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奇函数的最值性质
已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数,则对任意的x∈D,都有f(x)+f(-x)=0.特别地,若奇函数f(x)在D上有最值,则f(x)max+f(x)min=0,且若0∈D,则f(0)=0.
设函数f(x)=(x+1)2+sinxx2+1的最大值为M,最小值为m,则M+m=　　　　.
【解析】显然函数f(x)的定义域为R,
f(x)=(x+1)2+sinxx2+1=1+2x+sinxx2+1,
设g(x)=2x+sinxx2+1,则g(-x)=-g(x),∴g(x)为奇函数,
由奇函数图象的对称性知g(x)max+g(x)min=0,
∴M+m=[g(x)+1]max+[g(x)+1]min=2+g(x)max+g(x)min=2.
巩固1.已知函数f(x)=ln(1+9x2-3x)+1,则f(lg 2)+flg12=(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
【解析】∵f(x)=ln(1+9x2-3x)+1,　①
∴f(-x)=ln(1+9(-x)2+3x)+1,　②
①+②得f(x)+f(-x)=ln(1+9x2-3x)+ln(1+9x2+3x)+2
=ln[(1+9x2-3x)·(1+9x2+3x)]+2
=ln(1+9x2-9x2)+2=2.
∴f(lg 2)+f lg12=f(lg 2)+f(-lg 2)=2.选D
巩固2.对于函数f(x)=asin x+bx+c(其中a,b∈R,c∈Z),选取a,b,c的一组值计算f(1)和f(-1),所得出的正确结果一定不可能是(　　)
A.4和6 B.3和1 C.2和4 D.1和2
【解析】令g(x)=f(x)-c=asin x+bx,则g(x)是奇函数.
又g(-1)+g(1)=f(-1)-c+f(1)-c=f(-1)+f(1)-2c,
而g(-1)+g(1)=0,c为整数,∴f(-1)+f(1)=2c为偶数.1+2=3是奇数,故不可能,选D.
巩固3．已知函数和均为奇函数， 在区间上有最大值5，那么在上的最小值为 （ ）
A. －5 B. －3 C. －1 D. 5
【解析】令false，所以false为奇函数，
false时，false，false，又false时，false，false，false，故选C.
【小结】本题主要考查函数的奇偶性的应用，由于函数false和false g(x)均为奇函数，则false也为奇函数，构造函数false,则false为奇函数，借助false在false上的最大值得出false的最大值，由于奇函数的图象关于原点对称，所以在关于原点对称的单调区间上的最大值与最小值之和为零，得出false在false上的最小值，进而得出false在false上的最小值.
巩固4．已知false在区间false上有最大值5，那么false在false上的最小值为（ ）
A．false5 B．false1 C．false3 D．5
【解析】因为false中false为奇函数关于false对称,
故false关于false对称,又false在区间false上有最大值5,
故false在false上的最小值为false 故选：B
巩固5．已知函数false和false均为奇函数，false在区间false上有最大值5，那么false在false上的最小值为( )
A．false B．false C．false D．false
【解析】∵false和false均为奇函数，∴false，∴false在false上的最小值是false，故选B．
巩固6．已知函数false和false均为奇函数, false在区间false上有最大值false,那么false在false上的最小值为
【解析】由false得false，
令false，
则false，∴false为奇函数．
∵false在区间(0,+∞)上有最大值5，
∴false，∴false，即false．
∵false是奇函数，∴false，∴false．故选B
巩固7．函数falsexfalse最大值为Ｍ，最小值为ｍ，则Ｍ＋ｍ＝_____．
【解析】,又为奇函数
∴的图象关于点对称， ∴最大值对应的点与最小值对应点也关于点对称
∴，即
巩固8．已知函数false，则false=______．
， ， ，则=.
函数周期性问题
已知定义在R上的函数f(x),若对任意x∈R,总存在非零常数T,使得f(x+T)=f(x),则称f(x)是周期函数,T为其一个周期.除周期函数的定义外,还有一些常见的与周期函数有关的结论如下:
(1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.
(2)如果f(x+a)=1f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.
(3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.
(4)如果f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=6a.
这个结论通过周期函数的定义得到，用false代换等式中的false构造出来false的形式，然后利用周期函数的定义即可得到结论.
已知定义在R上的函数f(x)满足fx+32=-f(x),且f(-2)=f(-1)=-1, f(0)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 017)+f(2 018)=
【解析】因为fx+32=-f(x),所以f(x+3)=-fx+32=f(x),所以f(x)的周期为3.
则有f(1)=f(-2)=-1, f(2)=f(-1)=-1, f(3)=f(0)=2,所以f(1)+f(2)+f(3)=0,
所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 017)+f(2 018)=672×[f(1)+f(2)+f(3)]+f(1)+f(2)=-1-1=-2
巩固1.奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=( )
A.-2 B.-1 C.0 D.1
【解析】由f(x+2)是偶函数可得f(-x+2)=f(x+2),又由f(x)是奇函数得f(-x+2)=-f(x-2),所以f(x+2)=-f(x-2), f(x+4)=-f(x), f(x+8)=f(x),故f(x)是以8为周期的周期函数,所以f(9)=f(8+1)=f(1)=1,又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,所以f(8)=f(0)=0,故f(8)+f(9)=1,故选D.
巩固2.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=log2(1-x),x≤0,f(x-1)-f(x-2),x>0,则f(100)=
【解析】当x>0时,f(x)=f(x-1)-f(x-2),① 则f(x+1)=f(x)-f(x-1),②
①+②得f(x+1)=-f(x+2),即f(x+3)=-f(x).所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),T=6.
故f(100)=f(4)=-f(1)=f(-1)-f(0)=log22=1,故选C.
巩固3．已知定义在false上奇函数false满足false，且在区间false是增函数，则
A．false B．false
C．false D．false
【解析】因为false满足false，所以false
所以false是以8为周期的周期函数，则false
由false在false上奇函数，且满足false，得false
因为false在区间false上是增函数，且在false上的奇函数，所以false在false上是增函数，
所以false，即false.
【小结】本题考查了的函数性质，通过函数的奇偶性和周期性求函数的值。在比较false，false，false，false的大小时，首先应该根据函数false的奇偶性与周期性将false，false，false，false通过等值变形将自变量置于同一单调区间，然后根据单调性比较大小．
巩固4．定义在false上的偶函数false满足false当false时, false,则( )
A．false B．false
C．false D．false
【解析】因为false，所以false周期为2，
因为当false时, false单调递增，所以false 单调递增，
因为false，所以false 单调递减，
因为false，false false false,false
所以false, false, false ,false,选B.
巩固5．已知函数false是定义在false上的偶函数，并且满足false，当false时，false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
【解析】false ，故函数周期false，
∴false，
又∵false为偶函数，∴false，故选：D.
巩固6．已知false是在R上的奇函数，满足false，且false时，函数false，函数false恰有3个零点，则a的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
【解析】由题得，令false，定义域为false，false恰有3个零点，即false和false的图像在定义域内有3个交点，false，故函数false的一个周期是4，又false时，函数false，且图像关于轴x=1对称，由此可做出函数false图像如图，若两个函数有3个交点，则有false，解得false，则a的取值范围是false.故选：D
巩固7．已知函数false是定义在false上的奇函数,且false ,对任意false都有false成立,则false的值为( )
A．0 B．2010 C．2008 D．4012
【解析】由于false为false上的奇函数，所以false，false.由false，令false得false，所以false，所以false，所以false是周期为false的周期函数，所以false.故选：A
巩固8．已知函数false是定义在R上的函数，且满足false，false且false，则false的取值范围为（ ）
A．false B．false C．false D．false
【解析】false，
false且false，
false或false，false或false，false或false，
false的取值范围为false，故选：D.
函数的对称性
已知函数f(x)是定义在R上的函数.
(1)若f(a+x)=f(b-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=a+b2对称,特别地,若f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=a对称;
(2)若f(a+x)+f(b-x)=c,则y=f(x)的图象关于点a+b2,c2对称.特别地,若f(a+x)+f(a-x)=2b恒成立,则y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.
有对称的定义可以说明这两个结论的成立。例如：如果函数y=f（x）满足f（a+x）=f（b-x），则y=f（x）图象关于x=a+b2对称，由于f（a+x）=f（b-x），两式中的变量到直线x=a+b2的距离相等并且函数值也相等，所以y=f（x）图象关于x=a+b2对称。
已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x),且在[1,+∞)上是增函数,不等式f(ax+2)≤f(x-1)对任意x∈12,1恒成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.[-3,-1] B.[-2,0] C.[-5,-1] D.[-2,1]
【解析】由定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x),且在[1,+∞)上是增函数,可得函数图象关于直线x=1对称,且函数f(x)在(-∞,1)上递减,由此得出自变量离1越近,函数值越小.观察四个选项,发现0,1不存在于A,C两个选项的集合中,B中集合是D中集合的子集,故可通过验证a的值(取0与1时两种情况)得出正确选项.当a=0时,不等式f(ax+2)≤f(x-1)变为f(2)≤f(x-1),由函数f(x)的图象特征可得|2-1|≤|x-1-1|,解得x≥3或x≤1,满足不等式f(ax+2)≤f(x-1)对任意x∈12,1恒成立,由此排除A,C两个选项.当a=1时,不等式f(ax+2)≤f(x-1)变为f(x+2)≤f(x-1),由函数f(x)的图象特征可得|x+2-1|≤|x-1-1|,得x≤12,不满足不等式f(ax+2)≤f(x-1)对任意x∈12,1恒成立,排除D.综上,选B.
