坐标系
(1)
平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴，构成平面直角坐标系.在平面直角坐标系内的点和有序实数对之间建立了—一对应的关系．.?
(2)坐标轴上的点:x轴,y轴上的点不属于任何象限.
2.点的坐标特征
（1）平面直角系中各部分点的点坐特征
各象限内点的坐标特征
（1）P（a
，b）在第一象限；
（2）P（a
，b）在第二象限；
（3）P（a
，b）在第三象限；
（4）P（a
，b）在第四象限．
坐标轴上点的坐标特征
（1）坐标轴上的点不属于任何象限；
（2）P（a
，b）在x轴上；
（3）P（a
，b）在y轴上；
象限角平分线上点的坐标特征
（1）P（a
.b）若在一、三象限角的平分线上，则；
（2）若在二、四象限角的平分线上，则
．
平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征
（1）平行于x轴的直线上的点纵坐标相等；
（2）平行于y轴的直线上的点横坐标相等．
中点坐标公式
已知坐标系中两点.则A、B的中点C坐标为.
3.
平面直角坐标系中的距离
①点到坐标轴与原点的距离：P（a
，b）到x轴的距离为
；到y轴的距离为，到原点的距离为．
②两点间的距离
位置
点的坐标
距离公式
水平线上
平行于?x轴的直线上两点A（x1，y1）、B(x2，y1)
AB=
铅直线上
平行于?y轴的直线上两点A（x1，y1）、B(x1，y2)
AB=
任意两点
坐标平面内任意两点A（x1，y1）、B(x2，y2)
AB=
4.
图形变换与点的坐标规律
图形变换
点的坐标规律
图示
对称变换
关于x轴
点A（a，b）关于x轴的对称点为B（a，-b）
关于y轴
点A（a，b）关于y轴的对称点为C（-a，b）
关于原点
点A（a，b）关于原点的对称点为D（-a，-b）
平移变换
左右平移
将点P（a
.b）向左或向右平移h个单位，对应点坐标为或．
上下平移
将点P（a
.b）向上或向下平移k个单位，对应点坐标为或．
5.函数的有关概念
(1)常量和变量：在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量.
(2)
一般地，设在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.
(3)表示方法:解析式法、列表法、图象法.　
(4)自变量的取值范围
整式型
全体实数．
分式型
使分母不为零的实数．
偶次根式型
使被开方数为非负数的实数．
零次幂、负整数次幂
使底数不为零的实数．
混合型
各个代数式中自变量取值范围的公共部分.
(5)函数值:
给自变量在取值范围内的一个值所求得的函数的对应值．
6.函数的图象
(1)
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图象，就是这个函数的图象.
(2)
画函数图象的一般步骤是：①列表；②描点；③连线.
5年真题
命题点1
平面直角坐标系中点的坐标特征
1．（3分）（2016?广东）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，﹣3）所在的象限是（　C　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
命题点2
动点问题的函数图像
2．（3分）（2018?东莞市）如图，点P是菱形ABCD边上的一动点，它从点A出发沿在A→B→C→D路径匀速运动到点D，设△PAD的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为（　B　）
A．
B．
C．
D．
B【解析】分三种情况：①当P在AB边上时，如图1，设菱形的高为h，
yAP?h，∵AP随x的增大而增大，h不变，
∴y随x的增大而增大，故选项C和D不正确；
②当P在边BC上时，如图2，yAD?h，AD和h都不变，
∴在这个过程中，y不变，故选项A不正确；
③当P在边CD上时，如图3，yPD?h，
∵PD随x的增大而减小，h不变，∴y随x的增大而减小，
∵P点从点A出发沿在A→B→C→D路径匀速运动到点D，
∴P在三条线段上运动的时间相同，故选项B正确；故选：B．
3．（3分）（2016?广东）如图，在正方形ABCD中，点P从点A出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则△APC的面积y与点P运动的路程x之间形成的函数关系图象大致是（　C　）
A．B．C．D．
C【解析】设正方形的边长为a，当P在AB边上运动时，yax；
当P在BC边上运动时，ya（2a﹣x）ax+a2；
当P在CD边上运动时，ya（x﹣2a）ax﹣a2；
当P在AD边上运动时，ya（4a﹣x）ax+2a2，
大致图象为：故选：C．
3年模拟
1．（2020?福州模拟）已知点A（m，n）在第二象限，则点B（|m|，﹣n）在（　D　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2.(2020?龙岗区二模）在函数y中，自变量x的取值范围是（　C　）
A．x＞0
B．x≥﹣5
C．x≥﹣5且
x≠0D．x≥0
且
x≠0
3．（2020?广州模拟）已知小明的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：小明从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家．图中x表示时间，y表示小明离家的距离．依据图中的信息，下列说法错误的是（　C　）
A．体育场离小明家2.5km
B．体育场离文具店1km
C．小明从体育场出发到文具店的平均速度是50m/min
D．小明从文具店回家的平均速度是60m/min
4．（2020?南海区二模）如图所示，在矩形ABCD中，BA＝8cm，BC＝4cm，点E是CD上的中点，P、Q均以1cm/s的速度在矩形ABCD边上匀速运动，其中动点P从点A出发沿A→D→C方向运动，动点Q从点A出发沿A→B→C方向运动，二者均达到点C停止运动，设点Q的运动时间为x，△PQE的面积为y，则下列能大致反应y与x函数关系的图象是（　D　）
A．B．
C．
D．
D【解析】（1）当0≤t≤4时，如图，
y＝S矩形ABCD﹣S△APQ﹣S△DPE﹣S梯形BCEQ4×8[t2+（4+8﹣t）×4+4（4﹣t）]t2+4t，
该函数为开口向下的抛物线；
（2）当4＜t≤8时，
同理可得：yPE×AD4×（4﹣t+4）＝16﹣2t，
该函数为一次函数；
（3）当8＜t≤12时，
同理可得：yPE×CQ（t﹣4﹣4）×[4﹣（t﹣8）]（t﹣8）（t﹣12）；
该函数为开口向下的抛物线，
故选：D．
5．（2020?惠来县模拟）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，直线l垂直于AB，从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，与AB交于点M，与AC﹣CB交于点N．当直线l经过点B时停止运动，若运动过程中△AMN的面积是y（cm2），直线l的运动时间是x（s），则y与x之间函数关系的图象大致是（　B　）
A．B．
C．
D．
B【解析】过点C作CD⊥AB于D，
∵AC2+BC2＝64+36＝100＝AB2，
故△ABC为直角三角形，
sin∠CAB，则cos∠CAB，tan∠CAB，故CD＝ACsin∠CAB＝84.8，同理AD＝6.4，
（1）当0≤x≤6.4，如图1，
∵tan∠CAB，即MNx，
yAM?MNx2，该函数为开口向上的抛物线，且对称轴为y轴，位于y轴的右侧抛物线的一部分；
（2）当6.4＜x≤10时，如图2，
同理：MN（10﹣x），
y（10﹣x）（x﹣5）2，该函数为开口向下的抛物线的一部分，对称轴为x＝5，故选：B．
6．（2020?龙岗区校级模拟）如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，图中阴影部分△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形PQMN的面积为（　B　）
A．16
B．20
C．36
D．45
B【解析】由图2可知：
当x＝4时，点R与点P重合，PN＝4，
当x＝9时，点R与点Q重合，PQ＝5，
所以矩形PQMN的面积为4×5＝20．
故选：B．
7．（2020?东莞市一模）如图，在直角坐标系xOy中，边长为1的正方形A1B1C1D1（称为第1个正方形）的顶点A1在原点处，点B1在y轴上，点D1在x轴上，点C1在第一象限内，现以点C1为顶点做等边三角形C1A2B2，使得点A2落在x轴上，且A2B2⊥x轴；以A2B2为边做正方形A2B2C2D2（称为第2个正方形），且正方形的边A2D2落在x轴上…如此类推，则第2020个正方形的边长为　22019　．
22019【解析】∵正方形A1B1C1D1（称为第1个正方形）的边长为1，
∴C1D1＝1，∵C1A2B2为等边三角形，
∵∠B2A2C1＝60°，∵A2B2⊥x轴，∴∠C1A2D1＝30°，
∴A2B2＝2C1D1＝2＝22﹣1，同理得A3B3＝4＝23﹣1，
A4B4＝8＝24﹣1，…由上可知第n个正方形的边长为：2n﹣1，
∴第2020个正方形的边长为：22020﹣1＝22019．故答案为：22019．
8．（2020?广东一模）在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，O为坐标原点，OA＝OB＝1，过点O作OM1⊥AB于点M1；过点M1作M1A1⊥OA于点A1：过点A1作A1M2⊥AB于点M2；过点M2作M2A2⊥OA于点A2…以此类推，点M2019的坐标为　（1，）　．
（1，）【解析】∵OA＝OB，OM1⊥AB，∴点M1是AB的中点，∵M1A1⊥OA，
∴A1是OA的中点，∴点M1的坐标为（，），同理，点M2的坐标为（1，），
点M3的坐标为（1，），……
点M2019的坐标为（1，），
故答案为：（1，）．第22讲　菱形、矩形
知识梳理
1.菱形的判定与性质
定义
有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
性质
对称性
是轴对称图形，又是中心对称图形，两条对称轴是对角线所在的直线，其对称中心是两对角线的交点
边
对边平行，四条边都相等
角
对角相等
对角线
对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角
判定
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
四条边都相等的四边形是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
面积
菱形的面积=底×高=两对角线乘积的一半
2.
