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机械能守恒定律的理解与应用【原卷】
1.(2020·湖北武汉东湖区联考)有一条长为2
m的均匀金属链条，有一半长度在光滑的足够高的斜面上，斜面顶端是一个很小的圆弧，斜面倾角为30°，另一半长度竖直下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条沿斜面向上滑动，则链条刚好全部滑出斜面时的速度为(g取10
m/s2)(　　)
A．2.5
m/s
B．
m/s
C．
m/s
D．
m/s
2.如图所示，总长为l的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻小滑轮，开始时底端对齐，当略有扰动时其一端下落，铁链开始滑动，当铁链脱离滑轮瞬间，铁链速度为(　　)
A．
B．
C．
D．2
3.(2020·莱芜模拟)一根质量为m、长为L的均匀链条一半放在光滑的水平桌面上，另一半悬在桌边，桌面足够高，如图甲所示。若将一个质量为m的小球分别拴在链条右端和左端，如图乙、图丙所示。约束链条的挡板光滑，三种情况均由静止释放，当整根链条刚离开桌面时，关于它们的速度关系，下列判断正确的是(　　)
A．v甲＝v乙＝v丙　　　　　　
B．v甲C．v丙>v甲>v乙
D．v乙>v甲>v丙
4.如图，一质量为m，长度为l的均匀柔软细绳PQ竖直悬挂。用外力将绳的下端Q缓慢地竖直向上拉起至M点，M点与绳的上端P相距。重力加速度大小为g。在此过程中，外力做的功为
A．
B．
C．
D．
5.(2020·湖南衡阳市第二次联考)2019年春晚在开场舞蹈《春海》中拉开帷幕．如图1所示，五名领舞者在钢丝绳的拉动下以相同速度缓缓升起，若五名领舞者的质量(包括衣服和道具)相等，下面说法中正确的是(　　)
A．观众欣赏表演时可把领舞者看做质点
B．2号和4号领舞者的重力势能相等
C．3号领舞者处于超重状态
D．她们在上升过程中机械能守恒
6.(多选)一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离．假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法正确的是(　　)
A．运动员到达最低点前重力势能始终减小
B．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力做负功，弹性势能增加
C．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒
D．蹦极过程中，重力势能的改变量与重力势能零点的选取有关
7.如图所示，P、Q两球质量相等，开始两球静止，将P上方的细绳烧断，在Q落地之前，下列说法正确的是(不计空气阻力)(　　)
A．在任一时刻，两球动能相等
B．在任一时刻，两球加速度相等
C．在任一时刻，系统动能与重力势能之和保持不变
D．在任一时刻，系统机械能是不变的
8.如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍。当B位于地面上时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放，B上升的最大高度是(　　)
A．2R
B．
C．
D．
9.(多选)
(2020·辽宁葫芦岛六校联考)如图所示，光滑固定的竖直杆上套有小物块
a，
不可伸长的轻质细绳通过大小可忽略的定滑轮连接物块
a
和小物块
b，虚线
cd
水平．现由静止释放两物块，物块
a
从图示位置上升，并恰好能到达c处．在此过程中，若不计摩擦和空气阻力，下列说法正确的是(　　)
A．物块
a
到达
c
点时加速度为零
B．绳拉力对物块
a
做的功等于物块
a
重力势能的增加量
C．绳拉力对物块
b先做负功后做正功
D．绳拉力对物块
b
做的功在数值上等于物块
b机械能的减少量
10.(多选)如图所示，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上。a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动。不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g。则(　　)
A．a落地前，轻杆对b一直做正功
B．a落地时速度大小为
C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于g
D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg
