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4.5相似三角形
一、比例线段
1、线段的比：两条线段长度的______，叫作这两条线段的比.
2、比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外______线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.当比例中两个比例内项相等，即比例a：b=b：c时，我们把b叫做a和d的______.
3、比例的性质
（1）
（2）
（3）
4、黄金分割：把一条线段AB分割成两条线段，使其中较长线段AC是原线段AB与较短线BC的比例_____，即，这种线段分割叫作黄金分割.
一条线段的黄金分割点有_____个.
注意：
.
5、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成____.
二、相似
1、相似三角形：对应角_____、对应边_____的三角形叫做相似三角形.相似三角形的对应边的比，叫做两个相似三角形的______．
2、相似三角形的判定
（1）平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形______；
（2）三边对应_______或两边对应成比例且夹角_______或两角对应_______的两个三角形相似；
（3）两个直角三角形的斜边和一条直角边对应_______，两直角三角形相似；
注意：直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形和_______相似．
3、相似三角形性质：相似三角形的对应角_______，对应边_______，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于_______，周长比等于_______，_______等于相似比的平方．
4．相似多边形的性质
（1）相似多边形_______相等，对应边_______．
（2）相似多边形周长之比等于_______，面积之比等于相似比的_______．
三、位似图形
1、定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于_______，这样的图形叫做位似图形．这个点叫做位似_______．
2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的_______等于位似比．
四、实际应用的解题步骤
1、将实际应用转化为相似三角形问题
2、找出一对相似三角形
3、根据相似三角形的性质，表示出相应的量并求解
如：同一时刻，物长与影长成正比即：
命题点一、相似三角形的判定及性质
1、（2020四川成都
）如图，直线∥∥，直线和被所截，AB=5，BC=6，EF=4，则DE的长为（
）
A.2
B.3
C.4
D.
2、（2020甘肃金昌）生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为（　　）
A．1.24米
B．1.38米
C．1.42米
D．1.62米
3、（2020贵州铜仁）已知，它们的周长分别为30和15，且，则的长为　　
A．3
B．2
C．4
D．5
4、（2019安徽）如图，在中，，，，点在边上，点在线段上，于点，交于点．若，则的长为　　
A．3.6
B．4
C．4.8
D．5
5、（2020江苏南通）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于　
　．
命题点二、相似三角形的应用
6、（2020贵州毕节）下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是（　　）
A．
B．
C．
D．
7、（广西北海）如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（　　）
A．15
B．20
C．25
D．30
基础过关
1、(2020山西)泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。金字塔的影长，推算出金字塔的高度。这种测量原理，就是我们所学的（
）
A.
图形的平移
B.
图形的旋转
C.
图形的轴对称
D.
图形的相似
2、（2019?河北）如图，从点C观测点D的仰角是（　　）
A．∠DAB
B．∠DCE
C．∠DCA
D．∠ADC
3、（2019重庆b卷）下列命题是真命题的是　　
A．如果两个三角形相似，相似比为，那么这两个三角形的周长比为
B．如果两个三角形相似，相似比为，那么这两个三角形的周长比为
C．如果两个三角形相似，相似比为，那么这两个三角形的面积比为
D．如果两个三角形相似，相似比为，那么这两个三角形的面积比为
4、（2020四川内江）如图，在中，D、E分别是AB和AC的中点，，则（　
　）
A.
30
B.
25
C.
22．5
D.
