资源简介

2011年全国各地中考数学压轴题专集
目 录
一、图象信息
二、一元二次方程
三、反比例函数
四、二次函数
五、概率
六、三角形
七、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形
八、圆
九、综合型问题
十、动态综合型问题
一、图象信息
1．甲、乙两车在连通A、B、C三地的公路上行驶，甲车从A地出发匀速向C地行驶，同时乙车从C地出发匀速向B地行驶，到达B地并在B地停留1小时后，按原路原速返回到C地．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距B地的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象回答下列问题：
（1）求甲、乙两车的速度，并在图中（ ）内填上正确的数；
（2）求乙车从B地返回到C地的过程中，y与x之间的函数关系式；
（3）当甲、乙两车行驶到距B地的路程相等时，甲、乙两车距B地的路程是多少？
2．有一批物资，先用火车从M地运往距M地180千米的火车站，再由汽车运往N地．甲车在驶往N地的途中发生故障，司机马上通知N地，并立即检查和维修．N地在接到通知后第12分钟时，立即派乙车前往接应．经过抢修，甲车在乙车出发第8分钟时修复并继续按原速行驶，两车在途中相遇．为了确保物资能准时运到N地，随行人员将物资全部转移到乙车上（装卸货物时间和乙车掉头时间忽略不计），乙车按原速原路返回，并按预计时间准时到达N地．下图是甲、乙两车离N地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象。请结合图象信息解答下列问题：
（1）请直接在坐标系中的（ ）内填上数据；
（2）求直线CD的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）求乙车的行驶速度．
3．如图1，某容器由A、B、C三个长方体组成，其中A、B、C的底面积分别为25cm2、10cm2、5cm2，C的容积是容器容积的 （容器各面的厚度忽略不计）．现以速度v（单位：cm3/s）均匀地向容器注水，直至注满为止．图2是注水全过程中容器的水面高度h（单位：cm）与注水时间t（单位：s）的函数图象．
（1）求A的高度hA及注水的速度v；
（2）求注满容器所需时间及容器的高度．
4．如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）．现将甲槽中的水匀速注人乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y（厘米）与注水时间x（分钟）之间的关系如图2所示．根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）图2中折线ABC表示_______槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段DE表示_______槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空选填“甲”或“乙”），点B的纵坐标表示的实际意义是__________________________；
（2）注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相同？
（3）若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积；
（4）若乙槽中铁块的体积为112立方厘米，求甲槽底面积（壁厚不计）．
5．小明从家骑自行车出发，沿一条直路到相距2400m的邮局办事，小明出发的同时，他的爸爸以96m/min的速度从邮局沿同一条道路步行回家，小明在邮局停留2 min后沿原路以原速返回．设他们出发后经过t min时，小明与家之间的距离为s1 m，小明爸爸与家之间的距离为s2 m，图中折线OABD、线段EF分别表示s1、s2与t之间函数关系的图象。
（1）求s2与t之间的函数关系式；
（2）小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸爸？这时他们距离家还有多远？
6．因长期干旱，甲水库蓄水量降到了正常水位的最低值．为灌溉需要，由乙水库向甲水库匀速供水，20h后，甲水库打开一个排灌闸为农田匀速灌溉，又经过20h，甲水库打开另一个排灌闸同时灌溉，再经过40h，乙水库停止供水．甲水库每个排灌闸的灌溉速度相同，图中的折线表示甲水库蓄水量Q（万m3）与时间t（h）之间的函数关系．
求：（1）线段BC的函数表达式；
（2）乙水库供水速度和甲水库一个排灌闸的灌溉速度；
（3）乙水库停止供水后，经过多长时间甲水库蓄水量又
降到了正常水位的最低值？
7．小华观察钟面（图1），了解到钟面上的分针每小时旋转360度，时针毎小时旋转30度．他为了进一步探究钟面上分针与时针的旋转规律，从下午2 : 00开始对钟面进行了一个小时的观察．为了探究方便，他将分针与分针起始位置OP（图2）的夹角记为y1，时针与OP的夹角记为y2度（夹角是指不大于平角的角），旋转时间记为t分钟．观察结束后，利用获得的数据绘制成图象（图3），并求出y1与t的函数关系式：
y1＝ eq \b\lc\{()
请你完成：
（1）求出图3中y2与t的函数关系式；
（2）直接写出A、B两点的坐标，并解释这两点的实际意义；
（3）若小华继续观察一个小时，请你在图3中补全图象．
8．周六上午8∶00小明从家出发，乘车1小时到郊外某基地参加社会实践活动，在基地活动2.2小时后，因家里有急事，他立即按原路以4千米/小时的平均速度步行返回，同时他的爸爸开车从家出发沿同一路线接他，在离家28千米处与小明相遇，接到小明后保持车速不变，立即按原路返回．设小明离开家的时间为x小时，小名离家的路程y （干米）与x （小时）之间的函数图象如图所示．
（1）小明去基地乘车的平均速度是______千米/小时，爸爸开车的平均速度是______千米/小时；
（2）求线段CD所表示的函数关系式；
（3）小明能否在12∶00前回到家？若能，请说明理由；若不能，请算出12∶00时他离家的路程．
9．由于受金融危机的影响，某店经销的甲型号手机今年的售价比去年每部降价500元．如果卖出相同数量的手机，那么去年销售额为8万元，今年销售额只有6万元．
（1）今年甲型号手机每部售价为多少元？
（2）为了提高利润，该店计划购进乙型号手机销售，已知甲型号手机每部进价为1000元，乙型号手机每部进价为800元，预计用不多于1.84万元且不少于1.76万元的资金购进这两种手机共20部，请问有几种进货方案？
（3）若乙型号手机的售价为1400元，为了促销，公司决定每售出一部乙型号手机，返还顾客现金a元，而甲型号手机仍按今年的售价销售，要使（2）中所有方案获利相同，a应取何值？
10．星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成 ．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．
（1）若平行于墙的一边的长为y米，直接写出y与x之间的函数关系式及其自变量x的取值范围；
（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；
（3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图像，直接写出x的取值范围．
11．为了保护水资源，某市制定了一套节水的管理措施，其中对居民生活用水收费作如下规定：
月用水量（吨） 单价（元／吨）
不大于10吨部分 1.5
大于10吨不大于m吨部分（20≤m≤50） 2
大于m吨部分 3
（1）若某用户六月份用水量为18吨，求其应缴纳的水费；
（2）记该用户六月份用水量为x吨，缴纳水费为y元，试列出y与x的函数式；
（3）若该用户六月份用水量为40吨，缴纳水费y元的取值范围为70≤y≤90，试求m的取值范围．
12．在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，每次向上平移2个单位长度或向右平移1个单位长度．
（1）实验操作：
在平面直角坐标系中描出点P从点O出发，平移1次后，2次后，3次后可能到达的点，并把相应点的坐标填写在表格中：
（2）观察发现：
任一次平移，点P可能到达的点在我们学过的一种函数的图象上，如：平移1次后在函数________________的图象上；平移2次后在函数________________的图象上……由此我们知道，平移次后在函数________________的图象上．（请填写相应的解析式）
（3）探索运用：
点P从点O出发经过次平移后，到达直线y＝x上的点Q，且平移的路径长不小于50，不超过56，求点Q的坐标．
13．某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃的一边靠墙（墙的长度不限），另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图所示的长方形ABCD．已知木栏总长为120米，设AB边的长为x米，长方形ABCD的面积为S平方米．
（1）求S与x之间的函数关系式，当x为何值时，S取得最值（请指出是最大值还是最小值）？并求出这个最值；
（2）学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆．其圆心分别为O1和O2，且O1到AB、BC、AD的距离与O2到CD、BC、AD的距离都相等，并要求在苗圃内药材种植区域外四周至少要留够0.5米宽的平直路面，以方便同学们参观学习．当（1）中S取得最值时，请问这个设计是否可行？若可行，求出圆的半径；若不可行，请说明理由．
14．王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔．已知第一条边长为a米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米．
（1）请用a表示第三条边长；
（2）问第一条边长可以为7米吗？请说明理由，并求出a的取值范围；
（3）能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法；若不能，请说明理由．
15．李明在小岛上的A处，上午8时测得在A的北偏东60 的D处有一艘轮船，9时20分测得该船航行到北偏西60 的C处，9时40分测得该船到达位于A正西方5千米的港口B处，如果该船始终保持匀速直线运动，求：
（1）A、C之间的距离；
（2）轮船的航行速度．
16．长江沿岸的甲乙两港相距300千米，甲港在乙港的上游，满载货物的货轮从乙港出发，到达甲港卸货后，再空载返回乙港，货轮离开乙港的路程s（千米）随时间t（小时）的变化关系如图所示．已知货轮空载时在静水中的速度比满载时在静水中的速度快5千米/小时．
（1）求长江水流速度及货轮空载时在静水中的速度；
（2）若货轮在距甲港90千米时接到警报，将有台风影响航道安全，预报再过4小时此段航道将有暴风雨，为了安全，货船必须在4小时之内进入甲港避风．现决定从甲港派出一艘大马力的动力拖轮，遇到货轮后，将其快速拖到甲港．动力拖轮拖着货轮在静水中的速度，是它们分别在静水中速度的平均值．动力拖轮在静水中速度是40千米/小时．问：能否在规定时间内将货轮拖到甲港？请说明理由．
17．在海岸上A处，发现北偏东45°方向、距离为 －1海里的B处有一走私船．在A处北偏西75°方向、距离为 2海里的C处的我方缉私艇奉命以每小时10 海里的速度向走私船追去，这时走私船正以每小时10海里的速度从B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私艇沿什么方向行驶，才能在最短时间内追上走私船？并求出所需时间．（结果保留根号）
18．李明在进行投篮训练，他从距地面高1.55米处的O点向篮圈中心A点投出一球，球的飞行路线为抛物线，当球达到距地面最高点3.55米时，球移动的水平距离为2米．以O点为坐标原点，建立直角坐标系（如图所示），测得OA与水平方向OB的夹角为30°，A、B两点相距1.5米．
（1）求篮球飞行路线所在抛物线的解析式；
（2）判断李明这一投能否把球从O点直接投入篮圈A点（排除篮板球），如果能，请说明理由；如果不能，那么李明应向前或向后移动多少米，才能投入篮圈A点？（结果保留根号）
二、一元二次方程
1．已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x 2－( 2k＋3 )x＋k 2＋3k＋2＝0的两个实数根，第三边长为5．