巩固1.若偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)=　　　　
【解析】因为f(x)的图象关于直线x=2对称,
所以f(x)=f(4-x),f(-x)=f(4+x),又f(-x)=f(x),所以f(x)=f(4+x),则f(-1)=f(4-1)=f(3)=3.
巩固2.函数y=f(x)对任意x∈R都有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,f(1)=4,则f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)的值为　　　　.?
【解析】因为函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,所以f(x)是R上的奇函数,
f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期为4.
所以f(2 017)=f(504×4+1)=f(1)=4,
所以f(2 016)+f(2 018)=-f(2 014)+f(2 014+4)=-f(2 014)+f(2 014)=0,
所以f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)=4.
巩固3.已知函数false满足对任意的false都有false成立，则
false＝ ．
【解析】设，则，
因为false，
所以，
巩固4.设函数false对false都满足false，方程false恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为____________.
【解析】函数false对false都满足false，即函数关于false对称.
方程false恰有6个不同的实数根，根据对称性知实数根两两相加为false
这6个实根的和为false
巩固5.已知定义在区间false上的函数false满足false，当false时，false，如果关于x的方程false有解，记所有解的和为S，则S不可能为（ ）
A．false B．false C．false D．false
【解析】依题意作出在区间false上的简图，
当直线false与函数false的图象有交点时，则可得false，
①当false，false有2个解，此时false；
②当false时，false有3个解，此时false；
③当false时，false有4个交点，此时false；
④false时，false有2个交点，此时false.
故S不可能为false，故选：A.
巩固6.已知函数false满足false，若函数false与false图像的交点为false，false，…，false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
【解析】函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）＝2﹣f（x），即为f（x）+f（﹣x）＝2，
可得f（x）关于点（0，1）对称，函数false图象关于点（0，1）对称，
即有（false，false）为交点，即有（﹣false，2﹣false）也为交点，
（false，false）为交点，即有（﹣false，2﹣false）也为交点，…
则有false（false+false）+（false+false）+…+（false+false）
false=false＝m．故选A．
巩固7.已知函数false满足false，若函数false与false图象的交点为false，则false（ ）
A．0 B．n C．false D．false
【解析】false函数false满足false，
falsefalse的图像关于点false对称，而函数false的图像也关于false对称，
设falsefalse false
令false，则false，
false，false
令false，则false，
false，false
false，故选：D
巩固8.定义域为false的函数false满足false，函数false.若false与false的图象有4个交点，且每个交点的横坐标之和与纵坐标之和分别为false，false，则false（ ）
A．-2 B．0 C．2 D．4
【解析】因为false，所以false的图象关于点false对称，
又false，故false的图象也关于点false对称，
则false，false，故false.故选：C
【小结】本题考查了函数的对称性及其应用以及数形结合的思想。由false可得false的图象关于点false对称，由false，所以false的图象也关于点false对称，再由对称性求解.
反函数的图象与性质
若函数y=f(x)是定义在非空数集D上的单调函数,则存在反函数y=f -1(x).特别地,y=ax与y=logax(a>0且a≠1)互为反函数,两函数图象在同一直角坐标系内关于直线y=x对称,即(x0, f(x0))与(f(x0),x0)分别在函数y=f(x)与反函数y=f -1(x)的图象上.
若x1满足2x+2x=5,x2满足2x+2log2(x-1)=5,则x1+x2=
【解析】因为2x+2x=5,所以x+2x-1=52,同理,x+log2(x-1)=52,
令t=x-1,则x=t+1,即t1是t+2t=32的解,t2是t+log2t=32的解,且t1=x1-1,t2=x2-1.
如图所示,t1为函数y=2t与y=32-t的图象交点P的横坐标,t2为函数y=log2t与y=32-t的图象交点Q的横坐标,所以P(t1,2t1),Q(t2,log2t2),所以P,Q关于直线y=t对称,且t1+t2=t1+2t1=t1+32-t1=32,所以x1+x2=t1+1+t2+1=32+2=72.
巩固1.设点P在曲线y=12ex上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为(　　)
A.1-ln 2 B.2(1-ln 2) C.1+ln 2 D.2(1+ln 2)
【解析】函数y=12ex和函数y=ln(2x)互为反函数,它们的图象关于y=x对称,则只有直线PQ与直线y=x垂直时,|PQ|才能取得最小值.设Px,12ex,则点P到直线y=x的距离为d=12ex-x2,令g(x)=12ex-x(x>0),则g'(x)=12ex-1,令g'(x)=12ex-1>0,得x>ln 2;令g'(x)=12ex-1<0,得02,则g(x)在(0,ln 2)上单调递减,在(ln 2,+∞)上单调递增,所以当x=ln 2时g(x)取得极小值,即最小值,g(x)min=12eln 2-ln 2=1-ln 2>0,所以dmin=1-ln22.则|PQ|min=2dmin=2(1-ln 2).故B正确.
两个经典不等式
(1)对数形式:xx+1≤ln(x+1)≤x(x>-1),当且仅当x=0时,等号成立.
(2)指数形式:ex≥x+1(x∈R),当且仅当x=0时,等号成立.
对于这两个不等式的得到都是源于高等数学中的泰勒展开，他们的变形式还有：false，false，false，false等，这都高考命题的题点。
设函数f(x)=1-e-x.证明:当x>-1时, f(x)≥xx+1.
【证明】x>-1时,
f(x)≥xx+1?x>-1,1-e-x≥xx+1?1-xx+1≥e-x(x>-1)?1x+1≥1ex(x>-1)?x+1≤ex(x>-1).
当x>-1时,ex≥x+1恒成立,所以当x>-1时, f(x)≥xx+1.
巩固1.已知函数f(x)=ex,x∈R.证明:曲线y=f(x)与曲线y=12x2+x+1有唯一公共点.
【证明】令g(x)=f(x)-12x2+x+1=ex-12x2-x-1,x∈R,则g'(x)=ex-x-1,
由经典不等式ex≥x+1恒成立可知,g'(x)≥0恒成立,所以g(x)在R上为单调递增函数,且g(0)=0,所以函数g(x)有唯一零点,即两曲线有唯一公共点.
巩固2.函数false的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意，函数false，可得false，可排除C、D，又由false，排除B，故选A.
巩固3.已知函数false，若不等式false在false上恒成立，
则实数false的取值范围是
【解析】设false则false，当false时false，
所以false在false上递增，得false
所以当false时，false恒成立.
若不等式false在false上恒成立，得函数false在false上递减，
即当false时，false恒成立，所以false
即false，可得false恒成立，因为false,所以false
【小结】本题考查了构造新函数，也考查了导数的应用以及由单调性求参数的问题．本题需要先证明false恒成立，得函数false在false上递减，即当false时，false恒成立，问题转化为false恒成立，即可求出a的范围．
巩固4.已知函数false与false的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是
【解析】函数false与false的图象上存在关于y轴对称的点，可得false在false有零点，即false，
即false有零点，即false和false有交点，
因为false，所以令false，则false，
又因为false，所以false即false单增，
因为false，所以false，即false，所以h（x）在false单调递增，
所以false，可得false
巩固5.设函数false．
（1）若曲线false与x轴的交点为A，求曲线false在点A处的切线方程；
（2）证明：false．
【解析】（1）令false，得false，所以A的坐标为false．
因为false，所以false，故曲线false在点A处的切线方程为false．
（2）证明：设函数false，false，
令false，得false；令false，得false．
所以false，从而false，即false．
巩固6.已知函数false，且false.
（1）求false；
（2）证明：false存在唯一极大值点false，且false.
【解析】（1）因为false,且false,所以false,
构造函数false,则false,又false,
若false,则false,则false在false上单调递增,则当false时,false矛盾,舍去；
若false,则false,则当false时,false,则false在false上单调递增,则false矛盾,舍去；
若false,则false,则当false时,false,
则false在false上单调递减,则false矛盾,舍去；
若false,则当false时,false,当false时,false,
则false在false上单调递减,在false上单调递增,
故false,则false,满足题意；
综上所述,false.
（2）证明:由（1）可知false,则false,
构造函数false,则false,
又false在false上单调递增,且false,
故当false时,false,当false时,false,
则false在false上单调递减,在false上单调递增,
又false,false,又false,
结合零点存在性定理知,在区间false存在唯一实数false,使得false,
当false时,false,当false时,false,当false时,false,
故false在false单调递增,在false单调递减,在false单调递增,
故false存在唯一极大值点false,因为false,所以false,
故false,
因为false,所以false.
巩固7.已知函数false，false.
（1）若false，判断函数false的单调性并说明理由；
（2）若false，求证：关false的不等式false在false上恒成立.
【解析】（1）函数false在false上单调递减，理由如下：
依题意false，false，则false.
当false时，false，故函数false在false上单调递减；
（2）要证false，即证false，
即证false.
设false，则false.
