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·
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一
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血
。
研
究
教
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根
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，
解
决
根
本
问
题
。
考
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函数
第4节
反比例函数及其应用
■考点1
反比例函数的概念及其图象、性质?
1．反比例函数的概念
（1）定义：形如y＝（k≠0）的函数称为反比例函数，________叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．
（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：
①y=________；②y=________;③xy=k.（其中k为常数，且k≠0）
2．反比例函数的图象
反比例函数y＝（k≠0）的图象是由两个分支组成的________，且不与两坐标轴相交．
3．反比例函数的性质
（1）当k＞0时，图象在________象限，在图象所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而________
（2）当k＜0时，图象在________象限，在图象所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而________．
（3）其图象既是关于原点对称的中心图形，又是________图形．对称轴分别是：①二、四象限的角平分线y=-x；②一、三象限的角平分线y=x；对称中心是：坐标原点．
注意：（1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k.
（2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断.
■考点2
比例系数k的几何意义?
（1）意义：从反比例函数y＝（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为|k|.
（2）常见的面积类型：
■考点3
利用待定系数法确定反比例函数表达式?
（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y=（k为常数，k≠0）；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；
（3）解方程，求出待定系数；
（4）写出解析式．
■考点4
反比例函数与一次函数的综合?
（1）确定交点坐标：
方法一：已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.
方法二：联立两个函数解析式，利用方程思想求解.
（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解
（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.
（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.
■考点5
反比例函数的实际应用?
（1）题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；
（2）设出函数表达式；
（3）依题意求解函数表达式；
（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.
■考点1：反比例函数的概念及其图象、性质?
◇典例：一次函数y=ax+b与反比例函数y=，其中ab＜0，a、b为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（　　）
A．
B．
C．
D．
◆变式训练
1．若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y=（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3
B．y3＜y2＜y1
C．y2＜y1＜y3
D．y3＜y1＜y2
2．如图，一块砖的A，B，C三个面的面积比是4：2：1．如果A，B，C面分别向下放在地上，地面所受压强为p1，p2，p3，压强的计算公式为p=，其中P是压强，F是压力，S是受力面积，则p1，p2，p3，的大小关系正确的是（　　）
A．p1＞p2＞p3
B．p1＞p3＞p2
C．p2＞p1＞p3
D．p3＞p2＞p1
■考点2：比例系数k的几何意义?
◇典例：如图，反比例函数y=的图象经过?ABCD对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上，BD⊥DC，?ABCD的面积为6，则k=________
◆变式训练
1．如图，菱形ABCD的边AD与x轴平行，A、B两点的横坐标分别为1和3，反比例函数y=的图象经过A、B两点，则菱形ABCD的面积是（　　）
A．4
B．4
C．2
D．2
2．如图，曲线C2是双曲线C1：y=（x＞0）绕原点O逆时针旋转45°得到的图形，P是曲线C2上任意一点，点A在直线l：y=x上，且PA=PO，则△POA的面积等于（　　）
A．
B．6
C．3
D．12
■考点3：利用待定系数法确定反比例函数表达式?
◇典例：如图，B（3，﹣3），C（5，0），以OC，CB为边作平行四边形OABC，则经过点A的反比例函数的解析式为________．
◆变式训练
1．点A（﹣3，2）在反比例函数y=（k≠0）的图象上，则k的值是（　　）
A．﹣6
B．﹣
C．﹣1
D．6
2．如图，已知点A在反比例函数y=上，AC⊥x轴，垂足为点C，且△AOC的面积为4，则此反比例函数的表达式为（　　）
A．y=
B．y=
C．y=
D．y=﹣
■考点4：反比例函数与一次函数的综合?
◇典例：如图，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A（2，3），B（6，1）两点，当k1x+b＜时，x的取值范围为（　　）
A．x＜2
B．2＜x＜6
C．x＞6
D．0＜x＜2或x＞6
◆变式训练：如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=（a≠0）的图象在第二象限交于点A（m，2）．与x轴交于点C（﹣1，0）．过点A作AB⊥x轴于点B，△ABC的面积是3．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若直线AC与y轴交于点D，求△BCD的面积．
■考点5：反比例函数的实际应用?
◇典例：某公司从2014年开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的成本不断降低，具体数据如下表：
年
度
2013
2014
2015
2016
投入技改资金x（万元）
2.5
3
4
4.5
产品成本y（万元/件）
7.2
6
4.5
4
（1）请你认真分析表中数据，从一次函数和反比例函数中确定哪一个函数能表示其变化规律，给出理由，并求出其解析式；
（2）按照这种变化规律，若2017年已投入资金5万元．
①预计生产成本每件比2016年降低多少万元？
②若打算在2017年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需要投入技改资金多少万元？（结果精确到0.01万元）．
◆变式训练：月电科技有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分．设公司销售这种电子产品的年利润为s（万元）．（注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本．）
（1）请求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；
（2）求出第一年这种电子产品的年利润s（万元）与x（元/件）之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值．
（3）假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润s（万元）取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格x（元）定在8元以上（x＞8），当第二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润s（万元）与销售价格x（元/件）的函数示意图，求销售价格x（元/件）的取值范围．
1．反比例函数y=（k≠0）经过点(2，3)，则k的值为（
）
A．0
B．3
C．6
D．5
2．在同一直角坐标系中反比例函数与一次函数的图象大致是（
）
A．
B．C．
D．
3．已知函数与在同一平面直角坐标系内的图象如图所示，由图象可知，取什么值时（
）
A．或
B．或
C．或
D．或
4．在反比例函数y＝图象的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是（　　）
A．k＞2
B．k＞0
C．k≥2
D．k＜2
5．如图所示，点P，Q是反比例函数图象上的两点，轴于点A，轴于点N，作轴于点M，轴于点B，连接PB、QM，△ABP的面积记为，△QMN的面积记为，则（
）
A．S1＞S2
B．S1＝S2
C．S1＜S2
D．不能确定
6．如图，已知双曲线经过矩形边的中点，交于点且四边形的面积为6，则的值为（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的边OB在x轴上，过点A的反比例函数y＝的图象交AB于点C，且AC：CB＝2：1，S△OAC＝，则k的值为（　　）
A．
B．
C．2
D．2
8．如图，正比例函数与反比例函数的图象有一个交点，轴于点．平移直线，使其经过点，得到直线，则直线对应的函数表达式是（
）
A．
B．
C．
D．
9．反比例函数图象过点，则______(填“＞”“＝”或“＜”)
10．如图，在平面直角坐标系中，点P在函数y＝（x＞0）上，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点B、A，点C、D在x轴上，CD＝AP，则四边形ACDP的面积为______．
11．反比例函数的图象在一、三象限,则应满足_________________.
