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6.3弧长、扇形面积的相关计算
一、正多边形和圆
1、正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的_________；
2、正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的_________；
3、正多边形的每一边所对的圆心角叫须知这个正多边形的_________；
4、正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的_________.
5、正n边形的每一个内角都等于_________，每一个中心角和外角都相等于_________.
6、我们可以通过n等分圆周的方法得到正_________边形.
二、弧长和扇形面积
1、弧长公式：_________.
2、扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的_________围成的图形叫做扇形.
3、扇形的面积公式：_________或_________.
三、圆柱和圆锥
1、圆柱
（1）圆柱的平面展开图
（2）圆柱的侧面积：_________
（3）圆柱的表面积：=_________
（4）圆柱的体积：_________
2、圆锥
（1）圆锥的平面展开图
圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体，我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的_________.
（2）圆锥的侧面积：_________
（3）圆锥的表面积：=_________
（4）圆锥的体积：
_________
命题点1、弧长的相关计算
1、（2020甘肃）若一个扇形的圆心角为60°，面积为cm2，则这个扇形的弧长为　_________　cm（结果保留π）．
2、（2020湖北天门）一个圆锥的底面半径是，其侧面展开图的圆心角是120°，则圆锥的母线长是（
）
A.
B.
C.
D.
3、（2020湖南娄底）如图，公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为m（米），某车在标有处的弯道上从点A行驶了米到达点B，则线段_______米．
4、（2020湖北黄冈）如图所示，将一个半径，圆心角的扇形纸板放置在水平面的一条射线上．在没有滑动的情况下，将扇形沿射线翻滚至再次回到上时，则半径的中点P运动的路线长为_____________．
命题点2、扇形面积的有关计算
5、（2020山东聊城）如图，有一块半径为1m，圆心角为90°的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（　　）
A．m
B．m
C．m
D．m
命题点3、圆柱、圆锥的相关计算
6、（2020黑龙江大庆）底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为（　　）
A．1：1
B．1：3
C．1：6
D．1：9
7、（2020江苏徐州）如图，在中，，，．若以所在直线为轴，把旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于_______．
命题点4、阴影部分面积的相关计算
8、（2020山东聊城）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，连接OC，DB，如果OC∥DB，OC＝2，那么图中阴影部分的面积是（　　）
A．π
B．2π
C．3π
D．4π
9、（2020湖北荆门）如图所示的扇形中，，C为上一点，，连接，过C作的垂线交于点D，则图中阴影部分的面积为_______．
10、（2020四川凉山州）如图，点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，若阴影部分的面积是π，则半圆的半径OA的长为　_______　．
基础过关
1、（2020山西）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到，，两点之间的距离为，圆心角为，则图中摆盘的面积是（
）
A.
B.
C.
D.
2、（2020贵州黔东南州）如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点．以C为圆心，2为半径作圆弧，再分别以E、F为圆心，1为半径作圆弧、，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．π﹣1
B．π﹣2
C．π﹣3
D．4﹣π
3、（2020湖南株洲）如图所示，点A、B、C对应的刻度分别为0、2、4、将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点A1，则此时线段CA扫过的图形的面积为（　　）
A．4π
B．6
C．4
D．π
4、（2020辽宁沈阳）如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，则的长为（　　）
A．
B．π
C．
D．
5、（2020四川南充）如图，四个三角形拼成一个风车图形，若AB＝2，当风车转动90°，点B运动路径的长度为（　　）
A．π
B．2π
C．3π
D．4π
6、（2020浙江宁波）如图，折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，图中的长为　_______　cm（结果保留π）．
6题
7题
7、（2020广东广州）如题16图，从一块半径为1m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为______m．
8、（2020湖南娄底）如图，四边形中，，则将它以为轴旋转180°后所得分别以、为母线的上下两个圆锥的侧面积之比为_________．
9、（2020新疆）如图，⊙O的半径是2，扇形BAC的圆心角为60°．若将扇形BAC剪下围成一个圆锥，则此圆锥的底面圆的半径为_____．
10、（2020湖南益阳）小明家有一个如图所示的闹钟，他观察发现圆心角∠AOB＝90°，测得的长为36cm，则的长为　
　cm．
11、（2020湖南长沙）若一个圆锥的母线长是3，底面半径是1，则它的侧面展开图的面积是_____．
12、（2020重庆A卷）如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC的中点为O，分别以点A，C为圆心，以AO的长为半径画弧，分别与正方形的边相交，则图中的阴影部分的面积为　
　．（结果保留π）
13、（2020浙江丽水）如图，的半径，于点，．
（1）求弦的长．
（2）求的长．
能力提升
14、（2020四川成都）如图，六边形ABCDEF是正六边形叫做“正六边形的渐开线”，、、、、、，的圆心依次按A，B，C，D，E，F循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角.当AB=1时，曲线的长度是
.