矩形性质及其判定
定义
有一个角是直角的平行四边形是矩形．
性质
对称性
是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，其对称中心是两对角线的交点．
边
对边平行且相等．
角
四个角都是直角．
对角线
对角线互相平分且相等．
判定
有一个角是直角的平行四边形是矩形．
有三个角是直角的四边形是矩形．
对角线相等的平行四边形是矩形．
5年真题
命题点1
菱形的性质与判定
1．（7分）（2017?广东）如图所示，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD＝∠FAD，∠BAD为锐角．（1）求证：AD⊥BF；（2）若BF＝BC，求∠ADC的度数．
（1）证明：如图，连结DB、DF．∵四边形ABCD，ADEF都是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AD＝DE＝EF＝FA．在△BAD与△FAD中，，
∴△BAD≌△FAD，∴DB＝DF，∴D在线段BF的垂直平分线上，
∵AB＝AF，∴A在线段BF的垂直平分线上，∴AD是线段BF的垂直平分线，∴AD⊥BF；
解法二：∵四边形ABCD，ADEF都是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AD＝DE＝EF＝FA．
∴AB＝AF，∵∠BAD＝∠FAD，∴AD⊥BF（等腰三角形三线合一）；
（2）如图，设AD⊥BF于H，作DG⊥BC于G，则四边形BGDH是矩形，
∴DG＝BHBF．∵BF＝BC，BC＝CD，∴DGCD．
在直角△CDG中，∵∠CGD＝90°，DGCD，∴∠C＝30°，∵BC∥AD，
∴∠ADC＝180°﹣∠C＝150°．
3年模拟
1．（2020?荔湾区一模）如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中点B坐标是（4，1），点D坐标是（0，1），点A在x轴上，则菱形ABCD的周长是（　C　）
A．8
B．2
C．4
D．12
2．（2020?福田区模拟）如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠ABC＝140°，则∠OED＝（　A　）
A．20°
B．30°
C．40°
D．50°
3．（2020?市南区模拟）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝8．P是AB边上的一点，E，F分别是DP，BP的中点，则线段EF的长为（　C　）
A．8
B．2
C．4
D．2
4．（2020?清远一模）如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（　A　）
A．BE平分∠ABC
B．AD＝BD
C．BE⊥AC
D．AB＝AC
5．（2020?昆山市一模）如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝4，AF＝6，则AC的长为（　C　）
A．4
B．6
C．2
D．
6．（2020?湛江模拟）如图，点O为平面直角坐标系的原点，以点O为顶点作矩形OEDC，其中点D的坐标是（2，5），则CE的长是（　C　）
A．3
B．
C．
D．7
7．（2020?福田区校级模拟）如图，O点是矩形ABCD的对角线AC的中点，菱形ABEO的边长为2，则BC＝　2　．
2【解析】∵菱形ABEO的边长为2，
∴AB＝AO＝2，∵O点是矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴∠ABC＝90°，AC＝2AO＝4，
∴BC2，故答案为：2．
8．（2020?东莞市一模）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是　①④　．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①OGAB；
②与△EGD全等的三角形共有5个；
③S四边形ODGF＞S△ABF；
④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．
①④【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD，∵CD＝DE，∴AB＝DE，
在△ABG和△DEG中，，
∴△ABG≌△DEG（AAS），∴AG＝DG，
∴OG是△ACD的中位线，
∴OGCDAB，①正确；
∵AB∥CE，AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BCD＝∠BAD＝60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，
∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，
∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，④正确；
∴AD⊥BE，
由菱形的性质得：△ABG≌△BDG≌△DEG，
在△ABG和△DCO中，，
∴△ABG≌△DCO（SAS），
∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，②不正确；
∵OB＝OD，AG＝DG，
∴OG是△ABD的中位线，
∴OG∥AB，OGAB，
∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，
∴△GOD的面积△ABD的面积，△ABF的面积＝△OGF的面积的4倍，AF：OF＝2：1，
∴△AFG的面积＝△OGF的面积的2倍，
又∵△GOD的面积＝△AOG的面积＝△BOG的面积，
∴S四边形ODGF＝S△ABF；不正确；
正确的是①④．
故答案为：①④．
9．（2020?福田区模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF∥AE交AD延长线于点F．
（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接OE，若AE＝8，AD＝10，求OE的长．
证明：（1）∵菱形ABCD，∴AD∥BC．
∵CF∥AE，∴四边形AECF是平行四边形．
∵AE⊥BC，∴平行四边形AECF是矩形；
（2）∵AE＝8，AD＝10，∴AB＝10，BE＝6．
∵AB＝BC＝10，∴CE＝16．∴AC＝8，
∵对角线AC，BD交于点O，∴AO＝CO＝4．∴OE．
10．（2020?禅城区一模）如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点，过点A作AN∥BD，过点B作BN∥AC，两线相交于点N．（1）求证：AN＝BN；
（2）连接DN，交AC于点F，若DN⊥NB于点N，求∠DOC的度数．
解：（1）证明：∵矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∴OA＝OB，
∵AN∥BD，BN∥AC，
∴四边形OANB是平行四边形，
∵OA＝OB，∴?OANB是菱形，∴AN＝BN，
（2）由（1）可知：BN＝OB＝OD，
∴BD＝2BN，∵DN⊥NB，
∴∠DNB＝90°，∴∠BDN＝30°，
∵BN∥AC，∴∠DFO＝∠DNB＝90°，
∴∠DOF＝90°﹣30°＝60°，
∴∠DOC＝180°﹣60°＝120°．
答：∠DOC的度数为120°．第5讲　一次方程(组)及应用
知识梳理
1.
等式的基本性质及方程的概念
(1)
用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式.
(2)
等式性质1：等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式．
若，则；
等式性质2：等式两边都乘以或除以同一个数不为0的数，结果仍是等式．若，则，.
注意：在等式变形中，以下两个性质也经常用到：对称性，即：如果，那么．
传递性，即：如果，，那么．
2.
一元一次方程的概念及其解法
(1)
只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程，叫做一元一次方程．
(2)
解一元一次方程的一般步骤：
1．去分母：在方程的两边都乘以各分母的
最小公倍数
．
2．去括号：一般地，先去
小括号，再去
中括号，最后去
大括号．
3．移项：把含有
未知数
的项都移到方程的一边，
不含未知数的项移到方程的另一边．
4．合并同类项：把方程化成的形式．
5．系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数(
)，得到方程的解
．
3.
二元一次方程（组）的相关概念及其解法
(1)
含有两个未知数，且未知项的最高次项的次数是1的整式方程，叫做二元一次方程．
(2)
二元一次方程组：两个含有相同未知数的方程合在一起，构成二元一次方程组．
(3)
使二元一次方程左右两边相等的两个未知数的值叫做二元一次方程的解．
(4)
解二元一次方程组的基本思想是__消元__，即化二元一次方程组为一元一次方程，主要方法有__代入__消元法和__加减__消元法．
4.一次方程(组)的应用
(1)解应用题的步骤:①审清题意;②找等量关系;③设未知数;④列方程;⑤解方程;⑥验根;⑦作答.
(2)应用题的常见类型:
①工作(或工程)问题:工作量=工作效率×工作时间;
②利息问题:利息=本金×利率×期数;本息和=本金+利息;
③行程问题:路程=速度×时间;其中,相遇问题:s甲+s乙=s总;
追及问题:(同地异时)前者走的路程=追者走的路程;
(异地同时)前者走的路程+两地间的距离=追者走的路程.
④航行问题:v顺=v静+v水;v逆=v静-v水.
⑤利润问题:利润=卖价-进价;利润率=×100%.
⑥数字问题:两位数=10×十位数字+个位数字;
三位数=100×百位数字+10×十位数字+个位数字.
⑦增长率问题:增长后的量=基础量×(1+增长率).
5年真题
命题点1
二元一次方程组的解法
1．（6分）（2019?广东）解不等式组：
解：，解不等式①，得x＞3，
解不等式②，得x＞1，则不等式组的解集为x＞3.
