资源简介

《等比数列》完全解读与典例分析
一、知识完全解读
（1）等比数列定义
如果一个数列从第二项起 ，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．即
（常数）．
解读：理解等比数列定义，一是明确等比数列的任一项都不为零，公比也不为零；二是等比数列的等价定义是：如果一个数列从第一项（不为零）起 ，每一项乘以同一个不为零的常数，都等于它的后一项，那么这个数列叫做等比数列．
等比数列的通项公式是关于的指数型函数或常函数，它的图象只是曲线上的部分孤立点，并非整条曲线．
如果一个数列既是等比数列，又是等差数列，则它一定是非零常数数列．
（2）等比中项定义
三个数、、成等比数列，则叫做、的等比中项．易得、、成等比数列（，，）．
解读：(1)只有同号的两个非零实数才具有等比中项，而且有两个；
(2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项（有穷等比数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项；事实上等比数列中某一项是与它等距离的前后两项的等比中项.
3．等比数列通项公式
通项公式：．它是关于的函数。
4．等比数列性质
设等比数列的公比为，则
①；
②若，则；
③下标成等差数列，则其对应项成等比数列；
④从第二项起，每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项；
⑤奇数项（或偶数项）依次仍组成等比数列．
⑥若{an}、{bn}都是等比数列，则{an·bn}、{}、{λan}(λ≠0)、{}、{an2}仍是等比数列．
5．等比数列的单调性
①当a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1时，{an}为递增数列；
②当a1＞0，0＜q＜1或a1<0，q＞1时，{an}为递减数列；
③当q＜0时，{an}为摆动数列；
④当q＝1时，{an}为常数列.
二、典例分析
例1已知{}是各项均为正数等差数列，1g、1g、1g成等差数列．又=，n =1，2，3，… ，证明{}为等比数列．
证明：∵1g、1g、1g成等差数列，∴21g=1g＋1g，即a=·．
设等差数列{}的公差为d，则(＋d)=(＋3d)，
于是有d=d，从而d(d－) = 0．
(i)若d = 0，则{}为常数列，相应{}也是常数列，此时{}是首项为正数，公比为1的等比数列．
(ii)若d =≠0，则=＋(－1)d =d，==·，
这时{}是首项=，公比为的等比数列．
综上知，{}为等比数列．
点评:证明一个数列是等比数列,就是证明其相任意相邻二项的比是个常数,同学们一定注意对于公比为1的情形,有时要单独讨论.
例2已知数列｛a｝为等差数列，公差d≠0，由｛a｝中的部分项组成的数列a，a，…，a，…为等比数列，其中b=1，b= 5，b= 7．求数列{b}的通项公式．
解：依题意a= aa，即(a＋4d)= a( a＋16d) ad = 2d．
∵d≠0，∴a=2d，数列{a}公比，
∴，①
又a=，②
由①②得．
∵a= 2d≠0，∴b= 2·3－1．
点评:等差数列和等比数列的知识在学习过等比数列之后,常常在题中交汇在一起,对于这类题目同学们只要熟悉等比数列和等差数列的基本结论,一般情况下完全可解.

展开更多......

收起↑