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5.2 二次函数的图像和性质
（第5课时）
第5章 二次函数
2020-2021学年度苏科版九年级下册
1 说出下列函数图象的开口方向，对称轴，顶点，和增减变化情况:
(1)y=ax2
(2)y=ax2+k
(3)y=a(x-h)2
复习巩固
将抛物线y=ax?沿y轴方向平移k个单位，得抛物线 y =ax?+k 上+下--
将抛物线y=ax?沿x轴方向平移h个单位，得抛物线
y=a(x-h)2 左+右--
3 请说出二次函数y=2(x-3)2与抛物线 y=2x2 +3 如何由y=2x2 平移而来.
2 请说出二次函数y=ax?+k与y=ax?的平移关系.
y=a(x-h)2与y=ax?的平移关系
拋物线y=2x2向右平移3个单位得y=2(x-3)2
拋物线y=2x2向上平移3个单位得y=2x2 +3
y=ax2
y=a(x-h)2
y=ax2+k
y=ax2
k>0
k<0
上移
下移
左加
右减
说出平移方式，并指出其顶点与对称轴.
顶点x轴上
顶点y轴上
问题不在坐标轴上的二次函数又如何呢？
探究
画出函数 的图像.指出它的开口
方向、顶点与对称轴.
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
…
…
…
解: 先列表
画图
再描点画图.
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
探究新知
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
-10
直线x=－1
…
…
…
…
2
1
0
-1
-2
-3
-4
x
解: 先列表
再描点、连线
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
讨论
抛物线
的开口方向、对称轴、顶点?
(2)抛物线
　　　　　　　　　　　　　　
　　
有什么关系?
可以看出，抛物线 的开口向下，
对称轴是直线x=－1，
顶点是(－1， －1).
向左平移1个单位
向下平移1个单位
向左平移1个单位
向下平移1个单位
平移方法1:
平移方法2:
二次函数图像平移
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
-10
x=－1
归纳
一般地，抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2形状相同，位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)向右(左)平移，可以得到抛物线y=a(x －h)2＋k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.
向左(右)平移|h|个单位
向上(下)平移|k|个单位
y=ax2
y=a(x－h)2
y=a(x－h)2+k
y=ax2
y=a(x－h)2+k
向上(下)平移|k|个单位
y=ax2+k
向左(右)平移|h|个单位
平移方法:
抛物线y=a(x－h)2+k有如下特点:
(1)当a>0时， 开口向上;
当a<0时，开口向下;
(2)对称轴是直线x=h;
(3)顶点是(h，k).
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
（h，k）
（h，k）
直线x=h
直线x=h
由h和k的符号确定
由h和k的符号确定
向上
向下
当x=h时，最小值为k.
当x=h时，最大值为k.
在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧， y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧， y随着x的增大而减小.
根据图形填表：
二次函数
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=2(x+3)2+5
向上
( 1 ， －2)
向下
向下
( 3 ， 7)
( 2 ， －6 )
向上
直线x=－3
直线x=1
直线x=3
直线x=2
(－3， 5)
y=－3(x－1)2－2
y = 4(x－3)2＋7
y=－5(2－x)2－6
1.完成下列表格:
2.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平移得到?
3.抛物线y =－4(x－3)2＋7能够由抛物线y=4x2平移得到吗?
练习
y= ?2（x+3）2-2
画出下列函数图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点，最值各是什么及增减性如何？.
y= 2（x-3）2+3
y= ?2（x-2）2-1
y= 3（x+1）2+1
一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的 相同， 不同
y=ax2
y=a(x-h)2+k
形状
位置
y = ax2
y = ax2 + k
y = a(x – h )2
y = a( x – h )2 + k
上下平移
左右平移
上下平移
左右平移
二次函数
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=2(x+3)2+5
对称轴
顶点坐标
y = -3x(x-1)2 -2
y = 4(x-3)2 +7
y = -5(2-x)2 - 6
向上
( 1 ， -2 )
向下
向下
( 3 ， 7)
( 2 ， -6 )
向上
直线x=-3
直线x=1
直线x=3
直线x=2
( -3， 5 )
练习：
思考
例 画出二次函数y=-x2-4x-5的图像，并指出它的开口方向、顶点坐标、对称轴、最大值或最小值.
分析：要画出二次函数y=-x2-4x-5的图像，可先将函数表达式变形为y=a(x+h)2+k的形式.
解： y=-x2-4x-5
=-(x2+4x+4-4)-5
=-(x+2)2-1.
二次项系数-1<0，函数图像开口向下，顶点坐标是（-2，-1),对称轴是过点（-2，-1）且平行于y轴的直线．
二次函数y=-x2-4x-5的图像如图5-8.
当x=-2时，y有最大值，最大值是-1.
画出函数 的图象，并说明这个函数具有哪些性质．
分析 因为
所以函数即为
因此这个函数的图象开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，-2).
根据这些特点，我们容易画出它的图象．
解 列表：
画出的图象如图所示.
探究：
一般地，我们可以用配方法求抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点与对称轴.
解：y＝ax2＋bx＋c
你能将函数y＝ax2＋bx＋c 转化为
y＝a(x＋h)2＋k的形式吗？
你知道函数 y＝ax2＋bx＋c的开口方向、顶点坐标、对称轴、最大（或者最小）值？
＝ a (x2＋ x) ＋c
＝ a (x＋ ) 2 ＋ c
转化思考
＝ a (x＋ ) 2 ＋
．
1、函数y= ax2+bx+c的图象的顶点坐标:
结论
对称轴:直线
函数y= ax2+bx+c
结论
Ⅰ、当a＞0时:
当
最小值=
函数y= ax2+bx+c
结论
Ⅱ、当a＜0时
当
最大值=
通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
（1）y＝2x2＋4x；　　　　（2） y＝－2x2－3x；
（3）y＝－3x2＋6x－7；　　（4） y＝x2－4x＋5．
1.抛物线y＝4x2-11x－3与y轴的交点坐标是 ； 与x轴的交点坐标是 ；
2.抛物线y＝-6x2-x+2与y轴的交点坐标是 ；与x轴的交点坐标是 ；
练习:
怎样画出函数
y= ax2+bx+c的图象?.
思考
画二次函数的图象取点时先确定顶点，再在顶点的两旁对称地取相同数量的点，一般取5－7个点即可.
注意
今天我学到了……
函数y=ax?+bx+c的图象和性质：
顶点坐标：
对称轴：
开口
与y轴交点：
与x轴交点：
向上
向下
a>0
a>0
增减性
x>-
2a
b
x<-
2a
b
x>-
2a
b
x<-
2a
b
最 值
当x= - 时，
2a
b
y有最小值：
4a
4ac-b2
当x= - 时，
2a
b
y有最大值：
4a
4ac-b2
直线x=-
2a
b
（0，c）
4a
4ac-b2
-
2a
b
（ ， ）
2a
-b± b2-4ac
（ ，0）
谢谢聆听

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