当false时，false，所以false在false上单调递增，
所以false，即false.
故当false时，false，
故即证false.
令false，false.
由（1）可知，false，
故false在false上单调递增.
所以，当false时，false，即false，
所以，当false时，false，
所以只需证明false，即证明false.
设false，则false.
所以false在false上单调递增，所以false，所以原不等式成立.
三点共线的充要条件
(1)设平面上三点O，A，B不共线，则平面上任意一点P与A，B共线的充要条件是存在实数λ与μ，使得OP=λOA+μOB,且λ+μ=1.特别地,当P为线段AB的中点时,OP=12OA+12OB.
三点共线充要条件的这种表示法的得到可以看成是：false的一个变形式，即false(O为平面内任意一点)。
已知A,B,C是直线l上不同的三个点,点O不在直线l上,则使等式x2OA+xOB+BC=0成立的实数x的取值集合为(　　)
A.{-1} B.? C.{0} D.{0,-1}
【解析】∵BC=OC-OB,∴x2OA+xOB+OC-OB=0,即OC=-x2OA+(1-x)OB,∴-x2+(1-x)=1,
解得x=0或x=-1(x=0舍去),∴x=-1.选A
巩固1.在梯形ABCD中,已知AB∥CD,AB=2CD,M、N分别为CD、BC的中点.若AB=λAM+μAN,则λ+μ=　　　　.?
解法一:由AB=λAM+μAN,得AB=λ·12(AD+AC)+μ·12(AC+AB),则μ2-1AB+λ2AD+λ2+μ2AC=0,得μ2-1AB+λ2AD+λ2+μ2AD+12AB=0,得14λ+34μ-1AB+λ+μ2AD=0.
又AB,AD不共线,由平面向量基本定理得14λ+34μ-1=0,λ+μ2=0,解得λ=-45,μ=85.所以λ+μ=45
解法二:如图,连接MN并延长交AB的延长线于T.
由已知易得AB=45AT,∴45AT=AB=λAM+μAN,∴AT=54λAM+54μAN,
∵T、M、N三点共线,∴54λ+54μ=1,∴λ+μ=45.
巩固2.在任意平面四边形ABCD中，点E，F分别在线段AD，BC上，false，给出下列四组等式
false，false false，false
false，false false，false
其中，能使false，false为常数的组数是false　　false
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】由题意，设false，false，则falsefalse，又false，false，false为常数，
则false，即false，满足题意的只有false，故选A．
【小结】本题主要考查了平面向量的基本定理和向量共线条件的应用，其中解答中熟记平面向量的基本定理准确运算，再根据向量的共线条件是解答的关键．首先要设false，false，结合平面向量的线性运算有false，逐一检验即可．
巩固3.已知false为数列false的前false项和，false，false，平面内三个不共线的向量false，false，false满足false，若点false，false，false在同一直线上，则false______.
【解析】因为false（1﹣an）false（an﹣1+an+1）false（n≥2，n∈N*），A，B，C在同一直线上， 则an﹣1+an+1+1﹣an＝1，∴an﹣1+an+1＝an，
∵Sn为数列{an}的前n项和，a1＝2，a2＝4，
∴数列{an}为：2，4，2，﹣2，﹣4，﹣2，2，4，2，﹣2，﹣4，﹣2，…
即数列{an}是以6为周期的周期数列，前6项为2，4，2，﹣2，﹣4，﹣2，
∵2019＝6×336+3，
∴S2019＝336×（2+4+2﹣2﹣4﹣2）+2+4+2＝8．故答案为：8
巩固4.已知false的三个顶点false、false、false及平面内一点false，若false，则点false与false的位置关系是（ ）
A．false在false边上 B．false在false边上或其延长线上
C．false在false外部 D．false在false内部
【解析】∵false
∴false=false
∴false
∴false
∴P在AC的三等分点上，故选A．
巩固5.已知点A,B,C,D是直角坐标系中不同的四点，若false，false，且false，则下列说法正确的是( ),
A．C可能是线段AB的中点 B．D可能是线段AB的中点
C．C、D可能同时在线段AB上 D．C、D不可能同时在线段AB的延长线上
【解析】由false，false，可得：false四点共线，
对于选项A，若C是线段AB的中点，则false，则false，
不满足false，即选项A错误；
对于选项B，若D是线段AB的中点，则false，则false，
不满足false，即选B错误；
对于选项C，若C、D同时在线段AB上，则false，则false，
不满足false，即选项C错误；
对于选项D，假设C、D同时在线段AB的延长线上，则 false，则false，
则不满足false，即假设不成立，即C、D不可能同时在线段AB的延长线上，即选项D正确；故选：D.
巩固6.在false中，点false在边false的延长线上，且false.若false false，则点false在（ ）
A．线段false上 B．线段false上
C．线段false上 D．线段false上
【解析】因为false
所以，由向量共线定理可知false三点共线.
∵false，∴false，∴false.
又∵false，∴点false在线段false上，且不与false、false点重合.故选B
巩固7.如图，平面内有三个向量false，其中false与false的夹角为false，false与false的夹角为false，且false，若false，则false　　false
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】false与false的夹角为false，false与false的夹角为false，且false；
false对false两边平方得：false；
对false两边同乘false得：false，
两边平方得：false；
false得：false；
根据图象知，false，false，代入false得，false；false．故选C．
三角形“四心”向量形式的充要条件
设O为△ABC所在平面上一点,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则
O为△ABC的外心?|OA|=|OB|=|OC|=a2sinA.
(2)O为△ABC的重心?OA+OB+OC=0.
O为△ABC的垂心?OA·OB=OB·OC=OC·OA.
(4)O为△ABC的内心?aOA+bOB+cOC=0.
三角形“四心”向量形式的充要条件直接来记忆一是难记，二是容易混淆；所以对于这四个结论的应用要以图形为基础进行理解，若用到时再推导即可。
已知A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满足OP=13[(1-λ)OA+(1-λ)OB+(1+2λ)OC],λ∈R,则点P的轨迹一定经过(　　)
A.△ABC的内心 B.△ABC的垂心 C.△ABC的重心 D.AB边的中点
【解析】取AB的中点D,则2OD=OA+OB,
∵OP=13[(1-λ)OA+(1-λ)OB+(1+2λ)OC],∴OP=13[2(1-λ)OD+(1+2λ)OC]=2(1-λ)3OD+1+2λ3OC,
而2(1-λ)3+1+2λ3=1,∴P,C,D三点共线,∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心.
巩固1.P是△ABC所在平面内一点,若PA·PB=PB·PC=PC·PA,则P是△ABC的(　　)
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
【解析】由PA·PB=PB·PC,可得PB·(PA-PC)=0,即PB·CA=0,∴PB⊥CA,同理可证PC⊥AC,PA⊥BC,∴P是△ABC的垂心.
巩固2.O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足OP=OB+OC2+λAP,λ∈[0,+∞),则P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
【解析】设BC的中点为M,则OB+OC2=OM,则有OP=OM+λAP,即MP=λAP,∴P的轨迹所在直线一定通过△ABC的重心.
巩固3.O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足OP=OA+λAB|AB|+AC|AC|,λ∈[0,+∞),则P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
解法一:AB|AB|为AB上的单位向量,AC|AC|为AC上的单位向量,则AB|AB|+AC|AC|的方向为∠BAC的平分线AD的方向.又λ∈[0,+∞),∴λAB|AB|+AC|AC|的方向与AB|AB|+AC|AC|的方向相同.OP=OA+λAB|AB|+AC|AC|,∴点P在AD上移动.∴P的轨迹一定要通过△ABC的内心.选B.
解法二:由于P点轨迹通过△ABC内一定点且该定点与O点位置和△ABC的形状无关,故取O点与A点重合,由平行四边形法则很容易看出P点在∠BAC的平分线上,故选B.
巩固4.如图，等腰直角false中，点false为false的重心，过点false的直线与false两边分别交于false两点，且false，则false的最小值为______
【解析】设false为线段false的中点，
因为点false为false的重心，
所以false，而false
即有false，根据false三点共线，可得false，
因为false，当且仅当false时取等号，
所以false的最小值为false
【小结】本题主要考查三角形重心的性质、向量中点公式、共线定理的推论的应用以及利用基本不等式求最值，意在考查学生逻辑推理和数学运算能力．
巩固5.已知O是平面上的一个定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足false, ,则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心
【解析】设false的中点为D,false,
可得false，A、P、D三点共线，动点P的轨迹一定通过△ABC的重心，故选：B.
巩固6.设false的内角false的对边分别为false，点false为false的重心且满足向量false，若false，则实数false（ ）
A．3 B．2 C．false D．false
【解析】如图，连接false，延长交false交false于false，
由于false为重心，故false为中点，false
由重心的性质得，false，即false
由余弦定理得，falsefalsefalse
false ，可得：false
false，false 故选D．
巩固7.过△OAB的重心G的直线与边OA，OB分别交于点P，Q，设false＝h·false，false＝kfalse，则false＝____．
【解析】延长OG交边AB与M，且M为AB的中点.
