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圆锥曲线常用的二级结论
椭圆与双曲线对偶结论
椭圆(以焦点在x轴为主
双曲线(以焦点在x轴为
标准方程
焦点F(c,0),F(c,0)
焦点F(-c,0,F2(c,0)
PF
PF
焦半径c为离心率,x为点P的横坐标
长焦点弦为长轴,最短焦点弦为通径
率,x0为点P的横
焦半径范围
为椭
点,F为焦
为双曲线
为焦点
的弦称为通径
轴垂直的弦称为通
通径长
通径长为
线l过焦
椭圆交
如图,直线l过焦点F与双曲线相交
长为4a.(FA+F2B+A
A,B两点则EA
椭圆上一点,O坐标原点
知点
线上一点,O坐标原点
PO
焦点方程
共离心率方程
l过焦点F与椭圆
A,B两
直线/过焦点F与双曲线相交于A,B两点
AF与BF
数量关系
sin(a-B)
sin(atBi
P是椭圆上异于长轴端点的一点
是双曲线
实轴端点的一点
焦三角形
cose
2
e
3)离心率
0)
6
COS
C
6)
COS
若
弦长公式
duty
线l过焦点F(c,0)与椭圆
线/过焦点F(c,0)与双曲线相交
两点,点P,0
两点,点
题设:AB是不平行于对称轴的弦,P是A
结论
(垂径定理)
椭
圆
中|推论1:若A,B关于原点O对称,P是椭圆上异于A,B的任
点,结论
的中点
(周角定理)
弦
推
若l是椭圆上不垂直于对称轴的切线,M为切点,结论
(利用点差法或韦达定理可证明)
题设
是不平
称轴的
是A
kn.k
双曲线中的中点
推论1:若
原点O对称,P是双
异于A
意
弦推论
图一:A,B为渐
两点
A,B为渐近线上关
O对称的两
为渐近线上任意一点,则knk
线与双曲线和渐近线分别交于A,B,C,D四点,则AC=BD
知点P(x,y0)是椭圆上一点,则椭圆
知点
y0)是双曲线
在点P处的切线方程为
线在点P处的切线方程为
b
程/推广:若点P
点P作椭圆
两条切线
分别为P.P
则切点弦PP的直线方程是xx
双曲线的结论
定
点在双曲线外且不在渐近线上)的直线与双曲线交点个数问题:
设斜率为k的直线过定点P(0,)(t
双曲线方程为
0),过点P与双
线相切时的斜率为k
时,直线l与双曲线有两个交
这两交点在双曲线的两支
线l与双曲线只有一个交点
线l与双曲线
交点,且这两交点在双曲线的同一支
时,直线l与双曲线只有
直线/与双曲线没有交
如图,F(c,0)是双曲线
(a>0.b>0)的焦
点
H垂直双曲线的其
渐近线
为原点
F
3.点P是双曲线
(a>0b>0)上任意一点,则点P到双曲线的渐近线的距离之积为定
(a>0,b>0)上任意一点,过点P作双曲线的渐近线的平行线分别与渐
线相交于M,N两点,O为原点,则平行四边形OMPN的面积为定值

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