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高中物理模型方法分类解析
模型10
斜面上的平抛运动（原卷版）
平抛运动与斜面模型组合是一种常见的题型,也是高考考查的热点题型,具体有以下两种情况。
模型
解题方法
方法应用
分解速度,构建速度矢量三角形
水平方向:vx=v0竖直方向:vy=gt合速度:v=方向:tan
θ=
分解位移,构建位移矢量三角形
水平方向:x=v0t竖直方向:y=gt2合位移:s=方向:tan
θ=
【典例1】如图所示,倾角为θ的斜面上有A、B、C三点,现从这三点分别以不同的初速度水平抛出一小球,三个小球均落在斜面上的D点,今测得AB∶BC∶CD=5∶3∶1,由此可判断
(　　)
A.A、B、C处三个小球运动时间之比为1∶2∶3
B.A、B、C处三个小球的运动轨迹可能在空中相交
C.A、B、C处三个小球的初速度大小之比为1∶2∶3
D.A、B、C处三个小球落在斜面上时速度与初速度间的夹角之比为1∶1∶1
【变式训练1】第十六届中国崇礼国际滑雪节在张家口市崇礼区的长城岭滑雪场隆重举行．如图1所示，跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从A点水平飞出，落到斜坡上的B点．A、B两点间的竖直高度h＝45
m，斜坡与水平面的夹角α＝37°，不计空气阻力(取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10
m/s2)．求：
(1)运动员水平飞出时初速度v0的大小；
(2)设运动员从A点以不同的水平速度v0飞出，落到斜坡上时速度大小为v，请通过计算确定v与v0的关系式，并在图2中画出v?v0的关系图象．
【典例2】如图所示，在斜面顶端a处以速度va水平抛出一小球，经过时间ta恰好落在斜面底端P处；今在P点正上方与a等高的b处以速度vb水平抛出另一小球，经过时间tb恰好落在斜面的中点处。若不计空气阻力，下列关系式正确的是（　　）
A.
va＝vb
B.
va＝vb
C.
ta＝tb
D.
ta＝tb
　【变式训练2】如图所示,在倾角为37°的固定斜坡上有一人,前方有一物块沿斜坡匀速下滑,且速度v=15
m/s,在二者相距l=30
m时,此人以速度v0水平抛出一石块打击物块,人和物块都可看成质点。(已知sin
37°=0.6,g=10
m/s2)
(1)若物块在斜坡上被石块击中,求v0的大小。
(2)当物块在斜坡末端时,物块离人的高度h=80
m,此刻此人以速度v1水平抛出一石块打击物块,同时物块开始沿水平面运动,物块速度v=15
m/s,若物块在水平面上能被石块击中,求速度v1的大小。
【典例3】(多选)如图所示,从倾角为θ的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出,小球均落在斜面上,当抛出的速度为v1时,小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α1;当抛出速度为v2时,小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α2,则(　　)。
A.当v1>v2时,α1>α2
B.当v1>v2时,α1<α2
C.无论v1、v2关系如何,均有α1=α2
D.α1、α2的大小与斜面的倾角θ有关
【变式训练3】(多选)如图所示,一质点以速度v0从倾角为θ的斜面底端斜向上抛出,落到斜面上的M点且速度水平向右。现将该质点以2v0的速度从斜面底端朝同样方向抛出,落在斜面上的N点。下列说法正确的是(　　)。
A.落到M和N两点的时间之比为1∶2
B.落到M和N两点的速度之比为1∶1
C.M和N两点距离斜面底端的高度之比为1∶2
D.落到N点时速度方向水平向右
【典例4】如图甲所示,小球由倾角为45°的斜坡底端P点正上方某一位置Q处自由下落,下落至P点的时间为t1,若小球从同一点Q处以速度v0水平向左抛出,恰好垂直撞在斜坡上,运动时间为t2,不计空气阻力,则t1∶t2等于(　　)。
甲
A.1∶2　　　　　　B.∶1
C.1∶
D.1∶
【变式训练4】如图，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，并垂直击中山坡上的目标A。已知A点高度为h，山坡倾角为θ，由此可算出
A轰炸机的飞行高度
B轰炸机的飞行速度
C炸弹的飞行时间
D炸弹投出时的动能
【典例5】用如图甲所示的水平斜面装置研究平抛运动,一物块(可视为质点)置于粗糙水平面上的O点,O点到斜面顶端P点的距离为s。每次用水平拉力F将物块由O点从静止开始拉动,当物块运动到P点时撤去拉力F。实验时获得物块在不同拉力作用下落在斜面上的不同水平射程,作出了图乙所示的图象,若物块与水平部分间的动摩擦因数为0.5,斜面与水平地面之间的夹角θ=45°,g取10