命题点2
一次方程（组）的实际应用
2．（7分）（2019?广东）某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共60个，已知每个篮球的价格为70元，每个足球的价格为80元．
（1）若购买这两类球的总金额为4600元，求篮球，足球各买了多少个？
（2）若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，求最多可购买多少个篮球？
解：（1）设购买篮球x个，购买足球y个，
依题意得：．解得．
答：购买篮球20个，购买足球40个；
（2）设购买了a个篮球，依题意得：70a≤80（60﹣a）,解得a≤32．
答：最多可购买32个篮球．
3．（6分）（2017?广东）学校团委组织志愿者到图书馆整理一批新进的图书．若男生每人整理30本，女生每人整理20本，共能整理680本；若男生每人整理50本，女生每人整理40本，共能整理1240本．求男生、女生志愿者各有多少人？
解：设男生志愿者有x人，女生志愿者有y人，根据题意得：，
解得：．答：男生志愿者有12人，女生志愿者有16人．
3年模拟
1．（2020?英德市一模）方程kx﹣4＝0的根是x＝1，则k的值是（　　）
A．﹣4
B．﹣1
C．4
D．﹣3
2．（2020?顺德区模拟）解方程2x2，去分母，得（　B　）
A．12x+2（x﹣1）＝12+3（3x﹣1）
B．12x+2（x﹣1）＝12﹣3（3x﹣1）
C．6x+（x﹣1）＝4﹣（3x﹣1）
D．12x﹣2（x﹣1）＝12﹣3（3x﹣1）
3．（2020?宝安区二模）小天使童装店一件童装标价80元，在促销活动中，该件童装按标价的6折销售，仍可获利20%，则这种童装每件的进价为（　B　）元．
A．30
B．40
C．50
D．60
4．（2020?天河区模拟）已知关于x的方程的解是x＝2，则代数式的值为（　B　）
A．
B．0
C．
D．2
5．（2020?深圳模拟）对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：，已知18，则x＝（　C　）
A．﹣1
B．2
C．3
D．4
6．（2020?顺德区模拟）x等于　　数时，代数式的值比的值的2倍小1．
7．（2020?顺德区模拟）若方程2x+y＝3，2x﹣my＝﹣1，3x﹣y＝2有公共解，则m的值为　3　．
8．（2020?东莞市一模）已知a，b满足方程组，则a﹣b的值为　2　．
9．（2020?顺德区模拟）如果（x+y﹣2）2与|x﹣3y+4|互为相反数，那么x﹣y的值为　﹣1　．
10．（2020?顺德区三模）中国清代数学著作《御制数理精蕴》中有这样一道题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（“两”是我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．则马每匹价　6　两．
11．（2020?顺德区模拟）解方程
（1）x﹣2（x﹣4）＝3（1﹣x）;
（2）1.
解：（1）去括号得：x﹣2x+8＝3﹣3x，
移项合并得：2x＝﹣5，
解得：x＝﹣2.5；
（2）去分母得：4﹣3x+1＝6+2x，
移项合并得：﹣5x＝1，
解得：x＝﹣0.2．
12．（2020?白云区一模）新冠肺炎疫情发生后，为支援疫情防控，某企业研发14条口罩生产线，生产普通防护口罩和普通N95口罩，现日总产量达170万只，已知每条生产线可日产普通防护口罩15万只或普通N95口罩5万只．
（1）将170万用科学记数法表示为　1.7×106　；
（2）这14条生产线中，生产普通防护口罩和普通N95口罩的生产线分别有多少条？
解：（1）将170
0000用科学记数法表示为：1.7×106．
故答案为：1.7×106．
（2）设这14条生产线中有普通防护口罩生产线x条，普通N95口罩的生产线y条，
根据题意得：，解得：，
答：这14条生产线中有普通防护口罩生产线10条，普通N95口罩的生产线4条．
13．（2020?南山区模拟）桃花中学计划购买A、B两种型号的小黑板，经洽谈，购买一块A型小黑板比买一块B型小黑板多20元，且购买5块A型小黑板和4块B型小黑板共需820元．（1）求购买一块A型小黑板和一块B型小黑板各需要多少元？
（2）根据学校的实际情况，需购买A、B两种型号的小黑板共60块，并且购买A型小黑板的数量不少于购买B型小黑板的数量，请问学校购买这批小黑板最少要多少元？
解：（1）设A型小黑板x元/块，B型小黑板y元/块，
，解得，，
答：A型小黑板100元/块，B型小黑板80元/块；
（2）设购买A型小黑板a块，学校购买这批小黑板共需m元，
a≥60﹣a，解得，a≥30，
m＝100a+80（60﹣a）＝20a+4800，∵m随着a的增大而增大，
∴a＝30时，m有最小值为5400，答：学校购买这批小黑板最少要5400元．第23讲　正方形
知识梳理
1
正方形性质及其判定
定义
有一个角是直角的菱形，或有一组邻边相等的矩形是正方形
性质
对称性
是轴对称图形，又是中心对称图形，它有四条对称轴，其对称中心是两对角线的交点
边
对边平行，四条边都相等．
角
四个角都是直角．
对角线
对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角．
判定
有一个角是直角的菱形是正方形．
有一组邻边相等的矩形是正方形．
既是矩形又是菱形的四边形是正方形．
2
中点四边形
①顺次连接任意四边形各边中点，所得四边形是__平行四边__形．
②顺次连接平行四边形各边中点，所得四边形是__平行四边__形．
③顺次连接矩形各边中点，所得四边形是__菱__形．
④顺次连接菱形各边中点，所得四边形是__矩__形．
⑤顺次连接正方形各边中点，所得四边形是__正方__形．
⑥顺次连接等腰梯形各边中点，所得四边形是__菱__形．
3.平行四边形、矩形、菱形与正方形之间的联系
5年真题
命题点1正方形的性质
1．（3分）（2016?广东）如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（　B　）
A．
B．2
C．1
D．21
命题点2
正方形性质的多结论问题
2．（3分）（2019?广东）如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB＝2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM，AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB，AM交于点N、K：则下列结论：
①△ANH≌△GNF；②∠AFN＝∠HFG；③FN＝2NK；
④S△AFN：S△ADM＝1：4．其中正确的结论有（　C　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
C【解析】∵四边形EFGB是正方形，EB＝2，∴FG＝BE＝2，∠FGB＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，H为AD的中点，∴AD＝4，AH＝2，∠BAD＝90°，∴∠HAN＝∠FGN，AH＝FG，∵∠ANH＝∠GNF，∴△ANH≌△GNF（AAS），故①正确；∴∠AHN＝∠HFG，∵AG＝FG＝2＝AH，∴AFFGAH，∴∠AFH≠∠AHF，∴∠AFN≠∠HFG，故②错误；∵△ANH≌△GNF，∴ANAG＝1，∵GM＝BC＝4，∴2，
∵∠HAN＝∠AGM＝90°，∴△AHN∽△GMA，∴∠AHN＝∠AMG，
∵AD∥GM，∴∠HAK＝∠AMG，∴∠AHK＝∠HAK，∴AK＝HK，∴AK＝HK＝NK，∵FN＝HN，∴FN＝2NK；故③正确；∵延长FG交DC于M，∴四边形ADMG是矩形，∴DM＝AG＝2，
∵S△AFNAN?FG2×1＝1，S△ADMAD?DM4×2＝4，∴S△AFN：S△ADM＝1：4故④正确，故选：C．
3．（3分）（2017?广东）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边的中点，DE与AC相交于点F，连接BF，下列结论：①S△ABF＝S△ADF；②S△CDF＝4S△CEF；③S△ADF＝2S△CEF；④S△ADF＝2S△CDF，其中正确的是（　　）
A．①③
B．②③
C．①④
D．②④
C【解析】=∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥CB，AD＝BC＝AB，∠FAD＝∠FAB，
在△AFD和△AFB中，，∴△AFD≌△AFB，∴S△ABF＝S△ADF，故①正确，∵BE＝ECBCAD，AD∥EC，∴，
∴S△CDF＝2S△CEF，S△ADF＝4S△CEF，S△ADF＝2S△CDF，故②③错误④正确，故选：C．
3年模拟
1．（2020?海门市校级模拟）如图，正方形ABCD的对角线AC与B相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点．若AM，则线段BN的长为（　C　）
A．
B．
C．1
D．2
C【解析】过M点作MH⊥AC于H点，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠HAM＝45°．
∴△HAM是等腰直角三角形，∴HMAM＝1．∵CM平分∠ACB，MH⊥AC，MB⊥CB，
∴BM＝HM＝1，∠ACM＝∠BCN．
∵∠BMN＝45°+∠ACM，∠BNM＝45°+∠BCM，∴∠BMN＝∠BNM．∴BN＝BM＝1．
故选：C．
2．（2020?大鹏新区一模）已知正方形ABCD的边长为1，点P为正方形内一动点，若点M在AB上，且满足△PBC∽△PAM，延长BP交AD于点N，连结CM．分析下列结论：①AP⊥BN；②BM＝DN；③点P一定在以CM为直径的圆上；④正方形内不存在点P使得PC．其中结论正确的个数是（　C　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
C【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝90°，∵△PBC∽△PAM，
∴∠PAM＝∠PBC，，
∵∠PBC+∠PBA＝90°，∴∠PAM+∠PBA＝90°，∴∠APB＝90°，∴AP⊥BN，故①正确；∵∠ABP＝∠ABN，∠APB＝∠BAN＝90°，∴△BAP∽△BNA，∴，
∴，∵AB＝BC，∴AM＝AN，
∴AB﹣AM＝AD﹣AN，∴BM＝DN，故②正确；∵△PBC∽△PAM，∴∠APM＝∠BPC，
∴∠CPM＝∠APB＝90°，
∴点P一定在以CM为直径的圆上，故③正确；以点C为圆心为半径画圆，以AB为直径画圆，如图所示：
∴CO，
∵，∴两个圆相切，
∴∠APB＝90°，即AP⊥PB，∵∠PBC＝∠PAB，∴只要作∠APM＝∠BPC，就可得出△PBC∽△PAM，符合题意，
∴正方形内存在点P使得PC，故④错误；
综上所述，结论正确的个数是3，
故选：C．
3.（2020?越秀区一模）如图，ABCD为正方形，∠CAB的角平分线交BC于点E，过点C作CF⊥AE交AE的延长线于点G，CF与AB的延长线交于点F，连接BG、DG、与AC相交于点H，则下列结论：①△ABE≌△CBF；②GF＝CG；③BG⊥DG；④DH＝（1）AE，其中正确的是　①②③　．