（1）当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；
（2）当k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长．
2．已知△ABC的三边长为a、b、c，关于x的方程x 2－2( a＋b )x＋c 2＋2ab＝0有两个相等的实数根，又sinA、sinB是关于x的方程( m＋5 )x 2－( 2m－5 )x＋m－8＝0的两个实数根．
（1）求m的值；
（2）若△ABC的外接圆面积为25π，求△ABC的内接正方形的边长．
3．已知关于x的方程x 2－( m＋n＋1)x＋m＝0（n≥0）的两个实数根为α、β，且α≤β．
（1）试用含有α、β的代数式表示m和n；
（2）求证：α≤1≤β；
（3）若点P（α，β）在△ABC的三条边上运动，且△ABC顶点的坐标分别为A（1，2），B（ ，1），C（1，1），问是否存在点P，使m＋n＝ ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4．请阅读下列材料：
问题：已知方程x 2＋x－1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x＝ ．
把x＝ 代入已知方程，得()2＋ －1＝0．
化简，得y 2＋2y－4＝0．
故所求方程为y 2＋2y－4＝0．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）；
（1）已知方程x 2＋x－2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：___________________；
（2）已知关于x的一元二次方程ax 2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
5．已知关于x的一元二次方程x 2－2x－a 2－a＝0（a＞0）．
（1）证明这个方程的一个根比2大，另一个根比2小；
（2）如果当a＝1，2，3，…，2011时，对应的一元二次方程的两个根分别为α1、β1，α2、β2，α3、β3，…，α2011、β2011，求 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ … ＋ ＋ 的值．
6．已知关于x的一元二次方程x 2－(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca＝0，且a＞b＞c＞0．
（1）若方程有实数根，求证：a，b，c不能构成一个三角形的三边长；
（2）若方程有实数根x0，求证：b＋c＜x0＜a；
（3）若方程的实数根为6和9，求正整数a，b，c的值．
7．已知方程x 2＋2ax＋a－4＝0有两个不同的实数根，方程x 2＋2ax＋k＝0也有两个不同的实数根，且其两根介于方程x 2＋2ax＋a－4＝0的两根之间，求k的取值范围．
8．已知关于x的方程x 2－4|x|＋3＝k．
（1）当k为何值时，方程有4个互不相等的实数根？
（2）当k为何值时，方程有3个互不相等的实数根？
（3）当k为何值时，方程有2个互不相等的实数根？
（4）是否存在实数k，使得方程只有1个实数根？若存在，求k的值和方程的根；若不存在，请说明理由．
9．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4x 2＋4(m－1)x＋m 2＝0的两个非零实数根，则x1与x2能否同号？若能同号，请求出相应的m的取值范围；若不能同号，请说明理由．
10．已知α、β为关于x的方程x 2－2mx＋3m＝0的两个实数根，且(α－β)2＝16，如果关于x的另一个方程x 2－2mx＋6m－9＝0的两个实数根都在α和β之间，求m的值．
11．已知a为实数，且关于x的二次方程ax 2＋(a 2＋1)x－a＝0的两个实数根都小于1，求这两个实数根的最大值．
12．求实数a的取值范围，使关于x的方程x 2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0
（1）有两个实根x1、x2，且满足0＜x1＜1＜x2＜4；
（2）至少有一个正根．
13．已知x1、x2是方程x 2－mx－1＝0的两个实数根，满足x1＜x2，且x2≥2．
（1）求m的取值范围；
（2）若 ＋ ＝2，求m的值．
14．已知关于x的方程x 2－(m－2)x－ ＝0（m≠0）
（1）求证：这个方程总有两个异号实根；
（2）若这个方程的两个实根x1、x2满足| x2|＝| x1|＋2，求m的值及相应的x1、x2．
15．已知△ABC的一边长为5，另两边长恰是方程2x 2－12x＋m＝0的两个根，求m的取值范围．
16．已知：α，β（α＞β）是一元二次方程x 2－x－1＝0的两个实数根，设s1＝α＋β，s2＝α 2＋β 2，…，
sn＝α n＋β n．根据根的定义，有α 2－α－1＝0，β 2－β－1＝0，将两式相加，得(α 2＋β 2)－(α＋β)－2＝0，于是，得s2－s1－2＝0．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）利用配方法求α，β的值，并直接写出s1，s2的值；
（2）猜想：当n≥3时，sn，sn-1，sn-2之间满足的数量关系，并证明你的猜想的正确性；
（3）根据（2）中的猜想，求( EQ \F(1＋ , 2 ) )8＋( EQ \F(1－ , 2 ) )8的值．
17．已知方程(x－1)(x 2－2x＋m)＝0的三个实数根恰好构成△ABC的三条边长．
（1）求实数m的取值范围；
（2）当△ABC为直角三角形时，求m的值和△ABC的面积．
三、反比例函数
1．如图，点A、B在反比例函数y＝－ 的图象上，且点A、B的横坐标分别为a、2a（a＜0）．
（1）求△AOB的面积；
（2）若点C在x轴上，点D在y轴上，且四边形ABCD为正方形，求a的值．
2．如图，点P是反比例函数y＝－ （x＜0）图象上一动点，点A、B分别在x轴，y轴上，且OA＝OB＝2，PM⊥x轴于M，交AB于E，PN⊥y轴于N，交AB于F．
（1）当动点P的纵坐标为 时，连接OE、OF，求△EOF的面积；
（2）设动点P的坐标为P（a，b）（－2＜a＜0，0＜b＜2且| a |≠| b |），其他条件不变，探索：以AE、EF、BF为边的三角形是怎样的三角形？并证明你的结论．
3．如图，在△OAB中，OA＝OB，点A坐标为（－3，3），点B在x轴负半轴上．
（1）将△OAB沿x轴向右平移a个单位后，点A恰好落在反比例函数y＝ EQ \F(6, x ) 的图象上，求a的值；
（2）将△OAB绕点O按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜90°）．
①当α＝30°时，点B恰好落在反比例函数y＝ 的图象上，求k的值；
②点A、B能否同时落在①中的反比例函数的图象上，若能，求α角的大小；若不能，请说明理由．
4．如图，△AOB为等腰直角三角形，斜边OB在x轴上，一次函数y＝3x－4的图象经过点A，交y轴于点C，反比例函数y＝ （x＞0）的图象也经过点A．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过O点作OD⊥AC于D点，求CD 2－AD 2的值；
（3）若点P是x轴上的动点，在反比例函数的图象上是否存在点Q，使得△PAQ为等腰直角三角形？若存在，求点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
5．如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象交反比例函数y＝ （x＞0）图象于点A、B，交x轴于点C．
（1）求的m的取值范围；
（2）若点A的坐标是（2，－4），且 ＝ ，求m的值和一次函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，设点P是一次函数图象上的第一、四象限内的动点，点Q是反比例函数图象上的动点，过点P作PP1⊥x轴于P1，PP2⊥y轴于P2；过点Q作QQ1⊥x轴于Q1，QQ2⊥y轴于Q2．设点P的横坐标为x，请直接写出使四边形PP1OP2的面积小于四边形QQ1OQ2的面积的x的取值范围．
6．在平面直角坐标系xOy中，直线l1过A（1，0）且与y轴平行，直线l2过点B（0，2）且与x轴平行，直线l1与l2相交于点P．点E为直线l2上一点，反比例函数y＝ （k＞0）的图象过点E且与直线l1相交于点F．
（1）若点E与点P重合，求k的值；
（2）连接OE、OF、EF．若k＞2，且△OEF的面积为△PEF的面积的2倍，求点E的坐标；
（3）是否存在点E及y轴上的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等？若存在，求点E的坐标，若不存在，请说明理由．
7．如图，已知直线l经过点A（1，0），且与曲线y＝ （x＞0）交于点B（2，1）．过点P（p，p－1)（p＞1）作x轴的平行线分别交曲线y＝ （x＞0）和y＝－ （x＜0）于M、N两点．
（1）求m的值及直线l的解析式；
（2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；
（3）是否存在实数p，使得S△AMN ＝4S△APM？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．
8．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y＝ （x＞0）图象上的任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x、y轴分别交于点A、B．
（1）判断P是否在线段AB上，并说明理由；
（2）求△AOB的面积；
（3）Q是反比例函数y＝ （x＞0）图象上异于点P的另一点，请以Q为圆心，QO半径画圆与x、y轴分别交于点M、N，连接AN、MB．求证：AN∥MB．
9．如图，将—矩形OABC放在直角坐标系中，O为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点E是边AB上的—个动点（不与点A、B重合），过点E的反比例函数y＝ （x＞0）的图象与边BC交于点F．
（1）若△OAE、△OCF的面积分别为S1、S2，且S1＋S2＝2，求k的值；
（2）若OA＝2，OC＝4，问当点E运动到什么位置时，四边形OAEF的面积最大，其最大值为多少？
10．如图，已知抛物线y＝( 3－m )x 2＋2( m－3 )x＋4m－m 2的顶点A在双曲线y＝ 上，直线y＝mx＋b经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C．
（1）求直线AB的解析式；
（2）将直线AB绕点O顺时针旋转90°，与x轴交于点D，与y轴交与点E，求sin∠BDE的值；
（3）过点B作x轴的平行线与双曲线交于点F，点M在直线BF上，且到抛物线的对称轴的距离为6．若点N在直线BF上，直接写出使得∠AMB＋∠ANB＝45°的点N的坐标．
11．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝mx（m＞0）与双曲线y＝ 交于A、B两点，过点A作AC∥x轴，过点B作BC∥y轴，AC与BC交于点C，AC与y轴交于点M，BC与x轴交于点N，若∠BAC＝60°，AB＝4．
（1）求m、k的值；
（2）将一把三角尺的直角顶点放在原点O处，绕着点O旋转三角尺，三角尺的两直角边分别交射线CA、射线BC于点P、Q，设点P的横坐标为x，PQ的长为L，当点P在边AC上运动时，求L与x的函数关系式；
（3）当△PQC的面积为 EQ \F(, 2 ) 时，求点P的坐标．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ax＋1（a≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，与双曲线y＝ 在第三象限的交点为C（－2 ，m），且△AOB的面积为 EQ \F(, 2 )．
（1）求a、m、k的值；
（2）以BC为一边作等边三角形BCD，求D点的坐标．
13．已知一次函数y＝2 x＋8 与反比例函数y＝ 的图象相交于A、B两点，点A的横坐标为x1，点B的横坐标为x2，且x1－x2＝2．
（1）求k的值；
（2）求△AOB的面积；
（3）若一条开口向下的抛物线经过A、B两点，并在过点A且与OB平行的直线上截得的线段长为 ，求抛物线的解析式．
