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一次函数之找规律
可知识点精讲
找规律在考试试卷中经常出现一类题型,它要求学生通过对题目中所给出的一些“数或图形”的特点，分析其规律，从而给出结论，这就是所谓“探索规律题”。
规律探索型题是根据已知条件或題干所提供的若干特例，通过观察、类比、归纳,发现题目所蕴含的数字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题。这类问题在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都比较新颖新。其目的是考查学生收集、分析数据,处理信息的能力
规律探索型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件,要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索規律.它体现了“特殊到一般”的数学思想方法,考察了学生的分析、解决问題能力,观察、联想、归纳能力,以及探究能力和创新能力，题型主要是填空题
技巧与方法:
用代数式把一列变化着的式或图形的规律表示出来，是探究性题目中很重要的一类，下面研究解决这类题目所用到的主要数学思想和思考方法
主要思路:观察→类比→归纳→猜想→验证
知识要点支撑
常见数例规律数列知识点
1.数列的概念
(1)数列定义:按一定次序排列的一列数叫做数列
数列中的每个数都叫这个数列的项，记作在数列第一个位置的项叫第1项(或首项)，在第二个位置的叫第2项,……，序号为n的项叫第n项(也叫通项)记作:数列的一般形式:
简记作
（2）通项公式的定义:如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式
(一)等差数列:相邻数之间的差值相等,整个数字序列依次递增或递减
1、等差数列定义:一般地,如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示，用递推公式表示为an－an－1＝d(n≥2)
2、等差数列的通项公式:an＝a1＋(n－1)d
3、等差数列的前n和的求和公式:
(高斯算法)
(二)等比数列:相邻数之间的比值相等,整个数字序列依次递增或递减
1.等比数列定义:一般地,如果一个数列从第一项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比:公比通常用字母q表示
2．等比数列通项公式为：＝（≠0）
3．等比数列前n项和公式
一般地，设等比数列，，，…，，…的前n项和是＝＋＋＋…＋，当q≠1时，＝或＝；当q＝1时，＝n（错位相减法）．
（三）二阶等差数列的定义及其通项公式：
定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差按照前后次序排成新的数列，成为一个等差数列，则称数列（★）为二阶等差数列．
相应地，d＝（－）－（－）＝＋－2称为二阶等差数列的二阶公差．
此即为二阶等差数列的通项．
例
2
3
8
17
30
47
68，…
依次相差
1
5
9
13
17
21
依次相差
4
4
4
4
4
总结一阶数列（等差数列）二阶数列
一阶等差数列第n项的规律：＝＋（n－1）d
二阶等差数列第n项的规律：＋（n－1）＋，（●）
＋（n－1）＋（－＋1）d，（●）
一阶数列符合一次函数关系式，二阶数列符合二次函数关系式．
练（1）1，2，4，7，11，16，22，…
（2）1，3，6，10，15，21，28，…
（3）1，3，7，13，21，31，43，…
（4）2，2，5，11，20，32，47，…
（三）常见的数字变化规律：
自然数数列
1
2
3
4
5
……………………n
偶数数列
2
4
6
8
10
12
……………………2n
奇数数列
1
3
5
7
9
……………………2n－1
3
5
7
9
……………………2n＋1
2
4
8
16
32
……………………2n
1
3
7
15
31
……………………2n－1
3
5
9
17
33
……………………2n＋1
3
9
27
81
……………………3n
完全平方数列
1
4
9
16
25
36
49
……………………n2
一个数的平方加一个数等于第二个数
2
5
10
17
26………n2＋1
一个数的平方减一个数等于第二个数
0
3
8
15
26
35
48
……n2－1
加法数列
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
斐波那契数列
符合规律
－
＋
－
＋
－