m/s2,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则O、P间的距离s是多少?(结果保留2位有效数字)
【变式训练5】在一斜面顶端,将甲、乙两个小球分别以v和的速度沿同一方向水平抛出,两球都落在该斜面上。甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的(　　)。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2倍
B.4倍
C.6倍
D.8倍
【典例6】一水平抛出的小球落到一倾角为的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如右图中虚线所示。小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为
A．
B．
C．
D．
【变式训练6】一探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状。此队员从山沟的竖直一侧，以速度v0沿水平方向跳向另一侧坡面。如图所示，以沟底的O点为原点建立坐标系Oxy。已知，山沟竖直一侧的高度为2h，坡面的抛物线方程为y=x2，探险队员的质量为m。人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g。
(1)求此人落到坡面时的动能；
(2)此人水平跳出的速度为多大时，他落在坡面时的动能最小？动能的最小值为多少？
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精品试卷·第
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（共
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模型10
斜面上的平抛运动（解析版）
平抛运动与斜面模型组合是一种常见的题型,也是高考考查的热点题型,具体有以下两种情况。
模型
解题方法
方法应用
分解速度,构建速度矢量三角形
水平方向:vx=v0竖直方向:vy=gt合速度:v=方向:tan
θ=
分解位移,构建位移矢量三角形
水平方向:x=v0t竖直方向:y=gt2合位移:s=方向:tan
θ=
【典例1】如图所示,倾角为θ的斜面上有A、B、C三点,现从这三点分别以不同的初速度水平抛出一小球,三个小球均落在斜面上的D点,今测得AB∶BC∶CD=5∶3∶1,由此可判断
(　　)
A.A、B、C处三个小球运动时间之比为1∶2∶3
B.A、B、C处三个小球的运动轨迹可能在空中相交
C.A、B、C处三个小球的初速度大小之比为1∶2∶3
D.A、B、C处三个小球落在斜面上时速度与初速度间的夹角之比为1∶1∶1
【答案】D
【解析】选D。A、B、C处三个小球下降的高度之比为9∶4∶1,根据平抛运动的时间t=知,A、B、C处三个小球运动时间之比为3∶2∶1,故A项错误;因最后三个小球落到同一点,抛出点不同,轨迹不同,故三个小球的运动不可能在空中相交,故B项错误;三个小球的水平位移之比为9∶4∶1,根据x=v0t知,初速度之比为3∶2∶1,故C项错误;对于任意一球,因为平抛运动某时刻速度方向与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍,三个小球落在斜面上,位移与水平方向夹角相等,即位移与水平方向夹角正切值相等,则三个小球在D点速度与水平方向上的夹角的正切值相等,也就是三个小球在D点的速度与水平方向的夹角相等,故D项正确。
【变式训练1】第十六届中国崇礼国际滑雪节在张家口市崇礼区的长城岭滑雪场隆重举行．如图1所示，跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从A点水平飞出，落到斜坡上的B点．A、B两点间的竖直高度h＝45
m，斜坡与水平面的夹角α＝37°，不计空气阻力(取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10
m/s2)．求：
(1)运动员水平飞出时初速度v0的大小；
(2)设运动员从A点以不同的水平速度v0飞出，落到斜坡上时速度大小为v，请通过计算确定v与v0的关系式，并在图2中画出v?v0的关系图象．
【答案】(1)20
m/s　(2)v＝
v0　图见解析
【解析】(1)运动员离开A点后做平抛运动，竖直方向上，h＝gt2
根据几何关系可知，水平位移x＝＝60
m
水平方向上，v0＝＝20
m/s.