15、（2020广西北部湾）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠C＝60°，点E，F分别是AB，AD上的动点，且AE＝DF，DE与BF交于点P．当点E从点A运动到点B时，则点P的运动路径长为　_________　．
16、（2020江苏宿迁）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，P为AD上一个动点，连接BP，线段BA与线段BQ关于BP所在的直线对称，连接PQ，当点P从点A运动到点D时，线段PQ在平面内扫过的面积为　__________　．
17、（2020河南）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为　________　．
18、（2020江苏淮安）如图，是圆的弦，是圆外一点，，交于点，交圆于点，且．
（1）判断直线与圆的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
创新思维
19、（2020河北）如图，点为中点，分别延长到点，到点，使．以点为圆心，分别以，为半径在上方作两个半圆．点为小半圆上任一点（不与点，重合），连接并延长交大半圆于点，连接，．
（1）①求证：；
②写出∠1，∠2和三者间的数量关系，并说明理由．
（2）若，当最大时，直接指出与小半圆的位置关系，并求此时（答案保留）．
知识回顾
真题在线
A
O
M
C
B
D
分层精练
26.3弧长、扇形面积的相关计算
一、正多边形和圆
1、正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；
2、正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径；
3、正多边形的每一边所对的圆心角叫须知这个正多边形的中心角；
4、正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
5、正n边形的每一个内角都等于，每一个中心角和外角都相等于.
6、我们可以通过n等分圆周的方法得到正n边形.
二、弧长和扇形面积
1、弧长公式：.
2、扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.
3、扇形的面积公式：或.
三、圆柱和圆锥
1、圆柱
（1）圆柱的平面展开图
（2）圆柱的侧面积：
（3）圆柱的表面积：=
（4）圆柱的体积：
2、圆锥
（1）圆锥的平面展开图
圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体，我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
（2）圆锥的侧面积：
（3）圆锥的表面积：=
（4）圆锥的体积：
命题点1、弧长的相关计算
1、（2020甘肃）若一个扇形的圆心角为60°，面积为cm2，则这个扇形的弧长为　　cm（结果保留π）．
【分析】首先根据扇形的面积公式求出扇形的半径，再根据扇形的面积＝lR，即可得出弧长．
解：设扇形的半径为R，弧长为l，
根据扇形面积公式得；＝，
解得：R＝1，
∵扇形的面积＝lR＝，
解得：l＝π．
故答案为：．
2、（2020湖北天门）一个圆锥的底面半径是，其侧面展开图的圆心角是120°，则圆锥的母线长是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意求出圆锥的底面周长，根据弧长公式计算即可．
【详解】解：圆锥的底面周长＝2×π×4＝8π，
∴侧面展开图的弧长为8π，
则圆锥母线长＝＝12（cm），
故选：B．
【点睛】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
3、（2020湖南娄底）如图，公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为m（米），某车在标有处的弯道上从点A行驶了米到达点B，则线段_______米．
【答案】300
【解析】
【分析】
根据弧长公式求出∠AOB的度数，根据等边三角形的性质即可求解．
【详解】∵=
∴n=60°
又AO=BO
∴△AOB是等边三角形，
∴AO=BO=300(米)
故答案为：300．
【点睛】此题主要考查弧长公式，解题的关键是熟知弧长公式的运用．