①②③【解析】①∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝∠CBF＝90°，
∵AG⊥CF，∴∠AGF＝90°，
∴∠GAF+∠F＝90°，∵∠BCF+∠F＝90°，
∴∠GAF＝∠BCF，∴△ABE≌△CBF（ASA），
故此小题结论正确；
②∵AG是∠CAB的角平分线，∴∠BAG＝∠CAG，∵∠AGB＝∠AGC＝90°，AG＝AG，
∴△ABG≌△ACG（ASA），∴FG＝CG，
故此小题结论正确；
③∵∠CBF＝90°，FG＝CG，∴BG＝CG，
∴∠CBG＝∠BCG，∵∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴∠ABG＝∠DCG，∵AB＝DC，
∴△ABG≌△DCG（SAS），
∴∠AGB＝∠DGC，∵∠DGC+∠AGD＝∠AGC＝90°，∴∠AGB+∠AGD═90°，
∴BG⊥DG，故此小题结论正确；
④∵△ABG≌△DCG，
∴∠CDG＝∠BAG＝∠CAG，
∵∠DCH＝∠ACE，∴△DCH∽△ACE，
∴，∴DH，
故此小题结论错误．
由上可知，正确的结论是①②③，
故答案为：①②③．
4．（2020?广州一模）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，
下列结论：①BE+DF＝EF；②CE＝CF；③∠AEB＝75°；④S正方形ABCD＝2，
其中正确的序号是　②③④　．
②③④【解析】∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，
∵△AEF为等边三角形，∴AE＝AF，
在Rt△ABE和△ADF中，，
∴Rt△ABE≌△ADF，
∴BE＝DF，∠BAE＝∠DAF，而∠EAF＝60°，
∴∠BAE＝∠DAF＝15°，
∴∠AEB＝75°，所以③正确，∵CB＝CD，
∴CB﹣BE＝CD﹣DF，
即CE＝CF，所以②正确；
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴CE＝CFEF，
设正方形的边长为x，则AB＝x，BE＝x，
在Rt△ABE中，∵AB2+BE2＝AE2，
∴x2+（x）2＝22，
整理得x2x﹣1＝0，解得x1，x2（舍去），
∴BE+DF＝2（x）＝2（）2，所以①错误；
∴S正方形ABCD＝x2＝（）2＝2，所以④正确．故答案为②③④．
5．（2020?新都区模拟）如图，点M是正方形ABCD的边BC上一点，连接AM，点E是线段AM上一点，∠CDE的平分线交AM延长线于点F．（1）如图1，若点E为线段AM的中点，BM：CM＝1：2，BE，求AB的长；（2）如图2，若DA＝DE，求证：BF+DFAF．
解：（1）设BM＝x，则CM＝2x，BC＝3x，
∵BA＝BC，∴BA＝3x．
在Rt△ABM中，E为斜边AM中点，
∴AM＝2BE＝2．
由勾股定理可得AM2＝MB2+AB2，
即40＝x2+9x2，解得x＝2．∴AB＝3x＝6．
（2）延长FD交过点A作垂直于AF的直线于H点，过点D作DP⊥AF于P点．
∵DF平分∠CDE，∴∠1＝∠2．
∵DE＝DA，DP⊥AF,∴∠3＝∠4．∵∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，∴∠2+∠3＝45°．
∴∠DFP＝90°﹣45°＝45°．
∴AH＝AF．∵∠BAF+∠DAF＝90°，∠HAD+∠DAF＝90°，∴∠BAF＝∠DAH．又AB＝AD，∴△ABF≌△ADH（SAS）．
∴AF＝AH，BF＝DH．
∵Rt△FAH是等腰直角三角形，
∴HFAF．∵HF＝DH+DF＝BF+DF，
∴BF+DFAF．
6．（2020?广东模拟）如图，已知正方形ABCD的边长是2，∠EAF＝m°，将∠EAF绕点A顺时针旋转，它的两边分别交BC、CD于点E、F，G是CB延长线上一点，且始终保持BG＝DF．（1）求证：△ABG≌△ADF；
（2）求证：AG⊥AF；（3）当EF＝BE+DF时：
①求m的值；②若F是CD的中点，求BE的长．
解：（1）证明：在正方形ABCD中，
AB＝AD＝BC＝CD＝2，
∠BAD＝∠C＝∠D＝∠ABC＝∠ABG＝90°．
∵BG＝DF，
在△ABG和△ADF中，，
∴△ABG≌△ADF（SAS）；
（2）证明：∵△ABG≌△ADF，
∴∠GAB＝∠FAD，
∴∠GAF＝∠GAB+∠BAF
＝∠FAD+∠BAF＝∠BAD＝90°，∴AG⊥AF；
（3）①解：△ABG≌△ADF，
∴AG＝AF，BG＝DF．∵EF＝BE+DF，
∴EF＝BE+BG＝EG．∵AE＝AE，
在△AEG和△AEF中，
∴△AEG≌△AEF（SSS）．
∴∠EAG＝∠EAF，∴∠EAF∠GAF＝45°，
即m＝45；
②若F是CD的中点，则DF＝CF＝BG＝1．
设BE＝x，则CE＝2﹣x，EF＝EG＝1+x．
在Rt△CEF中，CE
2+CF
2＝EF
2，即（
2﹣x
）
2+1
2＝（
1+x
）
2，得x．
∴BE的长为．第29讲　图形的轴对称、平移和旋转
知识梳理
1轴对称图形与轴对称
轴对称图形
轴对称
定义
如果一个图形沿着某条直线对折，对折的两部分能够完全重合，那么称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴．
把一个图形沿着某条直线翻折过去，如果它能与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线就是对称轴．
区别
轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形，对称轴不一定只有一条．
轴对称是指两个全等图形之间的相互位置关系，只有一条对称轴．
轴对称的性质
（1）成轴对称的两个图形全等；
（2）对应点的连线被对称轴垂直平分．
2中心对称图形与中心对称
中心对称图形
中心对称
定义
在平面内，把一个图形绕着某一点旋转180°后能与自身重合，这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
在平面内，把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点成中心对称．
区别
中心称图形是指具有特殊形状的一个图形．
中心对称指的是两个全等图形之间的相互位置关系．
中心对称的性质
（1）成中心对称的两个图形全等；（2）对应点的连线都经过对称中心且被对称中心平分．
3平移
平移
旋转
定义
一个图形沿着一定的方向平行移动一定的距离，这样的图形移动叫做平移．
在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一定角度的图形变换叫做旋转．
要素
平移的方向和距离．
旋转中心、旋转角度和旋转方向．
性质
（1）平移前后的图形全等；（2对应点的连线平行（或在同一直线上）且相等，对应线段平行（或在同一直线上）且相等．
（1）旋转前后的图形全等；（2）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角；（3）对应点到旋转中心的距离相等．
与轴对称变换的关系
经过两次对称轴平行的轴对称变换，相当于一次平移；平移的距离是两对称轴距离的2倍．
经过两次对称轴相交的轴对称轴变换，相当于一次旋转，旋转的角度是两对称轴夹角的2倍．
5年真题
命题点1
轴对称图形与中心对称图形
1．（3分）（2019?广东）下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　C　）
A．
B．
C．
D．
2．（3分）（2018?广东）下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　D　）
A．圆
B．菱形
C．平行四边形
D．等腰三角形
3．（3分）（2017?广东）下列所述图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　D　）
A．等边三角形
B．平行四边形
C．正五边形
D．圆
4．（3分）（2016?广东）下列所述图形中，是中心对称图形的是（　B　）
A．直角三角形
B．平行四边形
C．正五边形
D．正三角形
命题点2
轴对称的性质
5．（4分）（2017?广东）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，先按图（2）操作：将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在边AB上的点E处，折痕为AF；再按图（3）操作，沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上的点H处，折痕为FG，则A、H两点间的距离为　　．
【解析】如图3中，连接AH．
由题意可知在Rt△AEH中，AE＝AD＝3，EH＝EF﹣HF＝3﹣2＝1，
∴AH，故答案为．
6．（4分）（2016?广东）如图，矩形ABCD中，对角线AC＝2，E为BC边上一点，BC＝3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的B′处，则AB＝　　．
【解析】由折叠得：BE＝B′E，∠AB′E＝∠B＝90°，
∴∠EB′C＝90°，∵BC＝3BE，∴EC＝2BE＝2B′E，∴∠ACB＝30°，
在Rt△ABC中，AC＝2AB，∴ABAC2，故答案为：．
命题点3
几何变换与探究
7．（9分）（2018?广东）已知Rt△OAB，∠OAB＝90°，∠ABO＝30°，斜边OB＝4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°，如图1，连接BC．
（1）填空：∠OBC＝　60　°；
（2）如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；
（3）如图2，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，△OMN的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？
解：（1）由旋转性质可知：OB＝OC，∠BOC＝60°，∴△OBC是等边三角形，
∴∠OBC＝60°．故答案为：60．
（2）如图1中，
∵OB＝4，∠ABO＝30°，∴OAOB＝2，ABOA＝2，
∴S△AOC?OA?AB2×22，∵△BOC是等边三角形，
∴∠OBC＝60°，∠ABC＝∠ABO+∠OBC＝90°，
∴AC2，∴OP．
（3）①当0＜x时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E．则NE＝ON?sin60°x，∴S△OMN?OM?NE1.5xx，
∴yx2．∴x时，y有最大值，最大值．
②当x≤4时，M在BC上运动，N在OB上运动．
作MH⊥OB于H．则BM＝8﹣1.5x，MH＝BM?sin60°（8﹣1.5x），
