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万有引力定律
重难点
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重点
万有引力定律的内容
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6-8分
难点
万有引力与重力的联系

1. 内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。
2. 表达式：F＝G
其中G=6.67×10-11N?m2/kg2，称为引力常量，适用于任何两个物体。G的值是由英国物理学家卡文迪许通过扭秤装置在实验室中测出的。
3. 适用条件：用于计算引力大小的万有引力公式严格地说只适用于两质点间引力大小的计算；如果相互吸引的双方是质量分布均匀的球体，则可将其视为质量集中于球心的质点，此时r是两球心间的距离。
4. 对万有引力定律的理解
（1）普遍性：万有引力是普遍存在于宇宙中任何有质量物体之间的相互吸引力，它是自然界中物体之间的基本的相互作用之一，任何客观存在的两部分有质量的物体之间都存在着这种相互作用。
（2）相互性：两个物体相互作用的引力是一对作用力与反作用力。它们大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上。
（3）宏观性：通常情况下，万有引力非常小，它的存在可由卡文迪许扭秤来观察，只有在质量巨大的天体间，它的存在才有宏观物理意义。
（4）特殊性：两物体间的万有引力只与它们本身的质量和它们之间的距离有关，而与它们所在空间的性质无关，也与周围有无其他物体无关。
5. 万有引力与重力的关系
（1）重力是指地球上的物体由于地球的吸引而使物体受到的力。通过分析地球上物体受到地球引力产生的效果，可以知道重力是引力的一个分力。引力的另一个分力是地球上的物体随同地球自转的向心力（这个向心力也可以看作是物体受到的地球引力与地面支持力的合力），如图所示。但由于向心力很小，所以在一般计算中可认为重力近似等于引力，重力方向竖直向下（即指向地心）。
（2）重力加速度的计算
A. 在地球表面附近（h< 根据万有引力定律有，，式中M=5.89×1024kg，R=6.37×106m。
B. 在地球上空离地心r=R+h处的重力加速度g1
根据万有引力定律，得，
则。
C. 质量为、半径为R的任意天体表面的重力加速度
根据万有引力定律，有，
则。
如图所示，两球的半径远小于，两球质量均匀分布，质量为、，则两球间的万有引力大小为（ ）

A. B.
C. D.
答案：D
解析：两个球的半径分别为和，两球之间的距离为，所以两球心间的距离为，
根据万有引力定律得：
两球间的万有引力大小为
已知月球质量是地球质量的，月球半径是地球半径的。求：在月球和地球表面附近，以同样的初速度分别竖直上抛一个物体时，上升的最大高度之比是多少？
答案：5.6
解析：设月球质量为M，半径为R，月面重力加速度为g，地球质量为M′，半径为R′，地面重力加速度为g′，在月球和地球表面附近竖直上抛的物体都做匀减速直线运动，其上升的最大高度分别为：
，
由月球表面万有引力等于重力，可得，
解得：，
同理可得：。
在月球和地球表面附近，以同样的初速度分别竖直上抛一个物体时，上升的最大高度之比：。

1. 万有引力定律：
（1）内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。
（2）表达式：F＝G
（3）适用条件：用于计算引力大小的万有引力公式严格地说只适用于两质点间引力大小的计算；如果相互吸引的双方是质量分布均匀的球体，则可将其视为质量集中于球心的质点，此时r是两球心间的距离。
2. 万有引力与重力
万有引力是重力的一个分力，在近似的情况下，可以认为万有引力等于重力。并且随着纬度的增大，重力是逐渐增大的。
3. 重力加速度的大小：
（1）在地球表面附近（h< 根据万有引力定律有，，式中M=5.89×1024kg，R=6.37×106m。
（2）在地球上空离地心r=R+h处的重力加速度g1
根据万有引力定律，得，
则。
注意：高度越大，重力加速度越小。

