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《一次方程(组)》导学案
考点1　等式的基本性质与解方程
性质1：若a＝b，则a±c＝________移项．
性质2：若a＝b，则ac＝bc去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)；
若a＝b，则＝(c≠0)系数化为1.

考点2　一元一次方程及其解法
1．一元一次方程：只含有________个未知数，并且未知数的次数是________，等号两边都是整式的方程．
2．一元一次方程的一般形式：ax＋b＝0(a，b是常数，且a≠0)．
3．解一元一次方程的一般步骤
(1)去分母：注意不要漏乘不含分母的项；
(2)去括号：注意括号前是负号时，去括号后括号内各项均要变号；
(3)移项：注意移项要变号；
(4)合并同类项；
(5)系数化为1.
4．已知一元一次方程的解，求方程中字母的值的两种方法
(1)代入法：当已知方程的解时，把解代入方程，得到新的方程，再解新的方程，从而求出字母的值．
(2)整体法：根据方程中的未知数的系数特点，利用整体思想求某些字母的值．

[练习学知]
1．方程3x－2＝2x＋1，移项，得________________；
方程3－x＝2－5(x－1)，去括号，得________________；
方程x＝，未知数系数化为1，得________；
方程－＝1，去分母，得________________．
2．解方程：3－(x＋6)＝－5(x－1)．
3．解方程：－＝－1.

考点3　二元一次方程(组)及其解法
1．二元一次方程：含有________个未知数，并且含有未知数的项的次数都是________的整式方程．
2．二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方程(或一个二元一次方程，一个一元一次方程)联立起来组成的方程组．
3．二元一次方程组的解：能够使方程组的每个方程都成立的未知数的值．
4．二元一次方程组的解法
(1)代入消元法：当方程组中一个方程的常数项为0或某一个未知数的系数是1或－1时，选择代入消元法较为简单；
(2)加减消元法：①当方程组中同一个未知数的系数相反或相同时，采用加减消元法较为简单；
②当系数不相反也不相同时，可通过找系数的最小公倍数，将系数变成相反或相同，此时采用加减消元法较为合适．
[练习学知]
1．利用代入法解方程组时，把①代入②得到________．
2．利用加减消元法解方程组要消去x，可以将①×________＋②×(－2)，要消去y，可以将①×________＋②×________.
3．解方程组：
4．解方程组：

考点4　一次方程(组)解实际问题的常见类型及关系式
1.
常见类型
重要的关系式
利润问题
售价＝标价×折扣
销售额＝售价×销量
利润＝售价－进价＝进价×利润率
利润率＝×100%
(折扣：商品购销中的让利打折，几折就是现价占原价的十分之几)
工程问题
工作量＝工作效率×工作时间
行程问题
基本量间的关系：________＝速度×时间
相遇问题：全路程＝甲走的路程________乙走的路程
追及问题：①同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；
②同时不同地出发：前者走的路程＋两地间距离＝追者走的路程

2．列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤
(1)审题：找出问题中的已知量和未知量及它们之间的关系；
(2)设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来；
(3)列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组；
(4)求解；
(5)检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．


[题型研究]
研究1　等式的性质及一元一次方程的相关概念
1．[2020常州模拟]已知x＝2是关于x的方程a(x＋1)＝a＋x的解，则a的值是________．

研究2　一元一次方程的解法
2．[2020攀枝花模拟]解方程：－＝1.

研究3　一元一次方程的应用
3．[2020安徽模拟]《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：
今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？
请解答上述问题．

研究4　二元一次方程组的解法
4．解方程组

研究5　实际问题与二元一次方程组
■命题角度1：和差倍分问题
5．[2020襄阳模拟]我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，译文为：“现有几个人共同购买一个物品，每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元．问这个物品的价格是多少元？”该物品的价格是________元．

■命题角度2：商品利润问题
6．[2020长沙模拟]随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5 200元．
(1)打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？
(2)阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？





7．[变式训练]　[2020连云港模拟]某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．
(1)求该店有客房多少间？房客多少人？
(2)假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加，每间客房收费20元，且每间客房最多入住4人，一次性订客房18间以上(含18间)房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？




8．程大位是我国明朝商人，珠算发明家，他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法，书中有如下问题：
一百馒头一百僧，大僧三个更无争，
小僧三人分一个，大小和尚得几丁．
意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人．下列求解结果正确的是 (　　)
A．大和尚25人，小和尚75人
B．大和尚75人，小和尚25人
C．大和尚50人，小和尚50人
D．大、小和尚各100人

9．中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一，其中有一问题：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两，问牛羊各直金几何？”译文：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两，问牛、羊每头各值金多少？设牛、羊每头各值金x两、y两，依题意，可列出方程组为________________．

10．我国古代数学名著《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何．”意思是：鸡和兔关在一个笼子里，从上面看有35个头，从下面看有94条腿，问笼中鸡和兔各有多少只？

11．[2019湖南长沙，11,3分]《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，木头还剩余1尺，则木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则下列所列方程组正确的是 ( )
A. B．
C. D.