12．如图，点是反比例函数的图象上任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作平行四边形
，其中、在轴上，则
为_________．
13．如图，是同一双曲线上的三点过这三点分别作轴的垂线，垂足分别为，连结得到的面积分别为.那么的大小关系为____．
14．如图，直线y＝ax经过点A（4，2），点B在双曲线y＝（x＞0）的图象上，连结OB、AB，若∠ABO＝90°，BA＝BO，则k的值为_____．
15．如图，直线y＝2x﹣1交y轴于A，交双曲线y＝（k＞0，x＞0）于B，将线段AB绕B点逆时针方向旋转90°，A点的对应点为C，若C点落在双曲线y＝（k＞0，x＞0）上，则k的值为_____．
16．如图，在中，
，顶点在
轴上，顶点在反比例函数的图象上，已知点
的纵坐标是
3，则经过点
的反比例函数的解析式为_____________
17．如图，直线与轴、轴分别交于，与双曲线交于.
（1）求直线的解析式.
（2）将点向右平移到点，使恰好在双曲线上；当第四象限点满足时，求点的坐标.
18．如图，矩形ABCD的两边AD，AB的长分别为3，8，E是AB的中点，反比例函数y＝的图象经过点E，与CD交于点F．
（1）若点C坐标为（6，0），求m的值及图象经过D，E两点的直线解析式；
（2）若DF﹣DE＝2，求反比例函数的表达式．
19．在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为时，它的另一边长为．
（1）设矩形的相邻两边长分别为
①求关于的函数表达式，
②当时，求的取值范围．
（2）是否有一个矩形的周长为？如果没有请说明理由，如果有，请求出边长．
20．饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热……，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：
（1）当0≤x＜8时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式．
（2）求图中t的值；
（3）若在通电开机后即外出散步，请你预测散步42分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？
1．（2020·营口中考）反比例函数y＝（x＜0）的图象位于（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．（2020·阜新中考）若与都是反比例函数图象上的点，则a的值是（
）
A．4
B．
C．2
D．
3．（2020·烟台中考）如图，正比例函数y1＝mx，一次函数y2＝ax+b和反比例函数y3＝的图象在同一直角坐标系中，若y3＞y1＞y2，则自变量x的取值范围是（
）
A．x＜﹣1
B．﹣0.5＜x＜0或x＞1
C．0＜x＜1
D．x＜﹣1或0＜x＜1
4．（2020·大庆中考）已知正比例函数和反比例函数，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合的是（
）
A．①②
B．①④
C．②③
D．③④
5．（2020·四川中考）已知函数，当函数值为3时，自变量x的值为（　　）
A．﹣2
B．﹣
C．﹣2或﹣
D．﹣2或﹣
6．（2020·长沙中考）2019年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁两站设计方案，该方案以三湘四水，杜鹃花开
，塑造出杜鹃花开的美丽姿态，该高铁站建设初期需要运送大量的土石方，某运输公司承担了运送总量为土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度（单位：天）与完成运送任务所需的时间t（单位：天）之间的函数关系式是（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2020·西藏中考）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，将直线y＝x沿y轴向上平移b个单位长度，交y轴于点B，交反比例函数图象于点C．若OA＝2BC，则b的值为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
8．（2020·葫芦岛中考）如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，点和点在边上，，连接轴，则的值为（
）
A．
B．3
C．4
D．
9．（2020·威海中考）如图，点，点都在反比例函数的图象上，过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为点，．连接，，．若四边形的面积记作，的面积记作，则（
）
A．
B．
C．
D．
10．（2020·呼和浩特中考）在同一坐标系中，若正比例函数与反比例函数的图象没有交点，则与的关系，下面四种表述①；②或；③；④．正确的有（
）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
11．（2020·哈尔滨中考）已知反比例函数的图像经过点，则的值是____________________．
12．（2020·永州中考）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，C两点，过点A作轴于点B，过点C作轴于点D，则的面积为_________．
13．（2020·温州中考）点P，Q，R在反比例函数（常数k＞0，x＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3．若OE＝ED＝DC，S1＋S3＝27，则S2的值为_______．
14．（2020·荆门中考）如图，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，，将绕点O顺时针旋转，点B落在y轴上的点D处，得到，交于点G，若反比例函数的图象经过点G，则k的值为______．
15．（2020·广西中考）反比例函数y＝（x＜0）的图象如图所示，下列关于该函数图象的四个结论：①k＞0；②当x＜0时，y随x的增大而增大；③该函数图象关于直线y＝﹣x对称；④若点（﹣2，3）在该反比例函数图象上，则点（﹣1，6）也在该函数的图象上．其中正确结论的个数有_____个．
16．（2020·陕西中考）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过其中两点，则m的值为_____．
17．（2020·贵港中考）如图，双曲线（为常数，且）与直线交于和两点．
（1）求，的值；
（2）当时，试比较函数值与的大小．
18．如图，平行于y轴的直尺（部分）与反比例函数（x＞0）的图象交于A、C两点，与x轴交于B、D两点，连接AC，点A、B对应直尺上的刻度分别为5、2，直尺的宽度BD＝2，OB＝2．设直线AC的解析式为y＝kx+b．
（1）请结合图象，直接写出：
①点A的坐标是　
　；
②不等式的解集是　
　；
（2）求直线AC的解析式．
19．（2020·玉林中考）南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设，玉林辆隧道是全线控制性隧道，首期打通共有土石方总量600千立方米，总需要时间y天，且完成首期工程限定时间不超过600天．设每天打通土石方x千立方米．
（1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）由于工程进度的需要，实际平均每天挖掘土石方比原计划多0.2千立方米，工期比原计划提前了100天完成，求实际挖掘了多少天才能完成首期工程？
20．（2020·昆明中考）为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要19min；完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要11min．
（1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间？
（2）消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时y与x的函数关系式为y＝2x，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A（m，n）．当教室空气中的药物浓度不高于1mg/m3时，对人体健康无危害，校医依次对一班至十一班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当她把最后一间教室药物喷洒完成后，一班学生能否进入教室？请通过计算说明．
1第三章
函数
第4节
反比例函数及其应用
■考点1
反比例函数的概念及其图象、性质?
1．反比例函数的概念
（1）定义：形如y＝（k≠0）的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．
（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：
①y=；②y=kx-1;③xy=k.（其中k为常数，且k≠0）
2．反比例函数的图象
反比例函数y＝（k≠0）的图象是由两个分支组成的双曲线，且不与两坐标轴相交．
3．反比例函数的性质
（1）当k＞0时，图象在一、三象限，在图象所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而减小
（2）当k＜0时，图象在二、四象限，在图象所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大．
（3）其图象既是关于原点对称的中心图形，又是轴图形．对称轴分别是：①二、四象限的角平分线y=-x；②一、三象限的角平分线y=x；对称中心是：坐标原点．
注意：（1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k.