20
5、（2020海南）如图，在?ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（　　）
A．16
B．17
C．24
D．25
6、(2020黑龙江哈尔滨)如图，在中，点在边上，连接，点在边上，过点作，交于点，过点作，交于点，则下列式子一定正确的是　　
A．
B．
C．
D．
7、（2020湖南郝洲）平面直角坐标系中，将以点为位似中心，为位似比作位似变换，得到．已知，则点的坐标是__________．
8、（2019广西百色）如图，与△是以坐标原点为位似中心的位似图形，若点，，，，则△的面积为　
　．
9、（2020江苏盐城）如图，且，则的值为_________________．
能力提升
10、（2019四川凉山）如图，在中，在边上，，是的中点，连接并延长交于，则　　
A．
B．
C．
D．
11、（2020四川宜宾）在直角三角形ABC中，是AB的中点，BE平分交AC于点E连接CD交BE于点O，若，则OE的长是________．
12、（2020山西）如图，在中，，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为_______．
13、（2020山东枣庄）在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中线，AC＝BC，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N．
（1）如图1，若CE＝CF，求证：DE＝DF；
（2）如图2，在∠EDF绕点D旋转的过程中，试证明CD2＝CE?CF恒成立；
（3）若CD＝2，CF＝，求DN的长．
14、（2020四川眉山）如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点B、C、E三点在同一直线上，连接BD，AD，BD交AC于点F．
（1）若AD2＝DF?DB，求证：AD＝BF；
（2）若∠BAD＝90°，BE＝6．
①求tan∠DBE的值；②求DF的长．
15、（2019浙江台州）如图，直线，，，分别为直线，，上的动点，连接，，，线段交直线于点．设直线，之间的距离为，直线，之间的距离为，若，，且，则的最大值为　　．
16、（2020江苏南京）如图，在和△中，、分别是、上一点，．
（1）当时，求证△．
证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．
（2）当时，判断与△是否相似，并说明理由．
创新思维
17、（2020云南昆明）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有（　　）
A．4个
B．5个
C．6个
D．7个
18、（2020浙江湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知是网格图形中的格点三角形，则该图中所有与相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是　_____．
19、（2019上海）如图1，、分别是的内角、的平分线，过点作，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）如图2，如果，且，求的值；
（3）如果是锐角，且与相似，求的度数，并直接写出的值．
20、（2020江苏徐州）我们知道：如图①，点把线段分成两部分，如果．那么称点为线段的黄金分割点．它们的比值为．
（1）在图①中，若，则的长为_____；
（2）如图②，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点，得折痕．试说明是的黄金分割点；
（3）如图③，小明进一步探究：在边长为的正方形的边上任取点，连接，作，交于点，延长、交于点．他发现当与满足某种关系时、恰好分别是、的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．
21、（2020北武汉）问题背景：如图（1），已知，求证：；
尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点．点在边上，，求的值；
拓展创新：如图（3），是内一点，，，，，直接写出的长．
知识回顾
真题在线
分层精练
24.5相似三角形
一、比例线段
1、线段的比：两条线段长度的比，叫作这两条线段的比.
2、比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.当比例中两个比例内项相等，即比例a：b=b：c时，我们把b叫做a和d的比例中项.
3、比例的性质
（1）
（2）
（3）
4、黄金分割：把一条线段AB分割成两条线段，使其中较长线段AC是原线段AB与较短线BC的比例中项，即，这种线段分割叫作黄金分割.
一条线段的黄金分割点有两个.
注意：
.
5、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
二、相似
1、相似三角形：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形的对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比．
2、相似三角形的判定
（1）平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形相似；
（2）三边对应成比例或两边对应成比例且夹角相等或两角对应相等的两个三角形相似；
（3）两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似；
注意：直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形和原三角形相似．
3、相似三角形性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
4．相似多边形的性质
（1）相似多边形对应角相等，对应边成比例．
（2）相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
三、位似图形
1、定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形．这个点叫做位似中心．
2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
四、实际应用的解题步骤
1、将实际应用转化为相似三角形问题
2、找出一对相似三角形
3、根据相似三角形的性质，表示出相应的量并求解
如：同一时刻，物长与影长成正比即：
命题点一、相似三角形的判定及性质
1、（2020四川成都
）如图，直线∥∥，直线和被所截，AB=5，BC=6，EF=4，则DE的长为（
）
A.2
B.3
C.4
D.
