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绳物关联模型、小船渡河问题
1.
如图所示,正方形木块放在光滑的实验桌面上,桌子边缘有一定滑轮,一轻绳上端系在木块上,下端连接砂桶,将砂桶由静止释放,正方形木块沿水平桌面滑动。若某一瞬间,砂桶的速度大小为v时,上端绳与水平桌面的夹角为θ,则此时正方形木块的速度大小为(
)。
A.vcos
θ
B.
C.
D.vsin
θ
2.(多选)在某玻璃自动切割生产线上,宽6
m的成型玻璃板以大小为2
m/s的恒定速度向前运动,在切割工序处,金刚钻的割刀速度为4
m/s,为了使割下的玻璃都成规定尺寸的矩形,则下列说法中正确的是(
)。
A.金刚钻的割刀速度与玻璃板运动方向成60°角
B.金刚钻的割刀速度与玻璃板运动方向成30°角
C.金刚钻的割刀速度与玻璃板运动方向相同
D.切割成矩形时切割一次的时间为3
s
3.
如图所示,有一条两岸平直、河水均匀流动的河,甲、乙两只小船以相同的速度渡河,乙船运动轨迹为图中AB,而甲船船头始终指向AB,已知AB连线与河岸垂直,河水流速恒为v,甲、乙渡河所用时间的比值为k,则小船在静水中的速度大小为(
)。
A.
B..
C.
D.
4.如图所示,小船以大小为v1=5
m/s、方向与上游河岸成θ=60°角的速度(在静水中的速度)从A处过河,经过一段时间正好到达正对岸的B处。已知河宽d=180
m,则下列说法中正确的是(
)。
A.河中水流速度为2.5
m/s
B.小船以最短位移渡河的时间为24
s
C.小船渡河的最短时间为24
s
D.小船最短的时间内渡河的位移是90
m
5.如图所示,重物M沿竖直杆下滑,并通过一根不可伸长的细绳带动小车沿水平面向右运动。若当滑轮右侧的绳与竖直方向成β角,且重物下滑的速率为v时,滑轮左侧的绳与水平方向成α角,则小车的速度为(
)。
A.
B.
C.
D.
6.(多选)如图所示,若小船渡河时船头指向③方向,则所用时间为100
s。已知小船在静水中的速度为2
m/s,②方向与河岸成30°角,河水的流速为1.5
m/s,则(
)。
A.河的宽度为200
m
B.在小船渡河过程中船头指向③方向时,小船到达对岸的位置与出发点间的距离为200
m
C.在小船渡河过程中船头指向④方向时,船的实际速度可以达到3.5
m/s
D.在小船渡河过程中船头指向②方向时,渡河的时间为200
s
7.质量不计且不可伸长的细线两端固定着两个质量均为m的可视为质点的小球A和B,将整体从地面抛向空中。在A、B运动过程中细线始终伸直,此时A、B在空中的位置如图所示,A的速度方向竖直向上,则关于该时刻B的速度方向可能正确的是(
)。
A.沿1所指的方向
B.沿2所指的方向
C.沿3所指的方向
D.沿4所指的方向
8.“七星坛上卧龙登,一夜东风江水腾,不是孔明施妙计,周郎安得呈才能?”三国时,诸葛亮借东风,周瑜火烧赤壁。孔明怕遭伤害,于是东风初起,便于七星坛上,披发而下于江边上船渡江,为尽可能缩短过江时间,孔明估测了一下江面的宽度及水速,于是调整船头,使船头垂直于河岸,船在静水中的速度为v1,从A沿直线运动到B,渡河所用时间为t1;周瑜从后面追赶,船头垂直于AB,船在静水中的速度为v2,也从A沿直线运动到B,渡河所用时间为t2,若AB与河岸的夹角为α,河水速度恒定。则下列表达式成立的是(
)。
A.=sin
α
B.=
C.=cos
2α
D.=
9.
(多选)如图所示,长度为l的轻杆上端连着一质量为m的小球A(可视为质点),杆的下端用铰链固接于水平面上的O点。置于同一水平面上的立方体B恰与A接触,立方体B的质量为M。今有微小扰动,使杆向右倾倒,各处摩擦均不计,而A与B刚脱离接触的瞬间,杆与地面夹角恰为,重力加速度为g,则下列说法正确的是(
)。
A.A与B刚脱离接触的瞬间,A、B的速率之比为2∶1
B.A与B刚脱离接触的瞬间,B的速率为
C.A落地时的速率为
D.A、B的质量之比为1∶4
10.
