资源简介

5.3
矩形
一、矩形的概念
有一个角是________的平行四边形叫做矩形。
二、矩形的性质
1、矩形的________角都是直角；
2、矩形的对角线________；
3、矩形即是________图形，又是中心对称图形
注意：矩菱具有________的一切性质！
三、矩形的判定
1、有一个角是直角的________是矩形
2、有三个角是________的四边形是矩形
3、对角线________的平行四边形是矩形
4、矩形的面积公式：s=长×宽
命题点1、矩形的性质及其相关计算
1、（2020贵州毕节）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6cm，BC＝8cm．则EF的长是（　　）
A．2.2cm
B．2.3cm
C．2.4cm
D．2.5cm
2、（2020四川乐山）如图，是矩形的边上的一点，于点，，，．求的长度．
3、（2020安徽）如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD．EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB．
（1）求证：BD⊥EC；
（2）若AB＝1，求AE的长；
（3）如图2，连接AG，求证：EG﹣DG＝AG．
命题点2、与矩形判定有关的证明与计算
4、（2020北京）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，
EF⊥AB，OG∥EF.
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长.
5、（2020云南昆明）如图1，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，点E，F分别为AB，CD的中点．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）如图2，点P是边AD上一点，BP交EF于点O，点A关于BP的对称点为点M，当点M落在线段EF上时，则有OB＝OM．请说明理由；
（3）如图3，若点P是射线AD上一个动点，点A关于BP的对称点为点M，连接AM，DM，当△AMD是等腰三角形时，求AP的长．
基础过关
1、（2019?上海）下列命题中，假命题是　　
A．矩形的对角线相等
B．矩形对角线交点到四个顶点的距离相等
C．矩形的对角线互相平分
D．矩形对角线交点到四条边的距离相等
2、（2020湖北十堰）已知中，下列条件：①；②；③；④平分，其中能说明是矩形的是（
）
A.
①
B.
②
C.
③
D.
④
3、（2020贵州黔东南州）如图，将矩形ABCD沿AC折叠，使点B落在点B′处，B′C交AD于点E，若∠l＝25°，则∠2等于（　　）
A．25°
B．30°
C．50°
D．60°
4、（2020黑龙江牡丹江）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在BC边上，DF⊥AE，垂足为F．若DF＝6，则线段EF的长为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
5、（2020湖南怀化）在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为（　　）
A．4
B．6
C．8
D．10
6、（2020海南）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E、F在AD边上，BF和CE交于点G，若EF＝AD，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．25
B．30
C．35
D．40
7、（2020山东青岛）如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点O．若AE＝5，BF＝3，则AO的长为（　　）
A．
B．
C．2
D．4
8、（2020山东威海）如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线l3，l4，l2，l1上．若直线l1∥l2∥∥l3∥l4且间距相等，AB＝4，BC＝3，则tanα的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
9、（2020云南）已知四边形ABCD是矩形，点E是矩形ABCD的边上的点，且EA＝EC．若AB＝6，AC＝2，则DE的长是　
　．
10、（2020青海）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知∠BOC＝120°，DC＝3cm，则AC的长为　________　cm．
11、（2020贵州黔东南州）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，E为CD的中点，连接AE、BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝　________　．
12、（2020山东聊城）如图，在□ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC．若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．
13、（2020黑龙江大庆）如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．
（1）求证：四边形ANCM为平行四边形；
（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，求DM的长．
14、（2020湖南张家界）如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．
（1）求证：△DOE≌△BOF；
（2）若AB＝6，AD＝8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．
能力提升
15、（2020湖南湘西）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边．则点C到x轴的距离等于（
）
A.
B.
C.
D.
16、（2020江西）矩形纸片，长，宽，折叠纸片，使折痕经过点，交边于点，点落在点处，展平后得到折痕，同时得到线段，，不再添加其它线段，当图中存在角时，的长为
厘米.