∴yON×MHx2+2x．当x时，y取最大值，y，
③当4＜x≤4.8时，M、N都在BC上运动，作OG⊥BC于G．
MN＝12﹣2.5x，OG＝AB＝2，∴y?MN?OG＝12x，
当x＝4时，y有最大值，∵x＞4，
∴y最大值＜2，综上所述，y有最大值，最大值为．
8．（9分）（2017?广东）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．
（1）填空：点B的坐标为　（2，2）　；
（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证：；②设AD＝x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．
解：（1）∵四边形AOCB是矩形，∴BC＝OA＝2，OC＝AB＝2，∠BCO＝∠BAO＝90°，
∴B（2，2）．故答案为（2，2）．
（2）存在．理由如下：∵OA＝2，OC＝2，∵tan∠ACO，
∴∠ACO＝30°，∠ACB＝60°；
①如图1中，当E在线段CO上时，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED＝EC，
∴∠DCE＝∠EDC＝30°，∴∠DBC＝∠BCD＝60°，∴△DBC是等边三角形，
∴DC＝BC＝2，在Rt△AOC中，∵∠ACO＝30°，OA＝2，∴AC＝2AO＝4，
∴AD＝AC﹣CD＝4﹣2＝2．∴当AD＝2时，△DEC是等腰三角形．
②如图2中，当E在OC的延长线上时，△DCE是等腰三角形，只有CD＝CE，∠DBC＝∠DEC＝∠CDE＝15°，∴∠ABD＝∠ADB＝75°，∴AB＝AD＝2，
综上所述，满足条件的AD的值为2或2．
（3）①如图1，过点D作MN⊥AB交AB于M，交OC于N，∵A（0，2）和C（2，0），∴直线AC的解析式为yx+2，设D（a，a+2），∴DNa+2，BM＝2a
∵∠BDE＝90°，∴∠BDM+∠NDE＝90°，∠BDM+∠DBM＝90°，
∴∠DBM＝∠EDN，∵∠BMD＝∠DNE＝90°，∴△BMD∽△DNE，
∴．
②如图2中，作DH⊥AB于H．在Rt△ADH中，∵AD＝x，∠DAH＝∠ACO＝30°，
∴DHADx，AHx，∴BH＝2x，
在Rt△BDH中，BD，
∴DEBD?，
∴矩形BDEF的面积为y[]2（x2﹣6x+12），
即yx2﹣2x+4，∴y（x﹣3）2，∵0，∴x＝3时，y有最小值．
9．（9分）（2016?广东）如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC＝2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？
（2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；
（3）在平移变换过程中，设y＝S△OPB，BP＝x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．
（1）四边形APQD为平行四边形；（2）OA＝OP，OA⊥OP，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝PQ，∠ABO＝∠OBQ＝45°，
∵OQ⊥BD，∴∠PQO＝45°，∴∠ABO＝∠OBQ＝∠PQO＝45°，∴OB＝OQ，
在△AOB和△OPQ中，
，∴△AOB≌△POQ（SAS），
∴OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，∴∠AOP＝∠BOQ＝90°，∴OA⊥OP；
（3）如图，过O作OE⊥BC于E．①如图1，当P点在B点右侧时，
则BQ＝x+2，OE，∴y?x，即y（x+1）2，
又∵0≤x≤2，∴当x＝2时，y有最大值为2；
②如图2，当P点在B点左侧时，则BQ＝2﹣x，OE，
∴y?x，即y（x﹣1）2，又∵0≤x≤2，
∴当x＝1时，y有最大值为；综上所述，∴当x＝2时，y有最大值为2．
3年模拟
1．（2020?梅州模拟）如图所示图形是轴对称图形，其对称轴共有（　C　）
A．1条
B．2条
C．4条
D．无数条
2．（2020?大鹏新区一模）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　A　）
A．B．
C．D．
3．（2020?揭阳二模）下列艺术字中，可以看作是轴对称图形的是（　C　）
A．
B．C．D．
4．（2020?揭西县模拟）下列图形中：①等腰梯形；②等边三角形；③平形四边形；④圆，一定是轴对称图形而且对称轴不止一条的有（　B　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5．（2020?顺德区四模）若点A（﹣3，2）与点B关于x轴对称，则点B的坐标是（　B　）
A．（﹣3，2）
B．（﹣3，﹣2）
C．（3，2）
D．（3，﹣2）
6．（2020?荔湾区一模）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，现将△ABC沿BD进行翻折，使点A刚好落在BC上，则CD长是（　C　）
A．2
B．2.4
C．2.5
D．3
7．（2020?番禺区模拟）如图，E，F分别是?ABCD的边AD，BC上的点，∠DEF＝60°，EF＝2，将四边形EFCD沿EF翻折，得到四边形EFC′D′，ED′交BC于点G，则△GEF的周长为（　A　）
A．6
B．12
C．6
D．2（1）
8．（2020?龙岗区模拟）如图，将正方形ABCD折叠，使点A与CD边上的点H重合（H不与C，D重合），折痕交AD于点E，交BC于点F，边AB折叠后与边BC交于点G．设正方形ABCD周长为m，△CHG周长为n，则为（　B　）
A．
B．2
C．
D．
B【解析】连接AH、AG，作AM⊥HG于M．
∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB．
∵EA＝EH，∴∠1＝∠2，
∵∠EAB＝∠EHG＝90°，∴∠HAB＝∠AHG，
∵DH∥AB，∴∠DHA＝∠HAB＝∠AHM，
在△AHD和△AHM中，
∴△AHD≌△AHM（AAS），∴DH＝HM，AD＝AM，
∴AM＝AB．在Rt△AGM和Rt△AGB中，，∴Rt△AGM≌Rt△AGB（HL），
∴GM＝GB，∴△GCH的周长＝n＝CH+HM+MG+CG＝CH+DH+CG+GB＝2BC，
∵四边形ABCD的周长＝m＝4BC，
∴2；故选：B．
9．（2019?白云区二模）如图，将矩形ABCD折叠，使点C与点E重合，折痕为线段DF，已知矩形ABCD的面积为6，四边形CDEF的面积为4，则AC＝（　C　）
A．
B．
C．
D．
C【解析】由折叠可得，∠DEF＝∠DCF＝∠CDE＝90°，∴四边形CDEF是矩形，
由折叠可得，CD＝DE，
∴四边形CDEF是正方形，∴CD2，
又∵矩形ABCD的面积为6，∴AD＝3，
∴Rt△ACD中，AC，
故选：C．
10．（2020?福田区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最小值是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
A【解析】如图连接PC，
在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝4，
∵将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，∴A′B′＝AB＝4，
∵P是A′B′的中点，∴PCA′B′＝2，
∵M是BC的中点，∴CM＝BM＝1，
又∵PM≥PC﹣CM，即PM≥1，∴PM的最小值为1（此时P、C、M共线）．故选：A．
11．（2020?资兴市二模）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C1处，折痕为EF，若AB＝4，BC＝8，则线段EF的长度为　　．
2【解析】如图所示，过E作EG⊥BC于G，则AE＝BG，
设AE＝x，则DE＝BE＝8﹣x，
∵Rt△ABE中，AE2+AB2＝BE2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，
∴AE＝BG＝3，BE＝5，
∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE，
由折叠可得，∠BEF＝∠DEF，
∴∠BEF＝∠BFE，∴BF＝BE＝5，
∴GF＝BF﹣BG＝5﹣3＝2，
∴Rt△EFG中，EF2，故答案为：2．
12．（2020?平遥县一模）如图，将一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为C′，再将所折得的图形沿EF折叠，使得点D和点A重合．若AB＝3，BC＝4，则折痕EF的长为　　．
【解析】设BC′与AD交于N，EF与AD交于M，根据折叠的性质可得：∠NBD＝∠CBD，AM＝DMAD，∠FMD＝∠EMD＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝4，∠BAD＝90°，
∴∠ADB＝∠CBD，∴∠NBD＝∠ADB，
∴BN＝DN，设AN＝x，则BN＝DN＝4﹣x，
∵在Rt△ABN中，AB2+AN2＝BN2，
∴32+x2＝（4﹣x）2，∴x，即AN，
∵C′D＝CD＝AB＝3，∠BAD＝∠C′＝90°，∠ANB＝∠C′ND，
∴△ANB≌△C′ND（AAS），∴∠FDM＝∠ABN，
∴tan∠FDM＝tan∠ABN，∴，
∴，∴MF，
由折叠的性质可得：EF⊥AD，∴EF∥AB，
∵AM＝DM，∴MEAB，
∴EF＝ME+MF．故答案为：．
13．（2020?番禺区模拟）在Rt△ABC中，AC⊥AB，D为内平面内一动点，CD＝a，CB＝b，其中a，b为常数，且a＜b．将△ADC沿射线AB方向平移，得到△BEF，点A、C、D的对应点分别为点B、E、F，连接AF．
（1）如图，若D在△ABC内部，请在图中画出△BEF；
（2）在（1）的条件下，若CD⊥AF，求AF的长（用含a，b的式子表示）；
（3）若∠ABC＝α．试探究当线段AF的长度取最小值时∠ACD的大小（用含α的式子表示）．
解：（1）如图1所示：
（2）如图2中，连接CE，DF，AE．
∵将△ACD沿射线AB方向平移，得到△BEF，
∴CD∥EF，CD＝EF；AC∥BE，AC＝BE，
∴四边形ACEB是平行把四边形，
∵∠CAB＝90°，
∴四边形ABEC为矩形．∴BC＝AE，
∵CD⊥AF，∴EF⊥AF．
∵CD＝a，BC＝b，∴EF＝a，AE＝b．
∴AF．
（3）如图，当线段AF的长度最小时，F点在AE上，
∵四边形ABEC是矩形，∠ABC＝α，
∴AE＝BC，且互相平分，∴OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE，
∵∠ABE＝90°，
∴∠CBE＝90°﹣α，
∴∠ACD＝∠BEF＝∠CBE＝90°﹣α．第8讲　不等式与不等式组
知识梳理
1.
