资源简介

4.6解直角三角形
一、锐角三角函数
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b
，AB＝c
（1）正弦：∠A的对边与
的比值是∠A的正弦.
即：
（2）余弦：∠A的
与斜边的比值是∠A的余弦.
即：
（3）正切：∠A的
与
的比值是∠A的正切.
即：
2、锐角三角函数：锐角A的
、
、正切都叫做∠A的锐角三角函数
二、三角函数值
1、特殊角的三角函数值
a
30°
45°
60°
sina
cosa
tana]
1
2、各锐角三角函数之间的关系
（1）互余关系
sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)
tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)
（2）平方关系：sin2A+cos2A
=1
（3）倒数关系：tanA·tan(90°—A)=1
（4）弦切关系：tanA=.
3、锐角三角函数的增减性
当角度在0°～90°之间变化时，
（1）正弦值随着角度的
（或
）而增大（或
）；
（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而
（或
）；
（3）正切值随着角度的增大（或减小）而
（或
）；；
（4）余切值随着角度的增大（或减小）而
（或
）.
三、解直角三角形
1、定义：在直角三角形中，由除直角外的已知元素求出其余
的过程，叫做解直角三角形.
2、解直角三角形的常用关系
（1）三边关系（勾股定理）：
＋b2＝
；
（2）两锐角关系（两锐角互余）：
＋
＝90°；
（3）边与角关系（锐角三角函数）：
，，，
3、解直角三角形类型：
（1）已知一边和一锐角；
（2）已知两边.
四、利用解直角三角形的知识解决实际问题
1、仰角和俯角：
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线
的角叫做仰角
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线
的角叫做俯角
2、方向(位)角：从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角.
如：下图中的目标方向线OA表示
60°.
3、坡度和坡角
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的
叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i＝h：l
坡角：坡面与水平面的
叫做坡角，记作a，i＝＝tana
注意：坡度越大，a角越大，坡面越
.
命题点一、锐角三角函数
1、（2020甘肃天水）如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是　
　．
2、（2020湖北咸宁）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E是BC的中点，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点F处，连结CF，则cos∠ECF的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
3、（2020江苏南京）如图，在港口处的正东方向有两个相距的观测点、．一艘轮船从处出发，沿北偏东方向航行至处，在、处分别测得、．求轮船航行的距离．（参考数据：，，，，，．
命题点二、解直角三角形的实际应用
4、（2020江苏苏州）如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他作了如下操作：（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE＝α；
（2）量得测角仪的高度CD＝a；
（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB＝b．
利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（　　）
a+btanα
B．a+bsinα
C．a+
D．a+
5、（2020湖北常德）如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）
（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41）
基础过关
1、（2020吉林长春）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔项中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小．下列关系式正确的是（　　）
A．sinA＝
B．cosA＝
C．tanA＝
D．sinA＝
2、（2020四川南充）如图，在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则CD＝（　　）
A．
B．
C．a﹣b
D．b﹣a
3、（2020重庆A卷）如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比）i＝1：0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD＝45m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）（　　）
A．76.9m
B．82.1m
C．94.8m
D．112.6m
4、（2020山东枣庄）人字梯为现代家庭常用的工具（如图）．若AB，AC的长都为2m，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是　
　m．（结果精确到0.1m，参考依据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
5、（2020内蒙古通辽）从A处看一栋楼顶部的仰角为α，看这栋楼底部的俯角为β，A处与楼的水平距离AD为90m．若tanα＝0.27，tanβ＝2.73，求这栋楼高．
6、（2020天津）如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC，BC．测得BC＝221m，∠ACB＝45°，∠ABC＝58°．根据测得的数据，求AB的长（结果取整数）．
参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60．
7、（2020辽宁丹东）如图，小岛C和D都在码头O的正北方向上，它们之间距离为6.4km，一艘渔船自西向东匀速航行，行驶到位于码头O的正西方向A处时，测得∠CAO＝26.5°，渔船速度为28km/h，经过0.2h，渔船行驶到了B处，测得∠DBO＝49°，求渔船在B处时距离码头O有多远？（结果精确到0.1km）
（参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50，sin49°≈0.75，cos49°≈0.66，tan49°≈1.15）
8、（2020青海）某市为了加快5G网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所示．小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端P点的仰角是45°，向前走60米到达B点测得P点的仰角是60°，测得发射塔底部Q点的仰角是30°．请你帮小军计算出信号发射塔PQ的高度．（结果精确到0.1米，≈1.732）
9、（2020山东德州）如图，无人机在离地面60米的C处，观测楼房顶部B的俯角为30°，观测楼房底部A的俯角为60°，求楼房的高度．
10、（2020四川成都）成都“339”电视塔作为成都市的地标建筑之一，现已成为外地游客到成都旅游打卡的网红地.如图，为测量电视塔观景台A处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼顶D处测得塔A处的仰角韦45°，塔底部B处的俯角韦22°.已知建筑物的高CD约为61米，请计算观景台的高AB的值.（结果精确到1米；参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）.
