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圆周运动
描述圆周运动的物理量
重难点
题型
分值
重点
描述圆周运动的五个基本物理量
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计算
6-8分
难点
五个基本物理量之间的关系

一、线速度
1. 对线速度的理解
（1）线速度是物体做圆周运动的瞬时速度，线速度越大，物体运动得越快。
（2）线速度是矢量，它既有大小，又有方向，线速度的方向在圆周各点的切线方向上。
（3）线速度的大小：v＝，Δs代表在时间Δt内通过的弧长。
2. 对匀速圆周运动的理解
（1）匀中有变：由于匀速圆周运动是曲线运动，其速度方向沿着圆周的切线方向，所以物体做匀速圆周运动时，速度的方向时刻在变化。
（2）匀速的含义：
①速度的大小不变，即速率不变；
②转动快慢不变，即角速度大小不变。
（3）运动性质：
线速度的方向时刻改变，所以匀速圆周运动是一种变速运动。
二、角速度、周期、频率和转速
1. 对角速度的理解
（1）角速度描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢，角速度越大，物体转动得越快。
（2）角速度的大小：ω＝，Δθ代表在时间Δt内物体与圆心的连线转过的角度。
（3）在匀速圆周运动中，角速度大小不变。
2. 对周期和频率（转速）的理解
（1）周期描述了匀速圆周运动的一个重要特点——时间周期性。其具体含义是：描述匀速圆周运动的一些变化的物理量，每经过一个周期时，大小和方向与初始时刻完全相同，如线速度等。
（2）当单位时间取1 s时，f＝n。频率和转速对匀速圆周运动来说在数值上是相等的，但频率具有更广泛的意义，两者的单位也不相同。
3. 周期、频率和转速间的关系：T＝＝。

三、描述匀速圆周运动的各物理量之间的关系
1. 描述匀速圆周运动的各物理量之间的关系
（1）v＝＝＝2πnr
（2）ω＝＝＝2πn
（3）v＝ωr
2. 描述匀速圆周运动的各物理量之间关系的理解
（1）角速度、周期、转速之间关系的理解：物体做匀速圆周运动时，由ω＝＝2πn知，角速度、周期、转速三个物理量，只要其中一个物理量确定了，其余两个物理量也确定了。
（2）线速度与角速度之间关系的理解：由v＝ω·r知，r一定时，v∝ω；v一定时，ω∝；ω一定时，v∝r。
四、三种传动装置
1. 共轴传动：圆盘上的点角速度、周期相等。
2. 皮带传动：两轮边缘上的点线速度大小相等。
3. 齿轮传动：齿轮边缘上的点线速度大小相等。
如图所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，A、B两轮用皮带传动，三个轮的半径关系是rA＝rC＝2rB。若皮带不打滑，则A、B、C三轮边缘上a、b、c三点的（　　）

A. 角速度之比为1∶2∶2
B. 角速度之比为1∶1∶2
C. 线速度大小之比为1∶2∶2
D. 线速度大小之比为1∶1∶2
答案：AD
解析：A、B两轮通过皮带传动，皮带不打滑，则A、B两轮边缘的线速度大小相等，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，则B、C两轮的角速度相等。
a、b比较：va＝vb
由v＝ωr得：ωa∶ωb＝rB∶rA＝1∶2
b、c比较：ωb＝ωc
由v＝ωr得：vb∶vc＝rB∶rC＝1∶2
所以ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2
va∶vb∶vc＝1∶1∶2
故A、D正确。


如图所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB方向水平抛出一小球，不计空气阻力，重力加速度为g，要使球与盘只碰一次，且落点为B，求小球的初速度及圆盘转动的角速度ω的大小。

答案：R　2nπ（n＝1,2,3…）
解析：设球在空中运动时间为t，此圆盘转过θ角，则
R＝vt，h＝gt2
故初速度v＝R
θ＝n·2π（n＝1,2,3…）
又因为θ＝ωt
则圆盘角速度ω＝＝2nπ（n＝1,2,3…）。

1. 描述匀速圆周运动的各物理量之间的关系
（1）v＝＝＝2πnr （2）ω＝＝＝2πn （3）v＝ωr
2. 三种传动装置
（1）共轴传动：圆盘上的点角速度、周期相等。
（2）皮带传动：两轮边缘上的点线速度大小相等。
（3）齿轮传动：齿轮边缘上的点线速度大小相等。