(多选)如图所示,在光滑的水平面上有一长为L的细杆,其两端分别固定两个相同的小球a、b,两小球的质量都为m,其中a球位于光滑的水平面上,b球套在竖直固定光滑杆上,此时细杆与竖直方向的夹角为30°。若将b从图示位置由静止释放,则运动到细杆与竖直方向的夹角为60°的过程中,下列说法中正确的是(
)。
A.a、b组成的系统机械能不守恒
B.轻杆与竖直方向的夹角为60°时,a、b的速度之比为
C.轻杆对a球做的功为mgL
D.轻杆对b球做的功为-mgL
11.(多选)河水由西向东流,河宽为800
m,河中各点的水流速度大小为v水,各点到较近河岸的距离为x,v水与x的关系为v水=
m/s,让小船船头垂直河岸由南向北渡河,小船划水速度大小恒为v船=4
m/s,则下列说法中正确的是(
)。
A.小船渡河的轨迹为直线
B.小船在河水中的最大速度是5
m/s
C.小船在距南岸200
m处的速度小于距北岸200
m处的速度
D.小船渡河的时间是200
s
12.(多选)如图所示,固定光滑长斜面倾角为37°,下端有一固定挡板。两小物块A、B放在斜面上,质量均为m,用与斜面平行的轻弹簧连接。一跨过轻小定滑轮的轻绳左端与B相连,右端与水平地面上的电动玩具小车相连。系统静止时,滑轮左侧轻绳与斜面平行,右侧轻绳竖直,长度为L且绳中无弹力。当小车缓慢向右运动L距离时,A恰好不离开挡板。已知重力加速度大小为g,sin
37°=0.6,cos
37°=0.8。下列说法正确的是(
)。
A.弹簧的劲度系数为
B.小车在0~L位移大小内,拉力对B做的功为mgL
C.若小车从图示位置以的速度向右匀速运动,小车位移大小为L时B的速率为
D.若小车从图示位置以的速度向右匀速运动,小车在0~L位移大小内,拉力对B做的功为mgL
【解析版】
绳物关联模型、小船渡河问题
1.
如图所示,正方形木块放在光滑的实验桌面上,桌子边缘有一定滑轮,一轻绳上端系在木块上,下端连接砂桶,将砂桶由静止释放,正方形木块沿水平桌面滑动。若某一瞬间,砂桶的速度大小为v时,上端绳与水平桌面的夹角为θ,则此时正方形木块的速度大小为(
)。
A.vcos
θ
B.
C.
D.vsin
θ
【答案】B
【解析】依据运动的合成与分解知,O点的运动可分解为沿着绳子方向的运动与垂直于绳子方向的运动,如图所示,根据平行四边形定则及三角形知识,则有v'=,B项正确。
2.(多选)在某玻璃自动切割生产线上,宽6
m的成型玻璃板以大小为2
m/s的恒定速度向前运动,在切割工序处,金刚钻的割刀速度为4
m/s,为了使割下的玻璃都成规定尺寸的矩形,则下列说法中正确的是(
)。
A.金刚钻的割刀速度与玻璃板运动方向成60°角
B.金刚钻的割刀速度与玻璃板运动方向成30°角
C.金刚钻的割刀速度与玻璃板运动方向相同
D.切割成矩形时切割一次的时间为3
s
【答案】BD
【解析】金刚钻的割刀在沿玻璃板运动方向应与玻璃板保持相对静止,在垂直玻璃板运动方向切割玻璃。对金刚钻割刀的速度进行分解。如图所示,由勾股定理可知,v2=2
m/s,且金刚钻的割刀与玻璃板运动方向成30°角。A、C两项错误,B项正确。切割一次所用时间t==3
s,D项正确。
3.
如图所示,有一条两岸平直、河水均匀流动的河,甲、乙两只小船以相同的速度渡河,乙船运动轨迹为图中AB,而甲船船头始终指向AB,已知AB连线与河岸垂直,河水流速恒为v,甲、乙渡河所用时间的比值为k,则小船在静水中的速度大小为(
)。
A.
B..
C.
D.