＋
…………………（－1）n
＋
－
＋
－
＋
－
＋…………………（－1）n+1
1
0
1
0
…………………………＋（－1）n+1
0
1
0
1
…………………………＋（－1）n
典型例题
例1
如图，直线y＝x＋1分别与x轴、y轴相交于点A、B，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴于点，再过点作x轴的垂线交直线于点，以点A为圆心，A长为半径画弧交x轴于点，…，按此做法进行下去，则点的坐标是（
）
A．（15，0）
B．（16，0）
C．（，0）
D．（－1，0）
【答案】A．
根据题意，利用勾股定理求出A，A，A的长，得到各点坐标，找到规律即可解答．
【详解】
解：当x＝0时，y＝1；当y＝0时，x＝－1；可得A（－1，0），B（0，1），A＝AB＝＝＝；A＝A＝＝2；A＝A＝＝2；
（－1，0），（2－1，0），（2－1，0），即（－1，0），（－1，0），（－1，0）；可得＝－1＝16－1＝15．故选A．
例2
如图，直线⊥x轴于点（1，0），直线⊥x轴于点（2，0），直线⊥x轴于点（3，0），……直线⊥x轴于点（n，0），函数y＝x的图象与直线、、、…、分别交于点、、、…、；函数y＝2x的图象与直线、、、…、分别交于点、、、…、．如果△O的面积记作，四边形的面积记作，四边形的面积记作，…，四边形的面积记作，那么＝（
）
A．2017．5
B．2018
C．2018．5
D．2019
【答案】A．
【分析】根据直线解析式求出，的值，再根据直线与直线互相平行并判断出四边形是梯形，然后根据梯形的面积公式求出的表达式，然后把n＝2013代入表达式进行计算即可得解．
【详解】
解：根据题意，＝2（n－1）－（n－1）＝2n－1－n＋1＝n－1，＝2n－n＝n，
∵直线⊥x轴于点（n－1，0），直线⊥x轴于点（n，0），∴∥，且与间的距离为1，∴四边形是梯形，＝（n－1＋n）×1＝（2n－1），当n＝2018时，＝（2×2018－1）＝2017．5，故选：A．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，读懂题意，根据直线解析式求出，的值是解题的关键．
例3
如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x和y＝－x的图象分别为直线，，过点（1，0）作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点
的坐标为
．
【答案】（，）．
【解析】
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点、、、、、、、等的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“（，），（，），（，），（，）（n为自然数）”，依此规律结合2019＝504×4＋3即可找出点的坐标．
【详解】
当x＝1时，y＝2，点的坐标为（1，
2）；当y＝－x＝2时，x＝－2，∴点的坐标为（－2，
2）；
同理可得：（－2，－4），（4，－4），（4，8），（－8，8），（－8，－16），（16，－16），（16，32），…，
∴（，），（，），（，），（，）（n为自然数），∵2019＝504×4＋3，∴
的坐标为（，），即（，），故答案为（，）．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的图象以及规律型中点的坐标，根据坐标
的变化找出变化规律“A4n＋1（22n，22n＋1），A4n＋2（－22n＋1，22n＋1），A4n＋3（－22n＋1，－22n＋2），A4n＋4（22n＋2，－22n＋2）（n为自然数）”是解题的关键．
例5．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2…按如图所示放置，点A1、A2、A3…在直线y＝x＋1上，点C
1、C2、C3…在x轴上，则A5的坐标是
．
【答案】（15，16）
【解析】
【分析】
根据一次函数图象上点的特征及正方形的性质求出A1、A2、A3的坐标，找出规律，即可解答．
【详解】
∵直线y＝x＋1和y轴交于A1
∴A1的坐标（0，1）
即O
A1＝1
∵四边形C1OA1B1是正方形
∴OC1＝OA1＝1，把x＝1代入y＝x＋1得：y＝2，
∴A2的坐标为（1，2），同理A3的坐标为（3，4）
…
∴An的坐标为（2n－1－1，2n－1），
∴A5的坐标是（25－1－1，25－1），即（15，16）
故答案为：（15，16）