（答题时间：30分钟）
1. 如图所示为一种齿轮传动装置，忽略齿轮啮合部分的厚度，甲、乙两个轮子的半径之比为1∶3，则在传动的过程中（　　）

A. 甲、乙两轮的角速度之比为3∶1
B. 甲、乙两轮的周期之比为3∶1
C. 甲、乙两轮边缘处的线速度之比为3∶1
D. 甲、乙两轮边缘上的点相等时间内转过的弧长之比为1∶1
2. 对于做匀速圆周运动的物体，下列说法中不正确的是（　　）
A. 相等的时间内通过的路程相等
B. 相等的时间内通过的弧长相等
C. 相等的时间内通过的位移相同
D. 在任何相等的时间内，连接物体和圆心的半径转过的角度都相等
3. 一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4 m/s，转动周期为2 s，下列说法中不正确的是（　　）
A. 角速度为0. 5 rad/s
B. 转速为0. 5 r/s
C. 运动轨迹的半径约为1. 27 m
D. 频率为0. 5 Hz
4. 某新型自行车，采用如图甲所示的无链传动系统，利用圆锥齿轮90°轴交，将动力传至后轴，驱动后轮转动，杜绝了传统自行车“掉链子”问题。如图乙所示是圆锥齿轮90°轴交示意图，其中A是圆锥齿轮转轴上的点，B、C分别是两个圆锥齿轮边缘上的点，两个圆锥齿轮中心轴到A、B、C三点的距离分别记为rA、rB和rC（rA≠rB≠rC）。下列有关物理量大小关系正确的是（　　）

A. B点与C点的角速度：ωB＝ωC
B. C点与A点的线速度：vC＝vA
C. B点与A点的线速度：vB＝vA
D. B点和C点的线速度：vB>vC
5. 火车以60 m/s的速率转过一段弯道，某乘客发现放在桌面上的指南针在10 s内匀速转过了约10°。在此10 s时间内，火车（　　）
A. 运动路程为600 m B. 加速度为零
C. 角速度约为1 rad/s D. 转弯半径约为4 km
6. 做匀速圆周运动的物体，10 s内沿半径为20 m的圆周运动100 m，试求物体做匀速圆周运动时：
（1）线速度的大小；
（2）角速度的大小；
（3）周期的大小。

1. 答案：AD
解析：这种齿轮传动，与不打滑的皮带传动规律相同，即两轮边缘的线速度相等，故C错误；根据线速度的定义v＝可知，弧长Δs＝vΔt，故D正确；根据v＝ωr可知ω＝，又甲、乙两个轮子的半径之比r1∶r2＝1∶3，故甲、乙两轮的角速度之比ω1∶ω2＝r2∶r1＝3∶1，故A正确；周期T＝，所以甲、乙两轮的周期之比T1∶T2＝ω2∶ω1＝1∶3，故B错误。
2. 答案：C
解析：匀速圆周运动是指速度大小不变的圆周运动，因此在相等时间内通过的路程相等，弧长相等，转过的角度也相等，A、B、D项正确；相等时间内通过的位移大小相等，方向不一定相同，故C项错误。
3. 答案：A
解析：由题意知v＝4 m/s，T＝2 s，根据角速度与周期的关系可知ω＝＝π rad/s≈3. 14 rad/s。由线速度与角速度的关系v＝ωr得r＝＝ m≈1. 27 m。由v＝2πnr得转速n＝＝ r/s＝0. 5 r/s。又由频率与周期的关系得f＝＝0. 5 Hz。故A错误，符合题意。
4. 答案：B
解析：B点与C点的线速度相等，由于rB≠rC，所以ωB≠ωC，故A、D错误；B点的角速度与A点的角速度相等，所以＝，即vB＝vA，故C错误。B点与C点的线速度相等，所以vC＝vA，故B正确。
5. 答案：A
解析：由s＝vt知，s＝600 m，A对。
在弯道做圆周运动，火车加速度不为零，B错。
由10 s内转过10°知，角速度ω＝rad/s＝rad/s≈0. 017 rad/s，C错。
由v＝rω知，r＝＝m≈3. 4 km，D错
6. 答案：（1）10 m/s　（2）0. 5 rad/s　（3）4π s
解析：（1）依据线速度的定义式v＝可得
v＝＝m/s＝10 m/s。
（2）依据v＝ωr可得，ω＝＝rad/s＝0. 5 rad/s。
（3）T＝＝ s＝4π s。