11.(2019·东北三省三校第二次联合模拟)如图所示，竖直平面内固定两根足够长的细杆L1、L2，两杆不接触，且两杆间的距离忽略不计．两个小球a、b(视为质点)质量均为m，a球套在竖直杆L1上，b球套在水平杆L2上，a、b通过铰链用长度为l的刚性轻杆L连接，将a球从图示位置(轻杆与L2杆夹角为45°)由静止释放，不计一切摩擦，已知重力加速度为g.在此后的运动过程中，下列说法中正确的是(　　)
A．a球和b球所组成的系统机械能不守恒
B．b球的速度为零时，a球的加速度大小为零
C．b球的最大速度为
D．a球的最大速度为
12.(多选)(2020·淄博模拟)如图所示，足够长的光滑斜面固定在水平面上，轻质弹簧与A、B物块相连，A、C物块由跨过光滑小滑轮的轻绳连接。初始时刻，C在外力作用下静止，绳中恰好无拉力，B放置在水平面上，A静止。现撤去外力，物块C沿斜面向下运动，当C运动到最低点时，B对地面的压力刚好为零。已知A、B的质量均为m，弹簧始终处于弹性限度内，则上述过程中(　　)
A．C的质量mC可能小于m
B．C的速度最大时，A的加速度为零
C．C的速度最大时，弹簧弹性势能最小
D．A、B、C系统的机械能先变大后变小
13.(多选)(2020·湖南衡阳市第二次模拟)如图所示，一根轻弹簧一端固定在O点，另一端固定一个带有孔的小球，小球套在固定的竖直光滑杆上，小球位于图中的A点时，弹簧处于原长，现将小球从A点由静止释放，小球向下运动，经过与A点关于B点对称的C点后，小球能运动到最低点D点，OB垂直于杆，则下列结论正确的是(　　)
A．小球从A点运动到D点的过程中，其最大加速度一定大于重力加速度g
B．小球从B点运动到C点的过程，小球的重力势能和弹簧的弹性势能之和可能增大
C．小球运动到C点时，重力对其做功的功率最大
D．小球在D点时弹簧的弹性势能一定最大
14.(2020·唐山一中月考)如图所示是跳台滑雪的示意图，雪道由倾斜的助滑雪道AB、水平平台BC、着陆雪道CD及减速区DE组成，各雪道间均平滑连接，A处与水平平台间的高度差h＝45
m，CD的倾角为30°。运动员自A处由静止滑下，不计其在雪道ABC滑行和空中飞行时所受的阻力。运动员可视为质点。(g取10
m/s2)
(1)求运动员滑离平台BC时的速度大小；
(2)为保证运动员落在着陆雪道CD上，雪道CD长度至少为多少？
(3)若实际的着陆雪道CD长为150
m，运动员着陆后滑到D点时具有的动能是着陆瞬间动能的80%，在减速区DE滑行s＝100
m后停下，则运动员在减速区所受平均阻力是其重力的多少倍？
15.如图所示，倾角为37°的斜面与一竖直光滑圆轨道相切于A点，轨道半径R＝1
m，将滑块由B点无初速度释放，滑块恰能运动到圆周的C点，OC水平，OD竖直，xAB＝2
m，滑块可视为质点，取g＝10
m/s2，sin
37°＝0.6，cos
37°＝0.8，求：
(1)滑块在斜面上运动的时间；
(2)若滑块能从D点抛出，滑块仍从斜面上无初速度释放，释放点至少应距A点多远．
16.如图所示，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接．AB弧的半径为R，BC弧的半径为.一小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动．
(1)求小球在B、A两点的动能之比；
(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点．
17.(2020·安徽巢湖市质检)如图所示，光滑水平轨道AB与光滑半圆形轨道BC在B点相切连接，半圆轨道半径为R，轨道AB、BC在同一竖直平面内．一质量为m的物块在A处压缩弹簧，并由静止释放，物块恰好能通过半圆轨道的最高点C.已知物块在到达B点之前已经与弹簧分离，重力加速度为g.求：
(1)物块由C点平抛出去后在水平轨道上的落点到B点的距离；
(2)物块在B点时对半圆轨道的压力大小；
(3)物块在A点时弹簧的弹性势能．
18.如图所示，AB为光滑的水平面，BC是倾角为α的足够长的光滑斜面，斜面体固定不动。AB、BC间用一小段光滑圆弧轨道相连。一条长为L的均匀柔软链条开始时静置在ABC面上，其一端D至B的距离为L－a。现自由释放链条，则：
(1)链条下滑过程中，系统的机械能是否守恒？简述理由；
(2)链条的D端滑到B点时，链条的速率为多大？
19．(2020·甘肃兰州市检测)如图所示，竖直平面内固定着由两个半径均为R的四分之一圆弧构成的细管道ABC，圆心连线O1O2水平．轻弹簧左端固定在竖直挡板上，右端靠着质量为m的小球(小球的直径略小于管道内径)，长为R的薄板DE置于水平面上，薄板的左端D到管道右端C的水平距离为R.开始时弹簧处于锁定状态，具有一定的弹性势能．解除锁定，小球离开弹簧后进入管道，最后从C点抛出(不计一切摩擦，重力加速度为g)，小球经C点时对轨道外侧的弹力大小为mg.
