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《相交线与平行线》题型解读1
两条直线的位置关系题型
【知识梳理】
一.在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交与平行
二.相交线
1.概念：若两直线只有一个公共点，则这两直线是相交线；
注意：是两直线，不存在“两线段或两射线”的说法
2.“二线四角”：两条直线相交，会出现四个角：2组对顶角、4组互补角。如图：
（1）对顶角
①概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角叫做对顶角；
注意：对顶角须具备两个条件：有公共顶点；两边互为反向延第线；
对顶角是成对存在，单独一个角不能说是对顶角；
②性质：对顶角相等
注意：对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角；
（2）互为补角
①概念：如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角，简称互补。
②性质：同角的补角相等；若∠1+∠2＝180°，∠1+∠3＝180°，则∠2＝∠3；
等角的补角相等；若∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°，∠1＝∠3，则∠2＝∠4
③注意区分“互为补角”与“邻补角”两个概念
3.相交线的特殊情况----互相垂直
（1）概念：两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一
条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。通常用“⊥”表示两直线互相垂直。如直线AB与直线CD垂直，记作：AB⊥CD
（2）画法：
一靠：三角尺一直角边与直线重合，另一边落在已知点同侧；
二过：推动三角尺，使另一边过已知点；
三画：沿另一边画直线，即为垂线
（3）性质：①平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
注意:实际问题中涉及路线最短问题时,其理论依据应从“两点之间线段最短”和“垂线段最短”中去选择。
（4）点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离。
（5）互为余角
①概念：如果两个角的和是90?，那么这两个角互为余角，简称互余；
②性质：同角的余角相等；若∠1+∠2＝90?，∠1+∠3＝90?，则∠2＝∠3；
等角的余角相等；若∠1+∠2＝90?，∠3+∠4＝90?，∠1＝∠3，则∠2＝∠4；
③注意：互余、互补是针对两个角而言，单独一个角不能称为余角或补角；
互余、互补是指两个角的数量关系，与它们的位置无关（邻补角除外）
只有锐角才有余角，只有小于平角的角才有补角；一个角的补角比这个角的余角大90?
三.平行线
1.概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线；
2.注意：两线段平行、两射线平行指的是线段或射线所在的直线平行；
【典型例题】
例1.下列说法正确的是（
）
A.同一平面内没有公共点的两条线段平行
B.两条不相交的直线是平行线
C.同一平面内没有公共点的两条直线平行
D.同一平面内没有公共点的两条射线平行
解析：由两直线平行的概念可解答，选C
例2.下列说法中，正确的是（
）
A．过直线外两点一定可画一条直线与已知直线垂直；
B.过直线上一点和直线外一点一定可以画这条直线的垂线；
C.过直线外一点可以画这条直线的一条垂线；
D.同一平面内的两条直线不相交，那么这两条直线有可能互相垂直。
解析：垂线的性质可解答，选C
例3.以下关于距离的四种说法中正确的有（
A
）
A．连接两点的线段长度叫做两点的距离；
B.连接直线外一点和直线上的点的线段叫做点到直线的距离；
C.从直线外一点，所引的这条直线的垂线叫做点到直线的距离；
D.直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离。
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：依点到直线的距离概念可解答，只有选项D正确，故选A，
例4.如图所示，∠1与∠2是对顶角的是（
）
解析：排除法解题，紧盯对顶角的概念
选项A，组成∠1、∠2的各自两边，不是互为反向延长线，错误；
选项B，∠1、∠2没有公共顶点，错误；
选项C，组成∠1、∠2的各自两边，不是互为反向延长线，错误；
选项D，组成∠1、∠2的各自两边，是互为反向延长线，且它们有共同的顶点，正确；故选D.
例5.如图，直线AB与CD相交于点O，∠DOE=80?,∠BOE=35?,则∠BOD=______,∠AOD=______,∠AOC=___________
解析：∠BOD=∠DOE-∠BOE=80°-35°=45°；
∵∠AOD与∠BOD是互为补角，∴
∠AOD=180°-45°=135°；
∵∠AOC与∠BOD是对项角，∴∠AOC=∠BOD=45°；
例6.如图，点A,O,B在同一直线上，∠AOC=∠BOC,∠1=∠2,则图中互余的角共有（
）
A.
5对
B.
4对
C.
3对
D.
2对
解析：∵∠AOC=∠BOC,∴∠AOC=∠BOC=90°，∴互余的角有：∠2与∠4、∠1与∠3；
∵∠1=∠2,∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴互余的角有：∠2与∠3、∠1与∠4；选B
例7.
如果一个角的补角是150?，那么这个角的余角是多少度？
解析：∵一个角的补角是150°，∴这个角为180°-150°=30°，∴这个角的余角是90°-30°=60°
例8.一个角的余角比这个角的补角的大10?,求这个角的余角.
解析：方程思想.设这个角的余角为x角，则这个角为(90°-x),∴这个角的补角为180°-(90°-x)=x+90°
由题意可得：x-1/3（x+90）=10，解得x=60°，∴这个角的余角为60°.
例9.如果∠1与∠2互补，且∠1＞∠2，则下列表示∠2的余角的式子中，①90?-∠2；②∠1-90?；③(∠1+90?);④(∠1-∠2)正确的有(
)
A.
4个
B.
3个
C.
2个
D.
1个
例10.如图,直线AB,CD相交于点O,OE⊥CD,OF⊥AB,∠DOF=65°,求∠BOE和∠AOC的度数.
