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机械能守恒定律
动能定理的简单应用
重难点
题型
分值
重点
动能定理的应用
选择
计算
8-10分
难点
总功的计算和动能变化量的确定

1. 动能定理的适用条件
（1）受力方面：恒力做功；变力做功。
（2）运动轨迹方面：直线运动、曲线运动。
2. 应用动能定理解题的一般步骤：
（1）选取研究对象（通常是单个物体），明确它的运动过程。
（2）对研究对象进行受力分析，明确各力做功的情况，求出外力做功的代数和。
（3）明确物体在初、末状态的动能Ek1、Ek2。
（4）列出动能定理的方程W＝Ek2－Ek1，结合其他必要的解题方程求解并验算。

一个质量是25 kg的小孩从高为2 m的滑梯顶端由静止滑下，滑到底端时的速度为2 m/s（取g＝10 m/s2）。关于力对小孩做的功，以下结果正确的是（　　）
A. 重力做功为500 J
B. 合外力做功为50 J
C. 克服阻力做功为50 J
D. 支持力做功为450 J
答案：AB
解析：重力做功与路径无关，WG＝mgh＝25×10×2 J＝500 J，A正确。合外力做功W＝ΔEk＝mv2＝×25×22 J＝50 J，B正确。W＝WG＋W阻＝50 J，所以W阻＝－450 J，即克服阻力做功为450 J，C错误。支持力始终与速度垂直，不做功，D错误。


如图所示，一个小球质量为m，静止在光滑的轨道上。现以水平力击打小球，使小球能够通过半径为R的竖直光滑轨道的最高点C，则水平力对小球所做的功至少为（　　）

A. mgR B. 2mgR
C. 2. 5mgR D. 3mgR
答案：C
解析：恰好通过竖直光滑轨道的最高点C时，在C点有mg＝，对小球，由动能定理W－2mgR＝mv2，联立解得W＝2. 5mgR，C项正确。

1. 动能定理的适用条件：恒力、变力做功；直线、曲线运动。
2. 应用动能定理解题的一般步骤：
（1）选取研究对象（通常是单个物体），明确它的运动过程。
（2）对研究对象进行受力分析，明确各力做功的情况，求出外力做功的代数和。
（3）明确物体在初、末状态的动能，确定动能的变化量。
（4）列出动能定理的方程W＝Ek2－Ek1，结合其他必要的解题方程求解并验算。
（答题时间：30分钟）
1. 两个物体A、B的质量之比为mA∶mB＝2∶1，二者初动能相同，它们和水平桌面间的动摩擦因数相同，则二者在桌面上滑行到停止经过的距离之比为（　　）
A. xA∶xB＝2∶1 B. xA∶xB＝1∶2
C. xA∶xB＝4∶1 D. xA∶xB＝1∶4
2. 如图所示，运动员把质量为m的足球从水平地面踢出，足球在空中达到的最高点的高度为h，在最高点时的速度为v，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法中正确的是（　　）

A. 运动员踢球时对足球做功mv2
B. 足球上升过程重力做功mgh
C. 运动员踢球时对足球做功mv2＋mgh
D. 足球上升过程克服重力做功mv2＋mgh
3. 质量为m的汽车在平直公路上行驶，发动机的功率P和汽车受到的阻力Ff均恒定不变，在时间t内，汽车的速度由v0增大到最大速度vm，汽车前进的距离为s，则此段时间内发动机所做的功W可表示为（　　）
A. W＝Pt
B. W＝Ffs
C. W＝mvm2＋mv02＋Ffs
D. W＝mvm2＋Ffs
4. 木块在水平恒力F的作用下，沿水平路面由静止出发前进了l，随即撤去此恒力，木块沿原方向又前进了2l才停下来，设木块运动全过程中地面情况相同，则摩擦力的大小Ff和木块所获得的最大动能Ek分别为（　　）
A. Ff＝　Ek＝ B. Ff＝　Ek＝Fl
C. Ff＝　Ek＝ D. Ff＝F　Ek＝
5. 如图所示，竖直平面内的一半径R＝0. 5 m的光滑圆弧槽BCD，B点与圆心O等高，质量m＝0. 1 kg的小球（可看作质点）从B点正上方H＝0. 75 m高处的A点自由下落，由B点进入圆弧轨道，从D点飞出，不计空气阻力，（取g＝10 m/s2）求：

（1）小球经过B点时的动能；
（2）小球经过最低点C时的速度大小vC；
（3）小球经过最低点C时对轨道的压力大小。
6. 如图所示，质量m＝10 kg的物体放在水平地面上，物体与地面间的动摩擦因数μ＝0. 4，g取10 m/s2，今用F＝50 N的水平恒力作用于物体上，使物体由静止开始做匀加速直线运动，经时间t＝8 s后，撤去F，求：

