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4.4等腰三角形及直角三角形
一、等腰三角形
1、等腰三角形的性质:等腰三角形的两个底角______（简称：等边对等角）
推论1：等腰三角形顶角平分线______底边并且______于底边.即等腰三角形的顶角平分线、______、________重合.（三线合一）
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于______.
2、等腰三角形的判定:如果一个三角形有两个角_____，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）.
推论1：三个角都相等的三角形是_____三角形
推论2：有一个角是60°的_______三角形是等边三角形.
3、是轴对称图形，底边上的__________所在的直线就是它的对称轴。
二、等边三角形
1、定义:三条边都______的三角形是等边三角形.
2、性质：等边三角形的各角都______，并且每一个角都等于_____
3、判定:（1）三个角都_______的三角形是等边三角形；
（2）有一个角等于________的等腰三角形是等边三角形.
三、直角三角形
1、定义：有一个角是_______的三角形叫作直角三角形
2、性质：（1）直角三角形两锐角_______.
（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于_______的一半；
（3）在直角三角形中，斜边上的_______等于斜边的一半.
（4）勾股定理：若直角三角形的两直角边为a,b，斜边为c则有：a2+b2=c2
3、判定：（1）两个内角______的三角形是直角三角形.
（2）三角形一边上的中线等于这条边的______，那么这个三角形是直角三角形.
(3)有一个角是900
（4）若a2+b2=c2则以a,b，c为边的三角形是直角三角形。
四、勾股定理及逆定理
1、勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的________等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2;
2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：______，那么这个三角形是直角三角形.
命题点一、等腰三角形性质的相关证明与计算
1、（2020福建）如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（　　）
A．10 B．5 C．4 D．3
2、（2020贵州铜仁）已知等边三角形一边上的高为，则它的边长为　　
A．2 B．3 C．4 D．
命题点二、直角三角形性质的相关计算
3、（2020黑龙江大庆）已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m和6，8，n，且这两个直角三角形不相似，则m+n的值为（　　）
A．10+或5+2 B．15 C．10+ D．15+3
4、（2020湖北孝感）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若S1＝S2，则的值为　 　．
5、(2020湖南衡阳)小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线OB与底板的边缘线OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图①）．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点B、O、C在同一直线上，OA＝OB＝24cm，BC⊥AC，∠OAC＝30°．
（1）求OC的长；
（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°，求点B′到AC的距离．（结果保留根号）
基础过关
1、（2020陕西）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　）
A． B． C． D．
2、（2020江苏淮安）已知直角三角形斜边长为16，则这个直角三角形斜边上的中线长为__________．
3、（2020湖北黄冈）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺）这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水池里水的深度是_______________尺．
4、（2020山东滨州）在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A的大小为　 　．
5、（2020青海）已知a，b，c为△ABC的三边长．b，c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|x﹣4|＝2的解，则△ABC的形状为　 　三角形．
6、（2020上海）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么井深为　 　米．
7、（2020浙江台州）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是　 　．
8、（2020江苏苏州）如图，在△ABC中，已知AB＝2，AD⊥BC，垂足为D，BD＝2CD．若E是AD的中点，则EC＝　 　．
9、（2020浙江绍兴）如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中（纸片在结合部分不重叠无缝隙），则图2中阴影部分面积为　　．