14．如图，已知A、B两点的坐标分别为A（0，2 ），B（2，0）直线AB与反比例函数y＝ 的图象交与点C和点D（－1，a）．
（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）求∠ACO的度数；
（3）将△OBC绕点O逆时针方向旋转α角（α为锐角），得到△OB′C′，当α为多少度时OC′⊥AB，并求此时线段AB′ 的长．
15．在矩形AOBC中，OA＝4，OB＝6．分别以OB、OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数y＝ （k＞0）的图象与AC边交于点E．
（1）若点E的坐标为（2，4），求经过O、E、F三点的抛物线的解析式；
（2）设点P是（1）中所求抛物线上一点，且△PEF的面积等于△OEF的面积，求点P的坐标；
（3）是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出此时OF的长；若不存在，请说明理由．
16．如图，矩形ABCD的顶点A在坐标原点，顶点B坐标为（－2，1），顶点C在y轴上．
（1）求顶点D的坐标；
（2）将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，使点D落在x轴的点G处，得到矩形AEFG，EF与AD交于点M，过点M的反比例函数图象交FG于点N，求△AMN的面积；
（3）求证：△AMN是直角三角形．
17．如图，已知反比例函数y＝ （m是常数，m≠0），一次函数y＝ax＋b（a、b为常数，a≠0），其中一次函数与x轴，y轴的交点分别是A（－4，0），B（0，2）．
（1）求一次函数的关系式；
（2）反比例函数图象上有一点P满足：①PA⊥x轴；②PO＝ （O为坐标原点），求反比例函数的关系式；
（3）求点P关于原点的对称点Q的坐标，判断点Q是否在该反比例函数的图象上．
18．如图，已知反比例函数y＝ （m＞0）的图象与一次函数y＝－x＋b的图象分别交于A（1，3）、B两点．
（1）求m、b的值；
（2）若点M是反比例函数图象上的一动点，直线MC⊥x轴于C，交直线AB于点N，MD⊥y轴于D，NE⊥y轴于E．设四边形MDOC、NEOC的面积分别为S1、S2，S＝S2－S1，求S的最大值．
19．如图，已知函数y＝ （x＞0）的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于点A（1，m），B（n，2）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）将一次函数y＝kx＋b的图象沿x轴负方向平移a（a＞0）个单位长度得到新图象，求这个新图象与函数y＝ （x＞0）的图象只有一个交点M时a的值及交点M的坐标．
20．如图，一次函数的图象与反比例函数y1＝－ （x＜0）的图象相交于A点，与y轴、x轴分别相交于B、C两点，且C（2，0）．当x＜－1时，一次函数值大于反比例函数值，当x＞－1时，一次函数值小于反比例函数值．
（1）求一次函数的解析式；
（2）设函数y2＝ （x＞0）的图象与y1＝－ （x＜0）的图象关于y轴对称，在y2＝ （x＞0）的图象上取一点P（P点的横坐标大于2），过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，若四边形BCQP的面积等于2，求P点的坐标．
21．如图，已知二次函数y＝ax 2＋2x＋c（a＞0）图象的顶点M在反比例函数y＝ 的图象上，且与x轴相交于A、B两点．
（1）若二次函数图象的对称轴为x＝－ ，试求a、c的值；
（2）在（1）的条件下，求线段AB的长；
（3）若二次函数图象的对称轴与x轴的交点为N，当NO＋MN取最小值时，试求二次函数的解析式．
22．如图，一次函数y＝k x＋4的图象与反比例函数y＝ （x＞0，m＞0）的图象交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于C、D两点．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若△COD的面积是△AOB的面积的 倍，求k与m之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数k和m，使得以AB为直径的圆经过点P（2，0）？若存在，求出k和m的值；若不存在，请说明理由．
23．已知一次函数y＝－ x＋b的图象与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于C、D两点．
（1）如图1，若AB＝2AC，求b的值；
（2）在（1）的条件下，将一块直角三角板的直角顶点P放在反比例函数y＝ （x＞0）图象的AB段上滑动，两直角边始终与坐标轴平行，且与线段AB分别交于Q、R两点．设点P的横坐标为x，QR的长为L，求L关于x的函数关系式，并求L的最大值；
（3）如图2，过点A作直线AE∥x轴，交y轴于点E；过点B作直线BF∥y轴交x轴于点F，交直线AE于点G．当四边形OAGB的面积为8时，请判断线段AE与AG的大小关系，并说明理由．
24．如图，已知反比例函数y＝ 的图象经过A（－1，a）、B（2，a＋3）两点，点C的坐标为（－1，0）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在反比例函数y＝ 的图象上求点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是梯形．
25．如图，在平面直角坐标系中，双曲线y＝ 过点A（－4，1），点P是双曲线上一动点（不与A重合），过点A和P分别向两坐标轴作垂线，垂足分别为B、C和D、E．
（1）求k、S△ADC及S△PDC的值；
（2）判断AP和DC的位置关系，并说明理由；
（3）若点P在双曲线上运动时，探索以A、P、C、D四点为顶点的四边形能否成为菱形和等腰梯形？若能，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．
26．已知关于x的一元二次方程( a－1 )x 2＋( 2－3a )x＋3＝0．
（1）求证：当a取不等于1的实数时，此方程总有两个实数根；
（2）若m，n（m＜n）是此方程的两根，且 ＋ ＝ ，直线l：y＝mx＋n交x轴于点A，交y轴于点B，坐标原点O关于直线l的对称点O′ 在反比例函数y＝ 的图象上，求反比例函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，将直线l绕点A逆时针旋转θ角（0°＜θ＜90°），得到直线l′，l′ 交y轴于点P，过点P作x轴的平行线，与（2）中的反比例函数图象交于点Q，当四边形APQO′ 的面积为9－ EQ \F(3, 2 ) 时，求θ角的大小．
27．在平面直角坐标系中，一次函数y＝－ x＋5的图象交x轴于点A，交y轴于点B，交直线y＝x－1于点C，过点A作y轴的平行线交直线y＝x－1于点D，点E为线段AD上一点，且tan∠DCE＝ ．动点P从原点O出发沿OA边向点A匀速运动，同时，动点Q从B点出发沿BO边向原点O匀速运动，点P与点Q同时到达A点和O点，设BQ＝m．
（1）求点E的坐标；
（2）在整个运动过程中，是否存在这样的实数m，使得△PQD为直角三角形．若存在，求m的值；若不存在，请说明理由；
（3）反比例函数y＝ 的图象经过点C，R为y＝ 图象上一点，在整个运动过程中，若以P、Q、E、R为顶点的四边形是平行四边形，求R点的坐标．
四、二次函数
1．设函数y＝kx 2＋(2k＋1)x＋1（k为实数）．
（1）写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一直角坐标系中，用描点法画出这两个函数的图象；
（2）根据所画图象，猜想出：对任意实数k，函数的图象都具有的特征，并给予证明；
（3）对任意负实数k，当x＜m时，y随着x的增大而增大，试求出m的一个值．
2．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx 2＋( m－3)x－3（m＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A的坐标；
（2）当∠ABC＝45°时，求m的值；
（3）已知一次函数y＝kx＋b，点P（n，0）是x轴上的一个动点．在（2）的条件下，过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交二次函数y＝mx 2＋( m－3)x－3（m＞0）的图象于N．若只有当－2＜n＜2时，点M位于点N的上方，求这个一次函数的解析式．
3．已知平面直角坐标系xOy，一次函数y＝ x＋3的图象与y轴交于点A，点M在正比例函数y＝ x的图象上，且MO＝MA，二次函数y＝x 2＋bx＋c的图象经过点A、M．
（1）求线段AM的长；
（2）求这个二次函数的解析式；
（3）若点B在y轴上，点C在上述二次函数的图象上，点D在一次函数y＝ x＋3的图象上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标．
4．已知二次函数y＝ax 2＋bx＋c和一次函数y＝－bx，其中实数a、b、c满足a＞b＞c，a＋b＋c＝0．
（1）求证：这两个函数的图象交于不同的两点；
（2）设这两个函数的图象交于A、B两点，作AA1⊥x轴于A1，BB1⊥x轴于B1，求线段A1B1长的取值范围．
5．已知二次函数y＝ax 2－4bx＋4c（a＞0）有两个实数根x1，x2，且2≤x1＜x2≤3．
（1）求证：存在以a，b，c为边长的三角形；
（2）求证： ＜ ＋ ．
6．已知二次函数y＝x 2＋bx＋c（c＜0）的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，△ABC的外接圆的圆心为点P．
（1）证明：⊙P与y轴的另一个交点为定点；
（2）如果AB恰好为⊙P的直径且S△ABC ＝2，求b和c的值．
7．已知关于x的二次函数y1＝( m＋2)x 2－2x－1和y2＝( m＋2)x 2＋mx＋m＋1的图象都经过x轴上的点（n，0）．
（1）求m的值；
（2）将二次函数y1＝( m＋2)x 2－2x－1的图象先沿x轴翻折，再向下平移3个单位，得到一个新的二次函数y3的图象．
①求y3的解析式；
②在所给的坐标系中画出y2和y3的大致图象，并结合函数的图象回答：当x取何值时，y3＞y2？
8．已知关于x的方程： －a－1＝0有一个增根为b，另一根为c．
（1）求a、c的值；
（2）若二次函数y＝ax 2＋bx＋c＋7（－ ≤x ≤ ）图象与x轴交于E、F两点，在此二次函数的图象上求一点P，使△PEF的面积最大，求点P的坐标．
9．已知：二次函数y＝x 2＋bx－3的图象经过点P（－2，5）．
（1）求b的值，并写出当1＜x ≤3时y的取值范围；
（2）设P1（m，y1）、P2（m＋1，y2）、P3（m＋2，y3）在这个二次函数的图象上．
①当m＝4时，y1、y2、y3能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；
②当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．
10．已知A（1，0），B（0，－1），C（－1，2），D（2，－1），E（4，2）五个点，抛物线y＝a( x－1)2＋k（a＞0）经过其中的三个点．
（1）求证：C，E两点不可能同时在抛物线y＝a( x－1)2＋k（a＞0）；
（2）点A在抛物线y＝a( x－1)2＋k（a＞0）上吗？为什么？
（3）求a与k的值．
11．已知二次函数y＝x 2－(2m－1)x＋4m－6．
（1）试说明不论m取任何实数，函数图象都经过x轴上的一个定点A；
（2）设函数图象与x轴的另一个交点为B（A与B不重合），顶点为C，当△ABC为直角三角形时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，若点B在点A的右侧，点D的坐标为（0，3），点E是函数图象上一点．问：在x轴上是否存在点F，使得以D、E、F为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出F点坐标；若不存在，请说明理由．
12．已知二次函数y＝x 2＋bx＋c，其中函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
x … －1 0 1 2 3 …
y … 0 －5 －8 －9 －8 …
（1）求该二次函数的关系式，并在给定的坐标系中画出函数的图象；
（2）若A（m，y1），B（m＋4，y2）两点都在该函数的图象上．