【解析】由平行线分线段成比例，得，故选D
2、（2020甘肃金昌）生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为（　　）
A．1.24米
B．1.38米
C．1.42米
D．1.62米
【分析】根据雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，因为图中b为2米，即可求出a的值．
解：∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，
∴＝0.618，
∵b为2米，
∴a约为1.24米．
故选：A．
3、（2020贵州铜仁）已知，它们的周长分别为30和15，且，则的长为　　
A．3
B．2
C．4
D．5
解：和的周长分别为30和15，
和的周长比为，
，
，即，
解得，，
故选：．
4、（2019安徽）如图，在中，，，，点在边上，点在线段上，于点，交于点．若，则的长为　　
A．3.6
B．4
C．4.8
D．5
【考点】相似三角形的判定与性质
【分析】根据题意和三角形相似的判定和性质，可以求得的长，本题得以解决．
【解答】解：作交于点，则，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，，
，
，，，
，
，
，
即，
解得，，
，
故选：．
5、（2020江苏南通）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于　
　．
解：∵，
，
，
∴，
∴△ABC∽△DEF，
∴，
故答案为：．
命题点二、相似三角形的应用
6、（2020贵州毕节）下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据平行投影得特点，利用两小树的影子的方向相反可对A、B进行判断；利用在同一时刻阳光下，树高与影子成正比可对C、D进行判断．
解：A、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以A选项错误；
B、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以B选项错误；
C、在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以C选项正确．
D、图中树高与影子成反比，而在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以D选项错误；
故选：C．
7、（广西北海）如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（　　）
A．15
B．20
C．25
D．30
解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，
∵四边EFGH是正方形，
∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD是△ABC的高，
∴∠HDN＝90°，
∴四边形EHDN是矩形，
∴DN＝EH＝x，
∵△AEF∽△ABC，
∴＝（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），
∵BC＝120，AD＝60，
∴AN＝60﹣x，
∴＝，
解得：x＝40，
∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20．
故选：B．
基础过关
1、(2020山西)泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。金字塔的影长，推算出金字塔的高度。这种测量原理，就是我们所学的（
）
A.
图形的平移
B.
图形的旋转
C.
图形的轴对称
D.
图形的相似
【答案】D
【解析】
【分析】
根据在同一时刻的太阳光下物体的影长和物体的实际高度成比例即可判断；
【详解】根据题意画出如下图形：可以得到，则
即为金字塔的高度，即为标杆的高度，通过测量影长即可求出金字塔的高度
故选：D.
【点睛】本题主要考查将实际问题数学化，根据实际情况画出图形即可求解.
2、（2019?河北）如图，从点C观测点D的仰角是（　　）
A．∠DAB
B．∠DCE
C．∠DCA
D．∠ADC
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．版权所有
【分析】根据仰角的定义进行解答便可．
【解答】解：∵从点C观测点D的视线是CD，水平线是CE，
∴从点C观测点D的仰角是∠DCE，
故选：B．
3、（2019重庆b卷）下列命题是真命题的是　　
A．如果两个三角形相似，相似比为，那么这两个三角形的周长比为
B．如果两个三角形相似，相似比为，那么这两个三角形的周长比为
C．如果两个三角形相似，相似比为，那么这两个三角形的面积比为
D．如果两个三角形相似，相似比为，那么这两个三角形的面积比为
【分析】根据相似三角形的性质分别对每一项进行分析即可．
【解答】解：、如果两个三角形相似，相似比为，那么这两个三角形的周长比为，是假命题；
、如果两个三角形相似，相似比为，那么这两个三角形的周长比为，是真命题；
、如果两个三角形相似，相似比为，那么这两个三角形的面积比为，是假命题；
、如果两个三角形相似，相似比为，那么这两个三角形的面积比为，是假命题；
故选：．
4、（2020四川内江）如图，在中，D、E分别是AB和AC的中点，，则（　
　）
A.
30
B.
25
C.
22．5
D.