向心力和向心加速度
重难点
题型
分值
重点
向心力和向心加速度的大小和方向
选择
计算
6-8分
难点
向心力来源的判断

一、向心力
1. 定义：做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心。这个指向圆心的力就叫做向心力。
2. 方向：始终沿着半径指向圆心。
3. 表达式：
（1）Fn＝m
（2）Fn＝mω2r
4. 向心力的来源：向心力是根据力的作用效果来命名的，凡是产生向心加速度的力，不管属于哪种性质，都是向心力。

二、变速圆周运动和一般的曲线运动
1. 变速圆周运动的合力：变速圆周运动的合力产生两个方向的效果，如图所示。

（1）跟圆周相切的分力Ft：产生切向加速度，此加速度描述线速度大小变化的快慢。
（2）指向圆心的分力Fn：产生向心加速度，此加速度描述线速度方向改变的快慢。
2. 一般的曲线运动的处理方法
（1）一般的曲线运动：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动。
（2）处理方法：可以把曲线分割成许多很短的小段，每一小段可看做一小段圆弧。研究质点在这一小段的运动时，可以采用圆周运动的分析方法进行处理。

三、向心加速度的方向
1. 定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心，这个加速度叫做向心加速度。
2. 向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度的作用只改变速度的方向，对速度的大小无影响。

四、向心加速度的大小
1. 向心加速度公式
（1）基本公式an＝＝ω2r。
（2）拓展公式an＝·r＝ωv。
2. 向心加速度的公式既适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动。
1. 如图所示，一球体绕轴O1O2以角速度ω匀速旋转，A、B为球体上两点，下列几种说法中正确的是（　　）

A. A、B两点具有相同的角速度
B. A、B两点具有相同的线速度
C. A、B两点的向心加速度的方向都指向球心
D. A、B两点的向心加速度之比为2∶1
答案：A
解析：A、B为球体上两点，因此，A、B两点的角速度与球体绕轴O1O2旋转的角速度相同，A对；如图所示，A以P为圆心做圆周运动，B以Q为圆心做圆周运动，因此，A、B两点的向心加速度方向分别指向P、Q，C错；设球的半径为R，则A运动的半径rA＝Rsin 60°，B运动的半径rB＝Rsin 30°，＝＝＝，B错；＝＝，D错。

2. 如图所示，已知绳长为L＝20 cm，水平杆长为L′＝0. 1 m，小球质量m＝0. 3 kg，整个装置可绕竖直轴转动。g取10 m/s2，问：（结果保留两位小数）

（1）要使绳子与竖直方向成45°角，试求该装置必须以多大的角速度转动才行？
（2）此时绳子的张力为多大？
答案：（1）6. 44 rad/s　（2）4. 24 N
解析：小球绕竖直轴做圆周运动，其轨道平面在水平面内，对小球受力分析如图所示，设绳对小球拉力为FT，小球重力为mg，则绳的拉力与重力的合力提供小球做圆周运动的向心力。

对小球利用牛顿第二定律可得：
mgtan 45°＝mω2r①
r＝L′＋Lsin 45°②
联立①②两式，将数值代入可得
ω≈6. 44 rad/s
FT＝≈4. 24 N。


如图所示，水平转盘的中心有一个光滑的竖直小圆孔，质量为m的物体A放在转盘上，物体A到圆孔的距离为r，物体A通过轻绳与物体B相连，物体B的质量也为m。若物体A与转盘间的动摩擦因数为μ，则转盘转动的角速度ω在什么范围内，才能使物体A随转盘转动而不滑动？（已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g）

答案：≤ω≤
解析：当A将要沿转盘背离圆心滑动时，A所受的摩擦力为最大静摩擦力，方向指向圆心，此时A做圆周运动所需的向心力为绳的拉力与最大静摩擦力的合力，即
F＋Ffmax＝mrω12①
由于B静止，故有F＝mg②
又Ffmax＝μFN＝μmg③
由①②③式可得ω1＝
当A将要沿转盘向圆心滑动时，A所受的摩擦力为最大静摩擦力，方向背离圆心，此时A做圆周运动所需的向心力为
F－Ffmax＝mrω22④
由②③④式可得ω2＝
故要使A随转盘一起转动而不滑动，其角速度ω的范围为
ω2≤ω≤ω1，即≤ω≤。

