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高中物理模型方法分类解析
模型08
小船渡河(解析版)
1.
船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动；
2.
三种速度：v1（船在静水中的速度）、v2（水流速度）、v（船的实际速度）；
3.
三种情景：
①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，（d为河宽）；
②过河路径最短（v2α＝；
③过河路径最短（v2>v1时）：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河。确定方法如下：如图所示，以v2矢量末端为圆心，以v1矢量的大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短。
由图可知：cos
α＝，最短航程：s短＝＝d。
小船渡河问题建模指导
1.
物体的实际运动一定是合运动。
2.
求解运动的合成与分解问题，应抓住合运动和分运动具有等时性、独立性、等效性的关系。
3.
在小船渡河问题中可将小船的运动分解为沿船头指向的方向和沿水流方向的两个运动。
【典例1】如图某人游珠江，他以一定速度面部始终垂直河岸向对岸游去。江中各处水流速度相等，他游过的路程、过河所用的时间与水速的关系是(　C　)
A．水速大时，路程长，时间长
B．水速大时，路程长，时间短
C．水速大时，路程长，时间不变
D．路程、时间与水速无关
【答案】C
【解析】游泳者相对于岸的速度为他相对于水的速度和水流速度的合速度，水流速度越大，其合速度与岸的夹角越小，路程越长，但过河时间t＝，与水速无关，故A、B、D均错误。
【变式训练1】在一次漂流探险中，探险者驾驶摩托艇想上岸休息，江岸是平直的，江水沿江向下流速为v，摩托艇在静水中航速为u，探险者离岸最近点O的距离为d。如果探险者想在最短的时间内靠岸，则摩托艇登陆的地点离O的距离为多少？
【答案】
d
【解析】如果探险者想在最短的时间内靠岸，摩托艇的船头应垂直于河岸，即u垂直于河岸，如图所示，则探险者运动的时间为t＝，那么摩托艇登陆的地点离O的距离为x＝vt＝d
【典例2】(潍坊市四区(县)2015
2016学年高一下学期质检)如图所示，帆板在海面上以速度v朝正西方向运动，帆船以速度v朝正北方向航行，以帆板为参照物(　D　)
A．帆船朝正东方向航行，速度大小为v
B．帆船朝正西方向航行，速度大小为v
C．帆船朝南偏东45°方向航行，速度大小为v
D．帆船朝北偏东45°方向航行，速度大小为v
【答案】D
【解析】以帆板为参照物，在东西朝向，帆船相对于帆板向东运动；在南北朝向，帆船相对于帆板向北运动；二者速度大小相等，因此帆船朝北偏东45°方向航行，速度大小为＝v，故D项正确。
【变式训练2】一只小船渡过两岸平行的河流，河中水流速度各处相同且恒定不变，方向平行于河岸．小船的初速度均相同，且船头方向始终垂直于河岸，小船相对于水分别做匀加速、匀减速和匀速直线运动，其运动轨迹如图所示．下列说法错误的是(　　)
A．沿AC和AD轨迹小船都是做匀变速运动
B．AD是匀减速运动的轨迹
C．沿AC轨迹渡河所用时间最短
D．小船沿AD轨迹渡河，船靠岸时速度最大
【答案】D
【解析】船沿着船头指向方向做匀加速直线运动的同时还要随着水流一起运动，曲线运动的加速度指向轨迹的内侧，故AC轨迹船相对于静水沿v0方向做匀加速运动，AB轨迹船相对于静水沿v0方向做匀速运动，AD轨迹船相对于静水沿v0方向做匀减速运动．沿AD轨迹，船是匀减速运动，则船到达对岸的速度最小，故A、B正确，D错误；船相对于水的初速度大小均相同，方向垂直于岸边，由于AC轨迹船相对于静水沿v0方向做匀加速运动，AB轨迹船相对于静水沿v0方向做匀速运动，AD轨迹船相对于静水沿v0方向做匀减速运动，故沿三条不同路径渡河的时间不同，沿AC轨迹渡河所用的时间最短，故C正确．故选D．
【典例3】(2018·西安市二模)某人划船横渡一条河，河水流速处处相同且恒定，船的划行速率恒定．已知此人过河最短时间为T1；若此人用最短的位移过河，则需时间为T2；已知船的划行速度大于水速．则船的划行速率与水流速率之比为(　　)
A．eq
\f(T2,\r(T－T))
B．
C．eq
\f(T1,\r(T－T))
D．
【答案】A
【解析】设河宽为d，设船在静水中的速率为v1，水流速为v2.
