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《实数》复习课导学案

考点1　实数的分类
1．按定义分类
实数
2．按大小分类
实数
[练习学知]
1．在实数，，sin 30°，－，，π0,0.212 112…(相邻两个2之间依次多一个1)中，是无理数的有__________．
2．在实数3，－，(－1)0，－0.10,0，－π，－(－5)，|－3|中，是负数的有________________，既不是正数也不是负数的有____________．
2．－，－0.10，－π　0
考点2　实数的相关概念
1．数轴
(1)
(2)________和数轴上的点是一一对应的．
2．相反数
(1)定义：只有________不同的两个数互为相反数；
(2)非零实数a的相反数为________，特别地，0的相反数是________；
(3)实数a，b互为相反数?a＋b＝________；
(4)几何意义：互为相反数的两个数(0除外)分别位于数轴上原点的两侧，且到原点的距离________，这两个点关于原点对称；
(5)a＋b的相反数为________； a－b的相反数为________．
3．绝对值
(1)从“形”的角度看：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离；
(2)从“数”的角度看：|a|＝绝对值具有非负性．
4．倒数
(1)乘积为________的两个数互为倒数，若a，b互为倒数，则ab＝1；
(2)一个非零实数a的倒数是________，0没有倒数，倒数等于它本身的数是±1.
[练习学知]
1．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示2的相反数的点是 (　　)

A．点A B．点B
C．点C D．点D
2．[2020福建，6,4分]如图，数轴上两点M，N所对应的实数分别为m，n，则m－n的结果可能是(　　)

A．－1 B．1
C．2 D．3
3．－的相反数是________，绝对值是________，倒数是________．
考点3　科学记数法
1．一般形式
把一个数写成a×10n的形式，其中a是整数位数只有一位的数，即________≤|a|<________.
2．n值的确定
(1)对于一个绝对值大于10的数：n为正整数，且n为原数的整数位数减________或原数变为a时，小数点移动的位数．
(2)对于一个绝对值大于0且小于1的数：n为负整数，其绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数(包括小数点前的零)或原数变为a时，小数点移动的位数．
[练习学知]
　把下列各数用科学记数法表示出来．
(1)960 000＝________；
(2)0.000 53＝________；
(3)3 700万＝________；
(4)212亿＝________.
考点4　近似数和精确度
1．近似数：把一个数四舍五入以后得到的数．
2．精确度：一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．如：2.019精确到0.1是2.0，精确到0.01是________．
考点5　实数的大小比较
1．数轴比较法：数轴上的两个点表示的数，右边的数总比左边的数________．
2．绝对值比较法
(1)正数>0>负数；
(2)两个负数比较大小，________大的反而小．
3．作差比较法：设a，b是任意两个实数，
(1)若a－b>0，则a________b；
(2)若a－b<0，则a (3)若a－b＝0，则a________b.
4．平方比较法：a>?a2________b(b>0)．(主要应用于二次根式估值及含有二次根号的数的大小比较)
[练习学知]
1．在实数0，－2，，2中，最大的数是 (　　)
A．0 B．－2
C. D．2
2．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是 (　　)

A．a<－b B．b－a<0
C．a>－b D．a－b>0
1．C　2.A
考点6　实数的运算
1．常见的几种实数运算
运算
法则
乘方

正数的任何次幂均为正数；负数的奇数次幂为负数，偶数次幂为正数
零次幂
a0＝________(a≠0)
负整数
指数幂
a－p＝________(a≠0，p为正整数)，特别地，a－1＝(a≠0)(简记为倒底数，反指数)
开平方与
开立方
(1)一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，正的平方根也叫算术平方根；
(2)平方根等于本身的数是0，算术平方根等于本身的数是1和0，立方根等于本身的数是1，－1和0；
(3)一个数的立方根与它本身同号
去绝对
值符号
|a－b|＝先比较绝对值符号里面两个数的大小，再利用绝对值的非负性去绝对值符号
－1的奇、
偶次幂
－1的奇数次幂为－1，－1的偶数次幂为1
2.四则运算法则
(1)加法：
①同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加；
②异号两数相加：绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大数的绝对值________较小数的绝对值；
③一个数同________相加，仍得这个数．
(2)减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数．