11、（2020四川内江）为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上．
（1）求B处到灯塔P的距离；
（2）已知灯塔P的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？
12、（2019陕西）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点，并在点处安装了测量器，测得古树的顶端的仰角为；再在的延长线上确定一点，使米，并在处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着方向移动，当移动带点时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端的像，此时，测得米，小明眼睛与地面的距离米，测倾器的高度米．已知点、、、在同一水平直线上，且、、均垂直于，求这棵古树的高度．（小平面镜的大小忽略不计）
能力提升
13、(浙江温州)如图，在离铁塔150米的处，用测倾仪测得塔顶的仰角为，测倾仪高为1.5米，则铁塔的高为　　
A．米
B．米
C．米
D．米
14、（2019重庆B卷）如图，是垂直于水平面的建筑物．为测量的高度，小红从建筑物底端点出发，沿水平方向行走了52米到达点，然后沿斜坡前进，到达坡顶点处，．在点处放置测角仪，测角仪支架高度为0.8米，在点处测得建筑物顶端点的仰角为（点，，，，在同一平面内）．斜坡的坡度（或坡比），那么建筑物的高度约为　　
（参考数据，，
A．65.8米
B．71.8米
C．73.8米
D．119.8米
15、（2020江苏苏州）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣4，0）、（0，4），点C（3，n）在第一象限内，连接AC、BC．已知∠BCA＝2∠CAO，则n＝　　．
16、（2020四川广元）如图，公路MN为东西走向，在点M北偏东36.5°方向上，距离5千米处是学校A；在点M北偏东45°方向上距离千米处是学校B．（参考数据：，）．
（1）求学校A，B两点之间的距离
（2）要在公路MN旁修建一个体育馆C，使得A，B两所学校到体育馆C的距离之和最短，求这个最短距离．
17、（2020湖北黄冈）因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览．当船在A处时，船上游客发现岸上处的临皋亭和处的遗爱亭都在东北方向；当游船向正东方向行驶到达B处时，游客发现遗爱亭在北偏西15°方向；当游船继续向正东方向行驶到达C处时，游客发现临皋亭在北偏西60°方向．
（1）求A处到临皋亭P处的距离．
（2）求临皋亭处与遗爱亭处之间的距离（计算结果保留根号）
18、（2020江西）如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板固定在支撑板顶端点处，且，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动.（结果保留小数点后一位）
（1）若，，求点到直线的距离；
（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把绕点逆时针旋转后，再将绕点顺时针旋转，使点落在直线上即可，求旋转的角度.
（参考数据：，,,
,）
创新思维
19、（2020云南昆明）【材料阅读】2020年5月27日，2020珠峰高程测量登山队成功登顶珠穆朗玛峰，将用中国科技“定义”世界新高度．其基本原理之一是三角高程测量法，在山顶上立一个规标，找到2个以上测量点，分段测量山的高度，再进行累加．因为地球面并不是水平的，光线在空气中会发生折射，所以当两个测量点的水平距离大于300m时，还要考虑球气差，球气差计算公式为f＝（其中d为两点间的水平距离，R为地球的半径，R取6400000m），即：山的海拔高度＝测量点测得山的高度+测量点的海拔高度+球气差．
【问题解决】某校科技小组的同学参加了一项野外测量某座山的海拔高度活动．如图，点A，B的水平距离d＝800m，测量仪AC＝1.5m，觇标DE＝2m，点E，D，B在垂直于地面的一条直线上，在测量点A处用测量仪测得山项觇标顶端E的仰角为37°，测量点A处的海拔高度为1800m．
（1）数据6400000用科学记数法表示为　
　；
（2）请你计算该山的海拔高度．（要计算球气差，结果精确到0.01m）
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
知识回顾
真题在线
分层精练
24.6解直角三角形
一、锐角三角函数
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b
，AB＝c
（1）正弦：∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦.