(1)求弹簧锁定时具有的弹性势能Ep；
(2)试通过计算判断小球能否落在薄板DE上．
20.如图所示，半径为R的光滑圆周轨道AB固定在竖直平面内，O为圆心，OA与水平方向的夹角为30°，OB在竖直方向．一个可视为质点的小球从O点正上方某处以某一水平初速度向右抛出，小球恰好能无碰撞地从A点进入圆轨道内侧，此后沿圆轨道运动到达B点．已知重力加速度为g，求：(不计空气阻力)
(1)小球初速度的大小；
(2)小球运动到B点时对圆轨道压力的大小．
21．(2020·陕西商洛市调研)如图甲所示，竖直平面内的光滑轨道由倾斜直轨道AB和圆轨道BCD组成，AB和BCD相切于B点，CD连线是圆轨道竖直方向的直径(C、D为圆轨道的最低点和最高点)，已知∠BOC＝30°.可视为质点的小滑块从轨道AB上高H处的某点由静止滑下，用力传感器测出小滑块经过圆轨道最高点D时对轨道的压力为F，并得到如图乙所示的压力F与高度H的关系图象，取g＝10
m/s2.求：
(1)滑块的质量和圆轨道的半径；
(2)是否存在某个H值，使得小滑块经过最高点D后能直接落到直轨道AB上与圆心等高的点？若存在，请求出H值；若不存在，请说明理由．
22.如图所示，一内壁光滑的细管弯成半径为R＝0.4
m的半圆形轨道CD，竖直放置，其内径略大于小球的直径，水平轨道与竖直半圆轨道在C点平滑连接．置于水平轨道上的弹簧左端与竖直墙壁相连，B处为弹簧的自然状态．将一个质量为m＝0.8
kg的小球放在弹簧的右侧后，用力水平向左推小球而压缩弹簧至A处，然后将小球由静止释放，小球运动到C处时对轨道的压力大小为F1＝58
N．水平轨道以B处为界，左侧AB段长为x＝0.3
m，与小球间的动摩擦因数为μ＝0.5，右侧BC段光滑．g＝10
m/s2，求：
(1)弹簧在压缩时所储存的弹性势能；
(2)小球运动到轨道最高处D点时对轨道的压力．
23．(2019年福州中学模拟)如图所示，滑块质量为m，与水平地面间的动摩擦因数为0.1，它以v0＝3
的初速度由A点开始向B点滑行，AB＝5R，并滑上光滑的半径为R的圆弧BC，在C点正上方有一离C点高度也为R的旋转平台，沿平台直径方向开有两个离轴心距离相等的小孔P、Q，孔径大于滑块的大小，旋转时两孔均能达到C点的正上方。求：(1)滑块运动到光滑轨道B点时对轨道的压力大小；(2)若滑块滑过C点后穿过P孔，求滑块过P点后还能上升的最大高度；(3)若滑块滑过C点
后从P孔上升又恰能从Q孔落下，平台转动的角速度ω应满足什么条件？
机械能守恒定律的理解与应用【解析卷】
1.(2020·湖北武汉东湖区联考)有一条长为2
m的均匀金属链条，有一半长度在光滑的足够高的斜面上，斜面顶端是一个很小的圆弧，斜面倾角为30°，另一半长度竖直下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条沿斜面向上滑动，则链条刚好全部滑出斜面时的速度为(g取10
m/s2)(　　)
A．2.5
m/s
B．
m/s
C．
m/s
D．
m/s
【答案】B　
【解析】链条的质量为2m，以开始时链条的最高点为零势能面，链条的机械能为
E＝Ep＋Ek＝－×2mg×sin
θ－×2mg×＋0＝－mgL(1＋sin
θ)
链条全部滑出后，动能为
E′k＝×2mv2
重力势能为E′p＝－2mg
由机械能守恒定律可得E＝E′k＋E′p
即－mgL(1＋sin
θ)＝mv2－mgL
解得v＝＝
m/s，
故B正确，A、C、D错误。
2.如图所示，总长为l的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻小滑轮，开始时底端对齐，当略有扰动时其一端下落，铁链开始滑动，当铁链脱离滑轮瞬间，铁链速度为(　　)
A．
B．
C．
D．2
【答案】B　
【解析】铁链从开始到脱离滑轮的过程中，链条重心下降的高度为l，链条下落过程，由机械能守恒定律，得mg·＝mv2，计算得出v＝，故B正确，A、C、D错误。
3.(2020·莱芜模拟)一根质量为m、长为L的均匀链条一半放在光滑的水平桌面上，另一半悬在桌边，桌面足够高，如图甲所示。若将一个质量为m的小球分别拴在链条右端和左端，如图乙、图丙所示。约束链条的挡板光滑，三种情况均由静止释放，当整根链条刚离开桌面时，关于它们的速度关系，下列判断正确的是(　　)
A．v甲＝v乙＝v丙　　　　　　
B．v甲C．v丙>v甲>v乙
D．v乙>v甲>v丙
【答案】：　D
【解析】：　三种情况下所研究的系统机械能守恒，由－ΔEp＝ΔEk得，对于甲：mg×＋mg×＝mv，v甲＝；
对于乙：mg×＋mg×＋mg×
＝×2mv，v乙＝
；
对于丙：mg×＋mg×＝×2mv，v丙＝
，故v乙>v甲>v丙，D对。
4.如图，一质量为m，长度为l的均匀柔软细绳PQ竖直悬挂。用外力将绳的下端Q缓慢地竖直向上拉起至M点，M点与绳的上端P相距。重力加速度大小为g。在此过程中，外力做的功为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】将绳的下端Q缓慢地竖直向上拉起至M点，PM段绳的机械能不变，MQ段绳的机械能的增加量为，由功能关系可知，在此过程中，外力做的功，故选A。
