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6.1圆的基本性质
一、圆的相关概念
1、定义：在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个_________旋转_________，另一个端点所形成的图形叫做圆.
（1）圆上各点到定点（圆心）的距离都等于_________（半径）；
（2）到定点的距离等于_________的点都在同一个圆上.
即：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的_________.
2、弦：连接圆上任意两点的_________叫做弦，经过圆心的弦叫做_________.
3、弧：圆上任意两点间的_________叫做圆弧，简称弧.
（1）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做_________；
（2）大于半圆的弧叫做_________，小于半圆的弧叫做_________；
（3）能够重合的两个圆叫做_________；
（4）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做_________.
4、圆心角：顶点在_________上的角叫做圆心角.
5、圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆_________，我们把这样的角叫做圆周角.
6、对称性：圆是_________对称图形，任何一条直径所在_________都是圆的对称轴；圆也是_________对称圆形，对称中心是_________，且具有旋转形不变的性质即围绕着圆心旋转任意一个角度都可以和原来的圆重合
二、垂径定理
1、垂直于弦的直径_________这条弦并且平分弦所对的两条_________.
2、推论：
一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论，称为知二推三.
（1）平分弦所对的优弧
（2）平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）
（3）平分弦（不是直径）
（4）垂直于弦
（5）过圆心
3、简单应用：若圆的半径为r，弦长为a,d是弦心距则构成的直角三角形中满足：利用勾股定理可以对半径、弦长、弦心距“知二求一”
三、弧、弦、圆心角、弦心距之间的关系
1、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_________，所对的弦_________，所对的弦的_________也相等.
2、推论：在同圆或等圆中，如果两个_________、两条_________、两条_________或两弦的_________中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都_________.
四、圆周角定理：
1、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的_________.（注意：一条弦所对的狐有优弧和劣弧之分，因此所对的圆周角也有两种情况：优弧所对的圆周角是钝角，劣弧所对的圆周角是锐角，这两种圆周角互为补角）
2、推论：
（1）同弧或等弧所对的_________相等；
（2）半圆（直径）所对的圆周角是_________，90°的圆周角所对的弦是_________.
五、圆内接多边形：
1、定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆的内接_________，这个圆叫做这个多边形的_________.
特别的三角形的外接圆：
圆心：是三角形三边_________的交点，称为三角形的外心
性质：到三角形三个顶点的距离_________
特别的：直角三角形外接圆的半径R=（c为斜边长）
等边三角形外接圆的半径R=a(a为边长)
定理：圆的内接四边形的对角_________，并且任何一个外角都等于它的_________.
正多边形与圆：
（1）边心距：
周长l=na
面积：s=
中心角：
命题点1、垂径定理
1、（2020甘肃）如图，A是⊙O上一点，BC是直径，AC＝2，AB＝4，点D在⊙O上且平分，则DC的长为（　　）
A．2
B．
C．2
D．
2、（2020广东广州）往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（
）
A.
B.
C.
D.
3、（2020四川宜宾）如图，AB是的直径，点C是圆上一点，连结AC和BC，过点C作于D，且，则的周长为（
）
A.
B.
C.
D.
命题点2、圆周角定理及推论
4、（2020福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CD，A为中点，∠BDC＝60°，则∠ADB等于（　　）
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
5、（2020四川眉山）如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，BC＝CD，∠DAC＝35°，∠ACD＝45°，则∠ADB的度数为（　　）
A．55°
B．60°
C．65°
D．70°
6、（2020四川内江）如图，点A、B、C、D在⊙O上，，点B是的中点，则的度数是（
）
A.
B.
C.
D.
命题点3、圆基本性质的相关证明与计算
7、（2020湖北荆门）如图，中，，则的度数为（
）
A.
B.
C.
D.
8、（2020四川广元）如图，内接于于点H，若，的半径为7，则______．
9、（2020四川雅安）如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，求△BDE的面积．
命题点4、正多边形与圆
10、（2020河北）有一题目：“已知；点为的外心，，求．”嘉嘉的解答为：画以及它的外接圆，连接，，如图．由，得．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，还应有另一个不同的值．”，下列判断正确的是（
）
A.