即：
（2）余弦：∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦.
即：
（3）正切：∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切.
即：
2、锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数
二、三角函数值
1、特殊角的三角函数值
a
30°
45°
60°
sina
cosa
tana]
1
2、各锐角三角函数之间的关系
（1）互余关系
sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)
tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)
（2）平方关系：sin2A+cos2A
=1
（3）倒数关系：tanA·tan(90°—A)=1
（4）弦切关系：tanA=.
3、锐角三角函数的增减性
当角度在0°～90°之间变化时，
（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；；
（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）.
三、解直角三角形
1、定义：在直角三角形中，由除直角外的已知元素求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.
2、解直角三角形的常用关系
（1）三边关系（勾股定理）：a2＋b2＝c2；
（2）两锐角关系（两锐角互余）：∠A＋∠B＝90°；
（3）边与角关系（锐角三角函数）：
，，，
3、解直角三角形类型：
（1）已知一边和一锐角；
（2）已知两边.
四、利用解直角三角形的知识解决实际问题
1、仰角和俯角：
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角
2、方向(位)角：从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角.
如：下图中的目标方向线OA表示北偏东60°.
3、坡度和坡角
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i＝h：l
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，i＝＝tana
注意：坡度越大，a角越大，坡面越陡.
命题点一、锐角三角函数
1、（2020甘肃天水）如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是　
　．
【分析】如图，连接AB．证明△OAB是等腰直角三角形即可解决问题．
解：如图，连接AB．
∵OA＝AB＝，OB＝2，
∴OB2＝OA2+AB2，
∴∠OAB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠AOB＝45°，
∴sin∠AOB＝，
故答案为．
2、（2020湖北咸宁）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E是BC的中点，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点F处，连结CF，则cos∠ECF的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
解：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵E是BC的中点，BC＝2，
∴BE＝CE＝BC＝，
∴AE＝＝＝3，
由翻折变换的性质得：△AFE≌△ABE，
∴∠AEF＝∠AEB，EF＝BE＝，
∴EF＝CE，
∴∠EFC＝∠ECF，
∵∠BEF＝∠EFC+∠ECF，
∴∠AEB＝∠ECF，
∴cos∠ECF＝cos∠AEB＝＝．
故选：C．
3、（2020江苏南京）如图，在港口处的正东方向有两个相距的观测点、．一艘轮船从处出发，沿北偏东方向航行至处，在、处分别测得、．求轮船航行的距离．（参考数据：，，，，，．
解：如图，过点作于点，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
解得，
在中，，
．
答：轮船航行的距离约为．
命题点二、解直角三角形的实际应用
4、（2020江苏苏州）如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他作了如下操作：（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE＝α；
（2）量得测角仪的高度CD＝a；
（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB＝b．
利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（　　）
