资源简介

初中必会几何模型：手拉手模型
模型　手拉手
如图，△ABC是等腰三角形、△ADE是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝．
结论：连接BD、CE，则有△BAD≌△CAE．
模型分析
如图①，
∠BAD＝∠BAC－∠DAC，∠CAE＝∠DAE－∠DAC．
∵∠BAC＝∠DAE＝，
∴∠BAD＝∠CAE．
在△BAD和△CAE中，
图②、图③同理可证．
（1）这个图形是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．
（2）如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，所以把这个模型称为手拉手模型．
（3）手拉手模型常和旋转结合，在考试中作为几何综合题目出现．
模型实例
例1　如图，△ADC与△EDG都为等腰直角三角形，连接AG、CE，相交于点H，问：
（1）AG与CE是否相等？
（2）AG与CE之间的夹角为多少度？
例2　如图，在直线AB的同一侧作△ABD和△BCE，△ABD和△BCE都是等边三角形，连接AE、CD，二者交点为H．
求证：（1）△ABE≌△DBC；
（2）AE＝DQ；
（3）∠DHA＝60°；
（4）△AGB≌△DFB；
（5）△EGB≌△CFB；
（6）连接GF，GF∥AC；
（7）连接HB，HB平分∠AHC．
跟踪练习：
1．
在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．
（1）求证：BE＝BF；
（2）若∠CAE＝30°，求∠ACF度数．
2．如图，△ABD与△BCE都为等边三角形，连接AE与CD，延长AE交CD于点H．
求证：（1）AE＝DC；
（2）∠AHD＝60°；
（3）连接HB，HB平分∠AHC．
3．在线段AE同侧作等边△ABC和等边△CDE（∠ACE＜120°），点P与点M分别是线段BE和AD的中点．
求证：△CPM是等边三角形．
4．
将等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按图①方式放置，∠A＝90°，AD边与AB边重合，AB＝2AD＝4．将△ADE绕A点逆时针方向旋转一个角度（0°＜＜180°），BD的延长线交CE于P．
（1）如图②，求明：BD＝CE，BD⊥CE；
（2）如图③，在旋转的过程中，当AD⊥BD时，求CP长．
图①
图②
图③
图①
图②
图③初中必会几何模型：相似模型
模型1：A、8模型
已知∠1＝∠2
结论：△ADE∽△ABC
模型分析
如图，在相似三角形的判定中，我们通过做平行线，从而得出A型或8型相似．在做题使，我们也常常关注题目由平行线所产生的相似三角形．
模型实例
【例1】如图，在ABC中，中线AF、BD、CE相交于点O，求证：．
【例2】如图，点E、F分别在菱形ABCD的边AB、AD上，且AE＝DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于H，若＝2，求的值．
跟踪练习：
1．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE//AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25．则S△BDE与S△CDE的比是____________．
2．如图所示，在ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，此图中的相似三角形共有___________对．
3．如图，在△ABC中，中线BD、CE相交于点O，连接AO并延长，交BC于点F，求证：F是BC的中点．
4．在△ABC中，AD是角平分线，求证：．
5．如图，△ABC为等腰直角三角形，D是直角边BC的中点，E在AB上，且AE：EB＝2:1，求证：CE⊥AD．
模型2
共边共角型
已知：∠
1=∠2
结论：△ACD
∽△ABC
模型分析
上图中，不仅要熟悉模型，还要熟记模型的结论，有时候题目中会给出三角形边的乘积关系或者比例关系，我们要能快速判断题中的相似三角形，模型中由△ACD
∽△ABC进而可以得到：AC2=ADAB
模型实例
例1
如图，D是△ABC的边BC上一点，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B，如果△ABD的面积为15．那么△ACD的面积为
．
例2
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90o，AD⊥BC于D．
（1）图中有多少对相似三角形？
（2）求证：AB2=BD.BC，AC2=CD.CB，AD2=BD.CD
（3）求证：AB.AC=BC.AD
跟踪练习：
1．如图所示，能判定△ABC∽△DAC的有
．
①∠B=∠DAC
②∠BAC=∠ADC
③AC2=DC.BC
④AD2=BD.BC
2．已知△AMN是等边三角形，∠BAC=120o．求证：
（1）AB2=BM.BC；
（2）AC2=CN.CB；
（3）MN2=BM.NC．
3．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，过C作CD⊥AB于D，AC=，AD:DB=4:1．求CD的长．
4．如图①，Rt△ABC中，∠ACB=90o，CD⊥AB，我们可以利用△ABC∽△ACD证明AC2=ADAB，这个结论我们称之为射影定理，结论运用：如图②，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF．
（1）试利用射影定理证明△BOF∽△BED；
（2）若DE=2CE，求OF的长．
模型3
一线三等角型
已知，如图①②③中：∠B=∠ACE=∠D
结论：△ABC∽△CDE
模型分析
如图①，∵∠ACE＋∠DCE=∠B＋∠A，又∵∠B=∠ACE，∴∠DCE=∠A．