17、（2020江西丹东）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC，BD相交于点O，点P为边AD上一动点，连接OP，以OP为折痕，将△AOP折叠，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F．若△PDF为直角三角形，则DP的长为　
　．
18、（2020上海）在矩形中，，，点在对角线上，圆的半径为2，如果圆与矩形的各边都没有公共点，那么线段长的取值范围是　______　．
19、（2020浙江温州）如图，在河对岸有一矩形场地，为了估测场地大小，在笔直的河岸上依次取点，，，使，，点，，在同一直线上．在点观测点后，沿方向走到点，观测点发现．测得米，米，米，，则场地的边为　______　米，为_______　米．
20、（2020湖北襄阳）如图，矩形ABCD中，E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，连接AF交DE于点N，连接BN．若BF?AD＝15，tan∠BNF＝，则矩形ABCD的面积为　
　．
21、（2020四川成都）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E，F分别为AB，CD边的中点.动点P从点E出发沿EA向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿FC向点C运动，连接PQ，过点B作BH⊥PQ于点H，连接DH.若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段PQ长度的最大值为
，线段DH长度的最小值为
.
22、（2020辽宁营口）如图，在矩形ABCD中，AD＝kAB（k＞0），点E是线段CB延长线上的一个动点，连接AE，过点A作AF⊥AE交射线DC于点F．
（1）如图1，若k＝1，则AF与AE之间的数量关系是　_______　；
（2）如图2，若k≠1，试判断AF与AE之间的数量关系，写出结论并证明；（用含k的式子表示）
（3）若AD＝2AB＝4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF＝1时，求EG的长．
23、（2020四川成都）在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处.
（1）如图1，若BC=2BA，求∠CBE的度数；
（2）如图2，当AB=2，且AF·FD=10时，求BC的长；
（3）如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF=AN+FD时，求的值.
创新思维
24、（2020浙江绍兴）如图，点为矩形的对称中心，点从点出发沿向点运动，移动到点停止，延长交于点，则四边形形状的变化依次为　　
A．平行四边形正方形平行四边形矩形
B．平行四边形菱形平行四边形矩形
C．平行四边形正方形菱形矩形
D．平行四边形菱形正方形矩形
知识回顾
真题在线
分层精练
E
D
A
B
C
F
25.3
矩形
一、矩形的概念
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
二、矩形的性质
1、矩形的四个角都是直角；
2、矩形的对角线相等；
3、矩形即是轴对称图形，又是中心对称图形
注意：矩菱具有平行四边形的一切性质！
三、矩形的判定
1、有一个角是直角的平行四边形是矩形
2、有三个角是直角的四边形是矩形
3、对角线相等的平行四边形是矩形
4、矩形的面积公式：s=长×宽
命题点1、矩形的性质及其相关计算
1、（2020贵州毕节）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6cm，BC＝8cm．则EF的长是（　　）
A．2.2cm
B．2.3cm
C．2.4cm
D．2.5cm
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，BD＝AC，BO＝OD，
∵AB＝6cm，BC＝8cm，
∴由勾股定理得：AC＝＝＝10（cm），
∴BD＝10cm，DO＝5cm，
∵点E、F分别是AO、AD的中点，
∴EF是△AOD的中位线，
∴EF＝OD＝2.5cm，
故选：D．
2、（2020四川乐山）如图，是矩形的边上的一点，于点，，，．求的长度．
【答案】．
【解析】
【分析】
先根据矩形的性质、勾股定理求出，再根据相似三角形的判定与性质可得，由此即可得出答案．
【详解】∵四边形是矩形，
∴，
∵
∴
∵，
，
∴
在和中，
∴
∴，即
解得
即的长度为．