4、（2020湖北黄冈）如图所示，将一个半径，圆心角的扇形纸板放置在水平面的一条射线上．在没有滑动的情况下，将扇形沿射线翻滚至再次回到上时，则半径的中点P运动的路线长为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】
仔细观察顶点P经过的路线可得，中点P经过的路线可以分为四段，分别求出四段的长，再求出其和即可．
【详解】连接BP，如图，
∵P为AO的中点，AO=10cm，
∴PO=5cm，
由勾股定理得，BP=，
中点P经过的路线可以分为四段，当弧AB切射线OM于点B时，有OB⊥射线OM，此时P点绕不动点B转过了90°，此时点P经过的路径长为：cm；
第二段：OB⊥射线OM到OA⊥射线OM，P点绕动点转动，而这一过程中弧AB始终是切于射线OM的，所以P与转动点的连线始终⊥射线OM，所以P点过的路线长=AB的弧长，即；
第三段：OB⊥射线OM到P点落在射线OM上，P点绕不动点A转过了90°，此时点P经过的路径长为：；
第四段：OA⊥射线OM到OB与射线OM重合，P点绕不动点O转过了90°，此时点P经过的路径长为：；
所以，P点经过的路线总长S=．
故答案为：
【点睛】本题考查了弧长的计算，关键是理解中点P经过的路线可得，中点P经过的路线总长为四个扇形的弧长．
命题点2、扇形面积的有关计算
5、（2020山东聊城）如图，有一块半径为1m，圆心角为90°的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（　　）
A．m
B．m
C．m
D．m
{答案}C
{解析}先利用弧长公式求得圆锥的底面半径，再利用勾股定理求圆锥的高．设圆锥形容器底面圆的半径为r，则有2πr＝，解得r＝，则圆锥的高为＝(m)．
命题点3、圆柱、圆锥的相关计算
6、（2020黑龙江大庆）底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为（　　）
A．1：1
B．1：3
C．1：6
D．1：9
【解答】解：设圆锥和圆柱的底面圆的半径为r，圆锥的高为h，则圆柱的高为3h，
所以圆锥与圆柱的体积的比＝（×πr2×h）：（πr2×3h）＝1：9．
故选：D．
7、（2020江苏徐州）如图，在中，，，．若以所在直线为轴，把旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于_______．
【答案】
【解析】
【分析】
运用公式（其中勾股定理求解得到的母线长为5）求解．
【详解】由已知得，母线长==5，半径为3，
∴圆锥的侧面积是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥计算，要学会灵活的运用公式求解．
命题点4、阴影部分面积的相关计算
8、（2020山东聊城）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，连接OC，DB，如果OC∥DB，OC＝2，那么图中阴影部分的面积是（　　）
A．π
B．2π
C．3π
D．4π
{答案}B
{解析}借助圆的性质，利用等积转化求解阴影部分的面积．由垂径定理，得CM＝DM，∵OC∥DB，∴∠C＝∠D，又∵∠OMC＝∠BMD，∴△OMC≌△BMD(ASA)，∴OM＝BM＝OB＝OC，∴cos∠COM＝＝，∴∠COM＝60°．∴S阴影＝S扇形BOC＝＝2π．
9、（2020湖北荆门）如图所示的扇形中，，C为上一点，，连接，过C作的垂线交于点D，则图中阴影部分的面积为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据题目条件计算出OD，CD的长度，判断为等边三角形，之后表示出阴影面积的计算公式进行计算即可．
【详解】在中，
∴
∵
∴
∵
∴为等边三角形
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了阴影面积的计算，熟知不规则阴影面积的计算方法是解题的关键．
10、（2020四川凉山州）如图，点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，若阴影部分的面积是π，则半圆的半径OA的长为　3　．
【分析】连接OC、OD，利用同底等高的三角形面积相等可知阴影部分的面积等于扇形OCD的面积，列式计算就可．
解：连接OC、OD、CD．
∵△COD和△CBD等底等高，
∴S△COD＝S△BCD．
∵点C，D为半圆的三等分点，
∴∠COD＝180°÷3＝60°，
∴阴影部分的面积＝S扇形COD，
∵阴影部分的面积是π，
∴＝π，
∴r＝3，
故答案为3．
基础过关
