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《整式的乘除》计算题型解读17
用配方法解题题型
【知识梳理】
1.题型特点：出现类似完全平方式展开式的代数式；
2.解题方法：
配方法指的是将一个代数式的某一部分，通过恒等变形（如拆分、分组或等式性质的方法）转化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的方法。初一代数中涉及到“配方法”，多拆分常数项，或运用等式性质进行恒等变形，让拆分出来的项与多项式中的某两项组成完全平方式，且多半会结合平方的非负性进行解题。.
【典型例题】
例1.
在多项式中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式可以是______
解析：①x?若为平方项，则加上的项是：±2x×3=±6x；
②若x?为乘积二倍项，则加上的项是：（）?=x4/36，
③若加上后是单项式的平方，则加上的项是：-x?或-9．
例2.计算：
解析：原式=
=
=
例3.若a，b为有理数，且，则
=__________
解析：原方程可变形为：
∴
∴-6
例4.已知，求的值。
解析：原方程可变形为：
∴
∴1-4=-3
例5.已知，则
解析：原方程可变形为：
∴
∴-1
例6.不论x取何数，代数式的值均为（　　）
A．正数
B．零
C．负数
D．非负数
解析：原式=x?-6x+9+1=(x-3)?+1≥1,故选A
例7.不论x、y为什么实数，代数式的值（　A　）
A．总不小于2
B．总不小于7
C．可为任何实数
D．可能为负数
解析：原式=(x?+2x+1)+（y?-4y+4）+2=(x+1)?+(y-2)?+2≥2,故选A
例8.先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题。
求代数式的最小值。
解：,
∵,∴,
∴的最小值是4.
（1）求代数式的最小值；
（2）求代数式的最大值。
解析：材料阅读题型，考查完全平方公式、平方的非负性及数学理解能力，解题方法：配方法求最值。
（1）,
∵,∴,
∴的最小值是.
（2）,
∵,
∴
,
∴,
∴的最大值是8.
例9.（1）求多项式的最小值是多少，并写出对应的x的值；
（2）多项式的最大值，并写出对应的x的值；
（3）试说明：不管x和y取何值，多项式总为正；
解析：考查完全平方公式的拓展和平方的非负性，解题方法是：配方法；
（1），
∵，
∴当x=1时，有最小值，最小值为-1；
（2），
∵，
∴当x=1时，有最大值，最大值为5；
（3），
∵，，
∴，
即，多项式的值永为正。
例10.阅读下列材料，并利用材料中所使用的方法解决问题。
在学习完全平方公式时老师提出这样一个问题：同学们，你们能判断代数式a2-2a+2最小值吗？小明作出如下的回答:
在老师所给的代数式中，隐藏着一个完全平方式，我可以把他找出来,
a2-2a+2=a2-2·a·1+12+1=(a+1)2+1
因为完全平方式是恢复的，所以它一定大于等于0,余下的1为常数，所以有
a2-2a+2=(a+1)2+1≥1
所以a2-2a+2最小值是1。当且仅当a-1=0即a=1时取得最小值。
其中我们将代数式a2-2a+2改写为一个含有完全平方式的代数式的方法称为配方。利用配方求解下列问题:
（1）记S=(x+3)2+4,求S的最小值,并说明x取何之时S最小。
（2）已知a2+b2+6a-8b+25=0,求a,b的值。
（3）记T=a2+2ab+3b2+4b+5,求T的最小值，并且说明a,b取何值时T最小。
解析：
（1）∵(x+3)2≥0,∴S=(x+3)2+4≥4,当x=-3时，(x+3)2=0，S有最小值为4.
（2）配方法解题.原等式可变形为：(a2+6a+9)+(b2-8b+16)=0，即(a+3)2+(b-4)2=0,∵(a+3)2≥0,(b-4)2≥0，∴a+3=0，b-4=0，∴a=-3，b=4.
（3）配方法解题.T=(a2+2ab+b2)+2(b2+2b+1)+3=(a+b)2+2(b+1)2+3,∵(a+b)2≥0,(b+1)2≥0，∴T≥3,∴当a+b=0，b+1=0时，即a=b=-1时，T有最小值3.《整式的乘除》计算题型解读16
三项完全平方式题型
【知识梳理】
1.题型特点：出现三个数的平方
2.解题方法：记熟公式
①
②
【典型例题】
例1.已知，则多项式的值为____
解析：原式=
=
=
例2.若，则的值是_____________________
解析：原式=
=
=
例3.已知，,则
解析：原式=
=
=
例4.对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如利用图1可以得到，那么利用图2所得到的数学等式是（
）。
A．
B．
C．
D．
解析：由等量关系式“大正方形面积=9个小长方形面积之和”列式可解答，选B.
例5.计算：
解析：原式=
[x+(y+z)][x-(y+z)]
=
=
例6.（1）若，则之间的关系是____________
（2）若，则之间的关系是____________
（3）若，求的值。
解析：
（1）∵，
∴,
则之间的关系是:
此小题简单，利用“平方的非负性”即可解决。
（2），
∴
∴，
运用乘法分配律公式变形得：
∴
即
即
,
即
则之间的关系是:
此题是初一下“两个平方公式”与八下“因式分解”的衔接题，需要理解和掌握“提取公因式”这种方法。
（3）∵，
∴,
∴
=
=
=
=
=

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