【点睛】本题考查了矩形性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
3、（2020安徽）如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD．EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB．
（1）求证：BD⊥EC；
（2）若AB＝1，求AE的长；
（3）如图2，连接AG，求证：EG﹣DG＝AG．
【分析】（1）证明△AEF≌△ADB（SAS），得出∠AEF＝∠ADB，证得∠EGB＝90°，则结论得出；
（2）证明△AEF∽△DCF，得出，即AE?DF＝AF?DC，设AE＝AD＝a（a＞0），则有a?（a﹣1）＝1，化简得a2﹣a﹣1＝0，解方程即可得出答案；
（3）在线段EG上取点P，使得EP＝DG，证明△AEP≌△ADG（SAS），得出AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，证得△PAG为等腰直角三角形，可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，
∴∠EAF＝∠DAB＝90°，
又∵AE＝AD，AF＝AB，
∴△AEF≌△ADB（SAS），
∴∠AEF＝∠ADB，
∴∠GEB+∠GBE＝∠ADB+∠ABD＝90°，
即∠EGB＝90°，
故BD⊥EC，
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥CD，
∴∠AEF＝∠DCF，∠EAF＝∠CDF，
∴△AEF∽△DCF，
∴，
即AE?DF＝AF?DC，
设AE＝AD＝a（a＞0），则有a?（a﹣1）＝1，化简得a2﹣a﹣1＝0，
解得或（舍去），
∴AE＝．
（3）如图，在线段EG上取点P，使得EP＝DG，
在△AEP与△ADG中，AE＝AD，∠AEP＝∠ADG，EP＝DG，
∴△AEP≌△ADG（SAS），
∴AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，
∴∠PAG＝∠PAD+∠DAG＝∠PAD+∠EAP＝∠DAE＝90°，
∴△PAG为等腰直角三角形，
∴EG﹣DG＝EG﹣EP＝PG＝AG．
命题点2、与矩形判定有关的证明与计算
4、（2020北京）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，
EF⊥AB，OG∥EF.
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长.
【分析】本题考察的是菱形、矩形与平行四边形的性质；第一问考察矩形的判定，较简单，第二问，求线段长度，主要应用勾股定理及三角形中线定理解题即可。
【答案】
（1）解题思路：通过菱形中线的性质得出0是BD中点，则OE是△OAB的中位线，则OE/∥AB，得证四边形OEFG是平行四边形，又因为垂直，得到平行四边形OEFG是矩形。证明过程略
（2）OE＝5，BG＝2
5、（2020云南昆明）如图1，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，点E，F分别为AB，CD的中点．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）如图2，点P是边AD上一点，BP交EF于点O，点A关于BP的对称点为点M，当点M落在线段EF上时，则有OB＝OM．请说明理由；
（3）如图3，若点P是射线AD上一个动点，点A关于BP的对称点为点M，连接AM，DM，当△AMD是等腰三角形时，求AP的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠A＝90°，
∵AE＝EB，DF＝FC，
∴AE＝DF，AE∥DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵∠A＝90°，
∴四边形AEFD是矩形．
（2）证明：如图2中，连接PM．BM．
∵四边形AEFD是矩形，
∴EF∥AD，
∵BE＝AE，
∴BO＝OP，
由翻折可知，∠PMB＝∠A＝90°，
∴OM＝OB＝OP．
（3）解：如图3﹣1中，当MA＝MD时，连接BM，过点M作MH⊥AD于H交BC于F．
∵MA＝MD，MH⊥AD，
∴AH＝HD＝4，
∵∠BAH＝∠ABF＝∠AHF＝90°，
∴四边形ABFH是矩形，
∴BF＝AH＝4，AB＝FH＝5，
∴∠BFM＝90°，
∵BM＝BA＝5，
∴FM＝＝＝3，
∴HM＝HF＝FM＝5﹣3＝2，
∵∠ABP+∠APB＝90°，∠MAH+∠APB＝90°，
∴∠ABP＝∠MAH，
∵∠BAP＝∠AHM＝90°，
