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第1课时
12.3 互逆命题
第12章 证明
2020-2021学年度苏科版七年级下册
回 顾
1、命题的概念：
可以判断正确或错误的
句子叫做命题.
2、命题都有两部分：
题设和结论
例如：两直线平行，内错角相等；
内错角相等，两直线平行；都是命题.
注意：问句和几何作法不是命题！
我能行
观察上面三组命题，你发现了什么？
1、两直线平行，内错角相等；
3、如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；
4、如果小明发烧，那么他一定患了肺炎；
2、内错角相等，两直线平行；
5、平行四边形的对角线互相平分；
6、对角线互相平分的四边形是平行四边形.
说出下列命题的题设和结论：
一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个
命题叫做它的逆命题.
上面两个命题的题设和结论恰好互换了位置．
命题“两直线平行，内错角相等”的
题设为两直线平行；
结论为内错角相等．
因此它的逆命题为
内错角相等，两直线平行.
练习1：指出下列命题的题设和结论，并说出它们的逆命题.
1、如果一个三角形是直角三角形，那么它的
两个锐角互余.
题设：一个三角形是直角三角形.
结论：它的两个锐角互余.
逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余，
那么这个三角形是直角三角形.
2、等边三角形的每个角都等于60°
题设：一个三角形是等边三角形.
结论：它的每个角都等于60°
逆命题：如果一个三角形的每个角都等于60°，
那么这个三角形是等边三角形.
3、全等三角形的对应角相等.
题设：两个三角形是全等三角形.
结论：它们的对应角相等.
逆命题：如果两个三角形的对应角相等，
那么这两个三角形全等.
4、到一个角的两边距离相等的点，在这个角的 平分线上.
题设：一个点到一个角的两边距离相等.
结论：它在这个角的平分线上.
逆命题：角平分线上一点到角两边的距离相等.
5、线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个 端点的距离相等.
题设：一个点在一条线段的垂直平分线上.
结论：它到这条线段的两个端点的距离相等.
逆命题：到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可得到原命题的逆命题．但是原命题正确，它的逆命题未必正确．例如真命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，此命题就是假命题．
练习2、举例说明下列命题的逆命题是假命题.
（2）如果两个角都是直角，那么这两个角相等.
逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角.
例如10能5整除，但它的个位数是0.
（1）如果一个整数的个位数字是5 ，那么这个整数 能被5整除.
逆命题：如果一个整数能被5整除，那么这个整数的个位数字是5.
例如60°= 60°，但这两个角不是直角.
练习3：
在你学过的定理中，有哪些定理的逆命题是
真命题？试举出几个例子说明.
例如：1、同旁内角互补，两直线平行.
逆命题：两直线平行，同旁内角互补.
真
2、有两个角相等的三角形是等腰三角形.
逆命题：如果一个三角形是等腰三角形，那么它有两个角相等.
真
补充练习：说出下列命题的逆命题，并判定逆命题的真假：
①既是中心对称，又是轴对称的图形是圆.
②有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
③磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的交通工具.
逆命题：圆既是中心对称，又是轴对称的图形——真命题
逆命题：平行四边形有一组对边平行并且相等——真命题
逆命题：高速行驶时，不接触地面的交通工具是磁悬浮列车——假命题
例1 证明：平行于同一条直线的两条直线平行.
已知：如图12-10，直线a、b、c中，b∥a，c∥a.
求证：b∥c.
证明：作直线d，使它与直线a、b、c都相交.
∵b∥a（已知），
∴∠2=∠1（两直线平行，同位角相等）.
∵c∥a（已知），
∴∠3=∠1（两直线平行，同位角相等）.
∴∠2=∠3（等量代换）.
∴b∥c（同位角相等，两直线平行）.
例2 证明：直角三角形的两个锐角互余.
已知：如图12-11，在△ABC中，∠C=90°.
求证：∠A+∠B=90°.
证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°（三角形三个内角和等于180°）.
∴∠A+∠B=180°-∠C（等式性质）.
∵∠C=90°.（已知），
∴∠A+∠B=180°-90°（等量代换）.
即 ∠A+∠B=90°.
1、写出下列命题的逆命题，并判断它是真是假.
(1)如果x=y，那么x2 =y2；
(2)如果一个三角形有一个角是钝角，那么它的另外两个角是锐角；
练习：
1.写出下列命题的逆命题，并判断其真假.对于假命题，举出反例说明；对于真命题，给出证明.
（1）如果两个角是直角，那么这两个角相等.
（2）已知两个角.如果一个是锐角，另一个是钝角，那么它们的和是平角.
（3）同角（或等角）的余角相等.
（4）同角（或等角）的补角相等.
（5）互为相反数的两个非0数，其和等于0.
（6）偶数一定能被2整除.
解：
（1）逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是
直角.（假）
反例：互为内错角的两个锐角也相等，但它们不是
直角.