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质；通过求出第一个正方形、第二个正方形和第三个正方形的边长得出规律是解决问题的关键
例6．如图，已知点A1的坐标为（0，1），直线l为y＝x．过点A1作A1B1⊥y轴交直线l于点B1，过点B1作A2B1⊥l交y轴于点A2；过点A2作A2B2⊥y轴交直线l于点B2，过点B2作A3B2⊥l交y轴于点A3，…，则AnBn的长是
．
【答案】2
n－1
【解析】
【分析】
由点A1的坐标可得出点B1的坐标，进而可得出A1B1的长，由A2B1⊥l交y轴于点A2结合直线l为y＝x可得出△A1A2B1为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得出点A2的坐标，利用一次函数图象上点的坐标可得出点B2的坐标，进而可得出A2B2的长，同理，可得出A3B3，A4B4，…．的长，再根据各线段长度的变化可找出变化规律“AnBn＝2
n－1”，此题得解
【详解】
解：∵点A1的坐标为（0，1）
∴点B1的坐标为（1，1），A1B1＝1
∵A2B1⊥l交y轴于点A2，直线l为y＝x
∴△A1A2B1为等腰直角三角形，
∴点A2的坐标为（0，2），点B2的坐标为（2，2），
∴A2B2＝2
同理，可得：A3B3＝4，A4B4＝8，…，
∴
AnBn＝2
n－1
故答案为：2
n－1
本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形以及规律型：点的坐标，解题的关键是根据线段
长度的变化找出变化规律“AnBn＝2
n－1”
相似题
1．如图所示，直线y＝x＋1与y轴相交于点A1，以OA1为边作正方形OA1B1C1，记作第一个正方形；然后延长C1B1与直线y＝x＋1相交于点A2，再以C1A2为边作正方形C1A2B2C2，记作第二个正方形；同样延长C2B2与直线y＝x＋1相交于点A3，再以C2A3为边作正方形C2A3B2C3，记作第三个正方形；…依此类推，则第n个正方形的边长为
．
【答案】2
n－1
【解析】
【分析】
解题的关键是求出第一个正方体的边长，然后依次计算n＝1，n＝2…总结出规律．
【详解】
解：根据题意不难得出第一个正方体的边长＝1，
那么：n＝1时，第1个正方形的边长为：1＝20
n＝2时，第2个正方形的边长为：2＝21
n＝3时，第3个正方形的边长为：4＝22
…
第n个正方形的边长为：2
n－1
故答案为：2
n－1
2．如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3…都是边长为1的等边三角形，点A在x轴上，点O，B1，B2，B3…都在直线l上，则点A2019的坐标是
．
【答案】(，)
【解析】
【分析】
根据题意得出直线BB1的解析式为：y＝x进而得出B，B1，B2，B3坐标，进而得出坐标变化规律，进而得出答案．
【详解】
过B1向x轴作垂线B1C垂足为C，
由题意可得：A(1，0)，AO∥A1B1，∠OB1C＝30°，∴CB1＝，
∴B1的横坐标为：，则B1的纵坐标为：，∴点B1，B2，B3，…都在直线y＝x上，
∴B1（，），∴A1（，），
同理可得出：A2（2，）…An（1＋，n）．
∴A2019(，)，故答案为：(，)
此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及数字变化类，得出A点横纵坐标变化规律是解题关键．
4．如图，正方形AOBO2的顶点A的坐标为A(0，2)，O1为正方形AOB
O2的中心；以正方形AOBO2的对角线AB为边，在AB的右侧作正方形ABO3A1，O2为正方形ABO3A1的中心；再以正方形ABO3A1的对角线A1B为边，在A1B的右侧作正方形A1BB1O4，O3为正方形A1BB1O4的中心；再以正方形A1BB1O4的对角线A1B1为边，在A1B1的右侧作正方形A1B1O5A2，O4为正方形A1B1O5A2的中心：…；按照此规律继续下去，则点O2018的坐标为
．
【答案】(21010－2，21009)．
【解析】
【分析】
由题意O1
(1，1)，O2(2，2)，O3
(4，2)，O4
(6，4)，O5
(10，4)，O6
(14，8)…观察可知，下标为偶数的点的纵坐标为，下标为偶数的点在直线y＝x＋1上，点O2018的纵坐标为21009，可得21009＝x＋1，同侧x＝21010－2，可得点O2018的坐标为(21010－2，21009)．
【详解】
由题意O1
(1，1)，O2(2，2)，O3
(4，2)，O4
(6，4)，O5
(10，4)，O6
(14，8)…
观察可知，下标为偶数的点的纵坐标为
下标为偶数的点在直线y＝x＋1上，
