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6.2与切线有关的证明与计算
一、点与圆的位置关系
1、设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则
（1）点在圆内；
（2）点在圆上；
（3）点在圆外；
2、不在同一条直线上的_________点确定一个圆.
3、经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的_________.
外接圆的圆心是三角形三条边的_________的交点，叫做这个三角形的_________心.
二、直线与圆的位置关系
1、设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则
（1）直线与圆相交（图1）有_________交点；
（2）直线与圆相切（图2）有_________交点；
（3）直线与圆_________（图3）无交点；
2、相关概念：
（1）直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆_________，这条直线叫做圆的_________.
（2）直线和圆有_________公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做_________.
（3）直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆_________，
（4）切线长：经过圆外一点的圆切线上，这点和圆的_________之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
（5）与三角形三边都相切的圆叫做三角形的_________，内切圆的圆心是三角形_________的交点，叫做三角形的_________心.
3、相关定理：
（1）切线的判定定理：经过半径外端且垂直于_________的直线是圆的切线.（无切点，作垂直，证半径；有切点，连半径，证垂直）
（2）切线的性质定理：圆的切线垂直于过_________的半径；切线与圆只有一个交点；圆心到切线的距离等于半径
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过_________；
推论2：过切点垂直于切线的直线必过_________.
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个.
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长_________，这一点和圆心的连线平分两条切线的_________.
三角形的内切圆
定义：与三角形三边都相切的圆
圆心：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心
性质：三角形内心到三角形三条边的距离相等
三、圆和圆的位置关系
1、设两圆的半径分别为R、r（R>r），圆心距为d，则
（1）两圆外离（图1）无交点；
（2）两圆外切（图2）有一个交点；
（3）两圆相交（图3）有两个交点；
（4）两圆内切（图4）
有一个交点；
（5）两圆内含（图5）无交点；
2、相关概念：
（1）如果两个圆没有公共点，那么这两个圆_________，分为_________（图1）和_________（图5）两种情况；
（2）如果两个圆只有_________公共点，那么这两个圆_________，分为_________（图2）和_________（图4）两种情况；
（3）如果两个圆有_________公共点，那么这两个圆相交.
命题点1、与切线有关的证明与计算
1、（2020重庆B卷）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB．若∠B＝35°，则∠AOB的度数为（　　）
A．65°
B．55°
C．45°
D．35°
2、（2020江苏徐州）如图，是的弦，点在过点的切线上，，交于点．若，则的度数等于（
）
A.
B.
C.
D.
3、（2020湖北随州）设边长为的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为、、，则下列结论不正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
4、（2020四川宜宾）如图，已知AB是圆O的直径，点C是圆上异于A，B的一点，连接BC并延长至点D，使得，连接AD交于点E，连接BE．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）连接OC并延长，与B以为切点的切线交于点F，若，求的长．
5、（2020广东深圳）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D.连接BC并延长，交AD的延长线于点E
（1）求证：AE=AB
（2）若AB=10，BC=6，求CD的长
命题点2、与切线判定相关的证明与计算
6、（2020山东聊城）如图，在△ABC中，AB＝BC，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．
（1）试证明DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝6，求此时DE的长．
7、（2020湖南长沙）如图，为的直径，C为上的一点，AD与过点C的直线互相垂直，垂足为D，AC平分．
（1）求证：DC为的切线；
（2）若，求半径．
基础过关
1、（2020广东广州）如图，中，，，，以点为圆心，为半径作，当时，与的位置关系是（
）
A.
相离
B.
相切
C.
相交
D.
无法确定
2、（2020浙江丽水）如图，是等边的内切圆，分别切，，于点，，，是上一点，则的度数是　　
A．
B．
C．
D．
3、（2020江苏南京）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴、轴都相切，且经过矩形的顶点，与相交于点．若的半径为5，点的坐标是．则点的坐标是　　
A．
B．
C．
D．
4、（2020湖南湘西）.如图，、为⊙O的切线，切点分别为A、B，交于点C，的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（
）
A.
为等腰三角形
B.
与相互垂直平分
C.
点A、B都在以为直径的圆上
D.
