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2.4
二次函数的应用（1）
数学北师大版
九年级下
复习导入
二次函数y=a(x-h)2+k在顶点可以取到最值吗？
y=a(x-h)2+k
在顶点处，
a＞0时，当x=h时,二次函数有最小值h，
a＜0时，当x=h时,二次函数有最大值h.
新知讲解
如图
2-8，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中
AB
和
AD
分别在两直角边上．
（1）如果设矩形的一边AB=xm，那么AD边的长度如何表示？
（2）设矩形的面积为ym2，当
x
取何值时，y的值最大？最大值是多少？
图
2-8
新知讲解
解：（1）∵BC//AD
∴△NBC
∽△NAM
又AB=x,BN=40-x
N
M
图
2-8
新知讲解
(2)y=AB·AD=
当x=20时，y最大=300.
即当x取20m时，y的值最大，最大值是300m2.
N
M
图
2-8
新知讲解
变式1、为了美化生活环境，小兰的爸爸要在院墙外的一块空地上修建一个矩形花圃．如图所示，矩形花圃的一边利用长10米的院墙，另外三条边用篱笆围成，篱笆的总长为32米．设AB的长为x米，矩形花圃的面积为y平方米．
(1)用含有x的代数式表示BC的长，BC=______；
(2)求y与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围；
(3)当x为何值时，y有最大值？最大值为多少？
新知讲解
解：(1)32-2x；
(2)由题意可得，y=x(32-2x)=-2x2+32x，
∵
32-2x>0
32-2x≤10
，
∴11≤x<16，即y与x的函数关系式是y=-2x2+32x(11≤x<16)；
(3)∵y=-2x2+32x=-2(x-8)
2+128，11≤x<16，
∴x=11时，y取得最大值，此时y=110，
即当x=11时，y取得最大值，最大值为110．
在上面的问题中，如果把矩形改为如图2-9所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎样知道的？
新知讲解
议一议
图
2-9
O
N
M
新知讲解
解：如图，∵四边形ABCD为矩形，
∴AD//BC,CD=AB,BC=AD,
∴△ODA∽△OMN，
作OH⊥MN于H，交AD于G，
∴GH=AB=x,OG=OH-x.
在Rt△MON中，由勾股定理，
得MN=50，50OH=30×40，
OH=24，
OG=24
–x.
H
G
┛
┛
图
2-9
O
N
M
新知讲解
∴x=12时，y最大=300.
答:当x=12时，面积的最大值为300平方米.
H
G
┛
┛
图
2-9
O
N
M
新知讲解
例1
某建筑物的窗户如图2-10所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15
m．当x等于多少时，窗户通过的光线最多（结果精确到
0.01m）？此时，窗户的面积是多少？
图2-10
新知讲解
解：∵
7
x
+4
y+πx
=
15，
且
图2-10
新知讲解
设窗户的面积是Sm2，则
图2-10
新知讲解
即当
x
≈
1.07m
时，S最大
≈
4.02m2．
此时，窗户通过的光线最多．
图2-10
新知讲解
变式2、如图，用一段长为40m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃ABCD，墙长24m.设AB长为xm，矩形的面积为Sm2．
(1)写出S与x的函数关系式；
(2)当AB长为多少米时，所围成的花圃面积最大？最大值是多少？
(3)当花圃的面积为150m2时，AB长为多少米？
新知讲解
解：(1)S=x(40-2x)=-2x2+40x；
(2)由题意，得
0<40-2x≤24，
解得8≤x<20，
又由(1)，得
S=-2(x-10)2+200，
∴当x=10时，所围成的花圃面积最大，最大值为200m2；
(3)由-2(x-10)
