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5.4正方形
一、正方形的概念
有一组邻边_______并且有一个角是_______的平行四边形叫做正方形.
二、正方形的性质
1、正方形的四个角都是_______，四条边都_______；
2、正方形的两条对角线_______，并且互相_______，每一条对角线平分一组_______
3、正方形既是_______图形，又是_______图形.
注意：正方形具有_______、矩形、菱形的一切性质！
三、正方形的判定
1、有一组邻边相等的_______是正方形；
2、对角线互相垂直的_______是正方形；
3、有一个角是直角的_______是正方形；
4、对角线相等的_______是正方形；
5、对角线互相垂直、相等的_______是正方形；
6、对角线互相垂直、平分且相等的_______是正方形.
三、正方形的面积
S正方形＝边长的平方＝对角线_______的一半
四、中点四边形
1、概念：依次连接任意四边形各边_______所得的四边形称为中点四边形
2、性质：中点四边形的形状始终是_______，且每条边都_______且_______原四边形对角线的一半.
（1）如果四边形的对角线互相_______，则中点四边形为矩形.
（2）如果四边形的对角线相等，则中点四边形为_______.
（3）如果四边形的对角线互相垂直且相等，则中点四边形为_______.
命题点1、正方形正方形的性质判定
1、（2020四川眉山）如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连接DG．以下四个结论：
①∠EAB＝∠GAD；
②△AFC∽△AGD；
③2AE2＝AH?AC；
④DG⊥AC．
其中正确的个数为（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2、（2020甘肃天水）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．若DF＝3，则BE的长为　
　．
3、（2020贵州毕节）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是边AB的中点，点P是对角线BD上的动点，则AP+PE的最小值是　
　．
4、（2020四川自贡）如图，在正方形中，点在边的延长线上，点在边的延长线上，且,连接和相交于点.
求证：
.
基础过关
1、（2020四川绵阳）如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有（　　）
A．2条
B．4条
C．6条
D．8条
2、（2020甘肃金昌）若一个正方形的面积是12，则它的边长是（　　）
A．2
B．3
C．3
D．4
3、（2020湖北襄阳）已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（　　）
A．OA＝OC，OB＝OD
B．当AB＝CD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
4、（2020天津）如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是（0，0），（0，6），点C在第一象限，则点C的坐标是（　　）
A．（6，3）
B．（3，6）
C．（0，6）
D．（6，6）
5、（2020浙江湖州）四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形．当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形的内角，正方形变为菱形．若，则菱形的面积与正方形的面积之比是　　
A．1
B．
C．
D．
6、（2020湖北孝感）如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝3，CG＝2，则CE的长为（　　）
A．
B．
C．4
D．
7、（2020甘肃威武）如图①，正方形中，，相交于点，是的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度随着运动时间的函数关系如图②所示，则的长为（
）
A.
B.
4
C.
D.
8、（2020江苏常州）如图，点C在线段上，且，分别以、为边在线段的同侧作正方形、，连接、，则_________．
9、（2020四川内江）如图，正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），连结BP，将BP绕点B顺时针旋转到BQ，连结QP交BC于点E，QP延长线与边AD交于点F．
（1）连结CQ，求证：；
（2）若，求的值；
（3）求证：．
10、（2020海南）四边形ABCD是边长为2的正方形，E是AB的中点，连结DE，点F是射线BC上一动点（不与点B重合），连结AF，交DE于点G．
（1）如图1，当点F是BC边的中点时，求证：△ABF≌△DAE；
（2）如图2，当点F与点C重合时，求AG的长；
（3）在点F运动的过程中，当线段BF为何值时，AG＝AE？请说明理由．
能力提升
11、（2020浙江丽水）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连结，相交于点、与相交于点．若，则的值是　　
A．
B．
C．
D．
12、（2020湖北恩施）如图，正方形的边长为4，点在上且，为对角线上一动点，则周长的最小值为（
）．
A.
5
B.
6
C.
7
D.