10、（2020湖南娄底）由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积等于小正方形的面积与4个直角三角形的面积的和证明了勾股定理，还可以用来证明结论：若、且为定值，则当_______时，取得最大值．
12、（2020广东广州）已知关于x、y的方程组与的解相同．
（1）求a、b的值；
（2）若一个三角形的一条边的长为2，另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b=0的解，试判断该三角形的形状，并说明理由．
13、（2020江苏淮安）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为、、，测得，，千米，求、两点间的距离．（参考数据：，，结果精确到1千米）．
能力提升
14、（2020江苏南通）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（　　）
A． B．2 C．2 D．3
15、（2020浙江宁波）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，F为DE中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
16、（2020浙江绍兴）如图，等腰直角三角形中，，，将绕点顺时针旋转，得到，连结，过点作交的延长线于点，连结，则的度数　　
A．随着的增大而增大 B．随着的增大而减小
C．不变 D．随着的增大，先增大后减小
17、（2020江苏徐州）如图，，在上截取．过点作，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；过点作，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；按此规律，所得线段的长等于_______．
18、（2020辽宁）如图，在Rt△ABC中，CA＝CB，M是AB的中点，点D在BM上，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EM．则下列结论中：
①BF＝CE；②∠AEM＝∠DEM；③AE﹣CE=ME；
④DE2+DF2＝2DM2；⑤若AE平分∠BAC，则EF：BF=：1；⑥CF DM＝BM DE，
正确的有　 　．（只填序号）
19、（2020内蒙古鄂尔多斯）如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，连接AD，BE交于点F，连接CF，则CF的最小值是　 　．
20、（2020黑龙江牡丹）在等腰△ABC中，AB＝BC，点D，E在射线BA上，BD＝DE，过点E作EF∥BC，交射线CA于点F．请解答下列问题：
（1）当点E在线段AB上，CD是△ACB的角平分线时，如图①，求证：AE+BC＝CF；（提示：延长CD，FE交于点M．）
（2）当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时，如图②；当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的外角平分线时，如图③，请直接写出线段AE，BC，CF之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）、（2）的条件下，若DE＝2AE＝6，则CF＝　 ．
创新思维
21、（2020浙江台州）把一张宽为1cm的长方形纸片ABCD折叠成如图所示的阴影图案，顶点A，D互相重合，中间空白部分是以E为直角顶点，腰长为2cm的等腰直角三角形，则纸片的长AD（单位：cm）为（　　）
A．7+3 B．7+4 C．8+3 D．8+4
22、（2020河北）如图，从笔直的公路旁一点出发，向西走到达；从出发向北走也到达．下列说法错误的是（ ）
A. 从点向北偏西45°走到达 B. 公路的走向是南偏西45°
C. 公路的走向是北偏东45° D. 从点向北走后，再向西走到达
23、（2020浙江绍兴）将两条邻边长分别为，1的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片（无余纸片），各种剪法剪出的等腰三角形中，其中一个等腰三角形的腰长可以是下列数中的_________（填序号）．
①，②1，③，④，⑤．
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24.4等腰三角形及直角三角形
一、等腰三角形
1、等腰三角形的性质:等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）
推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边.即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合.（三线合一）
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°.
2、等腰三角形的判定:如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）.
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形
推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
3、是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在的直线就是它的对称轴。
二、等边三角形
1、定义:三条边都相等的三角形是等边三角形.
2、性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
3、判定:（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
三、直角三角形