5.(2020·湖南衡阳市第二次联考)2019年春晚在开场舞蹈《春海》中拉开帷幕．如图1所示，五名领舞者在钢丝绳的拉动下以相同速度缓缓升起，若五名领舞者的质量(包括衣服和道具)相等，下面说法中正确的是(　　)
A．观众欣赏表演时可把领舞者看做质点
B．2号和4号领舞者的重力势能相等
C．3号领舞者处于超重状态
D．她们在上升过程中机械能守恒
【答案】B
【解析】观众欣赏表演时要看领舞者的动作，所以不能将领舞者看做质点，故A错误；2号和4号领舞者始终处于同一高度，质量相等，所以重力势能相等，故B正确；五名领舞者在钢丝绳的拉动下以相同速度缓缓升起，所以处于平衡状态，故C错误；上升过程中，钢丝绳对她们做正功，所以机械能增大，故D错误．
6.(多选)一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离．假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法正确的是(　　)
A．运动员到达最低点前重力势能始终减小
B．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力做负功，弹性势能增加
C．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒
D．蹦极过程中，重力势能的改变量与重力势能零点的选取有关
【答案】ABC
【解析】在运动员到达最低点前，运动员一直向下运动，根据重力势能的定义可知重力势能始终减小，故选项A正确；蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力方向向上，而运动员向下运动，所以弹力做负功，弹性势能增加，故选项B正确；对于运动员、地球和蹦极绳所组成的系统，蹦极过程中只有重力和弹力做功，所以系统机械能守恒，故选项C正确；重力做功是重力势能转化的量度，即WG＝－ΔEp，而蹦极过程中重力做功与重力势能零点的选取无关，所以重力势能的改变量与重力势能零点的选取无关，故选项D错误．
7.如图所示，P、Q两球质量相等，开始两球静止，将P上方的细绳烧断，在Q落地之前，下列说法正确的是(不计空气阻力)(　　)
A．在任一时刻，两球动能相等
B．在任一时刻，两球加速度相等
C．在任一时刻，系统动能与重力势能之和保持不变
D．在任一时刻，系统机械能是不变的
【答案】D
【解析】细绳烧断后，由于弹簧处于伸长状态，通过对P、Q两球受力分析可知aP>aQ，在任一时刻，两球的动能不一定相等，选项A、B错误；系统内有弹力做功，弹性势能发生变化，系统的动能与重力势能之和发生变化，选项C错误；Q落地前，两球及弹簧组成的系统只有重力和弹簧的弹力做功，整个系统的机械能守恒，选项D正确．
8.如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍。当B位于地面上时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放，B上升的最大高度是(　　)
A．2R
B．
C．
D．
【答案】C　
【解析】设B球质量为m，A球刚落地时，两球速度大小都为v，根据机械能守恒定律2mgR－mgR＝(2m＋m)v2得v2＝gR，B球继续上升的高度h＝＝，B球上升的最大高度为h＋R＝R，故选项C正确。
9.(多选)
(2020·辽宁葫芦岛六校联考)如图所示，光滑固定的竖直杆上套有小物块
a，
不可伸长的轻质细绳通过大小可忽略的定滑轮连接物块
a
和小物块
b，虚线
cd
水平．现由静止释放两物块，物块
a
从图示位置上升，并恰好能到达c处．在此过程中，若不计摩擦和空气阻力，下列说法正确的是(　　)
A．物块
a
到达
c
点时加速度为零
B．绳拉力对物块
a
做的功等于物块
a
重力势能的增加量
C．绳拉力对物块
b先做负功后做正功
D．绳拉力对物块
b
做的功在数值上等于物块
b机械能的减少量
【答案】BD　
【解析】：当a物块到达c处时，由受力分析可知：水平方向受力平衡，竖直方向只受重力作用，所以根据牛顿第二定律得知，a物块的加速度a＝g，故A错误；从a到c，a的动能变化量为零，根据功能关系可知，绳拉力对物块a做的功等于物块a的重力势能的增加量，故B正确；物块a上升到与滑轮等高前，b下降，绳的拉力对b做负功，故C错误；从a到c，b的动能变化量为零，根据功能关系：除重力以为其他力做的功等于机械能的变化量，故绳拉力对b做的功在数值上等于b机械能的减少量，故D正确．