8
13、（2020浙江温州）如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，过点作于点，再过点作分别交边，于点，．若，，则的长为　　
A．14
B．15
C．
D．
14、（2020黑龙江大庆）如图，在边长为2的正方形EFGH中，M，N分别为EF与GH的中点，一个三角形ABC沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A恒在直线MN上，当点A运动到线段MN的中点时，点E，F恰与AB，AC两边的中点重合，设点A到EF的距离为x，三角形ABC与正方形EFGH的公共部分的面积为y．则当y＝时，x的值为（　　）
A．或2+
B．或2﹣
C．2±
D．或
15、（2020黑龙江七台）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：
①∠ECF＝45°；
②△AEG的周长为（1+）a；
③BE2+DG2＝EG2；
④△EAF的面积的最大值是a2；
⑤当BE＝a时，G是线段AD的中点．
其中正确的结论是（　　）
A．①②③
B．②④⑤
C．①③④
D．①④⑤
16、（2020山东青岛）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在CD的延长线上，连接AE，点F是AE的中点，连接OF交AD于点G．若DE＝2，OF＝3，则点A到DF的距离为　_________　．
17、（2020河南）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为　_____　．
18、（2020黑龙江七台）以Rt△ABC的两边AB、AC为边，向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，过点A作AM⊥BC于M，延长MA交EG于点N．
（1）如图①，若∠BAC＝90°，AB＝AC，易证：EN＝GN；
（2）如图②，∠BAC＝90°；如图③，∠BAC≠90°，（1）中结论，是否成立，若成立，选择一个图形进行证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由．
19、（2020江苏泰州）如图，正方形的边长为6，为的中点，为等边三角形，过点作的垂线分别与边、相交于点、，点、分别在线段、上运动，且满足，连接．
（1）求证：．
（2）当点在线段上时，试判断的值是否变化？如果不变，求出这个值，如果变化，请说明理由．
（3）设，点关于的对称点为，若点落在的内部，试写出的范围，并说明理由．
创新思维
20、（2020湖南益阳）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．
根据以上定义，解决下列问题：
（1）如图1，正方形ABCD中，E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？
（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝5，CD＝1，AD＞AB，点B到直线AD的距离为BE．
①求BE的长；
②若M、N分别是AB、AD边上的动点，求△MNC周长的最小值．
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25.4正方形
一、正方形的概念
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
二、正方形的性质
1、正方形的四个角都是直角，四条边都相等；
2、正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角
3、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形.
注意：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质！
三、正方形的判定
1、有一组邻边相等的矩形是正方形；
2、对角线互相垂直的矩形是正方形；
3、有一个角是直角的菱形是正方形；
4、对角线相等的菱形是正方形；
5、对角线互相垂直、相等的平行四边形是正方形；
6、对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形.
三、正方形的面积
S正方形＝边长的平方＝对角线平方的一半
四、中点四边形
1、概念：依次连接任意四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形
2、性质：中点四边形的形状始终是平行四边形，且每条边都平行且等于原四边形对角线的一半.
（1）如果四边形的对角线互相垂直，则中点四边形为矩形.
（2）如果四边形的对角线相等，则中点四边形为菱形.
（3）如果四边形的对角线互相垂直且相等，则中点四边形为正方形.
命题点1、正方形正方形的性质判定
1、（2020四川眉山）如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连接DG．以下四个结论：
①∠EAB＝∠GAD；
②△AFC∽△AGD；
③2AE2＝AH?AC；
④DG⊥AC．
其中正确的个数为（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解：∵四边形ABCD，四边形AEFG都是正方形，
∴∠EAG＝∠BAD＝90°，∠FAG＝∠AFG＝∠DAC＝∠ACB＝45°，AF＝AG，AC＝AD，
∴∠EAG﹣∠BAC＝∠BAD﹣∠BAG，
∴∠EAB＝∠DAG，故①正确；
∵AF＝AG，AC＝AD，
∴＝，
∵∠FAG＝∠CAD＝45°，
∴∠FAC＝∠DAG，
∴△FAC∽△DAG，故②正确，
∴∠ADG＝∠ACB＝45°，
延长DG交AC于N，
∵∠CAD＝45°，∠ADG＝45°，
∴∠AND＝90°，
∴DG⊥AC，故④正确，
∵∠FAC＝∠FAH，∠AFG＝∠ACF＝45°，
∴△AFH∽△ACF，
∴，
∴AF2＝AH?AC，
∴2AE2＝AH?AC，故③正确，
故选：D．
2、（2020甘肃天水）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．若DF＝3，则BE的长为　
　．
【分析】根据旋转的性质可知，△ADF≌△ABG，然后即可得到DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，然后根据题目中的条件，可以得到△EAG≌△EAF，再根据DF＝3，AB＝6和勾股定理，可以得到DE的长，本题得以解决．
解：由题意可得，
△ADF≌△ABG，
∴DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，
∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠EAB＝45°，
∴∠BAG+∠EAB＝45°，
∴∠EAF＝∠EAG，
在△EAG和△EAF中，
，
∴△EAG≌△EAF（SAS），
∴GE＝FE，
设BE＝x，则GE＝BG+BE＝3+x，CE＝6﹣x，
∴EF＝3+x，
∵CD＝6，DF＝3，
∴CF＝3，
∵∠C＝90°，
∴（6﹣x）2+32＝（3+x）2，
解得，x＝2，
即CE＝2，
故答案为：2．
3、（2020贵州毕节）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是边AB的中点，点P是对角线BD上的动点，则AP+PE的最小值是　
　．
【解答】解：如图，连接CE交BD于点P，连接AP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点A与点C关于BD对称，
∴AP＝CP，
∴AP+EP＝CP+EP＝CE，此时AP+PE最小，
∵正方形ABCD的边长为4，点E是边AB的中点，
∴BC＝4，BE＝2，∠ABC＝90°，
∴CE＝＝，
∴AP+PE的最小值是，
故答案为：．
4、（2020四川自贡）如图，在正方形中，点在边的延长线上，点在边的延长线上，且,连接和相交于点.
