资源简介

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高中物理模型方法分类解析
模型21
单杆切割（原卷版）
导体切割磁感线产生的感应电动势
　　(1)导体切割磁感线产生的感应电动势:①当导体棒垂直于磁场运动,B、l、v两两垂直时,E=Blv。②当导线的运动方向与导线本身垂直,但与磁感线方向夹角为θ时,E=Blvsin
θ。
(2)用公式E=计算的感应电动势是平均电动势,只有在电动势不随时间变化的情况下平均电动势才等于瞬时电动势。用公式E=BLv计算电动势时,如果v是瞬时速度,那么电动势是瞬时值;如果v是平均速度,那么电动势是平均值。
(3)公式E=是计算感应电动势的普遍适用的公式,公式E=BLv则是E=的一个特例。公式E=BLv成立的条件是L、v、B三者两两垂直。如果不是两两垂直,那么L取导线在垂直于B方向的有效长度,v取垂直于B方向的分速度。
(4)E=是求整个回路的总电动势,并且求出的是Δt时间内的平均感应电动势,而公式E=BLv求出的只是切割磁感线的那部分导体中的感应电动势,不一定是回路中的总感应电动势,并且它一般用于求某一时刻的瞬时感应电动势。
【典例1】如图，一直导体棒质量为m、长为l、电阻为r，其两端放在位于水平面内间距也为l的光滑平行导轨上，并与之密接；棒左侧两导轨之间连接一可控制的负载电阻（图中未画出）；导轨置于匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨所在平面。开始时，给导体棒一个平行于导轨的初速度v0。在棒的运动速度由v0减小至v1的过程中，通过控制负载电阻的阻值使棒中的电流强度I保持恒定。导体棒一直在磁场中运动。若不计导轨电阻，求此过程中导体棒上感应动势的平均值和负载电阻上消耗的平均功率。
【变式训练1】如图，两根相距L＝0.4m、电阻不计的平行光滑金属导轨水平放置，一端与阻值R＝0.15Ω的电阻相连。导轨x＞0一侧存在沿x方向均匀增大的稳恒磁场，其方向与导轨平面垂直，变化率k＝0.5T/m，x＝0处磁场的磁感应强度B0＝0.5T。一根质量m＝0.1kg、电阻r＝0.05Ω的金属棒置于导轨上，并与导轨垂直。棒在外力作用下从x＝0处以初速度v0＝2m/s沿导轨向右运动，运动过程中电阻上消耗的功率不变。求：
(1)电路中的电流；
(2)金属棒在x＝2m处的速度；
(3)金属棒从x＝0运动到x＝2m过程中安培力做功的大小；
(4)金属棒从x＝0运动到x＝2m过程中外力的平均功率。
【典例2】如图，水平面内有一光滑金属导轨，其MN、PQ边的电阻不计，MP边的电阻阻值R=1.5,
MN与MP的夹角为1350,
PQ与MP垂直，MP边长度小于1m。将质量m=2kg，电阻不计的足够长直导体棒搁在导轨上，并与MP平行。棒与MN、PQ交点G、
H间的距离L=4m。空间存在垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度B=0.5T。在外力作用下，棒由GH处以一定的初速度向左做直线运动，运动时回路中的电流强度始终与初始时的电流强度相等。
(1)若初速度v1=3m/s,求棒在GH处所受的安培力大小FA.
(2)若初速度v2=1.5m/s,求棒向左移动距离2m到达EF所需时间t。
(3)在棒由GH处向左移动2m到达EF处的过程中，外力做功W=7J，求初速度v3。
【变式训练2】电阻可忽略的光滑平行金属导轨长S=1.15m，两导轨间距L=0.75
m，导轨倾角为30°，导轨上端ab接一阻值R=1.5Ω的电阻，磁感应强度B=0.8T的匀强磁场垂直轨道平面向上。阻值r=0.5Ω，质量m=0.2kg的金属棒与轨道垂直且接触良好，从轨道上端ab处由静止开始下滑至底端，在此过程中金属棒产生的焦耳热。(取)求：
(1)金属棒在此过程中克服安培力的功；
(2)金属棒下滑速度时的加速度．
(3)为求金属棒下滑的最大速度，有同学解答如下：由动能定理，……。由此所得结果是否正确？若正确，说明理由并完成本小题；若不正确，给出正确的解答。
【典例3】如图甲所示,空间存在方向竖直向下、磁感应强度大小B=0.5
T的匀强磁场,有两条平行的长直导轨MN、PQ处于同一水平面内,间距L=0.2
m,左端连接阻值R=0.4
Ω的电阻。质量m=0.1
kg的导体棒cd垂直跨接在导轨上,与导轨间的动摩擦因数μ=0.2。从t=0时刻开始,通过一小型电动机对导体棒施加一个水平向右的牵引力F,使导体棒从静止开始沿导轨方向做加速运动,此过程中导体棒始终保持与导轨垂直且接触良好。除R以外其余部分的电阻均不计,取重力加速度大小g=10
m/s2。
(1)若电动机保持恒定功率输出,导体棒的v-t图象如图乙所示(其中OC是曲线,CD是水平直线),已知0~10
s内,电阻R产生的热量Q=28
J,求:
①导体棒达到最大速度vm时牵引力F的大小。
②导体棒从静止开始至达到最大速度vm时的位移大小。
(2)若电动机保持恒定牵引力F=0.3
N
,且将电阻换为C=10
F的电容器(耐压值足够大),如图丙所示,求t=10
s时牵引力的功率。
【变式训练3】如图所示,绝缘水平面内固定有一间距d=1
m、电阻不计的足够长光滑矩形导轨AKDC,导轨两端接有阻值分别为R1=3
Ω和R2=6
Ω的定值电阻,矩形区域AKFE、NMCD范围内均有方向竖直向下、磁感应强度大小B=1
T的匀强磁场Ⅰ和Ⅱ,一质量m=0.2
kg、电阻r=1