3．实数的运算律
(1)加法交换律：a＋b＝b＋a；
(2)加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；
(3)乘法交换律：ab＝ba；
(4)乘法结合律：(ab)c＝a(bc)；
(5)乘法分配律：a(b＋c)＝ab＋ac.
4．实数混合运算的解题步骤
(1)先乘方，再乘除，后加减；
(2)有括号时先计算括号里面的；
(3)同级运算按照从左到右的顺序进行计算．
[练习学知]
1．(－4)2＝________；(－2)3＝________；
－23＝________.
2.0＝________；(－2)0＝________.
3．3－1＝________；－1＝________；
－3－2＝________.
4．|2－|＝________；－|1－|＝________.
5．(1)－2＋(－1)＝________；
(2)－4－2＝________；
(3)－2－(－4)＝________；
(4)5×＝________；
(5)2÷＝________.
6．(1)的算术平方根是________；
(2)的平方根是________；
(3)＝________.
7．(1)64的立方根是________；
(2)－＝________.
8．计算：|－4|－＝________.
9．计算：－(－1)3＝________.
[提分要点]
正数的平方根有2个，它们互为相反数，其中正的平方根为其算术平方根．
考点7　二次根式的相关概念
1．概念：一般地，我们把形如(a________0)的式子叫做二次根式．
二次根式的双重非负性：a≥0，≥0.
2．二次根式有意义的条件：被开方数________．
3．二次根式的性质
性质1：()2＝________(a≥0)；
性质2：＝|a|＝
[练习学知]
1．如果分式有意义，则x的取值范围为________．
2．计算：＝________.
考点8　二次根式的运算
1．最简二次根式
同时满足两个条件：
(1)被开方数不含________；
(2)被开方数中不含________的因数或因式．
2．乘除运算
(1)·＝________(a≥0，b≥0)；
(2)＝________(a≥0，b>0)．
3．积商平方根的性质
性质1：＝________(a≥0，b≥0)；
性质2：＝________(a≥0，b>0)．
4．加减运算
二次根式加减时，先将各二次根式化成________，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
[练习学知]
1．计算：＋＝________.
2．计算：－3＝________.
3．计算：×＝________.
4．计算：÷＝________.
5．计算：×＝________.
考点9　二次根式的估值
确定二次根式的值在两个整数之间的方法

(1)先将根式平方；
(2)找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数；
(3)对以上两个整数开方；
(4)确定这个根式的值在这两个整数之间．
[练习学知]
1．估计的值在 (　　)
A．0和1之间 B．1和2之间
C．2和3之间 D．3和4之间
2．若a<＋1 考点10　非负数
1．非负数的概念
________和0统称为非负数，如果a是非负数，那么可以表示为a≥________.
2．常见非负数及其性质
各类考试中出现的非负数有：
(1)实数的绝对值：|a|________0；
(2)实数的平方：a2________0；
(3)二次根式：________0(a≥0)．
特别说明：如果几个非负数的和为0，那么每个非负数都为0.如a2＋|b|＋＝0，则a＝b＝c＝0.
[练习学知]
1．若＋(4－2y)2＝0，则x＋y＝________.
2．若|3x－6|与互为相反数，则xy＝________.













