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加
分
宝
·
一
轮
复
习
课
件
精
耕
细
作
，
一
针
见
血
。
研
究
教
育
根
本
，
解
决
根
本
问
题
。
考
点
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函数
第6节
二次函数图象与性质（二）
■考点1
二次函数图像上的点的坐标特征?
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是
①抛物线是关于对称轴x=-
成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=
■考点2
二次函数的最值?
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=-时，y=
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=-时，y=，
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
■考点3
二次函数的平移?
抛物线y＝ax2与y＝a(x－h)2，y＝ax2＋k，y＝a(x－h)2＋k中|a|相同，则图象的开口方向和大小都相同，只是位置不同．它们之间的平移关系如下：
注意：二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式
失分点警示：
抛物线平移规律是“上加下减，左加右减”,左右平移易弄反.
例：将抛物线y=x2沿x轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是y=（x－2）2．
■考点4
二次函数与一元二次方程以及不等式?
二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
当Δ＝b2－4ac＞0，两个不相等的实数根；
当Δ＝b2－4ac＝0，两个相等的实数根；
当Δ＝b2－4ac＜0，无实根
二次函数与不等式
抛物线y=
ax2＋bx＋c＝0在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集.
■考点1：二次函数图像上的点的坐标特征?
◇典例：已知二次函数y＝－2x2＋bx＋c图象的顶点坐标为(3，8)，该二次函数图象的对称轴与x轴的交点为A，M是这个二次函数图象上的点，O是原点．
(1)不等式b＋2c＋8≥0是否成立？请说明理由；
(2)设S是△AMO的面积，求满足S＝9的所有点M的坐标．
【分析】由顶点坐标(3，8)可求解析式，进而可算b＋2c＋8＝0故(1)成立．注意：点M可以在x轴的上方，也可能在x轴的下方，可能在对称轴的左侧，也可能在右侧，故要分情况讨论．
解：(1)∵二次函数顶点坐标为(3，8)，
∴解析式为y＝－2(x－3)2＋8＝－2x2＋12x－10，
∴b＝12，c＝－10，
∴b＋2c＋8＝0，∴b＋2c＋8≥0成立；
(2)设M(m，－2m2＋12m－10)，
∴S＝OA·|yM|＝9，
∴|－2m2＋12m－10|＝6，
①－2m2＋12m－10＝6，
解得m1＝2，m2＝4，∴M1(2，6)，M2(4，6)；
②－2m2＋12m－10＝－6，
解得m1＝3＋，m2＝3－，
∴M3(3＋，－6)，M4(3－，－6)．
综上所述，M的坐标为(2，6)或(4，6)或(3＋，－6)或(3－，－6)．
◆变式训练：
1．若对于任意非零实数a，抛物线y=ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），则符合条件的点P（　　）
A．有且只有1个
B．有且只有2个
C．至少有3个
D．有无穷多个
【考点】二次函数图象上点的坐标特征
【分析】根据题意可以得到相应的不等式，然后根据对于任意非零实数a，抛物线y=ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），即可求得点P的坐标，从而可以解答本题．
解：∵对于任意非零实数a，抛物线y=ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），
∴x02﹣16≠a（x0﹣3）2+a（x0﹣3）﹣2a
∴（x0﹣4）（x0+4）≠a（x0﹣1）（x0﹣4）
∴（x0+4）≠a（x0﹣1）
∴x0=﹣4或x0=1，
∴点P的坐标为（﹣7，0）或（﹣2，﹣15）
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
2．抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（3，0）和点B（0，3），且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AB、AC、BC，求△ABC的面积．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）利用割补法求ABC的面积．
解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（3，0）、B（0，3）
∴由上两式解得
∴抛物线的解析式为：；
（2）由（1）抛物线对称轴为直线x=
把x=代入，得y=4
则点C坐标为（，4）
设线段AB所在直线为：y=kx+b
解得AB解析式为：
∵线段AB所在直线经过点A（3，0）、B（0，3）
抛物线的对称轴l于直线AB交于点D
∴设点D的坐标为D（，m）
将点D（，m）代入，解得m=2
∴点D坐标为（，2），
∴CD=CE﹣DE=2
过点B作BF⊥l于点F∴BF=OE=
∵BF+AE=OE+AE=OA=
∴S△ABC=S△BCD+S△ACD=CD?BF+CD?AE
∴S△ABC=CD（BF+AE）=×2×=
【点评】本题为二次函数纯数学问题，考查二次函数待定系数法、用割补法求三角形面积．解答时注意数形结合．
■考点2：二次函数的最值?
◇典例：当x=________时，二次函数y=x2-2x+6有最小值
_____
【考点】二次函数的最值．
【分析】把x2-2x+6化成（x-1）2+5，即可求出二次函数y=x2-2x+6的最小值是多少．
解：∵y=x2-2x+6=（x-1）2+5，
∴当x=1时，二次函数y=x2-2x+6有最小值5．
故答案为：1、5．
◆变式训练：
1．已知二次函数y=x2-2mx（m为常数），当-1≤x≤2时，函数值y的最小值为-2，则m的值是（　　）
A．
B．
C．或
D．-或
【考点】二次函数的最值．
【分析】将二次函数配方成顶点式，分m＜-1、m＞2和-1≤m≤2三种情况，根据y的最小值为-2，结合二次函数的性质求解可得．
解：y=x2-2mx=（x-m）2-m2，
①若m＜-1，当x=-1时，y=1+2m=-2，
解得：m=-；
②若m＞2，当x=2时，y=4-4m=-2，
解得：m=＜2（舍）；
③若-1≤m≤2，当x=m时，y=-m2=-2，
解得：m=
或m=-＜-1（舍），
∴m的值为-或
故选：D．
2．如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
【考点】二次函数的性质，二次函数最值，抛物线与x轴的交点
【分析】直接利用二次函数的开口方向以及图象与x轴的交点，进而分别分析得出答案．
解：①∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，且开口向下，
∴x=1时，y=a+b+c，即二次函数的最大值为a+b+c，故①正确；
②当x=﹣1时，a﹣b+c=0，故②错误；
③图象与x轴有2个交点，故b2﹣4ac＞0，故③错误；
④∵图象的对称轴为x=1，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），
∴A（3，0），
故当y＞0时，﹣1＜x＜3，故④正确．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识，正确得出A点坐标是解题关键．
■考点3：二次函数的平移?