Ω的导体棒bc垂直放在导轨上AK与EF之间某处,在方向水平向右、大小F0=2
N的恒力作用下由静止开始运动,刚要到达EF时导体棒bc的速度大小v1=3
m/s,导体棒bc进入磁场Ⅱ后,导体棒bc中通过的电流始终保持不变,导体棒bc在运动过程中始终保持与导轨垂直且接触良好,空气阻力不计。
(1)求导体棒bc刚要到达EF时的加速度大小a1。
(2)求两磁场边界EF和MN之间的距离L。
【典例4】(2019广西南宁1月检测)如图甲所示,放置在水平桌面上的两条光滑导轨间的距离L=1
m,质量m=1
kg
的光滑导体棒放在导轨上,导轨左端与阻值R=4
Ω的电阻相连,导轨所在位置有磁感应强度大小B=2
T的匀强磁场,磁场的方向垂直导轨平面向下,现给导体棒施加一个水平向右的恒定拉力F,并每隔0.2
s测量一次导体棒的速度,图乙是根据所测数据描绘出的导体棒的v-t图象。设导轨足够长,求:
(1)力F的大小。
(2)t=1.6
s时,导体棒的加速度大小。
(3)若1.6
s内导体棒的位移x=8
m,试计算1.6
s内电阻产生的热量。
【变式训练4】某同学设计了电磁健身器,简化装置如图所示。两根平行金属导轨相距l=0.50
m,倾角θ=53°,导轨上端接一个R=0.05
Ω的电阻。在导轨间长d=0.56
m的区域内,存在方向垂直导轨平面向下的匀强磁场,磁感应强度大小B=2.0
T。质量m=4.0
kg的金属棒CD水平置于导轨上,用绝缘绳索通过定滑轮与轻的拉杆GH相连,CD棒的初始位置与磁场区域的下边界相距s=0.24
m。一位健身者用F=80
N的恒力沿绳拉动GH杆,CD棒由静止开始运动,上升过程中CD棒始终与导轨垂直。当CD棒到达磁场上边界时健身者松手,触发恢复装置使CD棒回到初始位置。已知sin
53°=0.8,cos
53°=0.6,重力加速度g=10
m/s2,不计其他电阻、摩擦力,以及拉杆和绳索的质量。
(1)求CD棒进入磁场时速度v的大小。
(2)通过数据计算,说明CD棒进入磁场后的运动情况。
(3)某健身者锻炼过程中,没有保持80
N的恒定拉力。若测出CD棒到达磁场上边缘时的速度为2
m/s,CD棒每次上升过程中,电阻产生的焦耳热Q=22.4
J,这位健身者为了消耗8000
J的热量,约需完成以上动作多少次?
【典例5】(2018河北保定期中)如图所示,两条相距l的光滑平行金属导轨位于同一竖直面(纸面)内,其上端接一阻值为R的电阻;在两导轨间OO'下方区域内有垂直导轨平面向里的匀强磁场,磁感应强度为B。现使电阻为r、质量为m的金属棒ab由静止开始自OO'位置释放,向下运动距离d后速度不再变化。金属棒ab与导轨始终保持良好接触且下落过程中始终保持水平,导轨电阻不计。重力加速度为g。
(1)求棒ab在向下运动距离d的过程中回路产生的总焦耳热。
(2)棒ab从静止释放经过时间t0下降了d,求此时刻的速度大小。
【变式训练5】(2018辽宁丹东二模)如图所示,光滑的金属导轨固定在绝缘水平面上,导轨足够长,电阻不计,两轨间距为L,其左端连接一阻值为R的电阻。导轨处在竖直向下的匀强磁场中,磁感应强度大小为B,一质量为m的金属棒,放置在导轨上,其电阻为r,某时刻一水平力F垂直作用在金属棒中点,金属棒从静止开始做匀加速直线运动,已知加速度大小为a,金属棒始终与导轨接触良好。
(1)从力F作用开始计时,请推导F与时间t的关系式。
(2)F作用时间t0后撤去,求金属棒能继续滑行的距离s。
【典例6】电磁轨道炮利用电流和磁场的作用使炮弹获得超高速度,其原理可用来研制新武器和航天运载器。电磁轨道炮示意图如图,图中直流电源电动势为E,电容器的电容为C。两根固定于水平面内的光滑平行金属导轨间距为l,电阻不计。炮弹可视为一质量为m、电阻为R的金属棒MN,垂直放在两导轨间处于静止状态,并与导轨良好接触。首先开关S接1,使电容器完全充电。然后将S接至2,导轨间存在垂直于导轨平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场(图中未画出),MN开始向右加速运动。当MN上的感应电动势与电容器两极板间的电压相等时,回路中电流为零,MN达到最大速度,之后离开导轨。求:
(1)磁场的方向。
(2)MN刚开始运动时加速度a的大小。
(3)MN离开导轨后电容器上剩余的电荷量Q。
【变式训练6】(2018湖北宜昌9月月考)(多选)如图所示,间距L=1.0
m、长为5.0
m的光滑导轨固定在水平面上,一电容C=0.1
F的平行板电容器接在导轨的左端。垂直于水平面的磁场沿x轴方向上按B=B0+kx(其中B0=0.4
T,k=0.2
T/m)分布,垂直x轴方向的磁场均匀分布。现有一导体棒横跨在导体框上,在沿x轴方向的水平拉力F作用下,以v=2.0
m/s的速度从x=0处沿x轴方向匀速运动,不计所有电阻,下列说法中正确的是(　　)。
A.电容器中的电场随时间均匀增大
B.电路中的电流随时间均匀增大
C.拉力F的功率随时间均匀增大
D.导体棒运动至x=3
m处时,所受安培力为0.02
N
【典例7】(2019河北张家口1月模拟)(多选)如图所示,固定的竖直光滑U形金属导轨,间距为L,上端接有阻值为R的电阻,处在方向水平且垂直于导轨平面、磁感应强度为B的匀强磁场中,质量为m、电阻为r的导体棒与劲度系数为k的固定轻弹簧相连放在导轨上,导轨的电阻忽略不计。初始时刻,弹簧处于伸长状态,其伸长量x1=,此时导体棒具有竖直向上的初速度v0。在沿导轨往复运动的过程中,导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触。则下列说法正确的是(　　)。