1、（2020山西）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到，，两点之间的距离为，圆心角为，则图中摆盘的面积是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先证明是等边三角形，求解，利用摆盘的面积等于两个扇形面积的差可得答案．
【详解】解：如图，连接，
是等边三角形，
所以则图中摆盘的面积
故选B．
【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，等边三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
2、（2020贵州黔东南州）如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点．以C为圆心，2为半径作圆弧，再分别以E、F为圆心，1为半径作圆弧、，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．π﹣1
B．π﹣2
C．π﹣3
D．4﹣π
【分析】根据题意和图形，可知阴影部分的面积是以2为半径的四分之一个圆的面积减去以1为半径的半圆的面积再减去2个以边长为1的正方形的面积减去以1半径的四分之一个圆的面积，本题得以解决．
解：由题意可得，
阴影部分的面积是：?π×22﹣﹣2（1×1﹣?π×12）＝π﹣2，
故选：B．
3、（2020湖南株洲）如图所示，点A、B、C对应的刻度分别为0、2、4、将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点A1，则此时线段CA扫过的图形的面积为（　　）
A．4π
B．6
C．4
D．π
【解答】解：由题意，知AC＝4，BC＝4﹣2＝2，∠A1BC＝90°．
由旋转的性质，得A1C＝AC＝4．
在Rt△A1BC中，cos∠ACA1＝＝．
∴∠ACA1＝60°．
∴扇形ACA1的面积为＝．
即线段CA扫过的图形的面积为．
故选：D．
4、（2020辽宁沈阳）如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，则的长为（　　）
A．
B．π
C．
D．
【分析】根据矩形的性质和三角函数的定义得到∠BAE＝30°，根据弧长公式即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝2，∠B＝90°，
∴AE＝AD＝2，
∵AB＝，
∴cos∠BAE＝＝，
∴∠BAE＝30°，
∴∠EAD＝60°，
∴的长＝＝，
故选：C．
5、（2020四川南充）如图，四个三角形拼成一个风车图形，若AB＝2，当风车转动90°，点B运动路径的长度为（　　）
A．π
B．2π
C．3π
D．4π
【解答】解：由题意可得：点B运动路径的长度为＝＝π，
故选：A．
6、（2020浙江宁波）如图，折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，图中的长为　18π　cm（结果保留π）．
【分析】根据弧长公式即可得到结论．
解：∵折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，
∴的长＝＝18π（cm），
故答案为：18π．
7、（2020广东广州）如题16图，从一块半径为1m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为______m．
【答案】
【解析】连接BO、AO可得△ABO为等边，可知AB=1，l=，2πr=得r=
【考点】弧长公式、圆锥
8、（2020湖南娄底）如图，四边形中，，则将它以为轴旋转180°后所得分别以、为母线的上下两个圆锥的侧面积之比为_________．
【答案】3∶2
【解析】
【分析】
根据两个圆锥的底面圆相同，设底面圆的周长为l，根据圆锥的侧面积公式可得上面圆锥的侧面积为：π·AB·l，下面圆锥的侧面积为：π·BD·l，即可得出答案．
【详解】解：∵两个圆锥的底面圆相同，
∴可设底面圆的周长为l，
∴上面圆锥的侧面积为：π·AB·l，
下面圆锥的侧面积为：π·BD·l，
∴S上：S下=3：2，
故答案为：3：2．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积公式，掌握圆锥侧面积公式是解题关键．
9、（2020新疆）如图，⊙O的半径是2，扇形BAC的圆心角为60°．若将扇形BAC剪下围成一个圆锥，则此圆锥的底面圆的半径为_____．
解:连接OA，作OD⊥AB于点D
.