①试比较y1与y2的大小；
②若A、B两点位于x轴的下方，点P为函数图象的对称轴与x轴的交点，点Q为函数图象上的一点，解答下列问题：
（Ⅰ）求实数m的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数m，使得以P、A、B、Q四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
13．已知二次函数y＝x 2－( 2a＋1 )x＋2a．
（1）若函数图象与x轴有两个不同交点，且分别位于点（2，0）的两侧，求实数a的取值范围；
（2）若函数图象不经过第三象限，且当x＞2时，函数值y随x的增大而增大，求实数a的取值范围．
14．已知关于x的一元二次方程x 2－4x＋c＝0有实数根，且c为正整数．
（1）求c的值；
（2）若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x 2－4x＋c与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C．点P为对称轴上一点，且四边形OBPC为直角梯形，求PC的长；
（3）将（2）中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点D的坐标为（m，n），当抛物线与直角梯形OBPC只有两个交点，且一个交点在PC边上时，直接写出m的取值范围．
15．已知一次函数y1＝2x，二次函数y2＝mx 2－3( m－1)x＋2m－1的图象关于y轴对称，y2 的顶点为A．
（1）求二次函数y2的解析式；
（2）将y2左右平移得到y3，y3交y2于点P，过P点作直线l∥x轴交y3于点Q，若△PAQ为等腰三角形，求P点坐标和函数y3的解析式；
（3）是否存在二次函数y4＝ax 2＋bx＋c，其图象经过点（－5，2），且对于任意一个实数x，y1≤y4≤y2均成立，若存在，求出函数y4的解析式；若不存在，请说明理由．
16．已知二次函数y＝ax 2＋bx＋c（a＞0）图象经过点C（0，1），且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标为（1，0）．
（1）求c的值；
（2）求a的取值范围；
（3）该二次函数的图象与直线y＝1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0＜a＜1时，求证：S1 － S2为常数，并求出该常数．
17．已知二次函数y＝ax 2＋bx＋c图象的顶点坐标为（2，4）．
（1）试用含a的代数式分别表示b，c；
（2）若一次函数y＝kx＋4（k≠0）图象与y轴及二次函数y＝ax 2＋bx＋c图象的交点依次为D、E、F，且 ＝ ，其中O为坐标原点，试用含a的代数式表示k；
（3）在（2）的条件下，若线段EF的长m满足3 ≤m≤3 ，试确定a的取值范围．
18．已知二次函数y＝－x 2＋bx＋c的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点（A在B的左侧），且x1＋x2＝4．
（1）求b的值及c的取值范围；
（2）若AB＝2，求二次函数的表达式；
（3）设该二次函数的图象与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点E．问是否存在这样的二次函数，使△AOC≌△BED？若存在，求二次函数的表达式；若不存在，请说明理由．
19．已知二次函数y＝x 2＋mx－ m 2（m＞0）的图象与x轴交于A、B两点．
（1）求证：该函数图象的对称轴在y轴的左侧；
（2）若 － ＝ （O为坐标原点），求二次函数的表达式；
（3）设函数图象与y轴交于点C，若△ABC是直角三角形．求△ABC的面积．
20．已知二次函数y＝－ x 2＋ x的图象如图所示．
（1）求它的对称轴与x轴交点D的坐标；
（2）将该函数图象沿它的对称轴向上平移，设平移后的图象与x轴，y轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB＝90°，求此时函数的解析式；
（3）设（2）中平移后的函数图象的顶点为M，以D为圆心，AB为直径作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由.
21．已知二次函数的图象经过点A（1，0）和点B（2，1），且与y轴交点的纵坐标为m．
（1）若m为定值，求此二次函数的解析式；
（2）若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围；
（3）若二次函数的图象截直线y＝－x＋1所得线段的长为2 ，求m的值．
22．已知二次函数y＝3ax 2＋2bx＋c．
（1）若a＝b＝1，c＝－1，求函数图象与x轴交点的坐标；
（2）若a＝b＝1，且当－1＜x＜1时，函数图象与x轴有且只有一个交点，求c的取值范围；
（3）若a＋b＋c＝0，且当x＝0和x＝1时，对应的函数值y均大于0．试判断当0＜x＜1时，函数图象与x轴是否有交点？请说明理由．
23．在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，2）作一直线与二次函数y＝ax 2（a＞0）图象交于A、B两点，且使∠AOB＝90°．
（1）判断A、B两点纵坐标的乘积是否为定值，并说明理由；
（2）求a的值；
（3）当△AOB的面积为4 时，求直线AB的解析式．
24．已知二次函数y＝x 2＋4x＋m（m为常数）的图象经过点（0，4），将该函数图象先向右、再向下平移得到一新的函数图象，已知平移后的函数图象满足下述两个条件：它的对称轴（设为直线l2）与平移前的函数图象的对称轴（设为直线l1）关于y轴对称；它所对应的函数的最小值为－8．
（1）求平移后的二次函数的表达式；
（2）试问在平移后的函数图象上是否存在点P，使得以3为半径的⊙P既与x轴相切，又与直线l2相交？若存在，请求出点P的坐标，并求出直线l2被⊙P所截得的弦AB的长度；若不存在，请说明理由．
25．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y＝x－1，令y＝0，可得x＝1，则1就是函数y＝x－1的零点．
己知函数y＝x 2－2mx－2( m＋3)（m为常数）．
（1）当m＝0时，求该函数的零点；
（2）证明：无论m取何值，该函数总有两个零点；
（3）设函数的两个零点分别为x1和x2，且 ＋ ＝－ ，此时函数图象与x轴的交点分别为A、B（点A在点B左侧），点M在直线y＝x－10上，当MA＋MB最小时，求直线AM的函数解析式．
26．已知二次函数y＝x 2－2mx＋m 2－4的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），且与y轴交于点D．
（1）当点D在y轴正半轴时，是否存在实数m，使得△BOD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；
（2）当m＝－1时，将函数y＝x 2－2mx＋m 2－4的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．当直线y＝ x＋b与这个新的图象有两个公共点时，求实数b的取值范围．
27．已知二次函数y＝x 2－2mx＋4m－8．
（1）当x≤2时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围；
（2）以抛物线y＝x 2－2mx＋4m－8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN（M，N两点在拋物线上），请问：△AMN的面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；
（3）若抛物线y＝x 2－2mx＋4m－8与x轴交点的横坐标均为整数，求整数m的值．
28．已知二次函数y＝ax 2＋bx＋c图象与一次函数y＝mx＋n图象相交于（0，－ ）和（m－b，m 2－mb＋n）两点（a，b，c，m，n均为实数，且a，m不为0）．
（1）求c的值；
（2）设二次函数图象与x轴的两个交点是（x1，0）和（x2，0），求x1x2的值；
（3）当－1≤x≤1时，设二次函数图象上与x轴距离最大的点为P（x0，y0），求此时| y0|的最小值．
29．已知二次函数y＝ax 2＋bx＋c的图象的顶点坐标为（0，），且ac＝ ．
（1）若该函数的图象过点（－1，－1）．
①求使y＜0成立的x的取值范围；
②若圆心在该函数的图象上的圆与x轴、y轴都相切，求圆心的坐标．
（2）过点A（0，p）的直线与该函数的图象相交于M，N两点，过M，N作x轴的垂线，垂足分别为M1，N1．设△MAM1，△AM1N1，△ANN1的面积分别为S1，S2，S3 ，是否存在m，使得对任意实数p≠0都有S22＝mS1S3 成立，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
30．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（3，0），第一象限内的点P在直线y＝2x上，且∠PAO＝45°．
（1）求点P的坐标；
（2）若二次函数的图象经过P、O、A三点，求该二次函数的解析式；
（3）设（2）中的二次函数图象的顶点为M，将该二次函数图象向上或向下平移，使它的顶点落在直线y＝2x上的点Q处，求△APM与△APQ的面积之比．
31．已知二次函数y＝－ x 2－2 (－a－1)x－ (－a 2－2a )的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x1＜1＜x2．
（1）求A、B两点的坐标（用a表示）；
（2）设二次函数图象的顶点为C，求△ABC的面积；
（3）若a是整数，P是线段AB上的一个动点（不与点A、B重合），在x轴上方作等边△APM和等边△BPN，记线段MN的中点为Q，求二次函数的解析式及线段PQ的长的取值范围．
32．已知二次函数y＝a( a＋1)x 2－( 2a＋1)x＋1（a是正整数）．
（1）求该函数图象与x轴相交所截得的线段的长；
（2）当a依次取1，2，3，…，n时，该函数图象与x轴相交所截得的n条线段的长分别为L1，L2，L3，…，Ln，求L1＋L2＋L3＋ … ＋Ln的值．
33．已知a＞b＞c，且2a＋3b＋4c＝0．
（1）求证：a＋b＋c＞0；
（2）若抛物线y＝ax 2＋bx＋c在x轴上截得的线段长为 EQ \F(, 6 )，求该抛物线的对称轴．
34．已知关于x的方程( a＋2)x 2－2ax＋a＝0有两个不相等的实数根x1和x2，且抛物线y＝x 2－(2a＋1)x＋2a－5与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两侧．
（1）求实数a的取值范围；
（2）当|x1|＋|x2|＝2时，求a的值．
35．已知二次函数y1＝ax 2－x＋c的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜0，x2＞0），与y轴的交点C在y轴的负半轴上，且tan∠ACO＝ ，S△ABC ＝3 ．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若该二次函数的图象与反比例函数y2＝ （k＜0）的图象在第二象限内的交点的横坐标x0满足－3＜x0＜－2，求k的取值范围．
36．已知方程ax 2＋bx＋1＝x（a＞0）的两个实数根为x1，x2．
（1）若x1＜2＜x2＜4，二次函数y＝ax 2＋bx＋1图象的对称轴为x＝x0，求证：x0＞－1；
（2）若| x1|＜2，| x2－x1|＝2，求b的取值范围．
37．已知二次函数y＝ax 2＋bx＋c（a＞0），且方程ax 2＋bx＋c＝x的两个根x1，x2满足0＜x1＜x2＜ ．
（1）求证：当0＜x＜x1时，x＜ax 2＋bx＋c＜x1；
（2）若二次函数y＝ax 2＋bx＋c的图象关于直线x＝x0对称，求证：x0＜ ．
38．已知关于x的二次方程x 2＋ax＋b＝0有两个实数根x1，x2．
（1）若|x1|＜2，|x2|＜2，求证：2|a|＜4＋b且|b|＜4；
（2）若2|a|＜4＋b且|b|＜4，求证：|x1|＜2，|x2|＜2．
39．已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，4），且| AB|＝2 ，图象的对称轴为x＝1．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若二次函数的图象都在直线y＝x＋m的下方，求m的取值范围．