2+200=150，
解得
x1=5，x2=15，
∵8≤x<20，
∴当花圃的面积为150m2时，AB长为15米．
1、如图，ABCD是一块边长为8米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在A的延长线上，DG=2BE，设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米．
(1)求y与x之间的函数关系式(不需写自变量的取值范围)；
课堂练习
解：(1)y=(8-x)(8+2x)=-2x2+8x+64
新知讲解
(2)若改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，此时BE的长为______米；
(3)当x为何值时改造后的矩形苗圃AEFG的最大面积？并求出最大面积．
解：(2)4；
(3)解析式变形为：y=-2(x-2)2+72，
所以当x=2时，y有最大值，
∴当x为2时，改造后的矩形苗圃AEFG的最大面积，最大面积为72平方米．
课堂练习
2、在美化校园的活动中，某综合实践小组的同学借如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28m长的篱笆围成一个矩形的花圃ABCD(篱笆只围AB、BC两边)设AB=xm．
(1)若想围得花圃面积为192m2，求x的值；
解：(1)∵AB=xm，则BC=(28-x)m，
∴x(28-x)=192，
解得：x1=12，x2=16，
答：x的值为12m或16m；
课堂练习
(2)若在点P处有一棵小树与墙CD、AD的距离分别为15m和6m，要将这棵树围在花圃内(含边界，不考虑树干的粗细)，求花圃面积S的最大值．
课堂练习
解：(2)设花园的面积为S，
由题意得
S=x(28-x)=-x2+28x=-(x-14)
2+196，
x≥6
28-x≥15
∴6≤x≤13，6≤x≤13的范围内，S随x增大而增大，
∴当x=13时，S最大值=-(13-14)2+196=195(m2).
3、如图，将边长为60cm的正方形硬纸板的四个角各剪掉一个同样大小的正方形，剩余部分折成一个无盖的盒子．(纸板的厚度忽略不计)．
(1)若该无盖盒子的底面积为2500cm2，求剪掉的正方形的边长；
(2)求折成的无盖盒子的侧面积的最大值．
拓展提高
解：(1)设剪掉的正方形的边长为x
cm，
则(60-2x)2=2500，
即60-2x=±50，
解得x1=55(不合题意，舍去)，x2=5，
答：剪掉的正方形边长为5cm；
拓展提高
（2）设剪掉的正方形的边长为x
cm，盒子的侧面积为y
cm2，
则y与x的函数关系式为y=4×(60-2x)x，
即y=-8x2+240x，
y=-8(x-15)2+1800，
∵-8<0，
∴y有最大值，
∴当x=15时，y最大=1800，
答：折成的无盖盒子的侧面积有最大值，这个最大值是1800cm2．
拓展提高
课堂总结
“二次函数应用”的思路
1.理解问题;
2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;
3.用数学的方式表示出它们之间的关系;
4.运用数学知识求解;
5.检验结果的合理性,
给出问题的解答.
板书设计
课题：2.4
二次函数的应用（1）
?
教师板演区
?
学生展示区
一、二次函数的应用
二、例题
作业布置
基础作业：
课本P47练习第1、2题
练习册基础
能力作业：
课本P48练习第3、4题中小学教育资源及组卷应用平台
北师大版数学九年级上2.4
二次函数的应用（1）导学案
课题
2.4
二次函数的应用（1）
单元
第2章
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，
并能利用二次函数的知识解决实际问题.
重点
难点
通过对实际问题的分析，使学生理解二次函数是在实际生活中解决问题的一重要模型．
导学
环节
导学过程
自
主
学
习
二次函数
y=ax2+bx+c
图象的对称轴和顶点坐标.