在直角△OAD中，
则A
则
则扇形的弧长是
设底面圆的半径是r，则
解得:
故答案为
10、（2020湖南益阳）小明家有一个如图所示的闹钟，他观察发现圆心角∠AOB＝90°，测得的长为36cm，则的长为　
　cm．
【解答】解：
法一：∵的长为36cm，
∴＝36，
∴OA＝，
则的长为：＝×＝12（cm）；
法二：∵与所对应的圆心角度数的比值为270°：90°＝3：1，
∴与的弧长之比为3：1，
∴的弧长为36÷3＝12（cm），
答：的长为12cm．
故答案为：12．
11、（2020湖南长沙）若一个圆锥的母线长是3，底面半径是1，则它的侧面展开图的面积是_____．
【答案】3π．
【解析】
【分析】
先求得圆锥的底面周长，再根据扇形的面积公式S=lR求得答案即可．
【详解】解：圆锥的底面周长为：2×π×1＝2π，
侧面积为：×2π×3＝3π．
故答案为：3π．
【点睛】本题考查了圆锥侧面积的计算：正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
12、（2020重庆A卷）如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC的中点为O，分别以点A，C为圆心，以AO的长为半径画弧，分别与正方形的边相交，则图中的阴影部分的面积为　
　．（结果保留π）
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝2，∠DAB＝∠DCB＝90°，
由勾股定理得，AC＝＝2，
∴OA＝OC＝，
∴图中的阴影部分的面积＝22﹣×2＝4﹣π，
故答案为：4﹣π．
13、（2020浙江丽水）如图，的半径，于点，．
（1）求弦的长．
（2）求的长．
解：（1）的半径，于点，，
，
；
（2），，
，
，
的长是：．
能力提升
14、（2020四川成都）如图，六边形ABCDEF是正六边形叫做“正六边形的渐开线”，、、、、、，的圆心依次按A，B，C，D，E，F循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角.当AB=1时，曲线的长度是
.
【解析】曲线是由两段圆心角为60°，半径不同的扇形弧长组成.其长度为六段弧长之和，所以
故答案为：
15、（2020广西北部湾）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠C＝60°，点E，F分别是AB，AD上的动点，且AE＝DF，DE与BF交于点P．当点E从点A运动到点B时，则点P的运动路径长为　π　．
【分析】如图，作△CBD的外接圆⊙O，连接OB，OD．利用全等三角形的性质证明∠DPB＝120°，推出B，C，D，P四点共圆，利用弧长公式计算即可．
解：如图，作△CBD的外接圆⊙O，连接OB，OD．
∵四边形ABCD是菱形，
∵∠A＝∠C＝60°，AB＝BC＝CD＝AD，
∴△ABD，△BCD都是等边三角形，
∴BD＝AD，∠BDF＝∠DAE，
∵DF＝AE，
∴△BDF≌△DAE（SAS），
∴∠DBF＝∠ADE，
∵∠ADE+∠BDE＝60°，
∴∠DBF+∠BDP＝60°，
∴∠BDP＝120°，
∵∠C＝60°，
∴∠C+∠DPB＝180°，
∴B，C，D，P四点共圆，
由BC＝CD＝BD＝2，可得OB＝OD＝2，
∵∠BOD＝2∠C＝120°，
∴点P的运动的路径的长＝＝π．
故答案为π．
16、（2020江苏宿迁）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，P为AD上一个动点，连接BP，线段BA与线段BQ关于BP所在的直线对称，连接PQ，当点P从点A运动到点D时，线段PQ在平面内扫过的面积为　　．
【分析】由矩形的性质求出∠ABQ＝120°，由矩形的性质和轴对称性可知，△BOQ≌△DOC，根据S阴影部分＝S四边形ABQD﹣S扇形ABQ＝S四边形ABOD+S△BOQ﹣S扇形ABQ可求出答案．
【解答】解：∵当点P从点A运动到点D时，线段PQ的长度不变，
∴点Q运动轨迹是圆弧，如图，阴影部分的面积即为线段PQ在平面内扫过的面积，
∵矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠C＝∠Q＝90°．
∴∠ADB＝∠DBC＝∠ODB＝∠OBQ＝30°，
∴∠ABQ＝120°，
由矩形的性质和轴对称性可知，△BOQ≌△DOC，
∴S阴影部分＝S四边形ABQD﹣S扇形ABQ＝S四边形ABOD+S△BOQ﹣S扇形ABQ，