所以false
又false ，所以false
且P、Q、G三点共线，且false、false不共线，
所以false，即false
巩固8.已知点false为false的重心，过点false作直线与false，false两边分别交于false两点，且false，false，则false___________．
【解析】因为false为false的重心,所以false,
因为:false三点共线,所以false,所以false
巩固1.false是平面上不共线的三点，O为false的外心，D是false的中点，动点P满足false，则点P的轨迹一定过false的______
【解析】false是平面上不共线的三点，O为false的外心，D是false的中点，
动点P满足false，且false，false三点共线，false点P的轨迹一定过false的重心.
故填重心.
等差数列
设Sn为等差数列{an}的前n项和.
(1)an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d,p+q=m+n?ap+aq=am+an(m,n,p,q∈N*).
(2)ap=q,aq=p(p≠q)?ap+q=0. (3)Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…构成的数列是等差数列.
(4)Snn=d2n+a1-d2是关于n的一次函数或常函数,数列Snn也是等差数列.
(5)Sn=n(a1+an)2=n(a2+an-1)2=n(a3+an-2)2=….
(6)若等差数列{an}的项数为偶数2m,公差为d,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m=m(am+am+1),S偶-S奇=md,S偶S奇=am+1am.
(7)若等差数列{an}的项数为奇数2m-1,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m-1=(2m-1)am,S奇=mam,S偶=(m-1)am,S奇-S偶=am,S奇S偶=mm-1.
(8)若Sm=n,Sn=m(m≠n),则Sm+n=-(m+n). (9)Sm+n=Sm+Sn+mnd.
对于等差数列中的这些结论要做到熟悉，有的需要记忆，有的需要了解推导过程。当用到这些结论时要会根据等差数列前n项和公式、通项公式推导。例如第（1）中的
false
(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=(　　)
　　　　A.3 B.4 C.5 D.6
(2)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则m=　　　　.?
【解析】(1)∵Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,∴am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,∴公差d=am+1-am=1,由Sn=na1+n(n-1)2·d=na1+n(n-1)2,得ma1+m(m-1)2=0,　　　　　　　①(m-1)a1+(m-1)(m-2)2=-2.②
由①得a1=1-m2,代入②可得m=5.
(2)由am-1+am+1-am2=0得2am-am2=0,解得am=0或2.
又S2m-1=(2m-1)(a1+a2m-1)2=(2m-1)am=38,
显然可得am≠0,所以am=2,代入上式可得2m-1=19,解得m=10.
巩固1.等差数列{an}的前n项和为Sn,若S10=20,S20=50,则S30=　　　　.?
【解析】S10=10a1+45d=20,① S20=20a1+190d=50,②
由①②解得d=110,
∴S30=S10+S20+10×20×d=20+50+200×110=90.
巩固2.一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27,则数列的公差d=　　　　.?
【解析】设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇,偶数项的和为S偶,等差数列的公差为d.由已知条件,得S奇+S偶=354,S偶∶S奇=32∶27,解得S偶=192,S奇=162.
又S偶-S奇=6d,所以d=192-1626=5.
巩固3.等差数列false共有2n+1项，其中false，false，则n的值为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【解析】由false，可得false，
由false，可得false，false，
又false，false.故选A.
【小结】本小题主要考查等差数列前false项和公式以及等差数列的性质.利用等差数列分别列出奇数项与偶数项的和之后，如何化简，就需要用到等差数列的性质来化简，对于一个等差数列来说，如果有false，则有false.这样两个已知条件就转化为要求的形式了.这是化归与转化的数学思想方法转化的数学思想.
巩固4.已知数列false对任意的false有false，若false,则false_______.
【解析】令false,知false ∴false为等差数列，首项和公差均为2
∴false，∴false
巩固5.已知等差数列false前n项的和为false，false，false，则false（ ）
A．25 B．26 C．27 D．28
【解析】等差数列false前n项的和为false,故false.
故false.故选：C
巩固6.false为等差数列false前false项和，若数列false第六项与第八项之和为4，则false等于( )
A．2 B．4 C．6 D．8
【解析】依题：false，∴false.选A
巩固7.已知等差数列{an}的前13项之和为39，则a6+a7+a8=( )
A．6 B．9 C．12 D．18
【解析】等差数列{an}的前13项之和为S13=132a1+a13=132a6+a8=39
解得a6+a8=6，根据等差数列的性质得到a6+a8=2a7，故得到a7=3.
故a6+a7+a8=9.故答案为：B.
巩固8.等差数列的前false项和为25，前false项和为100，则它的前false项和为（ ）
A．125 B．200 C．225 D．275
【解析】由题可知，false，false，由false成等差数列，即false成等差数列，false，解得false，故选：C
巩固9.若等差数列false的前10项中，所有偶数项、所有奇数项之和分别为55和45，则它的首项false_______．
【解析】false
等比数列
已知等比数列{an},公比为q,前n项和为Sn.
(1)an=am·qn-m,an+m=anqm=amqn(m,n∈N*).
(2)若m+n=p+q,则am·an=ap·aq(m,n,p,q∈N*);反之,不一定成立.
(3)a1a2a3…am,am+1am+2…a2m,a2m+1a2m+2…a3m,…成等比数列(m∈N*).
(4)公比q≠-1时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等比数列(n∈N*).
(5)若等比数列的项数为2n(n∈N*),公比为q,奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,则S偶S奇=q.
(6){an},{bn}是等比数列,则{λan},1an,{anbn},anbn也是等比数列(λ≠0,n∈N*).xk-*/w
(7)通项公式an=a1qn-1=a1q·qn.从函数的角度来看,它可以看作是一个常数与一个关于n的指数函数的积,其图象是指数函数图象上一群孤立的点.
(8)只有同号的两个数才能有等比中项;两个同号的数的等比中项有两个,它们互为相反数.
(9)三个数成等比数列,通常设为xq,x,xq;四个数成等比数列,通常设为xq3,xq,xq,xq3.
对于等比数列中的这些结论要做到熟悉，有的需要记忆，有的需要了解推导过程。当用到这些结论时要会根据等差数列前n项和公式、通项公式推导。例如第（1）中的false
(1)已知{an}是首项为1等比数列,Sn是{an}的前n项和,且9S3=S6,则数列1an前5项和为
(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S6S3=3,则S9S6=
【解析】(1)设数列{an}的公比为q,若q=1,则S3=3,S6=6,9S3≠S6,与已知矛盾,故q≠1.
所以有9(1-q3)1-q=1-q61-q,即9=1+q3.解得q=2.数列1an是首项为1,公比为12等比数列,前5项和为1-1251-12=3116.
(2)由已知S6S3=3,得S6=3S3,因为S3,S6-S3,S9-S6也为等比数列,所以(S6-S3)2=S3(S9-S6),则(2S3)2=S3(S9-3S3),化简得S9=7S3,从而S9S6=7S33S3=73.故选B.
巩固1.已知等比数列false的各项均为正数，若false，则false＝（ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
【解析】由false ，
可得false，进而可得false，false
巩固2.一个等比数列false的前false项和为48，前false项和为60，则前false项和为（ ）
A．63 B．108 C．75 D．83
【解析】因为在等比数列中，连续相同项的和依然成等比数列，即成等比数列，题中，根据等比中项性质有，则，选A
巩固3.设等比数列false的前false项和为false，且false，则false（ ）
A．255 B．375 C．250 D．200
【解析】由题得，false成等比数列，则有false，false，解得false，同理有false，false，解得false.故选：A
巩固4.在false四个数中，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求x, y的值.
【解析】由题意2,false,8成等比数列得:false;由false,8,false成等差数列得:false,
联立可解得:当false=4时,false=12;当false=false4时,false=20.
故答案为:false,或false.
巩固5.在等比数列false中，已知false，false，则false( )
A．12 B．16 C．24 D．36
【解析】由题可知，设等比数列false的公比为false，则false也是等比数列，公比为false，
依题意得，false，即false，
所以，false，
又因为false，可设false，
则：false，整理得false
两式相除得：false，则false，即false.故选：C.
巩固6.一个等比数列的前false项和为45，前false项和为60，则前false项和为（ ）
A．false B．false C．false D．false
【解析】由等比数列的性质得：Sn,S2n?Sn,S3n?S2n成等比数列，
∵等比数列的前n项和为45，前2n项和为60，
∴45,60?45,S3n?60成等比数列，
∴(60?15)2=45(S3n?60)，解得S3n=65.本题选择A选项.
【小结】熟练掌握等比数列的一些性质可提高解题速度，历年高考对等比数列的性质考查较多，主要是考查“等积性”，题目“小而巧”且背景不断更新．解题时要善于类比并且要能正确区分等差、等比数列的性质，不要把两者的性质搞混．
多面体的外接球和内切球
1.长方体的体对角线长d与共顶点的三条棱的长a,b,c之间的关系为d2=a2+b2+c2;若长方体外接球的半径为R,则有(2R)2=a2+b2+c2.
2.棱长为a的正四面体内切球半径r=612a,外接球半径R=64a.
通过选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究
如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线(实线和虚线)表示的是某几何体的三视图,则该几何体外接球的表面积为

【解析】如图,在3×2×4的长方体中构造符合题意的几何体(三棱锥A-BCD),
其外接球即为长方体的外接球,表面积为4πR2=π(32+22+42)=29π.