◇典例：将二次函数y=x2﹣1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是　
　．
【考点】二次函数图象与几何变换
【分析】先确定二次函数y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），再根据点平移的规律得到点（0，﹣1）平移后所得对应点的坐标为（0，2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
解：二次函数y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），把点（0，﹣1）向上平移3个单位长度所得对应点的坐标为（0，2），所以平移后的抛物线解析式为y=x2+2．
故答案为：y=x2+2．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
◆变式训练：
1．将函数y=x2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A（1，4）的方法是（　　）
A．向左平移1个单位
B．向右平移3个单位
C．向上平移3个单位
D．向下平移1个单位
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据平移规律，可得答案．
解：A、平移后，得y=（x+1）2，图象经过A点，故A不符合题意；
B、平移后，得y=（x-3）2，图象经过A点，故B不符合题意；
C、平移后，得y=x2+3，图象经过A点，故C不符合题意；
D、平移后，得y=x2-1图象不经过A点，故D符合题意；
故选：D．
2．已知抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（m＞0）个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段AD的三等分点，则m的值为　
　．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换．
【分析】先根据三等分点的定义得：AC=BC=BD，由平移m个单位可知：AC=BD=m，计算点A和B的坐标可得AB的长，从而得结论．
解：如图，∵B，C是线段AD的三等分点，
∴AC=BC=BD，
由题意得：AC=BD=m，
当y=0时，x2+2x﹣3=0，
（x﹣1）（x+3）=0，
x1=1，x2=﹣3，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB=3+1=4，
∴AC=BC=2，
∴m=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题、抛物线的平移及解一元二次方程的问题，利用数形结合的思想和三等分点的定义解决问题是关键．
■考点4：二次函数与一元二次方程以及不等式?
◇典例：函数y=ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣4或x＞2
B．﹣4＜x＜2
C．x＜0或x＞2
D．0＜x＜2
【考点】抛物线与x轴的交点
【分析】先求出抛物线的对称轴方程，再利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣4，0），然后利用函数图象写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
解：抛物线y=ax2+2ax+m得对称轴为直线x=﹣=﹣1，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣4，0），
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x＜﹣4或x＞2时，y＜0．
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
◆变式训练：
1．如图，直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A（-1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是
________________
【考点】二次函数与不等式（组）．
【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
解：观察函数图象可知：当x＜-1或x＞4时，直线y=mx+n在抛物线y=ax2+bx+c的上方，
∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为x＜-1或x＞4．
故答案为：x＜-1或x＞4．
2．已知一次函数y1=4x，二次函数y2=2x2+2，在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值为y1与y2，则下列关系正确的是（　　）
A．y1＞y2
B．y1≥y2
C．y1＜y2
D．y1≤y2
【考点】二次函数与不等式（组）．
【分析】首先判断直线y=4x与抛物线y=2x2+2只有一个交点，如图所示，利用图象法即可解决问题．
解：由消去y得到：x2-2x+1=0，
∵△=0，
∴直线y=4x与抛物线y=2x2+2只有一个交点，如图所示，
观察图象可知：y1≤y2，
故选D．
1．已知二次函数的图象（）如图．关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（
）
A．有最大值2，无最小值
B．有最大值2，有最小值1.5
C．有最大值2，有最小值
D．有最大值1.5，有最小值
【答案】C
【解析】直接根据函数的图象顶点坐标及最低点求出该函数在所给自变量的取值范围内的最大及最小值即可．
解：由函数图象可知，此函数的顶点坐标为（1，2），
∵此抛物线开口向下，
∴此函数有最大值，最大值为2；
∵0≤x≤3.4，
∴当x=3.4时，函数最小值为-2．
故选：C．
2．把抛物线先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式是（　　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】按照“左加右减，上加下减”的规律得出即可．
解：y=3x2先向上平移2个单位，得到：y=3x2+2，
再向右平移3个单位得到：y=3（x-3）2+2．
故得到抛物线的解析式为y=3（x-3）2+2．
故选D．
3．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c<0的解集是（
）
A．
B．
C．或
D．
【答案】C
【解析】利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出ax2+bx+c<0的解集．
解：由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），
∴图象与x轴的另一个交点坐标为（－1，0），
由图象可知：ax2+bx+c<0的解集即是y＜0的解集，
∴x＜－1或x＞5，
故选：C．
4．已知二次函数（为常数），当自变量的值满足时与其对应的函数值的最小值为4，则的值为（
）
A．1或5
B．或3
C．或或3
D．或5
【答案】D
【解析】由抛物线的解析式可知其对称轴为x=h，开口向上，由题意可知：h有三种情况，分三种情况讨论其h的值．
解：解：由题意可知抛物线的对称轴为x=h，开口方向向上，
当h≤-1时，
此时x=-1时，y可取得最小值4，
∴4=1+2h+，
∴h=-3或h=1(舍去)；
当-1＜h＜3时，
∴此时x=h，y取最小值为4，
∴4=0，
不符合题意；
当h≥3时，
此时x=3时，y的最小值为4，
∴4=9-6h+，
∴h=5或h=1（舍去）．
故选：D．
5．已知，且，是关于的方程的两根，则的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据根与系数的关系得到：
代入得到关于的二次函数，用配方法求最值即可.
详解：，是关于的方程的两根，
当时，随值的增大而增大，
，则当时,取得最小值6.
故选D.