∵点O2018的纵坐标为21009，
∴21009＝x＋1
∴x＝21010－2，
∴点O2018的坐标为(21010－2，21009)
故答案为(21010－2，21009)．
4．如图，A1，A2，A3…，An，An+1是直线l1：y=x上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…AnAn+1＝2，分别过点A1，A2，A3…，An，An+1作l1的垂线与直线l2：y=x相交于点B1，B2，B3…，Bn，Bn+1，连接A1B2，B1A2，A2B3，B2A3…，AnBn+1，BnAn+1，交点依次为P1，P2，P3…，Pn，设△P1A1A2，△P2A2A3，△P3A3A4，…，△PnAnAn+1的面积分别为S1，S2，S3…，Sn，则Sn＝
　．（用含有正整数n的式子表示）
【答案】．
【分析】设△OA1B1的面积为S．由OA1＝A1A2＝A2A3＝…AnAn+1，A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥AnBn，推出A1B1：A2B2：A3B3：…：AnBn＝1：2：3：…：n，推出＝S，＝2S，…，＝nS，探究规律，利用规律即可解决问题；
【解答】解：设△OA1B1的面积为S．
由题意可知OA1＝A1A2＝A2A3＝…AnAn+1，A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥AnBn，
∴A1B1：A2B2：A3B3：…：AnBn＝1：2：3：…：n，
∴＝S，＝2S，…，＝nS，
∴S1＝S，S2＝?2S，S3＝?3S，…，Sn＝?nS，
∵直线l1：y=x上的点，直线l2：y=x，
∴两条直线与x轴的夹角分别为60°和30°，
∴∠A1OB1＝30°，
∵OA1＝2，
∴A1B1＝，
∴S＝×2×＝，
∴Sn＝
.
本题考查两条直线相交或平行问题，规律问题等知识，解题的关键是学会探究规律，寻找规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
5．在直角坐标系中，直线l：y＝x﹣与x轴交于点B1，以OB1为边长作等边△A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边△A2A1B2，过点A2作A1B2平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边△A3A2B3，…，则等边△A2017A2018B2018的边长是　
　．
【答案】22017．
【分析】从特殊得到一般探究规律后，利用规律解决问题即可；
【解答】解：∵直线l：y＝x﹣与x轴交于点B1
∴B1（1，0），OB1＝1，△OA1B1的边长为1；
∵直线y＝x﹣与x轴的夹角为30°，∠A1B1O＝60°，
∴∠A1B1B2＝90°，
∵∠A1B2B1＝30°，
∴A1B2＝2A1B1＝2，△A2B3A3的边长是2，
同法可得：A2B3＝4，△A2B3A3的边长是22；
由此可得，△AnBn+1An+1的边长是2n，
∴△A2017B2018A2018的边长是22017．
故答案为22017．
6．如图，一个粒子在第一象限内及x轴，y轴上运动，第一分钟内从原点运动到（1，0），第二分钟从（1，0）运动到（1，1），而后它接着按图中箭头所示的与x轴，y轴平行的方向来回运动，且每分钟移动1个长度单位，那么，第2019分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（　　）
A．（44，5）
B．（5，44）
C．（44，6）
D．（6，44）
【答案】A
【分析】要弄清粒子的运动规律，先观察横坐标和纵坐标的相同点：（0，0），粒子运动了0分钟；
（1，1）就是运动了2＝1×2分钟，将向左运动；
（2，2）粒子运动了6＝2×3分钟，将向下运动；
（3，3），粒子运动了12＝3×4分钟．将向左运动…；
（44，44）点处粒子运动了44×45＝1980分钟，此时粒子会将向下移动，进而得出答案．
【解答】解：（2）（0，0）表示粒子运动了0分钟；
（1，1）表示粒子运动了2＝1×2分钟，将向左运动；
（2，2）表示粒子运动了6＝2×3分钟，将向下运动；
（3，3）表示粒子运动了12＝3×4分钟，将向左运动…
于是会出现：（44，44）点处粒子运动了44×45＝1980分钟，此时粒子会将向下移动．
从而在运动了2019分钟后，粒子又向下移动了2019﹣1980＝39个单位长度，44-39=5，
故粒子所在位置为（44，5）．
故选：A．