a+btanα
B．a+bsinα
C．a+
D．a+
【分析】过C作CF⊥AB于F，则四边形BFCD是矩形，根据三角函数的定义即可得到结论．
解：过C作CF⊥AB于F，则四边形BFCD是矩形，
∴BF＝CD＝a，CF＝BD＝b，
∵∠ACF＝α，
∴tanα＝＝，
∴AF＝b?tanα，
∴AB＝AF+BF＝a+btanα，
故选：A．
5、（2020湖北常德）如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）
（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41）
【分析】直接过点C作CF⊥AB于点F，利用锐角三角函数关系得出CF的长，进而得出BC的长．
【解答】方法一：解：如图1，过点C作CF⊥AB于点F，
在Rt△ACF中，
∵sin∠CAB＝sin（60°+5°）＝sin65°＝，
∴CF＝AC?sin65°≈2×0.91＝1.82，
在Rt△BCF中，
∵∠ABC＝45°，
∴CF＝BF，
∴BC＝CF＝1.41×1.82＝2.5662≈2.6，
答：所求BC的长度约为2.6米．
方法二：解：如图2，过点A作AE⊥BC于点E，
在Rt△ACE中，∵∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°，
∴cosC＝cos70°＝，
即CE＝AC×cos70°≈2×0.34＝0.68，
sinC＝sin70°＝，
即AE＝AC×sin70°≈2×0.94＝1.88，
又∵在Rt△AEB中，∠ABC＝45°，
∴AE＝BE，
∴BC＝BE+CE＝0.68+1.88＝2.56≈2.6，
答：所求BC的长度约为2.6米．
基础过关
1、（2020吉林长春）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔项中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小．下列关系式正确的是（　　）
A．sinA＝
B．cosA＝
C．tanA＝
D．sinA＝
解：在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，
则sinA＝，cosA＝，tanA＝，
因此选项A正确，选项B、C、D不正确；
故选：A．
2、（2020四川南充）如图，在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则CD＝（　　）
A．
B．
C．a﹣b
D．b﹣a
解：∵在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝2∠ABD＝72°，
∴∠ABD＝36°＝∠A，
∴BD＝AD，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°＝∠C，
∴BD＝BC，
∵AB＝AC＝a，BC＝b，
∴CD＝AC﹣AD＝a﹣b，
故选：C．
3、（2020重庆A卷）如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比）i＝1：0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD＝45m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）（　　）
A．76.9m
B．82.1m
C．94.8m
D．112.6m
【解答】解：如图，由题意得，∠ADF＝28°，CD＝45，BC＝60，
在Rt△DEC中，
∵山坡CD的坡度i＝1：0.75，
∴＝＝，
设DE＝4x，则EC＝3x，由勾股定理可得CD＝5x，
又CD＝45，即5x＝45，
∴x＝9，
∴EC＝3x＝27，DE＝4x＝36＝FB，
∴BE＝BC+EC＝60+27＝87＝DF，
在Rt△ADF中，
AF＝tan28°×DF≈0.53×87≈46.11，
∴AB＝AF+FB＝46.11+36≈82.1，
故选：B．
4、（2020山东枣庄）人字梯为现代家庭常用的工具（如图）．若AB，AC的长都为2m，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是　1.5　m．（结果精确到0.1m，参考依据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
【分析】在Rt△ADC中，求出AD即可．
解：∵AB＝AC＝2m，AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴AD＝AC?sin50°＝2×0.77≈1.5（m），
故答案为1.5．
5、（2020内蒙古通辽）从A处看一栋楼顶部的仰角为α，看这栋楼底部的俯角为β，A处与楼的水平距离AD为90m．若tanα＝0.27，tanβ＝2.73，求这栋楼高．
【分析】在两个直角三角形中，利用边角关系求出BD、CD的长，即可求楼高BC．