6．已知抛物线与x轴只有一个公共点，且过点，则b的值为（　　　）
A．4
B．2
C．6
D．9
【答案】D
【解析】根据抛物线y=x2+mx+n与x轴只有一个公共点，可知△=0，从而可以得到m与n的关系，再根据抛物线y=x2+mx+n过点A（a，b），B（a-6，b），可以得到a和m的关系，从而可以求得b的值．
解：∵抛物线y=x2+mx+n与x轴只有一个公共点，
∴△=m2-4×1×n=m2-4n=0，
∴n=m2，
∵抛物线y=x2+mx+n过点A（a，b），B（a-6，b），
∴b=a2+ma+n，b=（a-6）2+m（a-6）+n，
∴a2+ma+n=（a-6）2+m（a-6）+n，
化简，得a=，
∴b=a2+ma+n=（）2+m×（）+m2=9，
故选：D．
7．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，且OA＝OC，则下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根为﹣；其中正确的结论个数有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【解析】由二次函数图象的开口方向、对称轴及与y轴的交点可分别判断出a、b、c的符号，从而可判断①；由图象可知当x＝3时，y＞0，可判断②；由OA＝OC，且OA＜1，可判断③；把﹣代入方程整理可得ac2﹣bc+c＝0，结合③可判断④；从而可得出答案．
解：由图象开口向下，可知a＜0，
与y轴的交点在x轴的下方，可知c＜0，
又对称轴方程为x＝2，所以﹣＞0，所以b＞0，
∴abc＞0，故①正确；
由图象可知当x＝3时，y＞0，
∴9a+3b+c＞0，故②错误；
由图象可知OA＜1，
∵OA＝OC，
∴OC＜1，即﹣c＜1，
∴c＞﹣1，故③正确；
假设方程的一个根为x＝﹣，把x＝﹣代入方程可得﹣+c＝0，
整理可得ac﹣b+1＝0，
两边同时乘c可得ac2﹣bc+c＝0，
即方程有一个根为x＝﹣c，
由②可知﹣c＝OA，而当x＝OA是方程的根，
∴x＝﹣c是方程的根，即假设成立，故④正确；
综上可知正确的结论有三个，
故选：C．
8．已知点，在二次函数的图象上，点是函数图象的顶点.（
）
A．当＞时，的取值范围时＜＜
B．当＞时，的取值范围是＞
C．当＞时，的取值范围是＜
D．当＞时，的取值范围是＜
【答案】D
【解析】通过已知条件判断出函数有最大值和最小值两种情况，即开口有上下两种情况，然后根据两点与对称轴有同侧和异侧两种情况分类讨论选项中的关系是否成立．
解：A选项时，函数有最小值，图象开口向上，若已知两点在对称轴同侧时，
如图，关系不成立；
B选项时，函数有最小值，图象开口向上，若已知两点在对称轴异侧时，
如图，＞关系不成立；
C选项时，函数有最大值，图象开口向下，若已知两点在对称轴异侧时，
如图，＜关系不成立；
D选项时，函数有最大值，图象开口向下，
如图，两点不论在对称轴的同侧还是异侧都成立．
故选：D．
9．已知抛物线图象上有两点、，当时，有；当时，最小值是．则的值为（
）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】B
【解析】先确定该抛物线的对称轴，再根据得到a＜0，然后再根据时，最小值是列出关于a的一元二次方程并求解即可．
解：∵
∴，即该抛物线的对称轴为x=
∵时，
∴a＜0
∵x=在范围内，
∴当x=时有最大值，x=-1时有最小值
∴
整理得，解得a=1（舍去）或a=-5
故答案为B．
10．已知函数y＝，当a≤x≤b时，﹣≤y≤2，则b﹣a的最大值为（　　）
A．
B．
C．
D．2
【答案】B
【解析】函数的图象如下图所示，当x≥0时，当y＝﹣时，x＝，当y＝2时，x＝2或﹣1，故：顶点A的坐标为（，﹣），点B（2，2），同理当时可求出C点坐标，可确定a,b的值，即可求解．
解：函数的图象如下图所示，
当x≥0时，当y＝﹣时，x＝，当y＝2时，x＝2或﹣1，
故：顶点A的坐标为（，﹣），点B（2，2），
同理点C（，﹣）
则b﹣a的最大值为2﹣＝.
故选：B．
11．已知抛物线，把该抛物线向上或向下平移，如果平移后的抛物线经过点，那么平移后的抛物线的表达式是______．
【答案】y=x2-2
【解析】设所求的函数解析式为y=x2+h，然后将点A坐标代入求得k即可．
解：设所求的函数解析式为y=x2+h
将点A坐标代入得：2=22+h，解得h=-2
所以平移后的抛物线的表达式是y=x2-2．
故答案为y=x2-2．
12．二次函数的最小值是______．
【答案】-6
【解析】先把二次函数的一般式化为顶点式，然后再利用二次函数的性质进行求解即可．
解：由二次函数可得：，
∵，
∴二次函数有最小值，即当x=1时，；
故答案为-6．
13．如图，点P是双曲线C：y＝(x＞0)上的一点，过点P作x轴的垂线交直线AB：y＝x﹣2于点Q，连结OP，OQ．当点P在曲线C上运动，且点P在Q的上方时，△POQ面积的最大值是_____．
【答案】3
【解析】设P（x，），则Q（x，x﹣2)，得到PQ=﹣x+2，根据三角形面积公式得到S△POQ=（x-2）2+3，根据二次函数的性质即可求得最大值．
解：∵PQ⊥x轴，
∴设P(x，)，则Q(x，x﹣2)，
∴PQ＝﹣x+2，
∴S△POQ＝(﹣+2)?x＝﹣(x﹣2)2+3，
∵﹣＜0，
∴△POQ面积有最大值，最大值是3，
故答案为3．
14．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于两点A（﹣2，p），B（5，q），则不等式ax2+mx+c≤n的解集是_____．
【答案】﹣5≤x≤2
【解析】先把问题转化为：，根据二次函数和一次函数的图象和性质即可求解．
解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，p），B（5，q）两点，
∴﹣2m+n＝p，5m+n＝q，
∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于P（2，p），Q（﹣5，q）两点，
观察函数图象可知：当﹣5≤x≤2时，
直线y＝﹣mx+n在抛物线y＝ax2+c的上方，
不等式
∴不等式ax2+mx+c≤n的解集是﹣5≤x≤2．
故答案为﹣5≤x≤2．