淇淇说的对，且的另一个值是115°
B.
淇淇说的不对，就得65°
C.
嘉嘉求的结果不对，应得50°
D.
两人都不对，应有3个不同值
11、（2020四川德阳）半径R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a,b,c则a,b,c的大小关系是(
)
aB.bC.aD.c12、（2020四川凉山州）如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB＝（　　）
A．2：
B．：
C．：
D．：2
基础过关
1、（2020湖北宜昌）如图，E，F，G为圆上的三点，，P点可能是圆心的是（
）．
B.
C.
D.
2、（2020浙江绍兴）如图．点，，，，均在上．，，则的度数为　　
B．
C．
D．
3、（2020江苏淮安）如图，点、、在圆上，，则的度数是（
）
A.
B.
C.
D.
4、（2020贵州黔东南州）如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（　　）
A．8
B．12
C．16
D．2
5、（2020浙江温州）如图，菱形的顶点，，在上，过点作的切线交的延长线于点．若的半径为1，则的长为　　
A．1
B．2
C．
D．
6、（2020湖北武汉）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（　　）
A．
B．3
C．3
D．4
7、（2020湖北荆州）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则cos∠BAC的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
8、（2020陕西）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（　　）
A．55°
B．65°
C．60°
D．75°
9、（2020四川宜宾）如图，A，B，C是上的三点，若是等边三角形，则________________．
10、（2020山东聊城）如图，在⊙O中，四边形OABC为菱形，点D在上，则∠ADC的度数是　
　．
11、（2020湖北襄阳）在⊙O中，若弦BC垂直平分半径OA，则弦BC所对的圆周角等于　
　°
12、（2020贵州黔东南州）如图，AB是半圆O的直径，AC＝AD，OC＝2，∠CAB＝30°，则点O到CD的距离OE为________．
13、（2020黑龙江绥化）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P为上一点（点P与点D，点E不重合），连接PC、PD，DG⊥PC，垂足为G，∠PDG等于　___　度．
14、（2020甘肃）如图，⊙O是△ABC的外接圆，其切线AE与直径BD的延长线相交于点E，且AE＝AB．
（1）求∠ACB的度数；
（2）若DE＝2，求⊙O的半径．
15、（2020浙江霍州）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．
（1）求证：∠CAD＝∠CBA．
（2）求OE的长．
16、（2020浙江温州）如图，，为上两点，且在直径两侧，连结交于点，是上一点，．
（1）求证：．
（2）点关于的对称点为，连结．当点落在直径上时，，，求的半径．
17、（2020江苏南京）如图，在中，，是上一点，经过点、、，交于点，过点作，交于点．
求证：（1）四边形是平行四边形；
（2）．
能力提升
18、（2020安徽）已知点A，B，C在⊙O上，则下列命题为真命题的是（　　）
A．若半径OB平分弦AC，则四边形OABC是平行四边形
B．若四边形OABC是平行四边形，则∠ABC＝120°
C．若∠ABC＝120°，则弦AC平分半径OB
D．若弦AC平分半径OB，则半径OB平分弦AC
19、（2020湖南长沙）如图，点P在以MN为直径的半圆上运动，（点P与M，N不重合）平分，交PM于点E，交PQ于点F．
(1)
___________________．
(2)若，则___________________．
创新思维
20、（2020广东广州）如图，为等边外接圆，半径为2，点在劣弧上运动（不与点重合），连接，，．
（1）求证：是的平分线；
（2）四边形的面积是线段的长的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；
（3）若点分别在线段，上运动（不含端点），经过探究发现，点运动到每一个确定的位置，的周长有最小值，随着点的运动，的值会发生变化，求所有值中的最大值．
21、（2020浙江宁波）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．
（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．
①求∠AED的度数；
②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．
知识回顾
真题在线
分层精练
O
D
A
B
C
m
26.1圆的基本性质
一、圆的相关概念
1、定义：在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆.
（1）圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）；
（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.
即：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合.
2、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.
3、弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.
（1）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
（2）大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧；
（3）能够重合的两个圆叫做等圆；
（4）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
4、圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角.