（2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断.
■考点2
比例系数k的几何意义?
（1）意义：从反比例函数y＝（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为|k|.
（2）常见的面积类型：
■考点3
利用待定系数法确定反比例函数表达式?
（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y=（k为常数，k≠0）；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；
（3）解方程，求出待定系数；
（4）写出解析式．
■考点4
反比例函数与一次函数的综合?
（1）确定交点坐标：
方法一：已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.
方法二：联立两个函数解析式，利用方程思想求解.
（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解
（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.
（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.
■考点5
反比例函数的实际应用?
（1）题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；
（2）设出函数表达式；
（3）依题意求解函数表达式；
（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.
■考点1：反比例函数的概念及其图象、性质?
◇典例：一次函数y=ax+b与反比例函数y=，其中ab＜0，a、b为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．
【分析】根据一次函数的位置确定a、b的大小，看是否符合ab＜0，计算a﹣b确定符号，确定双曲线的位置．
解：A、由一次函数图象过一、三象限，得a＞0，交y轴负半轴，则b＜0，
满足ab＜0，
∴a﹣b＞0，
∴反比例函数y=的图象过一、三象限，
所以此选项不正确；
B、由一次函数图象过二、四象限，得a＜0，交y轴正半轴，则b＞0，
满足ab＜0，
∴a﹣b＜0，
∴反比例函数y=的图象过二、四象限，
所以此选项不正确；
C、由一次函数图象过一、三象限，得a＞0，交y轴负半轴，则b＜0，
满足ab＜0，
∴a﹣b＞0，
∴反比例函数y=的图象过一、三象限，
所以此选项正确；
D、由一次函数图象过二、四象限，得a＜0，交y轴负半轴，则b＜0，
满足ab＞0，与已知相矛盾
所以此选项不正确；
故选C．
◆变式训练
1．若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y=（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3
B．y3＜y2＜y1
C．y2＜y1＜y3
D．y3＜y1＜y2
【考点】反比例函数的性质
【分析】直接利用反比例函数的性质分析得出答案．
解：∵点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y=（k＜0）上，
∴（﹣2，y1），（﹣1，y2）分布在第二象限，（3，y3）在第四象限，每个象限内，y随x的增大而增大，
∴y3＜y1＜y2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数增减性是解题关键．
2．如图，一块砖的A，B，C三个面的面积比是4：2：1．如果A，B，C面分别向下放在地上，地面所受压强为p1，p2，p3，压强的计算公式为p=，其中P是压强，F是压力，S是受力面积，则p1，p2，p3，的大小关系正确的是（　　）
A．p1＞p2＞p3
B．p1＞p3＞p2
C．p2＞p1＞p3
D．p3＞p2＞p1
【考点】有理数大小比较，反比例函数的性质
【分析】直接利用反比例函数的性质进而分析得出答案．
解：∵p=，F＞0，
∴p随S的增大而减小，
∵A，B，C三个面的面积比是4：2：1，
∴p1，p2，p3的大小关系是：p3＞p2＞p1．
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确把握反比例函数的性质是解题关键．
■考点2：比例系数k的几何意义?
◇典例：如图，反比例函数y=的图象经过?ABCD对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上，BD⊥DC，?ABCD的面积为6，则k=　
　．
【考点】反比例函数比例系数k的几何意义，平行四边形的性质
【分析】由平行四边形面积转化为矩形BDOA面积，在得到矩形PDOE面积，应用反比例函数比例系数k的意义即可．
解：过点P做PE⊥y轴于点E
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB=CD
又∵BD⊥x轴
∴ABDO为矩形
∴AB=DO
∴S矩形ABDO=S?ABCD=6
∵P为对角线交点，PE⊥y轴
∴四边形PDOE为矩形面积为3
即DO?EO=3
∴设P点坐标为（x，y）
k=xy=﹣3
故答案为：﹣3
【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义以及平行四边形的性质．
◆变式训练
1．如图，菱形ABCD的边AD与x轴平行，A、B两点的横坐标分别为1和3，反比例函数y=的图象经过A、B两点，则菱形ABCD的面积是（　　）
A．4
B．4
C．2
D．2
【考点】反比例函数的系数k的几何意义，菱形的性质
【分析】作AH⊥BC交CB的延长线于H，根据反比例函数解析式求出A的坐标、点B的坐标，求出AH、BH，根据勾股定理求出AB，根据菱形的面积公式计算即可．
解：作AH⊥BC交CB的延长线于H，
∵反比例函数y=的图象经过A、B两点，A、B两点的横坐标分别为1和3，
∴A、B两点的纵坐标分别为3和1，即点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（3，1），
∴AH=3﹣1=2，BH=3﹣1=2，
由勾股定理得，AB==2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB=2，
∴菱形ABCD的面积=BC×AH=4，
故选：A．
【点评】本题考查的是反比例函数的系数k的几何意义、菱形的性质，根据反比例函数解析式求出A的坐标、点B的坐标是解题的关键．
2．如图，曲线C2是双曲线C1：y=（x＞0）绕原点O逆时针旋转45°得到的图形，P是曲线C2上任意一点，点A在直线l：y=x上，且PA=PO，则△POA的面积等于（　　）
A．
B．6
C．3
D．12
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化﹣旋转
【分析】将双曲线逆时针旋转使得l与y轴重合，等腰三角形△PAO的底边在y轴上，应用反比例函数比例系数k的性质解答问题．
解：如图，将C2及直线y=x绕点O逆时针旋转45°，则得到双曲线C3，直线l与y轴重合．
双曲线C3，的解析式为y=﹣
过点P作PB⊥y轴于点B
∵PA=PB
∴B为OA中点．
∴S△PAB=S△POB
由反比例函数比例系数k的性质，S△POB=3
∴△POA的面积是6
故选：B．
【点评】本题为反比例函数综合题，考查了反比例函数的轴对称性以及反比例函数比例系数k的几何意义．
■考点3：利用待定系数法确定反比例函数表达式?
