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高中物理模型方法分类解析
模型19
带电粒子在有界磁场中运动（原卷版）
　
1.带电粒子在有界匀强磁场中做圆周运动的分析
(1)圆心的确定方法
①若已知粒子轨迹上两点的速度方向,则可根据洛伦兹力F⊥v,分别确定两点处洛伦兹力F的方向,其交点即圆心,如图甲所示。
②若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向,则可作出此两点的连线(过这两点的圆弧的弦)的中垂线,中垂线与垂线的交点即圆心,如图乙所示。
(2)半径的计算方法
①由公式求:半径R=。
②由几何方法求:一般由数学知识(勾股定理、三角函数等)计算来确定。
(3)时间的计算方法
①由圆心角求:t=·T。
②由弧长求:t=。
2.带电粒子在不同边界磁场中的运动
(1)直线边界(进出磁场具有对称性,如图甲所示)。
甲
(2)平行边界(存在临界条件,如图乙所示)。
乙
(3)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出,如图丙所示)。
丙
【典例1】空间有一圆柱形匀强磁场区域，该区域的横截面的半径为R，磁场方向垂直横截面。一质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子以速率v0沿横截面的某直径射入磁场，离开磁场时速度方向偏离入射方向60°。不计重力，该磁场的磁感应强度大小为
A.
B.
C.
D.
【变式训练1】如图甲所示,半径为R的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面(纸面),磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外。一带电荷量为q(q>0)、质量为m的粒子沿平行于直径ab的方向射入磁场区域,射入点与ab的距离为,已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为60°,则粒子的速率为(不计重力)(　　)。
甲
　A.
B.
C.
D.
【典例2】(2018山东济南第二次模拟)如图甲所示,有界匀强磁场边界线SP∥MN,速率不同的同种带电粒子从S点沿SP方向同时射入磁场,粒子的带电荷量相同,其中从a点射出的粒子速度v1的方向与MN垂直;从b点射出的粒子速度v2的方向与MN成60°角,设两粒子从S到a、b所需时间分别为t1和t2,则t1∶t2为(重力不计)(　　)。
甲
A.1∶3
B.4∶3
C.1∶1
D.3∶2
【变式训练2】(2018贵州贵阳三校联考)(多选)如图甲所示,在正方形abcd内充满方向垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场。a处有比荷相等的P、Q两种粒子,P粒子以速度v1沿ab方向垂直射入磁场,经时间t1从d点射出磁场,Q粒子沿与ab成30°角的方向以速度v2垂直射入磁场,经时间t2垂直cd射出磁场,不计粒子重力和粒子间的相互作用力,则下列说法中正确的是(　　)。
甲
A.v1∶v2=1∶2
B.v1∶v2=∶4
C.t1∶t2=2∶1
D.t1∶t2=3∶1
【典例3】(2019福建泉州质量检测)(多选)如图甲所示,两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形ABC理想分开,三角形内磁场垂直纸面向里,三角形顶点A处有一质子源,能沿∠BAC的角平分线发射速度不同的质子(质子重力不计),所有质子均能通过C点,质子比荷=k,则质子的速度可能为(　　)。
甲
A.2BkL
B.
C.
D.