1、定义：有一个角是直角的三角形叫作直角三角形
2、性质：（1）直角三角形两锐角互余.
（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
（4）勾股定理：若直角三角形的两直角边为a,b，斜边为c则有：a2+b2=c2
3、判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形.
（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
(3)有一个角是900
（4）若a2+b2=c2则以a,b，c为边的三角形是直角三角形。
四、勾股定理及逆定理
1、勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2;
2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
命题点一、等腰三角形性质的相关证明与计算
1、（2020福建）如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（　　）
A．10 B．5 C．4 D．3
解：∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，
∴CD＝5．
故选：B．
2、（2020贵州铜仁）已知等边三角形一边上的高为，则它的边长为　　
A．2 B．3 C．4 D．
解：根据等边三角形：三线合一，
设它的边长为，可得：，
解得：，（舍去），
故选：．
命题点二、直角三角形性质的相关计算
3、（2020黑龙江大庆）已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m和6，8，n，且这两个直角三角形不相似，则m+n的值为（　　）
A．10+或5+2 B．15 C．10+ D．15+3
解：当3，4为直角边，6，8也为直角边时，此时两三角形相似，不合题意；
当3，4为直角边，m＝5；则8为另一三角形的斜边，其直角边为：＝2，
故m+n＝5+2；
当6，8为直角边，n＝10；则4为另一三角形的斜边，其直角边为：＝，
故m+n＝10+；
故选：A．
4、（2020湖北孝感）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若S1＝S2，则的值为　 　．
解：设直角三角形另一条直角边为x，依题意有
2x2＝m2，
解得x＝m，
由勾股定理得（m）2+（n+m）2＝m2，
m2﹣2mn﹣2n2＝0，
解得m1＝（﹣1﹣）n（舍去），m2＝（﹣1+）n，
则的值为．
故答案为：．
5、(2020湖南衡阳)小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线OB与底板的边缘线OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图①）．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点B、O、C在同一直线上，OA＝OB＝24cm，BC⊥AC，∠OAC＝30°．
（1）求OC的长；
（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°，求点B′到AC的距离．（结果保留根号）
【分析】（1）解Rt△AOC即可求出OC的长；
（2）求出∠B′OE＝60°，在Rt△△B′OE中求出B′E，进而求出B′D．
解：（1）如图③，在Rt△AOC中，OA＝24，∠OAC＝30°．
∴OC＝OA＝×24＝12（cm）；
（2）如图④，过点B′作B′D⊥AC，垂足为D，过点O作OE⊥B′D，垂足为E，
由题意得，OA＝OB′＝24，
当显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°，看可得，∠AOB′＝150°
∴∠B′OE＝60°，
∵∠ACO＝∠B′EO＝90°，
∴在Rt△△B′OE中，OE=12。则B′E＝＝12，
又∵OC＝DE＝12，
∴B′D＝B′E+DE＝12+12，
即：点B′到AC的距离为（12+12）cm．
基础过关
1、（2020陕西）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：由勾股定理得：AC＝＝，
∵S△ABC＝3×3﹣＝3.5，
∴，
∴，
∴BD＝，
故选：D．
2、（2020江苏淮安）已知直角三角形斜边长为16，则这个直角三角形斜边上的中线长为__________．
【答案】8.
【解析】
【分析】
直接根据直角三角形斜边中线定理可以得出本题答案.
【详解】∵直角三角形斜边的长为16，
∴直角三角形斜边上中线长是：，
故答案为：8.
【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边中线定理，熟记定理即可得出答案.
3、（2020湖北黄冈）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺）这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水池里水的深度是_______________尺．
【答案】12
【解析】
【分析】
首先设水池的深度为x尺，则这根芦苇的长度为（x+1）尺，根据勾股定理可得方程x2+52=（x+1）2即可．
【详解】设这个水池深x尺，
由题意得，x2+52=（x+1）2，
解得：x=12
答：这个水池深12尺．
故答案为：12．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
4、（2020山东滨州）在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A的大小为　80°　．