∴△ABP∽△HAM，
∴＝，
∴＝，
∴AP＝．
如图3﹣2中，当AM＝AD时，连接BM，设BP交AM于F．
∵AD＝AM＝8，BA＝BM＝5，BF⊥AM，
∴AF＝FM＝4，
∴BF＝＝＝3，
∵tan∠ABF＝＝，
∴＝，
∴AP＝，
如图3﹣3中，当DA＝DM时，此时点P与D重合，AP＝8．
如图3﹣4中，当MA＝MD时，连接BM，过点M作MH⊥AD于H交BC于F．
∵BM＝5，BF＝4，
∴FM＝3，MH＝3+5＝8，
由△ABP∽△HAM，可得＝，
∴＝，
∴AP＝10，
综上所述，满足条件的PA的值为或或8或10．
基础过关
1、（2019?上海）下列命题中，假命题是　　
A．矩形的对角线相等
B．矩形对角线交点到四个顶点的距离相等
C．矩形的对角线互相平分
D．矩形对角线交点到四条边的距离相等
【考点】命题与定理
【分析】利用矩形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：.矩形的对角线相等，正确，是真命题；
.矩形的对角线的交点到四个顶点的距离相等，正确，是真命题；
.矩形的对角线互相平分，正确，是真命题；
.矩形的对角线的交点到一组对边的距离相等，故错误，是假命题，
故选：．
2、（2020湖北十堰）已知中，下列条件：①；②；③；④平分，其中能说明是矩形的是（
）
A.
①
B.
②
C.
③
D.
④
【答案】B
【解析】
【分析】
根据矩形的判定进行分析即可．
【详解】A.
，邻边相等的平行四边形是菱形，故A错误；
B.
，对角线相等的平行四边形是矩形，故B正确；
C.
，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C错误；
D.
平分，对角线平分其每一组对角的平行四边形是菱形，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的判定，熟知矩形从边，角，对角线三个方向的判定是解题的关键．
3、（2020贵州黔东南州）如图，将矩形ABCD沿AC折叠，使点B落在点B′处，B′C交AD于点E，若∠l＝25°，则∠2等于（　　）
A．25°
B．30°
C．50°
D．60°
【分析】由折叠的性质可得出∠ACB′的度数，由矩形的性质可得出AD∥BC，再利用“两直线平行，内错角相等”可求出∠2的度数．
解：由折叠的性质可知：∠ACB′＝∠1＝25°．
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠2＝∠1+∠ACB′＝25°+25°＝50°．
故选：C．
4、（2020黑龙江牡丹江）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在BC边上，DF⊥AE，垂足为F．若DF＝6，则线段EF的长为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝10，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAF，
∴△AFD∽△EBA，
∴，
∵DF＝6，
∴AF，
∴，
∴AE＝5，
∴EF＝AF﹣AE＝8﹣5＝3．
故选：B．
5、（2020湖南怀化）在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为（　　）
A．4
B．6
C．8
D．10
【分析】根据矩形的性质得到OA＝OB＝OC＝OD，推出S△ADO＝S△BCO＝S△CDO＝S△ABO＝2，即可求出矩形ABCD的面积．
解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，
∴AC＝BD，且OA＝OB＝OC＝OD，
∴S△ADO＝S△BCO＝S△CDO＝S△ABO＝2，
∴矩形ABCD的面积为4S△ABO＝8，
故选：C．
6、（2020海南）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E、F在AD边上，BF和CE交于点G，若EF＝AD，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．25
B．30
C．35
D．40
【解答】解：过点G作GN⊥AD于N，延长NG交BC于M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵EF＝AD，
∴EF＝BC，
∵AD∥BC，NG⊥AD，
∴△EFG∽△CBG，GM⊥BC，
∴GN：GM＝EF：BC＝1：2，
又∵MN＝BC＝6，
∴GN＝2，GM＝4，
∴S△BCG＝×10×4＝20，
∴S△EFG＝×5×2＝5，S矩形ABCD＝6×10＝60，
