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高中物理模型方法分类解析
模型13
变力做功(原卷版)
1.化变力为恒力
变力做功直接求解时,往往都比较复杂,若通过转换研究对象,有时可以化为恒力,用W=Flcos
α求解。此方法常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中。
2.利用平均力求变力做功
在求解变力做功时,若物体受到的力的方向不变,而大小随位移呈线性变化,即力均匀变化时,则可以等效为物体受到一大小为=的恒力做功,F1、F2分别为物体初、末状态所受到的力,然后用公式W=lcos
α求此力所做的功。
3.利用F-x图象求变力做功
在F-x图象中,图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移所做的功,且位于x轴上方的“面积”为正,位于x轴下方的“面积”为负。
4.利用动能定理求变力做功
动能定理既适用于直线运动,也适用于曲线运动;既适用于求恒力做功,也适用于求变力做功。使用动能定理可根据动能的变化来求功,是求变力做功的一种方法。
5.利用W=Pt求变力做功
这是一种等效代换的观点,用W=Pt计算功时,必须满足变力的功率是一定的这一条件。
6.用微元法求变力做功
将物体的运动过程分割成许多小段,因每小段很小,每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力,这样就将变力做的功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做的功的代数和。
【典例1】如图所示,固定的光滑竖直杆上套着一个滑块,滑块用轻绳系着绕过光滑的定滑轮O。现以大小不变的拉力F拉绳,使滑块从A点起由静止开始上升。滑块运动到C点时速度最大。已知滑块的质量为m,滑轮O到竖直杆的距离为d,∠OAO'=37°,∠OCO'=53°,重力加速度为g,sin
37°=0.6
cos
37°=0.8。求:
(1)拉力F的大小。
(2)滑块由A到C过程中拉力F做的功。
【变式训练1】如图所示,固定的光滑竖直杆上套着一个滑块,用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮,以大小恒定的拉力F拉绳,使滑块从A点起由静止开始上升。若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W1和W2,图中AB=BC,则(　　)。
A.W1>W2
B.W1C.W1=W2
D.无法确定W1和W2的大小关系
【典例2】轻质弹簧右端固定在墙上,左端与一质量m=0.5
kg的物块相连,如图甲所示,弹簧处于原长状态,物块静止且与水平面间的动摩擦因数μ=0.2。以物块所在处为原点,以水平向右为正方向建立x轴,现对物块施加水平向右的外力F,F随x轴坐标变化的情况如图乙所示,物块运动至x=0.4
m处时速度为零,则此时弹簧的弹性势能为(重力加速度g=10
m/s2)(　　)。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.3.1
J
B.3.5
J
C.1.8
J
D.2.0
J
【变式训练2】某星球半径R=6×106
m,假设该星球表面上有一倾角θ=30°的固定斜面体,一质量m=1
kg的小物块在力F作用下从静止开始沿斜面向上运动,力F始终与斜面平行,如图甲所示。已知小物块和斜面间的动摩擦因数μ=,力F随位移x变化的规律如图乙所示(取沿斜面向上为正方向),如果小物块运动12
m时速度恰好为零,已知引力常量G=6.67×10-11
N·m2/kg2。求:(计算结果保留1位有效数字)
甲　　　　　　　　　乙　　
(1)该星球表面上的重力加速度g的大小。
(2)该星球的平均密度。
【典例3】(多选)如图所示,摆球质量为m,悬线长为L,把悬线拉到水平位置后放手。设在摆球运动过程中空气阻力F阻的大小不变,则下列说法正确的是(　　)。
A.重力做功为mgL
B.悬线的拉力做功为0
C.空气阻力F阻做功为-mgL
D.空气阻力F阻做功为-F阻πL
【变式训练3】如图甲所示,水平平台上有一个质量m=50
kg的物块,站在水平地面上的人用跨过定滑轮的细绳向右拉动物块,细绳不可伸长。不计滑轮的大小、质量和绳与滑轮间的摩擦。在人以速度v=0.5
m/s从平台边缘正下方匀速向右前进x=4
m的过程中,始终保持桌面和手的竖直高度差h=3
m不变。已知物块与平台间的动摩擦因数μ=0.5,重力加速度g=10
m/s2。求人克服细绳的拉力做的功。
甲
乙
【典例4】质量为1.0×103
kg的汽车,沿倾角为30°的斜坡由静止开始运动,汽车在运动过程中所受摩擦阻力大小恒为2000
N,汽车发动机的额定输出功率为5.6×104
W,开始时汽车以a=1
m/s2的加速度做匀加速运动。(重力加速度g=10
m/s2)
(1)求汽车做匀加速运动的时间t1。
(2)求汽车所能达到的最大速率。
(3)若斜坡长143.5
m,且认为汽车到达坡顶时恰好达到最大速率,则汽车从坡底到坡顶需多长时间?