为的边上的中线
5、（2020山东枣庄）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C．连接BC，若∠P＝36°，则∠B＝　
　．
6、（2020浙江台州）如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，以AD为直径的⊙O交AC于点E，连接DE．若⊙O与BC相切，∠ADE＝55°，则∠C的度数为　
　．
7、（2020湖南益阳）如图，OM是⊙O的半径，过M点作⊙O的切线AB，且MA＝MB，OA，OB分别交⊙O于C，D．求证：AC＝BD．
8、（2020天津）在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC＝63°．
（Ⅰ）如图①，若∠APC＝100°，求∠BAD和∠CDB的大小；
（Ⅱ）如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点E，求∠E的大小．
9、（2020安徽）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．
（1）求证：△CBA≌△DAB；
（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．
（2020湖北黄冈）已知：如图，AB是的直径，点为上一点，点D是弧AE上一点，连接并延长至点C，使与AE交于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）若平分，求证：．
11、（2020辽宁沈阳）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点O为BC边上一点，以点O为圆心，OB长为半径的圆与边AB相交于点D，连接DC，当DC为⊙O的切线时．
（1）求证：DC＝AC；
（2）若DC＝DB，⊙O的半径为1，请直接写出DC的长为　　．
12、（2020四川绵阳）如图，△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外，∠ADC＝90°，BD交⊙O于点E，交AC于点F，∠EAC＝∠DCE，∠CEB＝∠DCA，CD＝6，AD＝8．
（1）求证：AB∥CD；
（2）求证：CD是⊙O的切线；
（3）求tan∠ACB的值．
能力提升
13、(2020江苏泰州)如图，直线，垂足为，点在直线上，，为直线上一动点，若以为半径的与直线相切，则的长为　________　．
14、（2020浙江宁波）如图，⊙O的半径OA＝2，B是⊙O上的动点（不与点A重合），过点B作⊙O的切线BC，BC＝OA，连结OC，AC．当△OAC是直角三角形时，其斜边长为　_____
15、（2020北京）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF
⊥AD于点E，交CD于点F.
（1）求证：∠ADC＝∠AOF；
（2）若sinC＝，BD＝8，求EF的长.
16、（2020江苏盐城）如图，是的外接圆，是的直径，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，垂足为交与点；求证：是等腰三角形．
17、（2020湖南娄底）如图，点C在以为直径的上，平分交于点D，过D作的垂线，垂足为E．
（1）求证：与相切；
（2）若，求的长；
（3）请用线段、表示长，并说明理由．
18、（2020四川成都）如图，在△ABC的边BC上取一点O，O为圆心，OC为半径画⊙O,⊙O与边AB相切于点D，AC=AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F.
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AB=10，，求⊙O的半径；
（3）若F是AB的中点，试探究BD+CE与AF的数量关系
19、（2020湖北天门）如图，在中，，以为直径的⊙O交于点D，过点D的直线交于点F，交的延长线于点E，且．
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）当时，求的长．
20、（2020广东）如左图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB=90°，AB是⊙O的直径，CO平分∠BCD．
（1）求证：直线CD与⊙O相切；
（2）如右图，记（1）中的切点为E，P为优弧上一点，AD=1，BC=2，求tan∠APE的值．
创新思维
21、（2020北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB＝1.给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A'B'（A'，B'分别为点A，B的对应点），
线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”.
（1）如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是
；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点
的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；
（2）若点A，B都在直线y＝上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，
求d1的最小值；
（3）若点A的坐标为（2，），记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的
取值范围。
22、（2020贵州黔西南州）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）小明在研究的过程中发现是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．
知识回顾
真题在线
O
D
A
B
C
E
分层精练
26.2与切线有关的证明与计算
一、点与圆的位置关系
1、设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则
（1）点在圆内；
（2）点在圆上；
（3）点在圆外；
2、不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
3、经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆.
外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心.
二、直线与圆的位置关系
1、设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则
（1）直线与圆相交（图1）有两个交点；
（2）直线与圆相切（图2）有一个交点；
（3）直线与圆相离（图3）无交点；
2、相关概念：
（1）直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线.
（2）直线和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.
（3）直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离，
（4）切线长：经过圆外一点的圆切线上，这点和圆的切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
（5）与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
3、相关定理：
（1）切线的判定定理：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.（无切点，作垂直，证半径；有切点，连半径，证垂直）
（2）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径；切线与圆只有一个交点；圆心到切线的距离等于半径
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点；
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心.
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个.