巩固1.已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形,直角边长是1,且其外接球的表面积是16π,则该三棱柱的侧棱长为
【解析】因为该三棱柱外接球的表面积是16π,所以外接球的半径R=2.
又直三棱柱底面是等腰直角三角形,直角边长是1,
故该三棱柱的侧棱长是42-(12+12)=14
巩固2.已知正三角形ABC的三个顶点都在半径为2的球面上,球心O到平面ABC的距离为1,点E是线段AB的中点,过点E作球O的截面,则截面面积的最小值是(　　)
A.7π4 B.2π C.9π4 D.3π
【解析】由题意知,正三角形ABC的外接圆半径为22-12=3,则AB=3,
过点E的截面面积最小时,截面是以AB为直径的圆面,截面面积S=π×322=9π4.
巩固3.已知三棱锥false中，false，false，false三点在以false为球心的球面上，若false，false，且三棱锥false的体积为false，则球false的表面积为（ ）
A．false B．false C．false D．false
【解析】由题意false，false
false.
又false的外接圆的半径false
因此球false的半径false，球的表面积：false.故选：C
巩固4.已知三棱锥false的所有顶点都在球false的求面上，false是边长为false的正三角形，false为球false的直径，且false，则此棱锥的体积为（ ）
A．false B．false C．false D．false
【解析】作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，
延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．
∵CO1=false，
∴false，∴高SD=2OO1=false，
∵△ABC是边长为1的正三角形，
∴S△ABC=false，
∴false．
【小结】本题考查棱锥与外接球问题，首先我们要熟记一些特殊的几何体与外接球（内切球）的关系，如正方体（长方体）的外接球（内切球）球心是对角线的交点，正棱锥的外接球（内切球）球心在棱锥的高上，对一般棱锥来讲，外接球球心到名顶点距离相等，当问题难以考虑时，可减少点的个数，如先考虑到三个顶点的距离相等的点是三角形的外心，球心一定在过此点与此平面垂直的直线上．如直角三角形斜边中点到三顶点距离相等等等．
巩固5.点P为棱长是2的正方体false的内切球O球面上的动点，点M为false的中点，若满足false，则动点P的轨迹的长度为( )
A．false B．false C．false D．false
【解析】根据题意,点P为棱长是2的正方体false的内切球O球面上的动点,点M为false的中点,设false中点为false,false中点为false,如下图所示:
在平面false中,false，由题意可知false,
false为false在平面false内的射影,所以直线false在过点false且与false垂直的平面内
又因为false在正方体内切球的球面上
所以点false的轨迹为正方体的内切球与过false且与false垂直的平面相交得到的小圆,即false的轨迹为过false的平面即为平面false与内切球的交线
因为false位于平面false内,设false到平面false的距离为false
所以由false,可得false
代入可得false,解得false
正方体的内切球半径为false，由圆性质得所截小圆的半径为false
所以小圆的周长为false，即动点P的轨迹的长度为false，故选:C
巩固6.长方体false各顶点都在球false面上，false，false两点球面距离false，false、false两点球面距离false，则false值
【解析】如图所示：
设false，则false，false球的直径false，即false，
则false是等边三角形false，
在false中，false，false，false
故false，故选：C.
巩固7.已知球false与棱长为false的正方体false的各面都相切，则平面false截球false所得的截面圆与球心false所构成的圆锥的体积为
【解析】因为球false与棱长为false的正方体false的各面都相切
所以球O为正方体false的内切球，则球O的半径false
球心O到A的距离为false
底面false为等边三角形，所以球心O到平面false的距离为false
所以平面false截球false所得的截面圆的半径为false
所以圆锥的体积为false
巩固8.棱长为false的正方体false内有一个内切球O，过正方体中两条互为异面直线的false，false的中点false作直线，该直线被球面截在球内的线段的长为（　 ）
A．false B．false C．false D．false
【解析】以false为坐标原点建立空间直角坐标系,所以球心false,false,false,false,
故false到直线false的距离为false,
而球的半径为false,所以在球内的线段长度为false.
故选false.
焦点三角形的面积公式
(1)在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)中,F1,F2分别为左、右焦点,P为椭圆上一点,则△PF1F2的面积S△PF1F2=b2·tanθ2,其中θ=∠F1PF2.
(2)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)中,F1,F2分别为左、右焦点,P为双曲线上一点,则△PF1F2的面积S△PF1F2=b2tanθ2,其中θ=∠F1PF2.
这两个结论的得到可以利用定义、余弦定理得到，例如第1个：
设false，由椭圆定义可得：false，即false；
由余弦定理可得：false
整理可得：false，即false，
所以false，
所以三角形的面积为false
已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=π3,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为
【解析】设椭圆和双曲线的标准方程分别为x2a2+y2b2=1(a>b>0)和x2a12-y2b12=1(a1>0,b1>0,a>a1),
它们的半焦距为c(c>0).
根据焦点三角形面积公式可得:b2tanπ6=b12tanπ6,∴b2=3b12.
又a2=b2+c2,a12+b12=c2,消去b2和b12得a2+3a12=4c2,
∴a24c2+3a124c2=1,即12e2+32e12=1.
设1e=2cos θ,1e1=23sin θ,则1e+1e1=2cos θ+23sin θ=433sinθ+π3≤433,
因此椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为433
巩固1.如图,F1,F2是椭圆C1:x24+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率
【解析】设双曲线C2的方程为x2a22-y2b22=1,则有a22+b22=c22=c12=4-1=3.
又四边形AF1BF2为矩形,所以焦点三角形AF1F2的面积为b12tan 45°=b22tan45°,即b22=b12=1.
所以a22=c22-b22=3-1=2.故双曲线的离心率e=c2a2=c22a22=32=62.
巩固2.椭圆false的焦点为false，P为椭圆上一点，若false，则false的面积是（ ）.
A．false B．false C．false D．false
【解析】椭圆焦点三角形面积公式为false，falsefalse，故选A.
巩固3.设false是双曲线false上的点，false、false是焦点，双曲线的离心率是false，且false，false的面积是7，则false是（ ）
A．false B．false C．false D．false
【解析】因为离心率为false，又焦点三角形面积false，false
解得false，故false，故选：A.
巩固4.设false是双曲线false的左、右焦点，false为双曲线右支上一点，若false，则双曲线的两条渐近线的夹角为（ ）
A．false B．false C．false D．false
【解析】由双曲线焦点三角形的面积公式有false得false
故false.
故渐近线的斜率false.故双曲线的两条渐近线倾斜角分别为false与false.
故双曲线的两条渐近线的夹角为false，故选：C
巩固5.设false为椭圆false:false的两个焦点。false为false上点，false的内心I的纵坐标为false，则false的余弦值为_____.
【解析】如图，
由题意知false的内切圆的半径为false，又由三角形的内切圆半径false，
即false，
又由焦点三角形的面积false，
所以false，所以false，所以false.
巩固6.已知点false是双曲线false的左焦点，false为false右支上一点.以false的实轴为直径的圆与线段false交于false，false两点，且false，false是线段false的三等分点，则false的渐近线方程为（ ）
A．false B．false C．false D．false
【解析】设双曲线右焦点为false，取false中点false，连接false
设false，由双曲线定义知：false
false false且false false
又false false为false中点，又false为false中点 false且false
false，解得：false false，false
false
又双曲线焦点三角形面积false
false false false双曲线渐近线方程为false，故选：false
【小结】本题考查双曲线渐近线方程的求解，涉及到双曲线定义、焦点三角形面积的应用、垂径定理求解圆的弦长的应用等知识；关键是能够通过两种不同的方式表示出双曲线焦点三角形面积，进而构造出关于false的齐次方程.
圆锥曲线的切线问题
1.过圆C:(x-a)2+(y-b)2=R2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=R2.
2.过椭圆x2a2+y2b2=1上一点P(x0,y0)的切线方程为x0xa2+y0yb2=1.
3.已知点M(x0,y0),抛物线C:y2=2px(p≠0)和直线l:y0y=p(x+x0).
(1)当点M在抛物线C上时,直线l与抛物线C相切,其中M为切点,l为切线.
(2)当点M在抛物线C外时,直线l与抛物线C相交,其中两交点与点M的连线分别是抛物线的切线,即直线l为切点弦所在的直线.
(3)当点M在抛物线C内时,直线l与抛物线C相离.
在以上的结论中，我们可以用类比的方法，由过已知圆上和圆外的点的切线方程联想到过圆锥曲线上和圆锥曲线外的切线方程，触类旁通，实现知识的内迁，使知识更趋于系统化，取得事半功倍的效果。
已知抛物线C:x2=4y,直线l:x-y-2=0,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点,当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程.
【解析】联立方程得x2=4y,x-y-2=0,消去y,整理得x2-4x+8=0,
Δ=(-4)2-4×8=-16<0,故直线l与抛物线C相离.
由结论知,P在抛物线外,故切点弦AB所在的直线方程为x0x=2(y+y0),即y=12x0x-y0.
巩固1.设椭圆C:x24+y23=1,点P1,32,则椭圆C在点P处的切线方程为　　　　　　　　.?
【解析】由于点P1,32在椭圆x24+y23=1上,故切线方程为x4+32y3=1,即x+2y-4=0.
