资源简介

5.1
平行四边形
一、平行四边形的概念：两组对边分别________四边形叫做平行四边形.
二、平行四边形的性质
1、平行四边形的邻角________，对角________.
2、平行四边形的对边________且________
3、平行四边形的对角线________
4、平行四边形是________对称图形，对称中心是对角线的________.
三、平行四边形的判定
1、两组对边分别________的四边形是平行四边形.
2、两组对边分别________的四边形是平行四边形.
3、两组对角分别________的四边形是平行四边形.
4、一组对边________且________的四边形是平行四边形.
5、对角线________的四边形是平行四边形.
四、平行线间的距离
1、概念：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的________，叫作两条平行线间的距离.
2、性质：
（1）两条平行线间的距离处处________；
（2）夹在两条平行线间的平行线段________
3、平行线的面积：s=边长×该边上的高
五、多边形的相关知识
1、多边形：在平面内，由一些线段________相接组成的封闭图形叫做多边形.
2、多边形的对角线：连接多边形________的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
注意：（1）从n边形的一个顶点出发可以引________条对角线，把多边形分成________个三角形.（2）n边形共有________条对角线.
3、多边形的内角：多边形相邻两边组成的________叫做它的内角.
4、多边形内角和公式：n边形的内角和等于________
5、多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的________组成的角叫做多边形的外角.
6、多边形的外角和：多边形的内角和为________.
7、正多边形：
（1）概念：在平面内，各个角都________，各条边都________的多边形叫做正多边形.
（2）正n边形每一个内角都等于每一个外角都等于
（3）正n边形有n条对称轴
（4）正n边形边数为奇数时是轴对称图形，是偶数时既是轴对称图形又是中心对称图形
命题点1、平行四边形性质的证明与计算
1、（2020四川遂宁）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（　　）
A.
B.
C.
D.
2、（2020安徽）在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处．折痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．请完成下列探究：
（1）∠PAQ的大小为　________；
（2）当四边形APCD是平行四边形时，的值为________　．
3、（2020四川广元）已知，O为对角线AC的中点，过O的一条直线交AD于点E，交BC于点F．
（1）求证：；
（2）若，面积为2，求的面积．
命题点2、平行四边形的判定
4、（2020广西北海）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）连接AD，求证：四边形ABED是平行四边形．
5、（2020江苏淮安）如图，在平行四边形中，点、分别在、上，与相交于点，且．
（1）求证：≌；
（2）连接、，则四边形
（填“是”或“不是”）平行四边形．
命题点3、正多边形
6、（2020北京）正五边形的外角和为(
)
A.180°
B.360°
C.540°
D.720°
7、（2020福建）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC＝________度．
8、（2020陕西）如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是　________　．
基础过关
1、（2020湖南衡阳）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB∥DC，AD∥BC
B．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD＝BC
D．OA＝OC，OB＝OD
2、（2020上海）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是　　
A．平行四边形
B．等腰梯形
C．正六边形
D．圆
3、（2020湖南益阳）如图，?ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AC＝6，BD＝8，则AB的长可能是（　　）
A．10
B．8
C．7
D．6
4、（2020陕西）如图，在?ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是?ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（　　）
A．
B．
C．3
D．2
5、（2020山东潍坊）如图，点E是?ABCD的边AD上的一点，且，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝4，则?ABCD的周长为（　　）
A．21
B．28
C．34
D．42
6、（2020山东济宁）一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形的边数是（　　）
A．9
B．8
C．7
D．6
7、（2020云南）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点．则△DEO与△BCD的面积的比等于（　　）
A．
B．
C．
D．
8、（2020浙江温州）如图，在中，，，点在边上，以，为边作，则的度数为　　
A．
B．
C．
D．
9、（2020江西丹东）如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD上一点，AM＝2MD，点E，点F分别是BM，CM中点，若EF＝6，则AM的长为　
　．
10、（2020湖北孝感）如图，在?ABCD中，点E在AB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足BE＝DF．连接EF，分别与BC，AD交于点G，H．
求证：EG＝FH．
11、（2020湖南岳阳）如图，点，在的边，上，，，连接，．求证：四边形是平行四边形．
12、（2020陕西）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE．
13、（2020浙江绍兴）如图，点是的边的中点，连结并延长，交的延长线于点．
（1）若的长为2．求的长．
（2）若，试添加一个条件，并写出的度数．
14、（2020吉林长春）如图，在?ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
（1）求证：OE＝OF．
（2）若BE＝5，OF＝2，求tan∠OBE的值．
15、（2020重庆A卷）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．AC平分∠DAE．
（1）若∠AOE＝50°，求∠ACB的度数；
（2）求证：AE＝CF．
能力提升
16、（2020江苏南京）如图，在边长为的正六边形中，点在上，则的面积为　　．
17、（2020天津）如图，?ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若AD＝3，AB＝CF＝2，则CG的长为________．
18、（2020四川乐山）点是平行四边形的对角线所在直线上的一个动点（点不与点、重合），分别过点、向直线作垂线，垂足分别为点、．点为的中点．
（1）如图1，当点与点重合时，线段和的关系是
；
（2）当点运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图3，点在线段的延长线上运动，当时，试探究线段、、之间的关系．
创新思维
19、（2020河北）如图，将绕边的中点顺时针旋转180°．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：
点，分别转到了点，处，而点转到了点处．∵，∴四边形是平行四边形．
小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵，”和“∴四边形……”之间作补充．下列正确的是（
）
A.
