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例说一次函数中的分段函数
朱河镇初级中学 史又成
分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图像）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况或以上，解答时需分段讨论。它是考查分类思想，读取、搜集、处理图像信息等综合能力的综合题。是近几年中考数学中经常遇到的题型。
通常是正比例函数的图像和一次函数的图像构成。下面我们归纳分析如下，供学习时参考。
一、正比例函数与一次函数构成的分段函数
解答这类分段函数问题的关键,就是分别确定好正比例函数的解析式和一次函数的解析式。
【例1】某家庭装修房屋，由甲、乙两个装修公司合作完成，选由甲装修公司单独装修3天，剩下的工作由甲、乙两个装修公司合作完成．工程进度满足如图1所示的函数关系，该家庭共支付工资8000元．
（1）完成此房屋装修共需多少天？
（2）若按完成工作量的多少支付工资，甲装修公司应得多少元？
【分析】本题是一道与工程有关的分段函数问题，通过图像可观察到，在0到3天之间时，工程进度y(元)是工作时间x(天)的正比例函数,当x3时, 工程进度y(元)是工作时间x(天)的正比例函数.
【解】（1）设正比例函数的解析式为：y=k1x，
因为图像经过点（3，），所以，= k1×3，所以k1=，
所以y=x，0＜x＜3
设一次函数的解析式（合作部分）是y=k2x+b，（是常数）
因为图像经过点（3，），（5，），所以，
由待定系数法得：，解得：．
一次函数的表达式为，所以，当时，，解得
完成此房屋装修共需9天。
（2）由正比例函数的解析式：y=x，可知：甲的工作效率是 ，
所以，甲9天完成的工作量是：，
甲得到的工资是：（元）
【评析】在这里未知数的系数的意义是表示他们的工作效率。与我们的生活息息相关的水费问题、电费问题、话费问题等，这些收费问题往往根据不同的用量，采用不同的收费方式.都是分段函数的典型例子.
二、一次函数与一次函数构成的分段函数
【例2】为了鼓励小强做家务，小强每月的费用都是根据上月他的家务劳动时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取的．若设小强每月的家务劳动时间为x小时，该月可得（即下月他可获得）的总费用为y元，则y（元）和x（小时）之间的函数图像如图2所示．
（1）根据图像，请你写出小强每月的基本生活费；父母是如何奖励小强家务劳动的？
（2）若小强5月份希望有250元费用，则小强4月份需做家务多少时间？
【解】（1）从图像上可知道，小强父母给小强的每月基本生活费为150元 ；
当0≤x≤20时，y（元）是x（小时）的一次函数，不妨设y=k1x+150，
同时，图像过点（20，200），所以，200=k1×20+150，
解得：k1=2.5，所以，y=2.5x+150，
当20＜x时，y（元）是x（小时）的一次函数，不妨设y=k2x+b，
同时，图像过点（20，200），（30，240），
所以，，
解得：k2=4，b=120，所以，y=4x+120，
所以，如果小强每月家务劳动时间不超过20小时，每小时获奖励2.5元；
如果小强每月家务劳动时间超过20小时，那么20小时按每小时2.5元奖励，超过部分按每小时4元奖励
（2）从图像上可知道，小强工作20 小时最多收入为200元，而5月份得到的费用为250元，大于200元，所以说明4月小强的工作时间一定超过20小时，所以应选择分段函数中当20＜x时的一段，所以，由题意得，，解得：x=32.5
答：当小强4月份家务劳动32.5小时，5月份得到的费用为250元．
【评析】本题不仅考查同学们对分段函数意义的理解，而且同时还考查了同学们对分类思想的掌握情况，和对分段函数的选择能力。
三、常数函数与一次函数构成的分段函数
【例3】有甲、乙两家通讯公司，甲公司每月通话的收费标准如图3所示；乙公司每月通话收费标准如表1所示．
（1）观察图3，甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额是 元；甲公司用户通话100分钟以后，每分钟的通话费为 元；
（2）李女士买了一部手机，如果她的月通话时间不超过100分钟，她选择哪家通讯公司更合算？如果她的月通话时间超过100分钟，又将如何选择？
【解】(1）从图3，可以看出，这是常数函数与一次函数构成的分段函数，
当0≤t≤100时，话费金额y=20；
当t＞100时，话费金额y是通话时间t的一次函数，不妨设y=kt+b，
且函数经过点（100，20）和（200，40），
所以，,解得：k=0.2，b=0,所以，y=0.2t,
所以,甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额是20元；当甲公司用户通话100分钟以后，每分钟的通话费为0.2元；
2)仔细观察表1,可以知道乙公司每月通话收费y=0.15t+25,
因为，0.15t+25=0.2t，所以，t=500，
所以，当通话时间t=500分钟时，选择甲、乙两家公司哪一家都可以；
因为，0.15t+2.5＞0.2t，所以，t＜500，
所以，当通话时间100＜t＜500分钟时，选择甲公司；
因为，0.15t+2.5＜0.2t，所以，t＞500，
所以，当通话时间t＞500分钟时，选择乙公司；
【评析】本题还可以在同一坐标系中画出这两函数的图像,借助图像来回答问题,同学们可试之.
四、几可题中的分段函数
【例4】 如图4，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，M是CD的中点，点P在矩形的边上沿A→B→C→M运动，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图像表示大致是下图中的（ ）
【分析】当点P在矩形的边上运动时，在不同的边上时，△APM的面积y的计算方法不一样，因此要分点P在不同的边上来考虑。
【解】1）、当0≤x≤1，y=×x×2=x；如图5所示；
2）、当1＜x≤3，y=1×2-××2-×（x-1）×1-××（3-x）=；如图6所示；
3）当3＜x≤3.5，y=×（-x）×2=-x；如图7所示；
所以C、D两个选项是错误的，又因为函数y=中的k=-＜0，所以直线整体应该是分布在二、一、四象限，所以选项B也是错误的，所以选A。
【评析】对于运动型问题，关键是根据题意借助分类的思想用变量x分别出图形的面积。在表示面积时，要注意整体思想的运用。
五、多段型分段函数
【例5】小明同学骑自行车去郊外春游，下图表示他离家的距离y（千米）与所用的时间x（小时）之间关系的函数图像.
（1）根据图像回答：小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？
（2）求小明出发两个半小时离家多远？
（3）求小明出发多长时间距家12千米？
【解】（1）由图像可知小明到达离家最远的地方需3小时；此时，他离家30千米
（2）设直线CD的解析式为y=k1x+b1,由C（2，15）、D（3，30），
代入得：y=15x-15（2≤x≤3）
当x=2.5时，y=22.5（千米）
答：出发两个半小时，小明离家22.5千米.
（3）设过E、F两点的直线解析式为y=k2x+b2，
由E（4，30）、F（6，0），代入得y=-15x+90,(4≤x≤6)，
过A、B两点的直线解析为y=kx，
∵B（1，15）∴y=15x.(0≤x≤1)
把y=12分别代入上面的两个函数式中，得x=（小时），x=（小时）
答：小明出发经过小时或小时，离家12千米。
【评析】出发两个半小时离家多远，应在2与3小时之间，因此要求出直线CD的解析式，求何时距家12千米，应考虑出发后离家12千米和回来时离家12千米两种情况，因此要求出直线AB、EF的解析式。
总之，同学们在遇到有关分段函数时，要根据问题的需要，对自变量的取值范围合理分段，确定每一段中的函数关系式，再解决所提出的问题。
图2
25元 0.15元/分
图3
图4
图5 图6 图7

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