5、圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交，我们把这样的角叫做圆周角.
6、对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴；圆也是中心对称圆形，对称中心是圆心，且具有旋转形不变的性质即围绕着圆心旋转任意一个角度都可以和原来的圆重合
二、垂径定理
1、垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧.
2、推论：
一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论，称为知二推三.
（1）平分弦所对的优弧
（2）平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）
（3）平分弦（不是直径）
（4）垂直于弦
（5）过圆心
3、简单应用：若圆的半径为r，弦长为a,d是弦心距则构成的直角三角形中满足：利用勾股定理可以对半径、弦长、弦心距“知二求一”
三、弧、弦、圆心角、弦心距之间的关系
1、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距也相等.
2、推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等.
四、圆周角定理：
1、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（注意：一条弦所对的狐有优弧和劣弧之分，因此所对的圆周角也有两种情况：优弧所对的圆周角是钝角，劣弧所对的圆周角是锐角，这两种圆周角互为补角）
2、推论：
（1）同弧或等弧所对的圆周角相等；
（2）半圆（直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
五、圆内接多边形：
1、定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
特别的三角形的外接圆：
圆心：是三角形三边垂直平分线的交点，称为三角形的外心
性质：到三角形三个顶点的距离相等
特别的：直角三角形外接圆的半径R=（c为斜边长）
等边三角形外接圆的半径R=a(a为边长)
定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.
正多边形与圆：
（1）边心距：
周长l=na
面积：s=
中心角：
命题点1、垂径定理
1、（2020甘肃）如图，A是⊙O上一点，BC是直径，AC＝2，AB＝4，点D在⊙O上且平分，则DC的长为（　　）
A．2
B．
C．2
D．
【分析】先根据圆周角得：∠BAC＝∠D＝90°，根据勾股定理即可得结论．
解：∵点D在⊙O上且平分，
∴，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝∠D＝90°，
∵AC＝2，AB＝4，
∴BC＝＝2，
Rt△BDC中，DC2+BD2＝BC2，
∴2DC2＝20，
∴DC＝，
故选：D．
2、（2020广东广州）往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【分析】过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，根据垂径定理即可求得AD的长，又由⊙O的直径为，求得OA的长，然后根据勾股定理，即可求得OD的长，进而求得油的最大深度的长．
【详解】解：过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，
由垂径定理得：，
∵⊙O的直径为，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴油的最大深度为，
故选：．
【点睛】本题主要考查了垂径定理的知识．此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法，构造直角三角形，利用勾股定理解决．
3、（2020四川宜宾）如图，AB是的直径，点C是圆上一点，连结AC和BC，过点C作于D，且，则的周长为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据勾股定理求出BC，再根据圆周角的性质得到AC⊥BC，得到cosB=,代入即可求出AB，故可求出的周长．
【详解】∵，，
∴BC=
∵AB是的直径，
∴AC⊥BC，
∴cosB=
即
解得AB=
∴的周长为
故选A．
【点睛】此题主要考查圆内线段的求解，解题的关键是熟知圆周角定理、三角函数的运用．
命题点2、圆周角定理及推论
4、（2020福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CD，A为中点，∠BDC＝60°，则∠ADB等于（　　）
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
解：∵A为中点，
∴═，
∵AB＝CD，
∴＝，
∴＝＝，
∵圆周角∠BDC＝60°，
