资源简介

5.2
菱形
一、菱形的概念
有一组____________的平行四边形叫做菱形.
二、菱形的性质
1、菱形的四条边____________；
2、菱形的对角线互相____________，并且每一条对角线平分一组____________
3、菱形即是____________图形，又是中心对称图形
注意：菱形具有____________的一切性质！
三、菱形的判定
1、有一组邻边相等的____________是菱形
2、四边都____________的四边形是菱形
3、对角线互相____________的平行四边形是菱形
四、菱形的面积：
S菱形＝底×____________＝两条对角线____________的一半
命题点1、菱形的性质及其相关计算
1、（2020宁夏）如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG＝（　　）
A．13
B．10
C．12
D．5
2、（2020湖北黄冈）若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（
）
A.
B.
C.
D.
3、（2020四川乐山）如图，在菱形中，，，是对角线的中点，过点作
于点，连结．则四边形的周长为（
）
A.
B.
C.
D.
4、（2020福建）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．求证：∠BAE＝∠DAF．
命题点2、与菱形判定有关的证明与计算
5、（2020内蒙古通辽）如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断?ADCE是菱形的是（　　）
A．∠BAC＝90°
B．∠DAE＝90°
C．AB＝AC
D．AB＝AE
6、（2020山东滨州）如图，过?ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB、BC、CD、DA于点P、M、Q、N．
（1）求证：△PBE≌△QDE；
（2）顺次连接点P、M、Q、N，求证：四边形PMQN是菱形．
7、（2020新疆）如图，四边形ABCD是平行四边形，DE∥BF，且分别交对角线AC于点E，F，连接BE，DF．
（1）求证：AE=CF；
（2）若BE=DE，求证：四边形EBFD为菱形．
8、（2020云南）如图，四边形ABCD是菱形，点H为对角线AC的中点，点E在AB的延长线上，CE⊥AB，重足为E，点F在AD的延长线上，CF⊥AD，重足为F，
（1）若∠BAD＝60°，求证：四边形CEHF是菱形；
（2）若CE＝4，△ACE的面积为16，求菱形ABCD的面积．
基础过关
1、（2020甘肃金昌）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节AE间的距离．若AE间的距离调节到60cm，菱形的边长AB＝20cm，则∠DAB的度数是（　　）
A．90°
B．100°
C．120°
D．150°
2、（2020贵州黔东南州）若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（　　）
A．16
B．24
C．16或24
D．48
3、（2020黑龙江七台）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（　　）
A．72
B．24
C．48
D．96
4、（2019宁夏）如图，四边形的两条对角线相交于点，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形为菱形的是　　
A．
B．
C．
D．
5、（2020山东枣庄）如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是　
．
6、（2020江苏常州）数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形中，．如图，建立平面直角坐标系，使得边在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是_________．
7、（2020辽宁营口）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA＝1，OB＝2，则菱形ABCD的面积为　
　．
8、（2020陕西）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为　
　．
9、（2020黑龙江哈尔滨）如图，在菱形中，对角线、相交于点，点在线段上，连接，若，，，则线段的长为　
　．
10、（2020湖北恩施）如图，，平分∠ABC交于点，点C在上且，连接．求证：四边形是菱形．
11、（2020四川达州）如图，△ABC中，BC＝2AB，D、E分别是边BC、AC的中点．将△CDE绕点E旋转180度，得△AFE．
（1）判断四边形ABDF的形状，并证明；
（2）已知AB＝3，AD+BF＝8，求四边形ABDF的面积S．
12、（2020湖南娄底）如图，中，，，分别在边、上的点E与点F关于对称，连接、、、．
（1）试判定四边形的形状，并说明理由；
（2）求证：
13、（2020上海）已知：如图，在菱形中，点、分别在边、上，，的延长线交的延长线于点，的延长线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）如果，求证：．
14、（2019?北京）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE＝DF，连接EF．
（1）求证：AC⊥EF；
（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O．若BD＝4，tanG＝，求AO的长．
能力提升
15、（2020湖北十堰）如图，菱形的顶点分别在反比例函数和的图象上，若，则（
）
A.
B.
3
C.
D.
