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缩放圆、平移圆、旋转圆模型,边界磁场模型
1.
如图所示,在数轴Ox一侧存在垂直纸面向里的匀强磁场。有一个电子以大小相等的速度从O点沿不同方向垂直磁场方向射入磁场,从P点射出磁场,不计电子的重力,该电子的入射速度方向与x轴正方向的夹角越小,(
)。
A.OP距离越小
B.OP距离越大
C.它在磁场中运动时间越长
D.它在磁场中运动时间越短
2.
如图所示,直线ab右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场,磁场的磁感应强度为B0。直线ab上有一小孔M,N为磁场中、直线外一点。质量为m、带电荷量为e的电子,以速度v0从M垂直于直线ab垂直射入磁场中。电子从M到N的运动时间为t,下列判断正确的是(
)。
A.MN与初速度v0的夹角为
B.MN与初速度v0的夹角为
C.M、N间的距离为sin
D.M、N间的距离为sin
3.如图所示,等边三角形OPQ区域内有垂直纸面向里的匀强磁场。在纸面内从O点向磁场区域POQ各个方向瞬时射入带正电的粒子,所有粒子的速率都相同,不计粒子之间的相互作用和重力的影响。沿OQ方向射入的粒子从PQ边的中点M射出,此时还在磁场中运动的粒子占所有粒子的比例为(
)。
A.
B.
C.
D.
4.如图所示,一矩形区域abcd内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B0的匀强磁场,ad和ab边长分别为l和2l,P为ad边中点。在P点,把带正电的粒子以大小不同的初速度平行纸面射入磁场,速度方向跟ad边夹角θ=30°。已知粒子的质量为m,带电荷量为q,粒子重力不计,欲使粒子能从ab边上射出磁场,则初速度v0大小可能为(
)。
A.
B.
C.
D.
5.(多选)如图所示,在矩形PQNM中有垂直纸面向外的匀强磁场,PM的长度为3L,PQ很长,O为PQ上一点,OP长度为L。一个带正电荷的粒子从O点以速度v0射入磁场中,从PQ离开磁场,粒子质量为m、带电荷量为q,不计重力,则下列判断正确的是(
)。
A.若带电粒子的速度垂直PQ向上,则磁场的磁感应强度可能为
B.若带电粒子的速度垂直PQ向上,则在磁场中的运动时间可能为
C.若带电粒子的速度与PQ成夹角θ=60°向上,则磁感应强度可能为
D.若带电粒子的速度与PQ成夹角θ=60°向上,则在磁场中的运动时间可能为
6.如图所示,匀强磁场分布在半径R=0.10
m的圆形区域内,圆心为O,磁场的磁感应强度大小B0=0.15
T,方向垂直纸面向里。M和N分别为圆直径的左、右端点,很大的荧光屏与圆相切于N点。一个带正电的粒子从M点以垂直于荧光屏的速度射入磁场,速度大小v0=3.0×106
m/s。粒子的重力不计,比荷为1.0×108
C/kg。现在以过M点并垂直于纸面的直线为轴,将圆形磁场在纸面内逆时针缓慢旋转90°,则此过程中粒子打在荧光屏上离N点的最远距离为(
)。
A.
m
B.
m
C.
m
D.
m
7.