∴△ABC∽△CDE．图②③同理可证△ABC∽△CDE．
在一线三等角的模型中，难点在于当已知三个相等的角的时候，容易忽略隐含的其他相等的角，此模型中的三垂直相似应用较多，当看见该模型的时候，应立刻能看出相应的相似三角形．
模型实例
例1
如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD=60o，BP=1，CD=．则△ABC的边长为
．
例2
如图，∠A=∠B=90o，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取一点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有
个．
练习：
1．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上一动点（不与B、C点重合），∠ADE＝45°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设，，求关于的函数关系式；
（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点（不与B、C重合），∠ADE＝∠B＝a，DE交AC于点E，且．下列结论：
①△ADE∽△ACD；
②当BD＝6时，△ABD与△DCE全等；
③△DCE为直角三角形时，BD等于8或；
④
其中正确的结论是
．（把你认为正确的序号都填上）
3．如图，已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处，折叠与边BC交于O，连接AP、OP、OA．
（1）求证：△OCP∽△PDA；
（2）若△OCP与△PDA的面积比为1∶4，求边AB的长．
模型4
倒数型
条件：AF∥DE∥BC
结论：
模型分析
∵AF∥DE∥BC，
∴△BDE∽△BAF，△ADE∽ABC
∴，．
∴
即
∴（两边同时除以DE）
仔细观察，会发现模型中含有两个A型相似模型，它的结论是由两个A型相似的结论相加而得到的，该模型的练习有助于提高综合能力水平．
模型实例
如图，AF∥BC，AC、BF相交于E，过E作ED∥AF交AB于D．
求证：．
跟踪练习
如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，正方形EFGH的四个顶点都在△ABC的边上.求证：
2．正方形ABCD中，以AB为边作等边三角形ABE，连接DE交AC于F，交AB于G，连接BF．求证：
(1)
AF+BF=EF；
(2)
模型5
与圆有关的简单相似
模型分析
图①中，由同弧所对的圆周角相等，易得△PAC∽△PDB.
图②中，由圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角，易得△ABD∽△AEC.
图③中，已知AB切⊙O于点A，如下图，
过A作直径AE，连接DE，则有∠EAD+∠E=900.
又∠BAD+∠EAD=900，∠BAD=∠E=∠C.
从而△BAD∽△BCA.
模型实例
如图，点P在⊙O外，PB交⊙O于A、B两点，PC交⊙O于D、C两点．
求证：PA﹒PB=PD﹒PC.
练习1．如图，P是⊙O内的一点，AB是过点P的一条弦，设圆的半径为，．
求证：．
2．如图，已知AB为⊙O的直径，C、D是半圆的三等分点，延长AC、BD交于点E．
（1）求∠E的度数；
（2）点M为BE上一点，且满足，连接CM，求证：CM是⊙O的切线．
模型6
相似和旋转
如图①，已知DE∥BC，将△ADE绕点A旋转一定的角度，连接BD、CE，得到如图②．
结论：△ABD∽△ACE．
模型分析
∵DE∥BC，
∴，
如图②，∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE
∴△ABD∽△ACE．
该模型难度较大，常出现在压轴题中，以直角三角形为背景出题，对学生的综合能力要求较高，考察知识点有相似、旋转、勾股定理、三角函数等，是优等生必须掌握的—种题型．
模型实例
如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，点P在△ABC内，且，PB＝5，PC＝2．
求．
练习
1．如图，△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，E在△ABC内，∠CA
E＋∠
CBE＝90°，连接BF．
（1）求证：△CAE∽△CBF；
（2）若BE＝1，AE＝2，求CE的长．
2．已知，在△ABC中，∠BAC＝60°．
（1）如图①．若AB＝AC，点P在△ABC内，且∠APC＝150°，PA＝3，PC＝4，把△APC绕着点A顺时针旋转，使点C旋转到点B处，得到△ADB，连接DP．
①依题意补全图1；
②直接写出PB的长；
（2）如图②，若AB＝AC，点P在△ABC外，且PA＝3，PB＝5，PC＝4，求∠APC
的度数；
（3）如图③，若AB＝2AC，点P在△ABC内，且PA＝，PB＝5，∠APC＝120°，请直接写出PC的长．初中必会几何模型：圆中的辅助线
模型1
连半径构造等腰三角形
已知AB是⊙O的一条弦，连接OA，OB，则∠A＝∠B．
模型分析
在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件．我们通常可以连接半径构造等腰三角形，
利用等腰三角形的性质及圆中的相关定理，解决角度的计算问题
模型实例
如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，求∠A．
1．如图，AB经过⊙O的圆心，点B在⊙O上，若AD＝OB，且∠B＝54°．试求∠A的度数．
2．如图，AB是⊙O的直径，弦PQ交AB于M，且PM＝MO，求证：则＝．
模型2
构造直角三角形
如图①，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接AC、BC，则∠ACB=90o.