16、（2020黑龙江七台）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD方向平移，得到△EFG，连接EC、GC．求EC+GC的最小值为__________．
17、（2020浙江丽水）如图，在平面直角坐标系中，正方形的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过，的中点，作，的平行线，相交于点，已知．
（1）求证：四边形为菱形．
（2）求四边形的面积．
（3）若点在轴正半轴上（异于点，点在轴上，平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形与四边形相似？若存在，求点的坐标；若不存在，试说明理由．
18、（2019?海南）如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q．
（1）求证：△PDE≌△QCE；
（2）过点E作EF∥BC交PB于点F，连结AF，当PB＝PQ时，
①求证：四边形AFEP是平行四边形；
②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由．
创新思维
19、（2019江西）如图，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有　　
A．3种
B．4种
C．5种
D．6种
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真题在线
分层精练
25.2
菱形
一、菱形的概念
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
二、菱形的性质
1、菱形的四条边相等；
2、菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
3、菱形即是轴对称图形，又是中心对称图形
注意：菱形具有平行四边形的一切性质！
三、菱形的判定
1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形
2、四边都相等的四边形是菱形
3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形
四、菱形的面积：
S菱形＝底×高＝两条对角线乘积的一半
命题点1、菱形的性质及其相关计算
1、（2020宁夏）如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG＝（　　）
A．13
B．10
C．12
D．5
【分析】连接对角线BD，交AC于点O，证四边形BDEG是平行四边形，得EG＝BD，利用勾股定理求出OD的长，BD＝2OD，即可求出EG．
解：连接BD，交AC于点O，如图：
∵菱形ABCD的边长为13，点E、F分别是边CD、BC的中点，
∴AB∥CD，AB＝BC＝CD＝DA＝13，EF∥BD，
∵AC、BD是菱形的对角线，AC＝24，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝12，OB＝OD，
又∵AB∥CD，EF∥BD，
∴DE∥BG，BD∥EG，
∵DE∥BG，BD∥EG，
∴四边形BDEG是平行四边形，
∴BD＝EG，
在△COD中，∵OC⊥OD，CD＝13，CO＝12，
∴OB＝OD＝＝5，
∴BD＝2OD＝10，
∴EG＝BD＝10；
故选：B．
2、（2020湖北黄冈）若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
如图，AH为菱形ABCD的高，AH＝2，利用菱形的性质得到AB＝4，利用正弦的定义得到∠B＝30°，则∠C＝150°，从而得到∠C：∠B的比值．
【详解】解：如图，AH为菱形ABCD的高，AH＝2，
∵菱形的周长为16，
∴AB＝4，
在Rt△ABH中，sinB＝＝，
∴∠B＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝150°，
∴∠C：∠B＝5：1．
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了正弦的定义及应用．
3、（2020四川乐山）如图，在菱形中，，，是对角线的中点，过点作
于点，连结．则四边形的周长为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知及菱形的性质求得∠ABD=∠CDB=30?，AO⊥BD，利用含30?的直角三角形边的关系分别求得AO、DO、OE、DE，进而求得四边形的周长.
【详解】∵四边形ABCD是菱形，是对角线的中点，
∴AO⊥BD
，
AD=AB=4，AB∥DC
∵∠BAD=120?，
∴∠ABD=∠ADB=∠CDB=30?，
∵OE⊥DC，
∴在RtΔAOD中，AD=4
，
AO==2
，DO=，
在RtΔDEO中，OE=，DE=，
∴四边形的周长为AO+OE+DE+AD=2++3+4=9+，
故选：B.
【点睛】本题考查菱形的性质、含30?的直角三角形、勾股定理，熟练掌握菱形的性质及含30?的直角三角形边的关系是解答的关键.