∴∠BDC对的的度数是2×60°＝120°，
∴的度数是（360°﹣120°）＝80°，
∴对的圆周角∠ADB的度数是，
故选：A．
5、（2020四川眉山）如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，BC＝CD，∠DAC＝35°，∠ACD＝45°，则∠ADB的度数为（　　）
A．55°
B．60°
C．65°
D．70°
【解答】解：∵BC＝CD，
∴＝，
∴∠BAC＝∠DAC＝35°，
∵∠ABD＝∠ACD＝45°，
∴∠ADB＝180°﹣∠BAD﹣∠ABD＝180°﹣70°﹣45°＝65°．
故选：C．
6、（2020四川内江）如图，点A、B、C、D在⊙O上，，点B是的中点，则的度数是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB＝∠AOC，再根据圆周角定理解答．
【详解】连接OB，
∵点B是的中点，
∴∠AOB＝∠AOC＝60°，
由圆周角定理得，∠D＝∠AOB＝30°，
故选：A．
【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
命题点3、圆基本性质的相关证明与计算
7、（2020湖北荆门）如图，中，，则的度数为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由垂径定理都出，然后根据圆周角定理即可得出答案．
【详解】∵OC⊥AB，
∴，
∴∠APC=∠BOC，
∵∠APC=28°，
∴∠BOC=56°，
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理和圆周角定理，得出是解题关键．
8、（2020四川广元）如图，内接于于点H，若，的半径为7，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
作直径AD，连接BD，根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，∠D＝∠C，证明△ABD∽△AHC，根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：作直径AD，连接BD，
∵AD为直径，
∴∠ABD＝90°，又AH⊥BC，
∴∠ABD＝∠AHC，
由圆周角定理得，∠D＝∠C，
∴△ABD∽△AHC，
∴，即，
解得，AB＝，
故答案：．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆和外心的概念和性质，掌握圆周角定理、相似三角形的判定和性质是解题的关键．
9、（2020四川雅安）如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，求△BDE的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O．
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝120°，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB＝60°，
∴∠ACB＝∠ADB＝60°，∠BAC＝∠CDB＝60°，
∴∠ABC＝∠BCA＝∠BAC，
∴△ABC是等边三角形
（2）过点A作AM⊥CD，垂足为点M，过点B作BN⊥AC，垂足为点N．
∴∠AMD＝90°
∵∠ADC＝120°，
∴∠ADM＝60°，
∴∠DAM＝30°，
∴DM＝AD＝1，AM＝＝＝，
∵CD＝3，
∴CM＝CD+DE＝1+3＝4，
∴S△ACD＝CD?AM＝×＝，
Rt△AMC中，∠AMD＝90°，
∴AC＝＝＝，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝，
∴BN＝BC＝，
∴S△ABC＝×＝，
∴四边形ABCD的面积＝+＝，
∵BE∥CD，
∴∠E+∠ADC＝180°，
∵∠ADC＝120°，
∴∠E＝60°，
∴∠E＝BDC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠EAB＝∠BCD，
在△EAB和△DCB中
，
∴△EAB≌△DCB（AAS），
∴△BDE的面积＝四边形ABCD的面积＝．
命题点4、正多边形与圆
10、（2020河北）有一题目：“已知；点为的外心，，求．”嘉嘉的解答为：画以及它的外接圆，连接，，如图．由，得．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，还应有另一个不同的值．”，下列判断正确的是（
）
A.
淇淇说的对，且的另一个值是115°
B.
淇淇说的不对，就得65°
C.
嘉嘉求的结果不对，应得50°
D.
两人都不对，应有3个不同值
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．
【详解】解：如图所示：
∵∠BOC=130°，
∴∠A=65°，
∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补．