(多选)如图所示,边长为2L的等边三角形abc中有垂直此三角形的匀强磁场,磁场的磁感应强度大小为B0,O为bc的中点。一个质量为m、带电荷量为+q的粒子从O点以垂直于bc向上的初速度射入磁场中,不计重力。下列判断正确的是(
)。
A.若带电粒子垂直ab飞出磁场,则粒子的初速度可能为
B.若带电粒子垂直ab飞出磁场,则粒子在磁场中的运动时间为
C.若粒子从bc边飞出磁场,粒子的初速度可能为
D.若粒子从bc边飞出磁场,粒子在磁场中的运动时间为
8.如图所示,ab和cd为纸面内相互平行的直线,它们之间存在垂直纸面向里的匀强磁场。一个质子H)以速度v0垂直于ab从O点进入磁场区域,在磁场中运动的时间为Δt,在磁场中转过θ=后从cd边界射出。现在把α粒子He)以速度v0垂直于ab从O点进入磁场区域,则α粒子在磁场中的运动时间为(
)。
A.Δt
B.3Δt
C.4Δt
D.6Δt
9.(多选)王老师在家重温了《哈利波特》系列电影,除了沉溺于“赫敏”“卢娜”的颜值外,更是对“死亡圣器”的标志产生了兴趣。其标志可简化为纸面内一个正三角形abc与其内切圆组成的图形,如图所示,圆的半径为r,三个切点分别为P、d、Q,图形被ad分割为相同的两部分,在左半圆和右半圆内分别存在着垂直纸面的匀强磁场B1、B2,其余地方均无磁场,在P处有一挡板,其余部分没有阻挡。现在从d点朝着a点发射一质量为m,带电荷量为+q的粒子,速度大小为v0,粒子以垂直ab的速度方向打在P上,从P处反弹后,最后回到了d点。不考虑重力作用,且碰撞无能量损失。下列判断正确的是(
)。
A.B1和B2方向均垂直纸面向里
B.B1垂直纸面向里,B2垂直纸面向外
C.右边磁场的磁感应强度大小为
D.左边磁场的磁感应强度大小为
10.(多选)在光滑绝缘的水平桌面上半径R=0.5
m的圆形区域内有竖直向下、磁感应强度大小B=2
T的匀强磁场,圆心为O。a为圆周上一点,ac与圆相切于a点,d为圆周上一点,cd连线过O点,α=30°,P为cd延长线上一点,Md和Nd与Pd的夹角均为β=60°。圆弧MPN用金属片制成、带正电,Md间电压U=102
V。一个带正电的小球从紧靠圆弧上各点无初速度释放后从d点进入圆O内的磁场中,小球质量m=5
g,带正电荷q=1
C,下列判断正确的是(
)。
A.带电小球从圆射出的最长时间为×10-3
s
B.带电小球从圆射出的最短时间为×10-3
s
C.小球击在直线ac上的长度为0.5
m
D.小球击在直线ac上的长度为1
m
11.(多选)在科学研究中,可以通过施加适当的磁场来实现对带电粒子运动的控制。如图所示,纸面内有一矩形abcd,其长ab为4l、宽ad为2l,P、Q为ab边上的点,aQ=Pb=l。在矩形abcd外存在范围足够大的匀强磁场(图中未画出磁场),磁感应强度大小为B0。一质量为m、带电荷量为+q(q>0)的粒子,从P点垂直ab以速度v1向外射入磁场,粒子从Q处进入无场区。现在将入射速度变为v2=2v1,粒子从P点垂直ab射入磁场,粒子的重力不计,粒子离开P点至回到P点的运动路程可能为(
)。
A.16πl+12l
B.20πl+15l
C.
D.
12.(多选)如图所示,光滑绝缘水平面上存在一个半径为R的圆形磁场,圆心为O,磁场方向竖直向下,磁感应强度大小为B0。ab、cd、ef相互平行,且它们之间的距离均为R,e、f与圆心O在一条直线上,b、d、f均为圆周上的点。一个带电小球质量为m,带电荷量为+q(q>0),沿ab方向从a点发出,沿dc方向射出磁场。下列判断正确的是(
)。
A.小球的初速度为
B.若小球从e点沿ef方向发出,速度大小不变,则小球在磁场中运动的时间为
C.若小球初速度增为原来的2倍,从ac间不同位置沿ab方向发出,小球在磁场中运动的最短时间为
D.若小球初速度增为原来的2倍,从ac间不同位置沿ab方向发出,小球在磁场中运动的最长时间为
【解析版】
缩放圆、平移圆、旋转圆模型,边界磁场模型
1.