【分析】根据等腰三角形两底角相等可求∠C，再根据三角形内角和为180°列式进行计算即可得解．
解：∵AB＝AC，∠B＝50°，
∴∠C＝∠B＝50°，
∴∠A＝180°﹣2×50°＝80°．
故答案为：80°．
5、（2020青海）已知a，b，c为△ABC的三边长．b，c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|x﹣4|＝2的解，则△ABC的形状为　等腰　三角形．
【分析】利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出b，c的值，进而利用三角形三边关系得出a的值，进而判断出其形状．
解：∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，
∴b﹣2＝0，c﹣3＝0，
解得：b＝2，c＝3，
∵a为方程|a﹣4|＝2的解，
∴a﹣4＝±2，
解得：a＝6或2，
∵a、b、c为△ABC的三边长，b+c＜6，
∴a＝6不合题意，舍去，
∴a＝2，
∴a＝b＝2，
∴△ABC是等腰三角形，
故答案为：等腰．
6、（2020上海）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么井深为　7　米．
解：，，
，
，
，
，
（米，
答：井深为7米．
7、（2020浙江台州）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是　6　．
【分析】根据三等分点的定义可求EF的长，再根据等边三角形的判定与性质即可求解．
解：∵等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点，
∴EF＝2，
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴△DEF是等边三角形，
∴剪下的△DEF的周长是2×3＝6．
故答案为：6．
8、（2020江苏苏州）如图，在△ABC中，已知AB＝2，AD⊥BC，垂足为D，BD＝2CD．若E是AD的中点，则EC＝　1　．
【分析】设AE＝ED＝x，CD＝y，根据勾股定理即可求出答案．
解：设AE＝ED＝x，CD＝y，
∴BD＝2y，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD中，
∴AB2＝4x2+4y2，
∴x2+y2＝1，
在Rt△CDE中，
∴EC2＝x2+y2＝1，
∴EC＝1，
故答案为：1
9、（2020浙江绍兴）如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中（纸片在结合部分不重叠无缝隙），则图2中阴影部分面积为　　．
解：由题意可得，
直角三角形的斜边长为3，一条直角边长为2，
故直角三角形的另一条直角边长为：，
故阴影部分的面积是：，
故答案为：．
10、（2020湖南娄底）由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积等于小正方形的面积与4个直角三角形的面积的和证明了勾股定理，还可以用来证明结论：若、且为定值，则当_______时，取得最大值．
【答案】=
【解析】
【分析】
设为定值，则，先根据“张爽弦图”得出，再利用平方数的非负性即可得．
【详解】设为定值，则
由“张爽弦图”可知，
即
要使的值最大，则需最小
又
当时，取得最小值，最小值为0
则当时，取得最大值，最大值为
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、平方数的非负性，掌握勾股定理是解题关键．
11、（2020广东广州）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边上的点，BD=CE，∠ABE=∠ACD，BE与CD相交于点F．求证：△ABC是等腰三角形．
【答案】
证明：
∵BD=CE，∠ABE=∠ACD，∠DFB=∠CFE
∴△BFDF≌△CFE（AAS）
∴∠DBF=∠ECF
∵∠DBF+∠ABE=∠ECF+∠ACD
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC
∴△ABC是等腰三角形
【解析】等式的性质、等角对等边
【考点】全等三角形的判定方法、等腰三角形的判定方法
12、（2020广东广州）已知关于x、y的方程组与的解相同．
（1）求a、b的值；
（2）若一个三角形的一条边的长为2，另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b=0的解，试判断该三角形的形状，并说明理由．
【答案】
解：
由题意得，解得
由，解得
（2）该三角形的形状是等腰直角三角形，理由如下：
由（1）得x2﹣4x+12=0
（x-）2=0
x1=x2=
∴该三角形的形状是等腰三角形
∵（2）2=24，（）2=12
∴（2）2=（）2+（）2
∴该三角形的形状是等腰直角三角形
13、（2020江苏淮安）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为、、，测得，，千米，求、两点间的距离．（参考数据：，，结果精确到1千米）．
【答案】、两点间的距离约为11千米．
【解析】
【分析】
如图（见解析），先根据直角三角形的性质、勾股定理可求出CD、AD的长，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得BD的长，然后根据线段的和差即可得．
【详解】如图，过点C作于点D
在中，，千米
（千米），（千米）
在中，
是等腰直角三角形
千米
（千米）
答：、两点间的距离约为11千米．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．
能力提升
14、（2020江苏南通）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（　　）