A.初始时刻导体棒受到的安培力大小F=
B.初始时刻导体棒加速度的大小a=2g+
C.导体棒往复运动,最终静止时弹簧处于压缩状态
D.导体棒开始运动直到最终静止的过程中,电阻R上产生的焦耳热Q=m+
【变式训练7】(2018广西十校联考)如图所示,足够长的平行光滑金属导轨MN、PQ相距为L,导轨平面与水平面的夹角为α,导轨电阻不计,磁感应强度为B的匀强磁场垂直导轨平面斜向上,长为L的金属棒ab垂直MN、PQ放置在导轨上,且始终与导轨接触良好,金属棒的质量为m,电阻为R,两金属导轨的上端连接右侧电路,电路中R2为一电阻箱,已知灯泡的电阻RL=3R不变,定值电阻R1=R,调节电阻箱使R2=6R,重力加速度为g,闭合开关S,现将金属棒由静止释放。
(1)求金属棒下滑的最大速度vm的大小。
(2)若金属棒下滑距离为x时速度恰好达到最大,求金属棒由静止开始下滑x的过程中流过R1的电荷量和R1产生的焦耳热Q1。
(3)改变电阻箱R2的值,求R2为何值时,金属棒匀速下滑过程中R2消耗的电功率最大。
【典例8】(2018江苏卷,19)(多选)如图甲所示,竖直放置的“”形光滑导轨宽为L,矩形匀强磁场Ⅰ、Ⅱ的高和间距均为d,磁感应强度为B。质量为m的水平金属杆由静止释放,进入磁场Ⅰ和Ⅱ时的速度相等。金属杆在导轨间的电阻为R,与导轨接触良好,其余电阻不计,重力加速度为g。金属杆(　　)。
甲
A.刚进入磁场Ⅰ时加速度方向竖直向下
B.穿过磁场Ⅰ的时间大于在两磁场之间的运动时间
C.穿过两磁场产生的总热量为4mgd
D.释放时距磁场Ⅰ上边界的高度h可能小于
【变式训练8】(2016全国卷Ⅱ,24)如图,水平面(纸面)内间距为l的平行金属导轨间接一电阻,质量为m、长度为l的金属杆置于导轨上。t=0时,金属杆在水平向右、大小为F的恒定拉力作用下由静止开始运动。t0时刻,金属杆进入磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场区域,且在磁场中恰好能保持匀速运动。杆与导轨的电阻均忽略不计,两者始终保持垂直且接触良好,两者之间的动摩擦因数为μ。重力加速度大小为g。求:
(1)金属杆在磁场中运动时产生的电动势的大小。
(2)电阻的阻值。
【典例9】如图，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为L。导轨上端接有一平行板电容器，电容为C。导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面。在导轨上放置一质量为m的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触。已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。忽略所有电阻。让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，
求（1）电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系；
（2）金属棒的速度大小随时间变化的关系。
【变式训练9】如图所示，在匀强磁场中有一倾斜的平行金属导轨，导轨间距为L，长为3d，导轨平面与水平面的夹角为θ，在导轨的中部刷有一段长为d的薄绝缘涂层。匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向与导轨平面垂直。质量为m的导体棒从导轨的顶端由静止释放，在滑上涂层之前已经做匀速运动，并一直匀速滑到导轨底端。导体棒始终与导轨垂直，且仅与涂层间有摩擦，接在两导轨间的电阻为R，其他部分的电阻均不计，重力加速度为g。求：
(1)导体棒与涂层间的动摩擦因数μ；
(2)导体棒匀速运动的速度大小v；
(3)整个运动过程中，电阻产生的焦耳热Q。
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精品试卷·第
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模型21
单杆切割（解析版）
导体切割磁感线产生的感应电动势
　　(1)导体切割磁感线产生的感应电动势:①当导体棒垂直于磁场运动,B、l、v两两垂直时,E=Blv。②当导线的运动方向与导线本身垂直,但与磁感线方向夹角为θ时,E=Blvsin
θ。
(2)用公式E=计算的感应电动势是平均电动势,只有在电动势不随时间变化的情况下平均电动势才等于瞬时电动势。用公式E=BLv计算电动势时,如果v是瞬时速度,那么电动势是瞬时值;如果v是平均速度,那么电动势是平均值。
(3)公式E=是计算感应电动势的普遍适用的公式,公式E=BLv则是E=的一个特例。公式E=BLv成立的条件是L、v、B三者两两垂直。如果不是两两垂直,那么L取导线在垂直于B方向的有效长度,v取垂直于B方向的分速度。
(4)E=是求整个回路的总电动势,并且求出的是Δt时间内的平均感应电动势,而公式E=BLv求出的只是切割磁感线的那部分导体中的感应电动势,不一定是回路中的总感应电动势,并且它一般用于求某一时刻的瞬时感应电动势。