解析：∵∠BOE+∠BOD=90°,∠DOF+∠BOD=90°,∴∠BOE=∠DOF=65°；
∵∠DOF=65°,∴∠BOD=90°-65°=25°,∵∠BOD与∠AOC是对顶角，∴∠AOC=∠BOD=25°
例11.如图,已知∠AOB与∠BOC互为邻补角,OD是∠AOB的平分线,OE在∠BOC内,∠BOE=∠EOC,∠DOE=72?,求∠EOC的度数
解析：求角度题中出现角度的和差倍分问题，解题技巧是设未知数，运用方程思想.设∠EOE=x，则∠COE=2x，∴∠BOC=3x,∴∠AOB=180°-3x，∵OD是∠AOB的平分线,∴∠AOD=∠BOD=90°-1.5x,∴∠DOE=∠BOD+∠BOE=90°-1.5x+x=72°,解得x=36°,∴∠EOC=72°.《相交线与平行线》题型解读2
两直线平行的判定与性质题型
【知识梳理】
1.“三线八角”
三条直线中，若其中一条直线与另两条直线相交（三条直角交于一点的情况除外），会形成八个角：4对同位角、2对内错角、2对同旁内角.如图所示：
（1）三线各自的名称：与两线都相交的直线EF叫“截线”直线AB、CD叫“另两线”；
（2）同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同位角。
（3）内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内错角。
（4）同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫同旁内角。
2.“三线八角”识别步骤------“一看三线，二看截线，三看位置”
第一步：先明确“三线”、“截线”与“另两线”
①“三线”：即组成两个角的四条边中，有一条边是共同的，所以两个角是由三条线相交组成的；
②“截线”与“另二线”：组成两个角的四条边中，那条共同的边就是“截线”；其余两条边就是“另两线”；
如图，∠B的两条边分别是射线AB与线段BC，∠C的两条边分别是线段BC与射线CD，其中线段BC是共同的边，它就是“截线”；而另两条射线AB、CD就是“另二线”。
第二步：明确位置-----从角的名称的语文理解角度，用两个方位位置确认各类角
①同位角的识别方法：“同位角”，相同位置的两个角，“相同位置”指的是两个位置相同：两线的同上或同下；截线的同左或同右（同一侧）。如图中的
∠1与∠5：均位于“两线”的上方、“截线”右侧（即均位于图形的右上角）；
∠2与∠6：均位于“两线”的上方、“截线”左侧（即均位于图形的左上角）；
∠3与∠7：均位于“两线”的下方、“截线”左侧（即均位于图形的左下角）；
∠4与∠8：均位于“两线”的下方、“截线”右侧（即均位于图形的右下角）；
②内错角的识别方法：“内错角”，在图形内部，且位置相错的两个角，“图形内部”指的是“两线的内部”，“相错”指的是分别位于“截线”的两侧。如图中的
∠3与∠5：均位于“两线”的内部、“截线”两侧（∠3在截线的左侧、∠5在截线的右侧）；
∠4与∠6：均位于“两线”的内部、“截线”两侧（∠4在截线的右侧、∠5在截线的左侧）；
③同旁内角的识别方法：“同旁内角”，在图形的内部，且位置在同一侧的两个角，“图形内部”指的是“两线的内部”，“同一侧”指的是均位于“截线”的同一侧。如图中的
∠3与∠6：均位于“两线”的内部、“截线”左侧；
∠4与∠5：均位于“两线”的内部、“截线”右侧；
2.平行线的六种判定方法
（1）同位角相等，两直线平行。
（2）内错角相等，两直线平行。
（3）同旁内角互补，两直线平行。
（4）在同一平面内，如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行。
（简称为：平行于同一直线的两直线平行）
（5）在同一平面内，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线平行
（简称为：垂直于同一直线的两直线平行）
（6）在同一平面内，不相交的两条直线平行（定义判别）
3.补充
（1）平行线的一组同位角的角平分线平行；
（2）平行线的一组内错角的角平分线平行；
（3）平行线的一组同旁内角的角平分线互相垂直；
4.两直线平行的性质
（1）两直线平行，同位角相等
（2）两直线平行，内错角相等
（3）两直线平行，同旁内角互补
【典型例题】
例1.下列四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（
）
解析：排除法解题，先明确“截线”与“另两线”.
选项A，组成∠2、∠1的各边是四条线，不符合“三线”，排除；
选项B，组成∠2、∠1的各边是三条线，它们均位于图形的右上角，正确；
选项C，组成∠2、∠1的各边是四条线，不符合“三线”，排除；
选项D，组成∠2、∠1的各边是四条线，不符合“三线”，排除；故选B
例2.如图，下列说法错误的是（
）
A.
∠1和∠3是同位角
B.
∠2和∠3是内错角
C.
∠A和∠B是同旁内角
D.
∠2和∠B是同位角
解析：排除法解题，先明确“截线”与“另两线”.
选项A，组成∠1、∠3的各边，线段EF是“截线”，线段BD与MC是“另两线”，它们位于“另两线”的内部，截线的右侧，所以是同旁内角，而不是同位角，错误；
选项B，组成∠2、∠3的各边，线段EF是“截线”，线段DA与MC是“另两线”，它们位于“另两线”的内部，截线的各一侧，所以是内错角，正确；
选项C，组成∠A、∠B的各边，线段AB是“截线”，线段AC与BC是“另两线”，它们位于“另两线”的内部，截线的同一侧，所以是同旁内角，正确。
选项D，组成∠2、∠B的各边，线段AB是“截线”，线段BM与BC是“另两线”，它们位于“另两线”的上方，截线的下方，即位于三线的右下角，所以是同位角，正确。故选A.