∴S阴影＝60﹣20﹣5＝35．
故选：C．
7、（2020山东青岛）如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点O．若AE＝5，BF＝3，则AO的长为（　　）
A．
B．
C．2
D．4
【分析】由矩形的性质，折叠轴对称的性质，可求出AF＝FC＝AE＝5，由勾股定理求出AB，AC，进而求出OA即可．
解：∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，
∴∠EFC＝∠AEF，
∴AE＝AF＝3，
由折叠得，FC＝AF，OA＝OC，
∴BC＝3+5＝8，
在Rt△ABF中，AB＝＝4，
在Rt△ABC中，AC＝＝4，
∴OA＝OC＝2，
故选：C．
【点评】本题考查矩形的性质、折叠轴对称的性质，勾股定理等知识，根据图形直观，求出线段的长是得出答案的前提．
8、（2020山东威海）如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线l3，l4，l2，l1上．若直线l1∥l2∥∥l3∥l4且间距相等，AB＝4，BC＝3，则tanα的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意，可以得到BG的长，再根据∠ABG＝90°，AB＝4，可以得到∠BAG的正切值，再根据平行线的性质，可以得到∠BAG＝∠α，从而可以得到tanα的值．
解：作CF⊥l4于点F，交l3于点E，设CB交l3于点G，
由已知可得，
GE∥BF，CE＝EF，
∴△CEG∽△CFB，
∴，
∵，
∴，
∵BC＝3，
∴GB＝，
∵l3∥l4，
∴∠α＝∠GAB，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，
∴∠ABG＝90°，
∴tan∠BAG＝＝，
∴tanα的值为，
故选：A．
9、（2020云南）已知四边形ABCD是矩形，点E是矩形ABCD的边上的点，且EA＝EC．若AB＝6，AC＝2，则DE的长是　
　．
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝6，AD＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴BC＝＝＝2，
∴AD＝2，
当点E在CD上时，
∵AE2＝DE2+AD2＝EC2，
∴（6﹣DE）2＝DE2+4，
∴DE＝；
当点E在AB上时，
∵CE2＝BE2+BC2＝EA2，
∴AE2＝（6﹣AE）2+4，
∴AE＝，
∴DE＝＝＝，
综上所述：DE＝或，
故答案为：或．
10、（2020青海）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知∠BOC＝120°，DC＝3cm，则AC的长为　6　cm．
【分析】根据矩形的性质即可求出答案．
解：在矩形ABCD中，
∴OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵∠BOC＝120°，
∴∠OCB＝30°，
∵DC＝3，
∴AB＝CD＝3，
在Rt△ACB中，
AC＝2AB＝6，
故答案为：6
11、（2020贵州黔东南州）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，E为CD的中点，连接AE、BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝　　．
【分析】根据矩形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90°，根据线段中点的定义得到DE＝CD＝AB，根据相似三角形的性质即可得到结论．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90°，
∵E为CD的中点，
∴DE＝CD＝AB，
∴△ABP∽△EDP，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∵PQ⊥BC，
∴PQ∥CD，
∴△BPQ∽△DBC，
∴＝＝，
∵CD＝2，
∴PQ＝，
故答案为：．
12、（2020山东聊城）如图，在□ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC．若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．
{解析}本题蕴含“倍长中线”的基本图形，易证△ABE≌△FCE，得四边形ABFC的对角线互相平分，于是再证两对角线相等，结论即可获证．