【典例1】如图，一直导体棒质量为m、长为l、电阻为r，其两端放在位于水平面内间距也为l的光滑平行导轨上，并与之密接；棒左侧两导轨之间连接一可控制的负载电阻（图中未画出）；导轨置于匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨所在平面。开始时，给导体棒一个平行于导轨的初速度v0。在棒的运动速度由v0减小至v1的过程中，通过控制负载电阻的阻值使棒中的电流强度I保持恒定。导体棒一直在磁场中运动。若不计导轨电阻，求此过程中导体棒上感应动势的平均值和负载电阻上消耗的平均功率。
【解析】导体棒所受的安培力为
F=IlB
①
该力大小不变，棒做匀减速运动，因此在棒的速度从v0减小到v1的过程中，平均速度为
②
当棒的速度为v时，感应电动势的大小为
E=lvB
③
棒中的平均感应电动势为
④
由②④式得
⑤
导体棒中消耗的热功率为
⑥
负载电阻上消耗的平均功率为
⑦
由⑤⑥⑦式得
⑧
【变式训练1】如图，两根相距L＝0.4m、电阻不计的平行光滑金属导轨水平放置，一端与阻值R＝0.15Ω的电阻相连。导轨x＞0一侧存在沿x方向均匀增大的稳恒磁场，其方向与导轨平面垂直，变化率k＝0.5T/m，x＝0处磁场的磁感应强度B0＝0.5T。一根质量m＝0.1kg、电阻r＝0.05Ω的金属棒置于导轨上，并与导轨垂直。棒在外力作用下从x＝0处以初速度v0＝2m/s沿导轨向右运动，运动过程中电阻上消耗的功率不变。求：
(1)电路中的电流；
(2)金属棒在x＝2m处的速度；
(3)金属棒从x＝0运动到x＝2m过程中安培力做功的大小；
(4)金属棒从x＝0运动到x＝2m过程中外力的平均功率。
【解析】(1)在x=0时，E=B0Lv=0.5×0.4×2V=0.4V。
电路中的电流I=E/(R+r)=2A；
(2)在x＝2m处，磁感应强度B2=
B0+kx2＝0.5T+0.5T/m×2m=1.5T。
E=B2Lv2，
解得：金属棒在x＝2m处的速度v2=m/s。
(3)金属棒从x＝0开始运动时的安培力：F0=B0IL=0.5×2×0.4N=0.4N。
到x＝2m时的安培力：FA=B2IL=1.5×2×0.4N=1.2N。
过程中安培力做功的大小W=(
F0
+
FA)x=1.6J。
(4)由EIt=W解得t=2s。
由动能定理：Pt-W=mv22-mv02，
解得P=W=0.71W。
【典例2】如图，水平面内有一光滑金属导轨，其MN、PQ边的电阻不计，MP边的电阻阻值R=1.5,
MN与MP的夹角为1350,
PQ与MP垂直，MP边长度小于1m。将质量m=2kg，电阻不计的足够长直导体棒搁在导轨上，并与MP平行。棒与MN、PQ交点G、
H间的距离L=4m。空间存在垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度B=0.5T。在外力作用下，棒由GH处以一定的初速度向左做直线运动，运动时回路中的电流强度始终与初始时的电流强度相等。
(1)若初速度v1=3m/s,求棒在GH处所受的安培力大小FA.
(2)若初速度v2=1.5m/s,求棒向左移动距离2m到达EF所需时间t。
(3)在棒由GH处向左移动2m到达EF处的过程中，外力做功W=7J，求初速度v3。
【答案】（1）8N；（2）1s；（3）1m/s
【解析】（1）棒在GH处速度为v1，因此，由此得；
（2）设棒移动距离a，由几何关系EF间距也为a，磁通量变化。
题设运动时回路中电流保持不变，即感应电动势不变，有：
因此
解得
（3）设外力做功为W，克服安培力做功为WA，导体棒在EF处的速度为v’3
由动能定理：
克服安培力做功：
式中
联立解得：
由于电流始终不变，有：
因此
代入数值得
解得
或（舍去）
【变式训练2】电阻可忽略的光滑平行金属导轨长S=1.15m，两导轨间距L=0.75
m，导轨倾角为30°，导轨上端ab接一阻值R=1.5Ω的电阻，磁感应强度B=0.8T的匀强磁场垂直轨道平面向上。阻值r=0.5Ω，质量m=0.2kg的金属棒与轨道垂直且接触良好，从轨道上端ab处由静止开始下滑至底端，在此过程中金属棒产生的焦耳热。(取)求：
(1)金属棒在此过程中克服安培力的功；
(2)金属棒下滑速度时的加速度．
(3)为求金属棒下滑的最大速度，有同学解答如下：由动能定理，……。由此所得结果是否正确？若正确，说明理由并完成本小题；若不正确，给出正确的解答。
【解析】（1）下滑过程中安培力的功即为在电阻上产生的焦耳热，由于，因此
（1分）
∴
（2分）
（2）金属棒下滑时受重力和安培力
（1分）
由牛顿第二定律
（3分）
∴
（2分）
(3)此解法正确。
(1分)
金属棒下滑时舞重力和安培力作用，其运动满足
上式表明，加速度随速度增加而减小，棒作加速度减小的加速运动。无论最终是否达到匀速，当棒到达斜面底端时速度一定为最大。由动能定理可以得到棒的末速度，因此上述解法正确。
(2分)
（1分）
∴
（1分）
【典例3】如图甲所示,空间存在方向竖直向下、磁感应强度大小B=0.5
T的匀强磁场,有两条平行的长直导轨MN、PQ处于同一水平面内,间距L=0.2
m,左端连接阻值R=0.4
Ω的电阻。质量m=0.1
kg的导体棒cd垂直跨接在导轨上,与导轨间的动摩擦因数μ=0.2。从t=0时刻开始,通过一小型电动机对导体棒施加一个水平向右的牵引力F,使导体棒从静止开始沿导轨方向做加速运动,此过程中导体棒始终保持与导轨垂直且接触良好。除R以外其余部分的电阻均不计,取重力加速度大小g=10
m/s2。