如图所示,在数轴Ox一侧存在垂直纸面向里的匀强磁场。有一个电子以大小相等的速度从O点沿不同方向垂直磁场方向射入磁场,从P点射出磁场,不计电子的重力,该电子的入射速度方向与x轴正方向的夹角越小,(
)。
A.OP距离越小
B.OP距离越大
C.它在磁场中运动时间越长
D.它在磁场中运动时间越短
【答案】D
【解析】如图所示,假设电子分别沿1、2、3方向射入磁场,若电子的入射方向与x轴正方向的夹角减小,沿1和3入射时OP距离相等,A、B两项错误;电子的入射速度方向与x轴正方向的夹角θ越小,电子在磁场中做匀速圆周运动对应的圆心角(2θ)越小,运动时间越短,C项错误,D项正确。
2.
如图所示,直线ab右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场,磁场的磁感应强度为B0。直线ab上有一小孔M,N为磁场中、直线外一点。质量为m、带电荷量为e的电子,以速度v0从M垂直于直线ab垂直射入磁场中。电子从M到N的运动时间为t,下列判断正确的是(
)。
A.MN与初速度v0的夹角为
B.MN与初速度v0的夹角为
C.M、N间的距离为sin
D.M、N间的距离为sin
【答案】C
【解析】电子在磁场中做圆周运动的轨迹如图所示,洛伦兹力提供向心力,则半径R=,运动周期T==,运动时间t=T=,可得θ=,A、B两项错误;又根据数学知识可知,lMN=2Rsin
θ=sin
,C项正确,D项错误。
3.如图所示,等边三角形OPQ区域内有垂直纸面向里的匀强磁场。在纸面内从O点向磁场区域POQ各个方向瞬时射入带正电的粒子,所有粒子的速率都相同,不计粒子之间的相互作用和重力的影响。沿OQ方向射入的粒子从PQ边的中点M射出,此时还在磁场中运动的粒子占所有粒子的比例为(
)。
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】从OP上N点射出的粒子做圆周运动的弦长ON=OM,粒子做圆周运动的圆弧对应的圆心角也为60°,如图所示,由几何知识得入射速度与ON的夹角应为30°,即沿OM方向射入的粒子在磁场中运动的时间与沿OQ方向射入的粒子从PQ边的中点M射出的时间相等,从OQ方向到OM方向这30°范围内的粒子此时都还在磁场中,而入射的范围为60°,故还在磁场中运动的粒子占所有粒子的比例是,D项正确,A、B、C三项错误。
4.如图所示,一矩形区域abcd内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B0的匀强磁场,ad和ab边长分别为l和2l,P为ad边中点。在P点,把带正电的粒子以大小不同的初速度平行纸面射入磁场,速度方向跟ad边夹角θ=30°。已知粒子的质量为m,带电荷量为q,粒子重力不计,欲使粒子能从ab边上射出磁场,则初速度v0大小可能为(
)。
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】若粒子速度大小为v0,其在磁场中做匀速圆周运动时洛伦兹力提供向心力,有qv0B=m,即R=。设圆心在O1处的粒子运动速度大小为v01,则R1+R1sin
θ=,得R1=d,又R1=,解得v01=;
同理,设圆心在O2处的粒子运动速度大小为v02,则R2-R2sin
θ=,解得R2=d,联立R2=可得v02=。所以粒子能从ab边上射出磁场的v0应满足5.(多选)如图所示,在矩形PQNM中有垂直纸面向外的匀强磁场,PM的长度为3L,PQ很长,O为PQ上一点,OP长度为L。一个带正电荷的粒子从O点以速度v0射入磁场中,从PQ离开磁场,粒子质量为m、带电荷量为q,不计重力,则下列判断正确的是(
)。
A.若带电粒子的速度垂直PQ向上,则磁场的磁感应强度可能为
B.若带电粒子的速度垂直PQ向上,则在磁场中的运动时间可能为
C.若带电粒子的速度与PQ成夹角θ=60°向上,则磁感应强度可能为
D.若带电粒子的速度与PQ成夹角θ=60°向上,则在磁场中的运动时间可能为
【答案】CD
【解析】若带电粒子速度垂直PQ向上,带电粒子在磁场中做圆周运动的最大半径R1=3L,对应圆心角α=π,根据洛伦兹力提供向心力可知,半径R1=,粒子在磁场中运动的时间t1=,解得B1=,t1=,则磁场的磁感应强度最小值为,此时粒子在磁场中运动的时间为,A、B两项错误;若带电粒子速度与PQ成夹角θ=60°向上,如图所示,设最大半径为R2,由数学知识可知R2+R2=3L,粒子在磁场中运动的半径R2=,运动的时间t2=T,又因为周期T=,解得B2=,t2=,则磁场的磁感应强度最小值为,此时粒子在磁场中运动的时间为,C、D两项正确。
6.如图所示,匀强磁场分布在半径R=0.10
m的圆形区域内,圆心为O,磁场的磁感应强度大小B0=0.15
T,方向垂直纸面向里。M和N分别为圆直径的左、右端点,很大的荧光屏与圆相切于N点。一个带正电的粒子从M点以垂直于荧光屏的速度射入磁场,速度大小v0=3.0×106
m/s。粒子的重力不计,比荷为1.0×108
C/kg。现在以过M点并垂直于纸面的直线为轴,将圆形磁场在纸面内逆时针缓慢旋转90°,则此过程中粒子打在荧光屏上离N点的最远距离为(
)。
A.