故∠A′＝180°?65°＝115°．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆，正确分类讨论是解题关键．
11、（2020四川德阳）半径R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a,b,c则a,b,c的大小关系是(
)
aB.bC.aD.c解：设圆的半径
(?http:?/??/?www.?/?s?q=%E5%8D%8A%E5%BE%84&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn"
\t
"https:?/??/?wenda.?/?q?/?_blank?)为R则：
它的内接正三角形的边心
(?http:?/??/?www.?/?s?q=%E8%BE%B9%E5%BF%83&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn"
\t
"https:?/??/?wenda.?/?q?/?_blank?)距a=R
它的内接正四角形的边心距b=R
它的内接正六角形的边心距c=R
12、（2020四川凉山州）如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB＝（　　）
A．2：
B．：
C．：
D．：2
【分析】连接OA、OB、OD，过O作OH⊥AB于H，由垂径定理得出AH＝BH＝AB，证出△AOD是等腰直角三角形，∠AOH＝∠BOH＝60°，AH＝BH＝AB，得出AD＝OA，AH＝OA，则AB＝2AH＝OA，进而得出答案．
解：连接OA、OB、OD，过O作OH⊥AB于H，如图所示：
则AH＝BH＝AB，
∵正方形ABCD和等边三角形AEF都内接于⊙O，
∴∠AOB＝120°，∠AOD＝90°，
∵OA＝OD＝OB，
∴△AOD是等腰直角三角形，∠AOH＝∠BOH＝×120°＝60°，
∴AD＝OA，AH＝OA?sin60°＝OA，
∴AB＝2AH＝2×OA＝OA，
∴＝＝，
故选：B．
基础过关
1、（2020湖北宜昌）如图，E，F，G为圆上的三点，，P点可能是圆心的是（
）．
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆心角与圆周角的角度关系判断即可．
【详解】同弧的圆心角是圆周角的两倍,因此C满足该条件．
故选C．
【点睛】本题考查圆周角定理,关键在于牢记基础知识．
2、（2020浙江绍兴）如图．点，，，，均在上．，，则的度数为　　
B．
C．
D．
解：连接，
，，
，
．
故选：．
3、（2020江苏淮安）如图，点、、在圆上，，则的度数是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由圆周角定理得到∠AOB,再利用等腰三角形的性质求解即可．
【详解】∵在圆O中，∠ACB=54?，
∴∠AOB=2∠ACB=108?，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA==36?，
故选：C．
4、（2020贵州黔东南州）如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（　　）
A．8
B．12
C．16
D．2
【分析】连接OA，先根据⊙O的直径CD＝20，OM：OD＝3：5求出OD及OM的长，再根据勾股定理可求出AM的长，进而得出结论．
解：连接OA，
∵⊙O的直径CD＝20，OM：OD＝3：5，
∴OD＝10，OM＝6，
∵AB⊥CD，
∴AM＝＝＝8，
∴AB＝2AM＝16．
故选：C．
5、（2020浙江温州）如图，菱形的顶点，，在上，过点作的切线交的延长线于点．若的半径为1，则的长为　　
A．1
B．2
C．
D．
解：连接，
四边形是菱形，
，
，
，
，
是的切线，
，
，
，
故选：．
6、（2020湖北武汉）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（　　）
A．
B．3
C．3
D．4
解：连接OD，交AC于F，
∵D是的中点，
∴OD⊥AC，AF＝CF，
∴∠DFE＝90°，
∵OA＝OB，AF＝CF，
∴OF＝BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
在△EFD和△ECB中
∴△EFD≌△ECB（AAS），
∴DF＝BC，
∴OF＝DF，
∵OD＝3，
∴OF＝1，
∴BC＝2，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，
∴AC＝＝＝4，
故选：D．
7、（2020湖北荆州）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则cos∠BAC的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：如图，作直径BD，连接CD，
由勾股定理得，BD2，
在Rt△BDC中，cos∠BDC，
由圆周角定理得，∠BAC＝∠BDC，