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
三角形的内切圆
定义：与三角形三边都相切的圆
圆心：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心
性质：三角形内心到三角形三条边的距离相等
三、圆和圆的位置关系
1、设两圆的半径分别为R、r（R>r），圆心距为d，则
（1）两圆外离（图1）无交点；
（2）两圆外切（图2）有一个交点；
（3）两圆相交（图3）有两个交点；
（4）两圆内切（图4）
有一个交点；
（5）两圆内含（图5）无交点；
2、相关概念：
（1）如果两个圆没有公共点，那么这两个圆相离，分为外离（图1）和内含（图5）两种情况；
（2）如果两个圆只有一个公共点，那么这两个圆相切，分为外切（图2）和内切（图4）两种情况；
（3）如果两个圆有两个公共点，那么这两个圆相交.
命题点1、与切线有关的证明与计算
1、（2020重庆B卷）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB．若∠B＝35°，则∠AOB的度数为（　　）
A．65°
B．55°
C．45°
D．35°
解：∵AB是⊙O的切线，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB＝90°，
∴∠AOB＝90°﹣∠B＝55°，
故选：B．
2、（2020江苏徐州）如图，是的弦，点在过点的切线上，，交于点．若，则的度数等于（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可求出∠APO、∠A的度数，进一步可得∠ABO度数，从而推出答案.
【详解】∵，
∴∠APO=70°，
∵，
∴∠AOP=90°，∴∠A=20°，
又∵OA=OB，
∴∠ABO=20°，
又∵点C在过点B的切线上，
∴∠OBC=90°，
∴∠ABC=∠OBC?∠ABO=90°?20°=70°，
故答案为：B.
【点睛】本题考查的是圆切线的运用，熟练掌握运算方法是关键.
3、（2020湖北随州）设边长为的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为、、，则下列结论不正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
将图形标记各点,即可从图中看出长度关系证明A正确,再由构造的直角三角形和30°特殊角证明B正确,利用勾股定理求出r和R,即可判断C、D．
【详解】
如图所示,标上各点，AO为R，OB为r，AB为h，
从图象可以得出AB=AO+OB，即，A正确；
∵三角形为等边三角形，
∴∠CAO=30°，
根据垂径定理可知∠ACO=90°，
∴AO=2OC，即R=2r，B正确；
在Rt△ACO中，利用勾股定理可得：AO2=AC2+OC2，即，
由B中关系可得：，解得，则，
所以C错误，D正确；
故选：C．
【点睛】本题考查圆与正三角形的性质结合,关键在于巧妙利用半径和构建直角三角形．
4、（2020四川宜宾）如图，已知AB是圆O的直径，点C是圆上异于A，B的一点，连接BC并延长至点D，使得，连接AD交于点E，连接BE．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）连接OC并延长，与B以为切点的切线交于点F，若，求的长．
【答案】（1）详见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据直径所对圆周角是直角及三线合一性质求解即可；
（2）根据等腰三角形的性质和切线的性质证明，可得，即可求出DE．
【详解】（1）证明：因为AB是圆O的直径，
所以，
，
，
所以点C是BD的中点，
所以AB=AD，
所以三角形ABD是等腰三角形．
（2）因为三角形ABD是等腰三角形，
，
，
，
因为BF是切线，
所以，
因为AB是直径，
所以，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，准确运用相似三角形的性质是解题的关键．
5、（2020广东深圳）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D.连接BC并延长，交AD的延长线于点E
（1）求证：AE=AB
（2）若AB=10，BC=6，求CD的长
【考点】圆的证明与计算
【解析】
解：（1）证：连接OC
∵CD与相切于C点
∴OC⊥CD
又∵CD⊥AE
∴OC//AE
∴
∵OC=OB
∴
∴
∴AE=AB
（2）连接AC
∵AB为的直径
∴
∴
∵AB=AE，AC⊥BE
∴EC=BC=6
∵,
∴△EDC∽△ECA
∴
∴
命题点2、与切线判定相关的证明与计算
6、（2020山东聊城）如图，在△ABC中，AB＝BC，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．
（1）试证明DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝6，求此时DE的长．
{解析}（1）本题属于“见切点，连半径，证垂直”类型，根据已知条件“DE⊥BC”只需证明OD∥BC即可，由此发现点D应为AC的中点，利用圆周角定理的推论与等腰三角形三线合一的性质可获得，从而思路得以沟通；
（2）本题实质上是解等腰三角形，除了利用Rt△CDE∽Rt△ABD求解外，在Rt△BCD中利用面积法求高DE的长更显简捷．
{答案}解：（1）证明：连接OD，BD，
∵AB为⊙O的直径，∴BD⊥AD，
又∵AB＝BC，△ABC是等腰三角形，
∴BD又是AC边上的中线，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
又DE⊥BC，∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
（2）由（1）知，BD是AC边上的中线，AC＝6，
得AD＝CD＝3．
∵⊙O的半径为5，∴AB＝10．
在Rt△ABD中，BD＝＝＝．
∵AB＝BC，∴∠A＝∠C．
在Rt△CDE和Rt△ABD中，∵∠DEC＝∠ADB＝90°，∠C＝∠A，
∴Rt△CDE∽Rt△ABD，
∴，
即，解得DE＝3．
7、（2020湖南长沙）如图，为的直径，C为上的一点，AD与过点C的直线互相垂直，垂足为D，AC平分．
（1）求证：DC为的切线；
（2）若，求半径．
【答案】（1）详见解析；（2）2
【解析】
【分析】
（1）连接OC，利用角平分线的性质及同圆半径相等的性质求出∠DAC=∠OCA，得到AD∥OC，即可得到OC⊥CD得到结论；
（2）连接BC，先求出，得到∠CAB=∠DAC=30°，AC=2CD=，再根据为的直径得到∠ACB=90°，再利用三角函数求出AB.