{答案}证明：在□ABCD中，AB∥DF，∴∠ABE＝∠FCE，
∵E为BC的中点，∴BE＝CE，又∠AEB＝∠FEC，
∴△ABE≌△FCE(ASA)．
∴AE＝FE，又BE＝CE，
∴四边形ABFC是平行四边形．
在□ABCD中，AD＝BC，又∵AD＝AF，
∴BC＝AF，∴□ABFC是矩形．
13、（2020黑龙江大庆）如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．
（1）求证：四边形ANCM为平行四边形；
（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，求DM的长．
【解答】解：（1）证明：∵在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，
∴AD∥BC，AO＝CO，
∴∠OAM＝∠OCN，∠OMA＝∠ONC，
在△AOM和△CON中，
，
∴△AOM≌△CON（AAS），
∴AM＝CN，
∵AM∥CN，
∴四边形ANCM为平行四边形；
（2）∵在矩形ABCD中，AD＝BC，
由（1）知：AM＝CN，
∴DM＝BN，
∵四边形ANCM为平行四边形，MN⊥AC，
∴平行四边形ANCM为菱形，
∴AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，
∴在Rt△ABN中，根据勾股定理，得
AN2＝AB2+BN2，
∴（4﹣DM）2＝22+DM2，
解得DM＝．
14、（2020湖南张家界）如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．
（1）求证：△DOE≌△BOF；
（2）若AB＝6，AD＝8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，DO＝BO，
∴∠EDO＝∠FBO，
又∵EF⊥BD，
∴∠EOD＝∠FOB＝90°，
在△DOE和△BOF中，
，
∴△DOE≌△BOF（ASA）；
（2）解：∵由（1）可得，ED∥BF，ED＝BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵BO＝DO，EF⊥BD，
∴ED＝EB，
∴四边形BFDE是菱形，
根据AB＝6，AD＝8，设AE＝x，可得BE＝ED＝8﹣x，
在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：BE2＝AB2+AE2，
即（8﹣x）2＝x2+62，
解得：，
∴，
∴四边形BFDE的周长＝
能力提升
15、（2020湖南湘西）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边．则点C到x轴的距离等于（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
作CE⊥y轴于E．解直角三角形求出OD，DE即可解决问题．
【详解】作CE⊥y轴于E．
Rt△OAD中，
∵∠AOD=90°，AD=BC=，∠OAD=，
∴OD=，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴∠CDE+∠ADO=90°，
又∵∠OAD+∠ADO=90°，
∴∠CDE=∠OAD=，
∴在Rt△CDE中，
∵CD=AB=，∠CDE=，
∴DE=，
∴点C到轴的距离=EO=DE+OD=，
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
16、（2020江西）矩形纸片，长，宽，折叠纸片，使折痕经过点，交边于点，点落在点处，展平后得到折痕，同时得到线段，，不再添加其它线段，当图中存在角时，的长为
厘米.
【解析】当∠ABE=30°时，则∠=，在Rt△ABE中，tan∠ABE=，∴此时
.
当∠AEB=30°时，此时在Rt△ABE中，tan∠AEB=，∴
当∠时，过作AB的平行线交于F，BC于G，∵，
∴，设，则，∴
在矩形ABGF中，AF=BG，∴，解得，此时
故答案为：或或
17、（2020江西丹东）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC，BD相交于点O，点P为边AD上一动点，连接OP，以OP为折痕，将△AOP折叠，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F．若△PDF为直角三角形，则DP的长为　或1　．