如图②，已知AB是⊙O的一条弦，过点O作OE⊥AB，则OE2+AE2=OA2.
模型分析
(1)
如图①,当图形中含有直径时,构造直径所对的圆周角是解问题的重要思路,在证明有关问题中注意90o的圆周角的构造.
(2)如图②，在解决求弦长、弦心距、半径问题时，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，利用弦心距、半径和半弦组成一个直角三角形，再利用勾股定理进行计算.
模型实例
例1
已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，BE=6，∠DEB=60o.求CD的长.
例2
如图,AB是⊙O的直径,AB=AC,BC交⊙O于点D,AC交⊙O于点E,∠BAC=45?.
(1)求∠EBC的度数;
(2)求证:BD=CD.
练习
1．如图，⊙O的弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AE＝5，BE＝13，点O到AB的距离为2．求点O到CD距离，线段OE的长即⊙O的半径．
2．已知，AB和CD是⊙O的两条弦，且AB⊥CD于点H，连接BC、AD，作OE⊥AD于点E．求证：OE＝BC．
3．如图，直径AB＝2，AB、CD交于点E且夹角为45°．则CE2＋DE2＝__________．
模型3
与圆的切线有关的辅助线
模型分析
（1）已知切线：连接过切点的半径；如图，已知直线AB是⊙O的切线，点C是切点，连接OC，则OC⊥AB．
（2）证明切线：①当已知直线经过圆上的一点时，连半径，证垂直；
如图，已知过圆上一点C的直线AB，连接OC，证明OC⊥AB，则直线AB是⊙O的切线．
②如果不知直线与圆是否有交点时，作垂直，证明垂线段长度等于半径；
如图，过点O作OC⊥AB，证明OC等于⊙O的半径，则直线AB是⊙O的切线．
模型实例
例1
如图，OA、OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，P是OA上任意一点，BP的延长线交⊙O于Q，过Q点的切线交OA的延长线于R．求证：RP＝PQ．
例2
如图，△ABC内接于⊙O，过A点作直线DE，当∠BAE＝∠C时，试确定直线DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论．
小猿热搜
1．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC、AC相交于点D、E，BD＝CD，过点D作⊙O的切线交AC于点F．求证：DF⊥AC．
2．如图，AB是⊙O的直径，AC是它的切线，CO平分∠ACD．求证：CD是⊙O的切线．
3．如图，直线AC与⊙O相交于B、C两点，E是的中点，D是⊙O上一点，若∠EDA＝∠AMD．求证：AD是⊙O的切线．
A
B
O
C
D
A
B
O
Q
M
P
A
B
O
D
F
C
E
C
B
O
A
D
E
A
B
C
D
E
O
A
B
C
D
E
H
O
A
B
C
D
E
O
A
B
C
O
R
B
O
Q
A
P
A
B
C
D
E
O
A
B
C
D
E
F
O
A
B
C
D
O
A
B
C
D
E
M
O初中必会几何模型：隐圆模型
模型1
共端点，等线段模型
如图①，出现“共端点，等线段”时，可利用圆定义构造辅助圆．
如图②，若OA＝OB＝OC，则A、B、C三点在以O为圆心，OA为半径的圆上．
如图③，常见结论有：∠ACB＝∠AOB，∠BAC＝∠BOC.
模型分析
∵OA＝OB＝OC.