m
B.
m
C.
m
D.
m
【答案】B
【解析】设带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为r,由洛伦兹力提供向心力,得qv0B=m,代入数值解得r=2R=0.20
m。如图所示,粒子在磁场中运动的轨迹是以E点为圆心,以r为半径的一段圆弧。因圆形磁场以M为轴缓慢转动,所以磁场边界变为以M为圆心,以2R为半径的圆弧NCE,粒子轨迹圆弧与其交点为C,当N点恰转至C点时,粒子的出射点为C,在磁场中的偏角α最大,为60°,射到荧光屏上的P点,离N点最远。由几何知识得NP=QN·tan
α=(2R-rtan
30°)·tan
60°=
m,B项正确,A、C、D三项错误。
7.
(多选)如图所示,边长为2L的等边三角形abc中有垂直此三角形的匀强磁场,磁场的磁感应强度大小为B0,O为bc的中点。一个质量为m、带电荷量为+q的粒子从O点以垂直于bc向上的初速度射入磁场中,不计重力。下列判断正确的是(
)。
A.若带电粒子垂直ab飞出磁场,则粒子的初速度可能为
B.若带电粒子垂直ab飞出磁场,则粒子在磁场中的运动时间为
C.若粒子从bc边飞出磁场,粒子的初速度可能为
D.若粒子从bc边飞出磁场,粒子在磁场中的运动时间为
【答案】AD
【解析】若带电粒子垂直ab飞出磁场,则其在磁场中做圆周运动的半径R1=L,轨迹对应的圆心角α=,根据半径公式有R1=,粒子在磁场中运动的时间t1=,解得v1=,t1=,A项正确,B项错误;若粒子的运动轨迹与ab相切,粒子从bc边飞出磁场,由数学知识可知R2+=L,根据半径公式有R2=,粒子在磁场中运动的时间t2=T,解得v2=,t2=,则此种情况下粒子的初速度v0≤,其在磁场中运动的时间t2=,C项错误,D项正确。
8.如图所示,ab和cd为纸面内相互平行的直线,它们之间存在垂直纸面向里的匀强磁场。一个质子H)以速度v0垂直于ab从O点进入磁场区域,在磁场中运动的时间为Δt,在磁场中转过θ=后从cd边界射出。现在把α粒子He)以速度v0垂直于ab从O点进入磁场区域,则α粒子在磁场中的运动时间为(
)。
A.Δt
B.3Δt
C.4Δt
D.6Δt
【答案】B
【解析】质子H)与α粒子He)的质量之比为1∶4,所带电荷量之比为1∶2。设带电粒子在磁场中运动的半径为r,由洛伦兹力提供粒子做匀速圆周运动的向心力,有qvB=m,解得r=,由此可知质子与α粒子在磁场中运动的半径之比=。设磁场宽度为L,质子在磁场中运动的半径r1=2L,则α粒子在磁场中运动的半径r2=L,设其轨迹对应的圆心角为θ',则sin
θ'=,解得θ'=。质子与α粒子在磁场中的运动时间分别为t1=T1,t2=T2,又质子与α粒子在磁场中的运动周期分别为T1=、T2=,联立解得t2=3Δt,B项正确,A、C、D三项错误。
9.(多选)王老师在家重温了《哈利波特》系列电影,除了沉溺于“赫敏”“卢娜”的颜值外,更是对“死亡圣器”的标志产生了兴趣。其标志可简化为纸面内一个正三角形abc与其内切圆组成的图形,如图所示,圆的半径为r,三个切点分别为P、d、Q,图形被ad分割为相同的两部分,在左半圆和右半圆内分别存在着垂直纸面的匀强磁场B1、B2,其余地方均无磁场,在P处有一挡板,其余部分没有阻挡。现在从d点朝着a点发射一质量为m,带电荷量为+q的粒子,速度大小为v0,粒子以垂直ab的速度方向打在P上,从P处反弹后,最后回到了d点。不考虑重力作用,且碰撞无能量损失。下列判断正确的是(
)。
A.B1和B2方向均垂直纸面向里
B.B1垂直纸面向里,B2垂直纸面向外
