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2021年高三物理复习冲刺解题方法专题
专题13
化“变”为“恒”法
（原卷版）
变量问题是高中物理教学中的难点，也是历年高考的热点问题之一。譬如变力作用下的物体的加速度发生变化，因此，其速度、位移随时间的变化关系是非线性关系，不能应用匀变速规律求解；另一方面，变力做功也不能应用功的定义式直接求解。对于变力作用问题，化“变”为“恒”是解决此类问题的一个主要解题思路。如何去化“变”为“恒”，不同问题方法不同，可分为如下两类方法。
一．利用微元法由“变值”逼近“恒值”，辅以数学方法进行处理
微元法是一种介于初等数学与高等数学之间的一种处理物理模型问题的方法，其要点是：在对物理问题做整体的考察后，选取该问题过程中的某一微小单元进行分析，通过对微元细节的物理分析和描述，找出该微元所具有的物理性质和运动变化规律，从而获得解决该物理问题整体的方法。微元法着眼于研究对象所经历的比较复杂的过程，比如，物体的运动不是恒力作用下的匀变速运动，而是变力作用下的变加速运动，这时物体运动的过程复杂，运动过程性规律不甚明了，若从整体着手研究，则难以在高中物理层面展开，不过当我们用微元法，把物体的运动过程按其经历的位移或时间等分为多个小量，将每个微元过程近似为高中物理知识所能处理的过程，在得出每个微元过程的相关结果后，再进行数学方法处理，这样就能得到物体复杂运动过程的规律。
典例1。（19年江苏卷）如图所示，匀强磁场中有一个用软导线制成的单匝闭合线圈，线圈平面与磁场垂直．已知线圈的面积S=0.3
m2、电阻R=0.6
Ω，磁场的磁感应强度B=0.2
T.现同时向两侧拉动线圈，线圈的两边在Δt=0.5s时间内合到一起．求线圈在上述过程中
（1）感应电动势的平均值E；
（2）感应电流的平均值I，并在图中标出电流方向；
（3）通过导线横截面的电荷量q．
针对训练1a.（19年天津卷）如图所示，固定在水平面上间距为的两条平行光滑金属导轨，垂直于导轨放置的两根金属棒和长度也为、电阻均为，两棒与导轨始终接触良好。两端通过开关与电阻为的单匝金属线圈相连，线圈内存在竖直向下均匀增加的磁场，磁通量变化率为常量。图中虚线右侧有垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为。的质量为，金属导轨足够长，电阻忽略不计。
（1）闭合，若使保持静止，需在其上加多大的水平恒力，并指出其方向；
（2）断开，在上述恒力作用下，由静止开始到速度大小为v的加速过程中流过的电荷量为，求该过程安培力做的功。
针对训练1b．一只皮球竖直向上抛出，皮球运动时受到空气阻力的大小与速度的大小成正比．下列描绘将皮球在上升过程中加速度大小a与时间t关系的图象，可能正确的是
（　C　）
二．.利用等效替代法化“变”为“恒”
等效替代法是高中物理教学中解决问题常用方法。在物理学中，我们研究某物体或物理现象的作用效果时，有时为了使问题简化，常用一个物理量来代替其他物理量，但不会改变物理效果。这种研究问题的方法给问题的阐释或解答带来极大方便，我们称这种研究问题的方法为等效替代法。应用等效替代方法解决变力作用问题，要善于找寻出变力作用与其它恒力作用的相同点或相似点，比如两者的作用效果相同，或者两者做功有相同点之处，或其它力学量的关联性，往往用动能定理实现变力做功向恒力做功转化。
典例2．如图所示，细线的一端固定于点，另一端系一小球。在水平拉力作用下，小球以恒定速率在竖直平面内由点运动到点。在此过程中拉力的瞬时功率变化情况是（　　）
A．逐渐增大
B。逐渐减小
C．先增大，后减小
D。先减小，后增大
针对训练2a.（19年海南卷）如图，一段半圆形粗铜线固定在绝缘水平桌面（纸面）上，铜线所在空间有一匀强磁场，磁场方向竖直向下。当铜线通有顺时针方向电流时，铜线所受安培力的方向（
）
A.
向前
B.
向后
C.
向左
D.