∴A、B、C三点到点O的距离相等．
∴A、B、C三点在以O为圆心，OA为半径的圆上．
∵∠ACB是的圆周角，∠AOB是的圆心角，
∴∠ACB＝∠AOB.
同理可证∠BAC＝∠BOC.
（1）若有共端点的三条线段，可考虑构造辅助圆．
（2）构造辅助圆是方便利用圆的性质快速解决角度问题．
模型实例
如图，△ABC和△ACD都是等腰三角形，AB＝AC，AC＝AD，连接BD．
求证：∠1＋∠2＝90°.
小猿热搜
1．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，在△ABC的外侧作直线AP，点B与点
D关于AP轴对称，连接BD、CD，CD与AP交于点E．求证：∠1＝∠2．
2．己知四边形ABCD，AB∥CD，且AB＝AC＝AD＝a，BC＝b，且2a＞b，求BD的长．
模型2
直角三角形共斜边模型
模型分析
如图①、②，Rt△ABC和Rt△ABD共斜边，取AB中点O，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得：OC=OD=OA=OB，
∴A、B、C、D四点共圆．
共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都会得到四点共圆；
四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，是证明角度相等重要的途径之一．
模型实例
例1　如图，AD、BE、CF为△ABC的三条高，H为垂线，问：
图中有多少组四点共圆？
求证：∠ADF＝∠ADE．
例2　　如图，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交∠ABC的外
角平分线于点F，求证：FE=DE.
1.如图，锐角△ABC中，BC.CE是高线，DG⊥CE于G，EF⊥BD于F，求证：FG∥BC
2.
如图，
BE.CF为△ABC的高，且交于点H,连接AH并延长交于BC于点D,求证：AD⊥BC.
3.如图，等边△PQR内接于正方形ABCD,其中点P,Q,R分别在边AD,AB,DC上，M是QR的中点.求证：不论等边△PQR怎样运动，点M为不动点.
4.如图，已知△ABC中，AH是高，AT是角平分线，且TD⊥AB,TE⊥AC.求证：∠AHD=∠AHE.
（2）初中必会几何模型
：将军饮马模型
一、求线段和最值
(一)两定一动型
例1:如图,AM⊥EF,BN⊥EF,垂足为M、N,
MN=12m,AM=5m,BN=4m,P是EF上任意一点,则PA+PB的最小值是________
m
变式:如图,在边长为2的正三角形ABC中,E,F,G为各边中点,P为线段EF上一动点,则△BPG周长的最小值为_________
（二）、一定两动型
例2:如图,在△ABC中,AB=AC=5,D为BC中点,AD=5,P为AD上任意一点,E为AC上任意一点,求PC+PE的最小值.
变式：如图,BD平分∠ABC,E,F分别为线段BC,BD上的动点,AB=8,△ABC的周长为20,求EF+CF的最小值__________
(三)、两点两动型
例3:如图,∠AOB=30°,0C=5,OD=12,点E,F分别是射线OA,OB上的动点,求CF+EF+DE的最小值.
变式：如图,斯诺克比赛桌面AB宽1.78m,白球E距AD边0.22m,距CD边1.4m,有一颗红球F紧贴BC边,且距离CD边0.1m,若要使白球E经过边AD,DC,两次反弹击中红球F,求白球E运动路线的总长度.
(二)求角度
例4：P为∠AOB内一定点,M、N分别为射线OA、OB上一
点,当△PMN周长最小时,∠
MPN=80°.
(1)∠AOB=_________°
(2)求证:OP平分∠
MPN
变式:如图,在五边形
ABCDE中,∠BAE=136°,∠B=∠E=90°,在BC、DE上分别找一点M、N,使得△AMN的周长最小时,则∠AMN+∠ANM的度数为_______
本讲思考题:
1.如图所示,正方形ABCD的边长为6,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为_____
2.如图,在矩形ABCD中
AB=4,AD=3.P为矩形ABCD内一点,若矩形ABCD
面积为△PAB面积的4倍,则点P到A,B两点距离之和PA+PB的最小值为________第一章
8字模型与飞镖模型
模型1
角的“8”字模型
如图所示，AB、CD相交于点O，
连接AD、BC。
结论：∠A+∠D=∠B+∠C。
模型分析
8字模型往往在几何综合
题目中推导角度时用到。
模型实例
观察下列图形，计算角度：
（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=
；
（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=
。
热搜精练
1．（1）如图①，求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=
；
（2）如图②，求∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E=
。
2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=
。
模型2
角的飞镖模型
如图所示，有结论：
∠D=∠A+∠B+∠C。
模型分析
飞镖模型往往在几何综合
题目中推导角度时用到。
模型实例
如图，在四边形ABCD中，AM、CM分别平分∠DAB和∠DCB，AM与CM交于M。探究∠AMC与∠B、∠D间的数量关系。
热搜精练
1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=
；
2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D
=
。
模型3
边的“8”字模型
如图所示，AC、BD相交于点O，连接AD、BC。
结论：AC+BD>AD+BC。
模型实例
如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O。
求证：（1）AB+BC+CD+AD>AC+BD；
（2）AB+BC+CD+AD<2AC+2BD.