（1）力F所做的功；
（2）8 s末物体的动能；
（3）物体从开始运动直到最终静止的过程中克服摩擦力所做的功。

1. 答案：B
解析：物体滑行过程中只有摩擦力做功，根据动能定理，对A：－μmAgxA＝0－Ek；对B：－μmBgxB＝0－Ek。故＝＝，B对。
2. 答案：C
解析：足球上升过程中足球重力做负功，WG＝－mgh，B、D错误；从运动员踢球至上升至最高点的过程中，W－mgh＝mv2，故运动员踢球时对足球做的功W＝mv2＋mgh，C项正确。
3. 答案：A
解析：由题意知，发动机功率不变，故t时间内发动机做功W＝Pt，所以A正确；车做加速运动，故牵引力大于阻力Ff，故B错误；根据动能定理W－Ffs＝mvm2－mv02，得W＝mvm2－mv02＋Ffs，所以C、D错误。
4. 答案：C
解析：全过程：Fl－Ff·3l＝0得：Ff＝；加速过程：Fl－Ffl＝Ekm－0，得Ekm＝Fl，C正确。
5. 答案：（1）0. 75 J　（2）5 m/s　（3）6 N
解析：（1）小球从A点到B点，根据动能定理有：
mgH＝Ek
代入数据得：Ek＝0. 75 J。
（2）小球从A点到C点，由动能定理有：
mg（H＋R）＝mvC2代入数据得vC＝5 m/s。
（3）小球在C点，受到的支持力与重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律有：FN－mg＝，代入数据解得FN＝6 N
由牛顿第三定律有：小球对轨道的压力 FN′＝6 N。
6. 答案：（1）1 600 J　（2）320 J　（3）1 600 J
解析：（1）在运动过程中，物体所受到的滑动摩擦力为Ff＝μmg＝0. 4×10×10 N＝40 N，
由牛顿第二定律可得物体加速运动的加速度
a＝＝m/s2＝1 m/s2，
由运动学公式可得在8 s内物体的位移为
l＝at2＝×1×82 m＝32 m，
所以力F做的功为
WF＝Fl＝50×32 J＝1 600 J。
（2）设在8 s末物体的动能为Ek，由动能定理可得
Fl－Ffl＝mv2－0＝Ek，
所以Ek＝（1 600－40×32） J＝320 J。
（3）对整个过程利用动能定理有，
WF＋Wf＝0－0，
所以Wf＝－1 600 J，
即物体从开始运动到最终静止的过程中克服摩擦力所做的功为1 600 J。
利用动能定理求变力做功
重难点
题型
分值
重点
利用动能定理求变力做功
选择
计算
8-10分
难点
变力做功的确定

1. 利用动能定理求变力的功
（1）动能定理不仅适用于求恒力做的功，也适用于求变力做的功，同时因为不涉及变力作用的过程分析，应用非常方便。
（2）利用动能定理求变力的功是最常用的方法，当物体受到一个变力和几个恒力作用时，可以用动能定理间接求变力做的功，即W变＋W其他＝ΔEk。
注意：所求的变力的功不一定为总功，故所求的变力的功不一定等于ΔEk
（3）若有多个力做功时，必须明确各力做功的正负。
2. 利用动能定理解决变力做功的方法
（1）状态分析法：动能定理不涉及做功过程的细节，故求变力做功时只分析做功前后状态即可。
（2）过程分割法（微元法）：有些问题中，作用在物体上的某个力在整个过程中是变力，但若把整个过程分为许多小段，在每一小段上此力就可看作是恒力。分别算出此力在各小段上的功，然后求功的代数和，即可求得整个过程变力所做的功。
（3）在有些求功的问题中，作用在物体上的力可能为变力，但转换对象后，就可变为求恒力功。
3. 利用动能定理求解变力做功步骤：
（1）确定研究对象（可以是单个物体，也可以是系统）；
（2）确定各力做功（包括恒力和变力）情况；
（3）找出初动能和末动能，进而确定动能变化；
（4）列动能定理表达式求解。

如图所示，长为L的长木板水平放置，在木板的A端放置一个质量为m的小物块，现缓慢地抬高A端，使木板以左端为轴转动，当木板转到与水平面的夹角为α时小物块开始滑动，此时停止转动木板，小物块滑到底端的速度为v，则在整个过程中（　　）

A. 支持力对小物块做功为零
B. 支持力对小物块做功为mgLsinα
C. 摩擦力对小物块做功为mgLsinα
D. 滑动摩擦力对小物块做功为mv2－mgLsinα
答案：BD
解析：从缓慢地抬高A端至木板转到与水平面的夹角为α的过程中，重力和支持力同时对小物块做功，由动能定理得W支－mgLsinα＝0，解得W支＝mgLsinα，故选项A错误，B正确；从小物块开始沿木板滑到底端的过程中，重力和滑动摩擦力同时对小物块做功，由动能定理得mgLsinα＋W摩＝mv2－0，解得W摩＝mv2－mgLsinα，故选项C错误，D正确。