例3.如图，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，EF过点O，且EF//BC。
（1）若∠ABC=62?，∠ACB=58?，求∠BOC的度数。
（2）若∠BOC=110?，∠1：∠2=4：3，求∠ABC、∠ACB的度数。
解析：（1）∵OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，∠ABC=62?，∠ACB=58?，
∴∠1=31°，∠2=29°，在△OBC中，∵∠1+∠2+∠BOC=180°,∴∠BOC=180°-31°-29°=120°
（2）求解题型中出现角度的和差倍分关系，可设未知数，运用方程思想解题.
设∠1=4x,则∠2=3x,
在△OBC中，∵∠1+∠2+∠BOC=180°,
∠BOC=110?，∴4x+3x+110°=180°,∴x=10°，∴∠1=40°，∠2=30°，∴∠ABC=2∠1=80°,
∠ACB=2∠2=60°.
例4.如图，已知DE//BC，DF，BE分别平分∠ADE、∠ABC，试证明∠FDE=∠DEB。
解析：∵DE//BC，∴∠ADE=∠ABC(两直线平行，同位角相等)
∵DF，BE分别平分∠ADE、∠ABC，
∴∠ADF=∠FDE,∠ABE=∠EBC（角平分线定义）,
∴∠ADE=∠ABE(等式性质),∴DF//BE（同位角相等，两直线平行）,∴∠FDE=∠DEB（两直线平行，内错角相等）
例5.如图，AP，CP分别平分∠BAC，∠ACD，∠P＝90°，设∠BAP=α。
（1）用α表示∠ACP；（2）求证：AB∥CD；（3）若AP∥CF，求证：FC平分∠DCE.
解析：
(1)∵AP，CP分别平分∠BAC，∠ACD，∠BAP=α，
∴∠ACP=∠DCP,∠CAP=∠BAP=α(角平分线定义).
在△ACP中，∵∠CAP+∠ACP+∠P=180°,
∠P＝90°，
∴∠ACP=180°-90°-α=90°-α(等式性质)
(2)∵∠ACP
=90°-α,∴∠ACD=2∠ACP=180°-2α（角平分线定义）,
∵∠CAP=∠BAP=α,
∴∠ACD+∠BAC=180°-2α+α+α=180°（等式性质）,
∴AB//CD（同旁内角互补，两直线平行）.
(3)∵AP//CF,∴∠PCF=∠P=90°（两直线平行，内错角相等）
,即∠PCD+∠DCF=90°,
∴∠ACP+∠ECF=90°（平角性质）,
∵∠ACP=∠DCP,
∴∠ECF=∠DCF（等角的余角相等）,
∴FC平分∠DCE.《相交线与平行线》题型解读3
平行线中的三大典型模型题型
【方法梳理】
1.题型特点：有平行线，但不是“三线”情况，需要构造出“三线八角”，再运用平行线的性质或判定解题。
2.解题思路：①通用做法------遇到拐点处作已知平行线的平行线；②线段延长与平行线相交，构造“截线”
3.掌握要求：填选题中直接用（记熟模型），解决题中需要掌握证明过程
一.“铅笔模型”：
1.铅笔模型：已知AB//CD，结论：∠B+∠E+∠D=360?
证明方法：
2.推论：所有角度和=180?×（n-1）
二.
猪脚模型：
1.猪脚模型：已知AB//CD，
结论：∠E=∠B+∠D
2.推论：凸出所有角之和=凹进所有角之和：∠1+∠2+∠3=∠α+∠β+∠γ
三.
牛角模型及鸭脚模型：
已知AB//CD
，结论：∠B=∠E+∠D
【典型例题】
例1.已知：如图，AB∥CD，求∠A+∠E+∠C=_______
解：过点E作MN∥AB，∵AB∥CD，MN∥AB，∴AB∥CD∥MN，
∴∠A+∠1=180°，∠C+∠2=180°，∴∠A+∠1+∠C+∠2=360°，即∠A+∠E+∠C=360°
例2.已知：如图所示，AB∥CD，若∠ABE=130°，∠CDE=152°，则∠BED=________度
解：过点E作直线EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∵AB∥EF，∴∠1=180°-∠ABE
=180°-130°=50°；∵EF∥CD，∴∠2=180°-∠CDE=180°-152°=28°；∴∠BED=∠1+∠2=50°+28°=78°
例3.一大门的栏杆如图所示，BA垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，则∠ABC+∠BCD=_______度
解：过B作BF∥AE，则CD∥BF∥AE．∴∠BCD+∠1=180°；又∵AB⊥AE，∴AB⊥BF．∴∠ABF=90°．
∴∠ABC+∠BCD=90°+180°=270°
例4.如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角∠A=120°，第二次拐的角∠B=150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C=___________
解：过点B作BD∥AE，∵AE∥CF，∴AE∥BD∥CF，∴∠A=∠1，∠2+∠C=180°，
∵∠A=120°，∠1+∠2=∠ABC=150°，∴∠2=30°，∴∠C=180°-∠2=180°-30°=150°
例5.珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，如图，若∠ABC=120°，∠BCD=80°，则∠CDE=_____度
解：过点C作CF∥AB，已知珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，
∴AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠BCF+∠ABC=180°，∴∠BCF=60°，∴∠DCF=20°，∴∠CDE=∠DCF=20°
例6.如图，AB∥CD，若∠ABE=120°，∠DCE=35°，则有∠BEC=________度
解：如图，过点E作EF∥AB，由平行线的传递性可得EF∥CD∵EF∥AB，
∵∠FEB=180°-∠ABE=60°，∵EF∥CD，∴∠FEC=∠DCE=35°，∴∠BEC=∠FEB+∠FEC=95°
例7.如图，AB∥CD，∠B=23°，∠D=42°，则∠BED=_________
