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《一元二次方程》复习课导学案
考点1　一元二次方程及其解法
1．一元二次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是________的整式方程．
2．一般形式

3．一元二次方程的解法
(1)直接开平方法：对于形如(x－a)2＝b(b≥0，b是常数)的方程，求出x－a＝±，则x1＝a＋，x2＝a－.
(2)配方法：比较适合配方法的情形是“二次项系数为1，一次项系数为偶数”．
(3)公式法：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，且a≠0)的求根公式：x＝(b2－4ac≥0)．
(4)因式分解法：通过提公因式法、公式法等因式分解的方法，把方程化为形如(ax－b)(cx－d)＝0的形式，则ax－b＝0或cx－d＝0，所以x1＝，x2＝.
4．用配方法解一元二次方程的步骤
(1)变形：将二次项系数化为1；
(2)移项：将常数项移到方程的右边；
(3)配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
(4)求解：用直接开平方法求解．
[练习学知]
1．解方程：9x2－4＝0.
2．解方程：2x2＝4x.
3．解方程：x2－4x＝1.
考点2　根的判别式与一元二次方程根的情况
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为Δ＝b2－4ac.
(1)b2－4ac>0?方程有________的实数根；
(2)b2－4ac＝0?方程有________的实数根；
(3)b2－4ac<0?方程________实数根．
[练习学知]
1．一元二次方程x2＋2x－1＝0的根的情况是____________．
2．若关于x的一元二次方程kx2－6x＋9＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．
考点3　根与系数的关系
如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，那么x1＋x2＝－，x1x2＝.
考点4　一元二次方程的实际应用
1．平均增长(下降)率问题
设a为原来量，m为平均增长率，2为增长次数，b为增长后的量，则________________；当m为平均下降率，2为下降次数，b为下降后的量，则__________________．
2．面积类问题常见图形归纳
(1)如图(1)，设空白部分的宽为x，则S阴影＝____________；

图(1)
(2)如图(2)、图(3)、图(4)，设空白道路的宽为x，则S阴影＝________；

(3)如图(5)，围栏总长为a，BC的长为b，则S阴影＝________.

图(5)

考点5　用配方法推导一元二次方程的求根公式
用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
推导过程：移项，得ax2＋bx＝－c，
二次项系数化为1，得x2＋x＝－.
配方，得x2＋x＋2＝－＋2，
即2＝.①
因为a≠0，所以4a2>0，b2－4ac的值有以下三种情况：
(1)b2－4ac>0，这时>0，由①，得x＋＝±，方程有两个不相等的实数根，x1＝，x2＝；
(2)b2－4ac＝0，这时＝0，由①可知，方程有两个相等的实数根，x1＝x2＝－.
(3)b2－4ac<0，这时<0，由①可知，2<0，而x取任何实数都不能使2<0，因此方程无实数根．
所以当b2－4ac≥0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根可写为x＝.
[题型研究]
研究1　一元二次方程的解法
1．[2020兰州模拟]解方程：3x2－2x－2＝0.





研究2　根的判别式和根与系数的关系
2．[2020孝感模拟]已知关于x的一元二次方程(x－3)(x－2)＝p(p＋1)．
(1)试证明：无论p取何值，此方程总有两个实数根；
(2)若原方程的两根x1，x2满足x＋x－x1x2＝3p2＋1，求p的值．





3．[变式训练]　[2020随州模拟]已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋3)x＋k2＝0有两个不相等的实数根x1，x2.
(1)求k的取值范围；
(2)若＋＝－1，求k的值．





研究3　列一元二次方程解实际问题
■命题角度1：平均增长(降低)率问题
4．[2020毕节模拟]为进一步发展基础教育，自2017年以来，某县加大了教育经费的投入，2017年该县投入教育经费6 000万元，2019年投入教育经费8 640万元，假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．
(1)求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；
(2)若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2020年该县投入教育经费多少万元？




5．[上题变式]“2017年投入教育经费8 640万元”改为“2017年至2019年共投入教育经费21 840万元”，若按照此增长率，请计算2020年该地区投入教育经费多少万元？




■命题角度2：几何图形的面积问题
6．[2020自贡模拟]利用一面墙(墙的长度不限)，另三边用58 m长的篱笆围成一个面积为200 m2的矩形场地，求矩形的长和宽．






■命题角度3：与涨价、降价有关的商品利润问题
7．[2020淮安模拟]水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．
(1)若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是多少斤(用含x的代数式表示)?
(2)销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？



8．[2018舟山，7,3分]欧几里得的《几何原本》记载，形如x2＋ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝，则该方程的一个正根是 (　　)