◇典例：如图，B（3，﹣3），C（5，0），以OC，CB为边作平行四边形OABC，则经过点A的反比例函数的解析式为　
　．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式，平行四边形的性质
【分析】设A坐标为（x，y），根据四边形OABC为平行四边形，利用平移性质确定出A的坐标，利用待定系数法确定出解析式即可．
解：设A坐标为（x，y），
∵B（3，﹣3），C（5，0），以OC，CB为边作平行四边形OABC，
∴x+5=0+3，y+0=0﹣3，
解得：x=﹣2，y=﹣3，即A（﹣2，﹣3），
设过点A的反比例解析式为y=，
把A（﹣2，﹣3）代入得：k=6，
则过点A的反比例解析式为y=，
故答案为：y=
【点评】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及平行四边形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
◆变式训练
1．点A（﹣3，2）在反比例函数y=（k≠0）的图象上，则k的值是（　　）
A．﹣6
B．﹣
C．﹣1
D．6
【分析】根据点A的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值，此题得解．
解：∵A（﹣3，2）在反比例函数y=（k≠0）的图象上，
∴k=（﹣3）×2=﹣6．
故选：A．
2．如图，已知点A在反比例函数y=上，AC⊥x轴，垂足为点C，且△AOC的面积为4，则此反比例函数的表达式为（　　）
A．y=
B．y=
C．y=
D．y=﹣
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数系数k的几何意义．
【分析】由S△AOC=xy=4，设反比例函数的解析式y=，则k=xy=8．
解：∵S△AOC=4，
∴k=2S△AOC=8；
∴y=；
故选：C．
■考点4：反比例函数与一次函数的综合?
◇典例：如图，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A（2，3），B（6，1）两点，当k1x+b＜时，x的取值范围为（　　）
A．x＜2
B．2＜x＜6
C．x＞6
D．0＜x＜2或x＞6
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】根据图象直线在反比例函数图象的下方部分的对应的自变量的值即为所求．
解：由图象可知，当k1x+b＜时，x的取值范围为0＜x＜2或x＞6．
故选：D．
【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及待定系数法求解析式．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
◆变式训练：如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=（a≠0）的图象在第二象限交于点A（m，2）．与x轴交于点C（﹣1，0）．过点A作AB⊥x轴于点B，△ABC的面积是3．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若直线AC与y轴交于点D，求△BCD的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】（1）由点A的坐标可得出点B的坐标，结合点C的坐标可得出AB、BC的长度，由△ABC的面积是3可得出关于m的一元一次方程，解之可得出点A的坐标，由点A、C的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法，即可求出一次函数和反比例函数的解析式；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，进而可得出OD的长度，再利用三角形的面积公式即可求出△BCD的面积．
解：（1）∵AB⊥x轴于点B，点A（m，2），
∴点B（m，0），AB=2．
∵点C（﹣1，0），
∴BC=﹣1﹣m，
∴S△ABC=AB?BC=﹣1﹣m=3，
∴m=﹣4，
∴点A（﹣4，2）．
∵点A在反比例函数y=（a≠0）的图象上，
∴a=﹣4×2=﹣8，
∴反比例函数的解析式为y=﹣．
将A（﹣4，2）、C（﹣1，0）代入y=kx+b，得：
，解得：，
∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣．
（2）当x=0时，y=﹣x﹣=﹣，
∴点D（0，﹣），
∴OD=，
∴S△BCD=BC?OD=×3×=1．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例（一次）函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）由△ABC的面积是3求出m的值；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征求出点D的坐标．
■考点5：反比例函数的实际应用?
◇典例：某公司从2014年开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的成本不断降低，具体数据如下表：
年
度
2013
2014
2015
2016
投入技改资金x（万元）
2.5
3
4
4.5
产品成本y（万元/件）
7.2
6
4.5
4
（1）请你认真分析表中数据，从一次函数和反比例函数中确定哪一个函数能表示其变化规律，给出理由，并求出其解析式；
（2）按照这种变化规律，若2017年已投入资金5万元．
①预计生产成本每件比2016年降低多少万元？
②若打算在2017年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需要投入技改资金多少万元？（结果精确到0.01万元）．
【考点】反比例函数的应用．
【分析】（1）从题很容易看出x与y的乘积为定值，应为反比例关系，由此即可解决问题；
（2）①直接把x=5万元代入函数解析式即可求解；
②直接把y=3.2万元代入函数解析式即可求解；
解：（1）：∵2.5×7.2=18，3×6=18，4×4.5=18，4.5×4=18，
∴x与y的乘积为定值18，
∴反比例函数能表示其变化规律，其解析式为y=．
（2）①当x=5万元时，y=3.6．
4﹣3.6=0.4（万元），
∴生产成本每件比2016年降低0.4万元．
②当y=3.2万元时，3.2=，
∴x=5.625≈5.63，
5.63﹣5=0.63万元
∴还需投入0.63万元．
◆变式训练：月电科技有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分．设公司销售这种电子产品的年利润为s（万元）．（注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本．）
（1）请求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；
（2）求出第一年这种电子产品的年利润s（万元）与x（元/件）之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值．
（3）假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润s（万元）取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格x（元）定在8元以上（x＞8），当第二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润s（万元）与销售价格x（元/件）的函数示意图，求销售价格x（元/件）的取值范围．
【考点】反比例函数的应用；二次函数的应用．
【分析】（1）依据待定系数法，即可求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；
（2）分两种情况进行讨论，当x=8时，smax=﹣80；当x=16时，smax=﹣16；根据﹣16＞﹣80，可得当每件的销售价格定为16元时，第一年年利润的最大值为﹣16万元．
（3）根据第二年的年利润s=（x﹣4）（﹣x+28）﹣16=﹣x2+32x﹣128，令s=103，可得方程103=﹣x2+32x﹣128，解得x1=11，x2=21，然后在平面直角坐标系中，画出s与x的函数图象，根据图象即可得出销售价格x（元/件）的取值范围．
解：（1）当4≤x≤8时，设y=，将A（4，40）代入得k=4×40=160，
∴y与x之间的函数关系式为y=；
当8＜x≤28时，设y=k'x+b，将B（8，20），C（28，0）代入得，
，解得，
∴y与x之间的函数关系式为y=﹣x+28，
综上所述，y=；
（2）当4≤x≤8时，s=（x﹣4）y﹣160=（x﹣4）?﹣160=﹣，
∵当4≤x≤8时，s随着x的增大而增大，
∴当x=8时，smax=﹣=﹣80；
当8＜x≤28时，s=（x﹣4）y﹣160=（x﹣4）（﹣x+28）﹣160=﹣（x﹣16）2﹣16，
∴当x=16时，smax=﹣16；
∵﹣16＞﹣80，
∴当每件的销售价格定为16元时，第一年年利润的最大值为﹣16万元．
（3）∵第一年的年利润为﹣16万元，
∴16万元应作为第二年的成本，
又∵x＞8，
∴第二年的年利润s=（x﹣4）（﹣x+28）﹣16=﹣x2+32x﹣128，
令s=103，则103=﹣x2+32x﹣128，
解得x1=11，x2=21，
在平面直角坐标系中，画出s与x的函数示意图可得：
观察示意图可知，当s≥103时，11≤x≤21，
∴当11≤x≤21时，第二年的年利润s不低于103万元．
1．反比例函数y=（k≠0）经过点(2，3)，则k的值为（
）
A．0
B．3
C．6
D．5
【答案】C
【解析】直接根据反比例函数图象上点的坐标特征求解．
解：∵反比例函数y=（k≠0）经过点（2，3），
∴k=2×3=6．
故选：C．
2．在同一直角坐标系中反比例函数与一次函数的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据一次函数与反比例函数图象与系数之间的关系综合分析．
解：由一次函数可知：，则一次函数必定经过一、三象限，则排除A、C；
对于B，一次函数图象与y轴交于负半轴，可知，
此时反比例函数图象必定过二、四象限，故错误；
对于D，一次函数图象与y轴交于正半轴，可知，
此时反比例函数图象必定经过一、三象限，故正确；
故选：D．
3．已知函数与在同一平面直角坐标系内的图象如图所示，由图象可知，取什么值时（
）
A．或
B．或
C．或
D．或
【答案】C
【解析】根据的图像在的图像上方时x的取值范围即可解答．
解：由两函数图象可知，当或时，．
故选：C
4．在反比例函数y＝图象的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是（　　）
A．k＞2
B．k＞0
C．k≥2
D．k＜2
【答案】D
【解析】根据反比例函数的性质，可求k的取值范围．
解：∵反比例函数y＝图象的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，
∴k﹣2＜0，
∴k＜2
故选：D．
5．如图所示，点P，Q是反比例函数图象上的两点，轴于点A，轴于点N，作轴于点M，轴于点B，连接PB、QM，△ABP的面积记为，△QMN的面积记为，则（
）
A．S1＞S2
B．S1＝S2
C．S1＜S2
D．不能确定
【答案】B
【解析】设P（a，b），Q（m，n），根据三角形的面积公式即可求出结果．
解：设P（a，b），Q（m，n），
则S△ABP===，
S△QMN===，
点P，Q在反比例函数的图象上，
S1＝S2
故选B.