∴cos∠BAC＝cos∠BDC，
故选：B．
8、（2020陕西）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（　　）
A．55°
B．65°
C．60°
D．75°
【分析】连接CD，根据圆内接四边形的性质得到∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，根据垂径定理得到OD⊥BC，求得BD＝CD，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：连接CD，
∵∠A＝50°，
∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，
∵E是边BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴∠ODB＝∠ODC＝BDC＝65°，
故选：B．
9、（2020四川宜宾）如图，A，B，C是上的三点，若是等边三角形，则________________．
【答案】
【解析】
【分析】
由△OBC是等边三角形、则∠COB
=60°，然后由圆周角定理可得∠A=30°,然后运用余弦定义求解即可．
【详解】解：∵△OBC是等边三角形
∴∠COB=60°
∴∠A==30°
∴=．
故答案为．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和圆周角定理，掌握同弦所对的圆周角为圆心角的一半是解答本题的关键．
10、（2020山东聊城）如图，在⊙O中，四边形OABC为菱形，点D在上，则∠ADC的度数是　
　．
{答案}60°
{解析}利用圆周角定理、圆内接四边形的性质以及菱形的对角相等构建方程求解．在菱形OABC中，∠B＝∠O，又∵∠O＝2∠D，∠D＋∠B＝180°，∴∠D＋2∠D＝180°，∴∠D＝60°．
11、（2020湖北襄阳）在⊙O中，若弦BC垂直平分半径OA，则弦BC所对的圆周角等于　
　°
解：如图，
∵弦BC垂直平分半径OA，
∴OD：OB＝1：2，
∴∠BOD＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∴弦BC所对的圆周角等于60°或120°．
故答案为：60°或120°．
12、（2020贵州黔东南州）如图，AB是半圆O的直径，AC＝AD，OC＝2，∠CAB＝30°，则点O到CD的距离OE为　　．
【分析】在等腰△ACD中，顶角∠A＝30°，易求得∠ACD＝75°；根据等边对等角，可得：∠OCA＝∠A＝30°，由此可得，∠OCD＝45°；即△COE是等腰直角三角形，则OE＝．
解：∵AC＝AD，∠A＝30°，
∴∠ACD＝∠ADC＝75°，
∵AO＝OC，
∴∠OCA＝∠A＝30°，
∴∠OCD＝45°，即△OCE是等腰直角三角形，
在等腰Rt△OCE中，OC＝2；
因此OE＝．
故答案为：．
13、（2020黑龙江绥化）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P为上一点（点P与点D，点E不重合），连接PC、PD，DG⊥PC，垂足为G，∠PDG等于　54　度．
【分析】连接OC，OD．求出∠COD的度数，再根据圆周角定理得出∠CPD的度数，由三角形内角和定理即可得出结果．
解：连接OC、OD，如图所示：
∵ABCDE是正五边形，
∴∠COD＝＝72°，
∴∠CPD＝∠COD＝36°，
∵DG⊥PC，
∴∠PGD＝90°，
∴∠PDG＝90°﹣∠CPD＝90°﹣36°＝54°，
故答案为：54．
14、（2020甘肃）如图，⊙O是△ABC的外接圆，其切线AE与直径BD的延长线相交于点E，且AE＝AB．
（1）求∠ACB的度数；
（2）若DE＝2，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OA，先由切线的性质得∠OAE的度数，再等腰三角形的性质得∠OAB＝∠ABE＝∠E，再由三角形内角和定理求得∠OAB，进而得∠AOB，最后由圆周角定理得∠ACB的度数；
（2）设⊙O的半径为r，再根据含30°解的直角三角形的性质列出r的方程求解便可．
解：（1）连接OA，
∵AE是⊙O的切线，
∴∠OAE＝90°，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠OAB，
∴∠OAB＝∠ABE＝∠E，
∵∠OAB+∠ABE+∠E+∠OAE＝180°，
∴∠OAB＝∠ABE＝∠E＝30°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠ABO＝120°，
∴∠ACB＝∠AOB＝60°；
（2）设⊙O的半径为r，则OA＝OD＝r，OE＝r+2，
∵∠OAE＝90°，∠E＝30°，
∴2OA＝OE，即2r＝r+2，
∴r＝2，
故⊙O的半径为2．
15、（2020浙江霍州）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．
（1）求证：∠CAD＝∠CBA．
（2）求OE的长．