4、（2020福建）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．求证：∠BAE＝∠DAF．
证明：四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，AB＝AD，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴∠BAE＝∠DAF．
命题点2、与菱形判定有关的证明与计算
5、（2020内蒙古通辽）如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断?ADCE是菱形的是（　　）
A．∠BAC＝90°
B．∠DAE＝90°
C．AB＝AC
D．AB＝AE
【分析】根据菱形的判定定理即可得到结论．
解：添加∠BAC＝90°时，
∵AD是△ABC的中线，
∴AD＝BC＝CD，
∴四边形ADCE是菱形，选项A正确；
添加∠DAE＝90°，
∵四边形ADCE是平行四边形
∴四边形ADCE是矩形，选项B错误；
添加AB＝AC，可得到AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是平行四边形是矩形，选项C错误；
添加AB＝AE，
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴AE＝CD，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD＝AE，
∴AB＝BD，故不能选项D不能判定四边形ADCE是菱形；
故选：A．
6、（2020山东滨州）如图，过?ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB、BC、CD、DA于点P、M、Q、N．
（1）求证：△PBE≌△QDE；
（2）顺次连接点P、M、Q、N，求证：四边形PMQN是菱形．
【分析】（1）由ASA证△PBE≌△QDE即可；
（2）由全等三角形的性质得出EP＝EQ，同理△BME≌△DNE（ASA），得出EM＝EN，证出四边形PMQN是平行四边形，由对角线PQ⊥MN，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABD是平行四边形，
∴EB＝ED，AB∥CD，
∴∠EBP＝∠EDQ，
在△PBE和△QDE中，，
∴△PBE≌△QDE（ASA）；
（2）证明：如图所示：
∵△PBE≌△QDE，
∴EP＝EQ，
同理：△BME≌△DNE（ASA），
∴EM＝EN，
∴四边形PMQN是平行四边形，
∵PQ⊥MN，
∴四边形PMQN是菱形．
7、（2020新疆）如图，四边形ABCD是平行四边形，DE∥BF，且分别交对角线AC于点E，F，连接BE，DF．
（1）求证：AE=CF；
（2）若BE=DE，求证：四边形EBFD为菱形．
(
1
)证明:∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，AD//CB，
∴∠DAE=∠BCF,
∵DE//BF,
∴和中，
(
AAS)
，
∴AE=CF
;
(2)证明:由(1)知
则DE=BF，
又∵DE//BF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵BE=DE,
∴四边形EBFD为菱形.
8、（2020云南）如图，四边形ABCD是菱形，点H为对角线AC的中点，点E在AB的延长线上，CE⊥AB，重足为E，点F在AD的延长线上，CF⊥AD，重足为F，
（1）若∠BAD＝60°，求证：四边形CEHF是菱形；
（2）若CE＝4，△ACE的面积为16，求菱形ABCD的面积．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，
∴∠ABC＝∠ADC＝120°，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE＝CF，
∵H为对角线AC的中点，
∴EH＝FH＝AC，
∵∠CAE＝30°，
∵CE＝AC，
∴CE＝EH＝CF＝FH，
∴四边形CEHF是菱形；
（2）∵CE⊥AB，CE＝4，△ACE的面积为16，
∴AE＝8，
∴AC＝＝4，
连接BD，则BD⊥AC，AH＝AC＝2，
∵∠AHB＝∠AEC＝90°，∠BAH＝∠EAC，
∴△ABH∽△ACE，
∴＝，
∴＝，
∴BH＝，
∴BD＝2BH＝2，
∴菱形ABCD的面积＝AC?BD＝＝20．
基础过关
1、（2020甘肃金昌）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节AE间的距离．若AE间的距离调节到60cm，菱形的边长AB＝20cm，则∠DAB的度数是（　　）
A．90°
B．100°
C．120°
D．150°
【分析】连结AE，根据全等的性质可得AC＝20cm，根据菱形的性质和等边三角形的判定可得△ACB是等边三角形，再根据等边三角形和菱形的性质即可求解．
解：连结AE，
∵AE间的距离调节到60cm，木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，
∴AC＝20cm，
∵菱形的边长AB＝20cm，
∴AB＝BC＝20cm，
∴AC＝AB＝BC，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠DAB＝120°．
故选：C．
2、（2020贵州黔东南州）若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（　　）
A．16
B．24
C．16或24
D．48
【分析】解方程得出x＝4，或x＝6，分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，即可得出菱形ABCD的周长．