6．如图，已知双曲线经过矩形边的中点，交于点且四边形的面积为6，则的值为（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】C
【解析】利用反比例函数图象上点的坐标，设F（a，），则根据F点为AB的中点得到B（a，
），然后根据反比例函数系数k的几何意义，利用矩形ABCO的面积=S△OCE+S△AOF+S四边形OEBF得到k+k+6=a?，再解关于k的方程即可．
解：设F（a，），则B（a，），
因为矩形ABCO的面积=S△OCE+S△AOF+S四边形OEBF，
所以k+k+6=a?，
解得k=6．
故选C．
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的边OB在x轴上，过点A的反比例函数y＝的图象交AB于点C，且AC：CB＝2：1，S△OAC＝，则k的值为（　　）
A．
B．
C．2
D．2
【答案】B
【解析】设C（a，b），根据题意则A（a，3b），然后根据S△OAC＝S梯形AMNC＋S△OAM?S△CON＝S梯形AMNC，得到（3b＋b）（a?a）＝，即可求得k＝ab＝．
解：设C（a，b），
作AM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，
∴ON＝a，CN＝b，
∵CN∥AM，
∴△BCN∽△BAM，
∴，
∵AC：CB＝2：1，
∴BC：AB＝1：3，
∴AM＝3CN＝3b，
∵点A的反比例函数y＝的图象交AB于点C，
∴OM?AM＝O?CN＝k，
∴OM＝ON＝a，
∵S△OAC＝S梯形AMNC+S△OAM﹣S△CON＝S梯形AMNC，
∴S梯形AMNC＝（3b＋b）（a?a）＝，
∴k＝ab＝，
故选：B．
8．如图，正比例函数与反比例函数的图象有一个交点，轴于点．平移直线，使其经过点，得到直线，则直线对应的函数表达式是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】首先利用图象上点的坐标特征得出A点坐标，进而得出正比例函数解析式，再利用平移的性质得出答案．
解：∵正比例函数y=kx与反比例函数y=的图象有一个交点A（2，m），
∴2m=6，
解得：m=3，
故A（2，3），
则3=2k，
解得：k=
，
故正比例函数解析式为：y=x，
∵AB⊥x轴于点B，平移直线y=kx，使其经过点B，
∴B（2，0），
∴设平移后的解析式为：y=x+b，
则0=3+b，
解得：b=-3，
故直线l对应的函数表达式是：y=x-3．
故选：B．
9．反比例函数图象过点，则______(填“＞”“＝”或“＜”)
【答案】
【解析】利用反比例函数的性质即可判断．
解：反比例函数k=2>0，反比例函数的性质，在每个象限内y随x的增大而减小，0＜2＜3，y1>y2．
故答案为：>．
10．如图，在平面直角坐标系中，点P在函数y＝（x＞0）上，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点B、A，点C、D在x轴上，CD＝AP，则四边形ACDP的面积为______．
【答案】3
【解析】根据反比例函数系数k的几何意义求得S矩形AOBP＝3，根据题意证得四边形ACDP是平行四边形，即可得到S四边形ACDP＝AP?OA＝S矩形AOBP＝3．
解：∵点P在函数y＝（x＞0）上，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点B、A，
∴S矩形AOBP＝3，
∵CD＝AP，CDAP，
∴四边形ACDP是平行四边形，
∴S四边形ACDP＝AP?OA＝S矩形AOBP＝3，
故答案为：3．
11．反比例函数的图象在一、三象限,则应满足_________________.
【答案】
【解析】根据条件反比例函数的图象在一、三象限,可知k+2＞0，即可求出k的取值.