最短时间过河时，船头与河岸垂直，T1＝
最小位移过河时，v合＝eq
\r(v－v)
T2＝＝eq
\f(d,\r(v－v))
联立解得＝eq
\f(T2,\r(T－T))
.A选项正确．
【变式训练3】如图所示，甲、乙两同学从河中O点出发，分别沿直线游到A点和B点后，立即沿原路线返回到O点，OA、OB分别与水流方向平行和垂直，且OA＝OB。若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间t甲、t乙的大小关系为（　　）
A.
t甲B.
t甲＝t乙
C.
t甲>t乙
D.
无法确定
【答案】C
【解析】设水速为v0，人在静水中速度为v，对甲，由O→A，所用时间t1＝，由A→O所用时间t2＝
则甲所用时t甲＝t1＋t2＝＋＝s
①
对乙，由O→B和由B→O的实际速度v′＝
故乙所用时间t乙＝＝
②
两式相比得＝>1即t甲>t乙，故C正确。
【典例4】有甲、乙两只船,它们在静水中航行的速度分别为v1和v2,现在两船从同一渡口向河对岸开去,已知甲船想用最短时间渡河,乙船想以最短航程渡河,结果两船抵达对岸的地点恰好相同。则甲、乙两船渡河所用时间之比为(　　)。
A.　　　B.　　　C.　　　D.
【答案】C
【解析】当v1与河岸垂直时,甲船渡河时间最短;乙船船头斜向上游开去,才有可能航程最短,由于甲、乙两只船到达对岸的地点相同(此地点并不在河正对岸),可见乙船在静水中的速度v2比水的流速v0要小,为满足题意,则如图所示。由图可得=·sinθ
cosθ=,tanθ=
联立解得=sinθ
=。
【变式训练4】如图所示,河水由西向东流,河宽为800
m,若取河中任意一点,该点水流速度大小为v水,到较近河岸的距离为x,则v水与x的关系总满足v水=x(m/s)(x的单位为m),让小船船头垂直河岸由南向北渡河,小船在静水中的速度大小恒为v船=4
m/s,则下列说法正确的是(　　)。
A.小船渡河的轨迹为直线
B.小船在河水中的最大速度是5
m/s
C.小船在距南岸200
m处的速度小于在距北岸200
m处的速度
D.小船渡河的时间是160
s
【答案】B
【解析】小船在南北方向上为匀速直线运动,在东西方向上先加速,到达河中间后再减速,小船的合运动是曲线运动,A项错误;当小船运动到河中间时,东西方向上的分速度最大,此时小船的合速度最大,最大值vm=5m/s,B项正确;小船在距南岸200m处的速度等于在距北岸200m处的速度,C项错误;小船的渡河时间t=200s,D项错误。
【典例5】(多选)如图所示,在河水速度恒定的小河中,一小船保持船头始终垂直河岸从一侧岸边向对岸行驶,船的轨迹是一个弯曲的“S”形,则(　　)。
A.小船垂直河岸的速度大小恒定不变
B.小船垂直河岸的速度大小先增大后减小
C.与小船以出发时的速度匀速过河相比,过河时间变长了
D.与小船以出发时的速度匀速过河相比,过河时间变短了
【答案】BD
【解析】小船在沿河岸的方向上做匀速直线运动,即在相同的时间间隔内,在河岸方向上的位移是相同的;在垂直于河岸的方向上,在相等的时间间隔内(参照小船在沿河岸方向上的时间),位移先逐渐增大再逐渐减小,所以速度先增大后减小;因中间那段时间速度较大,所以与小船保持恒定的初始速度过河相比过河时间短了,B、D两项正确。
【变式训练5】如图甲所示,小船过河时,船头与上游河岸的夹角为α,其航线恰好垂直于河岸,已知船在静水中的速度为v,现水流速度稍有增大,为保持航线不变,且能准时到达河对岸,下列措施中可行的是(　　)。
甲
A.减小α角,减小船速v
B.减小α角,增大船速v
C.增大α角,增大船速v