(1)若电动机保持恒定功率输出,导体棒的v-t图象如图乙所示(其中OC是曲线,CD是水平直线),已知0~10
s内,电阻R产生的热量Q=28
J,求:
①导体棒达到最大速度vm时牵引力F的大小。
②导体棒从静止开始至达到最大速度vm时的位移大小。
(2)若电动机保持恒定牵引力F=0.3
N
,且将电阻换为C=10
F的电容器(耐压值足够大),如图丙所示,求t=10
s时牵引力的功率。
【答案】(1)①0.45N　②60m　(2)1.5W
【解析】(1)①当导体棒达到最大速度后,所受合力为零,沿导轨方向有F-F安-f=0
摩擦力f=μmg=0.2N
感应电动势E=BLvm,感应电流I=
安培力F安=BIL==0.25N
此时牵引力F=F安+f=0.45N。
②变力做功问题不能用功的定义式,在0~10s内牵引力是变力但功率恒定,可根据能量守恒定律求解
电动机的功率P=Fvm=4.5W
电动机消耗的电能等于导体棒的动能、克服安培力做功产生的焦耳热与克服摩擦力做功产生的内能之和,有
Pt=m+f·x+Q
解得位移x=60m。
(2)当金属棒的速度大小为v时,感应电动势E=BLv
由C=可知,此时电容器极板上的电荷量
Q=CU=CE=CBLv
设在一小段时间Δt内,可认为导体棒做匀变速运动,速度增加量为Δv
电容器极板上增加的电荷量ΔQ=CBL·Δv
根据电流的定义式I===CBLa
对导体棒受力分析,根据牛顿第二定律,有
F-f-BIL=ma
将I=CBLa代入上式可得a==0.5m/s2
可知导体棒的加速度与时间无关,为一个定值,即导体棒做匀加速运动
在t=10s时,v=at=5m/s,此时的功率P=Fv=1.5W。
【变式训练3】如图所示,绝缘水平面内固定有一间距d=1
m、电阻不计的足够长光滑矩形导轨AKDC,导轨两端接有阻值分别为R1=3
Ω和R2=6
Ω的定值电阻,矩形区域AKFE、NMCD范围内均有方向竖直向下、磁感应强度大小B=1
T的匀强磁场Ⅰ和Ⅱ,一质量m=0.2
kg、电阻r=1
Ω的导体棒bc垂直放在导轨上AK与EF之间某处,在方向水平向右、大小F0=2
N的恒力作用下由静止开始运动,刚要到达EF时导体棒bc的速度大小v1=3
m/s,导体棒bc进入磁场Ⅱ后,导体棒bc中通过的电流始终保持不变,导体棒bc在运动过程中始终保持与导轨垂直且接触良好,空气阻力不计。
(1)求导体棒bc刚要到达EF时的加速度大小a1。
(2)求两磁场边界EF和MN之间的距离L。
【答案】
【解析】(1)导体棒bc刚要到达EF时,在磁场中切割磁感线产生的感应电动势E1=Bdv1,经分析可知,此时导体棒bc所受安培力的方向水平向左,由牛顿第二定律,则有F0-BI1d=ma1
根据闭合电路的欧姆定律,则有I1=
上式中R==2Ω
联立解得a1=5m/s2。
(2)导体棒bc进入磁场Ⅱ后,受到的安培力与F0平衡,做匀速直线运动,导体棒bc中通过的电流I2保持不变,则有F0=BI2d,其中I2=
设导体棒bc从EF运动到MN的过程中的加速度大小为a2,根据牛顿第二定律,则有F0=ma2
导体棒bc在EF、MN之间做匀加速直线运动,则有
-=2a2L
联立解得L=1.35m。
(1)5m/s2　(2)1.35m
【典例4】(2019广西南宁1月检测)如图甲所示,放置在水平桌面上的两条光滑导轨间的距离L=1
m,质量m=1
kg
的光滑导体棒放在导轨上,导轨左端与阻值R=4
Ω的电阻相连,导轨所在位置有磁感应强度大小B=2
T的匀强磁场,磁场的方向垂直导轨平面向下,现给导体棒施加一个水平向右的恒定拉力F,并每隔0.2
s测量一次导体棒的速度,图乙是根据所测数据描绘出的导体棒的v-t图象。设导轨足够长,求:
(1)力F的大小。
(2)t=1.6
s时,导体棒的加速度大小。
(3)若1.6
s内导体棒的位移x=8
m,试计算1.6
s内电阻产生的热量。
【答案】(1)10N　(2)2m/s2　(3)48J
【解析】(1)感应电动势E=BLv
感应电流I=,安培力F安=BIL
当速度最大时F=F安
解得F==10N。
(2)当t=1.6s时,v1=8m/s,此时F安==8N
F-F安=ma,解得a=2m/s2。
(3)由能量守恒得Fx=Q+m
解得1.6s内电阻产生的热量Q=48J。
【变式训练4】某同学设计了电磁健身器,简化装置如图所示。两根平行金属导轨相距l=0.50
m,倾角θ=53°,导轨上端接一个R=0.05
Ω的电阻。在导轨间长d=0.56
m的区域内,存在方向垂直导轨平面向下的匀强磁场,磁感应强度大小B=2.0
T。质量m=4.0
kg的金属棒CD水平置于导轨上,用绝缘绳索通过定滑轮与轻的拉杆GH相连,CD棒的初始位置与磁场区域的下边界相距s=0.24
m。一位健身者用F=80
N的恒力沿绳拉动GH杆,CD棒由静止开始运动,上升过程中CD棒始终与导轨垂直。当CD棒到达磁场上边界时健身者松手,触发恢复装置使CD棒回到初始位置。已知sin
53°=0.8,cos
53°=0.6,重力加速度g=10
m/s2,不计其他电阻、摩擦力,以及拉杆和绳索的质量。
(1)求CD棒进入磁场时速度v的大小。
(2)通过数据计算,说明CD棒进入磁场后的运动情况。
(3)某健身者锻炼过程中,没有保持80
N的恒定拉力。若测出CD棒到达磁场上边缘时的速度为2
m/s,CD棒每次上升过程中,电阻产生的焦耳热Q=22.4
J,这位健身者为了消耗8000
J的热量,约需完成以上动作多少次?