不等式的有关概念及性质
不等式的有关概念
不等式
用不等号来表示不等式关系的式子；常用的不等号包括有：“＞”“＜”“≥”“≤”“≠”.
不等式的解
使不等式成立的未知数的值叫做这个不等式的解集.
不等式的解集
一个不等式的所有解组成这个不等式的解集．
解不等式
求不等式解集的过程，叫做解不等式．
2不等式的基本性质
文字描述
式子表达
性质1
不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；
若，则
＞
性质2
不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
若，则＞，＞．
性质3
不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；
若，则＜，＜．
3.
一元一次不等式（组）的概念及解法
一元一次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
解一元一次不等式的一般步骤
（1）去分母；（2）去括号；（3）移项，（4）合并同类项，（5）系数化为1．
解一元一次不等式（组）的一般步骤
先求出各不等式的解集，各不等式解集的公共部分就是不等式组的解集；可以借助于数轴来求解．
4.不等组解集的确定方法
不等式组
在数轴上表示解集
解集
口诀
同大取大
同小取小
大小小大中间找
无解
大大小小无处找
5.列一元一次不等式解应用题列不等式解应用题的基本步骤：
(1)审:认真审题,分清已知量、未知量及其关系,找出题目中的不等关系,抓住题设中的关键字眼,如“大于”“小于”“不小于”“不大于”“不少于”“不低于”“不多于”“至多”“超过”“至少”“不足”等;
(2)设:设出适当的未知数;
(3)列:根据题目中的不等关系,列出不等式;
(4)解:解出所列不等式的解集;
(5)答:写出答案,并检验答案是否符合题意.
5年真题
命题点1一元一次不等式（组）的解法
1．（3分）（2018?广东）不等式3x﹣1≥x+3的解集是（　D　）
A．x≤4
B．x≥4
C．x≤2
D．x≥2
2．（4分）（2016?广东）不等式组的解集是　﹣3＜x≤1　．
3年模拟
1．（2020?顺德区模拟）下列选项错误的是（　C　）
A．若a＞b，b＞c，则a＞c
B．若a＞b，则a﹣3＞b﹣3
C．若a＞b，则﹣2a＞﹣2b
D．若a＞b，则﹣2a+3＜﹣2b+3
2．（2020?佛山模拟）不等式﹣3x+6≤4﹣x的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．（2020?惠州一模）不等式4﹣x≤2（3﹣x）的正整数解有（　B　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．无数个
4．（2020?白云区二模）小丽同学准备用自己节省的零花钱购买一台学生平板电脑，她已存有750元，并计划从本月起每月节省30元，直到她至少存有1080元，设x个月后小丽至少有1080元，则可列计算月数的不等式为（　D　）
A．30x+750＞1080
B．30x﹣750≥1080
C．30x﹣750≤1080
D．30x+750≥1080
5．（2020?新会区一模）求不等式组的整数解．
解：，由①得：x＞﹣2，由②得：x，
则不等式组的解集是﹣2＜x，它的整数解是﹣1，0，1，2，3．
6．（2020?光明区一模）复课返校后，为了拉大学生锻炼的间距，学校决定增购适合独立训练的两种体育器材：跳绳和毽子．如果购进5根跳绳和6个毽子共需196元；购进2根跳绳和5个键子共需120元．
（1）求跳绳和毽子的售价分别是多少元？
（2）学校计划购买跳绳和毽子两种器材共400个，由于受疫情影响，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七五折出售，学校要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于310根，请你求出学校花钱最少的购买方案．
解：（1）设跳绳的售价为x元，毽子的售价为y元，
依题意，得：，解得：．
答：跳绳的售价为20元，毽子的售价为16元．
（2）设学校购进m根跳绳，则购进（400﹣m）个毽子，
依题意，得：，
解得：300≤m≤310．
设学校购进跳绳和毽子一共花了w元，
则w＝20×0.8m+16×0.75（400﹣m）＝4m+4800，
∵4＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝300时，w取最小值，此时400﹣m＝100．
∴学校花钱最少的购买方案为：购进跳绳300根，毽子100个．
7．（2020?惠来县模拟）用1块A型钢板可制成2块C型钢扳，1块D型钢板，用1块B型钢扳可制成1块C型钢板，2块D型钢板
（1）现需要15块C型钢板，18块D型钢板，可恰好用A型钢板，B型钢板各多少块？
（2）若购买A型钢板和B型钢板共20块要求制成C型钢板不少于25块，D型钢板不少于30块，求A、B型钢板的购买方案共有多少种？
解：（1）设用A型钢板x块，用B型钢板y块，
则，解得：，
答：用A型钢板4块、B型钢板7块；
（2）设购买A型钢板a块，则购买B型钢板（20﹣a）块，
由题意，得．
解得5≤a≤10．
所以a的取值为：5或6或7或8或9或10．
所以共有6种购买方案．
8．（2019?中山市模拟）某商场，购进甲、乙两种文具，甲文具每件的进货价高于乙每件进货价10元，90元买乙文具的数量与150元买甲文具的数量相同．
（1）求甲、乙两种文具的进货单价；
（2）要购进甲、乙两种文具共有100件，将进价提高20%进行销售，要使进货价少于2080元，销售额大于2460元，求有几种购进方案？
解：（1）设乙文具的进货单价为x元/件，则甲文具的进货单价为（x+10）元，
依题意，得：，解得：x＝15，
经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意，∴x+10＝25．
答：甲文具的进货单价为25元/件，乙文具的进货单价为15元/件．
（2）设购进甲文具m件，则购进乙文具（100﹣m）件，依题意得：
，解得：55＜m＜58．
∵m为整数，∴m＝56，57，100﹣m＝44，43．
∴有两种方案：购进甲文具56件，乙文具44件；购进甲文具57件，乙文具43件．第4讲　分　式
知识梳理
1.分式的基本概念
(1)
分式：形如____(A，B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式.
(2)
与分式有关的结论：
(1)分式无意义的条件是__B＝0__．
(2)分式有意义的条件是__B≠0__．
(3)分式值为0的条件是__A＝0且B≠0_.
2.分式的基本性质
(1)分式的基本性质:
分式的分子与分母都乘(或除以)__同一个不等于零的整式__，分式的值不变.＝，＝(其中M是不等于零的整式).
3.
约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分．
4.
通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为同分母分式，这一过程叫做分式的通分．通分的关键是确定几个分式的
最简公分母
．
5.分式的运算
(1)加减运算:
①同分母分式相加减法则:=?　;?
②异分母分式相加减法则:.
(2)乘除运算:①乘法法则:=?
　；②除法法则:=?　=?　；?
③乘方运算:=?　.?
(3)分式的混合运算顺序:先算乘方,再算乘除,最后算加减;若有括号,先算括号里面的.
6.最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式．
5年真题
命题点1
分式的化简及求值
1．（6分）（2019?广东）先化简，再求值：（），其中x．
解：原式
;
当x时，原式.