D.增大α角,减小船速v
【答案】B
【解析】由题意可知,船相对水的速度为v,其航线恰好垂直于河岸,当水流速度稍有增大,为保持航线不变,且准时到达对岸,则船速变化如图乙所示,可知B项正确。
乙
【典例6】(多选)如图所示,河的宽度为L,河水流速为v水,甲、乙两船均以静水中的速度v同时渡河。出发时两船相距2L,甲、乙船头均与岸边成60°角,且乙船恰好能直达正对岸的A点。则下列判断正确的是(　　)。
A.甲船正好也在A点靠岸
B.甲船在A点左侧靠岸
C.甲、乙两船可能在未到达对岸前相遇
D.甲、乙两船到达对岸的时间相等
【答案】BD
【解析】渡河时间t=,乙船能垂直于河岸渡河,对乙船有v水=vcos60°,可得甲船在该时间内沿水流方向的位移为(vcos60°+v水)=L<2L,甲船在A点左侧靠岸,甲、乙两船不能相遇。A、C两项错误,B、D两项正确。
【变式训练6】某物理兴趣小组的同学在研究运动的合成和分解时，驾驶一艘快艇进行了实地演练．如图所示，在宽度一定的河中的O点固定一目标靶，经测量该目标靶距离两岸的最近距离分别为MO＝15
m、NO＝12
m，水流的速度平行河岸向右，且速度大小为v1＝8
m/s，快艇在静水中的速度大小为v2＝10
m/s.现要求快艇从图示中的下方河岸出发完成以下两个过程，第一个过程以最短的时间运动到目标靶，第二个过程由目标靶以最小的位移运动到图示中的上方河岸．下列说法正确的是(　　)
A．快艇的出发点位于M点左侧8
m处
B．第一个过程所用的时间约为1.17
s
C．第二个过程快艇的船头方向应垂直于河岸
D．第二个过程所用的时间为2
s
【答案】D
【解析】由于快艇的合速度是快艇相对于静水的速度与随水向右运动的速度的矢量和，所以当船头的方向始终与河岸垂直时，快艇到达O点的时间最短，最短时间为：t1＝＝
s＝1.5
s．该过程中，快艇随水流向右的位移：x＝v1t1＝8×1.5
m＝12
m，可知快艇开始时要位于M左侧12
m处，故A、B错误；第二个过程由目标靶以最小的位移运动到题图中的上方河岸，则快艇的合速度的方向应垂直于河岸的方向，所以船头的方向要与河的上游有一定的角度，设船头的方向与河岸方向所成角度为θ，
此时：v1＝v2cos
θ，所以：θ＝37°，垂直于河岸方向的分速度：vy＝v2sin
θ＝10×sin
37°
m/s＝6
m/s，第二个过程所用的时间为：t2＝＝
s＝2
s，故C错误，D正确．
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模型08
小船渡河(原卷版)
1.
船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动；
2.
三种速度：v1（船在静水中的速度）、v2（水流速度）、v（船的实际速度）；
3.
三种情景：
①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，（d为河宽）；
②过河路径最短（v2α＝；
③过河路径最短（v2>v1时）：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河。确定方法如下：如图所示，以v2矢量末端为圆心，以v1矢量的大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短。
由图可知：cos
α＝，最短航程：s短＝＝d。
小船渡河问题建模指导
1.
物体的实际运动一定是合运动。
2.
求解运动的合成与分解问题，应抓住合运动和分运动具有等时性、独立性、等效性的关系。
3.