训练点1　一元一次方程及其应用
1．[2020恩施州模拟]一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，在这次买卖中，这家商店(　　)
A．不盈不亏 B．盈利20元
C．亏损10元 D．亏损30元

2．[2020临沂模拟]任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢？我们以无限循环小数0.为例进行说明：设0.＝x，由0.＝0.777 7…可知，10x＝7.777 7…，所以10x－x＝7，解方程，得x＝.于是，得0.＝.将0.写成分数的形式是________．

训练点2　二元一次方程(组)及其应用
1．[2020东营模拟]小岩打算购买气球装扮学校“毕业典礼”活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同．由于会场布置需要，购买时以一束(4个气球)为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为(　　)

A．19 B．18
C．16 D．15

2．[2020德州模拟]对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b＝例如4◆3，因为4＞3，所以4◆3＝＝5.若x，y满足方程组则x◆y＝________.

3．[2020株洲模拟]小强同学生日的月数减去日数为2，月数的两倍和日数相加为31，则小强同学生日的月数和日数的和为________．

4．[2020滨州模拟]若关于x，y的二元一次方程组的解是则关于a，b的二元一次方程组的解是________．

5．[2020宜昌模拟]我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何．”意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛(斛，是古代的一种容量单位)，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛.1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？请解答．

















《一次方程(组)》导学案
考点1　等式的基本性质与解方程
性质1：若a＝b，则a±c＝________移项．
性质2：若a＝b，则ac＝bc去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)；
若a＝b，则＝(c≠0)系数化为1.
答案：b±c
考点2　一元一次方程及其解法
1．一元一次方程：只含有________个未知数，并且未知数的次数是________，等号两边都是整式的方程．
2．一元一次方程的一般形式：ax＋b＝0(a，b是常数，且a≠0)．
3．解一元一次方程的一般步骤
(1)去分母：注意不要漏乘不含分母的项；
(2)去括号：注意括号前是负号时，去括号后括号内各项均要变号；
(3)移项：注意移项要变号；
(4)合并同类项；
(5)系数化为1.
4．已知一元一次方程的解，求方程中字母的值的两种方法
(1)代入法：当已知方程的解时，把解代入方程，得到新的方程，再解新的方程，从而求出字母的值．
(2)整体法：根据方程中的未知数的系数特点，利用整体思想求某些字母的值．
答案：1.1 1
[练习学知]
1．方程3x－2＝2x＋1，移项，得________________；
方程3－x＝2－5(x－1)，去括号，得________________；
方程x＝，未知数系数化为1，得________；
方程－＝1，去分母，得________________．
2．解方程：3－(x＋6)＝－5(x－1)．
3．解方程：－＝－1.
答案：1.3x－2x＝2＋1　3－x＝2－5x＋5　x＝
5(x－1)－2x＝10
2．x＝2　3.x＝－
考点3　二元一次方程(组)及其解法
1．二元一次方程：含有________个未知数，并且含有未知数的项的次数都是________的整式方程．
2．二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方程(或一个二元一次方程，一个一元一次方程)联立起来组成的方程组．
3．二元一次方程组的解：能够使方程组的每个方程都成立的未知数的值．
4．二元一次方程组的解法
(1)代入消元法：当方程组中一个方程的常数项为0或某一个未知数的系数是1或－1时，选择代入消元法较为简单；
(2)加减消元法：①当方程组中同一个未知数的系数相反或相同时，采用加减消元法较为简单；
②当系数不相反也不相同时，可通过找系数的最小公倍数，将系数变成相反或相同，此时采用加减消元法较为合适．
答案：1.2 1
[练习学知]
1．利用代入法解方程组时，把①代入②得到________．
2．利用加减消元法解方程组要消去x，可以将①×________＋②×(－2)，要消去y，可以将①×________＋②×________.
3．解方程组：
4．解方程组：
答案：1.x－2(1－x)＝4　2.5　3　5
3.　4.
考点4　一次方程(组)解实际问题的常见类型及关系式
1.
常见类型
重要的关系式
利润问题
售价＝标价×折扣
销售额＝售价×销量
利润＝售价－进价＝进价×利润率
利润率＝×100%
(折扣：商品购销中的让利打折，几折就是现价占原价的十分之几)
工程问题
工作量＝工作效率×工作时间
行程问题
基本量间的关系：________＝速度×时间
相遇问题：全路程＝甲走的路程________乙走的路程
追及问题：①同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；
②同时不同地出发：前者走的路程＋两地间距离＝追者走的路程