【详解】（1）连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AD∥OC，
∴∠ADC+∠OCD=180°，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=90°，
∴∠OCD=90°，
∴OC⊥CD，
∴DC为的切线；
（2）连接BC，
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，，
∴，
∴∠DAC=30°，
∴∠CAB=∠DAC=30°，AC=2CD=，
∵AB是的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AB=，
∴的半径为2.
【点睛】此题考查角平分线的性质定理，圆的切线的判定定理，圆周角定理，锐角三角函数，直角三角形30°角的性质，正确连接辅助线解题是此题的关键.
基础过关
1、（2020广东广州）如图，中，，，，以点为圆心，为半径作，当时，与的位置关系是（
）
A.
相离
B.
相切
C.
相交
D.
无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】
根据中，，
，求出AC的值，再根据勾股定理求出BC
的值，比较BC与半径r的大小，即可得出与的位置关系．
【详解】解：∵中，，
，
∴cosA=
∵，
∴AC=4
∴BC=
当时，与的位置关系是：相切
故选：B
【点睛】本题考查了由三角函数解直角三角形，勾股定理以及直线和圆的位置关系等知识，利用勾股定理解求出BC是解题的关键．
2、（2020浙江丽水）如图，是等边的内切圆，分别切，，于点，，，是上一点，则的度数是　　
A．
B．
C．
D．
解：如图，连接，．
是的内切圆，，是切点，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
故选：．
3、（2020江苏南京）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴、轴都相切，且经过矩形的顶点，与相交于点．若的半径为5，点的坐标是．则点的坐标是　　
A．
B．
C．
D．
解：设与、轴相切的切点分别是、点，连接、、，延长与交于点，
则轴，轴，
，
四边形是矩形，
，，
四边形为正方形，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，，，
，
四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
．
故选：．
4、（2020湖南湘西）.如图，、为⊙O的切线，切点分别为A、B，交于点C，的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（
）
A.
为等腰三角形
B.
与相互垂直平分
C.
点A、B都在以为直径的圆上
D.