【变式训练4】某校物理兴趣小组决定举行遥控赛车比赛,比赛路径如图所示。可视为质点的赛车从起点A出发,沿水平直线轨道运动L后,由B点进入半径为R的光滑竖直半圆轨道,并通过半圆轨道的最高点C,才算完成比赛。B是半圆轨道的最低点,水平直线轨道和半圆轨道相切于B点。已知赛车质量m=0.5
kg,通电后以额定功率P=2
W工作,进入竖直半圆轨道前受到的阻力恒为Ff=0.4
N,随后在运动中受到的阻力均可不计,L=10.0
m,R=0.32
m,重力加速度g取10
m/s2。
(1)要使赛车完成比赛,赛车在半圆轨道的B点对轨道的压力至少为多大?
(2)要使赛车完成比赛,电动机至少工作多长时间?
(3)若电动机工作时间t0=5
s,当半圆轨道半径为多少时赛车能完成比赛且飞出的水平距离最大?水平距离最大是多少?
【典例5】如图所示，顶角的金属导轨固定在水平面内，导轨处在方向竖直，磁感应强度为的匀强磁场中，一根与垂直的导体棒在水平外力作用下的恒定速度沿导轨向右滑动，导体棒的质量为，导轨与导体棒单位长度的电阻均为，导体棒与导轨接触点为和，导体棒在滑动过程中始终保持与导轨良好接触，t＝0时，导体棒位于顶角处。
求
（1）时刻流过导体棒的电流强度和电流方向。
（2）导体棒作匀速直线运动时水平外力的表达式。
（3）导体棒在时间内产生的焦耳热。
（4）若在时刻将外力撤去，导体棒最终在导轨上静止时的坐标。
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高中物理模型方法分类解析
模型13
变力做功(解析版)
1.化变力为恒力
变力做功直接求解时,往往都比较复杂,若通过转换研究对象,有时可以化为恒力,用W=Flcos
α求解。此方法常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中。
2.利用平均力求变力做功
在求解变力做功时,若物体受到的力的方向不变,而大小随位移呈线性变化,即力均匀变化时,则可以等效为物体受到一大小为=的恒力做功,F1、F2分别为物体初、末状态所受到的力,然后用公式W=lcos
α求此力所做的功。
3.利用F-x图象求变力做功
在F-x图象中,图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移所做的功,且位于x轴上方的“面积”为正,位于x轴下方的“面积”为负。
4.利用动能定理求变力做功
动能定理既适用于直线运动,也适用于曲线运动;既适用于求恒力做功,也适用于求变力做功。使用动能定理可根据动能的变化来求功,是求变力做功的一种方法。
5.利用W=Pt求变力做功
这是一种等效代换的观点,用W=Pt计算功时,必须满足变力的功率是一定的这一条件。
6.用微元法求变力做功
将物体的运动过程分割成许多小段,因每小段很小,每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力,这样就将变力做的功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做的功的代数和。
【典例1】如图所示,固定的光滑竖直杆上套着一个滑块,滑块用轻绳系着绕过光滑的定滑轮O。现以大小不变的拉力F拉绳,使滑块从A点起由静止开始上升。滑块运动到C点时速度最大。已知滑块的质量为m,滑轮O到竖直杆的距离为d,∠OAO'=37°,∠OCO'=53°,重力加速度为g,sin
37°=0.6
cos
37°=0.8。求:
(1)拉力F的大小。
(2)滑块由A到C过程中拉力F做的功。
【答案】(1)mg　(2)mgd
【解析】(1)对滑块进行受力分析,其到C点时速度最大,则其所受合力为零,根据共点力的平衡条件,有
Fcos
53°=mg
解得F=mg。
(2)由能量的转化与守恒可知,拉力F对绳端点做的功就等于绳的拉力F对滑块做的功
滑轮与A点间绳长L1=
滑轮与C点间绳长L2=
滑轮右侧绳子增大的长度
ΔL=L1-L2=-=
拉力做功W=FΔL=mgd。
【变式训练1】如图所示,固定的光滑竖直杆上套着一个滑块,用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮,以大小恒定的拉力F拉绳,使滑块从A点起由静止开始上升。若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W1和W2,图中AB=BC,则(　　)。