向右
针对训练2b．某缓冲装置的理想模型如图所示，劲度系数足够大的轻质弹簧与轻杆相连，轻杆可在固定的槽内移动，与槽间的滑动摩擦力恒为。轻杆向右移动不超过时，装置可安全工作。一质量为的小车若以速度撞击弹簧，将导致轻杆向右移动。轻杆与槽间的最大静擦力等于滑动摩擦力，且不计小车与地面的摩擦。
（1）若弹簧的劲度系数为k，求轻杆开始移动时，弹簧的压缩量；
（2）求为使装置安全工作，允许该小车撞击的最大速度；
（3）讨论在装置安全工作时，该小车弹回速度和撞击速度的关系。
变力作用下物体运动规律比较复杂，必然成为高中物理教学的难点，高考命题专家对这类问题青睐有加，把它作为考查学生综合能力的抓手。因此，在高中物理教学中，我们要加强变力问题教学，使学生解决物理问题的能力逐步提高。
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2021年高三物理复习冲刺解题方法专题
专题13
化“变”为“恒”法（解析版）
变量问题是高中物理教学中的难点，也是历年高考的热点问题之一。譬如变力作用下的物体的加速度发生变化，因此，其速度、位移随时间的变化关系是非线性关系，不能应用匀变速规律求解；另一方面，变力做功也不能应用功的定义式直接求解。对于变力作用问题，化“变”为“恒”是解决此类问题的一个主要解题思路。如何去化“变”为“恒”，不同问题方法不同，可分为如下两类方法。
一．利用微元法由“变值”逼近“恒值”，辅以数学方法进行处理
微元法是一种介于初等数学与高等数学之间的一种处理物理模型问题的方法，其要点是：在对物理问题做整体的考察后，选取该问题过程中的某一微小单元进行分析，通过对微元细节的物理分析和描述，找出该微元所具有的物理性质和运动变化规律，从而获得解决该物理问题整体的方法。微元法着眼于研究对象所经历的比较复杂的过程，比如，物体的运动不是恒力作用下的匀变速运动，而是变力作用下的变加速运动，这时物体运动的过程复杂，运动过程性规律不甚明了，若从整体着手研究，则难以在高中物理层面展开，不过当我们用微元法，把物体的运动过程按其经历的位移或时间等分为多个小量，将每个微元过程近似为高中物理知识所能处理的过程，在得出每个微元过程的相关结果后，再进行数学方法处理，这样就能得到物体复杂运动过程的规律。
典例1。（19年江苏卷）如图所示，匀强磁场中有一个用软导线制成的单匝闭合线圈，线圈平面与磁场垂直．已知线圈的面积S=0.3
m2、电阻R=0.6
Ω，磁场的磁感应强度B=0.2
T.现同时向两侧拉动线圈，线圈的两边在Δt=0.5s时间内合到一起．求线圈在上述过程中
（1）感应电动势的平均值E；
（2）感应电流的平均值I，并在图中标出电流方向；
（3）通过导线横截面的电荷量q．
【解析】（1）感应电动势的平均值
磁通量的变化
解得，代入数据得E=0.12
V
（2）平均电流
代入数据得I=0.2
A（电流方向见图3）
（3）在Δt=0.5s的时间内，电动势、电流都在变化，电动势、电流都恒定不变
在时间Δt=0.5s时间内
电荷量
代入数据得q=0.1
C
【总结与点评】第三小题电量的计算要把过程微元化，在经过微元后电流恒定，才可以应用电流公式。
针对训练1a.（19年天津卷）如图所示，固定在水平面上间距为的两条平行光滑金属导轨，垂直于导轨放置的两根金属棒和长度也为、电阻均为，两棒与导轨始终接触良好。两端通过开关与电阻为的单匝金属线圈相连，线圈内存在竖直向下均匀增加的磁场，磁通量变化率为常量。图中虚线右侧有垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为。的质量为，金属导轨足够长，电阻忽略不计。
（1）闭合，若使保持静止，需在其上加多大的水平恒力，并指出其方向；
（2）断开，在上述恒力作用下，由静止开始到速度大小为v的加速过程中流过的电荷量为，求该过程安培力做的功。
【解析】（1）设线圈中的感应电动势为，由法拉第电磁感应定律，则
①
设与并联的电阻为，有
②
闭合时，设线圈中的电流为，根据闭合电路欧姆定律得
③
设中的电流为，有
④
设受到的安培力为，有
⑤
保持静止，由受力平衡，有
⑥
联立①②③④⑤⑥式得
⑦
方向水平向右。
（2）设由静止开始到速度大小为v的加速过程中，运动的位移为，所用时间为，
在Δt的时间内，电动势、电流都在变化，电动势、电流都恒定不变
⑧
⑨
在时间Δt时间内
⑩
以上各式解得：
?
其中
?
由动能定理，有
?