解：过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠1=∠B=23°，∠2=∠D=42°，
∴∠BED=∠1+∠2=23°+42°=65°
例8.如图，已知直线a∥b，∠1=40°，∠2=60°．则∠3=____________
解：如图，∵a∥b，∠2=60°，∴∠4=∠2=60°，∴∠3=∠1+∠4=40°+60°=100°
例9.如图所示，直线a∥b，△ABC是直角三角形，∠A=90°，∠ABF=25°，则∠ACE等于______
解：延长BA交直线a于M，∵a∥b，∠ABF=25°，∴∠CMB=∠ABF=25°，∵∠ACM+∠CMA=∠BAC，∠BAC=90°，
∴∠ACE=90°-25°=65°，
例10.如图：AB∥CD，∠1=100°，∠2=120°，则∠a的度数为_____
解：过点F作FE∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠1+∠3=180°，∠4+∠2=180°，∵∠1=100°，∠2=120°，∴∠3=80°，∠4=60°，∴∠AFC=∠3+∠4=140°，∴∠α=180°-∠AFC=40°
例11.如图，直线l1∥l2，AB⊥l1，垂足为O，BC与l2相交于点E，若∠1=43°，则∠2=________
解：过点B作BD∥l1，则BD∥l2，∴∠ABD=∠AOF=90°，∠1=∠EBD=43°，∴∠2=∠ABD+∠EBD=133°
例12.如图，直线AB∥DE，BC⊥CD，若∠1=25°，则∠2的度数是__________
解：过C作CM∥AB，∵AB∥DE，∴CM∥AB∥DE，∴∠1=∠BCM，∵∠1=25°，∴∠BCM=25°，∵BC⊥CD，∴∠BCD=90°，∴∠MCD=90°-25°=65°，∵CM∥DE，∴∠2+∠MCD=180°，∴∠2=180°-65°=115°
例13.如图，已知a∥b，ABCDE是夹在直线a，b之间的一条折线，试研究∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的关系是_____________
解：∠2+∠4=∠1+∠3+∠5．理由：作BF∥a，CG∥a，DH∥a，∵a∥b，∴a∥BF∥CG∥DH∥b，
∴∠1=∠ABF，∠FBC=∠BCG，∠GCD=∠CDH，∠HDE=∠5，∴∠2+∠4=∠1+∠3+∠5
例14.如图，若AB∥CD，∠C=64°，则∠A+∠E的度数为_________
解析：由鸭脚模型可得∠A+∠E=∠C=64°
例15.已知，如图：AB∥CD，∠A=38°，∠C=80°，∠M=____________
解析：由鸭脚模型可得∠M=∠C-∠E=42°
例16.如图，已知直线AC∥DE，∠C=35°，∠E=65°，则∠B=_________
解析：由鸭脚模型可得∠B=∠E-∠C=30°
例17.如图，已知AB∥CD，∠E=28°，∠C=52°，则∠EAB的度数是____________
解：如图，延长BA交CE于点F．∵AB∥CD，∴∠1=∠C=52°，∵∠E=28°，∴∠EAB=∠1+∠E=52°+28°=80
例18.如图：已知AB∥DE，若∠ABC=60°，∠CDE=140°，∠BCD=_______________
解：反向延长DE交BC于M，∵AB∥DE，∴∠BMD=∠ABC=60°，∴∠CMD=180°-∠BMD=120°；
又∵∠CDE=∠CMD+∠C，∴∠BCD=∠CDE-∠CMD=140°-120°=20°《相交线与平行线》题型解读8
尺规作图题型
【知识梳理】
1.定义：在几何里，只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图。尺规作图是最基本、最常见的作图方法，通常叫基本作图。
2.掌握要求：
①利用尺规作一个角等于已知角；
(1)作射线
(2)以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D
(3)以点为圆心，以OC长为半径画弧，交于点
(4)以点为圆心，以CD长为半径画弧，交前面的弧于点
(5)过点作射线，∠即是所求作的角
②作角的和、差、倍都是先作一个角等于已知角，再在此角的基础上作其他角，其中“和”或“倍”在角外部作角，“差”则在角的内部作角。
【典型例题】
例1．下列作图属于尺规作图的是（
）
A．画线段MN
=3cm
B．用量角器画出∠AOB的平分线
C．用三角尺作过点A垂直于直线l的直线
D．已知∠，用没有刻度的直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB=2∠
解析：选D
例2．下列尺规作图的语句错误的是（
）
A．作∠AOB，使∠AOB=3∠
B．以点O为圆心作弧
C．以点A为圆心，线段的长为半径作弧
D．作∠ABC，使∠ABC=∠+∠
解析：选B
(
P
c
b
a
)例3．如图所示，过点P画直线a的平行线b的作法的依据是（
）
A．两直线平行，同位角相等
B．同位角相等，两直线平行
C．两直线平行，内错角相等
D．内错角相等，两直线平行
解析：选D
例4．如右图所示，求作一个角等于已知角∠AOB．作法：
（1）作射线_______；
(
A
C
D
O
B
C′
A′
O′
D′
B′
)（2）以______为圆心，以_____为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；
（3）以______为圆心，以_____为半径画弧，交O′B′于点D′；
（4）以点D′为圆心，以______为半径画弧，交前面的弧于点C′；
（5）过______作射线O′A′．∠A′O′B′就是所求作的角．
解析：
（1）作射线___O`B`____；
（2）以__O____为圆心，以__任意长___为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；
（3）以___O`___为圆心，以__OC或OD___为半径画弧，交O′B′于点D′；
（4）以点D′为圆心，以___CD___为半径画弧，交前面的弧于点C′；
（5）过__C`____作射线O′A′．∠A′O′B′就是所求作的角．
(
1
2
)例5．如图所示，已知∠1和∠2，利用尺规作∠AOB=∠1+∠2．（不写作法，但要保留作图痕迹）
解析：如图∠AOB即为所求.