C.右边磁场的磁感应强度大小为
D.左边磁场的磁感应强度大小为
【答案】BC
【解析】根据题意可知,粒子从d点射入磁场后以b点为圆心做匀速圆周运动,运动到P点,轨迹为圆弧dP,如图所示,由数学知识可知轨道半径R1=rtan
60°=r,粒子做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,得qv0B1=m,解得B1=,由左手定则可知,磁感应强度B1方向垂直纸面向里,D项错误。粒子与挡板碰后,做以a点为圆心,半径为R1的圆周运动,经过ad上的e点垂直ad进入右边磁场,在右边磁场中运动半个圆周后经过d点。由几何关系可知,de间距离L=3r-r,粒子在右边磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,得qv0B2=m,又L=2R2,解得B2=,根据左手定则可知磁场方向垂直纸面向外,A项错误,B、C两项正确。
10.(多选)在光滑绝缘的水平桌面上半径R=0.5
m的圆形区域内有竖直向下、磁感应强度大小B=2
T的匀强磁场,圆心为O。a为圆周上一点,ac与圆相切于a点,d为圆周上一点,cd连线过O点,α=30°,P为cd延长线上一点,Md和Nd与Pd的夹角均为β=60°。圆弧MPN用金属片制成、带正电,Md间电压U=102
V。一个带正电的小球从紧靠圆弧上各点无初速度释放后从d点进入圆O内的磁场中,小球质量m=5
g,带正电荷q=1
C,下列判断正确的是(
)。
A.带电小球从圆射出的最长时间为×10-3
s
B.带电小球从圆射出的最短时间为×10-3
s
C.小球击在直线ac上的长度为0.5
m
D.小球击在直线ac上的长度为1
m
【答案】BD
【解析】设带电小球经过圆弧和d之间的电压加速后速度变为v0,应用动能定理有qU=m,小球进入磁场后做匀速圆周运动,设小球运动的轨迹半径为r,由洛伦兹力提供向心力有qv0B=,解得r=0.5
m。沿Md射入磁场的带电小球做匀速圆周运动,圆心为G,从圆形区域上的f点射出磁场,射出磁场后,垂直于Gf射向ac,交ac于X。沿Pd射入磁场的带电小球做匀速圆周运动,圆心为E,从e点射出磁场,射出磁场后,垂直于Ee射向ac,交ac于Y,OY垂直Pc。沿Nd射入磁场的带电小球做匀速圆周运动,圆心为H,从b射出磁场,射出磁场后,垂直于Hb射向ac,交ac于Z。由数学知识可知沿Nd射入磁场做匀速圆周运动的小球转过的圆心角θ=30°,沿Md射入磁场做匀速圆周运动的小球转过的圆心角θ'=150°,这两种情况中小球在磁场中的运动时间分别为t1=T、t2=T,又因为带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T=,解得t1=×10-3
s、t2=×10-3
s,A项错误,B项正确;由数学知识可知YZ距离为R,XY距离也为R,小球击在直线ac上的长度L=2R=1
m,C项错误,D项正确。
11.(多选)在科学研究中,可以通过施加适当的磁场来实现对带电粒子运动的控制。如图所示,纸面内有一矩形abcd,其长ab为4l、宽ad为2l,P、Q为ab边上的点,aQ=Pb=l。在矩形abcd外存在范围足够大的匀强磁场(图中未画出磁场),磁感应强度大小为B0。一质量为m、带电荷量为+q(q>0)的粒子,从P点垂直ab以速度v1向外射入磁场,粒子从Q处进入无场区。现在将入射速度变为v2=2v1,粒子从P点垂直ab射入磁场,粒子的重力不计,粒子离开P点至回到P点的运动路程可能为(
)。
A.16πl+12l
B.20πl+15l
C.