A． B．2 C．2 D．3
解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△AHB中，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴BH＝1，AH＝，
在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，
∴AC＝＝＝，
∵点D为BC中点，
∴BD＝CD，
在△BFD与△CKD中，
，
∴△BFD≌△CKD（AAS），
∴BF＝CK，
延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，
可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，
在Rt△ACN中，AN＜AC，
当直线l⊥AC时，最大值为，
综上所述，AE+BF的最大值为．
故选：A．
15、（2020浙江宁波）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，F为DE中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【分析】利用勾股定理求得AB＝10；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度；结合题意知线段BF是△CDE的中位线，则BF＝CD．
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10．
又∵CD为中线，
∴CD＝AB＝5．
∵F为DE中点，BE＝BC即点B是EC的中点，
∴BF是△CDE的中位线，则BF＝CD＝2.5．
故选：B．
16、（2020浙江绍兴）如图，等腰直角三角形中，，，将绕点顺时针旋转，得到，连结，过点作交的延长线于点，连结，则的度数　　
A．随着的增大而增大 B．随着的增大而减小
C．不变 D．随着的增大，先增大后减小
解：将绕点顺时针旋转，得到，
，
，，
，，，
，
，
，
的度数是定值，
故选：．
17、（2020江苏徐州）如图，，在上截取．过点作，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；过点作，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；按此规律，所得线段的长等于_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据已知条件先求出的长，再根据外角，直角算出△是等边三角形，同理可得出其他等边三角形，即可求出答案．
【详解】∵，，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴△是等边三角形
∴
∴是等边三角形
∴
同理可得 是等边三角形
∴
【点睛】本题考查了直角三角形计算，等腰三角形性质等知识点，发现线段之间的规律是解题关键．
18、（2020辽宁）如图，在Rt△ABC中，CA＝CB，M是AB的中点，点D在BM上，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EM．则下列结论中：
①BF＝CE；
②∠AEM＝∠DEM；
③AE﹣CEME；
④DE2+DF2＝2DM2；
⑤若AE平分∠BAC，则EF：BF：1；
⑥CF DM＝BM DE，
正确的有　①②③④⑤⑥　．（只填序号）
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠BCF+∠ACE＝90°，
∵∠BCF+∠CBF＝90°，
∴∠ACE＝∠CBF，
又∵∠BFD＝90°＝∠AEC，AC＝BC，
∴△BCF≌△CAE（AAS），
∴BF＝CE，故①正确；
由全等可得：AE＝CF，BF＝CE，
∴AE﹣CE＝CF＝CE＝EF，
连接FM，CM，
∵点M是AB中点，
∴CM=AB＝BM＝AM，CM⊥AB，
在△BDF和△CDM中，∠BFD＝∠CMD，∠BDF＝∠CDM，
∴∠DBF＝∠DCM，
又BM＝CM，BF＝CE，
∴△BFM≌△CEM（SAS），
∴FM＝EM，∠BMF＝∠CME，
∵∠BMC＝90°，
∴∠EMF＝90°，即△EMF为等腰直角三角形，
∴EF=EM＝AE﹣CE，故③正确，∠MEF＝∠MFE＝45°，
∵∠AEC＝90°，
∴∠MEF＝∠AEM＝45°，故②正确，
设AE与CM交于点N，连接DN，
∵∠DMF＝∠NME，FM＝EM，∠DFM＝∠DEM＝∠AEM＝45°，
∴△DFM≌△NEM（ASA），
∴DF＝EN，DM＝MN，
∴△DMN为等腰直角三角形，
∴DN=DM，而∠DEA＝90°，
∴DE2+DF2＝DN2＝2DM2，故④正确；
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝45°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠CAE＝22.5°，∠ADE＝67.5°，
∵∠DEM＝45°，
∴∠EMD＝67.5°，即DE＝EM，
∵AE＝AE，∠AED＝∠AEC，∠DAE＝∠CAE，
∴△ADE≌△ACE（ASA），
∴DE＝CE，
∵△MEF为等腰直角三角形，
∴EF=EM，
∴，故⑤正确；
∵∠CDM＝∠ADE，∠CMD＝∠AED＝90°，
∴△CDM∽ADE，
∴，
∵BM＝CM，AE＝CF，
∴，
∴CF DM＝BM DE，故⑥正确；
故答案为：①②③④⑤⑥．
19、（2020内蒙古鄂尔多斯）如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，连接AD，BE交于点F，连接CF，则CF的最小值是　2　．
【分析】首先证明∠AFB＝120°，推出点F的运动轨迹是O为圆心，OA为半径的弧上运动（∠AOB＝120°，OA＝2），连接OC交⊙O于N，当点F与N重合时，CF的值最小．