＝S四边形ABOD+S△COD﹣S扇形ABQ，
＝S矩形ABCD﹣S△ABQ＝1×﹣．
故答案为：﹣．
17、（2020河南）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为　　．
【分析】利用轴对称的性质，得出当点E移动到点E′时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧CD的长与CD′的长度和，分别进行计算即可．
解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，
此时E′C+E′C最小，即：E′C+E′C＝CD′，
由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，
∴∠COD′＝90°，
∴CD′＝＝＝2，
的长l＝＝，
∴阴影部分周长的最小值为2+＝．
故答案为：．
18、（2020江苏淮安）如图，是圆的弦，是圆外一点，，交于点，交圆于点，且．
（1）判断直线与圆的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）直线BC与圆O相切，理由见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）连接OB，由等腰三角形的性质分别证出∠A=∠OBA，∠CPB=∠CBP，再利用直角三角形性质和对顶角可证得∠OBC=90?，即OB⊥BC,可判断直线BC与圆O相切；
（2）易证得△CPD为等边三角形，则有∠OCB=60?,∠BOC=30?,用含30?角的直角三角形求得OA、BC的长，然后用公式求得△OBC的面积和扇形OBD的面积，相加即可解得阴影面积．
【详解】（1）直线BC与圆O相切，理由为：
连接OB，
∵OA=OB，
∴∠A=∠OBA，
∵CP=CB，
∴∠CPB=∠CBP，又∠APO=∠CPB
∴∠CBP=∠APO，
∵OA⊥OC，
∴∠A+∠APO=90?，
∴∠OBA+∠CBP=90?即∠OBC=90?，
∴OB⊥BC，
∴直线BC与圆O相切；
（2）∵OA⊥OC，∠A=30?，OP=1
∴OA=，∠APO=60?即∠CPB=60?，
∵CP=CB，
∴△PCB为等边三角形，
∴∠PCB=60?，
∵∠OBC=90?，
∴∠BOD=30?，
∴BC=OB·tan30?=1，
∴==，
答:图中阴影部分的面积为．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、切线的判定定理、等边三角形的判定与性质、扇形的面积等知识，解答的关键是认真审题，结合图形，找到各知识点之间的联系，进而推理、探究、发现和计算．
创新思维
19、（2020河北）如图，点为中点，分别延长到点，到点，使．以点为圆心，分别以，为半径在上方作两个半圆．点为小半圆上任一点（不与点，重合），连接并延长交大半圆于点，连接，．
（1）①求证：；
②写出∠1，∠2和三者间的数量关系，并说明理由．
（2）若，当最大时，直接指出与小半圆的位置关系，并求此时（答案保留）．
【答案】（1）①见详解；②∠2=∠C+∠1；（2）与小半圆相切，．
【解析】
【分析】
（1）①直接由已知即可得出AO=PO，∠AOE=∠POC，OE=OC，即可证明；
②由（1）得△AOE≌△POC，可得∠1=∠OPC，根据三角形外角的性质可得∠2=∠C+∠OPC，即可得出答案；
（2）当最大时，可知此时与小半圆相切，可得CP⊥OP，然后根据，可得在Rt△POC中，∠C=30°，∠POC=60°，可得出∠EOD，即可求出S扇EOD．
【详解】（1）①在△AOE和△POC中，
∴△AOE≌△POC；
②∠2=∠C+∠1，理由如下：
由（1）得△AOE≌△POC，
∴∠1=∠OPC，
根据三角形外角的性质可得∠2=∠C+∠OPC，
∴∠2=∠C+∠1；
（2）在P点的运动过程中，只有CP与小圆相切时∠C有最大值，
∴当最大时，可知此时与小半圆相切，
由此可得CP⊥OP，
又∵，
∴可得在Rt△POC中，∠C=30°，∠POC=60°，
∴∠EOD=180°-∠POC=120°，
∴S扇EOD==．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角，切线的性质，扇形面积的计算，掌握知识点灵活运用是解题关键．
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