解：∵反比例函数的图象在一、三象限,
∴＞0，
∴k+2＞0，
∴
故答案为：
12．如图，点是反比例函数的图象上任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作平行四边形
，其中、在轴上，则
为
_________．
【答案】2-a
【解析】根据题意连结OA、OB，AB交y轴于E，由于AB⊥y轴，根据反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义得到S△OEA与S△OBE，则四边形ABCD为平行四边形，然后根据平行四边形的性质得到S平行四边形ABCD=2S△OAB=2-a．
解：连结OA、OB，AB交y轴于E，如图，
∵AB∥x轴，
∴AB⊥y轴，
∴，
∴，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴S平行四边形ABCD=2S△OAB=2-a．
故答案为：2-a．
13．如图，是同一双曲线上的三点过这三点分别作轴的垂线，垂足分别为，连结得到的面积分别为.那么的大小关系为____．
【答案】S1＝S2＝S3
【解析】根据反比例函数k的几何意义进行判断．
解：设P1、P2、P3三点都在反比例函数y＝上，
则S1＝|k|，S2＝|k|，S3＝|k|，
所以S1＝S2＝S3．
故答案为S1＝S2＝S3．
14．如图，直线y＝ax经过点A（4，2），点B在双曲线y＝（x＞0）的图象上，连结OB、AB，若∠ABO＝90°，BA＝BO，则k的值为_____．
【答案】3．
【解析】作BC⊥x轴于C，AD⊥BC于D，易证得△BOC≌△ABD，得出OC=BD，BC=AD，设B的坐标为（m，n），则OC=m，BC=n，根据线段相等的关系得到
，解得
，求得B的坐标，然后代入y=（x＞0）即可求得k的值．
解：作BC⊥x轴于C，AD⊥BC于D，则∠COB+∠OBC=90°，
∵∠ABO=90°，
∴∠OBC+∠ABD=90°，
∴∠COB=∠ABD，
在△BOC和△ABD中
∴△BOC≌△ABD（AAS），
∴OC=BD，BC=AD，
设B的坐标为（m，n），则OC=m，BC=n，
∵点A（4，2），
∴
，解得，
∴B的坐标为（1，3），
∵点B在双曲线y=（x＞0）的图象上，
∴k=1×3=3，
故答案为3．
15．如图，直线y＝2x﹣1交y轴于A，交双曲线y＝（k＞0，x＞0）于B，将线段AB绕B点逆时针方向旋转90°，A点的对应点为C，若C点落在双曲线y＝（k＞0，x＞0）上，则k的值为_____．
【答案】6
【解析】过点B作BE∥x轴交y轴于点E，过点C作CD⊥BD于点D，通过证明三角形全等得出BE＝CD＝x，AE＝BD＝+1，再根据反比例函数和一次函数上点的坐标特征列出关于k的方程，解出方程即可．
解：过点B作BE∥x轴交y轴于点E，过点C作CD⊥BD于点D，如图：
由旋转得，AB=BC，
∵∠CBD+∠ABE=90°,∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠CBD=∠BAE，
在△ABE和△BCD中，
∴△ABE≌△BCD，
∴BE＝CD，AE＝BD，
∵直线y＝2x﹣1交y轴于A，
∴A（0，﹣1），
设点B（x，），则BE＝CD＝x，AE＝BD＝+1，
∴C（x++1，﹣x），
∵C点落在双曲线y＝（k＞0，x＞0）上，
∴k＝（x++1）（﹣x）①，
∵点B在直线y＝2x﹣1上，
∴＝2x﹣1②，
∴联立①②解得：k＝6，
故答案为：6．
16．如图，在中，
，顶点在
轴上，顶点在反比例函数的图象上，已知点
的纵坐标是
3，则经过点
的反比例函数的解析式为_____________
【答案】
【解析】过C作CD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，即可得到△ABE≌△CAD，依据全等三角形的性质以及点C的坐标，即可得到点B的坐标，进而得出经过点B的反比例函数的解析式．
解：如图所示，过C作CD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，则∠CDA=∠AEB=90°，
又∵∠BAC=90°，
∴∠BAE+∠CAD=∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠BAE=∠ACD，
又∵AB=CA，
∴△ABE≌△CAD（AAS），
又∵顶点C在反比例函数
的图象上，点C的纵坐标为3，
∴点C的横坐标为4，
∴CD=4=AE，OD=3，
∴Rt△ACD中，AD=
=
=2，
∴BE=AD=2，AO=AD+DO=2+3=5，
∴OE=AO-AE=5-4=1，
∴B（-2，1），
∴经过点B的反比例函数的解析式为．
故答案为：．
17．如图，直线与轴、轴分别交于，与双曲线交于.
（1）求直线的解析式.
（2）将点向右平移到点，使恰好在双曲线上；当第四象限点满足时，求点的坐标.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由反比例函数解析式易得C、D两点坐标，然后把C、D两点坐标代入直线解析式构建方程组求解即可；
（2）根据题意易得M的坐标，由M、N两点的坐标特点可得，易得点在的垂直平分线上，设垂直于，则，问题得解．
解：（1）由题意，
解得
直线解析为；
（2）
由（1），
由，得
轴
，点在的垂直平分线上
设垂直于，则
点的坐标为．
18．如图，矩形ABCD的两边AD，AB的长分别为3，8，E是AB的中点，反比例函数y＝的图象经过点E，与CD交于点F．
（1）若点C坐标为（6，0），求m的值及图象经过D，E两点的直线解析式；
（2）若DF﹣DE＝2，求反比例函数的表达式．
【答案】（1）m=12，；（2）y＝．
【解析】（1）根据矩形的性质，可得D，E点坐标，根据待定系数法，可得答案；
（2）根据勾股定理，可得DE的长，根据线段的和差，可得DF，进而可得F点坐标，根据待定系数法，可得m的值，可得答案．
解：（1）∵点C坐标为（6，0），AD＝3，AB＝8，E为AB的中点，
∴点D（6，8），E（3，4），
∵反比例函数图象经过E点，
∴m＝3×4＝12，
设直线DE的解析式为：y＝kx+b，
则，解得，
∴一次函数的解析式为：；
（2）∵AD＝3，AE＝4，
∴DE＝，
∵DF﹣DE＝2，
∴DF＝7，CF＝1，
设E点坐标为（a，4），则F点坐标为（a+3，1），
∵E，F两点在函数y＝图象上，
∴4a＝a+3，解得：a＝1．
∴E（1，4），
∴m＝1×4＝4，
∴反比例函数的表达式为y＝．
19．在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为时，它的另一边长为．
（1）设矩形的相邻两边长分别为
①求关于的函数表达式，
②当时，求的取值范围．
（2）是否有一个矩形的周长为？如果没有请说明理由，如果有，请求出边长．
【答案】（1）①，②；（2）有，边长为
【解析】（1）①根据矩形的面积长宽可得函数解析式；
②求出时的值，结合反比例函数解析式可得答案；
（2）由周长为24可设矩形的长为，得宽为，代入函数解析式得到关于的方程，解之可得答案．
解：（1）①由题意知，即，
；
②当时，，
当时，；
（2）矩形的周长为24，
设矩形的长为，则宽为，
，
解得，
边长为，．
20．饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热……，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：
（1）当0≤x＜8时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式．
（2）求图中t的值；
（3）若在通电开机后即外出散步，请你预测散步42分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？
【答案】（1）y＝10x+20；（2）40；（3）40℃．