考点1　实数的分类
1．按定义分类
实数
2．按大小分类
实数
答案：1.有理数 2.0
[练习学知]
1．在实数，，sin 30°，－，，π0,0.212 112…(相邻两个2之间依次多一个1)中，是无理数的有__________．
2．在实数3，－，(－1)0，－0.10,0，－π，－(－5)，|－3|中，是负数的有________________，既不是正数也不是负数的有____________．
答案：1.，，0.212 112…(相邻两个2之间依次多一个1)
2．－，－0.10，－π　0
考点2　实数的相关概念
1．数轴
(1)
(2)________和数轴上的点是一一对应的．
2．相反数
(1)定义：只有________不同的两个数互为相反数；
(2)非零实数a的相反数为________，特别地，0的相反数是________；
(3)实数a，b互为相反数?a＋b＝________；
(4)几何意义：互为相反数的两个数(0除外)分别位于数轴上原点的两侧，且到原点的距离________，这两个点关于原点对称；
(5)a＋b的相反数为________； a－b的相反数为________．
3．绝对值
(1)从“形”的角度看：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离；
(2)从“数”的角度看：|a|＝绝对值具有非负性．
4．倒数
(1)乘积为________的两个数互为倒数，若a，b互为倒数，则ab＝1；
(2)一个非零实数a的倒数是________，0没有倒数，倒数等于它本身的数是±1.
答案：1.(2)实数 2.(1)符号 (2)－a 0　(3)0 (4)相等 (5)－a－b　b－a　3.(2)－a 4.(1)1 (2)
[练习学知]
1．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示2的相反数的点是 (　　)

A．点A B．点B
C．点C D．点D
2．[2020福建，6,4分]如图，数轴上两点M，N所对应的实数分别为m，n，则m－n的结果可能是(　　)

A．－1 B．1
C．2 D．3
3．－的相反数是________，绝对值是________，倒数是________．
答案：1.A
2．C　
3.　　－6
考点3　科学记数法
1．一般形式
把一个数写成a×10n的形式，其中a是整数位数只有一位的数，即________≤|a|<________.
2．n值的确定
(1)对于一个绝对值大于10的数：n为正整数，且n为原数的整数位数减________或原数变为a时，小数点移动的位数．
(2)对于一个绝对值大于0且小于1的数：n为负整数，其绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数(包括小数点前的零)或原数变为a时，小数点移动的位数．
答案：1.1 10 2.(1)1
[练习学知]
　把下列各数用科学记数法表示出来．
(1)960 000＝________；
(2)0.000 53＝________；
(3)3 700万＝________；
(4)212亿＝________.
答案：　(1)9.6×105 (2)5.3×10－4
(3)3.7×107 (4)2.12×1010
考点4　近似数和精确度
1．近似数：把一个数四舍五入以后得到的数．
2．精确度：一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．如：2.019精确到0.1是2.0，精确到0.01是________．
答案：2.2.02
考点5　实数的大小比较
1．数轴比较法：数轴上的两个点表示的数，右边的数总比左边的数________．
2．绝对值比较法
(1)正数>0>负数；
(2)两个负数比较大小，________大的反而小．
3．作差比较法：设a，b是任意两个实数，
(1)若a－b>0，则a________b；
(2)若a－b<0，则a (3)若a－b＝0，则a________b.
4．平方比较法：a>?a2________b(b>0)．(主要应用于二次根式估值及含有二次根号的数的大小比较)
答案：1.大 2.(2)绝对值 3.(1)> (3)＝ 4.>
[练习学知]
1．在实数0，－2，，2中，最大的数是 (　　)
A．0 B．－2
C. D．2
2．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是 (　　)

A．a<－b B．b－a<0
C．a>－b D．a－b>0
1．C　2.A
考点6　实数的运算
1．常见的几种实数运算
运算
法则
乘方

正数的任何次幂均为正数；负数的奇数次幂为负数，偶数次幂为正数
零次幂
a0＝________(a≠0)
负整数
指数幂
a－p＝________(a≠0，p为正整数)，特别地，a－1＝(a≠0)(简记为倒底数，反指数)
开平方与
开立方
(1)一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，正的平方根也叫算术平方根；
(2)平方根等于本身的数是0，算术平方根等于本身的数是1和0，立方根等于本身的数是1，－1和0；
(3)一个数的立方根与它本身同号
去绝对
值符号
|a－b|＝先比较绝对值符号里面两个数的大小，再利用绝对值的非负性去绝对值符号
－1的奇、
偶次幂
－1的奇数次幂为－1，－1的偶数次幂为1
2.四则运算法则
(1)加法：
①同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加；
②异号两数相加：绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大数的绝对值________较小数的绝对值；
③一个数同________相加，仍得这个数．
(2)减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数．