为的边上的中线
【答案】B
【解析】
【分析】
连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，证明Rt△OPB≌Rt△OPA，可得BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，可推出为等腰三角形，可判断A；根据△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，可得PM=OM=BM=AM，可判断C；证明△OBC≌△OAC，可得PC⊥AB，根据△BPA为等腰三角形，可判断D；无法证明与相互垂直平分，即可得出答案．
【详解】解：连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，
∵B，C为切点，
∴∠OBP=∠OAP=90°，
∵OA=OB，OP=OP，
∴Rt△OPB≌Rt△OPA，
∴BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，
∴为等腰三角形，故A正确；
∵△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，
∴PM=OM=BM=AM
∴点A、B都在以为直径的圆上，故C正确；
∵∠BOC=∠AOC，OB=OA，OC=OC，
∴△OBC≌△OAC，
∴∠OCB=∠OCA=90°，
∴PC⊥AB，
∵△BPA为等腰三角形，
∴为的边上的中线，故D正确；
无法证明与相互垂直平分，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆的性质，掌握知识点灵活运用是解题关键．
5、（2020山东枣庄）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C．连接BC，若∠P＝36°，则∠B＝　27°　．
【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP＝90°，再利用三角形内角和定理得出∠AOP＝54°，结合圆周角定理得出答案．
解：∵PA切⊙O于点A，
∴∠OAP＝90°，
∵∠P＝36°，
∴∠AOP＝54°，
∴∠B＝∠AOP＝27°．
故答案为：27°．
6、（2020浙江台州）如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，以AD为直径的⊙O交AC于点E，连接DE．若⊙O与BC相切，∠ADE＝55°，则∠C的度数为　55°　．
【分析】由直径所对的圆周角为直角得∠AED＝90°，由切线的性质可得∠ADC＝90°，然后由同角的余角相等可得∠C＝∠ADE＝55°．
解：∵AD为⊙O的直径，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE+∠DAE＝90°；
∵⊙O与BC相切，
∴∠ADC＝90°，
∴∠C+∠DAE＝90°，
∴∠C＝∠ADE，
∵∠ADE＝55°，
∴∠C＝55°．
故答案为：55°．
7、（2020湖南益阳）如图，OM是⊙O的半径，过M点作⊙O的切线AB，且MA＝MB，OA，OB分别交⊙O于C，D．求证：AC＝BD．
【解答】证明：∵OM是⊙O的半径，过M点作⊙O的切线AB，
∴OM⊥AB，
∵MA＝MB，
∴△ABO是等腰三角形，
∴OA＝OB，
∵OC＝OD，
∴OA﹣OC＝OB﹣OD，即：AC＝BD．
8、（2020天津）在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC＝63°．
（Ⅰ）如图①，若∠APC＝100°，求∠BAD和∠CDB的大小；
（Ⅱ）如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点E，求∠E的大小．
【解答】解：（1）∵∠APC是△PBC的一个外角，
∴∠C＝∠APC﹣∠ABC＝100°﹣63°＝37°，
由圆周角定理得：∠BAD＝∠C＝37°，∠ADC＝∠B＝63°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠CDB＝∠ADB﹣∠ADC＝90°﹣63°＝27°；
（2）连接OD，如图②所示：
∵CD⊥AB，
∴∠CPB＝90°，
∴∠PCB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣63°＝27°，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD，
∴∠ODE＝90°，
∵∠BOD＝2∠PCB＝54°，
∴∠E＝90°﹣∠BOD＝90°﹣54°＝36°．
9、（2020安徽）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．
（1）求证：△CBA≌△DAB；
（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB＝∠ADB＝90°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠E＝∠BFE，根据切线的性质得到∠ABE＝90°，根据三角形的内角和以及角平分线的定义即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
在Rt△CBA与Rt△DAB中，，
∴Rt△CBA≌Rt△DAB（HL）；
（2）解：∵BE＝BF，由（1）知BC⊥EF，
∴∠E＝∠BFE，
∵BE是半圆O所在圆的切线，
∴∠ABE＝90°，