40．已知二次函数y＝ax 2－4ax＋b（b＜0）的图象开口向上，与x轴的两个交点分别为A、B，且 ＝ （O为坐标原点），与y轴的交点为C（0，t），顶点的纵坐标为k，且|k－ |≤ ．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求t的取值范围；
（3）当t取最小值时，求该二次函数的表达式．
41．已知a，b为常数，当k取任意实数时，函数y＝(k 2＋k＋1)x 2－2(a＋k)2x＋(k 2＋3ak＋b)的图象与x轴都交于点A（1，0）．
（1）求a、b的值；
（2）若函数图象与x轴的另一个交点为B，当k变化时，求|AB|的取值范围．
42．已知二次函数y＝－x 2＋mx－m＋2．
（1）若该二次函数图象与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB＝ ，求m的值；
（2）设该二次函数图象与y轴的交点为C，二次函数图象上存在关于原点对称的两点M、N，且S△MNC ＝27，求m的值．
43．已知两个二次函数y1，y2，当x＝m（m＞0）时，y1取最小值6且y2＝5，又y2最小值为 ，y1＋y2＝2x 2－3x＋9．
（1）求m的值；
（2）求二次函数y1、y2的表达式．
44．已知ab≠0，且函数y1＝x 2＋2ax＋4b与y2＝x 2＋4ax＋2b有相同的最小值m，函数y3＝－x 2＋2bx＋4a与y4＝－x 2＋4bx＋2a有相同的最大值n，求证：m＋n＝0．
45．对于x的二次三项式ax 2＋bx＋c（a＞0）．
（1）当c＜0时，求函数y＝－2|ax 2＋bx＋c|－1的最大值；
（2）若不论k为任何实数，直线y＝k(x－1)－ 与抛物线y＝ax 2＋bx＋c有且只有一个公共点，求a、b、c的值．
46．已知二次函数y＝3ax 2＋2bx＋c，若a＋b＋c＝0，且当x＝0和x＝1时，函数值y均大于0．
（1）求证：a＞0且－2＜ ＜－1；
（2）求证：方程3ax 2＋2bx＋c＝0有两个实数根且都大于0小于1．
47．已知二次函数y＝ax 2＋bx＋c的图象经过点（0，3），顶点在直线y＝－x＋1上且在第四象限，顶点与原点的距离为．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）设该二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C，直线y＝－x＋1交y轴于点D．在y轴上是否存在点P，使得以P、O、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，求出P点的坐标．若不存在，请说明理由．
48．已知y＝ax 2＋x－a（－1≤x≤1）．
（1）若|a|≤1，求证：|y|≤ ；
（2）若y的最大值为 ，求a的值．
49．已知抛物线y＝x 2＋mx＋n上有一点P（x0，y0）位于x轴下方．
（1）求证：此抛物线与x轴交于两点；
（2）设此抛物线与x轴的交点为A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，求证：x1＜x0＜x2；
（3）当点P坐标为（1，－2011）时，求整数x1，x2的值．
50．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，且cotB＝AB·cosA．
（1）求证：a＝b 2；
（2）若b＝2，抛物线y＝m(x－b)2＋a与直线y＝x＋4交于M（x1，y1）、N（x2，y2）两点，且△MON的面积为6，求m的值；
（3）若a＝ b 2n 2，p－q＝3，抛物线y＝n(x 2＋px＋3q)与x轴交于不同的两点，其中一个交点在原点右侧，试判断抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴还是负半轴，说明理由．
51．已知二次函数y＝ax 2＋bx＋c（a≠0）的图象经过A（－1，0）、B（0，－l）两点，它的顶点在第一象限，它的一部分图象如图所示．
（1）试确定b的符号；
（2）当b变化时，求a＋b＋c的取值范围；
（3）是否存在实数a，使得∠ABC＝120°？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．
52．如图，Rt△ABC的斜边AB在x轴上（点A在点B的左侧），直角顶点C在x轴的上方，且A（tanA，0）、B（tanB，0），二次函数y＝－x 2－ mx＋(2＋2m－m 2)（x为自变量）的图象经过A、B两点．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）判断直角顶点C是否在该二次函数的图象上，请说明理由．
53．已知抛物线F1：y＝ax 2－2amx＋am 2＋2m＋1（a＞0，m＞0）的顶点为A，抛物线F2的顶点B在y轴上，且抛物线F1和F2关于点M（1，3）成中心对称．
（1）求m的值和抛物线F2的解析式；
（2）设抛物线F2与x轴正半轴的交点为C，当△ABC为等腰三角形时，求a的值．
54．已知二次函数y＝－x 2＋( m－2)x＋3( m＋1)．
（1）求证：无论m为任何实数，函数图象与x轴总有交点；
（2）设函数图象与y轴交于点C，当函数图象与x轴有两个交点A、B（点A在点B的左侧），且△ABC为钝角三角形时，求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，P是函数图象的顶点，当△PAO的面积与△ABC的面积相等时，求二次函数的解析式．
55．已知关于x的一元二次方程x 2－2(k＋1)x＋k 2＝0有两个整数根，k＜5且k为整数．
（1）求k的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y＝x 2－2(k＋1)x＋k 2的图象沿x轴向左平移4个单位，求平移后的二次函数图象的解析式；
（3）根据直线y＝x＋b与（2）中的两个函数图象交点的总个数，求b的取值范围．
56．如图，二次函数y＝ax 2＋bx（a＞0）与反比例函数y＝ 的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为（1，4），点B在第三象限，△AOB的面积为3．
（1）求二次函数的表达式；
（2）过点A作x轴的平行线，交二次函数y＝ax 2＋bx的图象于另一点C，连接CO，在坐标平面内求点P，使△POC∽△AOB（点P与点A对应）．
57．已知直线y＝ x和y＝－x＋m，二次函数y＝x 2＋bx＋c图象的顶点为M．
（1）若M恰好是直线y＝ x与y＝－x＋m的交点，试证明：无论m取何实数值，二次函数y＝x 2＋bx＋c的图象与直线y＝－x＋m总有两个不同的交点；
（2）在（1）的条件下，若直线y＝－x＋m过点D（0，－3），求二次函数y＝x 2＋bx＋c的表达式；
（3）在（2）的条件下，若二次函数y＝x 2＋bx＋c的图象与y轴的交点为C，与x轴的左交点为A．
①在直线y＝ x上求异于M的点P，使点P在△ACM的外接圆上；
②在二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
58．已知二次函数y＝x 2＋(m－1)x＋m－2的图象与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＜x2．
（1）若x1x2＜0，且m为正整数，求该二次函数的表达式；
（2）若x1＜1，x2＞1，求m的取值范围；
（3）是否存在实数m，使得过A、B两点的圆与y轴相切于点C（0，2），若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；
（4）若过点D（0，）的直线与（1）中的二次函数图象相交于M、N两点，且 ＝ ，求该直线的表达式．
五、概率
1．小张同学去展览馆看展览，该展览馆有2个验票口A、B（可进出），另外还有2个出口C、D（不许进）．
（1）小张从进入到离开共有多少种可能的进出方式？（要求用列表或树状图）
（2）小张不从同一个验票口进出的概率是多少？
2．如图，甲、乙两个可以自由转动的均匀的转盘，甲转盘被分成3个面积相等的扇形，乙转盘被分成4个面积相等的扇形，每一个扇形都标有相应的数字，同时转动两个转盘，当转盘停止后，设甲转盘中指针所指区域内的数字为m，乙转盘中指针所指区域内的数字为n（若指针指在边界线上时，重转一次，直到指针都指向一个区域为止）．
（1）请你用画树状图或列表格的方法求出|m＋n|＞1的概率；
（2）直接写出点（m，n）落在函数y＝－ 图象上的概率．
3．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，现有两辆汽车经过这个十字路口．
（1）试用树形图或列表法中的一种列举出这两辆汽车行驶方向所有可能的结果；
（2）求至少有一辆汽车向左转的概率．
4．有3张扑克牌，分别是红桃3、红桃4和黑桃5．把牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和数字后将牌放回，洗匀后乙再抽取一张．
（1）先后两次抽得的数字分别记为s和t，求| s－t |≥1的概率．
（2）甲、乙两人做游戏，现有两种方案．A方案：若两次抽得相同花色则甲胜，否则乙胜．B方案：若两次抽得数字和为奇数则甲胜，否则乙胜．
请问甲选择哪种方案胜率更高？
5．小国同学的父亲参加旅游团到某地旅游，准备买某种礼物送给小国．据了解，沿旅游线路依次有A、B、C三个地点可以买到此种礼物，其质量相当，价格各不相同，但不知哪家更便宜．由于时间关系，随团旅游车不会掉头行驶．
（1）若到A处就购买，写出买到最低价格礼物的概率；
（2）小国同学的父亲认为，如果到A处不买，到B处发现比A处便宜就马上购买，否则到C处购买，这样更有希望买到最低价格的礼物．这个想法是否正确？试通过树状图分析说明．
6．甲口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为2和7，乙口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为4和5，丙口袋中装有三个相同的小球，它们的标号分别为3，8，9．从这3个口袋中各随机地取出1个小球．
（1）求取出的3个小球的标号全是奇数的概率是多少？
（2）以取出的三个小球上的标号分别表示三条线段的长度，求这些线段能构成三角形的概率．
7．6张不透明的卡片，除正面画有不同的图形外，其它均相同，把这6张卡片洗匀后，正面向下放在桌上，另外还有与卡片上图形形状完全相同的地板砖若干块，所有地板砖的长都相等．
（1）从这6张卡片中随机抽取一张，与卡片上图形形状相对应的这种地板砖能进行平面镶嵌的概率是多少？
（2）从这6张卡片中随机抽取2张，利用列表或画树状图计算：与卡片上图形形状相对应的这两种地板砖能进行平面镶嵌的概率是多少？
8．在△ABC和△DEF中，∠C＝∠F＝90°．有如下五张背面完全相同的纸牌①、②、③、④、⑤，其正面分别写有五个不同的等式，小明将这五张纸牌背面朝上洗匀后先随机摸出一张（不放回），再随机摸出一张．请结合以上条件，解答下列问题．
（1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌用①、②、③、④、⑤表示）；
（2）用两次摸牌的结果和∠C＝∠F＝90°作为条件，求能满足△ABC和△DEF全等的概率．
9．如图，A信封中装有两张卡片，卡片上分别写着7cm、3cm；B信封中装有三张卡片，卡片上分别写着2cm、4cm、6cm；信封外有一张写着5cm的卡片．所有卡片的形状、大小都完全相同．现随机从两个信封中各取出一张卡片，与信封外的卡片放在一起，用卡片上标明的数量分别作三条线段的长度．
（1）求这三条线段能组成三角形的概率（画出树状图）；
（2）求这三条线段能组成直角三角形的概率．
10．我国不少地方农历正月十五元宵节有吃汤圆的习俗．为了增加节日的喜庆气氛，小华的妈妈在自己动手包的48个汤圆中，有两个汤圆用红枣做馅，与其它汤圆不同馅．若吃到包有红枣的汤圆，被认为这一年心情总是甜美的．
（1）若只吃一个汤圆，求吃到包有红枣汤圆的概率；
（2）若每碗盛8个汤圆，小华吃2碗，盛汤圆时，两个红枣汤圆被盛到不同的碗里，求小华吃到包有红枣汤圆的概率，并说明理由；
（3）若每碗盛8个汤圆，小华吃2碗，盛汤圆时，两个红枣汤圆正好被盛到同一碗里，求小华吃到包有红枣汤圆的概率，并说明理由．
11．已知关于的方程ax 2＋bx＋c＝0，甲、乙两人做游戏：他们轮流确定实数a，b，c（如甲令b＝1，乙令a＝－2，甲再令c＝10），让甲先确定数，如果方程至少有一个解x0，满足－1≤x0≤1，那么乙胜；反之，则甲胜．