D.
【答案】AD
【解析】根据粒子从P点垂直ab射入磁场,从Q处进入无场区,可判断粒子做圆周运动的半径R1=l。粒子在磁场中做圆周运动,有qv1B0=m,解得v1=。粒子速度变为v2=2v1,则粒子在磁场中运动的半径R2=2l,由数学知识可知,粒子先以Q为圆心做个圆周运动到ad的中点M,再沿直线MN运动到N(Nc=l),再经过个圆周运动到P点,沿直线PM运动到M,再经过个圆周运动到N点,沿直线NP运动到P,之后重复上述运动,粒子运动轨迹如图所示,可知粒子在一个周期内经过P点两次。由P点沿圆弧运动到M点所用时间t1=×,由M点沿直线运动到N点所用时间t2==。粒子以2v1垂直ab向外经过P,则粒子运动的时间tZ1=k(3t1+3t2),其中k=1,2,3,…,粒子运动的路程s1=2v1tZ1=2k(4πl+3l),其中k=1,2,3,…,当k=2时,A项正确;粒子以2v1大小与ab方向成30°角经过P,则tZ2=2t1+t2+k(3t1+3t2),其中k=0,1,2,3,…,粒子运动的路程s2=2v1tZ2
=2,其中k=0,1,2,3,…,当k=3时,D项正确;无论k取何值,都不能得出B、C两项中的答案,所以B、C两项错误。
12.(多选)如图所示,光滑绝缘水平面上存在一个半径为R的圆形磁场,圆心为O,磁场方向竖直向下,磁感应强度大小为B0。ab、cd、ef相互平行,且它们之间的距离均为R,e、f与圆心O在一条直线上,b、d、f均为圆周上的点。一个带电小球质量为m,带电荷量为+q(q>0),沿ab方向从a点发出,沿dc方向射出磁场。下列判断正确的是(
)。
A.小球的初速度为
B.若小球从e点沿ef方向发出,速度大小不变,则小球在磁场中运动的时间为
C.若小球初速度增为原来的2倍,从ac间不同位置沿ab方向发出,小球在磁场中运动的最短时间为
D.若小球初速度增为原来的2倍,从ac间不同位置沿ab方向发出,小球在磁场中运动的最长时间为
【答案】AC
【解析】由对称性可知,小球在磁场中运动半个周期,从d点离开磁场,小球在磁场中做匀速圆周运动的半径R1=R,由洛伦兹力提供向心力,有qv1B0=m,解得v1=,A项正确;小球从e点沿ef方向发出,速度大小不变,小球在磁场中做匀速圆周运动的圆心角大于90°,根据数学知识可知,小球在磁场中运动的时间大于,B项错误;若小球的初速度v2增为原来的2倍,带电小球进入磁场做匀速圆周运动,如图所示,由洛伦兹力提供向心力,有qv2B0=m,可得小球在磁场中做匀速圆周运动的半径R2=R,则带电小球在磁场中做匀速圆周运动的半径和圆形磁场的半径相同。设小球从b点进入磁场时在磁场中运动的时间最长为t2,根据数学知识可知,对应圆周运动的圆心角为2β=120°,则t2=T=,D项错误;小球从d点进入磁场时在磁场中运动的时间最短,设为t3,对应圆周运动的圆心角α=60°,则t3=T=,C项正确。

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