【解析】（1）利用待定系数法代入函数解析式求出即可；
（2）首先求出反比例函数解析式进而得出t的值；
（3）利用已知由x＝7代入求出饮水机内的温度即可．
解：（1）当0≤x≤8时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（0，20）、（8，100）代入y＝kx+b中，
，解得：，
∴当0≤x≤8时，水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为y＝10x+20．
（2）当8≤x≤t时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为y＝（m≠0），
将（8，100）代入y＝中，
100＝，解得：m＝800，
∴当8≤x≤t时，水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为y＝．
当y＝＝20时，x＝40，
∴图中t的值为40．
（3）∵42﹣40＝2≤8，
∴当x＝2时，y＝2×10+20＝40，
答：散步42分钟回到家时，饮水机内的温度约为40℃．
1．（2020·营口中考）反比例函数y＝（x＜0）的图象位于（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【解析】根据题目中的函数解析式和x的取值范围，可以解答本题．
解：∵反比例函数y＝（x＜0）中，k＝1＞0，
∴该函数图象在第三象限，
故选：C．
2．（2020·阜新中考）若与都是反比例函数图象上的点，则a的值是（
）
A．4
B．
C．2
D．
【答案】B
【解析】先把用代入确定反比例函数的比例系数k，然后求出函数解析式，再把点（-2，a）代入可求a的值．
解：∵点是反比例函数图象上的点；
∴k=2×4=8
∴反比例函数解析式为：
∵点是反比例函数图象上的点，
∴a=-4
故选：B．
3．（2020·烟台中考）如图，正比例函数y1＝mx，一次函数y2＝ax+b和反比例函数y3＝的图象在同一直角坐标系中，若y3＞y1＞y2，则自变量x的取值范围是（
）
A．x＜﹣1
B．﹣0.5＜x＜0或x＞1
C．0＜x＜1
D．x＜﹣1或0＜x＜1
【答案】D
【解析】根据图象，找出双曲线y3落在直线y1上方，且直线y1落在直线y2上方的部分对应的自变量x的取值范围即可．
解：由图象可知，当x＜﹣1或0＜x＜1时，双曲线y3落在直线y1上方，且直线y1落在直线y2上方，即y3＞y1＞y2，
∴若y3＞y1＞y2，则自变量x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜1．
故选：D．
4．（2020·大庆中考）已知正比例函数和反比例函数，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合的是（
）
A．①②
B．①④
C．②③
D．③④
【答案】B
【解析】根据正比例函数和反比例函数的图象逐一判断即可．
解：
观察图像①可得，所以，①符合题意；
观察图像②可得，所以，②不符合题意；
观察图像③可得，所以，③不符合题意；
观察图像④可得，所以，④符合题意；
综上，其中符合的是①④，
故答案为：B．
5．（2020·四川中考）已知函数，当函数值为3时，自变量x的值为（　　）
A．﹣2
B．﹣
C．﹣2或﹣
D．﹣2或﹣
【答案】A
【解析】根据分段函数的解析式分别计算，即可得出结论．
解：若x＜2，当y=3时，﹣x+1=3，
解得：x=﹣2；
若x≥2，当y=3时，﹣=3，
解得：x=﹣，不合题意舍去；
∴x=﹣2，
故选：A．
6．（2020·长沙中考）2019年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁两站设计方案，该方案以三湘四水，杜鹃花开
，塑造出杜鹃花开的美丽姿态，该高铁站建设初期需要运送大量的土石方，某运输公司承担了运送总量为土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度（单位：天）与完成运送任务所需的时间t（单位：天）之间的函数关系式是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由总量=vt，求出v即可．
解：解（1）∵vt=106，
∴v=，
故选：A．
7．（2020·西藏中考）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，将直线y＝x沿y轴向上平移b个单位长度，交y轴于点B，交反比例函数图象于点C．若OA＝2BC，则b的值为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】解析式联立，解方程求得的横坐标，根据定义求得的横坐标，把横坐标代入反比例函数的解析式求得的坐标，代入即可求得的值．
解：直线与反比例函数的图象交于点，
解求得，
的横坐标为2，
如图，过C点、A点作y轴垂线，
OA//BC，
∴，
∴，
，
∴，
∴，解得=1，
的横坐标为1，
把代入得，，
，
将直线沿轴向上平移个单位长度，得到直线，
把的坐标代入得，求得，
故选：．
8．（2020·葫芦岛中考）如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，点和点在边上，，连接轴，则的值为（
）
A．
B．3
C．4
D．
【答案】C
【解析】依次可证明△OFE和△AFD为等腰直角三角形，再依据勾股定理求得DF的长度，即可得出D点坐标，从而求得k的值．
解：∵，，x轴⊥y轴，
∴OE=OF=1，∠FOE=90°，∠OEF=∠OFE=45°，
∴，
∴，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=90°，
∵轴，
∴∠DFE=∠OEF=45°，
∴∠ADF=45°，，
∴
∴D(4，1)，
∴，解得，
故选：C．
9．（2020·威海中考）如图，点，点都在反比例函数的图象上，过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为点，．连接，，．若四边形的面积记作，的面积记作，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M，N，根据图象上点的坐标特征得到P（4，1），Q（?2，?2），根据反比例函数系数k的几何意义求得S1＝4，然后根据S2＝S△PQK?S△PON?S梯形ONKQ求得S2＝3，即可求得S1：S2＝4：3．
解：点P（m，1），点Q（?2，n）都在反比例函数y＝的图象上，
∴m×1＝?2n＝4，
∴m＝4，n＝?2，
∵P（4，1），Q（?2，?2），
∵过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M，N，
∴S1＝4，
作QK⊥PN，交PN的延长线于K，则PN＝4，ON＝1，PK＝6，KQ＝3，
∴S2＝S△PQK?S△PON?S梯形ONKQ＝×6×3?×4×1?（1＋3）×2＝3，
∴S1：S2＝4：3，
故选：C．
10．（2020·呼和浩特中考）在同一坐标系中，若正比例函数与反比例函数的图象没有交点，则与的关系，下面四种表述①；②或；③；④．正确的有（
）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【答案】B
【解析】根据题意得出k1和k2异号，再分别判断各项即可.
解：∵同一坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象没有交点，
若k1＞0，则正比例函数经过一、三象限，从而反比例函数经过二、四象限，
则k2＜0，
若k1＜0，则正比例函数经过二、四象限，从而反比例函数经过一、三象限，
则k2＞0，
综上：k1和k2异号，
①∵k1和k2的绝对值的大小未知，故不一定成立，故①错误；
②或，故②正确；
③，故③正确；
④∵k1和k2异号，则，故④正确；
故正确的有3个，
故选B.