解：在Rt△ABD中，BD＝tanα?AD＝0.27×90＝24.3（米），
在Rt△ACD中，CD＝AD?tanβ＝90×2.73＝245.7（米），
∴BC＝BD+CD＝24.3+245.7＝270（米），
答：这栋楼高BC约为270米．
6、（2020天津）如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC，BC．测得BC＝221m，∠ACB＝45°，∠ABC＝58°．根据测得的数据，求AB的长（结果取整数）．
参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，
∵∠ACB＝45°，
∴AD＝CD，
设AB＝x，
在Rt△ADB中，AD＝AB?sin58°≈0.85x，BD＝AB?cos58°≈0.53x，
又∵BC＝221，即CD+BD＝221，
∴0.85x+0.53x＝221，
解得，x≈160，
答：AB的长约为160m．
7、（2020辽宁丹东）如图，小岛C和D都在码头O的正北方向上，它们之间距离为6.4km，一艘渔船自西向东匀速航行，行驶到位于码头O的正西方向A处时，测得∠CAO＝26.5°，渔船速度为28km/h，经过0.2h，渔船行驶到了B处，测得∠DBO＝49°，求渔船在B处时距离码头O有多远？（结果精确到0.1km）
（参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50，sin49°≈0.75，cos49°≈0.66，tan49°≈1.15）
解：设B处距离码头Oxkm，
在Rt△CAO中，∠CAO＝26.5°，
∵tan∠CAO＝，
∴CO＝AO?tan∠CAO＝（28×0.2+x）?tan26.5°≈2.8+0.5x，
在Rt△DBO中，∠DBO＝49°，
∵tan∠DBO＝，
∴DO＝BO?tan∠DBO＝x?tan49°≈1.15x，
∵DC＝DO﹣CO，
∴6.4＝1.15x﹣（2.8+0.5x），
∴x＝14.2（km）．
因此，B处距离码头O大约14.2km．
8、（2020青海）某市为了加快5G网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所示．小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端P点的仰角是45°，向前走60米到达B点测得P点的仰角是60°，测得发射塔底部Q点的仰角是30°．请你帮小军计算出信号发射塔PQ的高度．（结果精确到0.1米，≈1.732）
【分析】延长PQ交直线AB于点C，设PC＝x米，在直角△APC和直角△BPC中，根据三角函数利用x表示出AC和BC，根据AB＝AC﹣BC即可列出方程求得x的值，再在直角△BQC中利用三角函数求得QC的长，则PQ的长度即可求解．
解：延长PQ交直线AB于点C，设PC＝x米．
在直角△APC中，∠A＝45°，
则AC＝PC＝x米；
∵∠PBC＝60°
∴∠BPC＝30°
在直角△BPC中，BC＝PC＝x米，
∵AB＝AC﹣BC＝60米，
则x﹣x＝60，
解得：x＝90+30，
则BC＝（30+30）米．
在Rt△BCQ中，QC＝BC＝（30+30）＝（30+10）米．
∴PQ＝PC﹣QC＝90+30﹣（30+10）＝60+20≈94.6（米）．
答：电线杆PQ的高度约是94.6米．
9、（2020山东德州）如图，无人机在离地面60米的C处，观测楼房顶部B的俯角为30°，观测楼房底部A的俯角为60°，求楼房的高度．
【分析】过B作BE⊥CD交CD于E，由题意得，∠CBE＝30°，∠CAD＝60°，解直角三角形即可得到结论．
解：过B作BE⊥CD交CD于E，
由题意得，∠CBE＝30°，∠CAD＝60°，
在Rt△ACD中，tan∠CAD＝tan60°＝＝，
∴AD＝＝20，
∴BE＝AD＝20，
在Rt△BCE中，tan∠CBE＝tan30°＝＝，
∴CE＝20＝20，
∴ED＝CD﹣CE＝60﹣20＝40，
∴AB＝ED＝40（米），
答：楼房的高度为40米．
10、（2020四川成都）成都“339”电视塔作为成都市的地标建筑之一，现已成为外地游客到成都旅游打卡的网红地.如图，为测量电视塔观景台A处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼顶D处测得塔A处的仰角韦45°，塔底部B处的俯角韦22°.已知建筑物的高CD约为61米，请计算观景台的高AB的值.（结果精确到1米；参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）.
【解析】
过D作DE⊥AB于E
在Rt△BDE中tan∠BDE=
∴米
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AE=DE=152.5米，
∵∠DCB=∠CBE=∠BED=90°
∴四边形BCDE是矩形
∴DC=BE=61米
∴AB=AE+BE=213.5米≈214米
答：观景台AB的高度约为214米.