A.W1>W2
B.W1C.W1=W2
D.无法确定W1和W2的大小关系
【答案】A
【解析】拉力F为恒力,W=F·Δl,Δl为绳拉滑块过程中力F的作用点移动的位移,大小等于滑轮左侧绳长的缩短量,由图可知,ΔlAB>ΔlBC,故W1>W2,A项正确。
【典例2】轻质弹簧右端固定在墙上,左端与一质量m=0.5
kg的物块相连,如图甲所示,弹簧处于原长状态,物块静止且与水平面间的动摩擦因数μ=0.2。以物块所在处为原点,以水平向右为正方向建立x轴,现对物块施加水平向右的外力F,F随x轴坐标变化的情况如图乙所示,物块运动至x=0.4
m处时速度为零,则此时弹簧的弹性势能为(重力加速度g=10
m/s2)(　　)。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.3.1
J
B.3.5
J
C.1.8
J
D.2.0
J
【答案】A
【解析】物块与水平面间的摩擦力Ff=μmg=1
N。现对物块施加水平向右的外力F,由F-x图线与x轴所围“面积”表示功可知F做功W=3.5
J,克服摩擦力做功Wf=Ffx=0.4
J。由于物块运动至x=0.4
m处时,速度为0,由功能关系可知,W-Wf=Ep,此时弹簧的弹性势能Ep=3.1
J,A项正确。
【变式训练2】某星球半径R=6×106
m,假设该星球表面上有一倾角θ=30°的固定斜面体,一质量m=1
kg的小物块在力F作用下从静止开始沿斜面向上运动,力F始终与斜面平行,如图甲所示。已知小物块和斜面间的动摩擦因数μ=,力F随位移x变化的规律如图乙所示(取沿斜面向上为正方向),如果小物块运动12
m时速度恰好为零,已知引力常量G=6.67×10-11
N·m2/kg2。求:(计算结果保留1位有效数字)
甲　　　　　　　　　乙　　
(1)该星球表面上的重力加速度g的大小。
(2)该星球的平均密度。
【答案】(1)6
m/s2　(2)4×103
kg/m3
【解析】(1)物块上滑过程中力F所做的功WF=(15×6-3×6)
J=72
J
由动能定理得WF-mgsin
θ·x-μmgcos
θ·x=0
解得g=6
m/s2。
(2)在星球表面重力与万有引力大小相等,有mg=G
可得星球的质量M=
所以星球的密度
ρ===≈4×103
kg/m3。
【典例3】(多选)如图所示,摆球质量为m,悬线长为L,把悬线拉到水平位置后放手。设在摆球运动过程中空气阻力F阻的大小不变,则下列说法正确的是(　　)。
A.重力做功为mgL
B.悬线的拉力做功为0
C.空气阻力F阻做功为-mgL
D.空气阻力F阻做功为-F阻πL
【答案】ABD
【解析】由重力做功特点可知重力做功WG=mgL,A项正确;悬线的拉力始终与摆球的运动方向垂直,不做功,B项正确;由微元法可得空气阻力做功WF阻=-F阻πL,D项正确。
【变式训练3】如图甲所示,水平平台上有一个质量m=50
kg的物块,站在水平地面上的人用跨过定滑轮的细绳向右拉动物块,细绳不可伸长。不计滑轮的大小、质量和绳与滑轮间的摩擦。在人以速度v=0.5
m/s从平台边缘正下方匀速向右前进x=4
m的过程中,始终保持桌面和手的竖直高度差h=3
m不变。已知物块与平台间的动摩擦因数μ=0.5,重力加速度g=10
m/s2。求人克服细绳的拉力做的功。
甲
乙
【答案】504
J
【解析】设人发生x的位移时,绳与水平方向的夹角为θ,由运动的分解可得,物块的速度v1=vcos
θ
由几何关系得cos
θ=
在此过程中,物块的位移
s=-h=2
m
物块克服摩擦力做的功Wf=μmgs
对物块,由动能定理得WT-Wf=m
所以人克服细绳的拉力做的功
WT=+μmgs=504
J。
【典例4】质量为1.0×103
kg的汽车,沿倾角为30°的斜坡由静止开始运动,汽车在运动过程中所受摩擦阻力大小恒为2000
N,汽车发动机的额定输出功率为5.6×104
W,开始时汽车以a=1
m/s2的加速度做匀加速运动。(重力加速度g=10
m/s2)
(1)求汽车做匀加速运动的时间t1。
(2)求汽车所能达到的最大速率。
(3)若斜坡长143.5
m,且认为汽车到达坡顶时恰好达到最大速率,则汽车从坡底到坡顶需多长时间?