20
【答案】D
【解析】
【分析】
首先判断出△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出△ABC的面积．
【详解】解：根据题意，点D和点E分别是AB和AC的中点，则DE∥BC且DE=BC，故可以判断出△ADE∽△ABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知：=1：4，则：=3：4，题中已知，故可得=5，=20
故本题选择D
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出DE是中位线，从而判断△ADE∽△ABC，然后掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解本题．
5、（2020海南）如图，在?ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（　　）
A．16
B．17
C．24
D．25
解：∵在?ABCD中，CD＝AB＝10，BC＝AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF，
∴∠BAF＝∠F，
∴∠DAF＝∠F，
∴DF＝AD＝15，
同理BE＝AB＝10，
∴CF＝DF﹣CD＝15﹣10＝5；
∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝10，BG＝8，可得：AG＝6，
∴AE＝2AG＝12，
∴△ABE的周长等于10+10+12＝32，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴△CEF∽△BEA，相似比为5：10＝1：2，
∴△CEF的周长为16．
故选：A．
6、(2020黑龙江哈尔滨)如图，在中，点在边上，连接，点在边上，过点作，交于点，过点作，交于点，则下列式子一定正确的是　　
A．
B．
C．
D．
解：，
，
，
，
，
故选：．
7、（2020湖南郝洲）平面直角坐标系中，将以点为位似中心，为位似比作位似变换，得到．已知，则点的坐标是__________．
【答案】．
【解析】
【分析】
直接利用位似图形的性质进而得出对应点坐标即可．
【详解】解：∵将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，A（2，3），
∴点A1的坐标是：，
即A1．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
8、（2019广西百色）如图，与△是以坐标原点为位似中心的位似图形，若点，，，，则△的面积为　18　．
【考点】位似变换；坐标与图形性质
【分析】直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．
【解答】解：与△是以坐标原点为位似中心的位似图形，点，，，，
，，
△的面积为：．
故答案为：18．
9、（2020江苏盐城）如图，且，则的值为_________________．
【答案】
【解析】
【分析】
设AB=a，根据得到△ABC∽△ADE，得到对应线段成比例即可求出AB,再根据相似比的定义即可求解．
【详解】∵
∴△ABC∽△ADE，
∴
设AB=a,则DE=10-a
故
解得a1=2,a2=8
∵
∴AB=2，
故
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查相似三角形性质与判定，解题的关键是熟知得到对应线段成比例．
能力提升
10、（2019四川凉山）如图，在中，在边上，，是的中点，连接并延长交于，则　　
A．
B．
C．
D．
【考点】：平行线分线段成比例
【分析】过作的平行线交与，由中位线的知识可得出，根据已知和平行线分线段成比例得出，，，再由同高不同底的三角形中底与三角形面积的关系可求出的比．
【解答】解：如图，过作，交于，
是的中点，
是的中点．
又，
，
，，
设，，又，
，，
，
，，
，，
故选：．
11、（2020四川宜宾）在直角三角形ABC中，是AB的中点，BE平分交AC于点E连接CD交BE于点O，若，则OE的长是________．
【答案】
【解析】
【分析】
过E点作EG⊥AB于G点，根据三角形面积公式求出CE=EG=3，延长CD交过B作BF⊥BC于F，可得△ACD≌△BFD，得到BF=8,再根据△CEO∽△FBO，找到比例关系得到EO=BE，再求出BE即可求解．
【详解】过E点作EG⊥AB于G点，
∵BE平分
∴CE=EG,
设CE=EG=x,
∵,
∴AB=
∵S△ABC=
S△ABE+S△BCE，
故
即
解得x=3
∴CE=3,
延长CD交过B作BF⊥BC于F，
∵D是AB中点
∴AD=BD
又AC∥BF
∴∠A=∠DBF,由∠ADC=∠DBF
∴△ACD≌△BFD，
∴BF=AC=8,
∵AC∥BF
∴△CEO∽△FBO，
∴
∴EO=BE=×=，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定、角平分线的性质及相似三角形的判定与性质．
12、（2020山西）如图，在中，，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
过点F作FH⊥AC于H，则∽，设FH为x，由已知条件可得，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得到关于x的方程，解方程求出x的值，利用即可得到DF的长．