【答案】(1)2.4m/s　(2)匀速运动　(3)143次
【解析】(1)CD棒进入磁场前,根据牛顿第二定律,有
F-mgsinθ=ma
解得a=12m/s2
由匀变速公式2as=v2,解得v=2.4m/s。
(2)CD棒刚进入磁场时,感应电动势E=Blv=2.4V
感应电流I==48A
安培力F安=BIl=48N,方向沿斜面向下
重力沿斜面方向的分力G1=mgsinθ=32N
因拉力F=80N,则F=F安+G1,即合力为零,故CD棒进入磁场后,做匀速运动。
(3)每次上升过程,CD棒增加的重力势能ΔEp=mg(s+d)sinθ=25.6J
增加的动能ΔEk=m=8J
每次需消耗的能量ΔE=ΔEk+ΔEp+Q=56J
次数n=≈142.86,则完成以上动作约需143次。
【典例5】(2018河北保定期中)如图所示,两条相距l的光滑平行金属导轨位于同一竖直面(纸面)内,其上端接一阻值为R的电阻;在两导轨间OO'下方区域内有垂直导轨平面向里的匀强磁场,磁感应强度为B。现使电阻为r、质量为m的金属棒ab由静止开始自OO'位置释放,向下运动距离d后速度不再变化。金属棒ab与导轨始终保持良好接触且下落过程中始终保持水平,导轨电阻不计。重力加速度为g。
(1)求棒ab在向下运动距离d的过程中回路产生的总焦耳热。
(2)棒ab从静止释放经过时间t0下降了d,求此时刻的速度大小。
【答案】(1)mgd-　(2)gt0-
【解析】(1)设金属棒匀速运动的速度为vm,根据闭合电路的欧姆定律可得回路电流I=
金属棒匀速运动时受力平衡,则有mg=BIl
联立解得金属棒的最大速度vm=
根据能量守恒定律可得mgd=m+Q
解得Q=mgd-。
(2)以金属棒为研究对象,根据动量定理可得
(mg-Bl)t0=mv
而q=t0==
解得v=gt0-。
【变式训练5】(2018辽宁丹东二模)如图所示,光滑的金属导轨固定在绝缘水平面上,导轨足够长,电阻不计,两轨间距为L,其左端连接一阻值为R的电阻。导轨处在竖直向下的匀强磁场中,磁感应强度大小为B,一质量为m的金属棒,放置在导轨上,其电阻为r,某时刻一水平力F垂直作用在金属棒中点,金属棒从静止开始做匀加速直线运动,已知加速度大小为a,金属棒始终与导轨接触良好。
(1)从力F作用开始计时,请推导F与时间t的关系式。
(2)F作用时间t0后撤去,求金属棒能继续滑行的距离s。
【答案】(1)F=at+ma　(2)
【解析】(1)设t时刻,电路中电流为I,对金属棒有
F-BIL=ma
根据闭合电路欧姆定律可得BLv=I(R+r)
金属棒速度v=at
联立解得F=at+ma。
(2)撤去F瞬间,金属棒速度v0=at0,在Δt时间内,取金属棒速度方向为正方向
由动量定理可得-ILBΔt=mΔv
两边求和有Σ-ILBΔt=ΣmΔv,BLv=I(R+r)
联立可得-Σvt=-mat0,即s=。
【典例6】电磁轨道炮利用电流和磁场的作用使炮弹获得超高速度,其原理可用来研制新武器和航天运载器。电磁轨道炮示意图如图,图中直流电源电动势为E,电容器的电容为C。两根固定于水平面内的光滑平行金属导轨间距为l,电阻不计。炮弹可视为一质量为m、电阻为R的金属棒MN,垂直放在两导轨间处于静止状态,并与导轨良好接触。首先开关S接1,使电容器完全充电。然后将S接至2,导轨间存在垂直于导轨平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场(图中未画出),MN开始向右加速运动。当MN上的感应电动势与电容器两极板间的电压相等时,回路中电流为零,MN达到最大速度,之后离开导轨。求:
(1)磁场的方向。
(2)MN刚开始运动时加速度a的大小。
(3)MN离开导轨后电容器上剩余的电荷量Q。
【答案】(1)垂直于导轨平面向下　(2)(3)
【解析】(1)MN向右加速运动,说明安培力向右,而电流方向由M到N,则磁场的方向垂直于导轨平面向下。
(2)电容器完全充电后,两极板间电压为E,当开关S接2时,电容器放电,设刚放电时流经MN的电流为I,有I=
设MN受到的安培力为F,有F=IlB
由牛顿第二定律,有F=ma
联立由上式得a=。
(3)当电容器充电完毕时,设电容器上电荷量为Q0,有Q0=CE
开关S接2后,MN开始向右加速运动,速度达到最大值vmax时,设MN上的感应电动势为E',有E'=Blvmax
依题意有E'=
设在此过程中MN的平均电流为,MN上受到的平均安培力为,有=Bl
由动量定理,有Δt=mvmax
又Δt=Q0-Q
联立各式得Q=。
【变式训练6】(2018湖北宜昌9月月考)(多选)如图所示,间距L=1.0
m、长为5.0
m的光滑导轨固定在水平面上,一电容C=0.1
F的平行板电容器接在导轨的左端。垂直于水平面的磁场沿x轴方向上按B=B0+kx(其中B0=0.4
T,k=0.2
T/m)分布,垂直x轴方向的磁场均匀分布。现有一导体棒横跨在导体框上,在沿x轴方向的水平拉力F作用下,以v=2.0