【分析】（1）利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可．
（2）证明△AEC∽△BCA，推出＝，求出EC即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AE＝DE，OC是半径，
∴＝，
∴∠CAD＝∠CBA．
（2）解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AE＝DE，
∴OC⊥AD，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠ACB，
∴△AEC∽△BCA，
∴＝，
∴＝，
∴CE＝3.6，
∵OC＝AB＝5，
∴OE＝OC﹣EC＝5﹣3.6＝1.4．
16、（2020浙江温州）如图，，为上两点，且在直径两侧，连结交于点，是上一点，．
（1）求证：．
（2）点关于的对称点为，连结．当点落在直径上时，，，求的半径．
解：（1），
，
为的直径，
，
；
（2）如图，连接，
，是的直径，
，，
，
点，关于对称，
，
，
，
，
，
，
，
，
的半径为．
17、（2020江苏南京）如图，在中，，是上一点，经过点、、，交于点，过点作，交于点．
求证：（1）四边形是平行四边形；
（2）．
【解答】证明：（1），
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）连接，
，，
，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
，
．
能力提升
18、（2020安徽）已知点A，B，C在⊙O上，则下列命题为真命题的是（　　）
A．若半径OB平分弦AC，则四边形OABC是平行四边形
B．若四边形OABC是平行四边形，则∠ABC＝120°
C．若∠ABC＝120°，则弦AC平分半径OB
D．若弦AC平分半径OB，则半径OB平分弦AC
【分析】根据垂径定理，平行四边形的性质判断即可．
解：A、如图，
若半径OB平分弦AC，则四边形OABC不一定是平行四边形；原命题是假命题；
B、若四边形OABC是平行四边形，
则AB＝OC，OA＝BC，
∵OA＝OB＝OC，
∴AB＝OA＝OB＝BC＝OC，
∴∠ABO＝∠OBC＝60°，
∴∠ABC＝120°，是真命题；
C、如图，
若∠ABC＝120°，则弦AC不平分半径OB，原命题是假命题；
D、如图，
若弦AC平分半径OB，则半径OB不一定平分弦AC，原命题是假命题；
故选：B．
19、（2020湖南长沙）如图，点P在以MN为直径的半圆上运动，（点P与M，N不重合）平分，交PM于点E，交PQ于点F．
(1)
___________________．
(2)若，则___________________．
【答案】
(1).
1
(2).
1
【解析】
【分析】
(1)过E作于G，可得，根据圆周角的性质可得，又平分，根据角平分线的性质可得；由，
，，且，根据“等角的余角相等”可得
，再根据等腰三角形的性质“等角对等边”可得，即有；由，，可得，从而可得在中有，将、、代入可得，，既而可求得的值．(2)
由得，又，根据等腰三角形的性质可得平分，即，从而可求得．
【详解】(1)如图所示，过E作于G，则，
∵MN为半圆的直径，
∴，
又∵平分，,
∴．
∵平分，
∴，
∵，
∴,
又，
∴，
又∵，
∴，
∴,
又∵，
∴．
∵，，
∴，
∴在中，,
又∵,
∴，
∴将，，代入得，,
∴，
即．
(2)∵，
∴，
又∵，
∴平分，即,
∴，
故答案为：(1)
；(2)
．
【点睛】本题综合考查了圆周角的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质、平行线分线段成比例的性质等知识．(1)中解题的关键是利用角平分线的性质和等腰三角形的性质求得，，再通过平行线分线段成比例的性质得到，进行等量代换和化简后即可得解；(2)中解题的关键是利用等腰三角形的性质得到，即可得解．
创新思维
20、（2020广东广州）如图，为等边外接圆，半径为2，点在劣弧上运动（不与点重合），连接，，．
（1）求证：是的平分线；
（2）四边形的面积是线段的长的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；
（3）若点分别在线段，上运动（不含端点），经过探究发现，点运动到每一个确定的位置，的周长有最小值，随着点的运动，的值会发生变化，求所有值中的最大值．
【答案】(1)详见解析；(2)是，
；(3)
【解析】
【分析】
(1)根据等弧对等角的性质证明即可；
(2)延长DA到E,让AE=DB,证明△EAC≌△DBC,即可表示出S的面积；
(3)作点D关于直线BC、AC的对称点D1、D2，当D1、M、N、D共线时△DMN取最小值，可得t=D1D2，有对称性推出在等腰△D1CD2中,t=，D与O、C共线时t取最大值即可算出．
【详解】(1)∵△ABC为等边三角形,BC=AC，
∴,都为圆，
∴∠AOC=∠BOC=120°，
∴∠ADC=∠BDC=60°，
∴DC是∠ADB的角平分线．
(2)是．
如图，延长DA至点E，使得AE=DB．
连接EC，则∠EAC=180°－∠DAC＝∠DBC．