(2)竖直方向上的位移y＝gt2
水平方向上位移x＝v0t
根据平抛运动规律可知tanα＝＝
竖直分速度vy＝gt
根据平行四边形定则可知，合速度v＝eq
\r(v＋v)
联立解得v＝
v0，作图如下．
【典例2】如图所示，在斜面顶端a处以速度va水平抛出一小球，经过时间ta恰好落在斜面底端P处；今在P点正上方与a等高的b处以速度vb水平抛出另一小球，经过时间tb恰好落在斜面的中点处。若不计空气阻力，下列关系式正确的是（　　）
A.
va＝vb
B.
va＝vb
C.
ta＝tb
D.
ta＝tb
【答案】BD
【解析】做平抛运动的物体运动时间由竖直方向的高度决定，即t＝，小球从a处下落的高度是b处的2倍，有ta＝，D正确；水平方向的距离由高度和初速度决定，即x＝v0，由题意得a处的水平位移是b处的2倍，可知va＝，B正确。
　【变式训练2】如图所示,在倾角为37°的固定斜坡上有一人,前方有一物块沿斜坡匀速下滑,且速度v=15
m/s,在二者相距l=30
m时,此人以速度v0水平抛出一石块打击物块,人和物块都可看成质点。(已知sin
37°=0.6,g=10
m/s2)
(1)若物块在斜坡上被石块击中,求v0的大小。
(2)当物块在斜坡末端时,物块离人的高度h=80
m,此刻此人以速度v1水平抛出一石块打击物块,同时物块开始沿水平面运动,物块速度v=15
m/s,若物块在水平面上能被石块击中,求速度v1的大小。
【答案】(1)20m/s　(2)41.7m/s
【解析】(1)设石块击中物块的过程中,石块运动的时间为t
对物块,运动的位移s=vt
对石块,竖直方向有(l+s)sin37°=gt2
水平方向有(l+s)cos37°=v0t
解得v0=20m/s。
(2)对物块有x1=vt
对石块,竖直方向有h=gt2
解得t==4s
水平方向有+x1=v1t
联立可得v1=41.7m/s。
【典例3】(多选)如图所示,从倾角为θ的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出,小球均落在斜面上,当抛出的速度为v1时,小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α1;当抛出速度为v2时,小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α2,则(　　)。
A.当v1>v2时,α1>α2
B.当v1>v2时,α1<α2
C.无论v1、v2关系如何,均有α1=α2
D.α1、α2的大小与斜面的倾角θ有关
【答案】CD
【解析】从斜面上抛出,又落到斜面上,位移偏向角一定为θ,设速度偏向角为φ,根据速度偏向角和位移偏向角的关系有tanφ=2tanθ,故无论v1、v2关系如何,一定有φ相等,根据α=φ-θ,有α1=α2,且大小与斜面倾角θ有关,A、B两项错误,C、D两项正确。
【变式训练3】(多选)如图所示,一质点以速度v0从倾角为θ的斜面底端斜向上抛出,落到斜面上的M点且速度水平向右。现将该质点以2v0的速度从斜面底端朝同样方向抛出,落在斜面上的N点。下列说法正确的是(　　)。
A.落到M和N两点的时间之比为1∶2
B.落到M和N两点的速度之比为1∶1
C.M和N两点距离斜面底端的高度之比为1∶2
D.落到N点时速度方向水平向右
【答案】AD
【解析】由于落到斜面上M点时速度水平向右,故可把质点在空中的运动逆向看成从M点向左的平抛运动,设在M点的速度大小为u,把质点在斜面底端的速度v分解为水平速度u和竖直速度vy,有x=ut,y=gt2,=tanθ,得质点在空中飞行的时间t=,vy=gt=2utanθ,v和水平方向夹角的正切值=2tanθ,为定值,即落到N点时速度方向水平向右,故D项正确;v==u,即v与u成正比,故落到M和N两点的速度之比为1∶2,B项错误;由t=知,落到M和N两点的时间之比为1∶2,A项正确;由y=gt2=知,y和u2成正比,M和N两点距离斜面底端的高度之比为1∶4,C项错误。
【典例4】如图甲所示,小球由倾角为45°的斜坡底端P点正上方某一位置Q处自由下落,下落至P点的时间为t1,若小球从同一点Q处以速度v0水平向左抛出,恰好垂直撞在斜坡上,运动时间为t2,不计空气阻力,则t1∶t2等于(　　)。
