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4.2一般三角形及其性质
一一、三角形的定义及分类
1、三角形的概念：由不在同一直线上的_______线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
其中：组成三角形的线段叫三角形的_____；相邻两边的公共端点叫三角形的_____；相邻两边所组成的角叫三角形的_____，简称三角形的______.
2、三角形的分类
（1）按边分类：
（2）按角分类：
3、三角形具有______性.
二、三角形中的主要线段
1、三角形的高：从三角形一个顶点向它的对边做______，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）.垂心：三角形三条高的交点。
2、三角形的角平分线：三角形的一个角的______与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线.
注意：①三角形的三条角平分线的交点，叫做三角形的______.到三边的距离相等。
②角平分线上的点到角的两边的距离相等，可过角平分线上的点向角两边作垂线来进行相关的证明与计算。
③拓展知识
外心：三角形三条边垂直平分线的交点到三角形，三个顶点的距离相等。
3、三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的______的线段叫做三角形的中线.
注意：三角形的三条中线的交点，叫做三角形的______.
4、三角形的中位线
（1）定义：连接三角形两边_____的线段，叫做三角形的中位线.
（2）性质：三角形的中位线______于第三边，并且等于第三边的________.
注意：已知两边的中点构造中位线可得线段平行和线段数量关系，即“已知中点找中位线”。
三、三角形的三边关系定理及推论
1、三角形三边关系定理：三角形的两边之和______第三边.
2、三角形三边关系定理推论：三角形的两边之差______第三边.
注意：三角形三边关系定理及推论的作用：
（1）判断三条已知线段能否组成三角形
（2）当已知两边时，可确定第三边的范围.
（3）证明线段不等关系.
四、三角形的内角和定理及推论
1、三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于______.
2、推论：
（1）直角三角形的两个锐角_______.
（2）三角形的一个外角_______和它不相邻的来两个内角的和.
命题点一、三角形的边、角关系
1、（2020甘肃天水）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2﹣8x+12＝0的根，则该三角形的周长为　
　
2、（2020湖北咸宁）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，则∠C＝　
　°．
命题点二、三角形的重要线段
3、(2020福建)如图，面积为1的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是（　　）
A．1
B．
C．
D．
基础过关
1、（2020广东省）已知△ABC的周长为16，点D、E、F分别为△ABC三条边的中点，则△DEF的周长为（
）
A．8??
B．??
C．16??
D．4
2、（2020江苏宿迁）在△ABC中，AB＝1，BC＝，下列选项中，可以作为AC长度的是（　　）
A．2
B．4
C．5
D．6
3、（2020内蒙古包头）如图，是的外角，．若，，则的度数为（
）
A.
B.
C.
D.
4、（2020山东聊城）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，点D是BC边上任意一点，过点D作DF∥AB交AC于点E，则∠FEC的度数是（　　）
A．120°
B．130°
C．145°
D．150°
5、（2020山东烟台）量角器测角度时摆放的位置如图所示，在△AOB中，射线OC交边AB于点D，则∠ADC的度数为（　　）
A．60°
B．70°
C．80°
D．85°
6、（2020四川宜宾）如图，M，N分别是的边AB，AC的中点，若，则∠B=（
）
A.
B.
C.
D.
7、如图，在中，，，平分交于点，，垂足为．若，则的长为　　
A．
B．
C．
D．3
8、（2020山东烟台）如图，点G为△ABC的重心，连接CG，AG并延长分别交AB，BC于点E，F，连接EF，若AB＝4.4，AC＝3.4，BC＝3.6，则EF的长度为（　　）
A．1.7
B．1.8
C．2.2
D．2.4
9、（2020江西）如图，平分，，的延长线交于点，若，则的度数为
．
10、（2020浙江绍兴）长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为　　
A．4
B．5
C．6
D．7
11、（2020辽宁沈阳）如图，直线AB∥CD，且AC⊥CB于点C，若∠BAC＝35°，则∠BCD的度数为（　　）
A．65°
B．55°
C．45°
D．35°
12、（2020湖北黄冈）已知：如图，在中，点在边上，，则_______度．
13、（2020广东广州）如图，，，．求的度数．
能力提升
14、（2020宁夏）如图摆放一副学生用直角三角板，，与相交于点G，当时，的度数是（
）
A.
135°
B.
120°
C.
115°
D.
105°
15、（2020江苏淮安）如图，直线，点在直线上，点在直线上，，，，则______．
创新思维
16、（2020浙江绍兴）问题：如图，在中，．在的延长线上取点，，作，使，若，，求的度数．
答案：．
思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变，那么的度数会改变吗？说明理由；
（2）如果把以上“问题”中的条件“”去掉，再将“”改为“”，其余条件不变，求的度数．
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A
B
C
D
E
F
24.2一般三角形及其性质
一、三角形的定义及分类
1、三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
其中：组成三角形的线段叫三角形的边；相邻两边的公共端点叫三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫三角形的内角，简称三角形的角.