【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，
∵BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS）
∴∠BAD＝∠CBE，
又∵∠AFE＝∠BAD+∠ABE，
∴∠AFE＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC，
∴∠AFE＝60°，
∴∠AFB＝120°，
∴点F的运动轨迹是O为圆心，OA为半径的弧上运动（∠AOB＝120°，OA＝2），
连接OC交⊙O于N，当点F与N重合时，CF的值最小，最小值＝OC﹣ON＝4﹣2＝2．
故答案为2．
20、（2020黑龙江牡丹）在等腰△ABC中，AB＝BC，点D，E在射线BA上，BD＝DE，过点E作EF∥BC，交射线CA于点F．请解答下列问题：
（1）当点E在线段AB上，CD是△ACB的角平分线时，如图①，求证：AE+BC＝CF；（提示：延长CD，FE交于点M．）
（2）当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时，如图②；当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的外角平分线时，如图③，请直接写出线段AE，BC，CF之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）、（2）的条件下，若DE＝2AE＝6，则CF＝　18或6　．
【解答】解：（1）如图①，延长CD，FE交于点M．
∵AB＝BC，EF∥BC，
∴∠A＝∠BCA＝∠EFA，
∴AE＝EF，
∴MF∥BC，
∴∠MED＝∠B，∠M＝∠BCD，
又∵∠FCM＝∠BCM，
∴∠M＝∠FCM，
∴CF＝MF，
又∵BD＝DE，
∴△MED≌△CBD（AAS），
∴ME＝BC，
∴CF＝MF＝ME+EF＝BC+AE，
即AE+BC＝CF；
（2）当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时，BC＝AE+CF，
如图②，延长CD，EF交于点M．
由①同理可证△MED≌△CBD（AAS），
∴ME＝BC，
由①证明过程同理可得出MF＝CF，AE＝EF，
∴BC＝ME＝EF+MF＝AE+CF；
当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的外角平分线时，AE＝CF+BC．
如图③，延长CD交EF于点M，
由上述证明过程易得△MED≌△CBD（AAS），BC＝EM，CF＝FM，
又∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠CAB＝∠FAE，
∵EF∥BC，
∴∠F＝∠FCB，
∴EF＝AE，
∴AE＝FE＝FM+ME＝CF+BC；
（3）CF＝18或6，
当DE＝2AE＝6时，图①中，由（1）得：AE＝3，BC＝AB＝BD+DE+AE＝15，
∴CF＝AE+BC＝3+15＝18；
图②中，由（2）得：AE＝AD＝3，BC＝AB＝BD+AD＝9，
∴CF＝BC﹣AE＝9﹣3＝6；
图③中，DE小于AE，故不存在．
故答案为18或6．
创新思维
21、（2020浙江台州）把一张宽为1cm的长方形纸片ABCD折叠成如图所示的阴影图案，顶点A，D互相重合，中间空白部分是以E为直角顶点，腰长为2cm的等腰直角三角形，则纸片的长AD（单位：cm）为（　　）
A．7+3 B．7+4 C．8+3 D．8+4
【分析】如图，过点M作MH⊥A′R于H，过点N作NJ⊥A′W于J．想办法求出AR，RM，MN，NW，WD即可解决问题．
解：如图，过点M作MH⊥A′R于H，过点N作NJ⊥A′W于J．
由题意△EMN是等腰直角三角形，EM＝EN＝2，MN＝2，
∵四边形EMHK是矩形，
∴EK＝A′K＝MH＝1，KH＝EM＝2，
∵△RMH是等腰直角三角形，
∴RH＝MH＝1，RM＝，同法可证NW＝，
由题意AR＝RA′＝A′W＝WD＝4，
∴AD＝AR+RM+MN+NW+DW＝4++2++4＝8+4，
故选：D．
22、（2020河北）如图，从笔直的公路旁一点出发，向西走到达；从出发向北走也到达．下列说法错误的是（ ）
A. 从点向北偏西45°走到达
B. 公路的走向是南偏西45°
C. 公路的走向是北偏东45°
D. 从点向北走后，再向西走到达
【答案】A
【解析】
【分析】
根据方位角定义及勾股定理逐个分析即可．
【详解】解：如图所示，过P点作AB的垂线PH，
选项A：∵BP=AP=6km，且∠BPA=90°，∴△PAB为等腰直角三角形，∠PAB=∠PBA=45°，
又PH⊥AB，∴△PAH为等腰直角三角形，
∴PH=km，故选项A错误；
选项B：站在公路上向西南方向看，公路的走向是南偏西45°，故选项B正确；
选项C：站在公路上向东北方向看，公路的走向是北偏东45°，故选项C正确；
选项D：从点向北走后到达BP中点E，此时EH为△PEH的中位线，故EH=AP=3，故再向西走到达，故选项D正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了方位角问题及等腰直角三角形、中位线等相关知识点，方向角一般以观测者的位置为中心，所以观测者不同，方向就正好相反，但角度不变．
23、（2020浙江绍兴）将两条邻边长分别为，1的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片（无余纸片），各种剪法剪出的等腰三角形中，其中一个等腰三角形的腰长可以是下列数中的　①②③④　（填序号）．
①，②1，③，④，⑤．
解：如图所示：
则其中一个等腰三角形的腰长可以是①，②1，③，④，不可以是．
故答案为：①②③④．
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