∴∠E+∠BAE＝90°，
由（1）知∠D＝90°，
∴∠DAF+∠AFD＝90°，
∵∠AFD＝∠BFE，
∴∠AFD＝∠E，
∴∠DAF＝90°﹣∠AFD，∠BAF＝90°﹣∠E，
∴∠DAF＝∠BAF，
∴AC平分∠DAB．
10、（2020湖北黄冈）已知：如图，AB是的直径，点为上一点，点D是弧AE上一点，连接并延长至点C，使与AE交于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）若平分，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】
【分析】
（1）利用为直径，得出，利用得出，从而得出，进而得出结论；
（2）证出即可得出结论．
【详解】证明：（1）为直径，
，
在中，，
又，
，
，即,
，
又为的直径，
是的切线；
（2）平分，
，
又，
，
又，
，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定，同弧所对的圆周角相等，三角形相似的判定和性质；证明切线有两种情况（1）有交点，作半径，证垂直；（2）无交点，作垂直，证半径．
11、（2020辽宁沈阳）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点O为BC边上一点，以点O为圆心，OB长为半径的圆与边AB相交于点D，连接DC，当DC为⊙O的切线时．
（1）求证：DC＝AC；
（2）若DC＝DB，⊙O的半径为1，请直接写出DC的长为　　．
【分析】（1）如图，连接OD，由切线的性质可得∠ODC＝90°，可得∠BDO+∠ADC＝90°，由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可证∠A＝∠ADC，可得DC＝AC；
（2）由等腰三角形的性质可得∠DCB＝∠DBC＝∠BDO，由三角形内角和定理可求∠DCB＝∠DBC＝∠BDO＝30°，由直角三角形的性质可求解．
【解答】证明：（1）如图，连接OD，
∵CD是⊙O的切线，
∴CD⊥OD，
∴∠ODC＝90°，
∴∠BDO+∠ADC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠A＝∠ADC，
∴CD＝AC；
（2）∵DC＝DB，
∴∠DCB＝∠DBC，
∴∠DCB＝∠DBC＝∠BDO，
∵∠DCB+∠DBC+∠BDO+∠ODC＝180°，
∴∠DCB＝∠DBC＝∠BDO＝30°，
∴DC＝OD＝，
故答案为：．
12、（2020四川绵阳）如图，△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外，∠ADC＝90°，BD交⊙O于点E，交AC于点F，∠EAC＝∠DCE，∠CEB＝∠DCA，CD＝6，AD＝8．
（1）求证：AB∥CD；
（2）求证：CD是⊙O的切线；
（3）求tan∠ACB的值．
（1）证明：∵∠BAC＝∠CEB，∠CEB＝∠DCA，
∴∠BAC＝∠DCA，
∴AB∥CD；
（2）证明：连接EO并延长交⊙O于G，连接CG，如图1所示：
则EG为⊙O的直径，
∴∠ECG＝90°，
∵OC＝OG，
∴∠OCG＝∠EGC，
∵∠EAC＝∠EGC，∠EAC＝∠DCE，
∴∠DCE＝∠EGC＝∠OCG，
∵∠OCG+∠OCE＝∠ECG＝90°，
∴∠DCE+∠OCE＝90°，即∠DCO＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（3）解：在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC＝＝＝10，
∴cos∠ACD＝＝＝，
∵CD是⊙O的切线，AB∥CD，
∴∠ABC＝∠ACD＝∠CAB，
∴BC＝AC＝10，AB＝2BC?cos∠ABC＝2×10×＝12，
过点B作BG⊥AC于C，如图2所示：
设GC＝x，则AG＝10﹣x，
由勾股定理得：AB2﹣AG2＝BG2＝BC2﹣GC2，
即：122﹣（10﹣x）2＝102﹣x2，
解得：x＝，
∴GC＝，
∴BG＝＝＝，
∴tan∠ACB＝＝＝．
能力提升
13、(2020江苏泰州)如图，直线，垂足为，点在直线上，，为直线上一动点，若以为半径的与直线相切，则的长为　或　．
解：直线，为直线上一动点，
与直线相切时，切点为，
，
当点在点的左侧，与直线相切时，如图1所示：
；
当点在点的右侧，与直线相切时，如图2所示：
；
与直线相切，的长为或，
故答案为：或．
14、（2020浙江宁波）如图，⊙O的半径OA＝2，B是⊙O上的动点（不与点A重合），过点B作⊙O的切线BC，BC＝OA，连结OC，AC．当△OAC是直角三角形时，其斜边长为　2或2　．
【分析】当∠AOC＝90°时，连接OB，根据切线的性质得到∠OBC＝90°，根据勾股定理得到AC＝＝＝2；当∠OAC＝90°时，点A与B重合，求得OC＝2．
解：∵BC是⊙O的切线，
∴∠OBC＝90°，
∵BC＝OA，
∴OB＝BC＝2，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠BCO＝45°，
∴∠ACO≤45°，
∵当△OAC是直角三角形时，①∠AOC＝90°，连接OB，
∴OC＝OB＝2，
∴AC＝＝＝2；
②当∠OAC＝90°时，点A与B重合，
∴OC＝2，
综上所述，其斜边长为2或2，
故答案为：2或2．
15、（2020北京）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF
⊥AD于点E，交CD于点F.
（1）求证：∠ADC＝∠AOF；
（2）若sinC＝，BD＝8，求EF的长.