2、三角形的分类
（1）按边分类：
（2）按角分类：
3、三角形具有稳定性.
二、三角形中的主要线段
1、三角形的高：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）.垂心：三角形三条高的交点。
2、三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线.
注意：①三角形的三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.到三边的距离相等。
②角平分线上的点到角的两边的距离相等，可过角平分线上的点向角两边作垂线来进行相关的证明与计算。
③拓展知识
外心：三角形三条边垂直平分线的交点到三角形，三个顶点的距离相等。
3、三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线.
注意：三角形的三条中线的交点，叫做三角形的重心.
4、三角形的中位线
（1）定义：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线.
（2）性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
注意：已知两边的中点构造中位线可得线段平行和线段数量关系，即“已知中点找中位线”。
三、三角形的三边关系定理及推论
1、三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边.
2、三角形三边关系定理推论：三角形的两边之差小于第三边.
注意：三角形三边关系定理及推论的作用：
（1）判断三条已知线段能否组成三角形
（2）当已知两边时，可确定第三边的范围.
（3）证明线段不等关系.
四、三角形的内角和定理及推论
1、三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°.
2、推论：
（1）直角三角形的两个锐角互余.
（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和.
命题点一、三角形的边、角关系
1、（2020甘肃天水）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2﹣8x+12＝0的根，则该三角形的周长为　
　
【分析】先利用因式分解法解方程x2﹣8x+12＝0，然后根据三角形的三边关系得出第三边的长，则该三角形的周长可求．
解：∵x2﹣8x+12＝0，
∴（x﹣2）（x﹣6）＝0，
∴x1＝2，x2＝6，
∵三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2﹣8x+12＝0的根，2+2＜5，2+5＞6，
∴三角形的第三边长是6，
∴该三角形的周长为：2+5+6＝13．
故答案为：13．
2、（2020湖北咸宁）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，则∠C＝　
　°．
解：∵AB＝AD，∠BAD＝20°，
∴∠B＝＝＝80°，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝80°+20°＝100°，
∵AD＝DC，
∴∠C＝＝＝40°
命题点二、三角形的重要线段
3、(2020福建)如图，面积为1的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是（　　）
A．1
B．
C．
D．
解：∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
∴DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，
∴＝，
∴△DEF∽△ABC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∵等边三角形ABC的面积为1，
∴△DEF的面积是，
基础过关
1、（2020广东省）已知△ABC的周长为16，点D、E、F分别为△ABC三条边的中点，则△DEF的周长为（
）
A．8??
B．??
C．16??
D．4
【答案】A
【解析】三角形的中位线等于第三边的一半．
【考点】三角形中位线的性质．
2、（2020江苏宿迁）在△ABC中，AB＝1，BC＝，下列选项中，可以作为AC长度的是（　　）
A．2
B．4
C．5
D．6
【分析】根据三角形三边关系，两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可以得到AC的长度可以取得的数值的取值范围，从而可以解答本题．
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝1，BC＝，
∴﹣1＜AC＜+1，
∵﹣1＜2＜+1，4＞+1，5＞+1，6＞+1，
∴AC的长度可以是2，
故选项A正确，选项B、C、D不正确；
故选：A．
3、（2020内蒙古包头）如图，是的外角，．若，，则的度数为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行线的性质及三角形的内角和定理即可求解．
【详解】∵，
∴∠B=
∴∠A=180°-∠B-
故选B．
【点睛】此题主要考查三角形的内角和，解题的关键是熟知三角形的内角和等于180°．
4、（2020山东聊城）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，点D是BC边上任意一点，过点D作DF∥AB交AC于点E，则∠FEC的度数是（　　）
A．120°
B．130°
C．145°
D．150°
{答案}B
{解析}可利用三角形的外角性质求∠
FEC的度数，结合等腰三角形与平行线的性质，可得∠
EDC、∠B均与∠C相等．即：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝65°．∵DF∥AB，∴∠
EDC＝∠B＝65°．∴∠FEC＝∠EDC＋∠C＝65°＋65°＝130°．
5、（2020山东烟台）量角器测角度时摆放的位置如图所示，在△AOB中，射线OC交边AB于点D，则∠ADC的度数为（　　）
A．60°
B．70°
C．80°
D．85°
【分析】根据等腰三角形的性质，三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵OA＝OB，∠AOB＝140°，
∴∠A＝∠B＝（180°﹣140°）＝20°，