【答案】A
【解析】设河的宽度为d,小船在静水中的速度为v0,则甲船渡河所用时间t1=,乙船渡河所用时间t2=。由题知=k,联立以上各式得v0=
,A项正确。
4.如图所示,小船以大小为v1=5
m/s、方向与上游河岸成θ=60°角的速度(在静水中的速度)从A处过河,经过一段时间正好到达正对岸的B处。已知河宽d=180
m,则下列说法中正确的是(
)。
A.河中水流速度为2.5
m/s
B.小船以最短位移渡河的时间为24
s
C.小船渡河的最短时间为24
s
D.小船最短的时间内渡河的位移是90
m
【答案】D
【解析】由题意可知,船垂直河岸渡河,其渡河航程最短,船头应朝上游,与垂直河岸方向成某一夹角α,如图甲所示,则α=30°。有v1sin
α=v2,解得v2=2.5
m/s,A项错误;x'=d=180
m,t'==
s=24
s,B项错误;欲使船在
最短时间内渡河,船头应朝垂直河岸方向。当船头垂直河岸时,如图乙所示,合速度为斜向下游方向,垂直分速度v1=5
m/s,渡河时间t==
s=36
s,C项错误;v==
m/s,x=vt=90
m,D项正确。
5.如图所示,重物M沿竖直杆下滑,并通过一根不可伸长的细绳带动小车沿水平面向右运动。若当滑轮右侧的绳与竖直方向成β角,且重物下滑的速率为v时,滑轮左侧的绳与水平方向成α角,则小车的速度为(
)。
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】设小车的速度为v车,如图甲所示,沿细绳方向的分速度v3=v车cos
α;如图乙所示,重物M的速度沿细绳方向的分速度v1=vcos
β。由于细绳不可伸长,小车和重物沿细绳方向的速度相等,即v车cos
α=vcos
β,解得v车=,D项正确。
6.(多选)如图所示,若小船渡河时船头指向③方向,则所用时间为100
s。已知小船在静水中的速度为2
m/s,②方向与河岸成30°角,河水的流速为1.5
m/s,则(
)。
A.河的宽度为200
m
B.在小船渡河过程中船头指向③方向时,小船到达对岸的位置与出发点间的距离为200
m
C.在小船渡河过程中船头指向④方向时,船的实际速度可以达到3.5
m/s
D.在小船渡河过程中船头指向②方向时,渡河的时间为200
s
【答案】AD
【解析】当小船在静水中的速度方向与河岸垂直时,小船渡河时间最短,t=,那么河宽d=vct=2×100
m=200
m,A项正确;当小船以最短时间渡河时,小船沿着水流方向的距离s=vst=1.5×100
m=150
m,那么到达对岸的位置与出发点间的距离x==250
m,B项错误;船在静水中的速度为2
m/s,河水的流速为1.5
m/s,那么当小船船头方向与河岸成某一角度进行渡河时,船的实际速度最大值不大于3.5
m/s,C项错误;当船以船头方向与河岸成30°角渡河时,船渡河的时间t'==
s=200
s,D项正确。
7.质量不计且不可伸长的细线两端固定着两个质量均为m的可视为质点的小球A和B,将整体从地面抛向空中。在A、B运动过程中细线始终伸直,此时A、B在空中的位置如图所示,A的速度方向竖直向上,则关于该时刻B的速度方向可能正确的是(
)。
A.沿1所指的方向
B.沿2所指的方向
C.沿3所指的方向
D.沿4所指的方向
【答案】C
【解析】
如图甲所示,A球实际速度的方向竖直向上,将其分解为沿细线方向的速度和与细线垂直的速度。因为细线伸直,所以两球沿细线方向的速度相同。B球垂直细线方向的速度可能斜向上和斜向下,则B球的实际速度可能有两种情况,分别如图乙所示,C项正确。
8.“七星坛上卧龙登,一夜东风江水腾,不是孔明施妙计,周郎安得呈才能?”三国时,诸葛亮借东风,周瑜火烧赤壁。孔明怕遭伤害,于是东风初起,便于七星坛上,披发而下于江边上船渡江,为尽可能缩短过江时间,孔明估测了一下江面的宽度及水速,于是调整船头,使船头垂直于河岸,船在静水中的速度为v1,从A沿直线运动到B,渡河所用时间为t1;周瑜从后面追赶,船头垂直于AB,船在静水中的速度为v2,也从A沿直线运动到B,渡河所用时间为t2,若AB与河岸的夹角为α,河水速度恒定。则下列表达式成立的是(
)。
A.=sin
α
B.=
C.=cos
2α
D.=
【答案】C
【解析】设河水速度为v,当船头垂直河岸时,v1=vtan
α,合速度v合1=;当船头垂直AB
时,v2=vsin
α,合速度v合2=vcos
α,因此=,A、B两项错误;由于两次路程相同,因此时间之比==cos
2α,C项正确,D项错误。
9.
(多选)如图所示,长度为l的轻杆上端连着一质量为m的小球A(可视为质点),杆的下端用铰链固接于水平面上的O点。置于同一水平面上的立方体B恰与A接触,立方体B的质量为M。今有微小扰动,使杆向右倾倒,各处摩擦均不计,而A与B刚脱离接触的瞬间,杆与地面夹角恰为,重力加速度为g,则下列说法正确的是(
)。
A.A与B刚脱离接触的瞬间,A、B的速率之比为2∶1
B.A与B刚脱离接触的瞬间,B的速率为
C.A落地时的速率为
D.A、B的质量之比为1∶4
【答案】ABD
【解析】设小球的速度为vA,立方体的速度为vB,A、B分离时刻,小球的水平速度与立方体的速度相同,即vAsin
30°=vB,解得vA=2vB,A项正确;根据牛顿第二定律有mgsin
30°=m,解得vA=,vB==,B项正确;A从分离到落地,小球的机械能守恒,有mglsin
30°=mv2-m,解得v=,C项错误;在杆从竖直位置开始倒下到小球与立方体恰好分离的过程中,小球和立方体组成的系统机械能守恒,则有mgl(1-sin
30°)=m+M,把vA和vB的值代入,化简得m∶M=1∶4,D项正确。
10.