11、（2020四川内江）为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上．
（1）求B处到灯塔P的距离；
（2）已知灯塔P的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？
【答案】（1）B处到灯塔P的距离为60海里；（2）海监船继续向正东方向航行是安全的
【解析】
【分析】
（1）作PD⊥AB于D．求出∠PAB、∠PBA、∠P的度数，证得△ABP为等腰三角形，即可解决问题；
（2）在Rt△PBD中，解直角三角形求出PD的值即可判定．
【详解】（1）过点P作PD⊥AB于点D，
由题意得，AB=60（海里），∠PAB=30°，∠PBD=60°，
∴∠APB=∠PBD-∠PAB=60°-30°=30°=∠PAB，
∴PB=AB=60（海里），
答：B处到灯塔P的距离为60海里；
（2）由（1）可知∠APB=∠PAB=30°，
∴PB=AB=60（海里）
在Rt△PBD中，
PD=BPsin60°60（海里），
∵，
∴海监船继续向正东方向航行是安全的．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．
12、（2019陕西）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点，并在点处安装了测量器，测得古树的顶端的仰角为；再在的延长线上确定一点，使米，并在处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着方向移动，当移动带点时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端的像，此时，测得米，小明眼睛与地面的距离米，测倾器的高度米．已知点、、、在同一水平直线上，且、、均垂直于，求这棵古树的高度．（小平面镜的大小忽略不计）
【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题；相似三角形的应用
【分析】过点作于点，则，．解，得出，那么．再证明，根据相似三角形对应边成比例求出，进而求出即可．
【解答】解：如图，过点作于点，
则，．
在中，，
，
．
，，
．
由题意，易知，
，
即，
解之，得，
．
这棵古树的高为．
能力提升
13、(浙江温州)如图，在离铁塔150米的处，用测倾仪测得塔顶的仰角为，测倾仪高为1.5米，则铁塔的高为　　
A．米
B．米
C．米
D．米
解：过点作，为垂足，如图所示：
则四边形为矩形，，
，
在中，，
，
，
故选：．
14、（2019重庆B卷）如图，是垂直于水平面的建筑物．为测量的高度，小红从建筑物底端点出发，沿水平方向行走了52米到达点，然后沿斜坡前进，到达坡顶点处，．在点处放置测角仪，测角仪支架高度为0.8米，在点处测得建筑物顶端点的仰角为（点，，，，在同一平面内）．斜坡的坡度（或坡比），那么建筑物的高度约为　　
（参考数据，，
A．65.8米
B．71.8米
C．73.8米
D．119.8米
【分析】过点作与点，根据斜坡的坡度（或坡比）可设，则，利用勾股定理求出的值，进而可得出与的长，故可得出的长．由矩形的判定定理得出四边形是矩形，故可得出，，再由锐角三角函数的定义求出的长，进而可得出结论．
【解答】解：过点作与点，延长交于，
斜坡的坡度（或坡比），米，
设，则．
在中，
，即，解得，
米，米，
米，米．
，，，
四边形是矩形，
米，米．
在中，
，
米，
米．
故选：．
15、（2020江苏苏州）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣4，0）、（0，4），点C（3，n）在第一象限内，连接AC、BC．已知∠BCA＝2∠CAO，则n＝　　．
【分析】作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，则BE＝4﹣n，CE＝3，CD＝n，AD＝7，根据平行线的性质得出∠ECA＝∠CAO，根据题意得出∠BCE＝∠CAO，通过解直角三角形得到tan∠CAO＝＝tan∠BCE＝，即可得到，解得即可．
解：作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，
∵点A、B的坐标分别为（﹣4，0）、（0，4），点C（3，n）在第一象限内，则E（0，n），D（3，0），
∴BE＝4﹣n，CE＝3，CD＝n，AD＝7，
∵CE∥OA，
∴∠ECA＝∠CAO，
∵∠BCA＝2∠CAO，
∴∠BCE＝∠CAO，
在Rt△CAD中，tan∠CAO＝，在Rt△CBE中，tan∠BCE＝，
∴＝，即，
解得n＝，
故答案为．
16、（2020四川广元）如图，公路MN为东西走向，在点M北偏东36.5°方向上，距离5千米处是学校A；在点M北偏东45°方向上距离千米处是学校B．（参考数据：，）．
（1）求学校A，B两点之间的距离
（2）要在公路MN旁修建一个体育馆C，使得A，B两所学校到体育馆C的距离之和最短，求这个最短距离．
【答案】（1）km;（2）km.
