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一次函数与全等三角形综合
知识点精讲
一次函数与全等三角形几个经典模型的综合，在这类题目上，解题方法无外乎以下几种
（1）数形结合，利用三角形的三边关系求解；
（2）由函数到图形得全等，边角关系求解；
（3）由图形，或函数关系得到所探究题目的陷藏条件，再充分利用所学几何知识得解（一般这种控究题是比较灵活的，对运用考察较强）；
（4）以结论证条件，以条件猜结论。
几种全等模型的回顾
图1、图2为“两垂直”全等模型，图1中将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DEC，此时可得结论：△ACD，△BCE均为等腰直角三角形;DE⊥AB，图2中△ABC≌△DBE
图3、图4为“三垂直”全等模型，其中△ABC为等腰直角三角形，AE⊥EC，BF⊥CF，E，C，F三点共线，则有△ACE≌△CBF，图3中EF=AE+BF，图4中EF=
图5，AB=AC，延长AB到F使得BF=EC，则有结论ED=DF，若ED=DF，则有BF=EC
典型例题
【例1】平面直角坐标系内有两点A（4，0）和B（0，4），点P在直线AB上运动
（1）若P点横坐标为xP=-2，求以直线OP图象的函数解析式；
（2）若点P为第四象限，作BM直线OP于M，AN直线OP于N，求证：MN=BM+AN；
（3）若点P是第一象限，仍作直线OP的垂线段BM，AN，试探究线段MN，BM，AN所满足的数量关系式，直接写出结论，并画图说明。
【解析】（1）设直线AB函数解析式为y=kx+b
，解得，y=-x+4
当x为-2时，y=6，∴P的坐标为（-2，6）
∵直线OP过原点，∴解析式为y=-3x
（2）如图1，由题意知可证Rt△BMO≌Rt△ONA
∴BM=ON，AN=MO，∴MN=BM+AN
（3）如图2，证明Rt△BOM≌Rt△ONA，可得结论MN=
【例2】如图，已知在平面直角坐标系xoy中，点A(0，4)，
B，C在x轴上，作BE⊥AC，垂足为E（点E在线段AC上，且点E与点A不重合），直线BE与y轴交于点D，若BD=AC
（1）求点B的坐标；
（2）设OC长为m，△BOD的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围
【解析】（1）如图，由△BOD≌△AOC可知BO=AO=4
∴B的坐标为（-4，0）
（2）由（1）可知DO=OC=m，∴S==2m，m的取值范围是0【例3】已知：如图，平面直角坐标系xoy中，点A、B的坐标分别为A(4,0),B（0，-4）,P为y轴上B点下方一点，PB=m(m>0)，以AP为边作等腰直角三角形APM，其中PM=PA，点M落在第四象限。
（1）求直线AB的解析式；
（2）用m的代数式表示点M的坐标；
（3）若直线MB与x轴交于点Q，判断点Q的坐标是否随m的变化而变化，写出你的结论并说明理由。
【解析】（1）y=x-4
（2）作MC⊥y轴，交y轴于C
证△APO≌△PMC，由此可知M(4+m，-m-8)
（3）由（2）中的全等可知，MC=m+4，BC=m+4,∴MC=BC
∴∠CBM=45°，可得QO=OB
Q(-4,0),∴Q点坐标不随m的变化而变化
【点评】此题最关键一步是如何利用线段长度表示点坐标，学生极易在此犯错！要记住线段长为正，而点坐标是根据其所在象限判断正负
【例4】如图1，直线l1:y=3x+3与x轴交于B点，与直线l2交于y轴上一点A，且l2与x轴的交点为C（1，0）
（1）求证：∠ABC=∠ACB；
（2）如图2，过x轴上一点D(-3,0)，作DE⊥AC于E，DE交y轴于F点，交AB于G点，求G点的坐标；