【答案】(1)7
s　(2)8
m/s　(3)22
s
【解析】(1)由牛顿第二定律得
F-mgsin
30°-Ff=ma
设匀加速过程的末速度为v,则有P=Fv
v=at1
解得t1=7
s。
(2)当达到最大速度vm时,a=0,则有
P=(mgsin
30°+Ff)vm
解得vm=8
m/s。
(3)汽车做匀加速运动的位移x1=a
在后一阶段对汽车由动能定理得
Pt2-(mgsin
30°+Ff)x2=m-mv2
又x=x1+x2
解得t2≈15
s
故汽车运动的总时间t=t1+t2=22
s。
【变式训练4】某校物理兴趣小组决定举行遥控赛车比赛,比赛路径如图所示。可视为质点的赛车从起点A出发,沿水平直线轨道运动L后,由B点进入半径为R的光滑竖直半圆轨道,并通过半圆轨道的最高点C,才算完成比赛。B是半圆轨道的最低点,水平直线轨道和半圆轨道相切于B点。已知赛车质量m=0.5
kg,通电后以额定功率P=2
W工作,进入竖直半圆轨道前受到的阻力恒为Ff=0.4
N,随后在运动中受到的阻力均可不计,L=10.0
m,R=0.32
m,重力加速度g取10
m/s2。
(1)要使赛车完成比赛,赛车在半圆轨道的B点对轨道的压力至少为多大?
(2)要使赛车完成比赛,电动机至少工作多长时间?
(3)若电动机工作时间t0=5
s,当半圆轨道半径为多少时赛车能完成比赛且飞出的水平距离最大?水平距离最大是多少?
【答案】(1)30
N　(2)4
s　(3)0.3
m　1.2
m
【解析】(1)赛车恰通过C点,有mg=
解得最小速度vC=
由B到C过程应用机械能守恒定律,有m=m+mg×2R
在B点应用牛顿第二定律,有FN-mg=m
联立解得vB==4
m/s,FN=6mg=30
N
由牛顿第三定律得,赛车对轨道的压力FN'=FN=30
N。
(2)由A到B过程克服摩擦力做功产生的热量Q=FfL
根据能量守恒定律,有Pt=m+Q
联立解得t=4
s。
(3)设半圆轨道半径R0时,赛车能完成比赛且飞出的水平距离最大,则由A到C过程根据能量守恒定律,有
Pt0=mvC'2+Q+mg·2R0
赛车过C点后做平抛运动,有
2R0=gt2
x=vC't
联立解得x2=-16+9.6R0
当R0=0.3
m时,xmax=1.2
m。
【典例5】如图所示，顶角的金属导轨固定在水平面内，导轨处在方向竖直，磁感应强度为的匀强磁场中，一根与垂直的导体棒在水平外力作用下的恒定速度沿导轨向右滑动，导体棒的质量为，导轨与导体棒单位长度的电阻均为，导体棒与导轨接触点为和，导体棒在滑动过程中始终保持与导轨良好接触，t＝0时，导体棒位于顶角处。
求
（1）时刻流过导体棒的电流强度和电流方向。
（2）导体棒作匀速直线运动时水平外力的表达式。
（3）导体棒在时间内产生的焦耳热。
（4）若在时刻将外力撤去，导体棒最终在导轨上静止时的坐标。
【解析】
⑴经时间，导体棒位移
①
导体棒有效长度
②
导体棒电动势
③
回路总电阻
④
⑤
①②③④⑤联立解得
⑥
电流方向
（2=
（3）在时刻
，
联立解得
为正比例函数关系，作出其图像，（如图2）把时间无限小等分，每份内
④
当线在时间内时间所围面积。
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