(多选)如图所示,在光滑的水平面上有一长为L的细杆,其两端分别固定两个相同的小球a、b,两小球的质量都为m,其中a球位于光滑的水平面上,b球套在竖直固定光滑杆上,此时细杆与竖直方向的夹角为30°。若将b从图示位置由静止释放,则运动到细杆与竖直方向的夹角为60°的过程中,下列说法中正确的是(
)。
A.a、b组成的系统机械能不守恒
B.轻杆与竖直方向的夹角为60°时,a、b的速度之比为
C.轻杆对a球做的功为mgL
D.轻杆对b球做的功为-mgL
【答案】BC
【解析】在b球落地前的整个过程中,a、b和轻杆组成的系统除重力外无其他力做功,所以机械能守恒,A项错误。从b球开始运动到距地面高度为的过程中,a、b和轻杆组成的系统的重力势能的减小量为mgL,由机械能守恒定律可知,mgL=m+m。b球距地面的高度为时,由几何关系可知,轻杆与竖直方向的夹角为60°,设此时a、b的速度分别为v1、v2,由运动的合成与分解可知,两球沿轻杆方向的速度相等,因此v1cos
30°=v2cos
60°,解得=,B项正确。对小球a,由动能定理知,从小球b开始运动到其距地面高度为的过程中,轻杆对小球a做的功W=m=mgL;对小球b,该过程中轻杆对小球b做的功为-mgL,C项正确,D项错误。
11.(多选)河水由西向东流,河宽为800
m,河中各点的水流速度大小为v水,各点到较近河岸的距离为x,v水与x的关系为v水=
m/s,让小船船头垂直河岸由南向北渡河,小船划水速度大小恒为v船=4
m/s,则下列说法中正确的是(
)。
A.小船渡河的轨迹为直线
B.小船在河水中的最大速度是5
m/s
C.小船在距南岸200
m处的速度小于距北岸200
m处的速度
D.小船渡河的时间是200
s
【答案】BD
【解析】小船在沿河岸方向上做匀速直线运动,在垂直于河岸方向上做变速运动,合加速度的方向与合速度方向不在同一条直线上,小船做曲线运动,A项错误。小船到达离河岸处,即中央处,水流速度v水=×400
m/s=3
m/s,则v=
m/s=5
m/s,此时速度最大,故B项正确。小船在距南岸200
m处的速度v1=
m/s,而在距北岸200
m处的速度v2=
m/s,由此可知,在这两处船的速度大小相等,C项错误。小船渡河的时间只与垂直河岸的分速度有关,当船头方向垂直于河岸运动时,渡河时间最短,最短时间t==
s=200
s,D项正确。
12.(多选)如图所示,固定光滑长斜面倾角为37°,下端有一固定挡板。两小物块A、B放在斜面上,质量均为m,用与斜面平行的轻弹簧连接。一跨过轻小定滑轮的轻绳左端与B相连,右端与水平地面上的电动玩具小车相连。系统静止时,滑轮左侧轻绳与斜面平行,右侧轻绳竖直,长度为L且绳中无弹力。当小车缓慢向右运动L距离时,A恰好不离开挡板。已知重力加速度大小为g,sin
37°=0.6,cos
37°=0.8。下列说法正确的是(
)。
A.弹簧的劲度系数为
B.小车在0~L位移大小内,拉力对B做的功为mgL
C.若小车从图示位置以的速度向右匀速运动,小车位移大小为L时B的速率为
D.若小车从图示位置以的速度向右匀速运动,小车在0~L位移大小内,拉力对B做的功为mgL
【答案】ACD
【解析】初态,弹簧压缩量x1=,A恰好不离开挡板时,弹簧伸长量x2=,x1+x2=-L=L,解得k=,A项正确;因为x1=x2,所以初态和末态时弹簧的弹性势能不变,则小车在0~L的位移内拉力对B做的功W1=mg
·Lsin
37°,解得W1=mgL,B项错误;小车位移大小为L时,滑轮右侧轻绳与竖直方向的夹角为37°,小车速度沿轻绳方向和与轻绳垂直方向分解,则B的速率vB=cos
53°=,C项正确;小车在0~L的位移大小内,设拉力对B做的功为W2,根据动能定理有W2+mg
·Lsin
37°=·m,解得W2=mgL,D项正确。

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