巩固2.已知抛物线C:x2=4y,直线l:x-y-2=0,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点,当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程.
【解析】联立方程得x2=4y,x-y-2=0,消去y,整理得x2-4x+8=0,
Δ=(-4)2-4×8=-16<0,故直线l与抛物线C相离.
由结论知,P在抛物线外,故切点弦AB所在的直线方程为x0x=2(y+y0),即y=12x0x-y0.
巩固3.过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为(　　)
A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0 C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0
如图,圆心坐标为C(1,0),易知A(1,1).
又kAB·kPC=-1,且kPC=1-03-1=12,∴kAB=-2，故直线AB方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0,选A
过点false作圆false的切线false，则false的方程为
【解析】false，false
falsefalse即false在圆上
则过false点的切线方程为false，整理得false，故选：false
【小结】本题考查求过圆上一点的切线方程，属于基础题.将圆的方程配成标准式，可判断点在圆上，根据过圆false上一点false的切线方程为false整理可得.
巩固4.过点false作圆false的两条切线，切点分别为false，false，则false
【解析】设false，则直线PA的方程为false，
直线PB的方程为false，点false均在两直线上，故false，
直线AB的方程为3x+4y=4，点false到直线AB的距离false，
则false
巩固5.过点M(2，－2p)作抛物线x2＝2py(p＞0)的两条切线，切点分别为A，B，若线段AB的中点的纵坐标为6，则p的值是（ ）．
A．1 B．2 C．1或2 D．-1或2
【解析】由题意得false，设切点分别为false，
所以切线方程为别为false，false变形为由于两条切线都这M点，
所以过A,B两点的直线方程为false,变形false，
与抛物线组方程组false，
消去x得false，解得false或false，选C.
巩固6.关于椭圆的切线由下列结论：若false是椭圆false上的一点，则过点false的椭圆的切线方程为false.已知椭圆false.利用上述结论，求过椭圆false上的点false的切线方程；
【解析】(1)由题意，将false代入椭圆方程false，得false，所以false，
所以过椭圆false上的点false的切线方程为false，即false.
圆锥曲线的中点弦问题
1.在椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)中:
(1)如图①所示,若直线y=kx(k≠0)与椭圆E交于A,B两点,过A,B两点作椭圆的切线l,l',有l∥l',设其斜率为k0,则k0·k=-b2a2.
(2)如图②所示,若直线y=kx与椭圆E交于A,B两点,P为椭圆上异于A,B的点,若直线PA,PB的斜率存在,且分别为k1,k2,则k1·k2=-b2a2.
(3)如图③所示,若直线y=kx+m(k≠0且m≠0)与椭圆E交于A,B两点,P为弦AB的中点,设直线PO的斜率为k0,则k0·k=-b2a2.
2.在双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)中,类比上述结论有:
(1)k0·k=b2a2. (2)k1·k2=b2a2. (3)k0·k=b2a2.
这些结论中的第（1）（3）个可以利用“点差法”来完成：
设出弦的两端点的坐标；
②代入圆锥曲线方程；
两式相减，在用平方差公式展开；
整理、转化为弦所在直线的斜率与弦中点和原点连线的斜率的关系，然后求解．
已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则椭圆E的方程为
【解析】
如图所示,设P(1,-1),则有kAB·kOP=-b2a2.即-b2a2=kFP·kOP=0-(-1)3-1×-11=-12,即a2=2b2,选D.
巩固1.椭圆C:x24+y23=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P在椭圆C上且直线PA2的斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA1的斜率的取值范围是　　　　.
【解析】设PA2的斜率为k2,PA1的斜率为k1,则k1·k2=-b2a2=-34,
又k2∈[-2,-1],所以k1∈38,34.?
巩固2.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点的直线交椭圆x24+y22=1于P,A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k.对任意k>0,求证:PA⊥PB.
证明：设P(x0,y0),则A(-x0,-y0),C(x0,0),kAC=0+y0x0-(-x0)=y02x0,又kPA=y0x0=k,所以kAC=k2,
由kBA·kPB =-b2a2知,kPB·kBA=kPB·kAC=k2·kPB=-24,
所以kPB·k=-1,即PA⊥PB.
巩固3.如果false是椭圆false的任意一条与false轴不垂直且不过原点的弦，false为椭圆的中心，false为false的中点，则false的值为________________．
【解析】由题意，设直线方程为false，
联立方程组false，整理得false，
所以false，
因为false为false的中点，
所以false的横坐标为false，
又由false，
所以点false的纵坐标为false，
则false，
所以false.
【小结】本题主要考查了椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系的应用，其中解答中把直线的方程和椭圆的方程联立方程组，合理利用根与系数的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
巩固4.设椭圆的方程为false1，直线AB不经过原点，而且与椭圆相交于A，B两点，M为AB的中点．若直线AB的斜率为1，则直线OM的斜率不可能是（ ）
A．false B．false C．false D．﹣1
【解析】设false,则false,
又false，即false.
故false.即false
又false,故false,因为false,故false.故选：D
巩固5.直线false交双曲线false的右支于false两点，设false的中点为false，false为坐标原点，直线false的斜率存在，分别为false，则false（ ）
A．-1 B．false C．1 D．false
【解析】双曲线的渐近线方程为y=±x．设直线l的方程为y=kx+b，
∵直线l与双曲线有2个交点A，B，故而k≠±1．
联立方程组false，消去y得（1﹣k2）x2﹣2kbx﹣b2﹣a=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0），
则x1+x2=false，∴x0=false=false，y0=kx0+b=false．
∴直线OC的斜率为false=false=false．
∴false=1．故选C．
巩固6.已知直线false与圆false交于false、false两点，false线段false的中点，则false.试用类比思想，对椭圆写出结论：______.
【解析】由类比思想，可知椭圆false与直线false交于false、false两点，false是线段false中点.设点false，false，false，中点false则false，即false
将false，false两点代入椭圆false中，false，
上下两式相减得false，即false
所以false，即false
巩固7.椭圆false中，以点false为中点的弦所在的直线斜率为________
【解析】设弦的两个端点分别为false，则false，
以上两式两边分别相减得false，
整理得false，
即false，解得false．
即以点false为中点的弦所在的直线斜率为false
圆锥曲线中的一类定值问题
在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中,曲线上的一定点P(非顶点)与曲线上的两动点A,B满足直线PA与PB的斜率互为相反数(倾斜角互补),则直线AB的斜率为定值.
图示
条件
结论
已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在椭圆上,设A,B是椭圆上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0.
直线AB的斜率kAB为定值b2x0a2y0.
已知双曲线x2a2-y2b2=1(a,b>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在双曲线上,设A,B是双曲线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0.
直线AB的斜率kAB为定值-b2x0a2y0.
已知抛物线y2=2px(p>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在抛物线上,设A,B是抛物线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0.
直线AB的斜率kAB为定值-py0.
圆锥曲线中的定值问题一直是近几年来高考试题中的热点问题，这类问题在解题之前不知道定值是多少，因而对解题增添了一定的难度。解决这类问题时，要善于在动点的“变”中寻求定值或定点的“不变”性，再转化为有目标的一般性证明，从而解决问题。
已知抛物线C:y2=2x,定点P(8,4)在抛物线上,设A,B是抛物线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0.证明:直线AB的斜率kAB为定值,并求出该定值.
【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),kPA=k,则kPB=-k(k≠0),
又P(8,4),所以直线PA的方程为y-4=k(x-8),
即y=kx+4-8k,联立方程得y=kx+4-8k,y2=2x,
消去y得k2x2+(8k-16k2-2)x+(4-8k)2=0,8x1=(4-8k)2k2,得x1=(4-8k)28k2,
同理可得x2=(4+8k)28k2,x2-x1=(4+8k)28k2-(4-8k)28k2=128k8k2=16k,x1+x2=16+64k28k2×2=4+16k2k2,
因为y1=kx1+4-8k,y2=-kx2+4+8k,
故y2-y1=-k(x1+x2)+16k=-k×4+16k2k2+16k=-4k,
故kAB=y2-y1x2-x1=-4k16k=-14,所以直线AB斜率kAB为定值,且为-14.
巩固1.已知椭圆C:x24+y23=1,A为椭圆上的定点,若其坐标为A1,32,E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数.证明:直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.
【解析】设直线AE的方程为y=k(x-1)+32,联立方程得y=k(x-1)+32,x24+y23=1,
消去y,整理得(4k2+3)x2+(12k-8k2)x+432-k2-12=0,则xE=432-k2-12(4k2+3)xA=(3-2k)2-124k2+3.①
同理,设直线AF的方程为y=-k(x-1)+32,则xF=(3+2k)2-124k2+3.②
所以kEF=yF-yExF-xE=-k(xF-1)+32-k(xE-1)+32xF-xE=-k(xF+xE)+2kxF-xE,将①②代入上式,化简得kEF=12.