∵∠AOC＝60°，
∴∠ADC＝∠A+∠AOC＝20°+60°＝80°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
6、（2020四川宜宾）如图，M，N分别是的边AB，AC的中点，若，则∠B=（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由M，N分别是的边AB，AC的中点，可知MN为△ABC的中位线，即可得到，从而可求出∠B的值．
【详解】解：∵M，N分别是的边AB，AC的中点，
∴MN∥BC，
∴∠ANM=∠C，
∵，
∴，
又∵
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的中位线，注意三角形的中位线平行于第三边是解题的关键．
7、如图，在中，，，平分交于点，，垂足为．若，则的长为　　
A．
B．
C．
D．3
【考点】角平分线的性质
【分析】过点作于如图所示，根据角平分线的性质得到，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过点作于如图所示，
为的平分线，且于，于，
，
在中，，
，
在中，，
为等腰直角三角形，
，
，
故选：．
8、（2020山东烟台）如图，点G为△ABC的重心，连接CG，AG并延长分别交AB，BC于点E，F，连接EF，若AB＝4.4，AC＝3.4，BC＝3.6，则EF的长度为（　　）
A．1.7
B．1.8
C．2.2
D．2.4
【分析】由已知条件得EF是三角形的中位线，进而根据三角形中位线定理求得EF的长度．
【解答】解：∵点G为△ABC的重心，
∴AE＝BE，BF＝CF，
∴EF＝＝1.7，
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形的重心，三角形的中位线定理，关键正确利用重心定义得EF为三角形的中位线．
9、（2020江西）如图，平分，，的延长线交于点，若，则的度数为
．
【解析】CD=CB，∠ACD=∠ACB，CA=CA，∴△CAD≌△CAB，∴∠B=∠D，设∠ACB=，∠B=，则∠ACD=，∠D=，∠EAC为△ACD的一个外角，∴，在△ABC中有内角和为180°，∴，∴∠BAC=131°，∴∠BAE=∠BAC-∠EAC=82°，故答案为82°
10、（2020浙江绍兴）长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为　　
A．4
B．5
C．6
D．7
解：①长度分别为5、3、4，能构成三角形，且最长边为5；
②长度分别为2、6、4，不能构成三角形；
③长度分别为2、7、3，不能构成三角形；
综上所述，得到三角形的最长边长为5．
故选：．
11、（2020辽宁沈阳）如图，直线AB∥CD，且AC⊥CB于点C，若∠BAC＝35°，则∠BCD的度数为（　　）
A．65°
B．55°
C．45°
D．35°
【分析】由三角形内角和定理可求∠ABC的度数，由平行线的性质可求解．
【解答】解：∵AC⊥CB，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝180°﹣90°﹣∠BAC＝90°﹣35°＝55°，
∵直线AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD＝55°，
故选：B．
12、（2020湖北黄冈）已知：如图，在中，点在边上，，则_______度．
【答案】40
【解析】
【分析】
根据等边对等角得到，再根据三角形外角性质得到，故，由三角形的内角和即可求解的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：40．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形的内角和，熟练掌握几何知识并灵活运用是解题的关键．
13、（2020广东广州）如图，，，．求的度数．
【答案】75°.
【解析】
【分析】
由三角形的内角和定理求出∠DCA=75°，再证明△ABC≌△ADC，即可得到答案.
【详解】∵,,
∴∠DCA=75°,
∵,,AC=AC，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠BCA=∠DCA=75°.
【点睛】此题考查三角形的内角和定理，全等三角形的判定及性质，这是一道比较基础的三角形题.
能力提升
14、（2020宁夏）如图摆放一副学生用直角三角板，，与相交于点G，当时，的度数是（
）
A.
135°
B.
120°
C.
115°
D.
105°
【答案】D
【解析】
【分析】
过点G作，则有，，又因为和都是特殊直角三角形，，可以得到，有即可得出答案．
【详解】解：过点G作，有，
∵在和中，
∴
∴，
∴
故的度数是105°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，其中平行线的性质为：两直线平行，内错角相等；三角形内角和定理为：三角形的内角和为180°；其中正确作出辅助线是解本题的关键．
15、（2020江苏淮安）如图，直线，点在直线上，点在直线上，，，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用等腰三角形的性质得到∠C=∠4=，利用平行线的性质得到∠1=∠3=，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】如图，延长CB交于点D，
∵AB=BC，∠C=，
∴∠C=∠4=，
∵，∠1=，
∴∠1=∠3=，
∵∠C
+∠3+∠2+∠4
=，即
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质以及三角形内角和定理的应用，解决问题的关键是辅助线的作法，注意运用两直线平行，同位角相等．
创新思维
16、（2020浙江绍兴）问题：如图，在中，．在的延长线上取点，，作，使，若，，求的度数．
答案：．
思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变，那么的度数会改变吗？说明理由；
（2）如果把以上“问题”中的条件“”去掉，再将“”改为“”，其余条件不变，求的度数．
解：（1）的度数不会改变；
，
，①
，
，
，②
由①，②得，；
（2）设，
则，，
，
，
，
．
知识回顾
真题在线
分层精练
A
B
C
D
E
F
2

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