嘉淇推理严谨，不必补充
B.
应补充：且，
C.
应补充：且
D.
应补充：且，
20、（2020浙江丽水）如图，平移图形，与图形可以拼成一个平行四边形，则图中的度数是　
　．
21、（2020湖北武汉）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是?ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝102°，则∠BAC的大小是　
　．
知识回顾
真题在线
分层精练
25.1
平行四边形
一、平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
二、平行四边形的性质
1、平行四边形的邻角互补，对角相等.
2、平行四边形的对边平行且相等.
3、平行四边形的对角线互相平分.
4、平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点.
三、平行四边形的判定
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
3、两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
4、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
5、对角线互相平分的四边形是平行四边形.
四、平行线间的距离
1、概念：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作两条平行线间的距离.
2、性质：
（1）两条平行线间的距离处处相等；
（2）夹在两条平行线间的平行线段相等.
3、平行线的面积：s=边长×该边上的高
五、多边形的相关知识
1、多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
2、多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
注意：（1）从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分成（n-2）个三角形.（2）n边形共有条对角线.
3、多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.
4、多边形内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）?180°
5、多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
6、多边形的外角和：多边形的内角和为360°.
7、正多边形：
（1）概念：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.
（2）正n边形每一个内角都等于每一个外角都等于
（3）正n边形有n条对称轴
（4）正n边形边数为奇数时是轴对称图形，是偶数时既是轴对称图形又是中心对称图形
命题点1、平行四边形性质的证明与计算
1、（2020四川遂宁）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，证明AB＝AF＝2k，DF＝DG＝k，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．
【详解】解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，
∵四边形ABCD平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBG，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，
∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，
∴CG＝CD+DG＝3k，
∵AB∥DG，
∴△ABE∽△CGE，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了比例的性质、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理，熟练掌握性质及定理是解题的关键．
2、（2020安徽）在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处．折痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．请完成下列探究：
（1）∠PAQ的大小为　30　°；
（2）当四边形APCD是平行四边形时，的值为　　．
【分析】（1）由折叠的性质可得∠B＝∠AQP，∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB，∠DQA＝∠AQR，∠CQP＝∠PQR，∠D＝∠ARQ，∠C＝∠QRP，由平角的性质可得∠D+∠C＝180°，∠AQP＝90°，可证AD∥BC，由平行线的性质可得∠DAB＝90°，即可求解；
（2）由平行四边形和折叠的性质可得AR＝PR，由直角三角形的性质可得AP＝2PB＝2QR，AB＝PB，即可求解．
解：（1）由折叠的性质可得：∠B＝∠AQP，∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB，∠DQA＝∠AQR，∠CQP＝∠PQR，∠D＝∠ARQ，∠C＝∠QRP，
∵∠QRA+∠QRP＝180°，
∴∠D+∠C＝180°，
∴AD∥BC，
∴∠B+∠DAB＝180°，
∵∠DQR+∠CQR＝180°，
∴∠DQA+∠CQP＝90°，
∴∠AQP＝90°，
∴∠B＝∠AQP＝90°，
∴∠DAB＝90°，
∴∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB＝30°，
故答案为：30；
（2）由折叠的性质可得：AD＝AR，CP＝PR，
∵四边形APCD是平行四边形，
∴AD＝PC，
∴AR＝PR，
又∵∠AQP＝90°，
∴QR＝AP，
∵∠PAB＝30°，∠B＝90°，
∴AP＝2PB，AB＝PB，
∴PB＝QR，
∴＝，
故答案为：．
3、（2020四川广元）已知，O为对角线AC的中点，过O的一条直线交AD于点E，交BC于点F．
（1）求证：；
（2）若，面积为2，求的面积．
【答案】（1）见解析；（2）16.