A．AC的长
B．AD的长
C．BC的长
D．CD的长
9．[拓展设问]上述求解方法运用的数学思想是 (　　)
A．整体思想 B．类比思想
C．方程思想 D．数形结合思想
10．《杨辉算法》中有一题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”译文为：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？
训练点1　一元二次方程
1．[2020临沂模拟]一元二次方程y2－y－＝0配方后可化为(　　)
A.2＝1 B．2＝1
C.2＝ D.2＝
2．[2020随州模拟]将关于x的一元二次方程x2－px＋q＝0变形为x2＝px－q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x·x2＝x(px－q)＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2－x－1＝0，且x>0，则x4－2x3＋3x的值为(　　)
A．1－ B．3－
C．1＋ D．3＋
3．[2020毕节模拟]关于x的一元二次方程(k＋2)x2＋6x＋k2＋k－2＝0有一个根是0，则k的值是________．
4．[2020黄冈模拟]一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2－10x＋21＝0的根，则三角形的周长为________．
5．[2020内江模拟]已知关于x的方程ax2＋bx＋1＝0的两根为x1＝1，x2＝2，则方程a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝0的两根之和为________ .
6．[2020南充模拟]已知关于x的一元二次方程x2－(2m－2)x＋(m2－2m)＝0.
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两实数根为x1，x2，且x＋x＝10，求m的值．









7．[2019泸州模拟]已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两个实数根．
(1)若(x1－1)(x2－1)＝28，求m的值；
(2)已知等腰三角形ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．











训练点2　一元二次方程的应用
1．[2020抚顺模拟]某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同．设2,3月份利润的月增长率为x，那么x满足的方程为(　　)
A．10(1＋x)2＝36.4
B．10＋10(1＋x)2＝36.4
C．10＋10(1＋x)＋10(1＋2x)＝36.4
D．10＋10(1＋x)＋10(1＋x)2＝36.4
2．[2020兰州模拟]股票每天的涨跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，而后两天时间又涨回原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是(　　)
A．(1＋x)2＝ B．(1＋x)2＝
C．1＋2x＝ D．1＋2x＝
3．[2020盐城模拟]一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
(1)若降价3元，则平均每天销售数量为________件；
(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1 200元？















《一元二次方程》复习课导学案
考点1　一元二次方程及其解法
1．一元二次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是________的整式方程．
2．一般形式

3．一元二次方程的解法
(1)直接开平方法：对于形如(x－a)2＝b(b≥0，b是常数)的方程，求出x－a＝±，则x1＝a＋，x2＝a－.
(2)配方法：比较适合配方法的情形是“二次项系数为1，一次项系数为偶数”．
(3)公式法：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，且a≠0)的求根公式：x＝(b2－4ac≥0)．
(4)因式分解法：通过提公因式法、公式法等因式分解的方法，把方程化为形如(ax－b)(cx－d)＝0的形式，则ax－b＝0或cx－d＝0，所以x1＝，x2＝.
4．用配方法解一元二次方程的步骤
(1)变形：将二次项系数化为1；
(2)移项：将常数项移到方程的右边；
(3)配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
(4)求解：用直接开平方法求解．
答案：1.2
[练习学知]
1．解方程：9x2－4＝0.
2．解方程：2x2＝4x.
3．解方程：x2－4x＝1.
答案：1.x1＝，x2＝－　2.x1＝0，x2＝2
3．x1＝2＋，x2＝2－
考点2　根的判别式与一元二次方程根的情况
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为Δ＝b2－4ac.
(1)b2－4ac>0?方程有________的实数根；
(2)b2－4ac＝0?方程有________的实数根；
(3)b2－4ac<0?方程________实数根．
答案：(1)两个不相等 (2)两个相等 (3)没有
[练习学知]
1．一元二次方程x2＋2x－1＝0的根的情况是____________．
2．若关于x的一元二次方程kx2－6x＋9＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．
答案：1.有两个不相等的实数根
2．k<1且k≠0
考点3　根与系数的关系
如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，那么x1＋x2＝－，x1x2＝.
考点4　一元二次方程的实际应用
1．平均增长(下降)率问题
设a为原来量，m为平均增长率，2为增长次数，b为增长后的量，则________________；当m为平均下降率，2为下降次数，b为下降后的量，则__________________．
2．面积类问题常见图形归纳
(1)如图(1)，设空白部分的宽为x，则S阴影＝____________；

图(1)
(2)如图(2)、图(3)、图(4)，设空白道路的宽为x，则S阴影＝________；

(3)如图(5)，围栏总长为a，BC的长为b，则S阴影＝________.