10.(多选)如图所示，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上。a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动。不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g。则(　　)
A．a落地前，轻杆对b一直做正功
B．a落地时速度大小为
C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于g
D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg
【答案】BD　
【解析】由题意知，系统机械能守恒，设某时刻a、b的速度分别为va、vb，此时轻杆与竖直杆的夹角为θ，分别将va、vb分解，如图所示。
因为轻杆不可伸长，所以沿轻杆的分速度v∥与v′∥是相等的，即vacos
θ＝vbsin
θ。当a滑至地面时θ＝90°，此时vb＝0，由系统机械能守恒得mgh＝mv，解得va＝，选项B正确；由于b初、末速度均为零，运动过程中其动能先增大后减小，即轻杆对b先做正功后做负功，选项A错误；轻杆对b的作用先是推力后是拉力，对a则先是阻力后是动力，即a的加速度在受到轻杆的向下的拉力作用时大于g，选项C错误；b的动能最大时，轻杆对a、b的作用力为零，此时a的机械能最小，b只受重力和支持力，所以b对地面的压力大小为mg，选项D正确。
11.(2019·东北三省三校第二次联合模拟)如图所示，竖直平面内固定两根足够长的细杆L1、L2，两杆不接触，且两杆间的距离忽略不计．两个小球a、b(视为质点)质量均为m，a球套在竖直杆L1上，b球套在水平杆L2上，a、b通过铰链用长度为l的刚性轻杆L连接，将a球从图示位置(轻杆与L2杆夹角为45°)由静止释放，不计一切摩擦，已知重力加速度为g.在此后的运动过程中，下列说法中正确的是(　　)
A．a球和b球所组成的系统机械能不守恒
B．b球的速度为零时，a球的加速度大小为零
C．b球的最大速度为
D．a球的最大速度为
【答案】C
【解析】a球和b球组成的系统没有外力做功，只有a球和b球的动能和重力势能相互转换，因此a球和b球所组成的系统机械能守恒，A错误；设轻杆L和水平杆L2的夹角为θ，由运动关联可知vbcos
θ＝vasin
θ，则vb＝vatan
θ，可知当b球的速度为零时，轻杆L处于水平位置且与杆L2平行，则此时a球在竖直方向只受重力mg，因此a球的加速度大小为g，B错误；当杆L和杆L1第一次平行时，a球运动到最下方，b球运动到L1和L2交点位置，b球的速度达到最大，此时a球的速度为0，因此由系统机械能守恒有mg(l＋l)＝mv，解得vb＝，C正确；当轻杆L和杆L2第一次平行时，由运动的关联可知此时b球的速度为零，由系统机械能守恒有mg·l＝mv，解得va＝，此时a球具有向下的加速度g，故此时a球的速度不是最大，a球将继续向下做加速度减小的加速运动，到加速度为0时速度达到最大，D错误．
12.(多选)(2020·淄博模拟)如图所示，足够长的光滑斜面固定在水平面上，轻质弹簧与A、B物块相连，A、C物块由跨过光滑小滑轮的轻绳连接。初始时刻，C在外力作用下静止，绳中恰好无拉力，B放置在水平面上，A静止。现撤去外力，物块C沿斜面向下运动，当C运动到最低点时，B对地面的压力刚好为零。已知A、B的质量均为m，弹簧始终处于弹性限度内，则上述过程中(　　)
A．C的质量mC可能小于m
B．C的速度最大时，A的加速度为零
C．C的速度最大时，弹簧弹性势能最小
D．A、B、C系统的机械能先变大后变小
【答案】BCD　
【解析】弹簧原来的压缩量x1＝，当C运动到最低点时，B对地面的压力刚好为零，弹簧的拉力等于B的重力，则弹簧此时的伸长量为x2＝，则x1＝x2，弹簧初、末状态的弹性势能相等，根据A、B、C和弹簧构成的系统机械能守恒，则有mCgsin
α·＝mg·，α是斜面的倾角，解得mCsin
α＝m，sin
α<1，所以mC>m，故A错误；C速度最大时，加速度为零，则有绳子拉力FT＝mCgsin
α＝mg，因此A的加速度为零，此时弹簧的弹力为零，弹簧弹性势能最小，故B、C正确；由于A、B、C和弹簧构成的系统机械能守恒，而弹簧先由压缩恢复原长再拉伸，所以弹性势能先减小后增加，故A、B、C系统的机械能先变大后变小，故D正确。
13.(多选)(2020·湖南衡阳市第二次模拟)如图所示，一根轻弹簧一端固定在O点，另一端固定一个带有孔的小球，小球套在固定的竖直光滑杆上，小球位于图中的A点时，弹簧处于原长，现将小球从A点由静止释放，小球向下运动，经过与A点关于B点对称的C点后，小球能运动到最低点D点，OB垂直于杆，则下列结论正确的是(　　)
A．小球从A点运动到D点的过程中，其最大加速度一定大于重力加速度g
B．小球从B点运动到C点的过程，小球的重力势能和弹簧的弹性势能之和可能增大
C．小球运动到C点时，重力对其做功的功率最大
D．小球在D点时弹簧的弹性势能一定最大
【答案】AD