模型4
边的飞镖模型
如图所示有结论：
AB+AC>BD+CD。
模型实例
如图，点O为三角形内部一点。
求证：（1）2（AO+BO+CO）>AB+BC+AC；
（2）AB+BC+AC>AO+BO+CO.
热搜精练
1．如图，在△ABC中，D、E在BC边上，且BD=CE。
求证：AB+AC>AD+AE。
2．观察图形并探究下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由。
（1）如图①，△ABC中，P为边BC上一点，请比较BP+PC与AB+AC的大小，并说明理由；
（2）如图②，将（1）中的点P移至△ABC内，请比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由；
（3）图③将（2）中的点P变为P1、P2，请比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由。
3初中必会几何模型：角平分线四大模型
模型1
角平分线的点向两边作垂线
如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，则PB＝PA
模型分析
利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口
模型实例
（1）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝6,BD＝4,那么点D到直线AB的距离是
（2）如图②，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC
练习
如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝DC,BD平分∠ABC
，
求证：∠BAD＋∠BCD＝180°
2.如图，△ABC的外角∠ACD∠的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP相交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝
.
模型2
截取构造对称全等
如图，P是∠MON的平分线上的一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB＝OA,连接PB，则△OPB≌△OPA
模型分析
利用角平分线图形的对称性，在铁的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边，对应角相等，利用对称
性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧
模型实例
（1）如图①所示，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB＋PC与AB＋AC的大小，并说明理由
（2）如图②所示，AD是△ABC的内角平分线，其它条件不变，试比较PC－PB与AC－AB的大小，并说明理由
练习
已知，在△ABC中，∠A＝2∠B,CD是∠ACB的平分线，AC＝16,AD＝8,
求线段BC的长
在△ABC中，AB＝AC,∠A＝108°,BD平分∠ABC，
求证：BC＝AB＋CD
3.如图所示，在△ABC中，∠A＝100°,∠ABC＝40°,BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE＝AD，求证：BC＝AB＋CE
模型3
角平分线+垂线构造等腰三角形
如图，P是∠MON的平分线上一点，AP丄OP于P点，延长AP交ON于点.B,则△AOB是等腰三角形.
模型分析
构造此模型可以利用等腰三角形的"三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形.进而得到对应边.对应角相等.这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来.
模型实例
如图.己知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°,
AB=AC,
BD平分∠ABC,
C?丄BD.垂足为E.求证：BD=2C?.
练习
1.如图.在△ABC中.BE是角平分线.AD丄BE.垂足为D.求证：∠2=∠1+∠C.
2.如图.在△ABC中.
∠ABC=3∠C,AD是∠BAC的平分线,
BE丄AD于点E.
求证:.
模型4
角平分线+平行线
模型分析
有角平分线时.常过角平分线上一点作角的一边的平行线.
构造等腰三角形.为证明结论提供更多的条件.体现了用平分线与等腰三角形之间的密切关系.
模型实例
解答下列问题：
(1)如图①.△ABC中，EF∥BC,点D在EF上,BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB.写出线段EF与BE、CF有什么数量关系？
(2)如图②，BD平分∠ABC,CD平分外角∠ACG.
DE//BC交AB于点E,交AC于点F，线段EF与BE、CF有什么数量关系？并说明理由.
(3)如图③，BD、CD为外角∠CBM、∠BCN的平分线，DE//BC交AB延长线于点E.交AC延长线于点F,直接写出线段EF与BE、CF有什么数关系？
练习
1.如图.
在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E.过点E作MN∥BC交AB于M点.
交AC于N点.若BM+CN=9，则线段MN的长为
.
2.
如图.
在△ABC中,AD平分∠BAC.点E、F分別在BD，AD上,EF∥AB.且DE=CD,求证：EF=AC.