图(5)

答案：1.a(1＋m)2＝b a(1－m)2＝b
2．(1)(a－2x)(b－2x) (2)(a－x)(b－x) (3)·b
考点5　用配方法推导一元二次方程的求根公式
用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
推导过程：移项，得ax2＋bx＝－c，
二次项系数化为1，得x2＋x＝－.
配方，得x2＋x＋2＝－＋2，
即2＝.①
因为a≠0，所以4a2>0，b2－4ac的值有以下三种情况：
(1)b2－4ac>0，这时>0，由①，得x＋＝±，方程有两个不相等的实数根，x1＝，x2＝；
(2)b2－4ac＝0，这时＝0，由①可知，方程有两个相等的实数根，x1＝x2＝－.
(3)b2－4ac<0，这时<0，由①可知，2<0，而x取任何实数都不能使2<0，因此方程无实数根．
所以当b2－4ac≥0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根可写为x＝.
[题型研究]
研究1　一元二次方程的解法
1．[2020兰州模拟]解方程：3x2－2x－2＝0.
[解]　x＝＝，
即x1＝，x2＝，
∴原方程的解为x1＝，x2＝.
研究2　根的判别式和根与系数的关系
2．[2020孝感模拟]已知关于x的一元二次方程(x－3)(x－2)＝p(p＋1)．
(1)试证明：无论p取何值，此方程总有两个实数根；
(2)若原方程的两根x1，x2满足x＋x－x1x2＝3p2＋1，求p的值．
(1)[证明]　原方程可变形为x2－5x＋6－p2－p＝0.
∵Δ＝(－5)2－4(6－p2－p)＝25－24＋4p2＋4p
＝4p2＋4p＋1＝(2p＋1)2≥0，
∴无论p取何值，此方程总有两个实数根．
(2)[解]　∵原方程的两根为x1，x2，
∴x1＋x2＝5，x1x2＝6－p2－p.
又∵x＋x－x1x2＝3p2＋1，
∴(x1＋x2)2－3x1x2＝3p2＋1，
∴52－3(6－p2－p)＝3p2＋1，
∴25－18＋3p2＋3p＝3p2＋1，
∴3p＝－6，∴p＝－2.
3．[变式训练]　[2020随州模拟]已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋3)x＋k2＝0有两个不相等的实数根x1，x2.
(1)求k的取值范围；
(2)若＋＝－1，求k的值．
解：(1)∵关于x的一元二次方程x2＋(2k＋3)x＋k2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝(2k＋3)2－4k2＞0，解得k＞－.
(2)∵x1，x2是方程x2＋(2k＋3)x＋k2＝0的实数根，
∴x1＋x2＝－2k－3，x1x2＝k2，
∴＋＝＝－＝－1，
解得k1＝3，k2＝－1，
经检验，k1＝3，k2＝－1都是原分式方程的根．
又∵k＞－，∴k＝3.
研究3　列一元二次方程解实际问题
■命题角度1：平均增长(降低)率问题
4．[2020毕节模拟]为进一步发展基础教育，自2017年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6 000万元，2019年投入教育经费8 640万元，假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．
(1)求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；
(2)若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2020年该县投入教育经费多少万元？
[解]　(1)设该县投入教育经费的年平均增长率为x，
则6 000(1＋x)2＝8 640，解得x1＝0.2，x2＝－2.2(舍去)．
答：这两年该县投入教育经费的年平均增长率为20%.
(2)因为2017年该县投入教育经费为8 640万元且增长率为20%，
所以2017年该县投入教育经费为y＝8 640×(1＋0.2)＝10 368(万元)．
答：2017年该县投入教育经费为10 368万元．
5．[上题变式]“2017年投入教育经费8 640万元”改为“2017年至2019年共投入教育经费21 840万元”，若按照此增长率，请计算2020年该地区投入教育经费多少万元？
答案：10 368万元
■命题角度2：几何图形的面积问题
6．[2020自贡模拟]利用一面墙(墙的长度不限)，另三边用58 m长的篱笆围成一个面积为200 m2的矩形场地，求矩形的长和宽．

[解]　设垂直于墙的一边为x m，得
x(58－2x)＝200，解得x1＝25，x2＝4，
∴另一边长为8 m或50 m.
答：矩形的长为25 m，宽为8 m或长为50 m，宽为4 m.
■命题角度3：与涨价、降价有关的商品利润问题
7．[2020淮安模拟]水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．
(1)若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是多少斤(用含x的代数式表示)?
(2)销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？
[解]　(1)100＋×20＝100＋200x.
(2)根据题意，得(4－2－x)(100＋200x)＝300，
解得x1＝0.5，x2＝1.
当降低0.5元时，销售量为100＋100＝200<260，
∵每天至少售出260斤，∴x＝0.5不合题意，舍去．
当x＝1时，销售量为100＋200＝300>260，符合题意．
答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．
8．[2018舟山，7,3分]欧几里得的《几何原本》记载，形如x2＋ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝，则该方程的一个正根是 (　　)