2．（6分）（2018?广东）先化简，再求值：?，其中a．
解：原式?＝2a，
当a时，原式＝2．
3．（6分）（2017?广东）先化简，再求值：（）?（x2﹣4），其中x．
解：原式＝[]?（x+2）（x﹣2）
?（x+2）（x﹣2）
＝2x，
当x时，原式＝2．
4．（6分）（2016?广东）先化简，再求值：?，其中a1．
解：原式?，
当a1时，原式1．
3年模拟
1．（2020?东莞市一模）若式子有意义，则x的取值范围是（　C　）
A．x
B．x≥﹣2
C．x≠﹣2
D．x
2．（2018?白云区二模）下列选项中最简分式是（　A　）
A．
B．
C．
D．
3．（2020?英德市一模）若x、y为实数，且满足（x+3）20，则（）2020的值为（　A　）
A．1
B．﹣1
C．1或﹣1
D．无法确定
4．（2019?新会区一模）化简代数式的结果是（　A　）
A．x+1
B．x﹣1
C．
D．
5．（2020?宿迁一模）若分式的值为零，则x的值为　﹣1　．
6．（2020?金平区模拟）先化简，再求值，其中m＝2，n．
解：∵原式?．
∴当m＝2，时，原式1．
7．（2020?海珠区一模）先化简，再求值：，其中a满足方程x2+5x+6＝0．
解：?
，
解方程x2+5x+6＝0得：x＝﹣2或﹣3，
∵分式中a不能为±2，0，∴a＝﹣3，
当a＝﹣3时，原式．
8．（2020?白云区一模）已知A（4a2≠b2）．
（1）化简A；（2）若a的2倍比b小5，求A的值．
解：（1）A
，
（2）由题意可知2a﹣b＝﹣5，代入（1）得：A．
9．（2020?番禺区一模）已知A＝（）．
（1）化简A；
（2）若x2﹣3x﹣4＝0，求A的值．
解：（1）原式＝[]?
＝（）?
?
；
（2）由x2﹣3x﹣4＝0，得到（x﹣4）（x+1）＝0，
解得：x＝4或x＝﹣1，当x＝﹣1时，原式没有意义；
当x＝4时，原式．
10．（2020?大鹏新区一模）先化简：，然后在内找一个你喜欢的整数代入求值．
解：原式＝（）
?
＝x（x﹣2），
∵x≠±2且x≠0，
∴取x＝1，
则原式＝1×（1﹣2）＝1×（﹣1）＝﹣1．
11．（2020?东莞市一模）先化简，再求值：，从﹣2，﹣1，2中选取一个合适的数作为a的值代入求值．
解：原式?
?
，
当a＝﹣2，2时，分式无意义，
当a＝﹣1时，原式．
12．（2020?龙华区二模）先化简，再求值：（1），其中x＝tan260°．
解：原式
?
，
∵x＝tan260°＝3，
∴当x＝3时，原式．第13讲　二次函数的综合运用
5年真题
命题点1：与二次函数相关的综合题
1．（9分）（2019?广东）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yx2与x轴交于点A、B（点A在点B右侧），点D为抛物线的顶点，点C在y轴的正半轴上，CD交x轴于点F，△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，点A恰好旋转到点F，连接BE．
（1）求点A、B、D的坐标；（2）求证：四边形BFCE是平行四边形；
（3）如图2，过顶点D作DD1⊥x轴于点D1，点P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥x轴，点M为垂足，使得△PAM与△DD1A相似（不含全等）．
①求出一个满足以上条件的点P的横坐标；②直接回答这样的点P共有几个？
解：（1）令x20，解得x1＝1，x2＝﹣7．∴A（1，0），B（﹣7，0）．
由yx2（x+3）2﹣2得，D（﹣3，﹣2）；
（2）证明：∵DD1⊥x轴于点D1，∴∠COF＝∠DD1F＝90°，
∵∠D1FD＝∠CFO，∴△DD1F∽△COF，∴，
∵D（﹣3，﹣2），∴D1D＝2，OD1＝3，
∵AC＝CF，CO⊥AF，∴OF＝OA＝1，∴D1F＝D1O﹣OF＝3﹣1＝2，
∴，∴OC，∴CA＝CF＝FA＝2，∴△ACF是等边三角形，∴∠AFC＝∠ACF，
∵△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，∴∠ECF＝∠AFC＝60°，∴EC∥BF，
∵EC＝DC6，∵BF＝6，∴EC＝BF，∴四边形BFCE是平行四边形；
（3）∵点P是抛物线上一动点，∴设P点（x，x2），
①当点P在B点的左侧时，∵△PAM与△DD1A相似，∴或，
∴或，
解得：x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣11或x1＝1（不合题意舍去）x2；
当点P在A点的右侧时，∵△PAM与△DD1A相似，∴或，
∴或，
解得：x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣3（不合题意舍去）或x1＝1（不合题意舍去），x2（不合题意舍去）；当点P在AB之间时，∵△PAM与△DD1A相似，
∴或，∴或，
解得：x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣3（不合题意舍去）或x1＝1（不合题意舍去），x2；
综上所述，点P的横坐标为﹣11或或；②由①得，这样的点P共有3个．
2．（9分）（2018?东莞市）如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y＝ax2+b（a≠0）与x轴交于A，B两点，直线y＝x+m过顶点C和点B．
（1）求m的值；（2）求函数y＝ax2+b（a≠0）的解析式；
（3）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB＝15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）将（0，﹣3）代入y＝x+m，可得：m＝﹣3；
（2）将y＝0代入y＝x﹣3得：x＝3，所以点B的坐标为（3，0），
将（0，﹣3）、（3，0）代入y＝ax2+b中，可得：，解得：，
所以二次函数的解析式为：yx2﹣3；
（3）存在，分以下两种情况：
①若M在B上方，设MC交x轴于点D，则∠ODC＝45°+15°＝60°，
∴OD＝OC?tan30°，
设DC为y＝kx﹣3，代入（，0），可得：k，
联立两个方程可得：，解得：，∴M1（3，6）；
②若M在B下方，设MC交x轴于点E，则∠OEC＝45°﹣15°＝30°，
∴∠OCE＝60°，∴OE＝OC?tan60°＝3，
设EC为y＝kx﹣3，代入（3，0）可得：k，联立两个方程可得：，
得：，∴M2（，﹣2），综上M的坐标为（3，6）或（，﹣2）．
3．（9分）（2017?广东）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+ax+b交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C．
（1）求抛物线y＝﹣x2+ax+b的解析式；（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，求sin∠OCB的值．
解：（1）将点A、B代入抛物线y＝﹣x2+ax+b可得，，
解得，a＝4，b＝﹣3，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）∵点C在y轴上，∴C点横坐标x＝0，
∵点P是线段BC的中点，∴点P横坐标xP，
∵点P在抛物线y＝﹣x2+4x﹣3上，∴yP3，
∴点P的坐标为（，）；
（3）∵点P的坐标为（，），点P是线段BC的中点，
∴点C的纵坐标为20，∴点C的坐标为（0，），
∴BC，∴sin∠OCB．
3年模拟
1．（2020?龙湖区一模）如图，抛物线yx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，四边形OBHC为矩形，CH的延长线交抛物线于点D（5，﹣2），连接BC、AD．
（1）将矩形OBHC绕点B按逆时针旋转90°后，再沿x轴对折到矩形GBFE（点C与点E对应，点O与点G对应），求点E的坐标；
（2）设过点E的直线交AB于点P，交CD于点Q．
①当四边形PQCB为平行四边形时，求点P的坐标；
②是否存在点P，使直线PQ分梯形ADCB的面积为1：3两部分？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）令y＝0，得，
解得x1＝1，x2＝4，∴A（4，0），B（1，0），∴OA＝4，OB＝1，
∵四边形OBHC为矩形，CH的延长线交抛物线于点D（5，﹣2），
∴点C（0，﹣2），CH＝OB＝1，BH＝OC＝2，∠BHC＝90°，
∵将矩形OBHC绕点B按逆时针旋转90°，
∴EF＝1，BF＝2，∠EFB＝90°，∴E（3，1）；
（2）①如图，∵点C（0，﹣2），点B（1，0），
∴直线BC解析式为：y＝2x﹣2，
∵四边形PQCB为平行四边形，∴BC∥PQ，
∴设直线PQ解析式为：y＝2x+b，
∵直线PQ过点E，∴1＝6+b，
∴b＝﹣5，∴直线PQ解析式为：y＝2x﹣5，
当y＝0时，x，∴点P（，0）；
②存在，∵点A（4，0），点B（1，0），点C（0，﹣2），点D（5，﹣2），
∴AB＝3，CD＝5，∴四边形ABCD的面积2×（3+5）＝8，
设直线PQ解析式为：y＝mx+n，且过点E（3，1），
∴1＝3m+n，∴n＝1﹣3m，∴直线PQ解析式为：y＝mx+1﹣3m，
当y＝0时，x，当y＝﹣2时，x，
∴点P（，0），点Q（，0），
当四边形BPQC的面积：四边形PQDA的面积＝1：3，
∴四边形BPQC的面积8＝2，
∴2×（1）＝2，
∴m，∴点P（，0）；
当四边形BPQC的面积：四边形PQDA的面积＝3：1，
∴四边形BPQC的面积8＝6，
∴2×（1）＝6，∴m＝﹣4，
∴点P（，0）；综上所述，所求点P的坐标为（，0）或（，0）．
2．（2020?莒县一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与抛物线ybx+c（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C．（1）求该抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），
①如图2，若点P在直线AB上方，连接OP交AB于点D，求的最大值；
②如图3，若点P在x轴的上方，连接PC，以PC为边作正方形CPEF，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F恰好落在y轴上，求出对应的点P的坐标．
解：（1）直线y＝x+4与坐标轴交于A、B两点，
当x＝0时，y＝4，x＝﹣4时，y＝0，