15．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）（3，0）两点，给出的下列6个结论：①ab＜0；②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3；③4a+2b+c＜0；④当x＞1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，﹣1＜x＜3；⑥3a+2c＜0．其中不正确的有_____．
【答案】⑤
【解析】①由图象可知，a>0,b<0,则问题可解；②根据图象与x轴交点，问题可解；③由图象可知，当x=2时，对应的点在x轴下方，x=2时，函数值为负；④由图象可知，抛物线对称轴为直线x=1，当x>1时，y随x值的增大而增大；⑤由图象可知，当y>0时，对应x>3或x<-1；⑥根据对称轴找到ab之间关系，再代入a﹣b+c＝0，问题可解．综上即可得出结论．
解：①∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，
∴a＞0，﹣
＞0，c＜0，
∴b＜0，
∴ab＜0，说法①正确；
②二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）（3，0）两点，
∴方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3，说法②正确；
③∵当x＝2时，函数y＜0，
∴4a+2b+c＜0，说法③正确；
④∵抛物线与x轴交于（﹣1，0）、（3，0）两点，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵图象开口向上，
∴当x＞1时，y随x值的增大而增大，说法④正确；
⑤∵抛物线与x轴交于（﹣1，0）、（3，0）两点，且图象开口向上，
∴当y＜0时，﹣1＜x＜3，说法⑤错误；
⑥∵当x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1＝﹣，
∴b＝﹣2a，
∴3a+c＝0，
∵c＜0，
∴3a+2c＜0，说法⑥正确．
故答案为⑤．
16．如图，已知二次函数的图象与正比例函数交于点A(，)，与x轴交于点B，当时，自变量x的取值范围是___________．
【答案】
【解析】过A作AC⊥x轴于C，则当x取值在CB之间时，即有，所以只要求出C、B两点的坐标，问题即可得到解答．
解：如图，过A作AC⊥x轴于C，
令，则：，解得：x=0或4，所以=4，
由题意可得=，所以当，．
故答案为．
17．如图，直线和抛物线都经过点、点，且，
（1）求的值及点的坐标；
（2）求不等式的解集．（直接写出答案）
【答案】(1)m=-1，
B（4，3）；（2）x≤1或x≥4
【解析】（1）将点A的坐标代入一次函数表达式得：0=1+m，解得：m=-1，同理解得：b=-4，联立①②即可求解；
（2）从图象可以看出：不等式x2+bx+3≥x+m的解集为：x≤1或x≥4．
解：（1）将点A的坐标代入一次函数表达式得：0=1+m，
解得：m=-1，
故直线的表达式为：y=x-1…①；
将点A的坐标代入抛物线表达式得：0=1+b+3，解得：b=-4，
故抛物线的表达式为：y=x2-4x+3…②，
联立①②并解得：x=1或4，
故点B（4，3）；
（2）从图象可以看出：不等式x2+bx+3≥x+m的解集为：x≤1或x≥4．
18．在平面直角坐标系中xOy中，抛物线yax24ax1
（1）求抛物线的对称轴；
（2）若抛物线过点A(1，6)，求二次函数的表达式；
（3）将点A(1，6)沿x轴向右平移4个单位得到点B，若抛物线与线段AB始终有一个公共点，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．
【答案】（1）直线x=2；（2）y=x2-4x+1；（3）a≥1或?a＜或a=．
【解析】（1）直接由对称轴的x=即可求解；
（2）把点A（-1，6），代入y=ax2-4ax+1求得a=1，即可求解析式；
（3）由平移可得点B的坐标为（3，6），分两种情况：当a＞0时，把A（-1，6）代入y=ax2-4ax+1；当a＜0时，y=6，由判别式为零求出a值，再将点（3，6）代入y=ax2-4ax+1，可得结果．
解：（1）对称轴x===2，
∴抛物线的对称轴为直线x=2；
（2）把点A（-1，6），代入y=ax2-4ax+1得，
a=1，
∴二次函数表达式为：y=x2-4x+1；
（3）∵点A的坐标为（-1，6），又点A沿x轴向右平移4个单位得到点B，
∴点B的坐标为（3，6），
∵抛物线与线段AB始终有两个公共点，
当a＞0时，把A（-1，6）代入y=ax2-4ax+1，
∴a=1，
∴当a≥1时，抛物线与线段AB始终有一个公共点；
当a＜0时，
令y=6，即ax2-4ax-5=0，
△=（-4a）2-4a×（-5）=0，
解得：a=或0（舍），
将点（3，6）代入y=ax2-4ax+1，
∴a＝，
∴a＜，
∴当a=或a＜时，抛物线与线段AB始终有一个公共点；
综上：当抛物线与线段AB始终有一个公共点时，a≥1或?a＜或a=．
19．已知y关于x的二次函数y=x?-bx+b?+b-5的图象与x轴有两个公共点．
（1）求b的取值范围；
（2）若b取满足条件的最大整数值，当m≤x≤时，函数y的取值范围是n≤y≤6-2m，求m，n的值；
（3）若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，对应函数y的最小值为，求此时二次函数的解析式．
【答案】（1）；（2）；（3）或
【解析】（1）利用即可求解；
（2）根据（1）中的结论确定b的值，进而确定二次函数的表达式，然后根据与对称轴的位置关系，判断出函数的单调性，然后代入到二次函数解析式中即可求出m,n的值；
（3）根据与对称轴的位置关系，分三种情况：①当，②当，取值范围在对称轴左侧，③当，即时，取值范围在对称轴右侧，数形结合进行讨论即可．
解：（1）由题意知，
即
，
∴
解得：
；
（2）由题意，b=4，代入得：，
∴对称轴为直线．
又∵a=1>0，函数图象开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小，
∴当x=时，，
当x=m时，y=，
解得：（不合题意，舍去）；
∴．?