A．AC的长
B．AD的长
C．BC的长
D．CD的长
答案：B
9．[拓展设问]上述求解方法运用的数学思想是 (　　)
A．整体思想 B．类比思想
C．方程思想 D．数形结合思想
答案：D
10．《杨辉算法》中有一题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”译文为：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？
解：矩形田地的长比宽多12步．

训练点1　一元二次方程
1．[2020临沂模拟]一元二次方程y2－y－＝0配方后可化为(　　)
A.2＝1 B．2＝1
C.2＝ D.2＝
答案：B
2．[2020随州模拟]将关于x的一元二次方程x2－px＋q＝0变形为x2＝px－q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x·x2＝x(px－q)＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2－x－1＝0，且x>0，则x4－2x3＋3x的值为(　　)
A．1－ B．3－
C．1＋ D．3＋
答案：C　
3．[2020毕节模拟]关于x的一元二次方程(k＋2)x2＋6x＋k2＋k－2＝0有一个根是0，则k的值是________．
答案：1　
4．[2020黄冈模拟]一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2－10x＋21＝0的根，则三角形的周长为________．
答案：16
5．[2020内江模拟]已知关于x的方程ax2＋bx＋1＝0的两根为x1＝1，x2＝2，则方程a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝0的两根之和为________ .
答案：1
6．[2020南充模拟]已知关于x的一元二次方程x2－(2m－2)x＋(m2－2m)＝0.
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两实数根为x1，x2，且x＋x＝10，求m的值．
(1)证明：由题意，可知Δ＝(2m－2)2－4(m2－2m)＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
(2)解：∵x1＋x2＝2m－2，x1x2＝m2－2m，
又x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝10，
∴(2m－2)2－2(m2－2m)＝10，
∴m2－2m－3＝0，∴m＝－1或m＝3.
7．[2019泸州模拟]已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两个实数根．
(1)若(x1－1)(x2－1)＝28，求m的值；
(2)已知等腰三角形ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．
解：(1)∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两个实数根，
∴x1＋x2＝2(m＋1)，x1x2＝m2＋5.
∵(x1－1)(x2－1)＝28，
∴(x1－1)(x2－1)
＝x1x2－x1－x2＋1
＝x1x2－(x1＋x2)＋1
＝m2＋5－2(m＋1)＋1
＝m2－2m＋4＝28，
即m2－2m－24＝0，
∴m＝－4或m＝6.
又∵Δ＝b2－4ac
＝[－2(m＋1)]2－4(m2＋5)
＝4(m＋1)2－4(m2＋5)
＝4m2＋8m＋4－4m2－20
＝8m－16≥0，
∴m≥2，∴m＝6.
(2)①当7为底边时，此时方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝4(m＋1)2－4(m2＋5)＝0，
解得m＝2，
∴方程变为x2－6x＋9＝0，
解得x1＝x2＝3，
∵3＋3<7，∴不能构成三角形；
②当7为腰时，设x1＝7，
代入方程，得49－14(m＋1)＋m2＋5＝0，
解得m＝10或m＝4，
当m＝10时，方程变为x2－22x＋105＝0，
解得x＝7或x＝15，
∵7＋7<15，∴不能构成三角形；
当m＝4时，方程变为x2－10x＋21＝0，
解得x＝3或x＝7，能构成三角形，
此时三角形的周长为7＋7＋3＝17.
训练点2　一元二次方程的应用
1．[2020抚顺模拟]某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同．设2,3月份利润的月增长率为x，那么x满足的方程为(　　)
A．10(1＋x)2＝36.4
B．10＋10(1＋x)2＝36.4
C．10＋10(1＋x)＋10(1＋2x)＝36.4
D．10＋10(1＋x)＋10(1＋x)2＝36.4
答案：D　
2．[2020兰州模拟]股票每天的涨跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，而后两天时间又涨回原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是(　　)
A．(1＋x)2＝ B．(1＋x)2＝
C．1＋2x＝ D．1＋2x＝
答案：B
3．[2020盐城模拟]一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
(1)若降价3元，则平均每天销售数量为________件；
(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1 200元？
解：(1)26
(2)设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1 200元．
根据题意，得 (40－x)(20＋2x)＝1 200，
整理，得x2－30x＋200＝0，
解得x1＝10，x2＝20.
∵要求每件盈利不少于25元，
∴x2＝20应舍去，解得x＝10.
答：每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1 200元．

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