（答题时间：30分钟）
1. 2009年2月11日，俄罗斯的“宇宙－2251”卫星和美国的“铱－33”卫星在西伯利亚上空约805 km处发生碰撞。这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件。碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境。假定有甲、乙两块碎片，绕地球运行的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是（　　）
A. 甲的运行周期一定比乙的长
B. 甲距地面的高度一定比乙的高
C. 甲的向心力一定比乙的小
D. 甲的加速度一定比乙的大
2. 2005年12月11日，有着“送子女神”之称的小行星“婚神”（Juno）冲日，在此后十多天的时间里，国内外天文爱好者凭借双筒望远镜可观测到它的“倩影”。在太阳系中除了八大行星以外，还有成千上万颗肉眼看不见的小天体，沿着椭圆轨道不停地围绕太阳公转。这些小天体就是太阳系中的小行星。冲日是观测小行星难得的机遇。此时，小行星、太阳、地球几乎成一条直线，且和地球位于太阳的同一侧。“婚神”星冲日的虚拟图如图所示，则（　　）
A. 2005年12月11日，“婚神”星的线速度大于地球的线速度
B. 2005年12月11日，“婚神”星的加速度小于地球的加速度
C. 2005年12月12日，必将发生下一次“婚神”星冲日
D. 下一次“婚神”星冲日必将在2006年12月11日之后的某天发生
3. 假设太阳系中天体的密度不变，天体的直径和天体之间的距离都缩小到原来的，地球绕太阳公转近似为匀速圆周运动，则下列物理量变化正确的是（　　）
A. 地球绕太阳公转的向心力变为缩小前的
B. 地球绕太阳公转的向心力变为缩小前的
C. 地球绕太阳公转的周期与缩小前的相同
D. 地球绕太阳公转的周期变为缩小前的
4. 两个质量分布均匀且大小相同的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为，若两个半径是小铁球半径2倍的实心大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为（ ）
A. B. C. D.
5. 飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T，如果飞船要返回地面，可在轨道上某一点A处将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运行，椭圆与地球表面在B点相切，如图所示，求飞船由A点运动到B点所需要的时间。（已知地球半径为R0）

6. 如图所示，在半径为R=20cm，质量为M=168kg的均匀铜球上，挖去一个球形空穴，空穴的半径为R/2，并且跟铜球相切，在铜球外有一个质量为m=lkg可视为质点的小球，这个小球位于连接铜球的中心跟空穴中心的直线上，并且在靠近空穴一边，两个球心相距d=2m，试求它们之间的吸引力。
1.【答案】D
【解析】由v＝可知，甲碎片的速率大，轨道半径小，故B错误；由公式T＝2π可知，甲的周期小，故A错误；由于未知两碎片的质量，无法判断向心力的大小，故C错误；碎片的加速度是指引力加速度，由G＝ma，可得a＝，甲的加速度比乙大，D正确。
2. 【答案】BD
【解析】由G＝m得v2∝，“婚神”的线速度小于地球的线速度，由a＝＝G知，“婚神”的加速度小于地球的加速度，地球的公转周期为一年，“婚神”的公转周期大于一年，C错误，D正确。
3.【答案】BC
【解析】天体的质量M＝ρπR3，各天体质量变为M′＝M，变化后的向心力F′＝G＝F，B正确。又由G＝mr，得T′＝T。
4. 【答案】D
【解析】小铁球之间的万有引力F=，大铁球的半径是小铁球的2倍，其质量：对小铁球有m=ρgV=ρg（），对大铁球有M=ρgV′=ρg［］=8×ρg（）=8m，两个大铁球间的万有引力为F′==16F。

5. 【答案】
【解析】当飞船在圆周上绕地球运动时，有，当飞船进入椭圆轨道运动时，有，由两式联立得飞船在椭圆轨道上运动的周期，故解得飞船由A运动到B点所需的时间为t。
6. 【解析】本题直接用万有引力的公式计算挖去球形空穴的铜球和质量为m的小球的万有引力是不可能的，但可看成大小两个实心铜球与质量为m的小球的万有引力之差，这样就可用等效的方法求出它们之间的吸引力。
设被挖去的部分质量为，则：
①
②
所以： ③，
所以：
④
代入数据得：

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