（3）
，函数大致图象如图所示．
①当，即时，
函数y在顶点处取得最小值，有b-5=，
∴b=（不合题意，舍去）
②当，即时，
取值范围在对称轴左侧，y随x的增大而减小，
∴当x=b+3时，y最小值=，代入得
，
即，
解得：（不合题意，舍去），
∴此时二次函数的解析式为：
③当，即时，取值范围在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
∴当x=b时，y最小值=，代入得
，
即，
解得：，
∴此时二次函数的解析式为：．
综上所述，符合题意的二次函数的解析式为：或
1．（2020·河北中考）如图，现要在抛物线上找点，针对的不同取值，所找点的个数，三人的说法如下：
甲：若，则点的个数为0；
乙：若，则点的个数为1；
丙：若，则点的个数为1．
下列判断正确的是（
）
A．乙错，丙对
B．甲和乙都错
C．乙对，丙错
D．甲错，丙对
【答案】C
【解析】分别令x（4-x）的值为5，4，3，得到一元二次方程后，利用根的判别式确定方程的根有几个，即可得到点P的个数．
解：当b=5时，令x（4-x）=5，整理得：x2-4x＋5=0，△=(-4)2-4×5=-6<0，因此点P的个数为0，甲的说法正确；
当b=4时，令x（4-x）=4，整理得：x2-4x+4=0，△=(-4)2-4×4=0，因此点P有1个，乙的说法正确；
当b=3时，令x（4-x）=3，整理得：x2-4x+3=0，△=(-4)2-4×3=4>0，因此点P有2个，丙的说法不正确；
故选：C．
2．（2020·贵阳中考）已知二次函数的图象经过与两点，关于的方程有两个根，其中一个根是3．则关于的方程有两个整数根，这两个整数根是（
）
A．或0
B．或2
C．或3
D．或4
【答案】B
【解析】由题意可得方程的两个根是﹣3，1，方程在y的基础上加m，可以理解为二次函数的图象沿着y轴平移m个单位,由此判断加m后的两个根,即可判断选项．
解：二次函数的图象经过与两点，即方程的两个根是﹣3和1，
可以看成二次函数y的图象沿着y轴平移m个单位,得到一个根3，
由1到3移动2个单位，可得另一个根为﹣5.由于0＜n＜m，
可知方程的两根范围在﹣5~﹣3和1~3，
由此判断B符合该范围．
故选B．
3．（2020·日照中考）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①abc＜0；②3a＜﹣c；③若m为任意实数，则有a﹣bm≤am2+b；
④若图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax2+bx+c+2＝0的两根为x1，x2（|x1|＜|x2|），则2x1﹣x2＝5．其中正确的结论的个数是（　　）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【答案】C
【解析】由图象可知a＜0，c＞0，由对称轴得b=2a＜0，则abc＞0，故①错误；当x=1时，y=a+b+c=a+2a+c=3a+c＜0，得②正确；由x=-1时，y有最大值，得a-b+c≥am2+bm+c，得③错误；由题意得二次函数y=ax2+bx+c与直线y=-2的一个交点为（-3，-2），另一个交点为（1，-2），即x1=1，x2=-3，进而得出④正确，即可得出结论．
解：由图象可知：a＜0，c＞0，
，
∴b＝2a＜0，
∴abc＞0，故①abc＜0错误；
当x＝1时，y＝a+b+c＝a+2a+c＝3a+c＜0，
∴3a＜﹣c，故②3a＜﹣c正确；
∵x＝﹣1时，y有最大值，
∴a﹣b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），
即a﹣b≥am2+bm，即a﹣bm≥am2+b，故③错误；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax2+bx+c+2＝0的两根为x1，x2（|x1|＜|x2|），
∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣2的一个交点为（﹣3，﹣2），
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣2的另一个交点为（1，﹣2），
即x1＝1，x2＝﹣3，
∴2x1﹣x2＝2﹣（﹣3）＝5，故④正确．
所以正确的是②④；
故选：C．
4．（2020·泸州中考）已知二次函数（其中x是自变量）的图象经过不同两点，，且该二次函数的图象与x轴有公共点，则的值（
）
A．
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】根据二次函数的图像经过，，可得到二次函数的对称轴x=，又根据对称轴公式可得x=b，由此可得到b与c的数量关系，然后由该二次函数的图象与x轴有公共点列出不等式解答即可
解：∵二次函数的图像经过，，
∴对称轴x=，即x=，
∵对称轴x=b，
∴=b，化简得c=b-1，
∵该二次函数的图象与x轴有公共点，
∴△=
=
=
=
∴b=2，c=1，
∴b+c=3，
故选：C.
5．（2020·呼和浩特中考）关于二次函数，下列说法错误的是（
）
A．若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点，则
B．当时，y有最小值
C．对应的函数值比最小值大7
D．当时，图象与x轴有两个不同的交点
【答案】C
【解析】求出二次函数平移之后的表达式，将（4，5）代入，求出a即可判断A；将函数表达式化为顶点式，即可判断B；求出当x=2时的函数值，减去函数最小值即可判断C；写出函数对应方程的根的判别式，根据a值判断判别式的值，即可判断D.
解：A、将二次函数向上平移10个单位，再向左平移2个单位后，
表达式为：=，
若过点（4，5），
则，解得：a=-5，故选项正确；
B、∵，开口向上，
∴当时，y有最小值，故选项正确；
C、当x=2时，y=a+16，最小值为a-9，a+16-（a-9）=25，即对应的函数值比最小值大25，故选项错误；
D、△==9-a，当a＜0时，9-a＞0，即方程有两个不同的实数根，即二次函数图象与x轴有两个不同的交点，故选项正确，
故选C.
6．（2020·孝感中考）将抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】利用平移的规律:左加右减，上加下减.并用规律求函数解析式，再因为关于x轴对称的两个抛物线，自变量x的取值相同，函数值y互为相反数，由此可直接得出抛物线的解析式．
解：抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线：，即抛物线：;
由于抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为：.