巩固2.椭圆C过点false，两个焦点为false，false，E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，直线EF的斜率为false，直线l与椭圆C相切于点A，斜率为false．
false求椭圆C的方程； false求false的值．
【解析】false由题意可设椭圆C的方程为false，
且false，false，
即有false，false，所以椭圆的方程为false；
false设直线AE：false，代入椭圆方程可得
false，可得false
即有false，false，
由直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，可将k换为false，
可得false，false，
则直线EF的斜率为false，
设直线l的方程为false，代入椭圆方程可得：
false，
由直线l与椭圆C相切，可得false
化简可得false，解得false，则false．
【小结】本题主要考查了椭圆的简单性质及椭圆的定义，考查两点斜率公式，还考查了韦达定理及直线与椭圆相切知识，考查化简整理的运算能力和推理能力．在第false问中先设直线AE：false，代入椭圆方程，运用韦达定理可得E的坐标，由题意可将k换为false，可得F的坐标，由直线的斜率公式计算可得直线EF的斜率，设出直线l的方程，联立椭圆方程，运用直线和椭圆相切条件：判别式为0，可得直线l斜率，进而得到所求斜率之和．
巩固3.已知椭圆false的离心率false，且与直线false相切.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆上点false作椭圆的弦false，false，若false，false的中点分别为false，false，若false平行于false，则false，false斜率之和是否为定值？
【解析】（1）根据题意知,false，即false，
由false，消去false可得false，
因为椭圆false与直线false相切，
所以判断式false，解得false，则false，
所以椭圆的标准方程为false.
（2）因为false，false的中点分别为false，false，直线false平行于false，所以false，
设直线false的方程false，false，false，
联立方程false，解得false，
由韦达定理可得,false，false，
由中点坐标公式可得,false，false，
falsefalsefalse，
所以false，false斜率之和是为定值0.
巩固4.已知false、false是双曲线false的两个顶点，点false是双曲线上异于false、false的一点，false为坐标原点，射线false交椭圆false于点false，设直线false、false、false、false的斜率分别为false、false、false、false.
（1）若双曲线false的渐近线方程是false，且过点false，求false的方程；
（2）在（1）的条件下，如果false，求false的面积；
（3）试问：false是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由.
【解析】（1）由于双曲线false的渐近线方程为false，可设双曲线false的方程为false，
将点false的坐标代入双曲线false的方程得false，
因此，双曲线false的方程为false；
（2）设射线false所在直线的方程为false，设点false，则false，
因为点false在双曲线false上，所以false，可得false.
false，false.
所以，射线false所在直线的方程为false.
联立直线false的方程与椭圆false的方程false，解得false，
所以，点false的纵坐标为false，因此，false的面积为false；
（3）设点false、false，
由于点false在双曲线false上，则false，得false，
false，false，false，
同理可得false，因此，false.
巩固5.过函数false的图象false上一点false作倾斜角互补的两条直线，分别与false交与异于false的false，false两点.
（1）求证：直线false的斜率为定值；
（2）如果false，false两点的横坐标均不大于0，求false面积的最大值.
【解析】（1）由题意易知直线的斜率存在且不为0，可设直线false方程为false，即false，由于两直线倾斜角互补，故直线false的方程为false，
设false，false，由false得false，
∵false，即false，则false，
即false，同理可得false，
∴false的斜率为false，即直线false的斜率为定值.
（2）设直线false的方程为false，由false得false，
由false得false，又A、B的横坐标不大于零，∴false，false，则false，
false，
于是false，点false到直线false的距离false，
则false的面积false
令false，false，false，
∴false，令false，false，
求导可得false在false上恒成立，
∴false在false上单调递增，则最大值为false，故false面积的最大值为6.
巩固6.过点false直线false交抛物线false于false两点，直线false交false轴于点false．
（1）设直线false的斜率分别为false，求false的值；
（2）点false为抛物线false上异于false的任意一点，直线false交直线false于false两点，false，求抛物线false的方程．
【解析】（1）设直线false的方程为：false，点false，联立方程组false，得false，所以false
所以false
false.
（2）设点false，直线false当false时，false，
同理false，
因为false，false，
即false，false，
所以false，所以抛物线false的方程为false．
巩固7.设抛物线false的焦点为false,经过点false的动直线false交抛物线false于点false 且false.
(1)求抛物线的方程;
(2)若false为坐标原点),且点false在抛物线false上,求直线false斜率;
(3)若点M是抛物线false的准线上的一点,直线MF,MA,MB斜率分别为false .求证:当false为定值时,false也为定值.
【解析】⑴根据题意可知：false，设直线false的方程为：false，则：
联立方程：false，消去false可得：false（*），
根据韦达定理可得：false，∴false，∴false：false
⑵设false，则：false，由（*）式可得：false，∴false，
又false，∴false，∴false
∵false，∴false，∴false，∴false，
∴直线false的斜率false，
⑶可以验证该定值为false，证明如下：
设false，则：false，false，false
∵false，∴false
∴falsefalse
falsefalse
∴false为定值
圆锥曲线中的一类定点问题
若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合,则斜边所在直线过定点.
(1)对于椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上异于右顶点的两动点A,B,以AB为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线lAB过定点(a2-b2)aa2+b2,0.同理,当以AB为直径的圆过左顶点(-a,0)时,直线lAB过定点-(a2-b2)aa2+b2,0.
(2)对于双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上异于右顶点的两动点A,B,以AB为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线lAB过定点(a2+b2)aa2-b2,0.同理,对于左顶点(-a,0),则定点为-(a2+b2)aa2-b2,0.
(3)对于抛物线y2=2px(p>0)上异于顶点的两动点A,B,若OA·OB=0,则弦AB所在直线过点(2p,0).同理,抛物线x2=2py(p>0)上异于顶点的两动点A,B,若OA⊥OB,则直线AB过定点(0,2p).
圆锥曲线中的定值问题一直是近几年来高考试题中的热点问题。解决这类问题时，要善于在动点的“变”中寻求定值或定点的“不变”性，常用特殊值法先确定定点，再转化为有目标的一般性证明，从而达到解决问题的方法。
已知抛物线y2=2px(p>0)上异于顶点的两动点A,B满足以AB为直径的圆过顶点.
求证:AB所在的直线过定点,并求出该定点的坐标.
【解析】由题意知lAB的斜率不为0(否则只有一个交点),
故可设lAB:x=ty+m,A(x1,y1),B(x2,y2),
由y2=2px,x=ty+m消去x得y2-2pty-2pm=0,
从而Δ=(-2pt)2-4(-2pm)=4p2t2+8pm>0,即pt2+2m>0,y1+y2=2pt,y1y2=-2pm.①
因为以AB直径的圆过顶点O(0,0),
所以OA·OB=0,即x1x2+y1y2=0,也即(ty1+m)(ty2+m)+y1y2=0,
把式①代入化简得m(m-2p)=0,得m=0或m=2p.
(1)当m=0时,x=ty,lAB过顶点O(0,0),与题意不符,故舍去;
(2)当m=2p时,x=ty+2p,令y=0,得x=2p,所以lAB过定点(2p,0),此时m=2p满足pt2+2m>0.
综上,lAB过定点(2p,0).
巩固1.已知椭圆x24+y23=1,直线l:y=kx+m与椭圆交于A,B两点(A,B不是左、右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点.求证:直线l过定点,并求该定点的坐标.
【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程得x24+y23=1,y=kx+m,消去y得,(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,则有Δ=(8km)2-4(4k2+3)(4m2-12)>0,即m2<4k2+3,x1+x2=-8km4k2+3,x1x2=4m2-124k2+3.①
因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),
所以(x1-2,y1)·(x2-2,y2)=0,即x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2=0,
即x1x2-2(x1+x2)+4+(kx1+m)(kx2+m)=0.
把式①代入化简得7m2+16km+4k2=0,得m=-2k或m=-2k7.
(1)当m=-2k时,直线l:y=kx-2k过右顶点(2,0),与题意不符,故舍去;
(2)当m=-2k7时,直线l:y=kx-2k7过定点27,0,且满足m2<4k2+3,符合题意.所以l:y=kx+m过定点27,0.
巩固2.已知椭圆false的离心率为false，直线false经过椭圆false的左焦点.
（1）求椭圆false的标准方程；
（2）若直线false与false轴交于点false，false、false是椭圆false上的两个动点，且它们在false轴的两侧，false的平分线在false轴上，false|，则直线false是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
【解析】（1）在直线方程false中令false，则false，
故false，又false，故false，所以false，所以椭圆标准方程为：false.
（2）因为false、false在在false轴的两侧，故false的斜率必存在，
设false的方程为false，false，false，
因为false在false轴上且false在直线false，故false.
因为false的平分线在false轴上，所以false，而false，
代入整理得到：false.
由false可得false，
所以false，
所以false，化简得到false，
所以对任意的false，总有false，故直线false过定点false.
【小结】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于false或false的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有false或false，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题
巩固3.过椭圆false的右焦点false作两条互相垂直的弦false，若弦false的中点分别为false，则直线false恒过定点 .
【解析】由椭圆得a2=4,b2=3,则c2=4?3=1，∴椭圆右焦点为F(1,0)，
设直线AB的方程为x=my+1，m≠0，
则直线CD的方程为false，
联立AB方程与椭圆方程,消去x,得false，
设false,则false，
falsefalsefalsefalse.
由中点坐标公式得false，
将M的坐标中的m用false代换,得CD的中点false，false，
直线MN的方程为false，
即为false，
令false,可得false，即有y=0，
则直线MN过定点H,且为false.