3.如图.梯形ABCD中,AD∥BC,点E在CD上,且AE平分∠BAD.BE平分∠ABC.求证：AD=AB-BC.初中必会几何模型：三垂直全等模型
模型
三垂直全等模型
如图：∠D＝∠BCA＝∠E＝90°，BC＝AC.
结论：Rt△BCD≌Rt△CAE.
模型分析
说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直求角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图支离出来的一部分几何图形去求解.图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图.
三垂直图形变形如下图③、图④，这也是由弦图演变而来的.
例1
如图，AB⊥BC，CD⊥BC，AE⊥DE，AE＝DE，求证：AB＋CD＝BC.
例2
如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD＝2.5cm，BE＝0.8cm，则DE的长为多少？
例3
如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标.
跟踪练习
1．如图，正方形ABCD，BE＝CF.求证：（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF.
2．直线l上有三个正方形a、b、c，若a、c的面积分别是5和11，则b的面积是_____.
3．已知，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P为BC上一动点（BP（1）求证：EF＝CF－BE；
（2）若P为BC延长线上一点，其它条件不变，则线段BE、CF、EF是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论.
4．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，设∠BCD＝α，以D为旋转中心，将
腰DC绕点D逆时针旋转90°至DE.
（1）当α＝45°时，求△EAD的面积；
（2）当α＝45°时，求△EAD的面积；
（3）当0°<α<90°，猜想△EAD的面积与α大小有无关系？若有关，写出△EAD的面积S与α的关系式；若无关，请证明结论.
5．向△ABC的外侧作正方形ABDE、正方形ACFG，过A作AH⊥BC于H，AH的反向延长线与EG交于点P.
求证：BC＝2AP.初中必会几何模型：截长补短辅助线模型
模型：截长补短
如图①，若证明线段AB、CD、EF之间存在EF＝AB＋CD，可以考虑截长补短法.
截长法：如图②，在EF上截取EG＝AB，再证明GF＝CD即可.
补短法：如图③，延长AB至H点，使BH＝CD，再证明AH＝EF即可.
模型分析
截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系.
截长，指在长线端中截取一段等于已知的线段；补短，指将一条短线端延长，延长部分等于已知线段.
该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程.
模型实例
例1：如图，已知在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2
.
求证：AB＝AC＋CD
.
例2：如图，已知OD平分∠AOB，DC⊥OA于点C，∠A＝∠GBD
.
求证：AO＋BO＝2CO
.
跟踪练习
1.
如图，在△ABC中，∠BAC＝600，AD是∠BAC的平分线，且AC＝AB＋BD
.
求∠ABC的度数
.
2.
如图，在△ABC中，∠ABC＝600，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB
.
求证：AC＝AE＋CD
.
3.
如图，∠ABC＋∠BCD＝1800，BE、CE分别平分∠ABC、∠DCB
.求证：AB＋CD＝BC
.
4.
如图，在△ABC中，∠ABC＝900，AD平分∠BAC交BC于D，∠C＝300，BE⊥AD于点E
.
求证：AC－AB＝2BE
.
5.
如图，Rt△ACB中，A＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AD交AD于点F，交AB于点E
.
求证：AD＝2DF＋CE
.
6.
如图，五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＋DE＝CD，∠B＋∠E＝1800
.
求证：AD平分∠CDE
.初中必会几何模型：半角模型
模型概述：
过多边形的某个顶点引两条射线，使这两条射线的夹角为该顶角的一半
思想方式：
通过旋转变换构造全等三角形，实现线段的转化
基本模型：
一、正方形含半角
如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点，∠EAF=45°，证明以下结论：
⑴EF=BE+DF；
⑵△CEF的周长是正方形边长的2倍；
⑶FA平分∠DFE，EA平分∠BEF；
⑷
【小结】
变式训练1-1
如图,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD边上的点,∠EAF=45?.