求证：
.
【解析】证明：∵四边形ABCD为正方形
∴AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°
又∵CE=DF，∴CE+BC=DF+CD即BE=CF
在△BCF和△ABE中
∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE=BF
基础过关
1、（2020四川绵阳）如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有（　　）
A．2条
B．4条
C．6条
D．8条
解：如图，
因为以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，
所以此图形的对称轴有4条．
故选：B．
2、（2020甘肃金昌）若一个正方形的面积是12，则它的边长是（　　）
A．2
B．3
C．3
D．4
【分析】根据算术平方根的定义解答．
解：∵正方形的面积是12，
∴它的边长是＝2．
故选：A．
3、（2020湖北襄阳）已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（　　）
A．OA＝OC，OB＝OD
B．当AB＝CD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
解：A、根据平行四边形的性质得到OA＝OC，OB＝OD，该结论正确；
B、当AB＝CD时，四边形ABCD还是平行四边形，该选项错误；
C、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判断该选项正确；
D、当AC＝BD且AC⊥BD时，根据对角线相等可判断四边形ABCD是矩形，根据对角线互相垂直可判断四边形ABCD
是菱形，故四边形ABCD是正方形，该结论正确；
故选：B．
4、（2020天津）如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是（0，0），（0，6），点C在第一象限，则点C的坐标是（　　）
A．（6，3）
B．（3，6）
C．（0，6）
D．（6，6）
【解答】解：∵四边形OBCD是正方形，
∴OB＝BC＝CD＝OD，∠CDO＝∠CBO＝90°，
∵O，D两点的坐标分别是（0，0），（0，6），
∴OD＝6，
∴OB＝BC＝CD＝6，
∴C（6，6）．
故选：D．
5、（2020浙江湖州）四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形．当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形的内角，正方形变为菱形．若，则菱形的面积与正方形的面积之比是　　
A．1
B．
C．
D．
解：根据题意可知菱形的高等于的一半，
菱形的面积为，正方形的面积为．
菱形的面积与正方形的面积之比是．
故选：．
6、（2020湖北孝感）如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝3，CG＝2，则CE的长为（　　）
A．
B．
C．4
D．
解：如图所示，连接EG，
由旋转可得，△ADE≌△ABF，
∴AE＝AF，DE＝BF，
又∵AG⊥EF，
∴H为EF的中点，
∴AG垂直平分EF，
∴EG＝FG，
设CE＝x，则DE＝5﹣x＝BF，FG＝8﹣x，
∴EG＝8﹣x，
∵∠C＝90°，
∴Rt△CEG中，CE2+CG2＝EG2，即x2+22＝（8﹣x）2，
解得x＝，
∴CE的长为，
故选：B．
7、（2020甘肃威武）如图①，正方形中，，相交于点，是的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度随着运动时间的函数关系如图②所示，则的长为（
）
A.
B.