本题是考查了点的坐标的确定，是一个阅读理解并猜想规律的题目，解答此题的关键是总结规律首先确定点所在的大致位置，然后就可以进一步推得点的坐标．
7．如图，在直角坐标系中，有一等腰直角三角形OAB，∠OAB＝90°，直角边OA在x轴正半轴上，且OA＝1，将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°，同时扩大边长的1倍，得到等腰直角三角形OA1B1（即A1O＝2AO）．同理，将Rt△OA1B1顺时针旋转90°，同时扩大边长1倍，得到等腰直角三角形OA2B2……依此规律，得到等腰直角三角形OA2014B2014，则A2014点的坐标为（　　）
A．（0，22014）
B．（0，﹣22014）
C．（22014，0）
D．（﹣22014，0）
【答案】D
【分析】根据题意得出A点坐标变化规律，进而得出点A2014的坐标位置，进而得出答案．
【解答】解：∵将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O＝2AO，
再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O＝2A1O…，依此规律，
∴每4次循环一周，A1（0，﹣2），A2（﹣4，0），A3（0，8），A4（16，0），
∵2014÷4＝503…2，
∴点A2014与A2同在x轴负半轴，
∵﹣4＝﹣22，8＝23，16＝24，
∴点A2014（﹣22014，0）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转，规律型问题，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．
8．如图，弹性小球从点P（0，1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为P1（2，0），第2次碰到正方形的边时的点为P2，…，第n次碰到正方形的边时的点为Pn，则点P2018的坐标是（　　）
A．（1，4）
B．（4，3）
C．（2，4）
D．（4，1）
【答案】D
【分析】先根据反射角等于入射角先找出几个点，直至发现规律，然后再根据规律进行求解.
【解答】解：如图，根据反射角等于入射角画图，可知光线从P2反射后到P3（0，3），再反射到P4（2，4），再反射到P5（4，3），再反射到P点（0，1）之后，再循环反射，每6次一循环，2018÷6＝336…2，即点P2018的坐标是（4，1）．
故选：D．
【点评】本题是规律探究题，解答时要注意找到循环数值，从而得到规律．
4．我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧，，，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P1P2，P2P3，P3P4，…得到螺旋折线（如图），已知点P1（0，1），P2（﹣1，0），P3（0，﹣1），则该折线上的点P9的坐标为（　　）
A．（﹣6，24）
B．（﹣6，25）
C．（﹣5，24）
D．（﹣5，25）
【分析】观察图象，推出P9的位置，即可解决问题．
【解答】解：由题意，P5在P2的正上方，推出P9在P6的正上方，且到P6的距离＝21+5＝26，
所以P9的坐标为（﹣6，25），
故选：B．
【点评】本题考查规律型：点的坐标等知识，解题的关键是理解题意，确定P9的位置．
课后追踪
1．如图，一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到（0，1）→（1，0）→（1，1）→（1，2）→（2，1）→…，则2015分钟时粒子所在点的横坐标为（　　）
A．886
B．903
C．946
D．990
【答案】D
【解析】分析：解决本题的关键就是要对平面直角坐标系的点按照横坐标分行，找到行与点个数的关系，利用不等式的夹逼原则，求出2015点的横坐标．
详解：∵一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到（0，1）→（1，0）→（1，1）→（1，2）→（2，1）→…，
第1行：x＝0
2个点（共2个点）
第2行：x＝1
3个点
x＝2
1个点
（共4个点）
第3行：x＝3
4个点
x＝4
1个点
x＝5
1个点
（共6个点）
第4行：x＝6
5个点
x＝7
1个点
x＝8
1个点
x＝9
1个点
（共8个点）
第5行：x＝10
6个点
x＝11
1个点
x＝12
1个点
x＝13
1个点
x＝14
1个点（共10个点）
第6行：x＝15
7个点
x＝16
1个点
x＝17
1个点
x＝18
1个点