(
O
B
A
)例6．如图所示，利用尺规作∠A′O′B′=3∠AOB．
解析：作法：
①∠DO`A`=∠AOB；
②在∠DO`A`的外部作∠COD=∠AOB；
③在∠CO`A`的外部作∠COB`=∠AOB；
则∠A`OB`即为所求。
(
1
2
)例7．已知∠1和∠2，利用尺规作∠MON=∠2
-∠1．（不写作法，但要保留作图痕迹）
解析：如图∠MON即为所求.
例8．如图，已知：∠AOB及射线OA边上的点M，利用尺规过点M作EF∥OB．（不写作法，但要保留作图痕迹）
解析：如图所示.
例9．已知，直线AB和AB外一点P，作一条经过点P的直线CD，使CD∥AB．
(
P
A
B
)（写作法）
解析：如图所示.《相交线与平行线》题型解读7
压轴题型：几何动态问题
【方法梳理】
1.题型特点：题目出现点动、线动、图动（或不确定）的情形；
2.思路与方法：
①“解题思路的延续性”----复制粘贴+略作修改；
②注意题中出现的数学典型模型；
③注意分类讨论情形；
【典型例题】
例1.（1）如图1，AB∥CD，试说明∠B+∠D=∠BED
（2）如果图1中点E的位置发生变化，如图2、3、4所示，那么∠B、∠D、∠BED三者之间又有什么关系？请说明理由。
解析：（1）已知AB∥CD，说明此题应运用平行线的性质来解题。但要应用平行线的性质，必须符合“三线”情况，即有一条直线与两条平行线都相交，此题图中没有这样一条直线，所以要添辅助线，构造“三线”。
证明：延长线段BE，交直线CD于点M
因为AB∥DC，所以∠B=∠1（内错角相等）
又因为∠BED+∠2=180°（邻补角），∠1+∠2+∠D=180°（三角形内角和）
所以∠BED=∠1+∠D
（补角性质）
所以∠BED=∠B+∠D（等量代换）
（2）当E点运动到直线AB之上时，此时有“三线”图形，无需添加辅助线，直接应用平行线性质即可。
证明：因为AB∥DC，所以∠D=∠1（内错角相等）
又因为∠1+∠2=180°（邻补角），∠B+∠2+∠E=180°（三角形内角和）
所以∠1=∠B+∠E
（补角性质）
所以∠D=∠B+∠E（等量代换）
（3）当E点运动至图3时，由于没有“三线”图形，所以需要添加辅助线构造“三线”情形，才能运用平行线的性质。
证明：延长线段ED，交直线AB于点M
因为AB∥DC，所以∠2=∠1（内错角相等）
又因为∠EDC+∠2=180°（邻补角），∠1+∠B+∠E=180°（三角形内角和）
所以∠EDC+∠2=∠1+∠B+∠E（等量代换）
所以∠EDC=∠B+∠E（等式性质1）
（4）当E点运动至图4时，由于没有“三线”图形，所以需要添加辅助线构造“三线”情形，才能运用平行线的性质。
证明：连接点B和点D
因为AB∥DC，所以∠3+∠4=180°（同旁内角互补）
又因为∠1+∠2+∠E=180°（三角形内角和），
所以∠3+∠4+∠1+∠2+∠E=360°（等式性质1）
即∠B+∠D+∠E=360°
例2.如图，∠B和∠D的两边分别平行．
（1）在图1中，∠B和∠D的数量关系是____________，
在图2中，∠B和∠D的数量关系是_________________；
（2）用一句话归纳的命题为：________________________________；并请选择图1或图2中一种情况说明理由；
（3）应用：若两个角的两边分别互相平行，其中一个角是另一个角的2倍，求这两个角的度数．
【解题过程】（1）在图1中，∵AB∥CD，∴∠B=∠1，∵BE∥DF，∴∠1=∠D，∴∠B=∠D．
在图2中，∵AB∥CD，
∴∠B=∠1，
∵BE∥DF，
∴∠2+∠D=180°，
又∵∠1=∠2，
∴∠1+∠D=180°，
∴∠B+∠D=180°．
（2）用一句话归纳的命题为：如果两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补；
例如在图1中，∵AB∥CD，
∴∠B=∠1，
∵BE∥DF，
∴∠1=∠D，
∴∠B=∠D．
（3）如果两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，
∵其中一个角是另一个角的2倍，
∴较小的角的度数是：180°÷（1+2）=180°÷3=60°，
∴较大的角的度数是：60°×2=120°，
∴这两个角的度数分别是60°、120°．
例3.如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．
（1）说明：∠O=∠BEO+∠DFO．
（2）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC会满足怎样的关系，证明你的结论．
（3）若将折线继续折下去，折三次，折四次…折n次，又会得到怎样的结论？请写出你的结论．
【思路分析】
（1）平行线三大典型模型中的“猪脚模型”或“铅笔模型”；缺少“三线八角”中的“截线”，所以有三种作辅助线的方法：①延长FO交AB或延长EO交CD；②过点O作AB或CD的平行线；③连接EF；再依平行线的性质或三角形内角和性质解题；
（2）平行线三大典型模型中的“猪脚模型”；遇拐点作平行线，过点O和点P作AB或CD的平行线，再依平行线的性质解题；
（3）平行线三大典型模型中的“猪脚模型”的变化情形：凸出的角之和会等于凹进去的角之和.