【详解】如解图，过点作于，
∵，
∴，
∴，
∵，点是的中点，
∴，
∵，
∴∽
∴
∴，
设为，则，由勾股定理得，
又∵，
∴，
则，
∵且，
∴∽，
∴，
即，
解得，
∴．
∵
∴
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了相似的判定和性质、以及勾股定理的运用，解题的关键是作垂直，构造相似三角形．
13、（2020山东枣庄）在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中线，AC＝BC，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N．
（1）如图1，若CE＝CF，求证：DE＝DF；
（2）如图2，在∠EDF绕点D旋转的过程中，试证明CD2＝CE?CF恒成立；
（3）若CD＝2，CF＝，求DN的长．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠ACD＝∠BCD＝45°，证明△DCF≌△DCE，根据全等三角形的对应边相等证明结论；
（2）证明△FCD∽△DCE，根据相似三角形的性质列出比例式，整理即可证明结论；
（3）作DG⊥BC，根据等腰直角三角形的性质求出DG，由（2）的结论求出CE，证明△ENC∽△DNG，根据相似三角形的性质求出NG，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CD是中线，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∠ACF＝∠BCE＝90°，
∴∠DCF＝∠DCE＝135°，
在△DCF和△DCE中，
，
∴△DCF≌△DCE（SAS）
∴DE＝DF；
（2）证明：∵∠DCF＝135°，
∴∠F+∠CDF＝45°，
∵∠FDE＝45°，
∴∠CDE+∠CDF＝45°，
∴∠F＝∠CDE，
∵∠DCF＝∠DCE，∠F＝∠CDE，
∴△FCD∽△DCE，
∴＝，
∴CD2＝CE?CF；
（3）解：过点D作DG⊥BC于G，
∵∠DCB＝45°，
∴GC＝GD＝CD＝，
由（2）可知，CD2＝CE?CF，
∴CE＝＝2，
∵∠ECN＝∠DGN，∠ENC＝∠DNG，
∴△ENC∽△DNG，
∴＝，即＝，
解得，NG＝，
由勾股定理得，DN＝＝．
14、（2020四川眉山）如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点B、C、E三点在同一直线上，连接BD，AD，BD交AC于点F．
（1）若AD2＝DF?DB，求证：AD＝BF；
（2）若∠BAD＝90°，BE＝6．
①求tan∠DBE的值；②求DF的长．
【解答】（1）证明：∵AD2＝DF?DB，
∴＝，
∵∠ADF＝∠BDA，
∴△ADF∽△BDA，
∴∠ABD＝∠FAD，
∵△ABC，△DCE都是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝60°，
∴∠ACD＝∠BAF，
∴△ADC≌△BAF（ASA），
∴AD＝BF．
（2）①解：过点D作DG⊥BE于G．
∵∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∵∠ACD＝60°，
∴∠ADC＝90°，
∴DC＝AC，
∴CE＝BC，
∵BE＝6，
∴CE＝2，BC＝4，
∴CG＝EG＝1，BG＝5，DG＝，
∴tan∠DBE＝＝．
②在Rt△BDG中，∵∠BGD＝90°，DG＝，BG＝5，
∴BD＝＝＝2，
∵∠ABC＝∠DCE＝60°，
∴CD∥AB，
∴△CDF∽△ABF，
∴＝＝，
∴＝，
∴DF＝
15、（2019浙江台州）如图，直线，，，分别为直线，，上的动点，连接，，，线段交直线于点．设直线，之间的距离为，直线，之间的距离为，若，，且，则的最大值为　　．
【考点】：平行线之间的距离
【分析】过作于，延长交于，过作于，过作于，设，，，，得到，，根据相似三角形的性质得到，，由，得到，于是得到，然后根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：过作于，延长交于，过作于，过作于，
设，，，，
，
，，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
当最大时，，
，
当时，，
，
的最大值为．
故答案为：．
16、（2020江苏南京）如图，在和△中，、分别是、上一点，．
（1）当时，求证△．
证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．
（2）当时，判断与△是否相似，并说明理由．
【解答】（1）证明：，
，
，
，
△，
，
，
△．
故答案为：，．
（2）如图，过点，分别作，，交于，交于．
，
，
，
同理，，
，
，
，
同理，，
，即，
，
，
，
△，
，
，
，
同理，，
，
，
△．
创新思维
17、（2020云南昆明）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有（　　）
A．4个
B．5个
C．6个
D．7个
【解答】解：如图，
所以使得△ADE∽△ABC的格点三角形一共有6个．
故选：C．