11．（2020·哈尔滨中考）已知反比例函数的图像经过点，则的值是____________________．
【答案】﹣12
【解析】直接将点代入反比例函数解析式中，解之即可．
解：依题意，将点代入，得：，
解得：=﹣12，
故答案为：﹣12．
12．（2020·永州中考）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，C两点，过点A作轴于点B，过点C作轴于点D，则的面积为_________．
【答案】6
【解析】根据函数解析式算出A、D的坐标,再根据三角形面积公式求出即可．
解：令,解得,
∴A(),C()．
∴B(),D()．
则BD=,AB=,
∴S△ABD=．
故答案为:6．
13．（2020·温州中考）点P，Q，R在反比例函数（常数k＞0，x＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3．若OE＝ED＝DC，S1＋S3＝27，则S2的值为_______．
【答案】
【解析】利用反比例函数系数的几何意义，及OE＝ED＝DC求解，然后利用列方程求解即可得到答案．
解：由题意知：矩形的面积
同理：矩形，矩形的面积都为，
故答案为：
14．（2020·荆门中考）如图，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，，将绕点O顺时针旋转，点B落在y轴上的点D处，得到，交于点G，若反比例函数的图象经过点G，则k的值为______．
【答案】
【解析】根据题意证明△AOB≌△EOD，△COG∽△EOD，根据相似三角形的性质求出CG的长度，即可求解．
解：
由B（-2，1）可得，AB=OC=1，OA=2，OB=
由旋转可得：△AOB≌△EOD，∠E=∠OAB=90°，
∴OE=OA=2，DE=AB=1，
∵∠COG=∠EOD，∠GCO=∠E=90°，
∴△COG∽△EOD，
∴，即，
解得：CG=，
∴点G（，1），
代入可得：k=，
故答案为：．
15．（2020·广西中考）反比例函数y＝（x＜0）的图象如图所示，下列关于该函数图象的四个结论：①k＞0；②当x＜0时，y随x的增大而增大；③该函数图象关于直线y＝﹣x对称；④若点（﹣2，3）在该反比例函数图象上，则点（﹣1，6）也在该函数的图象上．其中正确结论的个数有_____个．
【答案】3
【解析】观察反比例函数y＝（x＜0）的图象可得，图象过第二象限，可得k＜0，然后根据反比例函数的图象和性质即可进行判断．
解：观察反比例函数y＝（x＜0）的图象可知：图象过第二象限，∴k＜0，所以①错误；
因为当x＜0时，y随x的增大而增大，所以②正确；
因为该函数图象关于直线y＝﹣x对称，所以③正确；
因为点（﹣2，3）在该反比例函数图象上，所以k＝﹣6，则点（﹣1，6）也在该函数的图象上，所以④正确．
所以其中正确结论的个数为3个．
故答案为：3．
16．（2020·陕西中考）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过其中两点，则m的值为_____．
【答案】-1．
【解析】根据已知条件得到点在第二象限，求得点一定在第三象限，由于反比例函数的图象经过其中两点，于是得到反比例函数的图象经过，，于是得到结论．
解：点，，分别在三个不同的象限，点在第二象限，
点一定在第三象限，
在第一象限，反比例函数的图象经过其中两点，
反比例函数的图象经过，，
，
，
故答案为：．
17．（2020·贵港中考）如图，双曲线（为常数，且）与直线交于和两点．
（1）求，的值；
（2）当时，试比较函数值与的大小．
【答案】（1），；（2）当时，；当时，；当时，
【解析】将B点坐标代入直线，便可求b，再将A点坐标代入直线，便可求m，最后代入，便可求出k
根据图形特征和A的坐标，便可直接写出答案．
解：（1）∵点在直线上，
∴，则，
∵点在直线上，∴，
又点在双曲线，∴．
（2）∵点的坐标为，
∴由图象可知，当时，；
当时，；
当时，．
18．如图，平行于y轴的直尺（部分）与反比例函数（x＞0）的图象交于A、C两点，与x轴交于B、D两点，连接AC，点A、B对应直尺上的刻度分别为5、2，直尺的宽度BD＝2，OB＝2．设直线AC的解析式为y＝kx+b．
（1）请结合图象，直接写出：
①点A的坐标是　
　；
②不等式的解集是　
　；
（2）求直线AC的解析式．
【答案】（1）①（2，3）；②2＜x＜4；（2）．
【解析】（1）①根据点A、B对应直尺上的刻度分别为5、2，OB＝2．即可求得A的坐标；②根据题意C的横坐标为4，根据图象即可求得不等式的解集；
（2）根据待定系数法求得反比例函数的解析式，进而求得C的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AC的解析式．
解：（1）①∵直尺平行于y轴，A、B对应直尺的刻度为5、2，且OB＝2，
∴A（2，3）；
②∵直尺的宽度BD＝2，OB＝2，
∴C的横坐标为4，
∴不等式的解集是2＜x＜4，
故答案为（2，3）；2＜x＜4；
（2）∵A在反比例函数图象上，
∴m＝2×3＝6，
∴反比例解析式为，
∵C点在反比例函数图象上，
∴yc＝，
∴C（4，），
将A、C代入y＝kx+b有解得，
∴直线AC解析式：．
19．（2020·玉林中考）南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设，玉林辆隧道是全线控制性隧道，首期打通共有土石方总量600千立方米，总需要时间y天，且完成首期工程限定时间不超过600天．设每天打通土石方x千立方米．
（1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）由于工程进度的需要，实际平均每天挖掘土石方比原计划多0.2千立方米，工期比原计划提前了100天完成，求实际挖掘了多少天才能完成首期工程？
【答案】（1）（0【解析】（1）根据“工作时间=总工作量÷每天工作量”，即可得出y关于x的函数关系式；
（2）根据工期比原计划提前了100天列方程求解即可．
解：（1）∵共有土石方总量600千立方米，
∴（0（2）由题意得
，
解得x1=1，x2=（负值舍去），
经检验x=1是原分式方程的解
1+0.2=1.2千立方米，
600÷1.2=500天．
答：实际挖掘了500天才能完成首期工程．
20．（2020·昆明中考）为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要19min；完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要11min．
（1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间？
（2）消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时y与x的函数关系式为y＝2x，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A（m，n）．当教室空气中的药物浓度不高于1mg/m3时，对人体健康无危害，校医依次对一班至十一班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当她把最后一间教室药物喷洒完成后，一班学生能否进入教室？请通过计算说明．
【答案】（1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要3min和5min；（2）一班学生能安全进入教室，计算说明过程见解析．
【解析】（1）设校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要和，再根据题干信息建立二元一次方程组，然后解方程组即可得；
（2）先求出完成11间教室的药物喷洒所需时间，再根据一次函数的解析式求出点A的坐标，然后利用待定系数法求出反比例函数的解析式，最后根据反比例函数的解析式求出时，y的值，与1进行比较即可得．
解：（1）设校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要和
则
解得
答：校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要和；
（2）一间教室的药物喷洒时间为，则11个房间需要
当时，
则点A的坐标为
设反比例函数表达式为
将点代入得：，解得
则反比例函数表达式为
当时，
故一班学生能安全进入教室．
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