【解析】
【分析】
（1）过点A作CD//MN，BE⊥MN，在Rt△ACM中求出CM，AC，在Rt△MBE中求出BE，ME，继而得出AD，BD的长度，在Rt△ABD中利用勾股定理可得出AB的长度．
（2）作点B关于MN的对称点G，连接AG交MN于点P，点P即为站点，求出AG的长度即可．
【详解】（1）过点A作CD//MN，BE⊥MN，如图：
在Rt△ACM中，∠CMA＝36.5°，AM＝5km，
∵sin36.5°＝＝0.6，
∴CA＝3，MC＝4km，
在Rt△MBE中，∠NMB＝45°，MB＝km，
∵sin45°＝＝，
∴BE＝6，ME＝6km，
∴AD＝CD?CA＝ME?CA＝3km，BD＝BE?DE＝BE?CM＝2km，
在Rt△ABD中，AB＝km．
（2）作点B关于MN的对称点G，连接AG交MN于点P，连接PB，点P即为站点，
此时PA＋PB＝PA＋PG＝AG，即A，B两所学校到体育馆C的距离之和最短为AG长
在Rt△ADG中，AD=3，DG=DE+EG=DE+BE=4+6=10，∠ADG=90°，
∴AG＝＝km．
答：最短距离为km．
【点睛】本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数值求解相关线段的长度，难度较大．
17、（2020湖北黄冈）因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览．当船在A处时，船上游客发现岸上处的临皋亭和处的遗爱亭都在东北方向；当游船向正东方向行驶到达B处时，游客发现遗爱亭在北偏西15°方向；当游船继续向正东方向行驶到达C处时，游客发现临皋亭在北偏西60°方向．
（1）求A处到临皋亭P处的距离．
（2）求临皋亭处与遗爱亭处之间的距离（计算结果保留根号）
【答案】（1）；（2）米
【解析】
【分析】
（1）过点作于点M．设，在中，得到，在中，得到，根据得到关于x的一元一次方程，求解即可得到x的值，进而A处到临皋亭的距离即可求解；
（2）过点作于点，在中，得到，在中，得到，根据求解即可．
详解】解：（1）依题意有．
过点作于点M．设，则
在中，．
在中，．
又，
∴点A处与点处临皋亭之间的距离为．
（2）过点作于点．
在中，．
．
在中，．
．
．
．
∴点处临亭与点处遗爱亭之间的距离为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，作出合适的辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
18、（2020江西）如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板固定在支撑板顶端点处，且，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动.（结果保留小数点后一位）
（1）若，，求点到直线的距离；
（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把绕点逆时针旋转后，再将绕点顺时针旋转，使点落在直线上即可，求旋转的角度.
（参考数据：，,,
,）
【解析】（1）如图1，过点C作CH⊥DE于点H.
∵CD80，∠CDE=60°，∴sin60°=，
∴
作AM⊥DE于点M，CN⊥AM于点N.∴MN=CH=，∠NCD=∠CDE=60°
∵∠DCB=80°，∴∠ACN=180°-80°-60°=40°.
∵sin∠ACN=∴AN=80sin40°≈80×0.643≈51.44.
∴AM=AN+NM≈51.44+69.28≈120.7mm.
（2）解法一：
∵AB绕着点C逆时针旋转10°，∴∠DCB=90°.如图2，连接BD.
∵DC=80，CB=40.∴tan∠CDB==0.5.
∴∠CDB≈26.6°.∴∠BDE≈60°-26.6°=33.4°
答：CD旋转的度数约为33.4°
解法二：
当点B落在DE上时，如图3
在Rt△BCD中，BC=40，CD=80（∠DCB=90°，同解法一）
∴tan∠CDB==0.5.∴∠CDB≈26.6
∴∠=∠-∠BDC=60°-26.6°=33.4°
答：CD旋转的度数约为33.4°
创新思维
19、（2020云南昆明）【材料阅读】2020年5月27日，2020珠峰高程测量登山队成功登顶珠穆朗玛峰，将用中国科技“定义”世界新高度．其基本原理之一是三角高程测量法，在山顶上立一个规标，找到2个以上测量点，分段测量山的高度，再进行累加．因为地球面并不是水平的，光线在空气中会发生折射，所以当两个测量点的水平距离大于300m时，还要考虑球气差，球气差计算公式为f＝（其中d为两点间的水平距离，R为地球的半径，R取6400000m），即：山的海拔高度＝测量点测得山的高度+测量点的海拔高度+球气差．
【问题解决】某校科技小组的同学参加了一项野外测量某座山的海拔高度活动．如图，点A，B的水平距离d＝800m，测量仪AC＝1.5m，觇标DE＝2m，点E，D，B在垂直于地面的一条直线上，在测量点A处用测量仪测得山项觇标顶端E的仰角为37°，测量点A处的海拔高度为1800m．
（1）数据6400000用科学记数法表示为　
　；
（2）请你计算该山的海拔高度．（要计算球气差，结果精确到0.01m）
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【解答】解：（1）6400000＝6.4×106，
故答案为6.4×106．
（2）如图，过点C作CH⊥BE于H．
由题意AB＝CH＝800m，AC＝BH＝1.5m，
在Rt△ECH中，EH＝CH?tan37°≈600（m），
∴DB＝600﹣DE+BH＝599.5（m），
由题意f＝≈0.043（m），
∴山的海拔高度＝599.5+0.043+1800≈2399.54（m）．
知识回顾
真题在线
分层精练
2

展开更多......

收起↑