【变式训练3】(2019江西上饶七校联考)(多选)如图甲所示,在直角三角形ABC内充满垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出),AB边长度为d,∠B=。现垂直AB边射入一群质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v的带正电粒子,已知垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t,而运动时间最长的粒子在磁场中的运动时间为t(不计重力)。则下列判断中正确的是(　　)。
甲
A.粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为4t
B.该匀强磁场的磁感应强度大小为
C.粒子在磁场中运动的轨道半径为d
D.粒子进入磁场时的速度大小为
【典例4】(2019广东惠州一月模拟)如图甲所示,直线MN上方有垂直纸面向里的匀强磁场,电子1从磁场边界上的a点垂直MN和磁场方向射入磁场,经t1时间从b点离开磁场。之后电子2也由a点沿图示方向以相同速率垂直磁场方向射入磁场,经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场,则t1∶t2为(　　)。
甲
　A.2∶3
B.3∶1
C.3∶2
D.2∶1
【变式训练4】(2018安徽合肥10月模拟考试)如图所示,在x轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为B。在xOy平面内,从原点O处沿与x轴正方向成θ角(0<θ<π)以速率v发射一个带正电的粒子(重力不计)。则下列说法正确的是(　　)。
A.若v一定,θ越大,则粒子在磁场中运动的时间越短
B.若v一定,θ越大,则粒子离开磁场的位置距O点越远
C.若θ一定,v越大,则粒子在磁场中运动的角速度越大
D.若θ一定,v越大,则粒子在磁场中运动的时间越短
【典例5】(2018贵州铜仁第二次检测)如图所示,abcd为一正方形边界的匀强磁场区域,磁场边界边长为L,三个粒子以相同的速度从a点沿ac方向射入,粒子1从b点射出,粒子2从c点射出,粒子3从cd边垂直于磁场边界射出,不考虑粒子的重力和粒子间的相互作用。根据以上信息,可以确定(　　)。
A.粒子1带负电,粒子2不带电,粒子3带正电
B.粒子1和粒子3的比荷之比为2∶1
C.粒子1和粒子3在磁场中运动的时间之比为4∶1
D.粒子3的射出位置与d点相距
【变式训练5】(2016全国卷Ⅲ,18)平面OM和平面ON之间的夹角为30°,其横截面(纸面)如图甲所示,平面OM上方存在匀强磁场,磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为m,电荷量为q(q>0)。粒子沿纸面以大小为v的速度从OM的某点向左上方射入磁场,速度与OM成30°角。已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点,并从OM上另一点射出磁场。不计重力。粒子离开磁场的出射点到两平面交线O的距离为(　　)。
甲
A.
B.
C.
D.
【典例6】(2017全国卷Ⅲ,24)如图,空间存在方向垂直于纸面(xOy平面)向里的磁场。在x≥0区域,磁感应强度的大小为B0;x<0区域,磁感应强度的大小为λB0(常数λ>1)。一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子以速度v0从坐标原点O沿x轴正向射入磁场,此时开始计时,当粒子的速度方向再次沿x轴正向时,求(不计重力):
(1)粒子运动的时间。
(2)粒子与O点间的距离。
【变式训练6】（19年全国2卷）如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面（abcd所在平面）向外。ab边中点有一电子发源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k。则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
【典例7】（19年全国1卷）如图，在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后，沿平行于x轴的方向射入磁场；一段时间后，该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出。已知O点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角为30°，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d，不计重力。求
（1）带电粒子的比荷；
（2）带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间。
【变式训练7】如下图，在区域内存在与xy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B.在t=0时刻，一位于坐标原点的粒子源在xy平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与y轴正方向的夹角分布在0～180°范围内。已知沿y轴正方向发射的粒子在时刻刚好从磁场边界上点离开磁场。求：
粒子在磁场中做圆周运动的半径R及粒子的比荷q／m;
此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y轴正方向夹角的取值范围；
从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间。
【典例8】如图，空间存在方向垂直于纸面（xOy平面）向里的磁场。在区域，磁感应强度的大小为；区域，磁感应强度的大小为（常数）。一质量为m、电荷量为的带电粒子以速度从坐标原点O沿x轴正向射入磁场，此时开始计时，当粒子的速度方向再次沿x轴正向时，求（不计重力）
（1）粒子运动的时间；
（2）粒子与O点间的距离。
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精品试卷·第
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模型19
带电粒子在有界磁场中运动（解析版）
　
1.带电粒子在有界匀强磁场中做圆周运动的分析
(1)圆心的确定方法
①若已知粒子轨迹上两点的速度方向,则可根据洛伦兹力F⊥v,分别确定两点处洛伦兹力F的方向,其交点即圆心,如图甲所示。
②若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向,则可作出此两点的连线(过这两点的圆弧的弦)的中垂线,中垂线与垂线的交点即圆心,如图乙所示。
(2)半径的计算方法
①由公式求:半径R=。
②由几何方法求:一般由数学知识(勾股定理、三角函数等)计算来确定。
(3)时间的计算方法
①由圆心角求:t=·T。
②由弧长求:t=。
2.带电粒子在不同边界磁场中的运动
(1)直线边界(进出磁场具有对称性,如图甲所示)。
甲
(2)平行边界(存在临界条件,如图乙所示)。
乙
(3)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出,如图丙所示)。
丙
【典例1】空间有一圆柱形匀强磁场区域，该区域的横截面的半径为R，磁场方向垂直横截面。一质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子以速率v0沿横截面的某直径射入磁场，离开磁场时速度方向偏离入射方向60°。不计重力，该磁场的磁感应强度大小为
A.
B.
C.
D.