(1)如图(1)，试判断EF，BE，DF间的数量关系，并说明理由；
(2)如图(2)，若AH⊥EF于点H，试判断线段AH与AB的数量关系，并说明理由。
变式训练1-2
探究：
(1)如图1,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,且∠EAF=45?，试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：___；
(2)如图2,若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180?,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=∠BAD”,则(1)问中的结论是否仍然成立?若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；
(3)在(2)问中,若将△AEF绕点A逆时针旋转,当点分别E.?F运动到BC、CD延长线上时,如图3所示,其它条件不变,则(1)问中的结论是否发生变化?若变化，请给出结论并予以证明。
二、等腰直角三角形含半角
如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作∠DCE=45°，交AB边于D，E两点。
证明：⑴△ACE∽△BDC；
⑵
【小结】
变式训练2-1
如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作∠DCE=45°，交AB边于D，E两点。
⑴若AD=6，AE=16，则BE=
⑵若AB=12，DE=5，AD＜BE，则BE=
⑶若，BD=5，则AE=
变式训练2-2
在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D为△ABC外一点,且∠MDN=60?,∠BDC=120?，BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系。
(1)如图1,当点M、N边AB、AC上,且DM=DN时,BM、NC、MN之间的数量关系是___;此时QL=___；
(2)如图2,点M、N边AB、AC上,且当DM≠DN时,猜想(1)问的两个结论还成立吗?写出你的猜想并加以证明；
(3)如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时,若AN=x,则Q=___(用x、L表示).
变式训练2-3
(1)如图1,点E.?F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点,∠EAF=45?，连接EF，
则EF、BE、FD之间的数量关系是：EF=BE+FD.连结BD,交AE、AF于点M、N,且MN、BM、DN满足，请证明这个等量关系；
(2)在△ABC中，AB=AC，点D.?E分别为BC边上的两点。
①如图2,当∠BAC=60?,∠DAE=30?时，BD、DE、EC应满足的等量关系是___；
②如图3,当∠BAC=α,(0?<α<90?),∠DAE=α时,BD、DE、EC应满足的等量关系是___.[参考：】
中考真题演练
1
如图,已知△ABC,∠ACB=90?,AC=BC,点E.?F在AB上,∠ECF=45?.
(1)求证：△ACF∽△BEC；
(2)设△ABC的面积为S，求证：AF?BE=2S；
(3)试判断以线段AE、EF、FB为边的三角形的形状并给出证明。
2
已知：如图,正方形ABCD,BM、DN分别平分正方形的两个外角,且满足∠MAN=45?，连接MN.
(1)若正方形的边长为a，求BM?DN的值。
(2)若以BM，DN，MN为三边围成三角形，试猜想三角形的形状，并证明你的结论。
3
已知：正方形ABCD中,∠MAN=45?,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB,DC(或它们的延长线)于点M，N.
(1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(图2)，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系?写出猜想，并加以证明。
(2)当∠MAN绕点A旋转到(图3)的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系?证明你的猜想。
(3)若正方形的边长为4，当点N运动到DC边的中点处时，求BM的长。
4
问题背景：
(1)如图1:在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120?,∠B=∠ADC=90?.E,F分别是BC,CD上的点。且∠EAF=60?.探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系。小王同学探究此问题的方法是,延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是___.
探索延伸：
(2)如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180?.E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由。
5
如图,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30?的A处,舰艇乙在指挥中心南偏东70?的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进,舰艇乙沿北偏东50?的方向以80海里/时的速度前进,1.5小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E.?F处,且两舰艇之间的夹角为70?，试求此时两舰艇之间的距离。
6
问题：如图(1),点E.?F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45?，试判断BE、EF、FD之间的数量关系。
【发现证明】
小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90?至△ADG,从而发现EF=BE+FD,请你利用图(1)证明上述结论。
【类比引申】
如图(2),四边形ABCD中,∠BAD≠90?,AB=AD,∠B+∠D=180?，点E.?F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足___关系时，仍有EF=BE+FD.