【解题过程】
（1）证明：过O作OM∥AB，
∵AB∥CD，∴AB∥OM∥CD，
∴∠BEO=∠MOE，∠DFO=∠MOF，
∴∠BEO+∠DFO=∠EOM+∠FOM，
即∠EOF=∠BEO+∠DFO．
（2）∠BEO、∠O、∠P、∠PFC会满足的关系式是：∠BEO+∠P=∠O+∠PFC，
解：过O作OM∥AB，PN∥AB，
∵AB∥CD，∴AB∥OM∥PN∥CD，
∴∠BEO=∠EOM，∠PFC=∠NPF，∠MOP=∠NPO，
∴∠EOP-∠OPF=（∠EOM+∠MOP）-（∠OPN+∠NPF）=∠EOM-∠NPF，∠BEO-∠PFC=∠EOM-∠NPF，
∴∠BEO-∠PFC=∠EOP-∠OPF，
∴∠BEO+∠OPF=∠EOP+∠PFC．
（3）解：令折点是1，2，3，4，…，n，
则：∠BEO+∠2+∠4+…=∠1+∠3+∠5+…+∠PFC
例4.已知直线AB∥CD，
（1）如图1，点E在直线BD上的左侧，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是_______________．
（2）如图2，点E在直线BD的左侧，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，直接写出∠BFD和∠BED的数量关系是________．
（3）如图3，点E在直线BD的右侧BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？请说明理由．
【思路分析】
（1）平行线三大典型模型中的“猪脚模型”；缺少“三线八角”中的“截线”，所以有三种作辅助线的方法：①延长DE交AB或延长BE交CD；②过点E作AB或CD的平行线；③连接BD；再依平行线的性质或三角形内角和性质解题；
（2）两次运用（1）的结论及角平分线的性质解题；
（3）平行线三大典型模型中的“猪脚模型”和“铅笔模型”混合情形；遇拐点作平行线，再利用平行线性质及四边形内角和定理求解。
【解题过程】
（1）如图1，作EF∥AB，，
∵直线AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠ABE=∠1，∠CDE=∠2，
∴∠ABE+∠CDE=∠1+∠2=∠BED，
即∠ABE+∠CDE=∠BED．
（2）如图2，∵BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，
∴2∠ABF=∠ABE，2∠CFD=∠CDE，
∴2∠ABF+2∠CFD=∠ABE+∠CDE,
由（1），可得2∠BFD=2∠ABF+∠CFD=∠ABE+∠CDE,∠BED=∠ABE+∠CDE，
∴2∠BFD=∠BED．
（3）如图3，过点E作EG∥CD，
∵AB∥CD，EG∥CD，
∴AB∥CD∥EG，
∴∠ABE+∠BEG=180°，∠CDE+∠DEG=180°，
∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°，
由（1）知，∠BFD=∠ABF+∠CDF，
又∵BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，
∴2∠ABF=∠ABE，2∠CDF=∠CDE，
∴2∠BFD=（∠ABE+∠CDE），
∴2∠BFD+∠BED=360°．《相交线与平行线》题型解读6
几何证明题的过程及理由补充题型
【方法梳理】
1.步骤过程讲究“前因后果”逻辑性关系；
2.证明理由：①“∵”-----题目的已知条件、已证结论、几何性质定理等；②“∴”-----几何性质定理等
【典型例题】
例1.下面是某同学进行的推理，请你将他的推理过程补充完整。
解：∵EF//AD（已知）
∴∠2=_____（
）
又∵∠1=∠2（
）
∴∠1=∠3（
）
∴AB//_______（
）
∴∠BAC+______=180°（
）
又∵∠BAC=70°
∴∠AGD=_______（
）
解析：每一步的数学逻辑性推理的思路过程见下图.
例2．如图：已知∠A=∠F，∠C=∠D，求证：BD∥CE．请你认真完成下面的填空．
证明：∵∠A=∠F
（
已知
）
∴AC∥DF
（
）
∴∠D=∠
1
（
）
又∵∠C=∠D
（
），
∴∠1=∠C
（
）
∴BD∥CE（
)
解析：
∵∠A=∠F
（
已知
）
∴AC∥DF
（
内错角相等，两直线平行
）
∴∠D=∠
1
（
两直线平行，内错角相等
）
又∵∠C=∠D
（
已知
），
∴∠1=∠C
（
等量代换
）
∴BD∥CE（
同位角相等，两直线平行
)
例3.如图是潜望镜工作原理示意图，阴影部分是平行放置在潜望镜里的两面镜子，已知光线经过镜子反射时，有∠1=∠2，∠3=∠4，请解释进入潜望镜的光线为什么和离开潜望镜的光线是平行的？请把下列解题过程补充完整。
理由：∵AB//CD（已知），
∴___________________________（两直线平行，内错角相等），
∵∠1=∠2，∠3=∠4（已知），
∴∠1=∠2=∠3=∠4（等量代换），
∴180°-∠1-∠2=180°-∠3-∠4（平角定义），
即：____________________（等量代换），
∴_______________________________（________________________）
解析：
∵AB//CD（已知），
∴∠2=∠3
（两直线平行，内错角相等），
∵∠1=∠2，∠3=∠4（已知），
∴∠1=∠2=∠3=∠4（等量代换），
∴180°-∠1-∠2=180°-∠3-∠4（平角定义），
即：
∠5=∠6
（等量代换），
∴
l//m
（内错角相等，两直线平行）
例4.请将下列解答过程补充完整(6分)如图,点A,B,C在一条直线上,BE//AD,
∠1=∠2，求证∠A=∠E.