（1）连接OD（如图所示）
∵CD是圆O的切线
∴OD⊥CD，∠ADC＋∠ODA＝90°
∵AB是圆的直径
∴∠ADB＝90°，∠ODB＋∠ODA＝90°
∴∠ADC＝∠ODB
∵OD＝OB
∴∠ODB＝∠B
∵OF⊥AD
∴∠OEA＝90°
∴OF∥BD
∴∠B＝∠AOF
∴∠ADC＝∠AOF
（2）连接FA（如图所示）
∵OF∥BD
∴△CFO≌△CDB
∵OF⊥AD，OD⊥FD
∴AE＝DE
∵BD＝8
∴OE＝4
∴FA⊥CA，FD＝FA
∴sinC＝
∴设FA＝FD＝X，则CF＝3X，CD＝4X
∴△CFO和△CDB相似比是
∴
∵BD＝8
∴OF＝6
∴EF＝OF－OE＝6－4＝2
【解析】第一问，证明角相等，通过倒角即可得出，是常规考题，主要用的就是有切线，直径所对的圆周角是90°，题干的垂直，即可得出：第二问，主要是考察相似在圆中的应用，主要找到相似三角形，根据三角函数找到相似比，本题即可解出。
16、（2020江苏盐城）如图，是的外接圆，是的直径，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，垂足为交与点；求证：是等腰三角形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
(1)连接OC，由AB是圆O的直径得到∠BCA=90°，进一步得到∠A+∠B=90°，再根据已知条件，且∠A=∠ACO即可证明∠OCD=90°进而求解；
(2)证明，再由DE⊥AB，得到∠A+∠AFE=90°，进而得到∠DCA=∠AFE=∠DFC，得到DC=DF，进而得到△DFC为等腰三角形．
【详解】解：(1)证明：连接，
为圆的直径，
又
又点在圆上，
是的切线．
(2)
又
是等腰三角形．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定等，熟练掌握性质或定理是解决此类题的关键．
17、（2020湖南娄底）如图，点C在以为直径的上，平分交于点D，过D作的垂线，垂足为E．
（1）求证：与相切；
（2）若，求的长；
（3）请用线段、表示长，并说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）
；（3），理由详见解析
【解析】
【分析】
（1）连，据题意得，根据平分线的性质，得，证明，再根据可得结果；
（2）根据为的直径可得，证出，得到，代入数值求解即可；
（3）由得，根据，得到，，联立即可得到结果；
【详解】解：（1）连，据题意得，
，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴与相切．
（2）为直径可得：，
据（1）且，
∴在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴．
（3）．
由得，
∵，
∴，
，
，
由得，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，结合三角形相似的知识点进行求解是解题的关键．
18、（2020四川成都）如图，在△ABC的边BC上取一点O，O为圆心，OC为半径画⊙O,⊙O与边AB相切于点D，AC=AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F.
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AB=10，，求⊙O的半径；
（3）若F是AB的中点，试探究BD+CE与AF的数量关系
【解析】（1）证明：连接OD，∵⊙O与AB相切，∴∠ADO=90°
在△AOC和△AOD中
∴△AOC≌△AOD（SSS），∴∠ADO=∠ACO=90°，∴OC⊥AC
∵OC为⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线.
（2）设OD=，∵在Rt△OBD中，，∴，
∴，∴BC=OB+OC=
在Rt△ACB中，，∴，∴
又∵AB=10，∴，∴，∴，即⊙O的半径是
（3）探究关系结果：，理由如下：
连接ED，CD，∵AC，AD为⊙O的切线，∴AO平分∠COD和∠CAD，∴∠COE=∠DOE
且∠COE及∠DOE均为圆心角，∴CE=DE，∴∠ECD=∠EDC.
在△OCE和△ODE中
∴△OCE≌△ODE（SSS），∴∠CEO=∠DEO
设∠CAO=，∠CEO=
∵AC=AD，且OA平分∠CAD，∴OA⊥CD，
∴∠CAO+∠ACD=90°，又∵∠ACD+∠OCD=90°，∴∠OCD=
∴∠ECD=，又∵∠AEF和∠CEO互为对顶角，∴∠AEF=∠CEO=
在Rt△ACB中，因为C是斜边AB中点，∴BF=AF=CF，∴∠CAF=∠ACF=
∵∠CEO为△ACE的外角，∴∠CEO=∠CAO+∠ACF，∴
∴∠ECD=，又∵∠FED是△CED的外角，∴∠FED=∠ECD+∠EDC=
∵∠EFD是△AEF的外角，∴∠EFD=∠OAD+∠AEF=，
∴∠FED=∠EFD，∴DE=DF，∴EC=ED=FD
又∵BF=BD+DF，且BF=AF，DF=CE，∴AF=BD+CE
19、（2020湖北天门）如图，在中，，以为直径的⊙O交于点D，过点D的直线交于点F，交的延长线于点E，且．
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）当时，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）10
【解析】
【分析】
（1）连接，，由是直径可得到，然后通过题中角的关系可推出，即可得证；
（2）通过，得到，然后设，列分式方程即可解得，从而得到的长．
【详解】（1）证明：如图，连接，，
∵是直径，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，即．