（1）若a，b，c只能取非零实数，甲是否有必胜策略？请说明理由；
（2）若a，b，c可以取零，甲乙两人中谁有必胜策略？请说明理由．
12．如图1，一小球从三角仪器的入口处落下，当它碰到每层菱形挡板时，向左或向右落下的可能性相同．
（1）求小球通过第二层A位置的概率是多少？
（2）求小球下落到第三层B位置和第四层C位置处的概率各是多少？
（3）如图2，在第二层与第三层之间加一左侧隔板，求小球落到B、C位置处的概率各是多少？
13．将一枚六个面分别标有1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b．
（1）求点（a，b）落在直线y＝2x－1上的概率；
（2）求以点O（0，0），A（4，－3），B（a，b）为顶点能构成等腰三角形的概率；
（3）求关于x，y的方程组 eq \b\lc\{()
①只有一组解的概率；
②只有正数解的概率．
14．某俱乐部举行抽奖活动，活动规则是：每位会员交30元，可参加一次抽奖活动．从一个装有数字分别为1，2，3，4，5，6的六个相同小球的抽奖箱中，任意摸出一个球，然后放回箱中，摇匀，再摸出第二个球．若两次摸出的球的数字之和为12，则获得价值为a元的礼品；若两次摸出的球的数字之和为11或10，则获得价值100元的奖品；若两次摸出的球的数字之和小于10，则不获奖．
（1）求每位会员获奖的概率；
（2）如果俱乐部打算这次活动既不赚钱也不赔钱，求a的值．
15．已知一元二次方程ax 2＋bx＋c＝0．
（1）若a＝1，b，c是一枚六个面分别标有1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次出现的点数，求方程有实数根的概率；
（2）若b＝－a，c＝a－3，且方程有实数根，求方程至少有一个非负实数根的概率．
16．一个不透明的口袋里装有红、黄、绿三种颜色的小球（除颜色不同外其余都相同），其中红球2个，黄球1个，其余为绿球，从中任意摸出1球是绿球的概率为 ．
（1）试求口袋中绿球的个数；
（2）第一次从口袋中任意摸出1球，然后放回袋中摇匀，第二次再摸出1球，请用列表法求两次摸到都是红球的概率；
（3）小明和小华玩摸球游戏，游戏规则是：先由小明从口袋中任意摸出1球（不放回），再由小华任意摸出1球．若摸出“一绿一黄”，则小明获胜；若摸出“一红一黄”，则小华获胜．
你认为这个游戏规则公平吗？请用画树状图的方法说明理由；若你认为不公平，请修改游戏规则，使游戏变得公平．
17．有两个不同形状的计算器（分别记为A，B）和与之匹配的保护盖（分别记为a，b）（如图所示）散乱地放在桌子上．
（1）若从计算器中随机取一个，再从保护盖中随机取一个，求恰好匹配的概率．
（2）若从计算器和保护盖中随机取两个，用树状图法或列表法，求恰好匹配的概率．
A B a b
18．同时投掷六个面分别标有1，2，3，4，5，6的质地均匀的红、黄两枚正方体骰子一次，记红色和黄色骰子正面朝上的点数分别为m和n．
（1）求二次函数y＝x 2＋2mx＋n图象的顶点落在x轴上的概率；
（2）求一元一次方程mx＋n＝0有整数解的概率．
19．在一个箱子中有三个分别标有数字1，2，3的材质、大小都相同的小球，从中任意摸出一个小球，记下小球的数字x后，放回箱中并摇匀，再摸出一个小球，又记下小球的数字y．以先后记下的两个数字（x，y）作为点P的坐标．
（1）求点P的横坐标与纵坐标的和为4的概率；
（2）在平面直角坐标系中，求点P落在以坐标原点为圆心、 为半径的圆的内部的概率．
20．有甲、乙两个不透明的盒子，甲盒中有四个标号分别为0，1，2，3的材质、大小都相同的小球，乙盒中有三个标号分别为0，1，2的材质、大小都相同的小球，从甲盒中随机取出一小球，用m表示该球的标号，再从乙盒中随机取出一小球，用n表示该球的标号．
（1）用树状图的方式表示（m、n）的所有可能结果；
（2）分别求出关于x的方程x 2－mx＋ n＝0有两个相等的实数根的概率P1和该方程有两个不相等的实数根的概率P2．
六、三角形
1．△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C＝90°，AC＝BC＝2．
（1）要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由．
（2）图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得正方形面积为S1；按照甲种剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为S2（如图2），则S2＝_______；再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形面积和为S3（如图3）；继续操作下去…则第10次剪取时，S10＝_______．
（3）求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和．
2．
问题探究
（1）如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
①求证：BE＋CF＞EF；
②若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明．
问题解决
（2）如图，在四边形ABDC中，∠B＋∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．
3．阅读下面的情景对话，然后解答问题：
（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？
（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，
若Rt△ABC是奇异三角形，求a : b : c；
（3）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），
D是半圆的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在
点E，使AE＝AD，CB＝CE．
① 求证：△ACE是奇异三角形；
② 当△ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．
4．如图1，在等边△ABC中，点D是边AC的中点，点P是线段DC上的动点(点P与点C不重合)，连结BP，将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P，连结AA1，射线AA1分别交射线PB、射线B1B于点E、F．
（1）如图1，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BEF与△AEP始终存在相似关系，请说明理由；
（2）如图2，设∠ABP＝β，当60°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF与△AEP全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，当α＝60°时，点E、F与点B重合．已知AB＝4，设DP＝x，△A1BB1的面积为S，求S关于x的函数关系式．
5．数学课上，李老师出示了如下框中的题目．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况，探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系．请你直接写出结论：
AE_______DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．
（2）特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE_______DB（填“＞”，“＜”或“＝”），理由如下．
如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．
（请你完成以下解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你直接写出结果）．
6．如图，△ABC的三条中线分别为AD、BE、CF．
（1）在图中利用图形变换画出并指明以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；
（2）若△ABC的面积为1，试求以AD、BE、CF的长度为三边长的三角形的面积．
7．在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（0，4）．以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转，得△ACD．记旋转转角为α，∠ABO为β．
（1）如图①，当旋转后点D恰好落在AB边上时，求点D的坐标；
（2）如图②，当旋转后满足BC∥x轴时，求α与β之间的数量关系；
（3）当旋转后满足∠AOD＝β时，求直线CD的解析式．
8．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM＝EN，sin∠EMP＝ ．
（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；
（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP＝x，BN＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长．
9．已知∠MON＝60°，射线OT是∠MON的平分线，点P是射线OT上的一个动点，射线PB交射线ON于点B．
（1）如图，若射线PB绕点P顺时针旋转120°后与射线OM交于点A，求证：PA＝PB；
（2）在（1）的条件下，若点C是AB与OP的交点，且满足PC＝ EQ \F(, 2 ) PB，求△POB与△PBC的面积之比；
（3）当OB＝2时，射线PB绕点P顺时针旋转120°后与直线OM交于点A（点A不与点O重合），直线PA交射线ON于点D，且满足∠PBD＝∠ABO，求OP的长．
10．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C．
（1）如图1，当AB∥CB′ 时，设A′B′ 与CB相交于点D．证明：△A′CD是等边三角形；
（2）如图2，连接A′A、B′B，设△ACA′ 和△BCB′ 的面积分别为S△ACA′ 和S△BCB′ ．
求证：S△ACA′ : S△BCB′ ＝1 : 3；
（3）如图3，设AC中点为E，A′B′ 中点为P，AC＝a，连接EP，当θ＝__________°时，EP长度最大，最大值为__________．
11．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，点F在边BC上，CF＝1，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边△EFG，直线EG、FG分别交直线AC于点M、N．
（1）设BE＝x，MN＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若AE＝1，求△GMN的面积．
12．如图，边长为4的等边三角形AOB的顶点O在坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限．点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60°得点C，点C随点P的运动而运动，连接CP、CA．
（1）求点C的坐标（用含t的代数式表示）；
（2）在点P从O向A运动的过程中，△PCA能否成为直角三角形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；
（3）点P从点O运动到点A时，点C运动路线的长是多少？
13．如图，直线y＝－ EQ \F(, 3 ) x＋2分别交x轴、y轴于C、A两点，将射线AM绕点A顺时针旋转45°得到射线AN，D为AM上的动点，B为AN上的动点，点C在∠MAN的内部．
（1）当AM∥x轴，且四边形ABCD为梯形时，求△BCD的面积；
（2）求△BCD周长的最小值；
（3）当△BCD的周长取得最小值，且BD＝ EQ \F(5, 3 ) 时，求△BCD的面积．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC : BC＝4 : 3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．