【解析】在B点时，小球的加速度为g，在BC间弹簧处于压缩状态，小球在竖直方向除受重力外还有弹簧弹力沿竖直方向向下的分力，所以小球从A点运动到D点的过程中，其最大加速度一定大于重力加速度g，故A正确；由机械能守恒可知，小球从B点运动到C点的过程，小球做加速运动，即动能增大，所以小球的重力势能和弹簧的弹性势能之和一定减小，故B错误；小球运动到C点时，由于弹簧的弹力为零，合力为重力G，所以小球从C点往下还会加速一段，所以小球在C点的速度不是最大，即重力的功率不是最大，故C错误；D点为小球运动的最低点，即速度为零，弹簧形变量最大，所以小球在D点时弹簧的弹性势能最大，故D正确．
14.(2020·唐山一中月考)如图所示是跳台滑雪的示意图，雪道由倾斜的助滑雪道AB、水平平台BC、着陆雪道CD及减速区DE组成，各雪道间均平滑连接，A处与水平平台间的高度差h＝45
m，CD的倾角为30°。运动员自A处由静止滑下，不计其在雪道ABC滑行和空中飞行时所受的阻力。运动员可视为质点。(g取10
m/s2)
(1)求运动员滑离平台BC时的速度大小；
(2)为保证运动员落在着陆雪道CD上，雪道CD长度至少为多少？
(3)若实际的着陆雪道CD长为150
m，运动员着陆后滑到D点时具有的动能是着陆瞬间动能的80%，在减速区DE滑行s＝100
m后停下，则运动员在减速区所受平均阻力是其重力的多少倍？
【答案】(1)30
m/s　(2)120
m　(3)0.84倍
【解析】　(1)从A到C过程中，机械能守恒，有
mgh＝mv
解得vC＝＝30
m/s
(2)设落点距抛出点C的距离为L，由平抛运动规律得
Lcos
30°＝vCt
Lsin
30°＝gt2
解得L＝120
m
(3)运动员由A运动到落点过程中，由机械能守恒定律得mg(h＋Lsin
30°)＝mv2
设运动员在减速区减速过程中所受平均阻力是重力的k倍，根据动能定理得
－kmgs＝0－mv
根据题意有mv＝0.80×mv2
解得k＝0.84
15.如图所示，倾角为37°的斜面与一竖直光滑圆轨道相切于A点，轨道半径R＝1
m，将滑块由B点无初速度释放，滑块恰能运动到圆周的C点，OC水平，OD竖直，xAB＝2
m，滑块可视为质点，取g＝10
m/s2，sin
37°＝0.6，cos
37°＝0.8，求：
(1)滑块在斜面上运动的时间；
(2)若滑块能从D点抛出，滑块仍从斜面上无初速度释放，释放点至少应距A点多远．
【答案】　(1)1
s　(2)5.75
m
【解析】　(1)设滑块到达A点的速度为vA，从A到C过程机械能守恒有
mv＝mgRcos
37°
从B到A过程，滑块做匀加速直线运动，由匀变速直线运动规律可知v＝2axAB
vA＝at
联立各式解得a＝4
m/s2，t＝1
s
(2)设滑块能从D点抛出的最小速度为vD，在D点，由重力提供向心力，有mg＝m
从A到D由机械能守恒有
mvA′2＝mgR(1＋cos
37°)＋mv
vA′2＝2ax′
联立各式解得x′＝5.75
m.
16.如图所示，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接．AB弧的半径为R，BC弧的半径为.一小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动．
(1)求小球在B、A两点的动能之比；
(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点．
【答案】　(1)5∶1　(2)能，理由见解析
【解析】　(1)设小球的质量为m，小球在A点的动能为EkA，由机械能守恒得
EkA＝mg·①
设小球在B点的动能为EkB，同理有
EkB＝mg·②
由①②式得＝5③
(2)若小球能沿轨道运动到C点，小球在C点所受轨道的正压力FN应满足FN≥0④
设小球在C点的速度大小为vC，由牛顿第二定律和向心加速度公式有
FN＋mg＝m⑤
由④⑤式得vC≥
对全程由机械能守恒定律得mg·＝mvC′2⑦
则vC′＝
vC的最小值恰好等于vC′，即小球恰好可以沿轨道运动到C点．
17.(2020·安徽巢湖市质检)如图所示，光滑水平轨道AB与光滑半圆形轨道BC在B点相切连接，半圆轨道半径为R，轨道AB、BC在同一竖直平面内．一质量为m的物块在A处压缩弹簧，并由静止释放，物块恰好能通过半圆轨道的最高点C.已知物块在到达B点之前已经与弹簧分离，重力加速度为g.求：
(1)物块由C点平抛出去后在水平轨道上的落点到B点的距离；
(2)物块在B点时对半圆轨道的压力大小；
(3)物块在A点时弹簧的弹性势能．
【答案】　(1)2R　(2)6mg　(3)mgR
【解析】　(1)因为物块恰好能通过C点，则有：mg＝m
x＝vCt，2R＝gt2
解得x＝2R
即物块在水平轨道上的落点到B点的距离为2R；
(2)物块由B到C过程中机械能守恒，
则有mv＝2mgR＋mv
设物块在B点时受到的半圆轨道的支持力为FN，
则有：FN－mg＝m，
解得FN＝6mg
由牛顿第三定律可知，物块在B点时对半圆轨道的压力大小FN′＝FN＝6mg.