【探究应用】
如图(3),在某公园的同一水平面上,四条通道围成四边形ABCD.已知AB=AD=80米,∠B=60?,∠ADC=120?,∠BAD=150?,道路BC、CD上分别有景点E.?F,且AE⊥AD,DF=40()米,现要在E.?F之间修一条笔直道路,求这条道路EF的长初中必会几何模型：蚂蚁行程
模型
立体图形展开的最短路径
模型分析
上图为无底的圆柱体侧面展开图，如图蚂蚁从点A沿圆柱表面爬行一周。到点B的最短路径就是展开图中AB′的长，。做此类题日的关键就是，正确展开立体图形，利用“两点之间线段最短”或“两边之和大于第三边”准确找出最短路径。
模型实例
例1．有一圆柱体油罐，已知油罐底面周长是12m，高AB是5m，要从点A处开始绕油罐一周建造房子，正好到达A点的正上方B处，问梯子最短有
多长？
例2．如图，一直圆锥的母线长为QA=8，底面圆的半径，
若一只小蚂蚁从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬行的最短
路线长是
。
例3．已知长方体的长、宽、高分别为30cm、20cm、10cm，一只蚂蚁从A处出发到B处觅食，求它所走的最短路径。（结果保留根号）
跟踪练习
1．有一个圆锥体如图，高4cm，底面半径5cm，A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲沿侧面爬行到C处，求蚂蚁爬行的最短距离。
2．如图，圆锥体的高为8cm，底面周长为4cm，小蚂蚁在圆柱表面爬行，从A点到B点，路线如图，则最短路程为
。
3．桌上有一个圆柱形无盖玻璃杯，高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口距离3厘米的A处有一滴蜜糖，一只小虫22
杯子外壁，当它正好在蜜糖相对方向离桌面3厘米的B处时，突然发现了蜜糖，问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。
4．已知O为圆锥顶点，OA、OB为圆锥的母线，C为OB的中点，一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A，另一只小蚂蚁也从C点出发绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线的痕迹如图所示，若沿OA剪开，则得到的圆锥侧面展开图为
（
）
A
B
C
D
5．如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬行到点B，如果它运动的路径是最短的，则最短距离为
。
6．如图是一个边长为6的正方体木箱，点Q
在上底面的棱上，AQ=2，一只
蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路线。
7．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm、3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点的最短路程是多少？初中必会几何模型：中点四大模型
模型1
倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形
模型分析
如图①，AD是△ABC的中线，延长AD至点E使DE＝AD，易证：△ADC≌△EDB（SAS）．
如图②，D是BC中点，延长FD至点E使DE＝FD，易证：△FDB≌△EDC（SAS）
　　当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移．
模型实例
如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，AF＝EF，求证：AC＝BE．
1．如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝20，求BC边上中线AD的范围．
2．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DM⊥DN，如果BM2＋CN2＝DM2＋DN2．
求证：AD2＝(AB2＋AC2)．
模型2
已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”．
模型分析
等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到：
“边等、角等、三线合一”．
模型实例
如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，M为BC的中点，MN⊥AC于点N，求MN的长度．
跟踪练习
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AE⊥DE，AF⊥DF，且AE＝AF，求证：∠EDB＝∠FDC．
2．已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．
（1）当∠EDF绕D点旋转到DF⊥AC于E时（如图①），求证：S△DEF＋S△CEF＝S△ABC；
（2）当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，
S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明．
模型3
已知三角形一边的中点，可考虑中位线定理
模型分析
在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理：
DE∥BC，且DE＝BC来解题．中位线定理中既有线段之间的位置关系又有数量关系，该模型可以解决角问题，线段之间的倍半、相等及平行问题．
模型实例
如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M，N．求证：∠BME＝∠CNE．
练习：
1.（1）如图1，BD，CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AD⊥BD，AE⊥CE，垂足分别为D，E，连接DE，求证：DE∥BC，DE=（AB+BC+AC）；
（2）如图2，BD，CE分别是△ABC的内角平分线，其他条件不变，上述结论是否成立？
（3）如图3，BD是△ABC的内角平分线，CE是△ABC的外角平分线，其他条件不变，DE与BC还平行吗？它与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中一种情况进行证明.
2.问题一：如图①，在四边形ABCD中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF，分别交DC，AB于点M，N，判断△OMN的形状，请直接写出结论.
问题二：如图②，在△ABC中，AC>AB，D点在AC上，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明.
模型4
已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线
模型分析
在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD=AB，来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形：△ACD和△BCD，该模型经常会与中位线定理一起综合应用.
模型实例
如图，在△ABC中，BE，CF分别为AC，AB上的高，D为BC的中点，DM⊥
EF于点M，求证：FM=EM.
练习：
1.如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点，AB=10，求DM的长度.
2.已知，△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°，连接DE，M为DE的中点，连接MB，MC，求证：MB=MC.
3.问题1：如图①，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥
BC，BF
⊥AC，垂足分别为点E，F.AE、BF交于点M，连接DE，DF，若DE=kDF，则k的值为
.
问题2：如图②，三角形ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC内部，且∠MAC=∠MBC，过点M分别作ME
⊥BC，MF⊥
AC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF，求证：DE=DF.
问题3：如图③，若将上面问题2中的条件“CB=CA”变为“CB
≠CA”，其他
条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论.

展开更多......

收起↑