合
作
探
究
探究一：
如图
2-8，在一个直角三角形的内部作一个矩形
ABCD，其中
AB
和
AD
分别在两直角边上．
（1）如果设矩形的一边AB=xm，那么AD
边的长度如何表示？
（2）设矩形的面积为ym2，当
x
取何值时，y的值最大？最大值是多少？
图
2-8
探究二：
在上面的问题中，如果把矩形改为如图2-9所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎样知道的？
图2-9
探究三：
例1
某建筑物的窗户如图2-10所示，它的上半部是半圆，下半部是矩
形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15
m．当x等于多少时，窗户通过的光线最多（结果精确到
0.01m）？此时，窗户的面积是多少？
图2-10
当
堂
检
测
1、
如图，ABCD是一块边长为8米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在A的延长线上，DG=2BE，设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米．
(1)求y与x之间的函数关系式(不需写自变量的取值范围)；
(2)若改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，此时BE的长为______米；
(3)当x为何值时改造后的矩形苗圃AEFG的最大面积？并求出最大面积．
在美化校园的活动中，某综合实践小组的同学借如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28m长的篱笆围成一个矩形的花圃ABCD(篱笆只围AB、BC两边)设AB=xm．
若想围得花圃面积为192m2，求x的值；(2)若在点P处有一棵小树与墙CD、AD的距离分别为15m和6m，要将这棵树围在花圃内(含边界，不考虑树干的粗细)，求花圃面积S的最大值．
3、如图，将边长为60cm的正方形硬纸板的四个角各剪掉一个同样大小的正方形，剩余部分折成一个无盖的盒子．(纸板的厚度忽略不计)．
(1)若该无盖盒子的底面积为2500cm2，求剪掉的正方形的边长；
(2)求折成的无盖盒子的侧面积的最大值．
课
堂
小
结
“二次函数应用”的思路
1.理解问题;
2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;
3.用数学的方式表示出它们之间的关系;
4.运用数学知识求解;
5.检验结果的合理性,
给出问题的解答.
参考答案
自主学习：
二次函数
y=ax2+bx+c
图象的
对称轴是直线
顶点坐标是
合作探究：
探究一：
解：（1）∵BC//AD
∴△NBC
∽△NAM
又AB=x,BN=40-x
(2)y=AB·AD=
当x=20时，y最大=300
即当x取20m时，y的值最大，最大值是300m2
探究二：
解：如图，∵四边形ABCD为矩形，
∴AD//BC,CD=AB,BC=AD,
∴△ODA∽△OMN，
作OH⊥MN于H，交AD于G
∴GH=AB=x,OG=OH-x.
在Rt△MON中，由勾股定理，
得MN=50，50OH=30×40
OH=24，
OG=24
-x
∴x=12时，y最大=300.
答:当x=12时，面积的最大值为300平方米。
探究三：
解：∵
7
x
+4
y+πx
=
15，
设窗户的面积是Sm2，则
即当
x
≈
1.07m
时，S最大
≈
4.02m2．
此时，窗户通过的光线最多．
当堂检测：
解：(1)y=(8-x)(8+2x)=-2x2+8x+64
(2)4；
(3)解析式变形为：y=-2(x-2)2+72，
所以当x=2时，y有最大值，
∴当x为2时改造后的矩形苗圃AEFG的最大面积，最大面积为72平方米．
2、解：(1)∵AB=xm，则BC=(28-x)m，
∴x(28-x)=192，
解得：x1=12，x2=16，
答：x的值为12m或16m；
(2)设花园的面积为S，
由题意得：S=x(28-x)=-x2+28x=-(x-14)
2+196，
∴6≤x≤13，6≤x≤13的范围内，S随x增大而增大，
∴当x=13时，S最大值=-(13-14)2+196=195(m2)
3、解：(1)设剪掉的正方形的边长为x
cm，
则(60-2x)2=2500，
即60-2x=±50，
解得x1=55(不合题意，舍去)，x2=5，
答：剪掉的正方形边长为5cm；
（2）设剪掉的正方形的边长为x
cm，盒子的侧面积为y
cm2，
则y与x的函数关系式为y=4×(60-2x)x，
即y=-8x2+240x，
y=-8(x-15)2+1800，
∵-8<0，
∴y有最大值，
∴当x=15时，y最大=1800，
答：折成的无盖盒子的侧面积有最大值，这个最大值是1800cm2．
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精品试卷·第
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