（1）设点P的运动时间为x（s），△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC是否相似，请说明理由；
（3）当x＝5s时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM的周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由．
15．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，cosA＝ ，D为射线BA上的动点（点D不与点B重合），DE∥BC交射线CA于点E．
（1）设CE＝x，BD＝y，求y与x的函数关系式；
（2）若以线段BD、CE为直径的两圆相切，求DE的长度；
（3）当点D在AB边上时，BC边上是否存在点F，使△ABC与△DEF相似？若存在，请求出线段BF的长；若不存在，请说明理由．
16．已知：在△ABC中，BC＝2AC，∠DBC＝∠ACB，BD＝BC，CD交线段AB于点E．
（1）如图l，当∠ACB＝90°时，则线段DE、CE之间的数量关系为____________________；
（2）如图2，当∠ACB＝120°时，求证：DE＝3CE；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F是BC边的中点，连接DF，DF与AB交于点G，△DKG和△DBG关于直线DG对称（点B的对称点是点K），延长DK交AB于点H．若BH＝10，求CE的长．
17．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，2）、（－1，0）、（4，0）．P是线段OC上的一动点（点P与点O、C不重合），过点P的直线x＝t与AC相交于点Q．设四边形ABPQ关于直线x＝t的对称的图形与△QPC重叠部分的面积为S．
（1）点B关于直线x＝t的对称点B′ 的坐标为___________；
（2）求S与t的函数关系式．
18．在△ABC中，∠A＝90°，点D在线段BC上，∠EDB ＝ ∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F．
（1）当AB＝AC时，（如图1）
①∠EBF＝_________°；
②探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；
（2）当AB＝kAC时（如图2），求 的值（用含k的式子表示）．
19．如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，BD为斜边AC上的中线，将△ABD绕点D顺时针旋转α（0°＜α＜180°），得到△EFD，点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，连接BE、CF．
（1）判断BE与CF的位置、数量关系，并说明理由；
（2）若连接BF、CE，请直接写出在旋转过程中四边形BFEC能形成哪些特殊四边形；
（3）如图2，将△ABC中AB＝BC改成AB≠BC时，其他条件不变，直接写出α为多少度时（1）中的两个结论同时成立．
20．如图11，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，BD是AC边上的中线，CE⊥BD，垂足为E．
（1）求sin∠DCE的值；
（2）求证：∠ABD＝∠CAE；
（3）若点F在边AB上，且△AEF为等腰三角形，求AF的长．
21．如图，点C为线段AB上任意一点（不与A、B两点重合），分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD与∠BCE都是锐角且∠ACD＝∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接PC．
（1）求证：△ACE≌△DCB；
（2）请你判断△AMC与△DMP的形状有何关系并说明理由；
（3）求证：∠APC＝∠BPC．
22．如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．
（1）如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ACB＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E，试说明E是△ABC的自相似点；
（2）在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．
①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；
②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．
23．如图①，在△ABC中，AB＝AC，BC＝a cm，∠B＝30°．动点P以1cm/s的速度从点B出发，沿折线B－A－C运动到点C时停止运动．设点P出发x s时，△PBC的面积为y cm2．已知y与x的函数图象如图②所示，请根据图中信息，解答下列问题：
（1）试判断△DOE的形状，并说明理由；
（2）当a为何值时，△DOE与△ABC相似？
24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，点D为AC中点，点E为边AB上一动点，点F为射线BC上一动点，且∠FDE＝90°．
（1）当DF∥AB时，连接EF，求cos∠DEF的值；
（2）当点F在线段BC上时，设AE＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）连接CE，若△CDE为等腰三角形，求BF的长．
25．某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论：
（1）有一条边对应相等的两个三角形的面积之比等于这条边上的对应高之比；
（2）有一个角对应相等的两个三角形的面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；
…
现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论．（S表示面积）
问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC，P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC．经探究知S四边形P1R1R2P2 ＝ S△ABC ，请证明．
问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的△ABC拼合成四边形ABCD，如图2，Q1，Q2三等分边DC．请探究S四边形P1Q1Q2P2 与S四边形ABCD之间的数量关系．
问题3：如图3，P1，P2，P3，P4五等分边AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分边DC．若S四边形ABCD ＝1，求
S四边形P2Q2Q3P3 ．
问题4：如图4，P1，P2，P3四等分边AB，Q1，Q2，Q3四等分边DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3将四边形ABCD分成四个部分，面积分别为S1，S2，S3，S4．请直接写出含有S1，S2，S3，S4的一个等式．
26．在平面直角坐标系中，直线y＝ EQ \F(2, 3 ) kx＋m（－ ≤k ≤）经过点A（2，4），与y轴相交于点C，点B坐标为（0，7）．记△ABC的面积为S．
（1）求m的取值范围；
（2）求S关于m的函数关系式；
（3）当S取得最大值时，将△ABC沿AC翻折得到△AB′C，求点B′ 的坐标．
27．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，CB＝4cm．点P、Q分别是AB、CB上动点，它们分别从A、C同时出发向B点匀速移动，移动速度为1cm/秒，设P、Q移动时间为t秒（0≤t≤4）．
（1）当∠CPQ＝90°时，求t的值；
（2）是否存在t，使△CPQ成为等边三角形？若存在，求出t的值；若不存在，能否改变Q的运动速度（P的速度不变），使△CPQ成为等边三角形？如何改变？并求出相应的t值．
28．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠BAC＝72°，将△ABC绕点A顺时针旋转α度（36°＜α＜180°）得到△ADE，连接CE，线段BD（或其延长线）分别交AC、CE于点G、F．
（1）求证：△ABG∽△FCG；
（2）在旋转的过程中，是否存在某一时刻，使得△ABG与△FCG全等？若存在，求出此时旋转角α的大小；若不存在，说明理由．
29．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90 ，BC＝5，tan∠A＝ ．将△ABC绕点C逆时针旋转α（45°＜α＜135°）得到△DCE，设直线DE与直线AB相交于点P，连接CP．
（1）如图1，当CD⊥AB时，求证：PC平分∠EPA；
（2）如图2，当点P在边AB上时，求证：PE＋PB＝6；
（3）在△ABC旋转过程中，连接BE，当△BCE的面积为 时，求∠BPE的度数及PB的长．
30．已知△ABC中，点D在AC上，点E在BC上，且DE∥AB．将△CDE绕点C按顺时针方向旋转得到△CD′E′（∠BCE′＜180°），连接AD′、BE′，设直线BE′ 与AC、AD′ 分别交于点O、F．
（1）如图1，若△ABC为等边三角形，则 的值为________，∠AFB的度数为________；
（2）如图2，若△ABC满足∠ACB＝60°，AC＝，BC＝．
①求 的值和∠AFB的度数；
②若E是BC的中点，求△OBC面积的最大值．
31．如图1，△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB＝AC＝EF＝9，∠BAC＝∠DEF＝90 ．固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G，H点，如图2．
（1）始终与△AGC相似的三角形有___________和___________；
（2）在图2中，设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式；
（3）当x为何值时，△AGH是等腰三角形？
32．如图1，已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（P不与A、B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD．
（1）当△APC与△PBD的面积之和取最小值时，AP＝_________；（直接写出结果）
（2）连结AD、BC相交于点Q，设∠AQC＝α，那么α的大小是否随点P的移动而变化？请说明理由；
（3）如图2，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）
33．已知直线l经过A（6，0）和B（0，12）两点，且与直线y＝x交于点C．
（1）求直线l的解析式；
（2）若点P（x，0）在线段OA上运动，过点P作l的平行线交直线y＝x于D，求△PCD的面积S与x的函数关系式；S有最大值吗？若有，求出当S最大时x的值；
（3）若点P（x，0）在x轴上运动，是否存在点P，使得△PCA成为等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
34．如图，Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝10cm，点Q在线段BC上从B向C运动，点P在线段BA上从B向A运动．Q、P两点同时出发，运动的速度相同，当点Q到达点C时，两点都停止运动．作PM⊥PQ交CA于点M，过点P分别作BC、CA的垂线，垂足分别为E、F．
（1）求证：△PQE∽△PMF；
（2）当点P、Q运动时，请猜想线段PM与MA的大小有怎样的关系？并证明你的猜想；
（3）设BP＝x，△PEM的面积为y，求y关于x的函数关系式，当x为何值时，y有最大值，并将这个值求出来．