证明：∵AD∥BE，
∴∠A=
∠EBC
，（
）
∵∠1=∠2，
∴DE∥
AC
，（
）
∴∠E=
∠EBC
，（
）
∴∠A=∠E．
解析：
证明：∵AD∥BE，
∴∠A=
∠EBC
，（
两直线平行，同位角相等
）
∵∠1=∠2，
∴DE∥
AC
，（
内错角相等，两直线平行
）
∴∠E=
∠EBC
，（
两直线平行，内错角相等
）
∴∠A=∠E．
例5．填写推理理由
如图，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明AD∥BE．
解：∵AB∥CD（已知）
∴∠4=∠____________（________________）
∵∠3=∠4（已知）
∴∠3=∠____________（等量代换）
∵∠1=∠2（已知）
∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF（等式性质）
即∠BAC=∠CAD
∴∠3=∠______________
∴AD∥BE（____________________）
解析：
∵AB∥CD（已知）
∴∠4=∠BAF（两直线平行，内位角相等）
∵∠3=∠4（已知）
∴∠3=∠BAF（等量代换）
∵∠1=∠2（已知）
∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF（等式性质）
即∠BAC=∠CAD
∴∠3=∠DAC
∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行）
例6．（1）如图1，直线a∥b，∠P=90°，求∠1+∠2的度数．现提供下面两种解法，请填空，括号里标注理由．
方法（一）解：如图2，过点P做直线
c平行于直线a，
∵a∥c
（已知）
∴∠1=
∠3
（
）
又∵a∥b
（已知）
∴c∥b
（
）
∴∠2=∠4（
）
∴∠1+∠2=∠3+∠4（
）
而∠3+∠4=90°°（已知）
∴∠1+∠2=90°
（
）
方法（二）解：如图3，延长AP交直线
b于点C，
∵a∥b
（已知）
∴∠1=
∠5
（
）
又∵三角形内角和是180°，
∴∠BPC+∠2+∠5=180°，
而∠BPC=90°（已知）
∴∠2+∠5=180°-90°=90°（
）
∴∠1+∠2=
90°
（
）
（2）若（1）中其它条件不变，当点P如图4位置时，试求∠2-∠1的值．
解析：
（1）方法（一）解：如图2，过点P做直线
c平行于直线a，
∵a∥c
（已知）
∴∠1=
∠3
（
两直线平行，内错角相等
）
又∵a∥b
（已知）
∴c∥b
（
平行于同一条直线的两直线平行
）
∴∠2=∠4（两直线平行，内错角相等）
∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式性质）
而∠3+∠4=90°°（已知）
∴∠1+∠2=90°
（等量代换）
方法（二）解：如图3，延长AP交直线
b于点C，
∵a∥b
（已知）
∴∠1=
∠5
（
两直线平行，内错角相等
）
又∵三角形内角和是180°，
∴∠BPC+∠2+∠5=180°，
而∠BPC=90°（已知）
∴∠2+∠5=180°-90°=90°（等式性质）
∴∠1+∠2=
90°
（等量代换）
（2）如图4，∵a∥b，∴∠3=∠2，
∵∠P=90°，∴∠3=90°+∠1，
∴∠2=90°+∠1，
即∠2-∠1=90°．《相交线与平行线》题型解读4
平行线中的直尺或三角尺题型
【方法梳理】
1.题型特点：题目图形由直尺、一副三角尺及平行线组成；
2.方法提示：利用直尺或三角尺中隐藏的平行线或特殊角解题，注意图中的“三大典型模型”；
【典型例题】
例1.如图，小明利用两块相同的三角板，分别在三角板的边缘画直线AB和CD，并由此判定AB∥CD，这是根据_____________________，两直线平行.