【分析】分两种情况讨论，当∠DPF＝90°时，过点O作OH⊥AD于H，由平行线分线段成比例可得OH＝AB＝3，HD＝AD＝4，由折叠的性质可得∠APO＝∠EPO＝45°，可求OH＝HP＝3，可得PD＝1；当∠PFD＝90°时，由勾股定理和矩形的性质可得OA＝OC＝OB＝OD＝5，通过证明△OFE∽△BAD，可得，可求OF的长，通过证明△PFD∽△BAD，可得，可求PD的长．
【解答】解：如图1，当∠DPF＝90°时，过点O作OH⊥AD于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BO＝OD，∠BAD＝90°＝∠OHD，AD＝BC＝8，
∴OH∥AB，
∴，
∴OH＝AB＝3，HD＝AD＝4，
∵将△AOP折叠，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F，
∴∠APO＝∠EPO＝45°，
又∵OH⊥AD，
∴∠OPH＝∠HOP＝45°，
∴OH＝HP＝3，
∴PD＝HD﹣HP＝1；
当∠PFD＝90°时，
∵AB＝6，BC＝8，
∴BD＝＝＝10，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝OB＝OD＝5，
∴∠DAO＝∠ODA，
∵将△AOP折叠，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F，
∴AO＝EO＝5，∠PEO＝∠DAO＝∠ADO，
又∵∠OFE＝∠BAD＝90°，
∴△OFE∽△BAD，
∴，
∴，
∴OF＝3，
∴DF＝2，
∵∠PFD＝∠BAD，∠PDF＝∠ADB，
∴△PFD∽△BAD，
∴，
∴，
∴PD＝，
综上所述：PD＝或1，
故答案为或1．
18、（2020上海）在矩形中，，，点在对角线上，圆的半径为2，如果圆与矩形的各边都没有公共点，那么线段长的取值范围是　　．
解：在矩形中，，，，
，
如图1，设与边相切于，连接，
则，
，
，
，
，
，
如图2，设与边相切于，连接，
则，
，
，
，
，
，
，
如果圆与矩形的各边都没有公共点，那么线段长的取值范围是，
故答案为：．
19、（2020浙江温州）如图，在河对岸有一矩形场地，为了估测场地大小，在笔直的河岸上依次取点，，，使，，点，，在同一直线上．在点观测点后，沿方向走到点，观测点发现．测得米，米，米，，则场地的边为　　米，为　　米．
解：，，
，
和是等腰直角三角形，
，，
米，米，米，
（米，（米，
，，
（米；
过作于，过作交于，交于，
，
四边形和四边形是矩形，
，，，
，，
，
，
设，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，．
20、（2020湖北襄阳）如图，矩形ABCD中，E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，连接AF交DE于点N，连接BN．若BF?AD＝15，tan∠BNF＝，则矩形ABCD的面积为　
　．
解：∵将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，
∴AF⊥DE，AE＝EF，
∵矩形ABCD中，∠ABF＝90°，
∴B，E，N，F四点共圆，
∴∠BNF＝∠BEF，
∴tan∠BEF＝，
设BF＝x，BE＝2x，
∴EF＝＝3x，
∴AE＝3x，
∴AB＝5x，
∴AB＝BF．
∴S矩形ABCD＝AB?AD＝BF?AD＝×15＝15．
故答案为：15．
21、（2020四川成都）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E，F分别为AB，CD边的中点.动点P从点E出发沿EA向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿FC向点C运动，连接PQ，过点B作BH⊥PQ于点H，连接DH.若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段PQ长度的最大值为
，线段DH长度的最小值为
.
【解析】∵P由E往A运动，Q由F往C运动，且点P的速度是点Q的速度的2倍，所以当P与A重合时，Q在FC中点时，线段PQ取得最大值，过Q作QN⊥AB于N，则AN=QN=3，此时线段，连接DE，HE，则，所以，当D、H、E三点共线时DH取得最小值，此时HE=，故DH最小值为
22、（2020辽宁营口）如图，在矩形ABCD中，AD＝kAB（k＞0），点E是线段CB延长线上的一个动点，连接AE，过点A作AF⊥AE交射线DC于点F．
（1）如图1，若k＝1，则AF与AE之间的数量关系是　AF＝AE　；
（2）如图2，若k≠1，试判断AF与AE之间的数量关系，写出结论并证明；（用含k的式子表示）
（3）若AD＝2AB＝4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF＝1时，求EG的长．