4
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
如图（见解析），先根据函数图象可知，再设正方形的边长为，从而可得，然后根据线段中点的定义可得，最后在中，利用勾股定理可求出a的值，由此即可得出答案．
【详解】如图，连接AE
由函数图象可知，
设正方形ABCD的边长为，则
四边形ABCD是正方形
，
是的中点
则在，由勾股定理得：
因此有
解得
则
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、函数图象等知识点，根据函数图象得出是解题关键．
8、（2020江苏常州）如图，点C在线段上，且，分别以、为边在线段的同侧作正方形、，连接、，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】
设BC=a，则AC=2a，然后利用正方形的性质求得CE、CG的长、∠GCD=ECD=45°，进而说明△ECG为直角三角形，最后运用正切的定义即可解答．
【详解】解：设BC=a，则AC=2a
∵正方形
∴EC=，∠ECD=
同理：CG=,∠GCD=
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查了正方形的性质和正切的定义，根据正方形的性质说明△ECG是直角三角形是解答本题的关键．
9、（2020四川内江）如图，正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），连结BP，将BP绕点B顺时针旋转到BQ，连结QP交BC于点E，QP延长线与边AD交于点F．
（1）连结CQ，求证：；
（2）若，求的值；
（3）求证：．
【答案】(1)见解析；(2)
；(3)见解析
【解析】
【分析】
(1)由旋转知△PBQ为等腰直角三角形，得到PB=QB，∠PBQ=90°，进而证明△APB≌△CQB即可；
(2)设AP=x，则AC=4x，PC=3x，由(1)知CQ=AP=x，又△ABC为等腰直角三角形，所以BC=，PQ=，再证明△BQE∽△BCQ，由此求出BE，进而求出CE:BC的值；
(3)在CE上截取CG，并使CG=FA，证明△PFA≌△QGC，进而得到PF=QG，然后再证明∠QGE=∠QEG即可得到QG=EQ，进而求解．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵BP绕点B顺时针旋转到BQ，
∴BP=BQ，∠PBQ=90°，
∴∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC,
∴∠ABP=∠CBQ，
在△APB和△CQB中，
，
∴△APB≌△CQB(SAS)，
∴AP=CQ．
(2)
设AP=x，则AC=4x，PC=3x，由(1)知CQ=AP=x，
△ABC为等腰直角三角形，∴BC=，
Rt△PCQ中，由勾股定理有：，
且△PBQ为等腰直角三角形，
∴，
又∠BCQ=∠BAP=45°，∠BQE=45°，
∴∠BCQ=∠BQE=45°，且∠CBQ=∠CBQ，
∴△BQE∽△BCQ，
∴，代入数据：，
∴BE=，∴CE=BC-BE=，
∴，
故答案为：．
(3)
在CE上截取CG，并使CG=FA，如图所示：
∵∠FAP=∠GCQ=45°，
且由(1)知AP=CQ，且截取CG=FA，
故有△PFA≌△QGC(SAS)，
∴PF=QG，∠PFA=∠CGQ，
又∵∠DFP=180°-∠PFA，∠QGE=180°-∠CGQ，
∴∠DFP=∠QGE，
∵DABC，
∴∠DFP=∠CEQ，
∴∠QGE=∠CEQ，
∴△QGE为等腰三角形，
∴GQ=QE，
故PF=QE．
【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定和性质、相似三角形判定和性质的综合，具有一定的综合性，本题第(3)问关键是能想到在CE上截取CG，并使CG=FA这条辅助线．
10、（2020海南）四边形ABCD是边长为2的正方形，E是AB的中点，连结DE，点F是射线BC上一动点（不与点B重合），连结AF，交DE于点G．
（1）如图1，当点F是BC边的中点时，求证：△ABF≌△DAE；
（2）如图2，当点F与点C重合时，求AG的长；
（3）在点F运动的过程中，当线段BF为何值时，AG＝AE？请说明理由．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠DAE＝90°，AB＝AD＝BC，
∵点E，F分别是AB、BC的中点，
∴AE＝AB，BF＝BC，
∴AE＝BF，
∴△ABF≌△DAE（SAS）；
（2）在正方形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AD＝CD＝2，
∴AC＝＝＝2，
∵AB∥CD，
∴△AGE∽△CGD，
∴＝，即＝，
∴AG＝；
（3）当BF＝时，AG＝AE，理由如下：
如图所示，设AF交CD于点M，
若使AG＝AE＝1，则有∠1＝∠2，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠4，
又∵∠2＝∠3，
∴∠3＝∠4，
∴DM＝MG，
在Rt△ADM中，AM2﹣DM2＝AD2，即（DM+1）2﹣DM2＝22，
解得DM＝，
∴CM＝CD﹣DM＝2﹣＝，
∵AB∥CD，
∴△ABF∽△MCF，
∴＝，即＝，
∴BF＝，
故当BF＝时，AG＝AE．
能力提升
11、（2020浙江丽水）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连结，相交于点、与相交于点．若，则的值是　　
A．
B．
C．
D．
解：四边形为正方形，
，，
，
，
，
又，
，
，
，，
，
．
设，
为，的交点，
，，
四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，
，
，
，
．
故选：．
12、（2020湖北恩施）如图，正方形的边长为4，点在上且，为对角线上一动点，则周长的最小值为（
）．
A.