【解析】
【分析】
（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠EAO＝∠FCO，由ASA即可得出结论；
（2）由于，O为对角线AC的中点，得出△AEO∽△ADC，根据的面积为2，可得△ADC的面积，进而得到的面积．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵O是AC的中点，
∴OA＝OC，
在△AOE和△COF中，，
∴△AOE≌△COF（ASA）；
（2）∵=1：2，O为对角线AC的中点，
∴AO:AC=1:2，
∵∠EAO＝∠DAC，
∴△AEO∽△ADC，
∵的面积为2，
∴△ADC的面积为8，
∴的面积为16.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、相似三角形面积比，要熟练掌握全等三角形的判定和相似三角形的判定.
命题点2、平行四边形的判定
4、（2020广西北海）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）连接AD，求证：四边形ABED是平行四边形．
【分析】（1）证出BC＝EF，由SSS即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出∠B＝∠DEF，证出AB∥DE，由AB＝DE，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（SSS）；
（2）证明：由（1）得：△ABC≌△DEF，
∴∠B＝∠DEF，
∴AB∥DE，
又∵AB＝DE，
∴四边形ABED是平行四边形．
5、（2020江苏淮安）如图，在平行四边形中，点、分别在、上，与相交于点，且．
（1）求证：≌；
（2）连接、，则四边形
（填“是”或“不是”）平行四边形．
【答案】（1）证明过程见解析；（2）是，理由见解析；
【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形的对边平行可得到内错角相等，再根据已知条件可利用ASA得到全等；
（2）由（1）可得到AF=EC，根据一组对边平行且相等的四边形式平行四边形即可得到答案；
【详解】（1）∵四边形平行四边形，
∴AD∥BC，
∴，
根据题可知，，
在△AOF和△COE中，
，
∴≌．
（2）如图所示，
由（1）得≌，可得：
，
又∵，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点睛】本题中主要考查了平行四边形的判定和性质，准确运用全等三角形的条件进行判断是解题的关键．
命题点3、正多边形
6、（2020北京）正五边形的外角和为(
)
A.180°
B.360°
C.540°
D.720°
【答案】B
【分析】本题考查多边形的所有外角之和都是360°.
7、（2020福建）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC＝________度．
解：正六边形的每个内角的度数为：＝120°，
所以∠ABC＝120°﹣90°＝30°，
故答案为：30．
8、（2020陕西）如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是　144°　．
【分析】根据正五边形的性质和内角和为540°，求得每个内角的度数为108°，再结合等腰三角形和邻补角的定义即可解答．
【解答】解：因为五边形ABCDE是正五边形，
所以∠C＝＝108°，BC＝DC，
所以∠BDC＝＝36°，
所以∠BDM＝180°﹣36°＝144°，
故答案为：144°．
基础过关
1、（2020湖南衡阳）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB∥DC，AD∥BC
B．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD＝BC
D．OA＝OC，OB＝OD
【分析】根据平行四边形的定义，可以得到选项A中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以得到选项B中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以得到选项D中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；选项C中的条件，无法判断四边形ABCD是平行四边形．
解：∵AB∥DC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；
∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；
∵AB∥DC，AD＝BC，则无法判断四边形ABCD是平行四边形，故选项C中的条件，不能判断四边形ABCD是平行四边形；
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；
故选：C．
2、（2020上海）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是　　
A．平行四边形
B．等腰梯形
C．正六边形
D．圆
解：如图，平行四边形中，取，的中点，，连接．
四边形向右平移可以与四边形重合，
平行四边形是平移重合图形，
故选：．
3、（2020湖南益阳）如图，?ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AC＝6，BD＝8，则AB的长可能是（　　）
A．10
B．8
C．7
D．6
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝AC＝3，OB＝BD＝4，
在△AOB中：4﹣3＜AB＜4+3，
即1＜AB＜7，
∴AB的长可能为6．
故选：D．
4、（2020陕西）如图，在?ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是?ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（　　）