2．列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤
(1)审题：找出问题中的已知量和未知量及它们之间的关系；
(2)设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来；
(3)列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组；
(4)求解；
(5)检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
答案：1.路程 ＋
[题型研究]
研究1　等式的性质及一元一次方程的相关概念
1．[2020常州模拟]已知x＝2是关于x的方程a(x＋1)＝a＋x的解，则a的值是________．
答案：
研究2　一元一次方程的解法
2．[2020攀枝花模拟]解方程：－＝1.
[解]　去分母，得3(x－3)－2(2x＋1)＝6，
去括号，得3x－9－4x－2＝6，
移项，得－x＝17，
系数化为1，得x＝－17.
研究3　一元一次方程的应用
3．[2020安徽模拟]《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：
今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？
请解答上述问题．
[解]　设城中有x户人家，
依题意，得x＋＝100，
解得x＝75.
答：城中有75户人家．
研究4　二元一次方程组的解法
4．解方程组
[解]　方程组为
把①代入②，得
3x＋2x－4＝1，解得x＝1.
把x＝1代入①，得y＝－2.
所以方程组的解为
研究5　实际问题与二元一次方程组
■命题角度1：和差倍分问题
5．[2020襄阳模拟]我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，译文为：“现有几个人共同购买一个物品，每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元．问这个物品的价格是多少元？”该物品的价格是________元．
答案：53
■命题角度2：商品利润问题
6．[2020长沙模拟]随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5 200元．
(1)打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？
(2)阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？
[解]　(1)设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，
根据题意，得
解得
答：打折前甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元．
(2)80×70×(1－80%)＋100×80×(1－75%)＝3 120(元)．
答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3 120元．
7．[变式训练]　[2020连云港模拟]某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．
(1)求该店有客房多少间？房客多少人？
(2)假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加，每间客房收费20元，且每间客房最多入住4人，一次性订客房18间以上(含18间)房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？
解：(1)设该店有客房x间，房客y人，根据题意，得
解得
答：该店有客房8间，房客63人．
(2)若每间客房4人，则63位客人至少需客房16间，需付费20×16＝320(元)．
若一次性订客房18间，则需付费20×18×0.8＝288(元)<320(元)．
答：若诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订房18间更合算．
8．程大位是我国明朝商人，珠算发明家，他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法，书中有如下问题：
一百馒头一百僧，大僧三个更无争，
小僧三人分一个，大小和尚得几丁．
意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人．下列求解结果正确的是 (　　)
A．大和尚25人，小和尚75人
B．大和尚75人，小和尚25人
C．大和尚50人，小和尚50人
D．大、小和尚各100人
答案：A
9．中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一，其中有一问题：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两，问牛羊各直金几何？”译文：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两，问牛、羊每头各值金多少？设牛、羊每头各值金x两、y两，依题意，可列出方程组为________________．
答案：
10．我国古代数学名著《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何．”意思是：鸡和兔关在一个笼子里，从上面看有35个头，从下面看有94条腿，问笼中鸡和兔各有多少只？
解：笼中鸡有23只，兔有12只．
11．[2019湖南长沙，11,3分]《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，木头还剩余1尺，则木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则下列所列方程组正确的是 ( )
A. B．
C. D.
答案：A

训练点1　一元一次方程及其应用
1．[2020恩施州模拟]一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，在这次买卖中，这家商店(　　)
A．不盈不亏 B．盈利20元
C．亏损10元 D．亏损30元
答案：C
2．[2020临沂模拟]任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢？我们以无限循环小数0.为例进行说明：设0.＝x，由0.＝0.777 7…可知，10x＝7.777 7…，所以10x－x＝7，解方程，得x＝.于是，得0.＝.将0.写成分数的形式是________．
答案：
训练点2　二元一次方程(组)及其应用
1．[2020东营模拟]小岩打算购买气球装扮学校“毕业典礼”活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同．由于会场布置需要，购买时以一束(4个气球)为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为(　　)

A．19 B．18
C．16 D．15
答案：B
2．[2020德州模拟]对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b＝例如4◆3，因为4＞3，所以4◆3＝＝5.若x，y满足方程组则x◆y＝________.
答案：60
3．[2020株洲模拟]小强同学生日的月数减去日数为2，月数的两倍和日数相加为31，则小强同学生日的月数和日数的和为________．
答案：20
4．[2020滨州模拟]若关于x，y的二元一次方程组的解是则关于a，b的二元一次方程组的解是________．
答案：
5．[2020宜昌模拟]我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何．”意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛(斛，是古代的一种容量单位)，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛.1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？请解答．
解：设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，
则解得
答：1个大桶可以盛酒斛，1个小桶可以盛酒斛．

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