5
B.
6
C.
7
D.
8
【答案】B
【解析】
【分析】
连接ED交AC于一点F，连接BF，根据正方形的对称性得到此时的周长最小，利用勾股定理求出DE即可得到答案.
【详解】连接ED交AC于一点F，连接BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于AC对称，
∴BF=DF，
∴的周长=BF+EF+BE=DE+BE，此时周长最小，
∵正方形的边长为4，
∴AD=AB=4，∠DAB=90°，
∵点在上且，
∴AE=3，
∴DE=，
∴的周长=5+1=6，
故选：B.
【点睛】此题考查正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角以及正方形的对称性质，还考查了勾股定理的计算，依据对称性得到连接DE交AC于点F是的周长有最小值的思路是解题的关键.
13、（2020浙江温州）如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，过点作于点，再过点作分别交边，于点，．若，，则的长为　　
A．14
B．15
C．
D．
解：如图，连接，．设交于．
四边形，四边形都是正方形，
，
，，
，
，，共线，，，共线，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，设，，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
（负根已经舍弃），
，，
，
，
，
，
故选：．
14、（2020黑龙江大庆）如图，在边长为2的正方形EFGH中，M，N分别为EF与GH的中点，一个三角形ABC沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A恒在直线MN上，当点A运动到线段MN的中点时，点E，F恰与AB，AC两边的中点重合，设点A到EF的距离为x，三角形ABC与正方形EFGH的公共部分的面积为y．则当y＝时，x的值为（　　）
A．或2+
B．或2﹣
C．2±
D．或
【解答】解：如图1中，当过A在正方形内部时，连接EG交MN于O，连接OF，设AB交EH于Q，AC交FG于P．
由题意，△ABC是等腰直角三角形，AQ＝OE＝OG＝AP＝OF，S△OEF＝1，
∵y＝，
∴S四边形AOEQ+S四边形AOFP＝1.5，
∴OA?2＝1.5，
∴OA＝，
∴AM＝1+＝．
如图2中，当点A在正方形外部时，
由题意，重叠部分是六边形WQRJPT，S重叠＝S△ABC﹣2S△BQR﹣S△AWT，
∴2.5＝××﹣1﹣×2AN×AN，
解得AN＝，
∴AM＝2+，
综上所述，满足条件的AM的值为或2+，
故选：A．
15、（2020黑龙江七台）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：
①∠ECF＝45°；
②△AEG的周长为（1+）a；
③BE2+DG2＝EG2；
④△EAF的面积的最大值是a2；
⑤当BE＝a时，G是线段AD的中点．
其中正确的结论是（　　）
A．①②③
B．②④⑤
C．①③④
D．①④⑤
【分析】①正确．如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH．证明△FAE≌△EHC（SAS）即可解决问题．
②③错误．如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS），再证明△GCE≌△GCH（SAS）即可解决问题．
④正确．设BE＝x，则AE＝a﹣x，AF＝x，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题．
⑤正确．当BE＝a时，设DG＝x，则EG＝x+a，利用勾股定理构建方程可得x＝即可解决问题．
解：如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH．
∵BE＝BH，∠EBH＝90°，
∴EH＝BE，
∵AF＝BE，
∴AF＝EH，
∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠FAE＝∠EHC＝135°，
∵BA＝BC，BE＝BH，
∴AE＝HC，
∴△FAE≌△EHC（SAS），
∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECH，
∵∠ECH+∠CEB＝90°，
∴∠AEF+∠CEB＝90°，
∴∠FEC＝90°，
∴∠ECF＝∠EFC＝45°，故①正确，
如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS），
∴∠ECB＝∠DCH，
∴∠ECH＝∠BCD＝90°，
∴∠ECG＝∠GCH＝45°，
∵CG＝CG，CE＝CH，
∴△GCE≌△GCH（SAS），
∴EG＝GH，
∵GH＝DG+DH，DH＝BE，
∴EG＝BE+DG，故③错误，
∴△AEG的周长＝AE+EG+AG＝AE+AH＝AD+DH+AE＝AE+EB+AD＝AB+AD＝2a，故②错误，