x＝19
1个点
x＝20
1个点
（共12个点）
…
第n行：x＝
n+1个点
（共2n个点）
2+4+6+8+10+…+2n≤2015
（2+2n）×n÷2≤2015且n为正整数
得n＝44，
∵当n＝44时：2+4+6+8+10+…+88＝1980
且当n＝45时：2+4+6+8+10+…+90＝2070
1980＜2015＜2027
∴2015在45行，
第45行：x＝＝990
46个点
1980＜2015＜1980+46
∴第2015个粒子横坐标为990
故选：D．
【点评】题目考查了数字的变化规律，题目整体较难，对于此类问题一方面要理清已知量的关系，另一方面为了简便计算，可以适当掌握一些数列计算公式．例如等差数列的通项公式：an＝a1+（n﹣1）d、等差数列求和公式：s＝等．
2．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0）．根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为（　　）
A．（14，8）
B．（13，0）
C．（100，99）
D．（15，14）
【答案】A
【分析】由图形得出点的个数依次是1、2、3、4、5、…，且横坐标是偶数时，箭头朝上，又由1+2+3+…+13＝91，1+2+3+…+14＝105，可得第91个点的坐标为（13，0），第100个点横坐标为14，继而求得答案．
【解答】解：由图形可知：点的个数依次是1、2、3、4、5、…，且横坐标是偶数时，箭头朝上，
∵1+2+3+…+13＝91，1+2+3+…+14＝105，
∴第91个点的坐标为（13，0），第100个点横坐标为14．
∵在第14行点的走向为向上，
∴纵坐标为从第92个点向上数8个点，即为8；
∴第100个点的坐标为（14，8）．
故选：A．
【点评】本题考查了学生的观察图形的能力和理解能力，解此题的关键是根据图形得出规律，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
3．赵爽弦图是由位于第一象限的四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若这四个全等直角三角形的两条直角边分别平行于x轴和y轴，大正方形的顶点B1、C1、C2、C3、…、?n在直线y＝﹣x+上，顶点D1、D2、D3、…、Dn在x轴上，则第n个阴影小正方形的面积为　
．
【答案】．
【分析】设第n个大正方形的边长为an，则第n个阴影小正方形的边长为an，根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出直线y＝﹣x+与y轴的交点坐标，进而即可求出a1的值，再根据相似三角形的性质即可得出an＝a1＝，结合正方形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：设第n个大正方形的边长为an，则第n个阴影小正方形的边长为an，
当x＝0时，y＝﹣x+＝，
∴＝a1+a1，
∴a1＝．
∵a1＝a2+a2，
∴a2＝，
同理可得：a3＝a2，a4＝a3，a5＝a4，…，
∴an＝a1＝，
∴第n个阴影小正方形的面积为＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的面积，找出第n个大正方形的边长为an＝a1＝是解题的关键．
4．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝x，作A1（1，0）关于y＝x的对称点B1，将点B1向右水平平移2个单位得到点A2；再作A2关于y＝x的对称点B2，将点B2向右水平平移2个单位得到点A3；…．请继续操作并探究：点A3的坐标是　
　，点B2014的坐标是　
　．
【分析】根据题意画出图象，进而得出各点坐标变化规律进而得出答案．
【解答】解：如图所示：点A3的坐标是：（3，2），
∵B1（0，1），B2（1，2），B3（2，3），
∴B点横坐标比纵坐标小1，
∴点B2014的坐标是：（2013，2014）．
故答案为：（3，2），（2013，2014）．
5.在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)，我们把点P′（－y＋1，x＋1)叫做点P的伴随点.已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…An若点A1的坐标为(3，1)，点A2的坐标为
，
若点A2019的坐标为
，则点A1的坐标为(a，b)，对于任意的正整数n，点An均在x轴上方，则a，b应满足的条件为
.