m/s的速度从x=0处沿x轴方向匀速运动,不计所有电阻,下列说法中正确的是(　　)。
A.电容器中的电场随时间均匀增大
B.电路中的电流随时间均匀增大
C.拉力F的功率随时间均匀增大
D.导体棒运动至x=3
m处时,所受安培力为0.02
N
【答案】AC
【解析】根据导体切割磁感线产生的感应电动势E=BLv,所以ΔE=ΔBLv,因为磁场随位移均匀变化,所以感应电动势随位移均匀增大,电容器两端的电压均匀变化,电场强度也是均匀变化的,A项正确;电容器的电容C==,解得I=LCv,由于导体棒匀速运动,且磁感应强度随位移均匀变化,而Δx=v·Δt,所以电流不变,B项错误;导体棒匀速运动,根据平衡条件可得F=BIL,而B均匀增大,所以安培力均匀增大,拉力F均匀增大,拉力做功功率等于克服安培力做功功率,根据P=Fv可知,外力的功率均匀增大,C项正确;导体棒运动至x=3m处时,磁感应强度B=(0.4+0.2×3)T=1T,电流I=LCv=LCv2=0.08A,所以导体棒所受安培力F=BIL=0.08N,D项错误。
【典例7】(2019河北张家口1月模拟)(多选)如图所示,固定的竖直光滑U形金属导轨,间距为L,上端接有阻值为R的电阻,处在方向水平且垂直于导轨平面、磁感应强度为B的匀强磁场中,质量为m、电阻为r的导体棒与劲度系数为k的固定轻弹簧相连放在导轨上,导轨的电阻忽略不计。初始时刻,弹簧处于伸长状态,其伸长量x1=,此时导体棒具有竖直向上的初速度v0。在沿导轨往复运动的过程中,导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触。则下列说法正确的是(　　)。
A.初始时刻导体棒受到的安培力大小F=
B.初始时刻导体棒加速度的大小a=2g+
C.导体棒往复运动,最终静止时弹簧处于压缩状态
D.导体棒开始运动直到最终静止的过程中,电阻R上产生的焦耳热Q=m+
【答案】BC
【解析】导体棒的初速度为v0,初始时刻产生的感应电动势E=BLv0,初始时刻回路中产生的电流I=,导体棒受到的安培力F=BIL,联立解得F=,A项错误;初始时刻,弹簧处于伸长状态,导体棒受到的重力、安培力和弹簧的弹力均向下,由ma=mg+kx1+F,解得a=2g+,B项正确;导体棒最终静止时,受到的重力和弹簧的弹力平衡,所以弹力的方向向上,此时导体棒的位置比初始时刻降低了,C项正确;导体棒最终静止时,棒受到的重力和弹簧的弹力平衡,有mg=kx2,得x2=,由于x1=x2,所以弹簧的弹性势能不变,由能量守恒定律得mg(x1+x2)+Ek=Q,解得系统产生的总热量Q=m+,R上产生的热量要小于系统产生的总热量,D项错误。
【变式训练7】(2018广西十校联考)如图所示,足够长的平行光滑金属导轨MN、PQ相距为L,导轨平面与水平面的夹角为α,导轨电阻不计,磁感应强度为B的匀强磁场垂直导轨平面斜向上,长为L的金属棒ab垂直MN、PQ放置在导轨上,且始终与导轨接触良好,金属棒的质量为m,电阻为R,两金属导轨的上端连接右侧电路,电路中R2为一电阻箱,已知灯泡的电阻RL=3R不变,定值电阻R1=R,调节电阻箱使R2=6R,重力加速度为g,闭合开关S,现将金属棒由静止释放。
(1)求金属棒下滑的最大速度vm的大小。
(2)若金属棒下滑距离为x时速度恰好达到最大,求金属棒由静止开始下滑x的过程中流过R1的电荷量和R1产生的焦耳热Q1。
(3)改变电阻箱R2的值,求R2为何值时,金属棒匀速下滑过程中R2消耗的电功率最大。
【答案】(1)　(2)　mgxsinα-　(3)R2=3R
【解析】(1)当金属棒受力平衡时速度最大,有
mgsinα=F安,F安=BIL,I=
R总=4R,联立解得vm=。
(2)平均感应电动势E==,平均感应电流=
得通过R1的电荷量q=Δt=
由动能定理有WG-W安=m
WG=mgxsinα,W安=Q
解得Q=mgxsinα-
故Q1=Q=mgxsinα-。
(3)设金属棒匀速下滑时通过R2的电流大小为I2,则
P2=R2
联立可得P2==
当R2=,即R2=3R时,R2消耗的功率最大。
【典例8】(2018江苏卷,19)(多选)如图甲所示,竖直放置的“”形光滑导轨宽为L,矩形匀强磁场Ⅰ、Ⅱ的高和间距均为d,磁感应强度为B。质量为m的水平金属杆由静止释放,进入磁场Ⅰ和Ⅱ时的速度相等。金属杆在导轨间的电阻为R,与导轨接触良好,其余电阻不计,重力加速度为g。金属杆(　　)。
甲
A.刚进入磁场Ⅰ时加速度方向竖直向下
B.穿过磁场Ⅰ的时间大于在两磁场之间的运动时间
C.穿过两磁场产生的总热量为4mgd
D.释放时距磁场Ⅰ上边界的高度h可能小于
【答案】BC