故选：A．
7．（2020·四川中考）已知不等式ax+b0的解集为x2，则下列结论正确的个数是（　　）
（1）2a+b＝0；
（2）当ca时，函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴没有公共点；
（3）当c0时，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点在直线y＝ax+b的上方；
（4）如果b3且2a﹣mb﹣m＝0，则m的取值范围是﹣m0．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】由不等式的解集得出a＜0，﹣=2，即b=﹣2a，从而得出2a+b=0，即可判断（1）；根据△=4a（a﹣c）＞0即可判断（2）；求得抛物线的顶点为（1，a﹣c）即可判断（3）；求得0＜﹣＜3，得出不等式组的解集为﹣＜m＜0即可判断（4）．
解：（1）∵不等式ax+b＞0的解集为x＜2，
∴a＜0，﹣=2，即b=﹣2a，
∴2a+b=0，故结论正确；
（2）函数y=ax2+bx+c中，令y=0，则ax2+bx+c=0，
∵b=﹣2a，
∴△=b2﹣4ac=（﹣2a）2﹣4ac=4a（a﹣c），
∵a＜0，c＞a，
∴△=4a（a﹣c）＞0，
∴当c＞a时，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，故结论错误；
（3）∵b=﹣2a，
∴﹣=1，==c﹣a，
∴抛物线y=ax2+bx+c的顶点为（1，c﹣a），
当x=1时，直线y=ax+b=a+b=a﹣2a=﹣a＞0
当c＞0时，c﹣a＞﹣a＞0，
∴抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=ax+b的上方，故结论正确；
（4）∵b=﹣2a，
∴由2a﹣mb﹣m=0，得到﹣b﹣mb﹣m=0，
∴b=﹣，
如果b＜3，则0＜﹣＜3，
∴﹣＜m＜0，故结论正确；
故选：C．
8．（2020·广东中考）如图，抛物线的对称轴是．下列结论：①；②；③；④，正确的有（
）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【答案】B
【解析】由抛物线的性质和对称轴是，分别判断a、b、c的符号，即可判断①；抛物线与x轴有两个交点，可判断②；由，得，令，求函数值，即可判断③；令时，则，令时，，即可判断④；然后得到答案．
解：根据题意，则，，
∵，
∴，
∴，故①错误；
由抛物线与x轴有两个交点，则，故②正确；
∵，
令时，，
∴，故③正确；
在中，
令时，则，
令时，，
由两式相加，得，故④正确；
∴正确的结论有：②③④，共3个；
故选：B．
9．（2020·兰州中考）如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于点B、D，若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是　　
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】先求出点A和点B的坐标，然后再求出的解析式，分别求出直线与抛物线相切时m的值以及直线过点B时m的值，结合图形即可得到答案.
解：抛物线与x轴交于点A、B，
∴=0，
∴x1=5，x2=9，
，
抛物线向左平移4个单位长度后的解析式，
当直线过B点，有2个交点，
，
，
当直线与抛物线相切时，有2个交点，
，
，
相切，
，
，
如图，
若直线与、共有3个不同的交点，
--，
故选C．
10．（2020·四川中考）若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是_____．
【答案】
【解析】由已知等式表示出y2，代入s中利用二次函数最值即可确定出s范围．
解：由x+y2＝3，得：y2＝﹣x+3≥0，
∴x≤3，
代入得：s＝x2+8y2＝x2+8（﹣x+3）＝x2﹣8x+24＝（x﹣4）2+8，
当x＝3时，s＝（3﹣4）2+8＝9，
∴．
故答案为：．
11．（2020·内蒙古中考）在平面直角坐标系中，已知和是抛物线上的两点，将抛物线的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为_____．
【答案】4
【解析】通过A、B两点得出对称轴,再根据对称轴公式算出b,由此可得出二次函数表达式,从而算出最小值即可推出n的最小值．
解：∵A、B的纵坐标一样,
∴A、B是对称的两点,
∴对称轴,即,
∴b=﹣4．
．
∴抛物线顶点(2,﹣3)．
满足题意n得最小值为4,
故答案为4．
12．（2020·牡丹江中考）将抛物线向上平移3个单位长度后，经过点，则的值是________．
【答案】-5
【解析】根据二次函数的平移得出平移后的表达式，再将点代入，得到，最后将变形求值即可.
解：将抛物线向上平移3个单位长度后，
表达式为：，
∵经过点，代入，
得：，
则==2×3-11=-5.
故答案为：-5.
13．（2020·西藏中考）当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝_____．
【答案】10
【解析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的值，本题得以解决．
解：∵二次函数y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
∴该函数开口向上，对称轴为x＝2，
∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，
∴当x＝﹣1时，该函数取得最大值，此时m＝（﹣1﹣2）2+1＝10，
故答案为：10．
14．（2020·贵港中考）如图，对于抛物线，，，给出下列结论：①这三条抛物线都经过点；②抛物线的对称轴可由抛物线的对称轴向右平移1个单位而得到；③这三条抛物线的顶点在同一条直线上；④这三条抛物线与直线的交点中，相邻两点之间的距离相等．其中正确结论的序号是_______________．
【答案】①②④
【解析】根据抛物线图象性质及配方法解题．
解：将分别代入抛物线，，中，可知，这三条抛物线都经过点C，故①正确；
抛物线的对称轴为，
抛物线的对称轴为，可由向右平移1个单位而得到，故②正确；
抛物线的顶点为A
抛物线的顶点为B
抛物线的顶点为C
，
三条抛物线的顶点不在同一条直线上，故③错误；
将分别代入三条抛物线，得0或1，0或2，0或3，
可知，相邻两点之间的距离相等，故④正确，
综上所述，正确的是①②④，
故选：①②④．
15．（2020·乐山中考）我们用符号表示不大于的最大整数．例如：，．那么：
（1）当时，的取值范围是______；
（2）当时，函数的图象始终在函数的图象下方．则实数的范围是______．
【答案】
或
【解析】（1）首先利用的整数定义根据不等式确定其整数取值范围，继而利用取整函数定义精确求解x取值范围．
（2）本题可根据题意构造新函数，采取自变量分类讨论的方式判别新函数的正负，继而根据函数性质反求参数．
解：（1）因为表示整数，故当时，的可能取值为0,1,2．
当取0时，
；当取1时，
；当=2时，．
故综上当时，x的取值范围为：．
（2）令，，，
由题意可知：，．
①当时，=，，在该区间函数单调递增，故当时，
，得．
②当时，=0，
不符合题意．
③当时，=1，
，在该区间内函数单调递减，故当取值趋近于2时，，得，
当时，，因为
，故，符合题意．
故综上：或．
16．（2020·宁波中考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+4x﹣3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D．点B的坐标是（1，0）．
（1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围．
（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
【答案】（1）A（2，1），C（3，0），当y＞0时，1＜x＜3；（2）y＝﹣（x﹣4）2+5
【解析】（1）把点B坐标代入抛物线的解析式即可求出a的值，把抛物线的一般式化为顶点式即可求出点A的坐标，根据二次函数的对称性即可求出点C的坐标，二次函数的图象在x轴上方的部分对应的x的范围即为当y＞0时x的取值范围；