1. 向心力
（1）向心力时刻指向圆心，它只改变线速度的方向，不改变其大小。
（2）大小：
2. 向心加速度
（1）向心加速度时刻指向圆心，它的大小表示线速度方向变化的快慢。
（2）大小：
3. 两种圆周运动
（1）匀速圆周运动中合外力完全用来提供向心力，物体的加速度即向心加速度。
（2）非匀速圆周运动中合外力可分解为指向圆心的分力和半径方向的分力，指向圆心的分力提供向心力和向心加速度。


（答题时间：30分钟）
1. 关于质点的匀速圆周运动，下列说法中正确的是（　　）
A. 由an＝可知，an与r成反比
B. 由an＝ω2r可知，an与r成正比
C. 由v＝ωr可知，ω与r成反比
D. 由ω＝2πf可知，ω与f成正比
2. 自行车的小齿轮A、大齿轮B、后轮C是相互关联的三个转动部分，且半径RB＝4RA、RC＝8RA，如图所示。当自行车正常骑行时A、B、C三轮边缘上的点的向心加速度的大小之比aA∶aB∶aC等于（　　）

A. 1∶1∶8 B. 4∶1∶4
C. 4∶1∶32 D. 1∶2∶4
3. 如图所示，一圆盘可绕过圆盘的中心O且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一小木块A，它随圆盘一起运动——做匀速圆周运动，则关于木块A的受力，下列说法中正确的是（　　）

A. 木块A受重力、支持力和向心力
B. 木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相反
C. 木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向指向圆心
D. 木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相同
4. 长为L的细线，拴一质量为m的小球，细线上端固定，让小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，求细线与竖直方向成θ角时：（重力加速度为g）

（1）细线中的拉力大小；
（2）小球运动的线速度的大小。
5. 如图所示，水平转盘上放有一质量为m的物体（可视为质点），连接物体和转轴的绳子长为r，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍，转盘的角速度由零逐渐增大，求：
（1）绳子对物体的拉力为零时的最大角速度；
（2）当角速度为时，绳子对物体拉力的大小。
6.如图所示，定滑轮的半径r＝2 cm。绕在滑轮上的细线悬挂着一个重物，由静止开始释放，测得重物以加速度a＝2 m/s2向下做匀加速运动。在重物由静止下落1 m的瞬间，滑轮边缘上P点向心加速度多大？
1. 答案：D
解析：质点做匀速圆周运动的向心加速度与质点的线速度、角速度、半径有关。但向心加速度与半径的关系要在一定前提条件下才能给出。当线速度一定时，向心加速度与半径成反比；当角速度一定时，向心加速度与半径成正比，对线速度和角速度与半径的关系也可以同样进行讨论，正确答案为D。
2. 答案：C
解析：由于A轮和C轮共轴，故两轮角速度相同，由an＝Rω2可得，aA∶aC＝1∶8；由于A轮和B轮是链条传动，故A、B两轮边缘上点的线速度相等，由an＝，可得aA∶aB＝4∶1，所以aA∶aB∶aC＝4∶1∶32，C正确。
3. 答案：C
解析：由于圆盘上的木块A在竖直方向上没有加速度，所以，它在竖直方向上受重力和支持力的作用而平衡。而木块在水平面内做匀速圆周运动，其所需向心力由静摩擦力提供，且静摩擦力的方向指向圆心O，故选C。
4. 答案：（1）　（2）
解析：（1）小球受重力及细线的拉力两力作用，如图所示，竖直方向：

FTcos θ＝mg，故拉力FT＝。
（2）小球做圆周运动的半径r＝Lsin θ，向心力Fn＝FTsin θ＝mgtan θ，而Fn＝m，故小球的线速度v＝
5. 答案：（1）　（2）μmg
解析：（1）当绳子拉力为零，即恰由最大静摩擦力提供向心力时，转速达到最大，设此时转盘转动的角速度为ω0，有μmg＝mωr，得ω0＝。
（2）当ω＝时，ω＞ω0，所以由绳子的拉力F和最大静摩擦力共同提供向心力，此时，F＋μmg＝mω2r
即F＋μmg＝m··r，
得F＝μmg。
6. 答案：200 m/s2
解析：由v2＝2ah得重物下落1 m的速度
v＝m/s＝2 m/s，
P点线速度vP＝v＝2 m/s，
由a＝得
a＝＝m/s2＝200 m/s2。

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