【解析】穿过磁场Ⅰ后,金属杆在磁场之间做加速运动,在磁场Ⅱ上边缘时的速度大于从磁场Ⅰ出来时的速度,即进入磁场Ⅰ时的速度等于进入磁场Ⅱ时的速度,大于从磁场Ⅰ出来时的速度。金属杆在磁场Ⅰ中做减速运动,加速度方向向上,A项错误。金属杆在磁场Ⅰ中做减速运动,由牛顿第二定律知ma=BIL-mg=-mg,a随着减速过程逐渐变小,即在前一段做加速度减小的减速运动。金属杆在磁场之间做加速度为g的匀加速直线运动,两个过程位移大小相等,由v-t图象(可能图象如图乙所示)可以看出前一段用时多于后一段用时,B项正确。
乙
由于进入两磁场时速度相等,由动能定理知,W安1-mg·2d=0,W安1=2mgd,即通过磁场Ⅰ产生的热量为2mgd,故穿过两磁场产生的总热量为4mgd,C项正确。设金属杆刚进入磁场Ⅰ时的速度为v,则由机械能守恒定律知mgh=mv2,进入磁场时有ma=BIL-mg=-mg,解得v=,联立解得h=>,D项错误。
【变式训练8】(2016全国卷Ⅱ,24)如图,水平面(纸面)内间距为l的平行金属导轨间接一电阻,质量为m、长度为l的金属杆置于导轨上。t=0时,金属杆在水平向右、大小为F的恒定拉力作用下由静止开始运动。t0时刻,金属杆进入磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场区域,且在磁场中恰好能保持匀速运动。杆与导轨的电阻均忽略不计,两者始终保持垂直且接触良好,两者之间的动摩擦因数为μ。重力加速度大小为g。求:
(1)金属杆在磁场中运动时产生的电动势的大小。
(2)电阻的阻值。
【答案】(1)Blt0　(2)
【解析】(1)设金属杆进入磁场前的加速度大小为a,由牛顿第二定律得ma=F-μmg
　设金属杆到达磁场左边界时的速度为v,由运动学公式有v=at0
当金属杆以速度v在磁场中运动时,由法拉第电磁感应定律可得,杆中的电动势E=Blv
联立上式可得E=Blt0。
(2)设金属杆在磁场区域中匀速运动时,金属杆中的电流为I,根据欧姆定律,有I=
式中R为电阻的阻值。金属杆所受的安培力F安=BlI
因金属杆做匀速运动,由牛顿运动定律得F-μmg-F安=0
联立上式得R=。
【典例9】如图，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为L。导轨上端接有一平行板电容器，电容为C。导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面。在导轨上放置一质量为m的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触。已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。忽略所有电阻。让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，
求（1）电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系；
（2）金属棒的速度大小随时间变化的关系。
【解析】（1）设金属棒下滑的速度大小为v，则感应电动势为
E=BLv
①
平行板电容器两极板的电压为U，U=E
②
设此时电容器极板上储存的电荷为Q，按定义有
③
联立①②③式解得
④
（2）设金属棒下滑的速度大小为v时经历的时间为t,通过金属棒的电流为i，金属棒受到磁场的安培力为F，方向沿导轨向上，大小为F=BLi
⑤
设在t～t+时间间隔内流经金属棒的电荷量为，按定义有
⑥
也是平行板电容器两极板在t～t+时间间隔内增加的电荷量
由④式可得
⑦
式中为金属棒速度的变化量
按加速度的定义有
⑧
分析导体棒的受力：受重力mg，支持力N，滑动摩擦力f，沿斜面向上的安培力F。
N=mgcos⑨
⑩(11)
联立⑤至(11)式得(12)
由(12)式及题设可知,金属棒做初速为零的匀加速直线运动,t时刻金属棒下滑的速度大小为v
(13)
【变式训练9】如图所示，在匀强磁场中有一倾斜的平行金属导轨，导轨间距为L，长为3d，导轨平面与水平面的夹角为θ，在导轨的中部刷有一段长为d的薄绝缘涂层。匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向与导轨平面垂直。质量为m的导体棒从导轨的顶端由静止释放，在滑上涂层之前已经做匀速运动，并一直匀速滑到导轨底端。导体棒始终与导轨垂直，且仅与涂层间有摩擦，接在两导轨间的电阻为R，其他部分的电阻均不计，重力加速度为g。求：
(1)导体棒与涂层间的动摩擦因数μ；
(2)导体棒匀速运动的速度大小v；
(3)整个运动过程中，电阻产生的焦耳热Q。
【答案】（1）（2）（3）
【解析】（1）在绝缘涂层上
受力平衡
解得
（2）在光滑导轨上
感应电动势
感应电流
安培力
受力平衡
解得
（3）摩擦生热
能量守恒定律
解得
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精品试卷·第
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