又是的半径，
∴是的切线．
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
设，∵，，
∴，，，．
∴．
解得．
经检验是所列分式方程的解．
∴．
20、（2020广东）如题22图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB=90°，AB是⊙O的直径，CO平分∠BCD．
（1）求证：直线CD与⊙O相切；
（2）如题22﹣2图，记（1）中的切点为E，P为优弧上一点，AD=1，BC=2，求tan∠APE的值．
【答案】
证明：过点O作OE⊥CD交于点E
∵AD∥BC，∠DAB=90°
∴∠OBC=90°即OB⊥BC
∵OE⊥CD，OB⊥BC，CO平分∠BCD
∴OB=OE
∵AB是⊙O的直径
∴OE是⊙O的半径
∴直线CD与⊙O相切
（2）连接OD、OE
∵由（1）得，直线CD、AD、BC与⊙O相切
∴由切线长定理可得AD=DE=1，BC=CE=3，
∠ADO=∠EDO，∠BCO=∠ECO
∴∠AOD=∠EOD，CD=3
∵=
∴∠APE=∠AOE=∠AOD
∵AD∥BC
∴∠ADE+∠BCE=180°
∴∠EDO+∠ECO=90°即∠DOC=90°
∵OE⊥DC，∠ODE=∠CDO
∴△ODE∽△CDO
∴即
∴OD=
∵在Rt△AOD中，AO=
∴tan∠AOD==
∴tan∠APE=
【解析】无切点作垂直证半径，切线长定理，直角三角形的判定，相似三角形的运用、辅助线的作法
【考点】切线的判定、切线长定理、圆周角定理、相似三角形、三角函数
创新思维
21、（2020北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB＝1.给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A'B'（A'，B'分别为点A，B的对应点），
线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”.
（1）如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是
；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点
的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；
（2）若点A，B都在直线y＝上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，
求d1的最小值；
（3）若点A的坐标为（2，），记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的
取值范围。
【分析】新定义综合题，属于运动线段或动点问题，以线段平移变为圆的弦为背景，在规定条件下运动，注意发据题目中线段的端点到圆上各点的最短距离是解题的关键。读懂题目后整体难度不大。
【答案】
（1）平行；P3
（2）∵点A，B在直线y＝上
∴直线与x轴交于点D（－2，0），与v轴交于点C（0，），平移直线y与圆相交与A'B'
∴tan∠CDO＝
∴∠CDO＝60°，
∴ON＝
∴直线上的点到圆上的最短距离为由圆心O向直线做垂线，交弦点M，交A'B'于点N
∴线段MN的长度即为所求
∴根据垂径定理得：AM＝，OA'＝1，OM＝
∴d1＝MN＝
（3）
∵点A（2，），线段AB＝1
∴所有的线段AB是以点A为圆心，以AB为圆的半径
∵平移AB到圆上，变为弦A'B'
∴由勾股定理：
AO＝
∴AA'最短为－1＝，最长为＋1＝
∴≤d3≤
22、（2020贵州黔西南州）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）小明在研究的过程中发现是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．
【答案】（1）见解析；（2），解析
【解析】
【分析】
本题考查了切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质．（1）连接OD，DB，由已知可得DE垂直平分OB，于是DB＝DO，而OB＝OD，所以DB＝DO＝OB，即△ODB是等边三角形，于是∠BDO＝60°，再由等腰三角形的性质及三角形的外角性质可得∠CDB＝30°，从而可得∠ODC＝90°，所以OD⊥CD，所以CD是⊙O的切线；（2）连接OP，由已知条件得OP＝OB＝BC＝2OE，再利用“两组边成比例，夹角相等”证明△OEP∽△OPC，最后由相似三角形的对应边成比例得到结论．
【详解】解：（1）如答图，连接OD，DB，∵点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，∴DE垂直平分OB，∴DB＝DO．∵DO＝OB，∴DB＝DO＝OB，∴△ODB是等边三角形，∴∠BDO＝∠DBO＝60°．∵BC＝OB＝BD，且∠DBE为△BDC的外角，∴∠BCD＝∠BDC＝∠DBO．∵∠DBO＝60°，∴∠CDB＝30°．∴∠ODC＝∠BDO＋∠BDC＝60°＋30°＝90°，∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线；
（2）这个确定的值是．
证明：如答图，连接OP，∵OP＝OB＝BC＝2OE，∴＝＝，又∵∠COP＝∠POE，∴△OEP∽△OPC，∴＝＝．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
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