设BE＝x，则AE＝a﹣x，AF＝x，
∴S△AEF＝?（a﹣x）×x＝﹣x2+ax＝﹣（x2﹣ax+a2﹣a2）＝﹣（x﹣a）2+a2，
∵﹣＜0，
∴x＝a时，△AEF的面积的最大值为a2．故④正确，
当BE＝a时，设DG＝x，则EG＝x+a，
在Rt△AEG中，则有（x+a）2＝（a﹣x）2+（a）2，
解得x＝，
∴AG＝GD，故⑤正确，
故选：D．
16、（2020山东青岛）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在CD的延长线上，连接AE，点F是AE的中点，连接OF交AD于点G．若DE＝2，OF＝3，则点A到DF的距离为　　．
【分析】根据正方形的性质得到AO＝DO，∠ADC＝90°，求得∠ADE＝90°，根据直角三角形的性质得到DF＝AF＝EF＝AE，根据三角形中位线定理得到FG＝DE＝1，求得AD＝CD＝4，过A作AH⊥DF于H，根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
解：∵在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
∴AO＝DO，∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝90°，
∵点F是AE的中点，
∴DF＝AF＝EF＝AE，
∴OF垂直平分AD，
∴AG＝DG，
∴FG＝DE＝1，
∵OF＝2，
∴OG＝2，
∵AO＝CO，
∴CD＝2OG＝4，
∴AD＝CD＝4，
过A作AH⊥DF于H，
∴∠H＝∠ADE＝90°，
∵AF＝DF，
∴∠ADF＝∠DAE，
∴△ADH∽△AED，
∴＝，
∴AE＝＝＝2，
∴＝，
∴AH＝，
即点A到DF的距离为，
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形中位线定理，勾股定理，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
17、（2020河南）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为　1　．
【分析】设DF，CE交于O，根据正方形的性质得到∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，根据线段中点的定义得到BE＝CF，根据全等三角形的性质得到CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，求得DF⊥CE，根据勾股定理得到CE＝DF＝＝，点G，H分别是EC，FD的中点，根据射影定理即可得到结论．
解：设DF，CE交于O，
∵四边形ABCDA是正方形，
∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，
∵点E，F分别是边AB，BC的中点，
∴BE＝CF，
∴△CBE≌△DCF（SAS），
∴CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，
∵∠CDF+∠CFD＝90°，
∴∠BCE+∠CFD＝90°，
∴∠COF＝90°，
∴DF⊥CE，
∴CE＝DF＝＝，
∵点G，H分别是EC，FD的中点，
∴CG＝FH＝，
∵∠DCF＝90°，CO⊥DF，
∴CF2＝OF?DF，
∴OF＝＝＝，
∴OH＝，OD＝，
∵OC2＝OF?OD，
∴OC＝＝，
∴OG＝CG﹣OC＝﹣＝，
∴HG＝＝＝1，
故答案为：1．
18、（2020黑龙江七台）以Rt△ABC的两边AB、AC为边，向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，过点A作AM⊥BC于M，延长MA交EG于点N．
（1）如图①，若∠BAC＝90°，AB＝AC，易证：EN＝GN；
（2）如图②，∠BAC＝90°；如图③，∠BAC≠90°，（1）中结论，是否成立，若成立，选择一个图形进行证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠MAC＝45°，证得∠EAN＝∠NAG，由等腰三角形的性质得出结论；
（2）如图1，2，证明方法相同，利用“AAS”证明△ABM和△EAP全等，根据全等三角形对应边相等可得EP＝AM，同理可证GQ＝AM，从而得到EP＝GQ，再利用“AAS”证明△EPN和△GQN全等，根据全等三角形对应边相等可得EN＝NG．
解：（1）证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ACB＝45°，
∵AM⊥BC，
∴∠MAC＝45°，
∴∠EAN＝∠MAC＝45°，
同理∠NAG＝45°，
∴∠EAN＝∠NAG，
∵四边形ABDE和四边形ACFG为正方形，
∴AE＝AB＝AC＝AG，
∴EN＝GN．
（2）如图1，∠BAC＝90°时，（1）中结论成立．