（2）先由点D和点A的坐标求出抛物线的平移方式，再根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
解：（1）把B（1，0）代入y＝ax2+4x﹣3，得0＝a+4﹣3，解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴A（2，1），
∵抛物线的对称轴是直线x＝2，B、C两点关于直线x＝2对称，
∴C（3，0），
∴当y＞0时，1＜x＜3；
（2）∵D（0，﹣3），A（2，1），
∴点D平移到点A，抛物线应向右平移2个单位，再向上平移4个单位，
∴平移后抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+5．
17．（2020·湖北中考）把抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线．
（1）直接写出抛物线的函数关系式；
（2）动点能否在拋物线上？请说明理由；
（3）若点都在抛物线上，且，比较的大小，并说明理由．
【答案】（1）；（2）不在，见解析；（3），见解析
【解析】（1）先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标即可；
（2）根据抛物线的顶点的纵坐标为，即可判断点不在拋物线上；
（3）根据抛物线的增减性质即可解答．
解：（1）抛物线，
∴抛物线的顶点坐标为(-1，2)，
根据题意，抛物线的顶点坐标为(-1+4，2-5)，即(3，-3)，
∴抛物线的函数关系式为：；
（2）动点P不在抛物线上．
理由如下：
∵抛物线的顶点为，开口向上，
∴抛物线的最低点的纵坐标为．
∵，
∴动点P不在抛物线上；
（3）．
理由如下：
由（1）知抛物线的对称轴是，且开口向上，
∴在对称轴左侧y随x的增大而减小．
∵点都在抛物线上，且，
∴．
18．（2020·安徽中考）在平而直角坐标系中，已知点，直线经过点．抛物线恰好经过三点中的两点．
判断点是否在直线上．并说明理由；
求的值；
平移抛物线，使其顶点仍在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值．
【答案】（1）点在直线上，理由见详解；（2）a=-1，b=2；（3）
【解析】（1）先将A代入，求出直线解析式，然后将将B代入看式子能否成立即可；
（2）先跟抛物线与直线AB都经过（0，1）点，且B，C两点的横坐标相同，判断出抛物线只能经过A，C两点，然后将A，C两点坐标代入得出关于a，b的二元一次方程组；
（3）设平移后所得抛物线的对应表达式为y=-（x-h）2+k，根据顶点在直线上，得出k=h+1，令x=0，得到平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为-h2+h+1，在将式子配方即可求出最大值．
解：（1）点在直线上，理由如下：
将A（1，2）代入得，
解得m=1，
∴直线解析式为，
将B（2，3）代入，式子成立，
∴点在直线上；
（2）∵抛物线与直线AB都经过（0，1）点，且B，C两点的横坐标相同，
∴抛物线只能经过A，C两点，
将A，C两点坐标代入得，
解得：a=-1，b=2；
（3）设平移后所得抛物线的对应表达式为y=-（x-h）2+k，
∵顶点在直线上，
∴k=h+1，
令x=0，得到平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为-h2+h+1，
∵-h2+h+1=-（h-）2+，
∴当h=时，此抛物线与轴交点的纵坐标取得最大值．
1第三章
函数
第6节
二次函数图象与性质（二）
■考点1
二次函数图像上的点的坐标特征?
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是
①抛物线是关于对称轴________
成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最________点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的________值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=
■考点2
二次函数的最值?
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最________点，所以函数有最小值，当x=-时，y=
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最________值，当x=-时，y=，
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
■考点3
二次函数的平移?
抛物线y＝ax2与y＝a(x－h)2，y＝ax2＋k，y＝a(x－h)2＋k中|a|相同，则图象的开口方向和大小都________，只是________不同．它们之间的平移关系如下：
注意：二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式
失分点警示：
抛物线平移规律是“上加________减，________加右减”,左右平移易弄反.
例：将抛物线y=x2沿x轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是y=（x－2）2．
■考点4
二次函数与一元二次方程以及不等式?
二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
当Δ＝b2－4ac＞0，两个________的实数根；
当Δ＝b2－4ac＝0，两个________的实数根；
当Δ＝b2－4ac＜0，________实根
二次函数与不等式
抛物线y=
ax2＋bx＋c＝0在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式________的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式________的解集.
■考点1：二次函数图像上的点的坐标特征?
◇典例：已知二次函数y＝－2x2＋bx＋c图象的顶点坐标为(3，8)，该二次函数图象的对称轴与x轴的交点为A，M是这个二次函数图象上的点，O是原点．
(1)不等式b＋2c＋8≥0是否成立？请说明理由；
(2)设S是△AMO的面积，求满足S＝9的所有点M的坐标．
◆变式训练：
1．若对于任意非零实数a，抛物线y=ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），则符合条件的点P（　　）
A．有且只有1个
B．有且只有2个
C．至少有3个
D．有无穷多个
2．抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（3，0）和点B（0，3），且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AB、AC、BC，求△ABC的面积．
■考点2：二次函数的最值?
◇典例：当x=________时，二次函数y=x2-2x+6有最小值
_____
◆变式训练：
1．已知二次函数y=x2-2mx（m为常数），当-1≤x≤2时，函数值y的最小值为-2，则m的值是（　　）
A．
B．
C．或
D．-或
2．如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
■考点3：二次函数的平移?
◇典例：将二次函数y=x2﹣1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是　
　．
◆变式训练：
1．将函数y=x2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A（1，4）的方法是（　　）
A．向左平移1个单位
B．向右平移3个单位
C．向上平移3个单位
D．向下平移1个单位
2．已知抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（m＞0）个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段AD的三等分点，则m的值为　
　．
■考点4：二次函数与一元二次方程以及不等式?