【答案】
A
【解析】
根据题意，画出粒子的运动轨迹，由图中几何关系可知，粒子做圆周运动的半径，由可知，，综上所述，正确答案为A。
【变式训练1】如图甲所示,半径为R的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面(纸面),磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外。一带电荷量为q(q>0)、质量为m的粒子沿平行于直径ab的方向射入磁场区域,射入点与ab的距离为,已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为60°,则粒子的速率为(不计重力)(　　)。
甲
　A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】如图乙所示,粒子做圆周运动的圆心O2必在过入射点垂直于入射速度方向的直线EF上,由于粒子射入、射出磁场时运动方向间的夹角为60°,故圆弧ENM对应的圆心角为60°,所以△EMO2为等边三角形。由于O1D=,所以∠EO1D=60°,△O1ME为等边三角形,所以可得到粒子做圆周运动的半径EO2=O1E=R,由qvB=,得v=,B项正确。
乙
【典例2】(2018山东济南第二次模拟)如图甲所示,有界匀强磁场边界线SP∥MN,速率不同的同种带电粒子从S点沿SP方向同时射入磁场,粒子的带电荷量相同,其中从a点射出的粒子速度v1的方向与MN垂直;从b点射出的粒子速度v2的方向与MN成60°角,设两粒子从S到a、b所需时间分别为t1和t2,则t1∶t2为(重力不计)(　　)。
甲
A.1∶3
B.4∶3
C.1∶1
D.3∶2
【答案】D
【解析】粒子在磁场中的运动轨迹如图乙所示,可求出从a点射出的粒子对应的圆心角为90°,从b点射出的粒子对应的圆心角为60°,由t=·可得t1∶t2=90°∶60°=3∶2,D项正确。
乙
【变式训练2】(2018贵州贵阳三校联考)(多选)如图甲所示,在正方形abcd内充满方向垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场。a处有比荷相等的P、Q两种粒子,P粒子以速度v1沿ab方向垂直射入磁场,经时间t1从d点射出磁场,Q粒子沿与ab成30°角的方向以速度v2垂直射入磁场,经时间t2垂直cd射出磁场,不计粒子重力和粒子间的相互作用力,则下列说法中正确的是(　　)。
甲
A.v1∶v2=1∶2
B.v1∶v2=∶4
C.t1∶t2=2∶1
D.t1∶t2=3∶1
【答案】BD
【解析】P、Q两粒子的运动轨迹如图乙所示,粒子在磁场中的运行周期T=,因为两种粒子的比荷相等,故T1=T2。设正方形的边长为L,则由图知P粒子运行半径r1=,运行时间t1=,乙粒子运行半径r2=,运行时间t2=,而r=,所以v1∶v2=r1∶r2=∶4,A项错误,B项正确;t1∶t2=3∶1,C项错误,D项正确。
乙
【典例3】(2019福建泉州质量检测)(多选)如图甲所示,两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形ABC理想分开,三角形内磁场垂直纸面向里,三角形顶点A处有一质子源,能沿∠BAC的角平分线发射速度不同的质子(质子重力不计),所有质子均能通过C点,质子比荷=k,则质子的速度可能为(　　)。
甲
A.2BkL
B.
C.
D.