35．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点，E是AC边上的一个动点（与点A、C不重合），DF⊥DE，DF与射线BC相交于点F．
（1）如图2，若点D是边AB的中点，求证：DE＝DF；
（2）若AD : DB＝m，求DE : DF的值；
（3）若AC＝BC＝6，AD : DB＝1 : 2，设AE＝x，BF＝y．
①求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②以CE为直径的圆与直线AB是否可相切，若可能，求出此时x的值，若不可能，请说明理由．
36．（1）如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P．求证： ＝ ．
（2）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG、AF分别交DE于M、N两点．
①如图2，若AB＝AC＝1，直接写出MN的长；
②如图3，求证：MN 2＝DM·EN．
37．如图，D是△ABC的边BC的中点，过AD延长线上的点E作AD的垂线EF，E为垂足，EF与AB的延长线相交于点F，点O在AD上，AO＝CO，BC∥EF．
（1）证明：AB＝AC；
（2）证明：点O是△ABC的外接圆的圆心；
（3）当AB＝5，BC＝6时，连接BE，若∠ABE＝90°，求AE的长．
38．两个大小相同且含30°角的三角板ABC和DEC如图①摆放，使直角顶点重合．将图①中△DEC绕点C逆时针旋转30°得到图②，点F、G分别是CD、DE与AB的交点，点H是DE与AC的交点．
（1）不添加辅助线，写出图②中所有与△BCF全等的三角形；
（2）将图②中的△DEC绕点C逆时针旋转45°得△D1E1C，点F、G、H的对应点分别为F1、G1、H1，如图③．探究线段D1F1与AH1之间的数量关系，并写出推理过程；
（3）在（2）的条件下，若D1E1与CE交于点I，求证：G1I＝CI．
39．已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，D是腰AC上的一个动点，过C作CE垂直于BD或BD的延长线，垂足为E，如图1．
（1）若BD是AC的中线，如图2，求 的值；
（2）若BD是∠ABC的角平分线，如图3，求 的值；
（3）结合（1）、（2），请你推断 的值的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究 的值能小于 吗？若能，求出满足条件的D点的位置；若不能，请说明理由．
40．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M为AB中点，将线段BM绕点B顺时针旋转90°，得到线段BP，连接AP、CP，CP交AB于点N（如图1）．
（1）若AC＝BC，求证：△NPB∽△PAB；
（2）若BC＝2，当AC的长为多少时，△ACB∽△ABP？
（3）图1中，当点A沿直线AC向下运动（其余条件不变）时，Rt△ABC、△PAB、△PBC都会变化（如图2），若点A一直运动到BC下方，请在图3中画出相应的图形．若BC＝2，设AC＝x，△BCP的面积为S1，△PAB的面积为S2，试问S1、S2是否都为定值？若是，求出这个定值；若不是，求出其关于x的函数关系式．
41．如图（1），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F．若AC＝mBC，CE＝nEA（m，n为实数）．
试探究线段EF与EG的数量关系．
（1）如图（2），当m＝1，n＝1时，EF与EG的数量关系是____________；
证明：
（2）如图（3），当m＝1，n为任意实数时，EF与EG的数量关系是____________；
证明：
（3）如图（1），当m，n为任意实数时，EF与EG的数量关系是____________．（写出关系式，不必证明）
42．如图，已知在△ABC中，AB＝4，BC＝2，以点B为圆心，BC长为半径的弧交边AC于点D，且∠DBC＝∠BAC．P是边BC延长线上一点，过点P作PQ⊥BP，交BD的延长线于点Q．设CP＝x，DQ＝y．
（1）求CD的长；
（2）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）若∠DAQ＝2∠BAC，求CP的长．
43．如图，在平面直角坐标系中，等边△OAB的边长是12，点A在第一象限，OB边在x轴的正半轴上．将△OAB沿直线CD：y＝kx＋b折叠，使点A落在x轴上的点E处．
（1）若点A恰好落在线段OB上（不包括O、B），△OCE与△BED相似吗？为什么？若OE : EB＝2 : 3，求CE : DE的值；
（2）①若点C是OA的中点，AD＝2DB，试判断以CD为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由；
②若点C、D分别在线段OA、AB上，试求b的取值范围；
（3）当点E从点O移动到点B时，点D运动的总路线长为多少？
44．Rt△ABC的直角顶点B在Rt△DEF的斜边DF上，已知AB＝DF，DE＝EF，∠A＝30°．固定△DEF不动，将△ABC绕点B旋转，并使边AB与边DE交于点P，边BC与边EF于点Q．
（1）如图1，若 ＝m，求 的值，并确定m的取值范围；
（2）若DF＝30， ＝2，连接PQ，设△BPQ的面积为S，在旋转过程中：
①如图2，当点E恰好落在边AC上时，求AE的长；
②S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，请说明理由；
③随着S取不同的值，对应△BPQ的个数有哪些变化？求相应S值的取值范围．
45．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为CA，CB延长线上的点，AE与BD相交于点F．
（1）若BE＝AC，AD＝CE，求∠AFD的度数；
（2）若BE＝ EQ \F(, 3 ) AC，AD＝ EQ \F(, 3 ) CE，求∠AFD的度数．
46．已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，点M是CE的中点，连接BM．
（1）如图①，点D在AB上，连接DM，猜想BD与BM的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，点D不在AB上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请直接写出此时BD与BM的数量关系．
47．如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠ABD＝∠DBC＝30°，E在BC上，AE⊥BC，且∠ADE＝60°．
（1）求证：CD＝EC；
（2）若BE＝1，求AD、BC、CD的长．
48．如图，△ABC与△BCD均为等边三角形，过D点的直线与AB交于点M，与CA的延长线交于点N，CM与BN交于点E，求∠BEC的度数．
49．已知△ABC是锐角三角形．
（1）求证：2sinA＞cosB+cosC；
（2）若点M在边AC上，作△ABM和△CBM的外接圆，则当M在什么位置时，两外接圆的公共部分面积最小？
50．如图，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD的垂直平分线交AD于点E，交BC的延长线于点F．
（1）求证：DF 2＝BF·CF；
（2）若 ＝ ，求 的值．
51．在△ABC中，点M为BC的中点．
（1）如图1，求证：AM＜ (AB＋AC)；
（2）延长AB到D，使得BD＝AC，延长AC到E，使得CE＝AB，连接DE．
①如图2，连接BE，若∠BAC＝60°，请你探究线段BE与线段AM之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明；
②请在图3中证明：BC ≥ DE．
52．如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，D、E两点分别在AC、BC上，且DE∥AB，CD＝2．将△CDE绕点C顺时针旋转，得到△CD′E′（如图②，点D′、E′分别与点D、E对应），点E′ 在AB上，D′E′ 与AC相交于点F．
（1）求∠ACE′ 的度数；
（2）求证：四边形ABCD′ 是梯形；
（3）求△AD′F的面积．
53．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点在边上，且∠ADC＝60°，BD ＝ CD．将△ACD沿AD折叠，得到△AC′D，连接BC′．
（1）求证：BC′⊥BC；
（2）求∠C的大小．
54．已知等边三角形ABC中，点D、E、F分别为AB、AC、BC边的中点，P为直线BC上的动点，以DP为一边在DP的右侧作等边三角形DPQ．
（1）如图，当点P在BC边上时，请你判断PF与QE有怎样的数量关系？点F是否在直线QE上？说明理由；
（2）当点P在CB的延长线或BC的延长线上时，你在（1）中得到的结论是否仍然成立？说明理由．
55．如图，直角三角板ABC中，∠A＝30°，BC＝1，将三角板ABC绕直角顶点C逆时针旋转一个角度α（0°＜α＜120°且α≠90°），得到Rt△A′B′C．
（1）当A′B′边经过点B时，求旋转角α的大小；
（2）在三角板旋转的过程中，边A′C与直线AB交于点D，过点D作DE∥A′B′ 交CB′ 边于点E，连接BE．
①当0°＜α＜90°时，设AD＝x，BE＝y，求y与x之间的函数关系式；
②当S△BDE ＝ S△ABC 时，求AD的长．
56．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－ x＋b与x轴、y轴分别交于A、B两点，且B点的坐标为（0，8），直线AC交线段OB于点C（0，n）．
（1）过C点作CD⊥AB于D点，CD＝m，求m与n的函数关系式；
（2）将△AOC沿着AC翻折，使点O落在AB上．
①求点C的坐标；
②P是直线AC上的点，在x轴上方的平面内是否存在点Q，使得以O、C、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
57．如图1所示，直线y＝－x＋9与x轴、y轴交于B、A两点，直线y＝－ x－4与x轴、y轴交于C、D两点，E（4，0），直线l过B点且垂直于x轴，P是直线上一点（与B点不重合），连结AP．
（1）求A、C两点的坐标；
（2）设M是AP的中点，若ME＝5，猜想∠CME的度数，并说明理由；
（3）如图2所示，连结PE，求△PCE外接圆面积的最小值，并求△PCE外接圆面积最小时，圆心G的坐标．
58．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D是BC上一动点（不与B、C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转α后到达AE位置，连接DE、CE，设∠BCE＝β．
（1）如图1，若α＝90°，求β的大小；
（2）如图2，当点D在线段BC上运动时，试探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）当点D在线段BC的反向延长线上运动时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请写出α与β之间的数量关系，并说明理由．
59．已知：在平面直角坐标系中，直线y＝kx＋4与y轴、x轴分别交于A、B两点，点C的坐标为（10，0）．
（1）如图①，若k＝－1，在直线y＝kx＋4上求点P，使∠OPC＝90°；
（2）若在直线y＝kx＋4上只存在一个点P，使∠OPC＝90°，求k的值．
60．如图1，△ABC和△DEF均为等边三角形，BC和EF的中点均为O．
（1）将△DEF绕点O旋转到图2的位置时，试判断AD与CF的位置关系，并证明你的结论；
（2）将△DEF绕点O旋转一周，若顶点D与AC只有一个交点，且AB＝4，求△COF的面积．
61．把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．已知：∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，AC＝8cm，BC＝6cm，EF＝10cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC交于点Q，连结PQ，设移动时间为t（s）．
（1）用含t的代数式表

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