3．实数的运算律
(1)加法交换律：a＋b＝b＋a；
(2)加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；
(3)乘法交换律：ab＝ba；
(4)乘法结合律：(ab)c＝a(bc)；
(5)乘法分配律：a(b＋c)＝ab＋ac.
4．实数混合运算的解题步骤
(1)先乘方，再乘除，后加减；
(2)有括号时先计算括号里面的；
(3)同级运算按照从左到右的顺序进行计算．
答案：1.1 a－b　b－a 2.(1)②减去 ③0
[练习学知]
1．(－4)2＝________；(－2)3＝________；
－23＝________.
2.0＝________；(－2)0＝________.
3．3－1＝________；－1＝________；
－3－2＝________.
4．|2－|＝________；－|1－|＝________.
5．(1)－2＋(－1)＝________；
(2)－4－2＝________；
(3)－2－(－4)＝________；
(4)5×＝________；
(5)2÷＝________.
6．(1)的算术平方根是________；
(2)的平方根是________；
(3)＝________.
7．(1)64的立方根是________；
(2)－＝________.
8．计算：|－4|－＝________.
9．计算：－(－1)3＝________.
[提分要点]
正数的平方根有2个，它们互为相反数，其中正的平方根为其算术平方根．
答案：1.16　－8　－8 2.1　1
3.　－3　－ 4.2－　1－
5．(1)－3 (2)－6　(3)2 (4)－　(5)－4　
6．(1)　(2)±2　(3)
7．(1)4　(2)
8．2 9.0
考点7　二次根式的相关概念
1．概念：一般地，我们把形如(a________0)的式子叫做二次根式．
二次根式的双重非负性：a≥0，≥0.
2．二次根式有意义的条件：被开方数________．
3．二次根式的性质
性质1：()2＝________(a≥0)；
性质2：＝|a|＝
答案：1.≥ 2.大于等于0 3.a a －a
[练习学知]
1．如果分式有意义，则x的取值范围为________．
2．计算：＝________.
答案：1.x≥－且x≠4　2.2
考点8　二次根式的运算
1．最简二次根式
同时满足两个条件：
(1)被开方数不含________；
(2)被开方数中不含________的因数或因式．
2．乘除运算
(1)·＝________(a≥0，b≥0)；
(2)＝________(a≥0，b>0)．
3．积商平方根的性质
性质1：＝________(a≥0，b≥0)；
性质2：＝________(a≥0，b>0)．
4．加减运算
二次根式加减时，先将各二次根式化成________，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
答案：1.(1)分母 (2)能开得尽方
2．(1) (2)　3.·　　4.最简二次根式
[练习学知]
1．计算：＋＝________.
2．计算：－3＝________.
3．计算：×＝________.
4．计算：÷＝________.
5．计算：×＝________.
答案：1.3　2. 3.6 4.2 5.15
考点9　二次根式的估值
确定二次根式的值在两个整数之间的方法

(1)先将根式平方；
(2)找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数；
(3)对以上两个整数开方；
(4)确定这个根式的值在这两个整数之间．
[练习学知]
1．估计的值在 (　　)
A．0和1之间 B．1和2之间
C．2和3之间 D．3和4之间
2．若a<＋1 答案：1.D　2.30
考点10　非负数
1．非负数的概念
________和0统称为非负数，如果a是非负数，那么可以表示为a≥________.
2．常见非负数及其性质
各类考试中出现的非负数有：
(1)实数的绝对值：|a|________0；
(2)实数的平方：a2________0；
(3)二次根式：________0(a≥0)．
特别说明：如果几个非负数的和为0，那么每个非负数都为0.如a2＋|b|＋＝0，则a＝b＝c＝0.
答案：1.正数　0　2.(1)≥　(2)≥　(3)≥
[练习学知]
1．若＋(4－2y)2＝0，则x＋y＝________.
2．若|3x－6|与互为相反数，则xy＝________.
答案：1.1　2.32

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