18、（2020浙江湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知是网格图形中的格点三角形，则该图中所有与相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是　　．
解：在中，，，
，，
与相似的格点三角形的两直角边的比值为，
若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在网格图形中，最长线段为，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出，，的三角形，
，
，
，
此时的面积为：，为面积最大的三角形，其斜边长为：．
故答案为：．
19、（2019上海）如图1，、分别是的内角、的平分线，过点作，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）如图2，如果，且，求的值；
（3）如果是锐角，且与相似，求的度数，并直接写出的值．
【考点】相似形综合题
【分析】（1）由题意：，证明即可解决问题．
（2）延长交于点．证明，可得，，由，可得．
（3）因为与相似，，所以中必有一个内角为因为是锐角，推出．接下来分两种情形分别求解即可．
【解答】（1）证明：如图1中，
，
，，
平分，
，同理，
，，
，
．
（2）解：延长交于点．
，
，
平分，
，
，
，
，，
，
．
（3）与相似，，
中必有一个内角为
是锐角，
．
①当时，
，
，
，
，此时．
②当时，，
，
与相似，
，此时．
综上所述，或，或．
20、（2020江苏徐州）我们知道：如图①，点把线段分成两部分，如果．那么称点为线段的黄金分割点．它们的比值为．
（1）在图①中，若，则的长为_____；
（2）如图②，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点，得折痕．试说明是的黄金分割点；
（3）如图③，小明进一步探究：在边长为的正方形的边上任取点，连接，作，交于点，延长、交于点．他发现当与满足某种关系时、恰好分别是、的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）当PB=BC时，、恰好分别是、的黄金分割点，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由黄金比值直接计算即可；
（2）如图，连接GE，设BG=x，则AG=20-x，易证得四边形EFCD是矩形，可求得CE，由折叠知GH=BG=x，CH=BC=20，进而EH=CE-CH，在Rt△GAE和Rt△GHE中由勾股定理得关于x方程，解之即可证得结论；
（3）当PB=BC时，证得Rt△PBF≌Rt△CBF≌Rt△BAE,则有BF=AE，设BF=x，则AF=a-x，由AE∥PB得AE:PB=AF:BF，解得x，即可证得结论．
【详解】（1）AB=×20=（）(cm)，
故答案为：；
（2）如图，连接GE，设BG=x，则GA=20-x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠D=90?，
由折叠性质得：CH=BC=20，GE=BG=x，∠GHC=∠B=90?，AE=ED=10，
在Rt△CDE中，CE=，
∴EH=，
在Rt△GHE中，
在Rt△GAE中，,
∴，
解得：x=，
即，
∴是的黄金分割点；
21、（2020北武汉）问题背景：如图（1），已知，求证：；
尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点．点在边上，，求的值；
拓展创新：如图（3），是内一点，，，，，直接写出的长．
【答案】问题背景：见详解；尝试应用：3；拓展创新：．
【解析】
【分析】
问题背景：通过得到，，再找到相等的角，从而可证；
尝试应用：连接CE，通过可以证得，得到，然后去证，，通过对应边成比例即可得到答案；
拓展创新：在AD的右侧作∠DAE=∠BAC，AE交BD延长线于E，连接CE，通过，，然后利用对应边成比例即可得到答案．
【详解】问题背景：∵，
∴∠BAC=∠DAE，
，
∴∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴；
尝试应用：连接CE，
∵，，
∴，
∴，
∵∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴，
∴，
由于，，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
又∵
∴，
∴；
拓展创新：
如图，在AD的右侧作∠DAE=∠BAC，AE交BD延长线于E，连接CE，
∵∠ADE=∠BAD+∠ABD，∠ABC=∠ABD+∠CBD，，
∴∠ADE=∠ABC，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴，
∴，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴，
∴，
设CD=x，在直角三角形BCD中，由于∠CBD=30°，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，∴
【点睛】本题考查了相似三角形综合问题，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
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