∴A（﹣4，0），B（0，4），
把A，B两点的坐标代入抛物线解析式得，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）①如图1，作PF∥BO交AB于点F，
∴△PFD∽△OBD，则，∵OB＝4为定值，∴当PF取最大值时，有最大值，
设P（x，），其中﹣4＜x＜0，则F（x，x+4），
∴PF，∵0且对称轴是直线x＝﹣2，∴当x＝﹣2时，PF有最大值，此时PF＝2，∴；②∵点C（2，0），∴CO＝2，如图2，点F在y轴上时，过点P作PH⊥x轴于H，
在正方形CPEF中，CP＝CF，∠PCF＝90°，
∵∠PCH+∠OCF＝90°，∠PCH+∠HPC＝90°，∴∠HPC＝∠OCF，
在△CPH和△FCO中，∠HPC＝∠OCF，∠PHC＝∠COF，PC＝FC，
∴△CPH≌△FCO（AAS），∴PH＝CO＝2，∴点P的纵坐标为2，
∴，解得，，
∴，．
3．（2020?斗门区二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A
（0，3），B
（4，3）两点，与x轴交于点E，F，以AB为边作矩形ABCD，其中CD边经过抛物线的项点M，点P是抛物线上一动点（点P不与点A，B重合），过点P作y轴的平行线1与直线AB交于点G，与直线BD交于点H，连接AF交直线BD于点N．
（1）求该抛物线的解析式以及顶点M的坐标；
（2）当线段PH＝2GH时，求点P的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点P，使得以点P，E，N，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，3），B（4，3）两点，
∴，得，
即该抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3，
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴顶点M的坐标为（2，﹣1）；
（2）∵四边形ABCD是矩形，且CD边经过抛物线的顶点M（2，﹣1），∴D（0，﹣1），
设直线BD的解析式为y＝kx+b，
∵直线BD经过点B（4，3），D（0，﹣1），
∴，解得，，
∴直线BD的解析式为y＝x﹣1，
∵点P为是抛物线上一动点，
∴设P（a，a2﹣4a+3），则G（a，3），H（a，a﹣1），
∴PH＝|a2﹣4a+3﹣（a﹣1）|＝|a2﹣5a+4|，GH＝|3﹣（a﹣1）|＝|4﹣a|，
∵PH＝2GH，
∴|a2﹣5a+4|＝2|4﹣a|，
解得，a1＝﹣1，a2＝3，a3＝4，
∴P1（﹣1，8），P2（3，0），P3（4，3），
∵点P不与点A，B重合
∴P3（4，3）不符合要求，
∴当线段PH＝2GH时，点P的坐标为P（﹣1，8）或P（3，0）；
（3）当y＝0时，0＝x2﹣4x+3，得x1＝3，x2＝1，
则点E的坐标为（1，0），点F的坐标为（3，0），
∵A（0，3），F（3，0），
∴直线AF的解析式为y＝﹣x+3，
联立，得，
∴N（2，1），
如图1所示，当点P在直线EF下方时，
∵M（2，﹣1），N（2，1），E（1，0），F（3，0），
∴MN与EF互相垂直平分，
∴当点P在点M的位置时，四边形PENF是平行四边形，
此时P（2，﹣1）；
如图2所示，当点P在点E的左侧时，
若四边形PEFN是平行四边形，则P（0，1），
∵抛物线经过点A（0，3），
∴P（0，1）不符合实际，舍去；
如图3所示，当点P在点F的右侧时，
若四边形PFEN是平行四边形，则P（4，1），
∵抛物线经过点B（4，3），
∴P（4，1）不符合实际，舍去；
综上所述，存在点P（2，﹣1）时，使得以点P，E，N，F为顶点的四边形是平行四边形．
4．（2020?英德市一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点A（4，0）、B（1，0）两点，点C为抛物线与y轴的交点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）P是x轴上方抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，问：是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线上找一点D，过点D作x轴的垂线，交AC于点E，是否存在这样的点D，使DE最长，若存在，求出点D的坐标，以及此时DE的长，若不存在，请说明理由．
解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣1）（x﹣4）＝a（x2﹣5x+4）＝ax2+bx﹣2，故4a＝﹣2，解得：a，
故抛物线的表达式为：yx2x﹣2；
（2）存在，理由：
设点P（x，x2x﹣2），则点M（x，0），
则PMx2x﹣2，AM＝4﹣x，
∵tan∠OAC，
∵以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似，
故tan∠PAM或2，故2或，
解得：x＝2或4（舍去）或5（舍去），
故x＝2，
经检验x＝2是方程的解，
故P（2，1）；
（3）设直线AC的表达式为：y＝kx+t，则，解得，
故直线AC的表达式为：yx﹣2，
设点D（x，x2x﹣2），则点E（x，x﹣2），
DE＝（x2x﹣2）﹣（x﹣2）x2+2x，
∵0，故DE有最大值，当x＝2时，DE的最大值为2，
此时点D（2，1）；
故点D的坐标（2，1），此时DE的长为2．
5．（2020?花都区一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点M为抛物线y＝﹣x2+bx+c上异于点C的一个点，且S△OMCS△ABC，求点M的坐标；
（3）若点P为x轴上方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AP、BP分别交抛物线的对称轴于点E、F．请问DE+DF是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）对于抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，令y＝0，则x＝﹣3或1，
故点B（1，0），∴S△ABCAB×OC4×3＝3，∵S△OMCOC×|xM||xM|＝3，解得：xM＝±2，故点M的坐标为（2，﹣5）或（﹣2，3）；
（3）是定值，理由：设点P的坐标为（m，﹣m2﹣2m+3），
设直线AP的表达式为：y＝kx+t，则，解得，
故直线AP的表达式为：y＝﹣（m﹣1）（x+3），
当x1时，y＝2﹣2m，即点E（﹣1，2﹣2m），即DE＝2﹣2m，
同理可得，直线BP的表达式为：y＝﹣（m+3）（x﹣1），
当x＝﹣1时，y＝2m+6，故点F（﹣1，2m+6），即DF＝2m+6，
∴DE+DF＝2﹣2m+2m+6＝8，为定值．第28讲　视图与投影
知识梳理
1投影
投影
物体在光线的照射下，在某个平面内所形成的影子叫投影．
平行投影
平行光线所形成的投影叫平行投影．（太阳光线看作平行光线）．
中心投影
从同一点发出的光线形成叫中心投影．手电筒、电灯泡发出的光可看作点光源．
2三视图
三视图
主视图
在正面内得到的由前向后观察物体的视图．
俯视图
在水平内得到的由上向下观察物体的视图．
左视图
在侧面内得到的由左向右观察物体的视图．
三视图的画法
（1）主视图与俯视图长对正，主视图与左视图高平齐，左视图与俯视图宽相等；
（2）位置要求：一般地，俯视图画在主视图的下方，左视图画在主视图的右边；
（3）在画图时，看得见部分的轮廓画成实线，看不见的轮廓线画成虚线．
几种常见几何体的三视图
几何体
主视图
左视图
俯视图
3立体图形的展开与折叠
常见几何体
展开图示意图
5年真题
命题点1
三视图
1．（3分）（2019?广东）如图，由4个相同正方体组合而成的几何体，它的左视图是（　A　）
A．
B．
C．
D．
2．（3分）（2018?广东）如图，由5个相同正方体组合而成的几何体，它的主视图是（　B　）
A．
B．
C．
D．
3年模拟
1．（2020?龙华区二模）下列几何体中，主视图和左视图都相同的个数有（　D　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．（2020?天河区一模）下列四个几何体中，从正面看得到的平面图形是三角形的是（　B　）
A．B．
C．D．
3．（2020?深圳模拟）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　D　）
A．
B．
C．
D．
4．（2020?新会区一模）“牟合方盖”是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法，“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图、左视图、俯视图依次是（　D　）
A．（2）、（4）、（1）
B．（3）、（1）、（2）
C．（1）、（4）、（2）
D．（3）、（4）、（1）
5．（2020?恩平市模拟）如图，是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积是（　A　）
A．7πcm2
B．（2）πcm2
C．6πcm2
D．（5）πcm2
6．（2020?高州市模拟）图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，S主＝x2+3x，S左＝x2+x，则S俯＝（　A　）
A．x2+4x+3
B．x2+3x+2
C．x2+2x+1
D．2x2+4x
7．（2020?顺德区四模）下列哪个图形经过折叠可以围成棱柱是（　C　）
A．
B．
C．
D．
8．（2019?深圳模拟）某校年级（1）班在“迎中考日誓师”活动中打算制作一个带有正方体挂坠的倒计时牌挂在班级，正方体的每个面上分别书写“成功舍我其谁”六个字如图是该班同学设计的正方体挂坠的平面展开图，那么“谁”对面的字是（D　　）
A．成
B．功
C．其
D．我
9．（2020?越秀区一模）如图所示是若干个大小相同的小正方体搭成的几何体从三个不同方向看到的图形，则搭成这个几何体的小正方体的个数是　7　．
10．（2020?白云区模拟）如图放置的一个圆锥，它的主视图是边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为　2π　（结果保留π）

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