联立⑦???式得
【总结与点评】第三小题流过的电荷量的推导，需要微元法化变为恒进行处理，如果用平均值来推导，显得牵强不通。
针对训练1b．一只皮球竖直向上抛出，皮球运动时受到空气阻力的大小与速度的大小成正比．下列描绘将皮球在上升过程中加速度大小a与时间t关系的图象，可能正确的是
（　C　）
【解析】皮球向上运动所受重力与空气阻力方向都向下，根据牛顿第二定律，随着的减小，减小，但最后不等于0。如何确定加速度变化快慢，即的变化率？把的变化进行微元处理，，不变。上式变形得：，可知减小，的变化率大小减小，且为负值。答案C。
【总结与点评】学生较容易推导出，定性得出加速度随时间减小，要想得出加速度变化快慢，还需要对其进行微元化处理。这是本题难点。
二．.利用等效替代法化“变”为“恒”
等效替代法是高中物理教学中解决问题常用方法。在物理学中，我们研究某物体或物理现象的作用效果时，有时为了使问题简化，常用一个物理量来代替其他物理量，但不会改变物理效果。这种研究问题的方法给问题的阐释或解答带来极大方便，我们称这种研究问题的方法为等效替代法。应用等效替代方法解决变力作用问题，要善于找寻出变力作用与其它恒力作用的相同点或相似点，比如两者的作用效果相同，或者两者做功有相同点之处，或其它力学量的关联性，往往用动能定理实现变力做功向恒力做功转化。
典例2．如图所示，细线的一端固定于点，另一端系一小球。在水平拉力作用下，小球以恒定速率在竖直平面内由点运动到点。在此过程中拉力的瞬时功率变化情况是（　　）
A．逐渐增大
B。逐渐减小
C．先增大，后减小
D。先减小，后增大
【答案】A
【解析】在小球做匀速圆周运动的过程中，力是变力，速度的方向也在变化，可由动能定理得：,这样，拉力功率变化问题就可以转化为重力功率变化问题，因重力恒定，小球速度大小不变，两者所成的角由逐渐变大，很容易得出其功率的绝对值逐渐增大。所以选择
本题也可以应用如下方法求解：小球以恒定速率在竖直平面内运动则在圆轨迹切线方向（速度方向）合力为0，将重力和拉力正交分解有（与速度的夹角为），则，得随增大而增大。答案。
【总结与点评】本题利用动能定理找出小球克服重力做功与小球受拉力做功相等，因此得出两者的功率相等，通过等效替代的方法求出拉力功率的变化。
针对训练2a.（19年海南卷）如图，一段半圆形粗铜线固定在绝缘水平桌面（纸面）上，铜线所在空间有一匀强磁场，磁场方向竖直向下。当铜线通有顺时针方向电流时，铜线所受安培力的方向（
）
A.
向前
B.
向后
C.
向左
D.
向右
【答案】A
【解析】以竖直轴为对称轴，把半圆形通电铜线对称等分，每一段通电铜线长趋近于零但不为零，每一段通电铜线可以看作直线段，对称轴两边的对称直铜线受到的安培力由左手定则确定，其方向关于对称轴对称且斜向上，合力竖直向上。由此得出半圆形通电铜线受到的合力竖直向上。
【点评与总结】本题利用极限思维方法将半圆形通电铜线化曲为直，从而有利于问题的解决。也可以用等效法处理化变为恒：半圆形铜线的受力与水平直径长的铜导线等效，由此进行推广，不规则弯曲共面通电导线受到安培力的等效长度为通电导线两端点间距离。
针对训练2b．某缓冲装置的理想模型如图所示，劲度系数足够大的轻质弹簧与轻杆相连，轻杆可在固定的槽内移动，与槽间的滑动摩擦力恒为。轻杆向右移动不超过时，装置可安全工作。一质量为的小车若以速度撞击弹簧，将导致轻杆向右移动。轻杆与槽间的最大静擦力等于滑动摩擦力，且不计小车与地面的摩擦。
（1）若弹簧的劲度系数为k，求轻杆开始移动时，弹簧的压缩量；
（2）求为使装置安全工作，允许该小车撞击的最大速度；
（3）讨论在装置安全工作时，该小车弹回速度和撞击速度的关系。
【解析】（1）轻杆开始移动时，弹簧的弹力
①
且
②
解得
③
（2）设轻杆移动前弹簧对小车所做的功为，则小车从撞击到停止的过程中
小车以撞击弹簧时，轻杆移动后弹簧对轻杆所做的功为
对轻杆：
④
对小车根据动能定理
⑤
同理小车以撞击弹簧时，轻杆移动后弹簧对轻杆所做的功为
对轻杆:
⑥
对小车：
⑦
④⑤⑥⑦得
解
（3）设轻杆恰好移动时，小车撞击速度为
由④⑦解得
当时，
当时，。
【总结与点评】弹簧对小车做功是变力做功，轻杆移动前弹簧对小车做功都为，轻杆移动后弹簧对小车做功可对轻杆应用动能定理，通过恒定的摩擦力做功找出弹簧弹力做功的等效替代关系。
变力作用下物体运动规律比较复杂，必然成为高中物理教学的难点，高考命题专家对这类问题青睐有加，把它作为考查学生综合能力的抓手。因此，在高中物理教学中，我们要加强变力问题教学，使学生解决物理问题的能力逐步提高。
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