(3)由机械能守恒定律可知，物块在A点时弹簧的弹性势能为
Ep＝2mgR＋mv，解得Ep＝mgR.
18.如图所示，AB为光滑的水平面，BC是倾角为α的足够长的光滑斜面，斜面体固定不动。AB、BC间用一小段光滑圆弧轨道相连。一条长为L的均匀柔软链条开始时静置在ABC面上，其一端D至B的距离为L－a。现自由释放链条，则：
(1)链条下滑过程中，系统的机械能是否守恒？简述理由；
(2)链条的D端滑到B点时，链条的速率为多大？
【答案】(1)机械能守恒，理由见解析
(2)
【解析】(1)链条在下滑过程中机械能守恒，因为斜面BC和水平面AB均光滑，链条下滑时只有重力做功，符合机械能守恒的条件。
(2)设链条质量为m，可以认为始、末状态的重力势能变化是由L－a段下降引起的，如图所示。
该部分高度减少量
h＝sin
α＝sin
α
该部分的质量为m′＝(L－a)
由机械能守恒定律可得m′gh＝mv2
解得v＝。
19．(2020·甘肃兰州市检测)如图所示，竖直平面内固定着由两个半径均为R的四分之一圆弧构成的细管道ABC，圆心连线O1O2水平．轻弹簧左端固定在竖直挡板上，右端靠着质量为m的小球(小球的直径略小于管道内径)，长为R的薄板DE置于水平面上，薄板的左端D到管道右端C的水平距离为R.开始时弹簧处于锁定状态，具有一定的弹性势能．解除锁定，小球离开弹簧后进入管道，最后从C点抛出(不计一切摩擦，重力加速度为g)，小球经C点时对轨道外侧的弹力大小为mg.
(1)求弹簧锁定时具有的弹性势能Ep；
(2)试通过计算判断小球能否落在薄板DE上．
【答案】　(1)3mgR　(2)见解析
【解析】　(1)从解除弹簧锁定到小球运动到C点的过程，弹簧和小球组成的系统机械能守恒，设小球到达C点的速度大小为v1，根据机械能守恒定律可得Ep＝2mgR＋mv
由题意知，小球经C点时所受的弹力的大小为mg，方向竖直向下，由牛顿第二定律，
mg＋mg＝
联立解得v1＝，Ep＝3mgR.
(2)小球离开C点后做平抛运动，设从抛出到落到水平面上的时间为t，根据平抛运动规律有
2R＝gt2，x＝v1t
解得x＝2R>2R
所以小球不能落在薄板DE上．
20.如图所示，半径为R的光滑圆周轨道AB固定在竖直平面内，O为圆心，OA与水平方向的夹角为30°，OB在竖直方向．一个可视为质点的小球从O点正上方某处以某一水平初速度向右抛出，小球恰好能无碰撞地从A点进入圆轨道内侧，此后沿圆轨道运动到达B点．已知重力加速度为g，求：(不计空气阻力)
(1)小球初速度的大小；
(2)小球运动到B点时对圆轨道压力的大小．
【答案】　(1)　(2)6mg
【解析】　(1)设小球的初速度大小为v0，飞行时间为t，则在水平方向有Rcos
30°＝v0t
在竖直方向有h1＝gt2，vy＝gt
小球运动到A点时与轨道无碰撞，故tan
30°＝
联立解得v0＝，h1＝R.
(2)抛出点距轨道最低点的高度h＝R＋Rsin
30°＋h1
设小球运动到最低点B时速度为v，圆轨道对小球的弹力大小为FN，
根据机械能守恒有mgh＋mv＝mv2
根据牛顿第二定律有FN－mg＝m
联立解得FN＝6mg
由牛顿第三定律，在B点时小球对圆轨道的压力大小为FN′＝FN＝6mg.