【分析】（1）证明△EAB≌△FAD（AAS），由全等三角形的性质得出AF＝AE；
（2）证明△ABE∽△ADF，由相似三角形的性质得出，则可得出结论；
（3）①如图1，当点F在DA上时，证得△GDF∽△GBA，得出，求出AG＝．由△ABE∽△ADF可得出＝，求出AE＝．则可得出答案；
②如图2，当点F在DC的延长线上时，同理可求出EG的长．
解：（1）AE＝AF．
∵AD＝AB，四边形ABCD矩形，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF＝90°，
∴∠EAB＝∠FAD，
∴△EAB≌△FAD（AAS），
∴AF＝AE；
故答案为：AF＝AE．
（2）AF＝kAE．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADF＝90°，
∴∠FAD+∠FAB＝90°，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF＝90°，
∴∠EAB+∠FAB＝90°，
∴∠EAB＝∠FAD，
∵∠ABE+∠ABC＝180°，
∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABE＝∠ADF．
∴△ABE∽△ADF，
∴，
∵AD＝kAB，
∴，
∴，
∴AF＝kAE．
（3）解：①如图1，当点F在DA上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵AD＝2AB＝4，
∴AB＝2，
∴CD＝2，
∵CF＝1，
∴DF＝CD﹣CF＝2﹣1＝1．
在Rt△ADF中，∠ADF＝90°，
∴AF＝＝＝，
∵DF∥AB，
∴∠GDF＝∠GBA，∠GFD＝∠GAB，
∴△GDF∽△GBA，
∴，
∵AF＝GF+AG，
∴AG＝．
∵△ABE∽△ADF，
∴＝，
∴AE＝＝．
在Rt△EAG中，∠EAG＝90°，
∴EG＝＝＝，
②如图2，当点F在DC的延长线上时，DF＝CD+CF＝2+1＝3，
在Rt△ADF中，∠ADF＝90°，
∴AF＝＝＝5．
∵DF∥AB，
∵∠GAB＝∠GFD，∠GBA＝∠GDF，
∴△AGB∽△FGD，
∴＝，
∵GF+AG＝AF＝5，
∴AG＝2，
∵△ABE∽△ADF，
∴，
∴AE＝，
在Rt△EAG中，∠EAG＝90°，
∴EG＝＝＝．
综上所述，EG的长为或．
23、（2020四川成都）在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处.
（1）如图1，若BC=2BA，求∠CBE的度数；
（2）如图2，当AB=2，且AF·FD=10时，求BC的长；
（3）如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF=AN+FD时，求的值.
【解析】（1）由翻折可得BC=BF，∠EBF=∠CBE，∵BC=2BA
∴在Rt△ABF中，sin∠AFB=，∴∠AFB=30°
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠AFB=∠CBF=30°
∴∠CBE=∠CBF=15°
（2）在矩形ABCD中，有∠A=∠D=∠C=90°，由翻折性质可知∠C=∠BFE=90°.
∵在Rt△ABF中，有∠AFB+∠ABF=90°，根据平角定义可得∠AFB+∠BFE+∠EFD=180°
∴∠ABF=∠EFD，又∵∠A=∠D=90°，∴△FAB∽△EDF
∴，∴，∵，AB=5，解得ED=2
CE=CD-ED=5-2=3，由翻折性质可知EF=CE=3，
在Rt△EFD中,;
∵，∴，∴
由矩形ABCD性质可得，BC=AD=
（3）作⊥于G，
在△FNG和△FBA中∴△FNG∽△FBA，∴，
∵NF=AN+FD且NF+AN+FD=AD，∴2NF=AD，即
∵AD=BC，BC=BF，∴，∴
设，则，，∴，∴
∵BM平分∠ABF，N在BM上，且NA⊥AB，NG⊥BF，∴NA=NG=
在Rt△NGF中，，∴，整理可得
解得，负值舍掉，∴，∴
在Rt△BAN和Rt△BGN中，∴Rt△BAN≌Rt△BGN（HL），
∴，∴
创新思维
24、（2020浙江绍兴）如图，点为矩形的对称中心，点从点出发沿向点运动，移动到点停止，延长交于点，则四边形形状的变化依次为　　
A．平行四边形正方形平行四边形矩形
B．平行四边形菱形平行四边形矩形
C．平行四边形正方形菱形矩形
D．平行四边形菱形正方形矩形
解：观察图形可知，四边形形状的变化依次为平行四边形菱形平行四边形矩形．
故选：．
知识回顾
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