解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵x2﹣10x+24＝0，
因式分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，
解得：x＝4或x＝6，
分两种情况：
①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；
②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝24．
故选：B．
3、（2020黑龙江七台）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（　　）
A．72
B．24
C．48
D．96
【分析】根据菱形的性质得O为BD的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得BD的长度，最后由菱形的面积公式求得面积．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
∴BD＝2OH，
∵OH＝4，
∴BD＝8，
∵OA＝6，
∴AC＝12，
∴菱形ABCD的面积＝．
故选：C．
4、（2019宁夏）如图，四边形的两条对角线相交于点，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形为菱形的是　　
A．
B．
C．
D．
【考点】菱形的判定
【分析】根据菱形的定义及其判定、矩形的判定对各选项逐一判断即可得．
【解答】解：四边形的两条对角线相交于点，且互相平分，
四边形是平行四边形，
，
当或时，均可判定四边形是菱形；
当时，可判定四边形是矩形；
当时，
由得：，
，
，
四边形是菱形；
故选：．
5、（2020山东枣庄）如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是　8　．
【分析】连接BD交AC于点O，则可证得OE＝OF，OD＝OB，可证四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，可证得四边形BEDF为菱形；根据勾股定理计算DE的长，可得结论．
解：如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC，
∵AE＝CF＝2，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，
∴四边形BEDF为菱形，
∴DE＝DF＝BE＝BF，
∵AC＝BD＝8，OE＝OF＝＝2，
由勾股定理得：DE＝＝＝2，
∴四边形BEDF的周长＝4DE＝4×＝8，
故答案为：8．
6、（2020江苏常州）数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形中，．如图，建立平面直角坐标系，使得边在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是_________．
【答案】(2，)
【解析】
【分析】
根据菱形的性质可知AD=AB=CD=2，∠OAD=60°，由三角函数即可求出线段OD的长度，即可得到答案．
【详解】解：∵四边形为菱形，
∴AD=AB=CD=2，
∵
∴
在Rt△DOA中，
∴OD=
∴点C的坐标是(2，)．
故答案为：(2，)．
【点睛】本题考查了平面直接坐标系中直角三角形的计算问题，以及菱形的性质，熟练掌握特殊三角函数值是解题关键．
7、（2020辽宁营口）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA＝1，OB＝2，则菱形ABCD的面积为　4　．
【分析】根据菱形的面积等于对角线之积的一半可得答案．
解：∵OA＝1，OB＝2，
∴AC＝2，BD＝4，
∴菱形ABCD的面积为×2×4＝4．
故答案为：4．
8、（2020陕西）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为　2　．
【分析】过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，可得矩形AGHE，再根据菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，可得BG＝3，AG＝3＝EH，由题意可得，FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，进而根据勾股定理可得EF的长．
【解答】解：如图，过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，
得矩形AGHE，
∴GH＝AE＝2，
∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，
∴BG＝3，AG＝3＝EH，
∴HC＝BC﹣BG﹣GH＝6﹣3﹣2＝1，
∵EF平分菱形面积，
∴FC＝AE＝2，
∴FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，
在Rt△EFH中，根据勾股定理，得
EF＝＝＝2．
故答案为：2．
9、（2020黑龙江哈尔滨）如图，在菱形中，对角线、相交于点，点在线段上，连接，若，，，则线段的长为　　．
解：设，则，
四边形为菱形，
，，，
，
，
，
，
，
，解得，
即，，
在中，，
在中，．
故答案为．
10、（2020湖北恩施）如图，，平分∠ABC交于点，点C在上且，连接．求证：四边形是菱形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
由，BD平分∠ABC得到∠ABD=∠ADB，进而得到△ABD为等腰三角形，进而得到AB=AD，再由BC=AB，得到对边AD=BC，进而得到四边形ABCD为平行四边形，再由邻边相等即可证明ABCD为菱形．