21．(2020·陕西商洛市调研)如图甲所示，竖直平面内的光滑轨道由倾斜直轨道AB和圆轨道BCD组成，AB和BCD相切于B点，CD连线是圆轨道竖直方向的直径(C、D为圆轨道的最低点和最高点)，已知∠BOC＝30°.可视为质点的小滑块从轨道AB上高H处的某点由静止滑下，用力传感器测出小滑块经过圆轨道最高点D时对轨道的压力为F，并得到如图乙所示的压力F与高度H的关系图象，取g＝10
m/s2.求：
(1)滑块的质量和圆轨道的半径；
(2)是否存在某个H值，使得小滑块经过最高点D后能直接落到直轨道AB上与圆心等高的点？若存在，请求出H值；若不存在，请说明理由．
【答案】　(1)0.1
kg　0.2
m　(2)存在　0.6
m
【解析】　(1)设小滑块的质量为m，圆轨道的半径为R
根据机械能守恒定律得mg(H－2R)＝mv，由牛顿
第三定律可知轨道对小滑块的支持力F′＝F，由牛顿第二定律有，F′＋mg＝
得：F＝F′＝－mg＝－5mg
取点(0.50
m,0)和(1.00
m,5.0
N)代入上式得：
m＝0.1
kg，R＝0.2
m
(2)假设小滑块经过最高点D后能直接落到直轨道AB上与圆心等高的E点，如图所示，
由几何关系可得
OE＝＝0.4
m
设小滑块经过最高点D时的速度为vD′
由题意可知，小滑块从D点运动到E点，水平方向的位移为OE，竖直方向上的位移为R，则OE＝vD′t，R＝gt2
解得vD′＝2
m/s
而小滑块过D点的临界速度vD0＝＝
m/s
由于vD′＞vD0，所以存在一个H值，使得小滑块经过最高点D后能直接落到直轨道AB上与圆心等高的点，由机械能守恒定律得
mg(H－2R)＝mvD′2
解得H＝0.6
m.
22.如图所示，一内壁光滑的细管弯成半径为R＝0.4
m的半圆形轨道CD，竖直放置，其内径略大于小球的直径，水平轨道与竖直半圆轨道在C点平滑连接．置于水平轨道上的弹簧左端与竖直墙壁相连，B处为弹簧的自然状态．将一个质量为m＝0.8
kg的小球放在弹簧的右侧后，用力水平向左推小球而压缩弹簧至A处，然后将小球由静止释放，小球运动到C处时对轨道的压力大小为F1＝58
N．水平轨道以B处为界，左侧AB段长为x＝0.3
m，与小球间的动摩擦因数为μ＝0.5，右侧BC段光滑．g＝10
m/s2，求：
(1)弹簧在压缩时所储存的弹性势能；
(2)小球运动到轨道最高处D点时对轨道的压力．
【答案】：(1)11.2
J　(2)10
N，方向竖直向上
【解析】：(1)对小球在C处，由牛顿第二定律及向心力公式得F1－mg＝m，v1＝
＝
m/s＝5
m/s.
从A到B由动能定理得
Ep－μmgx＝mv，Ep＝mv＋μmgx＝×0.8×52
J＋0.5×0.8×10×0.3
J＝11.2
J.
(2)从C到D，由机械能守恒定律得：
mv＝2mgR＋mv，v2＝＝
m/s＝3
m/s，
由于v2>＝2
m/s，
所以小球在D处对轨道外壁有压力．
小球在D处，由牛顿第二定律及向心力公式得F2＋mg＝m，F2＝m＝0.8×
N＝10
N.
由牛顿第三定律可知，小球在D点对轨道的压力大小为10
N，方向竖直向上．
23．(2019年福州中学模拟)如图所示，滑块质量为m，与水平地面间的动摩擦因数为0.1，它以v0＝3
的初速度由A点开始向B点滑行，AB＝5R，并滑上光滑的半径为R的圆弧BC，在C点正上方有一离C点高度也为R的旋转平台，沿平台直径方向开有两个离轴心距离相等的小孔P、Q，孔径大于滑块的大小，旋转时两孔均能达到C点的正上方。求：(1)滑块运动到光滑轨道B点时对轨道的压力大小；(2)若滑块滑过C点后穿过P孔，求滑块过P点后还能上升的最大高度；(3)若滑块滑过C点
后从P孔上升又恰能从Q孔落下，平台转动的角速度ω应满足什么条件？
【答案】：(1)设滑块滑至B点时速度为vB，对滑块由A点到B点应用动能定理有－μmg·5R＝mv－mv
对滑块在B点，由牛顿第二定律有N－mg＝m
解得N＝9mg
由牛顿第三定律可知，滑块在B点时对轨道的压力大小为N′＝N＝9mg
方向向下
(2)滑块从B点开始运动后机械能守恒，设滑块到达P处时速度为vP，
则mv＝mv＋mg·2R
解得vP＝2
滑块穿过P孔后再上升机械能仍守恒，设能上升的最大高度为h
由mv＝mg·h
得到h＝2R
滑块过P点后还能上升的最大高度为2R
(3)滑块穿过P孔后再回到平台的时间
t＝＝4
要想实现题述过程，需满足ωt＝(2n＋1)π
ω＝(n＝0，1，2…)

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