当m=0，即有x=1，可得直线MN也过定点H.
故答案为：false.
巩固4.已知双曲线false，点false，在双曲线上任取两点false、false满足false，则直线false恒过定点__________；
【解析】设false的方程为false,则由false.
设false,则false是该方程的两根,
∴false,false.
又false,false,故false
∴false,
又false,false,
∴false,
代入false,false得：
false
整理得：false,
∴false,
∴false或false.
当false时,false过false与题意不符,故舍去。
当false时,false过定点false.故答案为：false
巩固5.已知抛物线false的焦点为false，false是false上一点，且false，设点false是false上异于点false的一点，直线false与直线false交于点false，过点false作false轴的垂线交false于点false则直线false过定点，定点坐标为__________.
【解析】由题意得false，解得false，
所以抛物线false的标准方程为false.
设点false、false，
直线false的方程为false，
联立false，消去false得false，
由韦达定理得false，false，
由false轴以及点false在直线false上，得false，
则由false、false、false三点共线，得false，
整理得false，
将韦达定理代入上式并整理得false，
由点false的任意性，得false，得false，
所以，直线false的方程为false，
即直线false过定点false.
巩固6.已知椭圆false的离心率为false，短轴长为4.
（1）求椭圆false的方程；
（2）过点false作两条直线，分别交椭圆false于false两点（异于false），当直线false，false的斜率之和为4时，直线false恒过定点，求出定点的坐标.
【解析】（1）由题意知：false，false，false.
解得false，false，false，所以椭圆方程为false.
（2）当直线false斜率存在时，设直线false方程为false，false，false.
由false，得false，false
联立false，消去false得false，
由题意知二次方程有两个不等实根，∴false，false.
代入false得false，整理得false.
∵false，∴false，∴false，false，所以直线false恒过定点false.
当直线false的斜率不存在时，设直线false的方程为false，false，false，
其中false，∴false.由false，得false，∴false.
∴当直线false的斜率不存在时，直线false也过定点false.
综上所述，直线false恒过定点false.
巩固7.双曲线false：false的左右顶点分别为false，false，动直线false垂直false的实轴，且交于不同的两点，直线与直线的交点为.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点作的两条互相垂直的弦，，证明：过两弦，中点的直线恒过定点.
【解析】（1），设则且①
因为动直线交双曲线于不同的两点，所以且，
因为直线的方程为②，直线的方程为③，
②③得， 把①代入上式得，化简得，
所以点的轨迹的方程为.
（2）依题意得直线与直线斜率均存在且不为0，
设直线的方程为，则直线的方程为，
联立得，
则，设，
，，
所以的中点，同理的中点，
所以直线的斜率为，
的方程为，整理得，
所以直线恒过定点，即过两弦中点的直线恒过定点.
巩固8.已知抛物线:（）上横坐标为4的点到焦点的距离为5．
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线与抛物线交于不同两点，若满足，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标．
【解析】（1）抛物线:（）的准线方程为，
由抛物线的定义得，，解得，所以抛物线方程为.
（2）方法一：设，，，且，皆不为，
，，即，，
又，，
直线斜率为，
直线方程为：，
即为，直线恒过定点
方法二：设，，
由条件可知直线的斜率不为0，可设直线：（），
代入,得：，
，，，
，，
即，
，
，，符合，
直线：，则直线恒过定点
抛物线中的三类直线与圆相切问题
AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦(焦点弦),过A,B分别作准线l:x=-p2的垂线,垂足分别为A1,B1,E为A1B1的中点.
(1)如图①所示,以AB为直径的圆与准线l相切于点E.
(2)如图②所示,以A1B1为直径的圆与弦AB相切于点F,且EF2=A1A·BB1.
(3)如图③所示,以AF为直径的圆与y轴相切.
圆锥曲线中的定值问题一直是近几年来高考试题中的热点问题。解决这类问题时，要善于在动点的“变”中寻求定值或定点的“不变”性，常用特殊值法先确定定点，再转化为有目标的一般性证明，从而达到解决问题的方法。
已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若MA·MB=0,则k=　　　　.?
【解析】如图所示,因为MA·MB=0,
所以MA⊥MB,故点M在以AB为直径的圆上,
又准线为x=-2,直线AB经过焦点F(2,0),
所以有MF⊥AB,
又kMF=2-2-2=-12,
所以kAB=2.
巩固1.过抛物线y2=2px(p>0)的对称轴上一点A(a,0)(a>0)的直线与抛物线相交于M,N两点,自M,N向直线l:x=-a作垂线,垂足分别为M1,N1.当a=p2时,求证:AM1⊥AN1.
证法一:如图所示,当a=p2时,点Ap2,0为抛物线的焦点,l为其准线x=-p2,
由抛物线定义得|MA|=|MM1|,|NA|=|NN1|,所以∠MAM1=∠MM1A,∠NAN1=∠NN1A.
因为MM1∥NN1,故∠M1MA+∠N1NA=180°,
所以∠MM1A+∠MAM1+∠NN1A+∠NAN1=180°,
所以∠MAM1+∠NAN1=90°,即∠M1AN1=90°,故AM1⊥AN1.
证法二:依题意,可设直线MN的方程为x=my+a,M(x1,y1),N(x2,y2),
则有M1(-a,y1),N1(-a,y2).由x=my+a,y2=2px
消去x,可得y2-2mpy-2ap=0,
故y1+y2=2mp,①y1·y2=-2ap,②
于是x1+x2=m(y1+y2)+2a=2m2p+2a,③
x1·x2=y122p·y222p=y12·y224p2=a2.④
当a=p2时,点Ap2,0为抛物线的焦点,l为其准线x=-p2,此时M1-p2,y1,N1-p2,y2,
由②可得y1·y2=-p2.因为AM1=(-p,y1),AN1=(-p,y2),故AM1·AN1=0,即AM1⊥AN1.
证法三:同证法二得y1·y2=-p2.因为kAM1=-y1p,kAN1=-y2p,故kAM1·kAN1=-1,即AM1⊥AN1.
巩固2.在平面直角坐标系中，已知点，直线，动直线垂直于于点，线段 的垂直平分线交于点，设的轨迹为.
（1）求曲线的方程；
（2）以曲线上的点为切点作曲线的切线，设 分别与轴交于两点，且恰与以定点为圆心的圆相切. 当圆的面积最小时，求与面积的比
【解析】（1）由题意得，∴点到的距离等于它到距离
∴点的轨迹是以为准线、为焦点的抛物线，∴点的轨迹的方程为．
由题意知切线的斜率必然存在，设为，则，
由，得
即由得，∴
令则，∴ ，令则，∴
点到切线的距离
（当且仅当时取等号）
∴ 当点的坐标为时，满足题意的圆的面积最小，此时
∴ ，即与的面积比为．
【小结】本题考查了抛物线的标准方程，抛物线的几何性质，以及直线和圆，直线和抛物线的位置关系的相关问题，当题设涉及直线，圆，圆锥曲线时，一般是直线与圆锥曲线相交于两点，需联立方程，得到根与系数的关系，而直线与圆经常利用圆的几何性质，得到一些常量，这些不变的量和圆锥曲线建立联系，从而进一步求解.
巩固3.已知抛物线的准线为l，记l与y轴交于点M，过点M作直线与C相切，切点为N，则以MN为直径的圆的方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【解析】，设切线，联立，故，，解得，故，则或
故以MN为直径的圆的方程为或，故选：C.
巩固4.已知抛物线C：x2＝8y，过点M（x0，y0）作直线MA、MB与抛物线C分别切于点A、B，且以AB为直径的圆过点M，则y0的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣4 D．不能确定
【解析】设，，
由，可得，所以，，
因为过点
作直线与抛物线分别切于点，且以为直径的圆过点，
所以，可得，
直线的方程为： ①，
同理直线的方程为：，②，
②，可得，即.故选：B．
巩固5.已知抛物线C：x2=8y，过点M（x0，y0）作直线MA、MB与抛物线C分别切于点A、B，且以AB为直径的圆过点M，则y0的值为_____.
【解析】设切点 抛物线：
因此：直线MA：
，直线MB：
联立两直线方程得到：即为M点
故：
又以AB为直径的圆过点M，故即
故，故答案为：－２
巩固6.已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相切于点，是上一点（不与重合），若以线段为直径的圆恰好经过，则的最小值是__________．
【解析】根据抛物线的对称性设，则，所以直线的方程为，由，取，，所以直线的方程是，联立，解得点的横坐标，
所以点在抛物线的准线上运动，当点的坐标是时，最小，最小值是2.
巩固7.在平面直角坐标系中，已知两点，若点的坐标满足，且点的轨迹与抛物线交于两点.
()求证:
()在轴上是否存在一点,使得过点任作一条抛物线的弦,并以该弦为直径的圆过原点.若存在,求出的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由
【解析】（1）由，可知点的轨迹是，两点所在的直线，所以点的轨迹方程为，即
由 化简得
设的轨迹与抛物线的交点坐标为，
所以，
因为
所以，
（2）假设存在这样的点，并设是过抛物线的弦，其方程为，
代入得，
此时，，计算两直线的斜率之积，
所以，
所以（定值），故存在这样的点满足题意，
设的中点为 ，则， ，
消去得．

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