【详解】证明：∵，
∴∠ADB=∠DBC，
又BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴△ABD为等腰三角形，
∴AB=AD，
又已知AB=BC，
∴AD=BC，
又，即ADBC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
又AB=AD，
∴四边形ABCD为菱形．
【点睛】本题考了角平分线性质，平行线的性质，菱形的判定方法，平行四边形的判定方法等，熟练掌握其判定方法及性质是解决此类题的关键．
11、（2020四川达州）如图，△ABC中，BC＝2AB，D、E分别是边BC、AC的中点．将△CDE绕点E旋转180度，得△AFE．
（1）判断四边形ABDF的形状，并证明；
（2）已知AB＝3，AD+BF＝8，求四边形ABDF的面积S．
【分析】（1）结论：四边形ABDF是菱形．根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
（2）设OA＝x，OB＝y，构建方程组求出2xy即可解决问题．
解：（1）结论：四边形ABDF是菱形．
∵CD＝DB，CE＝EA，
∴DE∥AB，AB＝2DE，
由旋转的性质可知，DE＝EF，
∴AB＝DF，AB∥DF，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∵BC＝2AB，BD＝DC，
∴BA＝BD，
∴四边形ABDF是菱形．
（2）连接BF，AD交于点O．
∵四边形ABDF是菱形，
∴AD⊥BF，OB＝OF，AO＝OD，设OA＝x，OB＝y，
则有，
∴x+y＝4，
∴x2+2xy+y2＝16，
∴2xy＝7，
∴S菱形ABDF＝×BF×AD＝2xy＝7．
12、（2020湖南娄底）如图，中，，，分别在边、上的点E与点F关于对称，连接、、、．
（1）试判定四边形的形状，并说明理由；
（2）求证：
【答案】（1）四边形为菱形，理由详见解析；（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意可证明，再由可得到四边形是菱形；
（2）根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求解．
【详解】解：（1）四边形为菱形，理由如下
由可得，从而
设与相交于点O
∵点E与点F关于对称
∴且
在和中
∴
∴，又
∴四边形为菱形，
（2）∵，据（1）C
∴
又∵∴
∴．
【点睛】此题主要考查菱形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质、菱形的判定定理及直角三角形的性质．
13、（2020上海）已知：如图，在菱形中，点、分别在边、上，，的延长线交的延长线于点，的延长线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）如果，求证：．
【解答】（1）证明：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）证明：，
，
，
，
，
，，
，
即．
14、（2019?北京）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE＝DF，连接EF．
（1）求证：AC⊥EF；
（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O．若BD＝4，tanG＝，求AO的长．
【考点】全等三角形的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形．版权所有
【分析】（1）由菱形的性质得出AB＝AD，AC⊥BD，OB＝OD，得出AB：BE＝AD：DF，证出EF∥BD即可得出结论；
（2）由平行线的性质得出∠G＝∠ADO，由三角函数得出tanG＝tan∠ADO＝＝，得出OA＝OD，由BD＝4，得出OD＝2，得出OA＝1．
【解答】（1）证明：连接BD，如图1所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AC⊥BD，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴AB：BE＝AD：DF，
∴EF∥BD，
∴AC⊥EF；
（2）解：如图2所示：
∵由（1）得：EF∥BD，
∴∠G＝∠ADO，
∴tanG＝tan∠ADO＝＝，
∴OA＝OD，
∵BD＝4，
∴OD＝2，
∴OA＝1．
能力提升
15、（2020湖北十堰）如图，菱形的顶点分别在反比例函数和的图象上，若，则（
）
A.
B.
3
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
据对称性可知，反比例函数，的图象是中心对称图形，菱形是中心对称图形，推出菱形ABCD的对角线AC与BD的交点即为原点O．如图：作CM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N．连接OD，OC．证明，利用相似三角形的性质可得答案．
【详解】解：根据对称性可知，反比例函数，的图象是中心对称图形，
菱形是中心对称图形，
∴菱形ABCD的对角线AC与BD的交点即为原点O，
如图：作CM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N．连接OD，OC．
∵DO⊥OC，
∴∠COM+∠DON=90°，∠DON+∠ODN=90°，
∴∠COM=∠ODN，
∵∠CMO=∠DNO=90°，
∴，
菱形ABCD的对角线AC与BD的交点即为原点O,,
故选B．
【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