A．
B．
C．3
D．2
【分析】依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到EF的长，再根据梯形中位线定理，即可得到CG的长，进而得出DG的长．
【解答】解：∵E是边BC的中点，且∠BFC＝90°，
∴Rt△BCF中，EF＝BC＝4，
∵EF∥AB，AB∥CG，E是边BC的中点，
∴F是AG的中点，
∴EF是梯形ABCG的中位线，
∴CG＝2EF﹣AB＝3，
又∵CD＝AB＝5，
∴DG＝5﹣3＝2，
故选：D．
5、（2020山东潍坊）如图，点E是?ABCD的边AD上的一点，且，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝4，则?ABCD的周长为（　　）
A．21
B．28
C．34
D．42
【分析】根据平行四边形的性质得AB∥CD，再由平行线得相似三角形，根据相似三角形求得AB，AE，进而根据平行四边形的周长公式求得结果．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CF，AB＝CD，
∴△ABE∽△DFE，
∴，
∵DE＝3，DF＝4，
∴AE＝6，AB＝8，
∴AD＝AE+DE＝6+3＝9，
∴平行四边形ABCD的周长为：（8+9）×2＝34．
故选：C．
6、（2020山东济宁）一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形的边数是（　　）
A．9
B．8
C．7
D．6
【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）?180°，依此列方程可求解．
解：设所求正n边形边数为n，
则1080°＝（n﹣2）?180°，
解得n＝8．
故选：B．
7、（2020云南）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点．则△DEO与△BCD的面积的比等于（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴点O为线段BD的中点．
又∵点E是CD的中点，
∴线段OE为△DBC的中位线，
∴OE∥BC，OE＝BC，
∴△DOE∽△DBC，
∴＝（）2＝．
故选：B．
8、（2020浙江温州）如图，在中，，，点在边上，以，为边作，则的度数为　　
A．
B．
C．
D．
解：在中，，，
，
四边形是平行四边形，
．
故选：．
9、（2020江西丹东）如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD上一点，AM＝2MD，点E，点F分别是BM，CM中点，若EF＝6，则AM的长为　8　．
【分析】根据三角形中位线定理和平行四边形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵点E，点F分别是BM，CM中点，
∴EF是△BCM的中位线，
∵EF＝6，
∴BC＝2EF＝12，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝12，
∵AM＝2MD，
∴AM＝8，
故答案为：8．
10、（2020湖北孝感）如图，在?ABCD中，点E在AB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足BE＝DF．连接EF，分别与BC，AD交于点G，H．
求证：EG＝FH．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠ABC＝∠CDA，
∴∠EBG＝∠FDH，∠E＝∠F，
在△BEG与△DFH中，，
∴△BEG≌△DFH（ASA），
∴EG＝FH．
11、（2020湖南岳阳）如图，点，在的边，上，，，连接，．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析．
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD=BC，进而得到BE=FD即可证明．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵，，
∴BE=FD，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，解题的关键是灵活运用平行四边形的性质，并熟悉平行四边形的判定定理．
12、（2020陕西）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE．
【分析】根据等边对等角的性质求出∠DEC＝∠C，在由∠B＝∠C得∠DEC＝∠B，所以AB∥DE，得出四边形ABCD是平行四边形，进而得出结论．
【解答】证明：∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠C．
∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠DEC，
∴AB∥DE，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形．
∴AD＝BE．
13、（2020浙江绍兴）如图，点是的边的中点，连结并延长，交的延长线于点．
（1）若的长为2．求的长．
（2）若，试添加一个条件，并写出的度数．
解：（1）四边形是平行四边形，
，
，，
点是的中点，
，
在和中，，
，
；
（2），
添加一个条件：当时，（答案不唯一）．
14、（2020吉林长春）如图，在?ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
（1）求证：OE＝OF．
（2）若BE＝5，OF＝2，求tan∠OBE的值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠OEB＝∠OFD＝90°，
在△OEB和△OFD中，，
∴△OEB≌△OFD（AAS），
∴OE＝OF；
（2）解：由（1）得：OE＝OF，
∵OF＝2，
∴OE＝2，
∵BE⊥AC，
∴∠OEB＝90°，