◇典例：函数y=ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣4或x＞2
B．﹣4＜x＜2
C．x＜0或x＞2
D．0＜x＜2
◆变式训练：
1．如图，直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A（-1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是
________________
2．已知一次函数y1=4x，二次函数y2=2x2+2，在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值为y1与y2，则下列关系正确的是（　　）
A．y1＞y2
B．y1≥y2
C．y1＜y2
D．y1≤y2
1．已知二次函数的图象（）如图．关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（
）
A．有最大值2，无最小值
B．有最大值2，有最小值1.5
C．有最大值2，有最小值
D．有最大值1.5，有最小值
2．把抛物线先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式是（
）
A．
B．
C．
D．
3．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c<0的解集是（
）
A．
B．
C．或
D．
4．已知二次函数（为常数），当自变量的值满足时与其对应的函数值的最小值为4，则的值为（
）
A．1或5
B．或3
C．或或3
D．或5
5．已知，且，是关于的方程的两根，则的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知抛物线与x轴只有一个公共点，且过点，则b的值为（　　　）
A．4
B．2
C．6
D．9
7．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，且OA＝OC，则下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根为﹣；其中正确的结论个数有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
8．已知点，在二次函数的图象上，点是函数图象的顶点.（
）
A．当＞时，的取值范围时＜＜
B．当＞时，的取值范围是＞
C．当＞时，的取值范围是＜
D．当＞时，的取值范围是＜
9．已知抛物线图象上有两点、，当时，有；当时，最小值是．则的值为（
）
A．
B．
C．或
D．或
10．已知函数y＝，当a≤x≤b时，﹣≤y≤2，则b﹣a的最大值为（　　）
A．
B．
C．
D．2
11．已知抛物线，把该抛物线向上或向下平移，如果平移后的抛物线经过点，那么平移后的抛物线的表达式是______．
12．二次函数的最小值是______．
13．如图，点P是双曲线C：y＝(x＞0)上的一点，过点P作x轴的垂线交直线AB：y＝x﹣2于点Q，连结OP，OQ．当点P在曲线C上运动，且点P在Q的上方时，△POQ面积的最大值是_____．
14．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于两点A（﹣2，p），B（5，q），则不等式ax2+mx+c≤n的解集是_____．
15．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）（3，0）两点，给出的下列6个结论：①ab＜0；②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3；③4a+2b+c＜0；④当x＞1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，﹣1＜x＜3；⑥3a+2c＜0．其中不正确的有_____．
16．如图，已知二次函数的图象与正比例函数交于点A(，)，与x轴交于点B，当时，自变量x的取值范围是___________．
17．如图，直线和抛物线都经过点、点，且，
（1）求的值及点的坐标；
（2）求不等式的解集．（直接写出答案）
18．在平面直角坐标系中xOy中，抛物线yax24ax1
（1）求抛物线的对称轴；
（2）若抛物线过点A(1，6)，求二次函数的表达式；
（3）将点A(1，6)沿x轴向右平移4个单位得到点B，若抛物线与线段AB始终有一个公共点，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．
19．已知y关于x的二次函数y=x?-bx+b?+b-5的图象与x轴有两个公共点．
（1）求b的取值范围；
（2）若b取满足条件的最大整数值，当m≤x≤时，函数y的取值范围是n≤y≤6-2m，求m，n的值；
（3）若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，对应函数y的最小值为，求此时二次函数的解析式．
1．（2020·河北中考）如图，现要在抛物线上找点，针对的不同取值，所找点的个数，三人的说法如下：
甲：若，则点的个数为0；
乙：若，则点的个数为1；
丙：若，则点的个数为1．
下列判断正确的是（
）
A．乙错，丙对
B．甲和乙都错
C．乙对，丙错
D．甲错，丙对
2．（2020·贵阳中考）已知二次函数的图象经过与两点，关于的方程有两个根，其中一个根是3．则关于的方程有两个整数根，这两个整数根是（
）
A．或0
B．或2
C．或3
D．或4
3．（2020·日照中考）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①abc＜0；②3a＜﹣c；③若m为任意实数，则有a﹣bm≤am2+b；
④若图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax2+bx+c+2＝0的两根为x1，x2（|x1|＜|x2|），则2x1﹣x2＝5．其中正确的结论的个数是（　　）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
4．（2020·泸州中考）已知二次函数（其中x是自变量）的图象经过不同两点，，且该二次函数的图象与x轴有公共点，则的值（
）
A．
B．2
C．3
D．4
5．（2020·呼和浩特中考）关于二次函数，下列说法错误的是（
）
A．若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点，则
B．当时，y有最小值
C．对应的函数值比最小值大7
D．当时，图象与x轴有两个不同的交点
6．（2020·孝感中考）将抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2020·四川中考）已知不等式ax+b0的解集为x2，则下列结论正确的个数是（　　）
（1）2a+b＝0；
（2）当ca时，函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴没有公共点；
（3）当c0时，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点在直线y＝ax+b的上方；
（4）如果b3且2a﹣mb﹣m＝0，则m的取值范围是﹣m0．
A．1
B．2
C．3
D．4
8．（2020·广东中考）如图，抛物线的对称轴是．下列结论：①；②；③；④，正确的有（
）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
9．（2020·兰州中考）如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于点B、D，若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是　　
A．
B．
C．
D．
10．（2020·四川中考）若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是_____．
11．（2020·内蒙古中考）在平面直角坐标系中，已知和是抛物线上的两点，将抛物线的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为_____．
12．（2020·牡丹江中考）将抛物线向上平移3个单位长度后，经过点，则的值是________．
13．（2020·西藏中考）当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝_____．
14．（2020·贵港中考）如图，对于抛物线，，，给出下列结论：①这三条抛物线都经过点；②抛物线的对称轴可由抛物线的对称轴向右平移1个单位而得到；③这三条抛物线的顶点在同一条直线上；④这三条抛物线与直线的交点中，相邻两点之间的距离相等．其中正确结论的序号是_______________．
15．（2020·乐山中考）我们用符号表示不大于的最大整数．例如：，．那么：
（1）当时，的取值范围是______；
（2）当时，函数的图象始终在函数的图象下方．则实数的范围是______．
16．（2020·宁波中考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+4x﹣3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D．点B的坐标是（1，0）．
（1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围．
（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
17．（2020·湖北中考）把抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线．
（1）直接写出抛物线的函数关系式；
（2）动点能否在拋物线上？请说明理由；
（3）若点都在抛物线上，且，比较的大小，并说明理由．
18．（2020·安徽中考）在平而直角坐标系中，已知点，直线经过点．抛物线恰好经过三点中的两点．
判断点是否在直线上．并说明理由；
求的值；
平移抛物线，使其顶点仍在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值．
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