解析：∠ABC=∠DCB=30°∴AB//CD,根据是：内错角相等，两直线平行；
例2.如图，将一把直尺的直角顶点放在另一把直尺的一条边上，当∠2=38°时，∠1=______
解析：利用直尺中的平行线同位角相等，可把∠2转移到下方，此时∠1与∠2互余，∴∠1=90°-38?=52°；
例3.如图把三角板的直角顶点放在直线b上，若∠1=40°，则当∠2=____度时，a∥b．
解析：利用直尺中的平行线同位角相等，可把∠2转移到下方，此时∠1与∠2互余，∴∠1=90°-40?=50°；
例4.如图，有一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠2=25°，那么∠1=_______°
解析：利用直尺中的平行线内错角相等，可把∠1转移到上方，此时∠1与∠2组成尺子的一个45?内角，
∴∠1=45°-25?=20°；
例5.如图，把一块直角三角板放在直尺的一边上，如果∠2=65°，那么∠1=______°
解析：利用直尺中的平行线同位角相等，可把∠2转移到下方，此时∠1与∠2组成尺子的一个90?内角，
∴∠1=90°-25?=65°；
例6.把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2=____________
解析：在Rt△ABC中，∠A=90°，∵∠1=45°，∴∠3=90°-∠1=45°，∴∠4=180°-∠3=135°，∵EF∥MN，
∴∠2=∠4=135°
例7.如图直线l∥m，将含有45°角的三角板的直角顶点放在直线m上，若∠1=16°，则∠2=__________
解析：过点A作直线b∥l，如图所示：∵直线m∥l，∴m∥l∥b，∴∠3=∠1，∠2=∠4．∵∠1=16°，∴∠3=16°，∴∠4=45°-16°=29°，∴∠2=∠4=29°
例8.将一个直角三角板和一把矩形直尺按如图放置，若∠α=54°，则∠β=____
解析：过B作一条平行于直尺的线，则由平行线性质：同位角相等，即可分别把∠α，∠β转移到∠ABC中，正好组成一个直角，∴∠β
=90°-54°=36°
例9.如图，l∥m，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在直线m上，若∠β=20°，则∠α=_________
解析：过点B作直线m或l的平行线，则这三条直线都会平行，
所以∠α=∠ABC，∠β=∠CBD，
则∠ABC+∠CBD=45?，
∴∠α=45?-∠β=45?-20?=25?；
例10.如图，已知直线m∥n，直角三角板ABC的顶点A在直线m上，则∠α=_________
解析：过C作CE∥直线m，
∵直线m∥n，
∴直线m∥n∥CE，
∴∠ACE=∠DAC=42°，∠ECB=∠a，
∵∠ACB=90°，
∴∠a=90°-∠ACE=90°-42°=48°
例11.如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P=90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F
（1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为____________________；
（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD-∠AEM=90°；
（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON=30°，∠PEB=15°，求∠N的度数
解析：（1）作PG∥AB，如图①所示：则PG∥CD，∴∠PFD=∠1，∠2=∠AEM，∵∠1+∠2=∠P=90°，
∴∠PFD+∠AEM=∠1+∠2=90°，
（2）证明：如图②所示：∵AB∥CD，
∴∠PFD+∠BHF=180°，
∵∠P=90°，
∴∠BHF+∠2=90°，
∵∠2=∠AEM，
∴∠BHF=∠PHE=90°-∠AEM，
∴∠PFD+90°-∠AEM=180°，
∴∠PFD-∠AEM=90°；
（3）如图③所示：∵∠P=90°，
∴∠PHE=90°-∠FEB=90°-15°=75°，
∵AB∥CD，
∴∠PFC=∠PHE=75°，
∵∠PFC=∠N+∠DON，
∴∠N=75°-30°=45°《相交线与平行线》题型解读5
平行线中的折叠问题
【方法梳理】
题型特点：将长方形折叠而形成各种角；
方法提示：利用长方形中的平行线和折叠性质(折叠前后的图形线和角相等)解题；
【典型例题】
例1.将一长方形纸条按如图所示折叠，则∠1=_______度
解析：∵矩形EFGH，∴EH∥FG，
∴∠HAB+∠ABG=180°，
∵沿BD折叠BG和BA所在直线重合，∴∠ABG=2∠DBC=2×54°=108°，
∴∠HAB=180°-108°=72°，
∴∠1=∠HAB=72°；
例2.如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1=52°，则∠AEF=__________
解析：根据长方形ABCD沿EF对折，若∠1=52°，
则∠BFE=1/2（180°-∠1）=64°．
∴∠EFC=64°+52°=116°，
∵AD∥BC，
∴∠AEF=∠EFC=116°
例3.将长方形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形，若∠CED′=50°，则∠EAB=________
解析：∵∠CED′=50°，∴∠DED′=130°．
由翻折的性质可知：∠DEA=∠D′EA．
∴∠DEA=1/2∠DED′＝12×130°＝65°．
∵ABCD为矩形，
∴DC∥AB，
∴∠EAB=∠DEA=65°．
例4.如图，长方形纸片ABCD，将纸片折叠使点A落在点G处，点B落在点D处，折痕为EF，
若∠GFD：∠DFE=4：3，则∠DEC=__________
解析：根据题意，得∠GFE=∠AFE，∠BEF=∠DEF，
∵∠GFD：∠DFE=4：3，∴∠AFE：∠DFE=7：3，
∵∠AFE+∠DFE=180°，∴∠AFE=180°×(7/10)＝126°，
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，
∴∠FEB=180°-∠AFE=180°-126°=54°，
∴∠DEF=54°，
∴∠DEC=180°-54°-54°=72°
例5.如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1=58°，则∠AEG=__________度
解析：根据长方形的对边平行，得AD∥BC，∴∠DEF=∠1=58°．
再根据对折，得：∠GEF=∠DEF=58°．
再根据平角的定义，得：∠AEG=180°-58°×2=64°
例6.将一张长方形纸片如图所示折叠后，再展开，如果∠1=56°，那么∠2=__________
解析：根据轴对称的性质，得∠ABC=2∠1=112°．
∵AB∥CD，
∴∠2=180°-112°=68°
例7.如图，有一条等宽纸带，按图折叠时（图中标注的角度为40°），那么图中∠ABC=______°
解析：根据题意，得AD∥BC，∠ACB=40°，∠BAD=∠BAC．
∴∠ABC=∠BAD=∠BAC．
∴∠ABC=(180?-40?)÷2=70°
例8.把一张宽度相等的纸条按如图所示的方式折叠，则∠1=____
解析：如图：折叠CE和BC重合，根据折叠性质得出BC=CE，AE=AB，∠1=∠4，
∵一张宽度相等的纸条按如图所示的方式折叠，
∴AE∥BC，∴∠1=∠5，∴∠4=∠5，∴∠1=∠3，
∵∠1+∠3=110°，∴∠1=55°.
例9.将一张长方形纸条ABCD沿EF折叠后，ED与BF交于G点，若∠EFG=54°，则∠BGE=______
解析：根据翻折的性质，得∠DEF=∠GEF；
∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFG；∠BGE=∠DEG；
∵∠EFG=54°，
∴∠BGE=2∠EFG=108°

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