∵AE＝DB，∠EAC＝∠DBC,AC＝BC，
∴△EAC≌△DBC(SAS)，
∴∠E=∠CDB=∠ADC=60°，
故△EDC是等边三角形，
∵DC=x，∴根据等边三角形的特殊性可知DC边上的高为
∴．
(3)依次作点D关于直线BC、AC对称点D1、D2,根据对称性
C△DMN=DM+MN+ND=D1M+MN+ND2．
∴D1、M、N、D共线时△DMN取最小值t,此时t=D1D2,
由对称有D1C=DC=D2C=x，∠D1CB=∠DCB，∠D2CA=∠DCA,
∴∠D1CD2=∠D1CB+∠BCA+∠D2CA=∠DCB+60°+∠DCA=120°．
∴∠CD1D2=∠CD2D1=60°，
在等腰△D1CD2中,作CH⊥D1D2，
则在Rt△D1CH中，根据30°特殊直角三角形的比例可得D1H=，
同理D2H=
∴t=D1D2=．
∴x取最大值时,t取最大值．
即D与O、C共线时t取最大值,x=4．
所有t值中的最大值为．
21、（2020浙江宁波）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．
（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．
①求∠AED的度数；
②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．
【分析】（1）由角平分线的定义可得出结论；
（2）由圆内接四边形的性质得出∠FDC+∠FBC＝90°，得出∠FDE＝∠FBC，证得∠ABF＝∠FBC，证出∠ACD＝∠DCT，则CE是△ABC的外角平分线，可得出结论；
（3）①连接CF，由条件得出∠BFC＝∠BAC，则∠BFC＝2∠BEC，得出∠BEC＝∠FAD，证明△FDE≌△FDA（AAS），由全等三角形的性质得出DE＝DA，则∠AED＝∠DAE，得出∠ADC＝90°，则可求出答案；
②过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，证得△EGA∽△ADC，得出，求出，设AD＝4x，AC＝5x，则有（4x）2+52＝（5x）2，解得x＝，求出ED，CE的长，求出DM，由等腰直角三角形的性质求出FM，根据三角形的面积公式可得出答案．
解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝α，
（2）如图1，延长BC到点T，
∵四边形FBCD内接于⊙O，
∴∠FDC+∠FBC＝180°，
又∵∠FDE+∠FDC＝180°，
∴∠FDE＝∠FBC，
∵DF平分∠ADE，
∴∠ADF＝∠FDE，
∵∠ADF＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠FBC，
∴BE是∠ABC的平分线，
∵＝，
∴∠ACD＝∠BFD，
∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，
∴∠DCT＝∠BFD，
∴∠ACD＝∠DCT，
∴CE是△ABC的外角平分线，
∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
（3）①如图2，连接CF，
∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，
∴∠BAC＝2∠BEC，
∵∠BFC＝∠BAC，
∴∠BFC＝2∠BEC，
∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE，
∴∠BEC＝∠FCE，
∵∠FCE＝∠FAD，
∴∠BEC＝∠FAD，
又∵∠FDE＝∠FDA，FD＝FD，
∴△FDE≌△FDA（AAS），
∴DE＝DA，
∴∠AED＝∠DAE，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠AED+∠DAE＝90°，
∴∠AED＝∠DAE＝45°，
②如图3，过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠FAC＝∠EBC＝∠ABC＝45°，
∵∠AED＝45°，
∴∠AED＝∠FAC，
∵∠FED＝∠FAD，
∴∠AED﹣∠FED＝∠FAC﹣∠FAD，
∴∠AEG＝∠CAD，
∵∠EGA＝∠ADC＝90°，
∴△EGA∽△ADC，
∴，
∵在Rt△ABG中，AG＝，
在Rt△ADE中，AE＝AD，
∴，
在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2，
∴设AD＝4x，AC＝5x，则有（4x）2+52＝（5x）2，
∴x＝，
∴ED＝AD＝，
∴CE＝CD+DE＝，
∵∠BEC＝∠FCE，
∴FC＝FE，
∵FM⊥CE，
∴EM＝CE＝，
∴DM＝DE﹣EM＝，
∵∠FDM＝45°，
∴FM＝DM＝，
∴S△DEF＝DE?FM＝．
【点睛】本题考查圆与正多边形的综合以及动点问题，关键在于结合题意作出合理的辅助线转移已知量．
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