如图所示，人拉着细绳的一端由A走到B，使质量为m的物体匀速上升。已知A、B两点间的水平距离为s，细线与水平方向的夹角已在图中标出，不计滑轮的摩擦，求人的拉力所做的功。
答案：mgs
解析：设滑轮高度为H，根据几何关系得：
s＝－
物体上升的高度h＝－
根据动能定理得：
W－mgh＝0－0
解得：W＝mgs。

1. 利用动能定理求变力的功的方法
（1）状态分析法
（2）过程分割法（微元法）
（3）对象转换法
2. 利用动能定理求解变力做功步骤：
（1）确定研究对象（可以是单个物体，也可以是系统）；
（2）确定各力做功（包括恒力和变力）情况；
（3）找出初动能和末动能，进而确定动能变化；
（4）列动能定理表达式求解。

（答题时间：30分钟）
1. 某运动员臂长为L，将质量为m的铅球推出，铅球出手的速度大小为v0、方向与水平方向成30°角，则该运动员对铅球所做的功是（　　）
A. m
B. mgL＋mv
C. mv
D. mgL＋mv
2. （多选）如图所示，光滑水平地面上固定一带滑轮的竖直杆，用轻绳系着小滑块绕过滑轮，用恒力F1水平向左拉滑块的同时，用恒力F2拉绳，使滑块从A点起由静止开始向右运动，B和C是A点右方的两点，且AB＝BC，则以下说法正确的是（　　）
A. 从A点至B点F2做的功大于从B点至C点F2做的功
B. 从A点至B点F2做的功小于从B点至C点F2做的功
C. 从A点至C点F2做的功可能等于滑块克服F1做的功
D. 从A点至C点F2做的功一定大于滑块克服F1做的功
3. 如图所示，半径为R的光滑半球固定在水平面上，现用一个方向与球面始终相切的拉力F把质量为m的小物体（可看做质点）沿球面从A点缓慢地移动到最高点B，在此过程中，拉力做的功为（　　）
A. πFR
B. πmgR
C. mgR
D. mgR
4. 一个人站在距地面20 m的高处，将质量为0. 2 kg的石块以v0＝12 m/s的速度斜向上抛出，石块的初速度方向与水平方向之间的夹角为30°，g取10 m/s2，求：
（1）人抛石块过程中对石块做了多少功？
（2）若不计空气阻力，石块落地时的速度大小是多少？
（3）若落地时的速度大小为22 m/s，石块在空中运动过程中克服阻力做了多少功？
5. 如图所示，物体沿一曲面从A点无初速下滑，当滑至曲面的最低点B时，下滑的竖直高度h＝5 m，此时物体的速度v＝6 m/s。若物体的质量m＝1 kg，g＝10 m/s2，求物体在下滑过程中克服阻力所做的功。
1.【答案】A
【解析】设运动员对铅球做的功为W，由动能定理W－mgLsin 30°＝mv，所以W＝mgL＋mv。
2.【答案】AC
【解析】滑块受力如图所示，
由于滑块被绕过光滑定滑轮的轻绳系着，拉力为恒力，所以拉力做的功等于细绳对滑块所做的功。根据功的定义式W＝F2Lcosθ，θ增大，F2不变，在相同位移L上拉力F2做的功减小，所以从A点至B点F2做的功大于从B点至C点F2做的功，故A正确，B错误；滑块从A到C过程，可能先加速后减速，滑块在A点与C点速率可能相等，根据动能定理知，滑块从A运动到C过程中动能的变化量为零，总功为零，则从A点至C点F2做的功可能等于滑块克服F1做的功，故C正确；滑块从A到C过程，可能一直加速，滑块在C点的速率大于在A点的速率，根据动能定理得知，滑块从A运动到C过程中动能的变化量大于零，总功大于零，则从A点至C点F2做的功可能大于滑块克服F1做的功，故D错误。
3.【答案】D
【解析】小物体在缓慢（匀速）运动过程中，只有重力和拉力F做功，根据动能定理：WF－mgR＝ΔEk＝0，则拉力做功WF＝mgR，D正确。
4.【答案】（1）14. 4J　（2）23. 32 m/s　（3）6 J
【解析】（1）根据动能定理知，W＝mv＝14. 4 J
（2）不计空气阻力，根据动能定理得
mgh＝－mv
解得v1＝≈23. 32m/s
（3）由动能定理得mgh－Wf＝－
解得Wf＝mgh－（－）＝6J。
5. 【答案】32 J
【解析】物体在曲面上的受力情况为：重力、弹力、摩擦力，其中弹力不做功。设摩擦力做功为Wf，由A→B由动能定理：mgh＋Wf＝mv2－0，解得Wf＝－32 J。故物体在下滑过程中克服阻力所做的功为32 J。

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