甲
A.1∶2　　　　　　B.∶1
C.1∶
D.1∶
【答案】B
【解析】小球自Q处自由下落,下落至P点,则有H=g;小球自Q处水平向左抛出,恰好垂直撞在斜坡上,如图乙所示,则有vy=v0=gt2,h=g,x=v0t2,由几何关系知x=2h,H=x+h,联立解得t1∶t2=∶1,故B项正确。
乙
【变式训练4】如图，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，并垂直击中山坡上的目标A。已知A点高度为h，山坡倾角为θ，由此可算出
A轰炸机的飞行高度
B轰炸机的飞行速度
C炸弹的飞行时间
D炸弹投出时的动能
【答案】ABC
【解析】根据题述，tanθ=v/gt，x=vt，tanθ=h/x，H=v+y，y=gt2，由此可算出轰炸机的飞行高度y；轰炸机的飞行速度v，炸弹的飞行时间t，选项ABC正确。由于题述没有给出炸弹质量，不能得出炸弹投出时的动能，选项D错误。
【典例5】用如图甲所示的水平斜面装置研究平抛运动,一物块(可视为质点)置于粗糙水平面上的O点,O点到斜面顶端P点的距离为s。每次用水平拉力F将物块由O点从静止开始拉动,当物块运动到P点时撤去拉力F。实验时获得物块在不同拉力作用下落在斜面上的不同水平射程,作出了图乙所示的图象,若物块与水平部分间的动摩擦因数为0.5,斜面与水平地面之间的夹角θ=45°,g取10
m/s2,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则O、P间的距离s是多少?(结果保留2位有效数字)
【答案】0.25m
【解析】根据牛顿第二定律,在OP段有F-μmg=ma
又2as=
由平抛运动规律和几何关系有
物块的水平射程x=vPt
物块的竖直位移y=gt2
由几何关系有y=xtanθ
联立以上各式可以得到
F=x+μmg
由图象知μmg=5,=10
解得s=0.25m。
【变式训练5】在一斜面顶端,将甲、乙两个小球分别以v和的速度沿同一方向水平抛出,两球都落在该斜面上。甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的(　　)。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2倍
B.4倍
C.6倍
D.8倍
【答案】A
【解析】如图所示,可知
x=vt
xtanθ=gt2
则x=v2
即x∝v2
甲、乙两球抛出速度为v和,则相应水平位移之比为4∶1,由相似三角形知,下落高度之比也为4∶1,由自由落体运动规律得,落在斜面上竖直方向速度之比为2∶1,则可得落至斜面时速率之比为2∶1。
【典例6】一水平抛出的小球落到一倾角为的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如右图中虚线所示。小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如图平抛的末速度与竖直方向的夹角等于斜面倾角θ，根据有：。则下落高度与水平射程之比为，D正确。
【变式训练6】一探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状。此队员从山沟的竖直一侧，以速度v0沿水平方向跳向另一侧坡面。如图所示，以沟底的O点为原点建立坐标系Oxy。已知，山沟竖直一侧的高度为2h，坡面的抛物线方程为y=x2，探险队员的质量为m。人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g。
(1)求此人落到坡面时的动能；
(2)此人水平跳出的速度为多大时，他落在坡面时的动能最小？动能的最小值为多少？
【解析】：（1）由平抛运动规律，x=v0t，2h-y=gt2，
又y=x2，
联立解得y=。
由动能定理，mg(2h-y)=Ek-mv02，
解得Ek
=
mg(2h-
)+mv02=m
(+v02)。
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