理由：过点E作EP⊥AN交AN的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，
∵四边形ABDE是正方形，
∴AB＝AE，∠BAE＝90°，
∴∠EAP+∠BAM＝180°﹣90°＝90°，
∵AM⊥BC，
∴∠ABM+∠BAM＝90°，
∴∠ABM＝∠EAP，
在△ABM和△EAP中，
，
∴△ABM≌△EAP（AAS），
∴EP＝AM，
同理可得：GQ＝AM，
∴EP＝GQ，
在△EPN和△GQN中，
，
∴△EPN≌△GQN（AAS），
∴EN＝NG．
如图2，∠BAC≠90°时，（1）中结论成立．
理由：过点E作EP⊥AN交AN的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，
∵四边形ABDE是正方形，
∴AB＝AE，∠BAE＝90°，
∴∠EAP+∠BAM＝180°﹣90°＝90°，
∵AM⊥BC，
∴∠ABM+∠BAM＝90°，
∴∠ABM＝∠EAP，
在△ABM和△EAP中，
，
∴△ABM≌△EAP（AAS），
∴EP＝AM，
同理可得：GQ＝AM，
∴EP＝GQ，
在△EPN和△GQN中，
，
∴△EPN≌△GQN（AAS），
∴EN＝NG．
19、（2020江苏泰州）如图，正方形的边长为6，为的中点，为等边三角形，过点作的垂线分别与边、相交于点、，点、分别在线段、上运动，且满足，连接．
（1）求证：．
（2）当点在线段上时，试判断的值是否变化？如果不变，求出这个值，如果变化，请说明理由．
（3）设，点关于的对称点为，若点落在的内部，试写出的范围，并说明理由．
【解答】证明：（1）正方形的边长为6，为的中点，
，，，
是等边三角形，
，，
，
又，
；
（2）的值不变，
理由如下：如图1，连接，过点作于，
，，
，
，，，
，，
，，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图2，当点落在上时，
，
，
，
是等边三角形，
当点落在上时，点关于的对称点为，
△，
点与点重合，点与点重合，
，
如图3，当点落在上时，
同理可求：，
当时，点落在的内部．
创新思维
20、（2020湖南益阳）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．
根据以上定义，解决下列问题：
（1）如图1，正方形ABCD中，E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？
（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝5，CD＝1，AD＞AB，点B到直线AD的距离为BE．
①求BE的长；
②若M、N分别是AB、AD边上的动点，求△MNC周长的最小值．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠C＝∠D＝90°，
∵将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，
∴BE＝BF，∠CBE＝∠ABF，
∴∠EBF＝∠ABC＝90°，
∴∠EBF+∠D＝180°，
∴四边形BEDF为“直等补”四边形；
（2）①过C作CF⊥BF于点F，如图1，
则∠CFE＝90°，
∵四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝5，CD＝1，AD＞AB，
∴∠ABC＝90°，∠ABC+∠D＝180°，
∴∠D＝90°，
∵BF⊥AD，
∴∠DEF＝90°，
∴四边形CDEF是矩形，
∴EF＝CD＝1，
∵∠ABE+∠A＝∠CBE+∠ABE＝90°，
∴∠A＝∠CBF，
∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC＝5，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴BE＝CF，
设BE＝CF＝x，则BF＝x﹣1，
∵CE2+BF2＝BC2，
∴x2+（x﹣1）2＝52，
解得，x＝4，或x＝﹣3（舍），
∴BE＝4；
②如图2，延长CB到F，使得BF＝BC，延长CD到G，使得CD＝DG，连接FG，分别与AB、AD交于点M、N，过G作GH⊥BC，与BC的延长线交于点H．
则BC＝BF＝5，CD＝DG＝1，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴CM＝FM，CN＝GN，
∴△MNC的周长＝CM+MN+CN＝FM+MN+GN＝FG的值最小，
∵四边形ABCD是“直等补”四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠BCD+∠HCG＝180°，
∴∠A＝∠HCG，
∵∠AEB＝∠CHG＝90°，
∴
∵AB＝5，BE＝4，
∴AE＝，
∴，
∴GH＝，CH＝，
∴FH＝FC+CH＝，
∴FG＝＝8，
∴△MNC周长的最小值为8．
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