【答案】（0，4)
，（－3，1）
－1＜a＜1且0＜b＜2
【分析】根据伴随点的定义，计算出A2的坐标，罗列出部分点A的坐标，根据点A的变化找出规律即可求出A2019的
坐标；根据x轴上方的点的纵坐标大于0列出不等式组求解即可。
【详解】
∵A1的坐标为（3，1）
A2（0，4），A3（－3，1），A4（0，－2），A5（3，1），
……，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
∴2019÷4＝504……3
A2019的坐标为（－3，1）。
（3）∵点A1的坐标为（a，b）
∴A2（－b＋1，a＋1），A3（－a，－b＋2），A4（b－1，－a＋1），A5（a，b），
……
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
∵对于任意的正整数n，点An均在x轴上方，
∴且
解得－1＜a＜1，0＜b＜2.
故答案为：（0，4）；（－3，1）；－1＜a＜1且0＜b＜2
本题是对点的变化规律的考査，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键。
6。如图，在平面直角坐标系中，点A（0，）、B（－1，0），过点A作AB的垂线交x轴于点A，过点A作AA1的垂线交y轴于点A2，过点A2作A1A2的垂线交x轴于点A3…按此规律继续作下去，直至得到点A2015为止，则点A2015坐标为
。
【答案】（－31008，0）
【解析】∵A（0，）、B（－1，0）
∴AB⊥AA1，
∴A1的坐标为：（3，0），
同理可得：A2的坐标为：（0，－3），
A3的坐标为：（－9，0），
∵2015÷4＝503…3
∴点A2015坐标为（－31008，0）
7.如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2013次碰到矩形的边时，点P的坐标为
【答案】（8，3）
【解析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2013除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可。
解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），
∵2013÷6＝335…3
∴当点P第2013次碰到矩形的边时为第336个循环组的第3次反弹，
点P的坐标为（8，3）。
故答案为：（8，3）。
8.如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x＋2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，……在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形AnBn－1Bn顶点Bn的横坐标为
。
【答案】2n＋1－2
【解析】
由题意得OA＝OA1＝2，
0B1＝0A1＝2，
B1B2＝B1A2＝4，
B2A3＝B2B3＝8
∴B1（2，0），B2（6，0），B3（14，0）…，
2＝22－2，6＝23－2，14＝24－2，…
∴Bn的横坐标为2n＋1－2，故答案为：2n＋1－2.
9.在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3……按如图所示的方式放置，其中点B在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3……在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C10＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3……则正方形A2017B2017C2017D2017的边长是
。
【答案】
【解析】∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C10＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3……
∴D1E1＝D2E2，D2E3＝B3E4，∠D1C1E1＝∠C2B2E2＝∠C3B3E3＝30°，
∴D1E1＝
C1D1sin30°＝，则B2C2＝（）1，
同理可得：B3C3＝（）2
故正方形
AnBnCnDn的边长是：（）n-1
则正方形A2017B2017C2017D2017的边长是：
（）2016
故答案是（）2016
8.如图①，在6×6的方格纸中，给出如下三种变换：P变换，Q变换，R变换。将图形F沿x轴向右平移1格得到图形F1，称为作1次P变换；将图形F沿y轴翻折得到图形F2，称为作1次Q变换；将图形F绕坐标原点顺时针旋转90°得到图形F3，称为作1次R变换，规定：PQ变换表示先作1次Q变换，再作1次P变换；QP变换表示先作1次P变换，再作1次Q变换；F变换表示作n次R变换，解答下列问题：
（1）作R变换相当于至少作
次Q变换。
（2）请在图②中画出图形F作R2017变换后得到的图形F4。
（3）PQ变换与QP变换是否是相同的变换？请在图③中画出PQ变换后得到的图形F5，在图④中画出QP变换后得到的图形F6。
【答案】（1）2；（2）作图见解析；（3）作图见解析。
【解析】试题分析：（1）本题考査了图形的变换，解题关键在于能按照题目中所给的条件来正确的做出变换；
（2）本题的所求的图形变换都是可以从第一步中变换得到：
（3）本题考查了图形的变换，解题的常用的方法画图解题，试一试。
试题解析：（1）2次，因为作R4变换就是顺时针转360°（即变成原来的位置），故对称至少2次；
（2）如图，找规律，4次一循环，如2017÷4＝504…1故第2017次R变换的位置与第1次R变换的位置一样。图形F4如下如所示
（3）变换PQ与变换QP不是相同的变换，根据变换画图即可发现不相同。

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