【答案】BD
【解析】因质子带正电,且经过C点,其可能的轨迹如图乙所示,所有圆弧所对圆心角均为60°,所以质子运行的半径r=(n=1,2,3,…),由洛伦兹力提供向心力得Bqv=m,即v==Bk·(n=1,2,3,…),B、D两项正确。
乙
【变式训练3】(2019江西上饶七校联考)(多选)如图甲所示,在直角三角形ABC内充满垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出),AB边长度为d,∠B=。现垂直AB边射入一群质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v的带正电粒子,已知垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t,而运动时间最长的粒子在磁场中的运动时间为t(不计重力)。则下列判断中正确的是(　　)。
甲
A.粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为4t
B.该匀强磁场的磁感应强度大小为
C.粒子在磁场中运动的轨道半径为d
D.粒子进入磁场时的速度大小为
【答案】ABC
【解析】带电粒子在磁场中做匀速圆周运动,垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间是T,即T=t,则得周期T=4t,A项正确;由T=4t,R=,T=,得B0==,B项正确;运动时间最长的粒子在磁场中运动的轨迹如图乙所示,根据几何关系有Rsin
+=d,解得R=d,C项正确;根据粒子在磁场中运动的速度v=,周期T=4t0,半径R=d,联立可得v=,D项错误。
乙
【典例4】(2019广东惠州一月模拟)如图甲所示,直线MN上方有垂直纸面向里的匀强磁场,电子1从磁场边界上的a点垂直MN和磁场方向射入磁场,经t1时间从b点离开磁场。之后电子2也由a点沿图示方向以相同速率垂直磁场方向射入磁场,经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场,则t1∶t2为(　　)。
甲
　A.2∶3
B.3∶1
C.3∶2
D.2∶1
【答案】B
【解析】粒子在磁场中都做匀速圆周运动,根据题意画出粒子的运动轨迹,如图乙所示。电子1垂直射进磁场,从b点离开,则运动了半个圆周,ab为直径,c点为圆心,电子2以相同速率垂直磁场方向射入磁场,经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场,根据半径r=可知,粒子1和2的运行轨迹半径相等,根据几何关系可知,△aOc为等边三角形,则粒子2转过的圆心角为60°,所以粒子1运动的时间t1==,粒子2运动的时间t1==,故=,B项正确。
乙
【变式训练4】(2018安徽合肥10月模拟考试)如图所示,在x轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为B。在xOy平面内,从原点O处沿与x轴正方向成θ角(0<θ<π)以速率v发射一个带正电的粒子(重力不计)。则下列说法正确的是(　　)。
A.若v一定,θ越大,则粒子在磁场中运动的时间越短
B.若v一定,θ越大,则粒子离开磁场的位置距O点越远
C.若θ一定,v越大,则粒子在磁场中运动的角速度越大
D.若θ一定,v越大,则粒子在磁场中运动的时间越短
【答案】A
【解析】由左手定则可知,带正电的粒子向左偏转。若v一定,θ越大,则粒子在磁场中运动的时间越短,A项正确;若v一定,θ等于90°时,粒子离开磁场的位置距O点最远,B项错误;若θ一定,粒子在磁场中运动的周期与v无关,由ω=可知粒子在磁场中运动的角速度与v无关,C、D两项错误。
【典例5】(2018贵州铜仁第二次检测)如图所示,abcd为一正方形边界的匀强磁场区域,磁场边界边长为L,三个粒子以相同的速度从a点沿ac方向射入,粒子1从b点射出,粒子2从c点射出,粒子3从cd边垂直于磁场边界射出,不考虑粒子的重力和粒子间的相互作用。根据以上信息,可以确定(　　)。
A.粒子1带负电,粒子2不带电,粒子3带正电
B.粒子1和粒子3的比荷之比为2∶1
C.粒子1和粒子3在磁场中运动的时间之比为4∶1
D.粒子3的射出位置与d点相距
【答案】B
【解析】根据左手定则可知粒子1带正电,粒子2不带电,粒子3带负电,A项错误;粒子1在磁场中的轨迹为四分之一圆周,半径r1=L,时间t1=T1=,粒子3在磁场中的轨迹为八分之一圆周,半径r3=L,时间t3=T2=,则t1=t3,C项错误;由r=可知粒子1和粒子3的比荷之比为2∶1,B项正确;粒子3的射出位置与d点相距(-1)L,D项错误。
【变式训练5】(2016全国卷Ⅲ,18)平面OM和平面ON之间的夹角为30°,其横截面(纸面)如图甲所示,平面OM上方存在匀强磁场,磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为m,电荷量为q(q>0)。粒子沿纸面以大小为v的速度从OM的某点向左上方射入磁场,速度与OM成30°角。已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点,并从OM上另一点射出磁场。不计重力。粒子离开磁场的出射点到两平面交线O的距离为(　　)。
甲
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】带电粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径r=。轨迹与ON相切,画出粒子的运动轨迹如图乙所示,由于=2rsin
30°=r,故△AO'D为等边三角形,∠O'DA=60°,而∠MON=30°,则∠OCD=90°,故CO'D为一直线,==2=4r=,D项正确。
乙