（3）如图3，将△ABC沿x轴向左平移，AC边与y轴交于点P（P不同于A和C两点），过P点作一直线与AB的延长线交于Q点，与x轴交于点M，且CP=BQ在△ABC平移过程中，线段OM的长度是否发生变化？若不变，请求出它的长度。若变化，确定其变化范围
【解析】（1）由题意得B(-1,0),BO=OC，又∵AO⊥BC,∴AB=AC，∠ABC=∠ACB
（2）由题意得△ABO≌△DFO，∴OF=BO=1，∴F（0，1），∴DE的解析式为
由，解得，∴G(,)
（3）不变，OM=1
如图过P作PN∥AB交BC于N，可知PN=PC=BQ
从而△PNM≌△QBM，
∴BM=NM，又NO=CO
∴OM=BC=1
【例5】如图，在平面直坐标系中，A（a，0）,B（0,b），且a、b满足
（1）求直线的解析式；
（2）若点M为直线y=mx上一点，且△ABM是以AB为底的等腰直角三角形，求m的值；
（3）过A点的直线y=kx-2k交y轴于负半轴于P，N点的横坐标为-1，过N点的直线y=交AP于点M，试证明的值为定值
【解析】（1）y=-2x+4
(2)易证阴影部分三角形全等，得到M(3,3),故而m=1
(3)过N点作直线垂直于y轴，交PM于G点，另直线MN与坐标轴交点分别O，I，连接IG并作MF⊥x轴于F，易知N、G两点横坐标分别为-1和1，将其分别代入MN、MP的解析式中，求得两点坐标为N(-1,-k)，G(1，-k),易证△NHP≌△GHP，∴NP=GP易求I(1,0),IG⊥x轴，易证△IGA≌△FMA，∴MA=AG,
相似题
1.在平面直角坐标系xoy中，直线y=x+m经过点A（2，0），交y轴于点B，点D为x轴上一点，且S△ADB=1,
（1）求m的值；
（2）求线段OD的长；
（3）当点E在直线AB上（点E与点B不重合），且∠BDO=∠EDA，求点E的坐标
【解析】（1）∵直线y=-x+m经过点A(2,0)
∴0=-2+m，m=2
（2）∵直线y=-x+2交y轴于点B，∴点B的坐标为（0，2）
∴OB=2
∵S△ADB=
∴AD=1
∵点A的坐标为（0，2）
∴点D的坐标为（1，0）或（3，0），∴OD=1或OD=3
（3）①当点D的坐标为（1，0）时，如图所示
取点B＇(0,2)，连接B＇D并延长，交直线BA于点E
∵OB=OB＇，AD⊥BB＇于O
∴OD为BB＇的垂直平分线
∴DB=DB＇
∴∠1=∠2，又∵∠2=∠3，∴∠1=∠3
设直线B＇D解析式为y=kx-2（k≠0）
∵直线B＇D经过点D(1,0)
∴0=k-2
,∴k=2
∴直线B＇D的解析式为y=2x-2
解方程组，得
∴点E的坐标为（，）
②当点D的坐标为（3，0）时，如图取点B＇（0，-2），连接B＇D，交直线B＇D的解析式为y=x-2，
解方程组，得
∴点E的坐标为（，）
综上所述，点E的坐标为（，）或（，）
课后追踪
【练习1】如图,已知在平面直角坐标系xOy中,点A(0,4),点B,C在x轴上,C点坐标为(m,0)作BE⊥AC,垂足为E(点E在线段AC上,且点E与点A不重合),直线BE与y轴交于点D,BD=AC.第一象限内有一点P,坐标为(m,m+4),连接PA,DC,求证:∠PAC=∠BDC、
【解析】如图,连接PC,过A作AH⊥PC于H,可知PH=AH=m
∠PAH=∠APH=45°
由△BOD≌△AOC可知∠BDO=∠ACO
又∵AH∥OC,∴∠ACO=∠HAC,∴∠BDO=∠HAC
又由OD=OC可得∠ODC=45°。∴∠ODC=∠PAH
∴
∠BDC=∠PAC
【练习2】如图,在平面直角坐标系xOy中,点A、B的坐标分别为(-1,0)、(4,0),点D在y
轴上,AD∥BC,点E在CD上,且满足AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA.