在Rt△OEB中，tan∠OBE＝＝．
15、（2020重庆A卷）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．AC平分∠DAE．
（1）若∠AOE＝50°，求∠ACB的度数；
（2）求证：AE＝CF．
【解答】（1）解：∵AE⊥BD，
∴∠AEO＝90°，
∵∠AOE＝50°，
∴∠EAO＝40°，
∵CA平分∠DAE，
∴∠DAC＝∠EAO＝40°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∠ACB＝∠DAC＝40°，
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴AE＝CF．
能力提升
16、（2020江苏南京）如图，在边长为的正六边形中，点在上，则的面积为　　．
解：连接，，过点作于
是正六边形，
，，，
，
，，
，，
，
，
，，
，
，
故答案为．
17、（2020天津）如图，?ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若AD＝3，AB＝CF＝2，则CG的长为________．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，CD＝AB，DC∥AB，
∵AD＝3，AB＝CF＝2，
∴CD＝2，BC＝3，
∴BF＝BC+CF＝5，
∵△BEF是等边三角形，G为DE的中点，
∴BF＝BE＝5，DG＝EG，
延长CG交BE于点H，
∵DC∥AB，
∴∠CDG＝∠HEG，
在△DCG和△EHG中，
，
∴△DCG≌△EHG（ASA），
∴DC＝EH，CG＝HG，
∵CD＝2，BE＝5，
∴HE＝2，BH＝3，
∵∠CBH＝60°，BC＝BH＝3，
∴△CBH是等边三角形，
∴CH＝BC＝3，
∴CG=CH=，
故答案为：．
18、（2020四川乐山）点是平行四边形的对角线所在直线上的一个动点（点不与点、重合），分别过点、向直线作垂线，垂足分别为点、．点为的中点．
（1）如图1，当点与点重合时，线段和的关系是
；
（2）当点运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图3，点在线段的延长线上运动，当时，试探究线段、、之间的关系．
【答案】（1）；（2）补图见解析，仍然成立，证明见解析；（3），证明见解析
【解析】
【分析】
（1）证明△AOE≌△COF即可得出结论；
（2）（1）中的结论仍然成立，作辅助线，构建全等三角形，证明△AOE≌△CGO，得OE＝OG，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出结论；
（3）FC＋AE＝OE，理由是：作辅助线，构建全等三角形，与（2）类似，同理得，得出，，再根据，，推出，即可得证．
【详解】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF；
（2）补全图形如图所示，仍然成立，
证明如下：延长交于点，
∵，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）当点在线段的延长线上时，线段、、之间的关系为，
证明如下：延长交的延长线于点，如图所示，
由（2）
可知
，
∴，，
又∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形、全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的性质和判定，以构建全等三角形和证明三角形全等这突破口，利用平行四边形的对角线互相平分得全等的边相等的条件，从而使问题得以解决．
创新思维
19、（2020河北）如图，将绕边的中点顺时针旋转180°．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：
点，分别转到了点，处，而点转到了点处．∵，∴四边形是平行四边形．
小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵，”和“∴四边形……”之间作补充．下列正确的是（
）
A.
嘉淇推理严谨，不必补充
B.
应补充：且，
C.
应补充：且
D.
应补充：且，
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定方法“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”即可作答．
【详解】根据旋转的性质得：
CB=AD，AB=CD，
∴四边形ABDC是平行四边形；
故应补充“AB=CD”，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和旋转的性质，牢记旋转前、后的图形全等，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
20、（2020浙江丽水）如图，平移图形，与图形可以拼成一个平行四边形，则图中的度数是　30　．
解：四边形是平行四边形，
，
，
故答案为：30．
21、（2020湖北武汉）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是?ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝102°，则∠BAC的大小是　
　．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC，
∵AD＝AE＝BE，
∴BC＝AE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，
∵∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB，
∴∠ACB＝2∠CAB，
∴∠CAB+∠ACB＝3∠CAB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣102°，
∴∠BAC＝26°，
故答案为：26°．
知识回顾
真题在线
分层精练
2

展开更多......

收起↑