【典例6】(2017全国卷Ⅲ,24)如图,空间存在方向垂直于纸面(xOy平面)向里的磁场。在x≥0区域,磁感应强度的大小为B0;x<0区域,磁感应强度的大小为λB0(常数λ>1)。一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子以速度v0从坐标原点O沿x轴正向射入磁场,此时开始计时,当粒子的速度方向再次沿x轴正向时,求(不计重力):
(1)粒子运动的时间。
(2)粒子与O点间的距离。
【答案】(1)　(2)
【解析】(1)在匀强磁场中,带电粒子做圆周运动。设在x≥0区域,圆周半径为R1;在x<0区域,圆周半径为R2。由洛伦兹力公式及牛顿第二定律得
qB0v0=m
qλB0v0=m
粒子速度方向转过180°时,所需时间t1=
粒子再转过180°时,所需时间t2=
联立解得粒子运动的时间
t0=t1+t2=。
(2)由几何关系得所求距离
d0=2(R1-R2)=。
【变式训练6】（19年全国2卷）如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面（abcd所在平面）向外。ab边中点有一电子发源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k。则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
【答案】B
【解析】a点射出粒子半径Ra=
=，得：va=
=，
d点射出粒子半径为，R=
故vd=
=，故B选项符合题意
【典例7】（19年全国1卷）如图，在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后，沿平行于x轴的方向射入磁场；一段时间后，该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出。已知O点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角为30°，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d，不计重力。求
（1）带电粒子的比荷；
（2）带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间。
【答案】（1）（2）或
【解析】（1）粒子从静止被加速的过程，根据动能定理得：，解得：
根据题意，下图为粒子的运动轨迹，由几何关系可知，该粒子在磁场中运动的轨迹半径为：
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，即：
联立方程得：
（2）根据题意，粒子在磁场中运动的轨迹为四分之一圆周，长度
粒子射出磁场后到运动至轴，运动的轨迹长度
粒子从射入磁场到运动至轴过程中，一直匀速率运动，则
解得：
或
【变式训练7】如下图，在区域内存在与xy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B.在t=0时刻，一位于坐标原点的粒子源在xy平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与y轴正方向的夹角分布在0～180°范围内。已知沿y轴正方向发射的粒子在时刻刚好从磁场边界上点离开磁场。求：
粒子在磁场中做圆周运动的半径R及粒子的比荷q／m;
此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y轴正方向夹角的取值范围；
从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间。
【答案】⑴
⑵速度与y轴的正方向的夹角范围是60°到120°
⑶从粒子发射到全部离开所用
时间
为
【解析】
⑴粒子沿y轴的正方向进入磁场，从P点经过做OP的垂直平分线与x轴的交点为圆心，根据直角三角形有
解得
，则粒子做圆周运动的的圆心角为120°，周期为
粒子做圆周运动的向心力由洛仑兹力提供，根据牛顿第二定律得
，，化简得
⑵仍在磁场中的粒子其圆心角一定大于120°，这样粒子角度最小时从磁场右边界穿出；角度最大时从磁场左边界穿出。
角度最小时从磁场右边界穿出圆心角120°，所经过圆弧的弦与⑴中相等穿出点如图，根据弦与半径、x轴的夹角都是30°，所以此时速度与y轴的正方向的夹角是60°。
角度最大时从磁场左边界穿出，半径与y轴的的夹角是60°，则此时速度与y轴的正方向的夹角是120°。
所以速度与y轴的正方向的夹角范围是60°到120°
⑶在磁场中运动时间最长的粒子的轨迹应该与磁场的右边界相切，在三角形中两个相等的腰为，而它的高是
，半径与y轴的的夹角是30°，这种粒子的圆心角是240°。所用
时间
为。
所以从粒子发射到全部离开所用
时间
为。
【典例8】如图，空间存在方向垂直于纸面（xOy平面）向里的磁场。在区域，磁感应强度的大小为；区域，磁感应强度的大小为（常数）。一质量为m、电荷量为的带电粒子以速度从坐标原点O沿x轴正向射入磁场，此时开始计时，当粒子的速度方向再次沿x轴正向时，求（不计重力）
（1）粒子运动的时间；
（2）粒子与O点间的距离。
【答案】（1）粒子运动的时间为。
（2）粒子与点间的距离为。
【解析】（1）解：粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力设在区域，粒子做匀速圆周运动的半径为，周期为则
①
②
由①②可得
③
设在区域，粒子做匀速圆周运动的半径为，周期为则
④
⑤
由④⑤可得
⑥
粒子运动的轨迹如图所示，在两磁场中运动的时间分别为二分之一周期
故运动时间为
⑦
由③⑥⑦可得
⑧
（2）解：如图所示，粒子与点间的距离为在两磁场中圆周运动的直径之差，即距离为
⑨
由①④可得
⑩
?
由⑨⑩?可得
R
R
R
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