在小船渡河问题中可将小船的运动分解为沿船头指向的方向和沿水流方向的两个运动。
【典例1】如图某人游珠江，他以一定速度面部始终垂直河岸向对岸游去。江中各处水流速度相等，他游过的路程、过河所用的时间与水速的关系是(　C　)
A．水速大时，路程长，时间长
B．水速大时，路程长，时间短
C．水速大时，路程长，时间不变
D．路程、时间与水速无关
【变式训练1】在一次漂流探险中，探险者驾驶摩托艇想上岸休息，江岸是平直的，江水沿江向下流速为v，摩托艇在静水中航速为u，探险者离岸最近点O的距离为d。如果探险者想在最短的时间内靠岸，则摩托艇登陆的地点离O的距离为多少？
【典例2】(潍坊市四区(县)2015
2016学年高一下学期质检)如图所示，帆板在海面上以速度v朝正西方向运动，帆船以速度v朝正北方向航行，以帆板为参照物(　D　)
A．帆船朝正东方向航行，速度大小为v
B．帆船朝正西方向航行，速度大小为v
C．帆船朝南偏东45°方向航行，速度大小为v
D．帆船朝北偏东45°方向航行，速度大小为v
【变式训练2】一只小船渡过两岸平行的河流，河中水流速度各处相同且恒定不变，方向平行于河岸．小船的初速度均相同，且船头方向始终垂直于河岸，小船相对于水分别做匀加速、匀减速和匀速直线运动，其运动轨迹如图所示．下列说法错误的是(　　)
A．沿AC和AD轨迹小船都是做匀变速运动
B．AD是匀减速运动的轨迹
C．沿AC轨迹渡河所用时间最短
D．小船沿AD轨迹渡河，船靠岸时速度最大
【典例3】(2018·西安市二模)某人划船横渡一条河，河水流速处处相同且恒定，船的划行速率恒定．已知此人过河最短时间为T1；若此人用最短的位移过河，则需时间为T2；已知船的划行速度大于水速．则船的划行速率与水流速率之比为(　　)
A．eq
\f(T2,\r(T－T))
B．
C．eq
\f(T1,\r(T－T))
D．
【变式训练3】如图所示，甲、乙两同学从河中O点出发，分别沿直线游到A点和B点后，立即沿原路线返回到O点，OA、OB分别与水流方向平行和垂直，且OA＝OB。若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间t甲、t乙的大小关系为（　　）
A.
t甲B.
t甲＝t乙
C.
t甲>t乙
D.
无法确定
【典例4】有甲、乙两只船,它们在静水中航行的速度分别为v1和v2,现在两船从同一渡口向河对岸开去,已知甲船想用最短时间渡河,乙船想以最短航程渡河,结果两船抵达对岸的地点恰好相同。则甲、乙两船渡河所用时间之比为(　　)。
A.　　　B.　　　C.　　　D.
【变式训练4】如图所示,河水由西向东流,河宽为800
m,若取河中任意一点,该点水流速度大小为v水,到较近河岸的距离为x,则v水与x的关系总满足v水=x(m/s)(x的单位为m),让小船船头垂直河岸由南向北渡河,小船在静水中的速度大小恒为v船=4
m/s,则下列说法正确的是(　　)。
A.小船渡河的轨迹为直线
B.小船在河水中的最大速度是5
m/s
C.小船在距南岸200
m处的速度小于在距北岸200
m处的速度
D.小船渡河的时间是160
s
【典例5】(多选)如图所示,在河水速度恒定的小河中,一小船保持船头始终垂直河岸从一侧岸边向对岸行驶,船的轨迹是一个弯曲的“S”形,则(　　)。
A.小船垂直河岸的速度大小恒定不变
B.小船垂直河岸的速度大小先增大后减小
C.与小船以出发时的速度匀速过河相比,过河时间变长了
D.与小船以出发时的速度匀速过河相比,过河时间变短了
【变式训练5】如图甲所示,小船过河时,船头与上游河岸的夹角为α,其航线恰好垂直于河岸,已知船在静水中的速度为v,现水流速度稍有增大,为保持航线不变,且能准时到达河对岸,下列措施中可行的是(　　)。
甲
A.减小α角,减小船速v
B.减小α角,增大船速v
C.增大α角,增大船速v
D.增大α角,减小船速v
【典例6】(多选)如图所示,河的宽度为L,河水流速为v水,甲、乙两船均以静水中的速度v同时渡河。出发时两船相距2L,甲、乙船头均与岸边成60°角,且乙船恰好能直达正对岸的A点。则下列判断正确的是(　　)。
A.甲船正好也在A点靠岸
B.甲船在A点左侧靠岸
C.甲、乙两船可能在未到达对岸前相遇
D.甲、乙两船到达对岸的时间相等
【变式训练6】某物理兴趣小组的同学在研究运动的合成和分解时，驾驶一艘快艇进行了实地演练．如图所示，在宽度一定的河中的O点固定一目标靶，经测量该目标靶距离两岸的最近距离分别为MO＝15
m、NO＝12
m，水流的速度平行河岸向右，且速度大小为v1＝8
m/s，快艇在静水中的速度大小为v2＝10
m/s.现要求快艇从图示中的下方河岸出发完成以下两个过程，第一个过程以最短的时间运动到目标靶，第二个过程由目标靶以最小的位移运动到图示中的上方河岸．下列说法正确的是(　　)
A．快艇的出发点位于M点左侧8
m处
B．第一个过程所用的时间约为1.17
s
C．第二个过程快艇的船头方向应垂直于河岸
D．第二个过程所用的时间为2
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