(1)请你判断此时线段CE与DE是否相等,并证明你的结论;
(2)已知∠DAB=60°,直接写出线段BC的长.
【解析】(1)相等,证明如下
如上右图,在AB上取点D',使AD'=AD,连接D'E,可证△ADE≌△AD＇E,∴DE=D'E
由AD∥BC,AE、BE平分∠DAB与∠ABC
可得∠AEB=90°
从而可知∠D'EB=∠CEB
由此,△CEB≌△D＇EB,
∴
EC=ED＇
∴
DE=EC
(2)∵∠DAB=60°
∴∠ADO=30°
∴AD=2A0=2
由(2)可知,AD'=AD=2
∴BC=BD'=5-2=3
【练习3】如图,已知直线OA的解析式为y=x,直线AC垂直x轴于点C,点C的坐标为(2,0),直线OA关于直线AC的对称直线为AB交x轴于点B.
(1)写出点A及点B的坐标;
(2)如图,直线AD交x轴于点D,且△ADB的面积为1,求点D的坐标;
(3)若点D为(2)中所求,作OE⊥AD于点E,交AC于点H,作BF⊥AD于点F,求证:OE=AF并直接写出点H的坐标
【解析】(1)A(2,2),B(4,0)
(2)∵AC⊥BD于点C,AC=2,=1,
∴
∴
BD=1
∴
OD=OB-BD=4-1=3
∴D(3,0)
(3)由直线OA的解析式为y=x,可知
OC=AC
又∠ACO=90°,
∴∠OAC=∠AOC=45°
∵直线OA关于直线AC的对称直线为AB,
∴∠BAC=∠OAC=45°,OA=BA
∴∠OAB=90°
∴∠BAF=90-∠OAE
在△AOE中,∠OEA=90°
∴∠AOE=90°-∠OAE
∴∠BAF=∠AOE
在△AOE与△BAF中，
∴△AOE≌△BAF
∴OE=AF
又由△OCH≌△ACD可求得H（2,1）
【练习4】已知A(-1,0),B(0,-3),点C与点A关于坐标原点对称,经过点C的直线与y轴交于点D,与直线AB交于点E,且E点在第二象限.
(1)求直线AB的解析式；
(2)若点D(0,1),过点B作BF⊥CD于F,连接BC,求∠DBF的度数及△BCE的面积；
(3)若点G(G不与C重合)是动直线CD上一点,且BG=BA,试探究∠ABG与∠ACE之间满足的等量关系,并加以证明
【解析】(1)依题意,设直线AB的解析式为y=kx-3
∵
A(-1,0)在直线上，
∴0=-k-3
∴k=3
∴直线AB的解析式为y=-3x-3
(2)如图1,依题意,C(1,0),OC=1.
由D(0,1),得OD=1
在△DOC中,∠DOC=90°,OD=OC=1.
可得∠CDO=45°
∵
BF⊥CD于F
，
∴∠DBF=90°
∴∠DBF=90°-∠CDO=45°
可求得直线CD的解析式为y=-x+1
由解得
∴直线AB与直线CD的交点E(-2,3).
过E作EH⊥y轴于H,则EH=2.
∵B(0,-3),D(1,0)
∴BD=4
∴
(3)连接BC,作BM⊥CD于M
∵AO=OC,BO⊥AC，
∴BA=BC.
∴∠ABO=∠CBO.
设∠CBO=α,则∠ABO=α,∠ACB=90°-α
∵
BG=BA
∴BG=
BC
∵BM⊥CD
∴∠CBM=∠GBM.
设∠CBM=β,则∠GBM=β,∠BCG=90°-β
(ⅰ)如图2,当点G在射线CD的反向延长线上时,
∵∠ABG=2α+2β=2(a+β)
∠ECA=180°-(90°-α)-(90°-β)=α+B
∴∠ABG=2∠ECA
(ⅱ)如图3,当点G在射线CD的延长线上时
∵∠ABG=2α-2β=2(α-β)
∠ECA=(90-β)-(90-a)=
α-β.
∴∠ABG=2∠ECA.
综上,∠ABG=2∠ECA.

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