16、（2020黑龙江七台）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD方向平移，得到△EFG，连接EC、GC．求EC+GC的最小值为　　．
【分析】根据菱形的性质得到AB＝1，∠ABD＝30°，根据平移的性质得到EG＝AB＝1，EG∥AB，推出四边形EGCD是平行四边形，得到ED＝GC，于是得到EC+GC的最小值＝EC+GD的最小值，根据平移的性质得到点E在过点A且平行于BD的定直线上，作点D关于定直线的对称点M，连接CM交定直线于AE，解直角三角形即可得到结论．
解：∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，
∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△EGF，
∴EG＝AB＝1，EG∥AB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAD＝120°，
∴EG＝CD，EG∥CD，
∴四边形EGCD是平行四边形，
∴ED＝GC，
∴EC+GC的最小值＝EC+GD的最小值，
∵点E在过点A且平行于BD的定直线上，
∴作点D关于定直线的对称点M，连接CM交定直线于E，
则CM的长度即为EC+GC的最小值，
∵∠EAD＝∠ADB＝30°，AD＝1，
∴∠ADM＝60°，DH＝MH＝AD＝，
∴DM＝1，
∴DM＝CD，
∵∠CDM＝∠MDG+∠CDB＝90°+30°＝120°，
∴∠M＝∠DCM＝30°，
∴CM＝2×CD＝．
故答案为：．
17、（2020浙江丽水）如图，在平面直角坐标系中，正方形的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过，的中点，作，的平行线，相交于点，已知．
（1）求证：四边形为菱形．
（2）求四边形的面积．
（3）若点在轴正半轴上（异于点，点在轴上，平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形与四边形相似？若存在，求点的坐标；若不存在，试说明理由．
【解答】（1）证明：如图1中，
，，
四边形是平行四边形，
四边形是正方形，
，，
，分别是，的中点，
，
，
，
四边形是菱形．
（2）解：如图1中，连接．
，
，
，
．
（3）解：如图1中，连接，设交于，
，，
，
，
，
，
，
①当为菱形的一边，点在轴的上方，有图2，图3两种情形：
如图2中，设交于，过点作轴于，交于，设．
菱形菱形，
，
，，
，
是的中位线，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
如图3中，过点作轴于，过点作轴交于，延长交于．
同法可证：，
，设，
，
，
是的中位线，
，
，
，
，
，
．
②当为菱形的边，点在轴的下方时，有图4，图5两种情形：
如图4中，，过点作于，过点作于．
是的中位线，
，
同法可得：，
，
，
，设，则，
，
，
，
，
点的坐标为，．
如图5中，，过点作轴于交于，过点作于．
是的中位线，
，，
同法可得：，
，则，
设，则，
，
，
，
，
，．
③如图6中，当为菱形的对角线时，有图6一种情形：
过点作轴于于点，交于，过点作于．
轴，，
，
，
同法可得：，
，
，，
是的中位线，
，
，
，
综上所述，满足条件的点的坐标为或或，或，或．
18、（2019?海南）如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q．
（1）求证：△PDE≌△QCE；
（2）过点E作EF∥BC交PB于点F，连结AF，当PB＝PQ时，
①求证：四边形AFEP是平行四边形；
②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）由四边形ABCD是正方形知∠D＝∠ECQ＝90°，由E是CD的中点知DE＝CE，结合∠DEP＝∠CEQ即可得证；
（2）①由PB＝PQ知∠PBQ＝∠Q，结合AD∥BC得∠APB＝∠PBQ＝∠Q＝∠EPD，由△PDE≌△QCE知PE＝QE，再由EF∥BQ知PF＝BF，根据Rt△PAB中AF＝PF＝BF知∠APF＝∠PAF，从而得∠PAF＝∠EPD，据此即可证得PE∥AF，从而得证；
②设AP＝x，则PD＝1﹣x，若四边形AFEP是菱形，则PE＝PA＝x，由PD2+DE2＝PE2得关于x的方程，解之求得x的值，从而得出四边形AFEP为菱形的情况．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠ECQ＝90°，
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE，
又∵∠DEP＝∠CEQ，
∴△PDE≌△QCE（ASA）；
（2）①∵PB＝PQ，
∴∠PBQ＝∠Q，
∵AD∥BC，
∴∠APB＝∠PBQ＝∠Q＝∠EPD，
∵△PDE≌△QCE，
∴PE＝QE，
∵EF∥BQ，
∴PF＝BF，
∴在Rt△PAB中，AF＝PF＝BF，
∴∠APF＝∠PAF，
∴∠PAF＝∠EPD，
∴PE∥AF，
∵EF∥BQ∥AD，
∴四边形AFEP是平行四边形；
②当AP＝时，四边形AFEP是菱形．
设AP＝x，则PD＝1﹣x，
若四边形AFEP是菱形，则PE＝PA＝x，
∵CD＝1，E是CD中点，
∴DE＝，
在Rt△PDE中，由PD2+DE2＝PE2得（1﹣x）2+（）2＝x2，
解得x＝，
即当AP＝时，四边形AFEP是菱形．
创新思维
19、（2019江西）如图，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有　　
A．3种
B．4种
C．5种
D．6种
【考点】菱形的判定；图形的剪拼
【分析】根据菱形的性质，找出各种拼接法，此题得解．
【解答】解：共有6种拼接法，如图所示．
故选：．
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