（2）逆命题：已知两个角，如果它们的和是平角
，那么一个是锐角，另一个是钝角.（假）
反例：两个直角的和也是平角.

（3）逆命题：如果两个角的余角相等，那么这两个角是同角（或等角）.（真）
证明：已知∠1+∠3=90°
∠2+∠4=90°
∠3=∠4
求证：∠1=∠2
证明：∵∠3=∠4
∴∠1=90°-∠3
∠2=90°-∠4
∴∠1=∠2.

（4）逆命题：如果两个角的补角相等，那么这两个角是同角（或等角）.（真）
证明：已知∠1+∠3=180°
∠2+∠4=180°
∠3=∠4
求证：∠1=∠2
证明：∵∠3=∠4
∴∠1=180°-∠3
∠2=180°-∠4
∴∠1=∠2.

（5）逆命题：和等于0的两个数是互为相反数的两个非0数.（假）
反例：两个0的和也为0.

（6）逆命题：能被2整除的数一定是偶数.（假）
反例：0也能被2整除，但0不是偶数.

2.已知：如图，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2互补.求证a∥b.
证明：∵∠1与∠2互补.
∴∠1+∠2=180°.
如图：画∠1的补角为∠3，
则∠1+∠3=180°.
∴∠2=∠3.
所以a∥b.（内错角相等，两直线平行）
1
c
a
b
2
3
说出下列命题的逆命题，并与同学交流
（1）两直线平行，内错角相等；
（2）如果a2=b2，那么a=b；
（3）对顶角相等．
相等的角是对顶角．
如果a=b，那么a2=b2；
内错角相等，两直线平行；
原命题
逆命题
（4）直角三角形的两个锐 角互余；
（5）轴对称图形是等腰三 角形；
（6）正方形的4个角都是直 角.
两个锐角互余的三角形是直角三角形；
如果一个四边形的4个角都是直角，那么这个四边形是正方形.
等腰三角形是轴对称图形；
写出下列命题的逆命题，并判断每对互逆命题的真假
（1）如果ab=0，那么a=0；（ 　）
逆命题：_______________________（ 　 ）
（2）内错角相等；（ 　 ）
逆命题：_______________________（ 　 ）
（3）如果两个数的差是正数，那么这两个数都是
正数；（ 　）
逆命题：______________________________________ （ 　）
如果a=0，那么ab=0
假命题
真命题
相等的角是内错角
假命题
假命题
假命题
如果两个数都是正数，则这两个数的差是正数
假命题
说出下列命题的逆命题，并指出它们是真命题还是假命题.
（1）如果两个角相等，那么这两个角的补角相等.
（2）全等三角形的对应角相等.
解：
（1）如果两个角的补角相等，那么这两个角相等.（真命题）
（2）如果两个三角形的三个对应角相等，那么这两个三角形全等.（假命题）
小结
这节课我们学到了什么？
①逆命题、逆定理的概念.
②能写出一个命题的逆命题.
③在证明假命题时会用举反例说明.
谢谢聆听

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